Solução P4-PROBEST_2013-2

Prévia do material em texto

P4– Probabilidade e Estatística – 2013.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Roxana Jimenez Contreras e Alexandre Street 
Problema 1 (1.0 pt) 
a) (0.4 pt) Se “X” é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de “X” para o 
caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e 
Poisson. 
a) SOLUÇÃO 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
b) (0,6 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então 
 . 
SOLUÇÃO 
 
V(X+Y) = E(X+Y)2 – E2(X+Y) 
 
 
E(X+Y) = E(X) + E(Y) - Se X e Y são independentes 
 
 
V(X+Y) = E(X2+2XY+Y2) – [E(X)+E(Y)]2 
 
 = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
Como X e Y são independente, então: 
 
E(XY) = E(X).E(Y) - provar 
 
 
 E(X,Y) = ∫∫(XY).f(X,Y) dx.dy 
 
 = ∫∫(XY).[f(X).f(Y)] dx.dy 
 
 = ∫Yf(y)dy . ∫Xf(x)dx 
 
 = E(Y) . E(X) 
 
 
V(X+Y) = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
 = E(X2) + 2E(X).E(Y) + E(Y2) - E2(X) - 2E(X).E(Y) - E2(Y) ] 
 
 = [E(X2) - E2(X)] + [E(Y2) - E2(Y)] 
 
V(X+Y) = Var (X) + Var (Y) 
 
 
 
Problema 2 (2.4 pts) 
Uma indústria de manufatura produz peças cujo diâmetro tem a seguinte especificação 
nominal: Di ~ Normal (200mm ; 100mm
2). 
Pede-se: 
1) (0.8 pt) Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso, ter diâmetro entre 190 e 
197 mm. 
2) (0.8 pt) Um comprador destas peças acertou a compra de um lote de 30 peças. Qual a 
probabilidade da média dos diâmetros deste lote( o a a por ) r 04 mm? 
3) (0.8 pt) Deste mesmo lote adquirido pelo fabricante, qual a probabilidade do maior dos 
diâmetros de todas as 30 peças ser superior a 212 mm? 
 
Solução 
 
 
1) Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso, ter diâmetro entre 190 e 197 
mm. 
 
 
Di ~ Normal (200 ; 10
2) 
 
 Pr(X≤195) Pr(X≤ 03) 
 Pr
)197190(  iD
 = Pr 




 




10
200197
10
200
10
200190 iD 
 
 
 
 
 190 197 
 180 200 220 
 
 =Pr(-1,000≤Z≤-0,300) 
 
 
 
 
Pela tabela: Ф (-1,000) = 1- 0,8413 = 0,1587 
 
Pela tabela: Ф (-0,300) = 1 – 0,6179 = 0,3821 
-1,000 -0,300 0 
 
Pr (190<Di<197) = 0,3821 – 0,1587 = 0,2234 = 22,34% 
 
 
ou 
 
1 – [Ф (-1,000 +(1- Ф (-0,300)) = 1 – [0,1587+(1-0,3821)] = 0,2234 = 22,34% 
 
 
 
 
 
2) o pra or a p a a r o a o pra o 30 p a a a 
pro a a a a o ro o o a a por r 0 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 i>204) 
iD
 ~ NORMAL 






30
10
,200
2 
 
 
 Pr
)210( iD
 = Pr 























30
100
200204
30
100
200iD 
196,35 200 203,65 
 
P ( i>204) 
 
 
 
 = Pr  191,2Z
 
 = Ф (2,191) 
 
 0 Zo=2,191 
 
 
 
Pela tabela: Ф (2,191) =1-0,9858= 0,0142 
 
Então: Pr 
)204( iD
 ≡ 1,42% 
 
2,18 - 0,9854 
2,191 - X 
2,2 - 0,9861 
 
   
 18,22,2
9854,09861,0191,22,2
9861,0



x
X 
 
   
 
9858,0
02,0
0007,0009,0
9861,0 


x
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Deste mesmo lote adquirido pelo fabricante, qual a probabilidade do maior dos diâmetros 
de todas as 30 peças ser superior a 212 mm? 
SOLUÇÃO 
 
 
V = Max 
),...,,,( 30321 XXXX
 
Pr 
)212( V
= ? 
 Pr 
)212,...,212,212,212( 30321  DDDD
 
 
sX i
 iid 
 
 Pr (V > 212) = 1 – P (V≤212) 
 = 1 – [Pr
)212,...,212,212,2'21( 30321  DDDD
] 
 = 1 – [Pr
)212( iD
]30 
 
 Pr
)212( iD
 = Pr 




 


10
200212
10
200iD 
 
 = Pr 




 

10
200212
Z 
] 
 = Pr  200,1Z 
 
 
 
Pela tabela: P (Z≤1,200) = 0,8849 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Zo= 1,200
 
 
 Pr (V > 205) = 1 – [Pr
)212( iD
]30 
 
 
 Pr (V > 205) = 1 – (0,8849)30 
 
 Pr (V > 205) = 0,9745 = 97,45% 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (4.5 pts) 
 Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 
yxyyxf ..2
4
3
),( 
, o 0≤x≤ 0≤y≤1 
Pede-se: 
a) (1.0 pt) A marginal de e de . 
b) (0.4 pt) Densidade condicional de X dado Y=y. 
c) (0.5 pt) Média condicional de X dado Y=y. 
d) (0.5 pt) Variância condicional de X dado Y=y. 
 
 
a) (1.0 pt) A marginal de e de . 
 
a.1) Densidade marginal de X. 
Soluçãodyyxfxf
y
y
.),()(
1
0




 , onde 0≤y≤1 
dyyxyxf ...2.
4
3
)(
1
0
 












 

 
1
0
22
3
2
..2
2
3
.
4
3
)(



















y
x
y
xf  
















 

1
0
2
2
3
.
3
.2
.
4
3
)( yx
y
xf
 
5,0
2
1
)(  xxxf
 
 
 
a.2) Densidade marginal de Y. 
Solução 
dxyxfyf
x
x
.),()(
2
0




 , onde 0≤x≤2 
dxyxyyf ...2.
4
3
)(
2
0
 












 

 2
0
2
2
..2..
4
3
)( 












x
yxyyf
 

 













2
4
..22..
4
3
)( yyyf
 












 yyyf .4..
2
3
)(
 
 
yyyyyf 5,14
2
3
4)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Densidade condicional de X dado Y = y. 
Solução 
 
)(
),(
)(
yf
yxf
yYXf 
 , onde 
]1,(
]2,0(
xy
x


 
 




yy
yxy
yYXf
5,14
..2
4
3
)(
 
yy
yxy
yYXf
616
..83
)(



 
 
 
 
 
c) Calcule a Média condicional de X dado Y=y. 
Solução 
 
  dxyYXfxyYXE
x
x
).(.
2
0
 


 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
  dx
yy
yxy
xyYXE .
5,14
..2
4
3
2
0















  
  dxyxyx
yy
yYXE ...2
4
3
5,14
1
1
0
 








 
 
  dxxyyx
yy
yYXE ....2.
4
3
5,14
1
2
0
2
 








 
2
0
32
3
.2
2
..
4
3
5,14
1 x
y
x
y
yy



 
3
8
.2.
2
3
5,14
1
yy
yy



 
yy
yy
.
3
16
.
2
3
5,14
1



 
 




yy
yy
5,14
6
329
 
 
 
 yy
yy
924
932



 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo da Variância condicional de X dado Y=y. 
 
 
   22 )()( yYXEyYXEyYXVAR 
 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
 
  dxyYXfxyYXE
y
x
).(.
2
0
22  


 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
  dx
yy
yxy
xyYXE .
5,14
..2
4
3
.
2
0
22














  
dxxyxy
yy
...2.
4
3
5,14
1
2
0
32
 








 




2
0
43
4
..2
3
..
4
3
5,14
1 x
y
x
y
yy
 
  yy
yy
yYXE 82
5,14
12 


 
 
 yy
yy
5,14
28



 
 
 
   22 )()( yYXEyYXEyYXVAR 
 
 
 
 
 
 
2
924
932
5,14
28






















yy
yy
yy
yy
yYXVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (2.2 pts) 
Uma amostra de 15 medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês 
apresentou uma média de 84% e desvio padrão de 13%. Assumindo que a participação 
nominal da média na liga é de 80%. 
Pede-se: 
a) (1.1 pts) Teste a Hipótese ao nível de significância de 5% que a participação de manganês 
da amostra estudada é superior a 80%. Mostre o resultado através de cálculo e esboce um 
gráfico da distribuição do teste, indicando a área de rejeição e aceitação com os resultados 
encontrados. 
Solução 
 
Suposição: 
v.a. participação de manganês numa liga de ferro-manganês. 
X ~ N µ,σ2) 
 
a.a. (n) n= 15 
 S = 13% 
 X = 84% 
 
Teste de Hipótese: 
H0: µ
 = 80% 
H1: µ
 > 80% (unilateral) 
 
Estatística do Teste: 
 
 
 
Decisão: 
Região crítica – α=5% 
 
Área de aceitação 
 Área de rejeição 
 
 
 
%52/ 
 
 
 
 
 
 1,192 1,761 
Resposta: 
Como T = 1,192 < 1,761, não cai na região crítica, então, aceita H0 ao nível de significância de 
5%. 
 


t
ns
x
t 

 0 192,1
15
13
8084
 0 




ns
x
t

 
 
b) (1.1 pts) Aumentou-se a amostra para 40 medidores e apresentou como resultados: 
média de 83% e desvio padrão de 15%. 
Pergunta-se: Qual o Intervalo de confiança ao nível de significância de 96,0%, para a 
“M a” 
 
SOLUÇÃO a) 
X
= 83% 
 S = 15% 
 n = 40 
 
IC da Média de uma No mal com esvio ad ão α ) esconhecido - Caso II 
 
n=40, ve ifica na tabela “Z”. 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 96,0% 
 
 Tabela “Z” - 
05,22/1 Z 
 
 
 (1-α)=0,96 
 
 
 
 
 02,0
2


 
 
 058,298,0 Z 
 
2,04 - 0,9793 
X - 0,98 
2,06 - 0,9803 
 
   
 9793,09803,0
04,206,298,09803,0
06,2



x
X 
 
   
 
058,2
003,0
02,00003,0
06,2 


x
X 
 
 
 
 






 
n
S
tX
n
S
tX
n
S
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 
 
 
 
 
 
 [ 0,7812 ; 0, 8788] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
40
15,0
058,283,0;
40
15,0
058,283,021
n
S
ZXIC 
 
n
S
ZXIC 2/1 
 
 
Problema 5 ( 2.0 pts) 
Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem 
do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma 
v.a. com distribuição , responda: 
Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, 
sabendo que a potência é uma função: 
   32/. 2  XY 
. 
SOLUÇÃO 
 
Dados: 
V ~ Nor a 0,σ2) 
Potência : 
   32/. 2  XY 
 
Seja : f(x) e F(x) a pdf e acumulada de X. 
 g(y) e G(y) a pdf e acumulada de Y. 
 
Queremos achar g(y) = ? 
 
X ~ Nor a μ,σ2) 
 
 
 
 
X~ Nor a 0,σ2) 
 
 
 
 
Pelo Método de distribuição: 
 
G(y) = Pr (Y≤y) = 
     )32/.Pr 2 yX 
 
 
 
 
Como: 
 
 , então: 
 
 
 
 → → 
 
 
 
 
 
   







 


 
6262
Pr
y
X
y    







 








 
 
6262 y
F
y
F
y
yG
yg



)(
)(  )()(.)( xfxf
y
x
yg 



 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 


eexf
x
 
0 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2

 

 eexf
x

622 
y
x

62 

y
x
2
1
62
.
2
2






 




y
y
x
3
2
. 2

x
y

 62.
1




yy
x

 
 
 
 
Como: 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa Sorte!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







2
2
2 2
exp.
2
1
)(

x
xf

















 








 









 


2
2
2
2
2
62
2
2
62
2
2
1
.
2
1
.
2
1
.
62
.
2
2
)( 




yy
ee
y
yg
  










22
62
2
.
2
1
.2.
62..2
2
)( 

 y
e
y
yg
 





 



22
62(
exp.
2.62.
2
)( 
y
y
yg
 
 
FORMULÁRIO: 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

 
 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Distribuição Uniforme 
Notação : X ~ Uniforme(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial 
Notação : X ~ Exp (λ) 
 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
Distribuição Normal 
Notação : X ~ Normal (μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
Se X~N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
Se X tem densidade f(x) e Y=h(X) é uma transformação qualquer, então, a densidade de Y, 
denotada por g(y) é: 
g(y) = 
y
yG

 )(
 , onde G(y) é a função de distribuição acumulada de Y. 
 
Se Y = X2 , então : 
 
 
Finalmente, pelo Método do Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
 







b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
y
x
xfyg


 ).()(
 )()(.
.2
1
)( yfyf
y
yg 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2
* .1


Sn

s
s
Y
Xf
2
2

)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx





)1,0(~0 N
n
s
x
Z


)1,0(~)1,0(~ 00 N
n
s
x
ZouN
n
x
Z


 





t
ns
x
t 

 0 
 
Tabelas 
 
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
μ X 
σ
Z