2018 - UGB Apostila - Parte II

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Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 1 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ESTATÍSTICA – PARTE II 
 
 
- Probabilidade 
 
- Distribuição Binomial e Normal 
 
- Intervalo de Confiança 
 
- Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
Profº Celso Brazil 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 2 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 2 
Probabilidade 
 
Definições 
 
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos (experimentos): determinísticos e 
aleatórios. 
 
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os 
mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. 
 
Experimento aleatório 
 
Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido 
toda vez da mesma maneira, é chamado experimento aleatório. 
 
Exemplos: 
 
a) Lançamento de uma moeda honesta; 
b) Lançamento de um dado; 
c) Lançamento de duas moedas; 
d) Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas; 
e) Determinação da vida útil de um componente eletrônico. 
 
Espaço Amostral 
 
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de 
espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por S. Cada um dos 
elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. 
 
Eventos 
 
Chamamos de evento (E) a qualquer subconjunto do espaço amostral S de um 
experimento aleatório. Assim, o evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou 
uma reunião deles. Qualquer que seja o evento E, se E  S, então E é um evento de S. 
 
Se E = S, E é chamado evento certo. 
Se E  S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar. 
Se E = Ø, E é chamado evento impossível. 
 
Espaços amostrais discretos e contínuos 
 
Um espaço amostral é discreto se ele consiste em um conjunto finito ou infinito contável 
de resultados. Um espaço amostral é contínuo se ele contém um intervalo de números 
reais. 
 
 
 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 3 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 3 
 
Interpretações de probabilidade 
 
Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de um 
resultado de um experimento aleatório. 
 
Resultados igualmente prováveis 
 
Toda vez que um espaço amostral consistir em N resultados possíveis que forem 
igualmente prováveis, a probabilidade de cada resultado é 1/N. 
 
Definição Clássica de Probabilidade 
 
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que 
todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um 
conjunto eqüiprovável. 
 
 
Definimos probabilidade de um evento E (E  S) ao número real P(E), tal que: 
 
)(
)(
)(
Sn
En
EP  
 
n(E): número de elementos no conjunto E. 
n(S): número de elementos no espaço amostral S. 
 
Exemplo: 
 
Considerando o lançamento de um dado, pede-se: 
a) A probabilidade do evento E "obter um número par na face superior".Temos: 
 
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(S) = 6 
E = {2; 4; 6} n(E) = 3: 
 
Logo, 
 
%505,0
3
6
)(
)(
)( 
Sn
En
EP 
 
Probabilidade de um evento 
 
Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E), é 
igual à soma das probabilidades dos resultados em E. 
 
 
 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 4 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 4 
Exemplo: 
 
Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b , c, d} com 
probalidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1 respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento 
{b, c, d} e C o evento {d}. Então, 
 
P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4 
P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9 
P(C) = 0,1 
 
P(A’) = 0,6 
P(B’) = 0,1 
P(C’) = 0,9 
 
 
Eventos Complementares 
 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele 
ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que não ocorra (insucesso), para um mesmo 
evento existe sempre a relação: 
 
p + q = 1  q = 1 - p 
 
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele 
não ocorra é: 
 
q = 1 – p  q = 1 – 1/5 = 4/5 
 
Distribuições de Probabilidades 
 
Definições 
 
Variável aleatória (v.a) 
 
Uma v.a é uma função que confere um número real a cada resultado no espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
 
Variáveis aleatórias discretas e contínuas 
 
Uma v.a discreta é uma variável aleatória com uma faixa finita (ou infinita 
contável). Geralmente, são resultantes de contagens e só pode assumir valores 
inteiros. 
 
Ex: número de arranhões em uma superfície, quantidade de peças defeituosas em 
um lote. 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 5 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 5 
Uma v.a contínua é uma variável aleatória com um intervalo (finito ou infinito) de 
números reais. Geralmente, são resultantes de medições e pode assumir qualquer 
valor em um determinado intervalo. 
 
Ex: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso. 
 
Distribuição Binomial 
 
Um experimento Aleatório consiste em n tentativas de Bernoulli, de modo que: 
 
(1) As tentativas são independentes 
(2) Cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como 
“sucesso” e “falha” 
(3) A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p,permanecer 
constante. 
 
A variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um 
sucesso, é uma variável aleatória binomial com parâmetros 0 < p < 1 e n = 1,2,... 
 
A função de probabilidade de X é: 
 
)!(!
!
)(
knk
n
k
n
qp
k
n
KXP knk













 
 
 
Média e variância 
 
Se X for uma variável aleatória binomial com parâmetros p e n, 
 
)1()()( 2 pnpXVenpXE   
 
Exemplo: 
 
Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente 
orgânico. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença 
do poluente. Encontre a probabilidade de que nas próximas 18 amostras analisadas 
exatamente 2 contenham o poluente. 
 
Seja X = número de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 
amostras analisadas. Então X é a variável aleatória binomial com p= 0,1 e n = 18. 
 
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Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 6 
153
)!218(!2
!18
2
18
284,0)90,0()10,0(15390,010,0
2
18
)2( 1622182














 XP
 
 
a) Determine a probabilidade de que no mínimo quatro amostras contenham o 
poluente. 
 
b) Determine a probabilidade de que 3 ≤ X < 7. 
 
Exercícios: 
 
1) Qual é a probabilidade de obter 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda 
honesta? Qual é a probabilidade de obter menos que 3 caras em 5 lançamentos de 
uma moeda honesta? 
 
2) Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja 
¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas 
terem cabelos loiros? Qual o valor esperado e o desvio padrão? 
 
3) Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a 
probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? 
 
4) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de 
uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos 
defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos 
sejam defeituosos? 
 
5) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de 
um processo de fabricação que produz 85% de itensaceitáveis. Qual a 
probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? 
 
6) A probabilidade de os doentes não recuperarem de uma determinada doença é 
0,6. Escolhidos ao acaso 15 pessoas com a referida doença, determine a 
probabilidade de sobreviverem: 
 
a) exatamente 5 pessoas 
b) pelo menos 10 pessoas 
c) entre 3 e 5 pessoas (inclusive) 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 7 
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7) Prova: ESAF - 2008 - Prefeitura de Natal - RN - Auditor do Tesouro Municipal - 
Prova 1 
 
Numa distribuição Binomial, temos que: 
 
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de elementos da 
avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q - probabilidade contrária (q 
= 1 - p). 
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros n e 
p. 
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o 
quadrado da média. 
 
Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção correta é: 
 
(a) F, V, F 
(b) V, V, F 
(c) F, F, F 
(d) V, F, F 
(e) V, V, V 
 
8) Prova: FEPESE - 2010 - SEFAZ-SC - Auditor Fiscal da Receita Estadual - Parte I 
 
Uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial com os seguintes 
parâmetros: número de ensaios = 100; probabilidade de sucesso em cada ensaio = 
0,2. 
 
De acordo com essas informações, qual é o valor esperado de X? 
 
(a) 0,2 
(b) 0,8 
(c) 20 
(d) 80 
(e) 100 
 
 
9) Prova: CESGRANRIO - 2010 - BACEN - Analista do Banco Central - Área 3 
 
Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir. 
 
I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de 
probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável 
aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as 
quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero. 
 
II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou 
seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 8 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 8 
um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas 
respectivas probabilidades. 
 
III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma 
vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um 
Experimento de Bernoulli repetido n vezes. 
 
É correto APENAS o que se afirma em 
 
(a) II. 
(b) III. 
(c) I e II. 
(d) I e III. 
(e) II e III. 
 
10) (APO-SEPLAG RJ 2010/CEPERJ) Suponha que X tenha distribuição binomial com 
média igual a 24 e desvio-padrão igual a 4. Os parâmetros n e p dessa distribuição 
serão respectivamente: 
 
a) n= 48; p = 1/6 
b) n = 36; p = 2/3 
c) n = 72 ; p =2/3 
d) n = 48 ; p = 1/3 
e) n = 72; p = 1/3 
 
11) Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% 
têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 
indivíduos na amostra ter essa determinada posição política? 
 
12) A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20. Se uma 
amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de 
haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra? 
 
 
Distribuição Normal 
 
Definição 
Dizemos que uma v.a: X possui uma distribuição Normal (ou Gaussiana) com média 
 e variância 2 (  <  <  e 2 > 0) se X possuir uma distribuição 
contínua com função de densidade de probabilidade dada por: 
 
2
2
1
2
1
)(





 


 


x
exf para (  < x <  ) 
 
Distribuição Normal padrão 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 9 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 9 
A distribuição normal com média zero (  = 0) e variância um ( 2 = 1) é 
denominada distribuição normal padrão N (0; 1). 
 



X
Z 
 
Propriedades da distribuição normal 
 
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, 
simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que 
essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer 
valor real. 
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, 
aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor 
maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, 
isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva 
representa 50% de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição Normal como aproximação para a distribuição Binomial 
 
50% 50% 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 10 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 10 
 
Se uma distribuição binomial satisfaz as exigências de np5 e nq5, então a 
distribuição de probabilidade binomial pode ser aproximada por uma distribuição 
normal com média np e desvio padrão npq e com números inteiros 
discretos x ajustados pela correção de continuidade, de modo que x é representado 
pelo intervalo x - 0,5 a x + 0,5. 
 
 
 
Exemplo: 
 
Uma pesquisa recente mpstrou que, entre 2013 adultos selecionados 
aleatoriamente, 1358 (ou 67,5%) afirmaram ser usuários da Internet. Se a 
proporção de todos os adultos que usam a Internet for realmente 2/3, ache a 
probabilidade de que uma amostra aleatória de 2013 adultos resulte em 
exatamente 1358 usuários da Internet. 
 
Seja p = 2/3, logo q = 1 - p = 1/3. 
 
 
Passo 1: verificar se a aproximação da binomial pela normal é adequada? 
 
np = 2013 . 2/3 = 1342  np5 
nq = 2013 . 1/3 = 671  nq5 
 
Passo 2: encontrar os valores de np e desvio padrão npq necessários para 
a distribuição normal. 
 
1342
3
2
2013 





 np 
 
150256,21
3
1
3
2
2013 











 npq 
 
Passo 3: usando a correção de continuidade, representamos x = 1358 pela região 
entre 1357,5 e 1358,5. 
 
Passo 4: encontrar a diferença entre as duas áreas. 
 
 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 11 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 11 
78,0
150256,21
13425,1358


z 
 
z = 0,78 corresponde à probabilidade de 0,7823 que é a área total à esquerda de 
1358,5. 
 
73,0
150256,21
13425,1357


z 
 
z = 0,73 corresponde à probabilidade de 0,7673 que é a área total à esquerda de 
1357,5. 
 
Logo, a área entre entre 1357,5 e 1358,5 é 0,7823 – 0,7673 = 0,0150. 
 
Exercícios 
1) Prova: FGV - 2010 - SEAD-AP - Auditor da Receita do Estado - Prova 1 
Em relação à distribuição normal, assinale a afirmativa incorreta. 
(a) a função de densidade de probabilidade é simétrica em relação à média. 
(b) se X tem distribuição normal com média  e variância
2 então a variável 
2


X
Z
 tem distribuição normal padrão. 
 
(c) a probabilidade de que uma variável Z que tenha distribuição normal padrão 
seja maior do que 5 é aproximadamente igual a 0. 
 
(d) a média de uma variável aleatória que tenha distribuição normal pode ser 
negativa. 
 
(e) o valor da mediana é igual ao valor da média. 
 
 
2) Prova: CESGRANRIO - 2010 - BACEN - Analista do Banco Central - Área 4 
 
Estima-se que os retornos de um determinado mercado tenham distribuição 
normal, com média 20% e desvio padrão 10%. A probabilidadede perdas 
financeiras é de, aproximadamente, 
 
(a) 1% (b) 2,5% (c) 5% (d) 10% (e) 20% 
 
3) Prova: CESGRANRIO - 2010 - IBGE - Analista de Sistemas - Desenvolvimento de 
Aplicações 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 12 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 12 
Seja H a variável aleatória que representa as alturas dos cidadãos de certo país. 
Sabe-se que H tem distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. 
A probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de altura 
é, aproximadamente, 
 
(a) 9,9% (b) 10,6% (c) 22,2% (d) 39,4% (e) 40,6% 
 
 
4) Prova: CESGRANRIO - 2007 - TCE Estatístico – RO 
 
O gasto médio dos clientes de um posto de gasolina é uma variável aleatória 
normal com média R$ 100,00 e desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais 
consomem recebem um tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, 
calibragem nos pneus e verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar 
nesse posto de gasolina, em reais, para obter tratamento VIP? 
 
(a) 158,00 (b) 149,00 (c) 141,00 (d) 132,00 (e) 128,00 
 
Prova: FGV - 2006 - Fiscal de ICMS do Mato Grosso do Sul 
 
5) Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de X > 
6 vale, aproximadamente: 
 
(a) 0,25 (b) 0,28 (c) 0,33 (d) 0,37 (e) 0,46 
 
6) Prova: FCC - 2010 - SEFAZ-SP - Analista em Planejamento, Orçamento e 
Finanças Públicas - Prova 1 / Estatística 
 
Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam 
uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 
160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e 
inferiores a R$ 1.520,00 é 
 
(a) 98% (b) 96% (c) 92% (d) 89% (e) 87% 
 
7) (APO-SEPLAG RJ 2010/CEPERJ) 
Uma pesquisa revelou que, no último concurso da SEPLAG, a distribuição dos 
tempos gastos pelos candidatos para concluírem a prova foi normalmente 
distribuído, com uma média de 136 minutos e uma variância de 64 minutos². 
Sabendo que que Z é a variável correspondente à distribuição normal padronizada, 
com média zero e desvio padrão unitário, e ainda que P(z<-2) = 0,0228 e que 
P(Z<-0,5) = 0,3085, a probabilidade de que um candidato qualquer, escolhido 
aleatoriamente, tenha concluído a prova num tempo entre 2 horas e 2,2 horas, é, 
aproximadamente, igual a: 
 
(a) 33,13% (b) 28,57% (c) 47,72% (d) 19,15% (e) 21,43% 
 
8) Prova: CESGRANRIO - 2010 - IBGE – Estatístico 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 13 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 13 
 
Suponha que as notas dos candidatos de um concurso público, em uma certa prova, 
sigam distribuição normal com média 7 e desvio padrão 1. A relação 
candidato/vaga é de 40 para 1. A nota mínima necessária para aprovação nessa 
prova é: 
 
(a) 8,65 (b) 8,96 (c) 9,37 (d) 9,58 (e) 9,75 
 
 
9) Prova: CESGRANRIO - 2008 – PETROBRAS - Engenheiro de Petróleo Júnior 
 
Em um concurso público serão chamados para contratação imediata 20% dos 
candidatos com as maiores notas. As notas obtidas seguem uma distribuição 
normal com média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o candidato seja 
chamado para contratação imediata é,aproximadamente, 
 
(a) 7,0 (b) 7,5 (c) 8,0 (d) 8,5 (e) 9,0 
 
10) Prova: CESGRANRIO – 2004 – Estatístico - Pref. Manaus/AM 
 
Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que 
X>5, aproximadamente vale: 
 
(a) 0,25 (b) 0,28 (c) 0,33 (d) 0,37 (e) 0,46 
 
11) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico - MPE/RO 
 
Se X tem distribuição normal com média 10 e variância 4, a probabilidade de que X 
> 11, aproximadamente, vale: 
 
(a) 0,25 (b) 0,28 (c) 0,33 (d) 0,31 (e) 0,46 
 
12) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico Júnior - PETROBRAS 
 
Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 4, a probabilidade de que X 
> 6 vale, aproximadamente 
 
(a) 0,16 (b) 0,28 (c) 0,33 (d) 0,37 (e) 0,46 
 
13) Prova: CESGRANRIO – 2010 – Químico do Petróleo 
 
As medidas de volume de enchimento de uma máquina de envase de óleo 
lubrificante apresentam distribuição normal, com média de 500 ml e variância de 4 
ml2. A especificação estabelece um volume de (500 +/- 5) ml. Qual a probabilidade 
de o volume envasado ficar fora da especificação? 
 
(a) 0,62% (b) 1,24% (c) 10,56% (d) 21,12% (e) 78,87% 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 14 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 14 
14) A resistência à compressão de uma amostra de cimento pode ser modelada por 
uma distribuição normal com uma média de 6.000 quilogramas por centímetro 
quadrado e um desvio padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado. 
Qual o valor da resistência máxima, em Kg/cm2 , que é excedida por 97,5% das 
amostras? 
 
(a) 6.196 (b) 6.165 (c) 5.835 (d) 5.804 (e) 5.700 
 
ESTIMAÇÃO 
 
Conceitos: 
 
Parâmetros: são as medidas estatísticas calculadas para a população, como por 
exemplo: média aritmética (), desvio padrão (), variância absoluta (²), proporção 
(), etc . 
 
Estatísticas amostrais: são as medidas estatísticas calculadas para a amostra, como 
por exemplo: média aritmética ( x ),desvio padrão (s), variância absoluta (s²), proporção 
(p), etc . 
 
Estimação: é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para obter valores de 
parâmetros populacionais desconhecidos. 
 
Estimador: é toda a estatística amostral que tem um correspondente parâmetro na 
população. Por exemplo: x é um estimador de ; s é um estimador de ; e assim por 
diante. 
Estimador não tendencioso: Se  é um parâmetro, e 

 seu estimador , dizemos que 

 é um estimador não tendencioso de  se E(

 ) = . 
 
Estimativa: é o valor numérico do estimador. 
 
ESTIMATIVAS 
 
As estatísticas amostrais são usadas como estimadores de parâmetros populacionais. As 
estimativas obtidas podem ser pontuais ou intervalares: 
 
Estimativa pontual: O parâmetro é estimado unicamente pelo valor do estimador. É 
um único valor usado para aproximar um parâmetro populacional. 
 
Ex: um carro popular faz 15 Km por litro de combustível 
 
Intervalo de Confiança (IC) ou Estimativa intervalar: O parâmetro é estimado 
através de um intervalo de valores, onde o estimador é o seu valor central. É uma faixa 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 15 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 15 
ou intervalo de valores usada para se estimar o verdadeiro valor de um parâmetro 
populacional. 
 
Ex: um carro popular faz de 12 a 18 Km por litro de combustível 
 
O Nível de confiança é a probabilidade (1 - ) é a proporção de vezes que o intervalo 
de confiança realmente contém o parâmetro populacional, supondo que o processo de 
estimação seja repetido um grande numero de vezes. O nível de confiança é também 
chamado grau de confiança ou coeficiente de confiança. 
 
 – complemento do nível de confiança. 
 
As escolhas mais comuns para o nível de confiança são 90% ( = 0,10), 95% ( = 0,05) 
e 99% ( = 0,01). 
 
 
 
 A Distribuição normal pode ser utilizada, nesse caso, sempre que tivermos uma 
das seguintes situações: 
 
 1ª - se n  30, conforme o Teorema do Limite Central. 
 2ª - se n < 30, sendo a população estudada normalmente distribuída e o 
desvio padrão populacional  conhecido. 
 
 Definimos Zc como coeficiente de confiança, que é o valor obtido através da 
distribuição normal com o nível de confiança especificado. 
 
A tabela seguinte apresenta os valores mais usados do nível de confiança e seu 
respectivo coeficiente de confiança: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de Confiança 
Nível de confiança (1 
- ) 
Zc 
0,90 1,65 
0,95 1,96 
0,99 2,58 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança– Profº Celso Brazil 16 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 16 
 
Interpretação correta: estamos 95% confiantes de que o intervalo x-E a x+E contém o 
verdadeiro valor do parâmetro populacional 
 
Intervalo de confiança para a proporção populacional p 
 
n
qp
zEondeEppEp
^^
2
^^
 
 
O intervalo de confiança é, em geral, escrito nos seguintes formatos equivalentes: 
 
 
),(
^^^
EpEpouEp  
 
 
Tamanho amostral para estimar a proporção p 
 
Quando uma estimativa 
^
p é conhecida: 
 
2
^^
2
2
][
E
qpz
n

 
 
Quando não se conhece qualquer estimativa 
^
p : p = q = 0,50 
 
2
2
2
25,0.][
E
z
n

 
 
* se o tamanho amostral não for um número inteiro deverá ser arredondado para o 
inteiro maior mais próximo. 
 
Ex: n calculado = 39,1  arredondar para 40. 
 
Exercícios 
 
1) Prova: FGV - 2009 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1 
 
Para examinar a opinião de uma população sobre uma proposta, foi montada uma 
pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pessoas, das quais 51,3% se 
declararam favoráveis à proposta. Os analistas responsáveis determinaram que a 
margem de erro desse resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 
pontos percentuais, para mais ou para menos. Considerando que fosse desejada uma 
margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou para menos, no mesmo nível de 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 17 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 17 
confiança, assinale a alternativa que indique o número de pessoas que deveriam ser 
ouvidas. 
 
(a) 840 (b) 2520 (c) 3360 (d) 5040 (e) 6720 
 
 
2) Prova: CESGRANRIO – 2004 – Estatístico – Pref. Manaus 
 
O tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 90% 
de confiança e erro de 2 pontos percentuais, a proporção de estudantes com problemas 
de visão e que não usam lentes corretoras, aproximadamente, vale: 
 
(a) 912 (b) 1200 (c) 1692 (d) 4500 (e) 9898 
 
3) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico – MPE/RO 
 
Uma amostra aleatória de 400 eleitores revelou 64% de preferências pelo candidato X. 
O intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores que preferem X é: 
 
(a) 0,64 ± 0,047 (b) 0,64 ± 0,052 (c) 0,64 ± 0,056 (d) 0,64 ± 0,064 
(e) 0,64 ± 0,085 
 
4) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico Jr - Petrobrás 
 
Qual é o tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, 
com 95% de confiança e erro máximo de 2 pontos porcentuais, a proporção de eleitores 
que pretendem votar no candidato X? 
 
(a) 2 500 (b) 2 401 (c) 1 692 (d) 1 200 (e) 912 
 
5) Prova: CESGRANRIO – 2009 – Estatístico - FUNASA 
 
Numa região afetada por um surto epidêmico, selecionou-se uma amostra de 2.500 
indivíduos, tendo-se encontrado 500 contaminados. 
O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira e desconhecida proporção 
populacional é, aproximadamente: 
 
(a) 20% ± 1% (b) 20% ± 2% (c) 20% ± 3% (d) 20% ± 4% 
(e) 20% ± 5% 
 
5.1) Usando o nível de confiança de 95%, o tamanho mínimo de amostra, necessário 
para estimar a proporção da população contaminada, com um erro de 5%, é: 
 
(a) 125 (b) 173 (c) 246 (d) 256 (e) 500 
 
 
 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 18 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 18 
6) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico – SEAD/AM 
 
Amostra aleatória de 900 consumidores de detergentes revelou 36% de preferência pela 
marca X. O intervalo de 95% de confiança para a preferência, na população, pela marca 
X é: 
 
(a) 36% ± 1% (b) 36% ± 2% (c) 36% ± 3% (d) 36% ± 4% 
(e) 36% ± 5% 
 
7) Prova: CESGRANRIO – 2007 – Estatístico – TCE/RO 
 
Recente pesquisa para avaliar o percentual de eleitores favoráveis a um candidato a 
senador foi realizada de acordo com um plano de amostragem aleatória simples, sendo 
a amostra extraída de uma população infinita. O resultado apontou uma intenção de 
votos no candidato na ordem de 45%.Considerando que a margem de erro foi de 2 
pontos percentuais, para mais ou para menos, quantos eleitores foram ouvidos, se o 
nível de confiança utilizado foi de 95%? 
(a) 1247 (b) 1684 (c) 1820 (d) 2377 (e) 2642 
 
8.1) Caso uma amostra de 100 eleitores fosse utilizada, o intervalo aproximado de 95% 
de confiança para a preferência dos eleitores nesse candidato seria: 
 
(a) 45% ± 6% (b) 45% ± 8% (c) 45% ± 10% (d) 45% ± 12% (e) 45% ± 14% 
 
 
 
Estimação da média populacional: conhecido 
 
),(
2
ExExou
Exou
n
zEondeExEx




 
 
 
Tamanho amostral para estimar a média µ 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 19 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 19 
desejadaerrodeemmE
alpopulacionpadrãodesvio
desejadoconfiançadenívelnobasecomcríticozescorez
onde
E
z
n
arg
,
2
2
2
















 
 
* se o tamanho amostral não for um número inteiro deverá ser arredondado para o 
inteiro maior mais próximo. 
 
Exercícios: 
 
1) Prova: CESGRANRIO – 2010 – Estatístico – IBGE 
 
 
Considere uma amostragem aleatória simples, sem reposição, de uma população de 
tamanho muito grande. Qual o tamanho aproximado de amostra que permite estimar a 
média de uma variável y, cujo desvio padrão populacional é igual a 5, com margem de 
erro 0,1, a um nível de confiança 95%? 
 
(a) 98 (b) 400 (c) 1.000 (d) 4.952 (e) 9.604 
 
 
2) Prova: FGV - 2011 - Secretaria de Estado de Fazenda - Rio de Janeiro - Auditor Fiscal 
da Receita Estadual - Prova Objetiva 1 
 
Um processo X segue uma distribuição normal com média populacional desconhecida, 
mas com desvio-padrão conhecido e igual a 4. Uma amostra com 64 observações dessa 
população é feita, com média amostral 45. Dada essa média amostral, a estimativa da 
média populacional, a um intervalo de confiança de 95%, é: 
 
(a) (41;49). (b) (37;54). (c) (44,875;45,125). (d) (42,5;46,5). (e) (44;46). 
 
 
3) Prova: FGV - 2010 - Secretaria de Estado da Administração - Amapá - Fiscal da 
Receita Estadual 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 400 de uma variável populacional 
normalmente distribuída com média  desconhecida e variância igual a 25 foi 
observada e indicou uma média amostral igual a 12,52. O intervalo de 95% de confiança 
para  é dado por: 
 
(a) (12,03 , 13,01) (b) (11,65 , 13,39) (c) (10,99 , 15,05) (d) (10,44 , 15,60) 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 20 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 20 
(e) (9,99 , 16,05) 
 
4) Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas 
condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 
4. 
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores: 
 
7,9 6,8 5,4 7,5 7,9 6,4 8,0 6,3 4,4 5,9 
 
 
(a) Calcule a estimativa pontual da média populacional, com base nesta amostra. 
(b) Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente 
de confiança de 90%. 
(c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a 
resistência média, não seja superior a 0,3 unidades com probabilidade 0,90? E se 
quiséssemos um erro máximo de 0,1 unidades com a mesma probabilidade? 
 
5) Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de equipamento. Admita-
se que 100 peças sejam ensaiadas, fornecendo uma duração de vida média de 501,2 
horas. Suponha-se que o desvio padrão populacional seja conhecido e igual a 4 
horas, e que se deseje obter um intervalo de confianças de 95 por cento para a 
média. 
 
6) O secretário de habitação de um governo estadual deseja estudar várias 
características correspondentes a domicílios unifamiliaresna cidade. Uma amostra 
aleatória de 70 casas revela o seguinte: 
 
- Área aquecida da casa (em metros quadrados): média=1759; desvio padrão=380 
 
(a) desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, da população 
correspondente á área aquecida média da casa. 
 
(b) desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 99%, da população 
correspondente á área aquecida média da casa. 
 
7) Determine o tamanho da amostra necessário para se estimar a média de uma 
população normal com σ = 4, 2 para que, com confiança de 95%, o erro máximo de 
estimação seja ±0, 05. 
 
8) Um provedor de acesso É internet deseja implantar um plano sem limite de horas. 
Para isso, verificou numa amostra de n = 35 usuários os tempos de utilização 
mensal, obtendo: média amostral 26,8 horas. Sabendo que a variância populacional 
é de 6,25 horas² 
 
a) Encontre um intervalo de confiança 90% para a média. 
b) De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que, mantidas as 
demais medidas, o comprimento do intervalo caia pela metade? 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 21 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimação da média populacional: desconhecido 
 
studentdetãodistribuiçt
liberdadedegrausntemt
ExExou
Exou
n
s
tEondeExEx
.1
),(
2
2






 
 
 
Exercícios: 
 
1) Prova: CESGRANRIO – 2004 – Estatístico – Pref. Manaus 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 16 foi selecionada para estimar a média 
desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 5,2 e a 
variância foi 1,44. 
 
 
 
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: 
 
(a) 5,2 0,59 (b) 5,2 0,64 (c) 5,2 0,71 (d) 5,2 0,75 (e) 5,2 0,81 
 
 
2) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico – MPE/RO 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média e a 
variância desconhecidas de uma população normal. A média amostral encontrada foi 5,2 
e a variância amostral foi 1,44. 
 
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 22 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 22 
(a) 5,2 ± 0,32 (b) 5,2 ± 0,41 (c) 5,2 ± 0,47 (d) 5,2 ± 0,50 (e) 5,2 ± 0,75 
 
3) Prova: CESGRANRIO – 2005 – Estatístico – SEAD/AM 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 16 foi selecionada para estimar a média 
desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,8 e a 
variância amostral foi 1,96. 
 
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: 
 
(a) 4,8 0,59 (b) 4,8 0,64 (c) 4,8 0,71 (d) 4,8 0,75 (e) 4,8 0,81 
 
4) 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão onde foram 
submersos em água salgada durante 60 segundos/dia. A corrosão foi medida pela 
perda de peso em miligramas/decâmetro quadrado/dia (MDD). Os dados obtidos 
foram: 
 
130,1; 124,2; 122,0; 110,8; 113,1; 103,9; 101,5; 92,3; 91,4; 83,7. 
 
a) Encontre estimativas para a média e variância para a perda de peso em 
MDD. 
 
b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média. 
 
5) Os salários dos funcionários de uma obra têm uma distribuição aproximadamente 
normal. Para estimar o salário médio desta população, foram observados os salários 
de 20 funcionários, obtendo-se média igual a 1.850 reais e s = 120 reais. Determine: 
 
a) Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
b) Um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. 
 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES 
 
Hipótese estatística: uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros 
de uma ou mais populações. Um teste de hipótese (ou teste de significância) é um 
procedimento padrão para se testar uma afirmativa sobre uma propriedade da 
população. 
 
Hipótese nula (H0) é uma afirmativa de que o valor de um parâmetro populacional é 
igual a algum valor específico. Ex: 
 
Ex: H0: p = 0,5 H0:  = 98,6 H0:  = 15 
 
Hipótese alternativa (H1) é a afirmativa de que o parâmetro tem um valor que 
difere da hipótese nula. 
Ex: 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 23 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 23 
H1: p > 0,5 H1: p < 0,5 H1: p  0,5 
H1:  > 98,6 H1:  < 98,6 H1:   98,6 
H1:  > 15 H1:  < 15 H1:   15 
 
 
Erro Tipo I: A rejeição da hipótese nula H0 quando ela for verdadeira é definida 
como um do erro Tipo I. 
 
Erro Tipo II: A falha em rejeitar a hipótese nula H0 quando ela for falsa é definida 
como um erro do Tipo II. 
 
Decisões no Teste de Hipóteses 
 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Falha em rejeitar H0 
 
Nenhum erro Erro Tipo II 
Rejeita H0 
 
Erro Tipo I Nenhum erro 
 
Probabilidade Erro Tipo I 
 
α = P (erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira ) 
 
Algumas vezes, a probabilidade do erro tipo I é chamada de nível de significância 
ou erro α ou tamanho do teste. 
 
Probabilidade Erro Tipo II 
 
β = P (erro tipo II) = P(falha em rejeitar H0 quando H0 for falsa ) 
 
Estatística de Teste é um valor usado para se tomar a decisão sobre a hipótese 
nula. 
 
 
Estatística de Teste para a proporção 
n
pq
pp
Z


^
 
 
Estatística de Teste para a média 
n
X
Z

0 ou 
n
s
X
t 0

 
 
Estatística de Teste para o desvio padrão 
2
2)1(

sn
Z

 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 24 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 24 
Região crítica (região de rejeição) é o conjunto de todos os valores da estatística de 
teste que nos faz rejeitar a hipótese nula. 
 
 
Bilateral, Unilateral à Esquerda, Unilateral à Direita 
 
Teste bilateral: a região critica está nas duas regiões extremas sob a curva. 
Teste unilateral à esquerda: a região critica está na região extrema esquerda sob a 
curva. 
Teste unilateral à direita: a região critica está na região extrema direita sob a 
curva. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
H0 : µ = 50 centímetros 
H1 : µ≠ 50 centímetros 
 
Suponha que uma amostra de n = 10 seja selecionada e que a média da amostra 
X seja observada. Suponha que, se 5,515,48  x , não rejeitaremos a hipótese 
nula H0 : µ = 50, e se 5,48x ou 5,51x , rejeitaremos a hipótese nula em favor da 
hipótese alternativa H1 : µ≠ 50. 
 
região de aceitação: 5,515,48  x 
região crítica: 5,48x ou 5,51x 
valores críticos: 48,5 e 51,5. 
Suponha que o desvio padrão seja = 2,5. 
 
Os valores de z que correspondem aos valores críticos 48,5 e 51,5 são: 
 
90,1
10
5,2
505,48
1 

Z 90,1
10
5,2
505,51
2 

Z 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 25 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 25 
α = P (z < -1,90) + P (z > 1,90) = 0,0287 + 0,0287 = 0,0574 = 5,74% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular β temos que ter uma hipótese alternativa específica, ou seja, temos 
de ter um valor particular de µ. Suponha que rejeitaremos a hipótese nula µ = 50 
toda vez que µ for maior do que 52 ou menor do que 48. 
 
Potência ou poder do teste (1 – β): a potência de um teste estatístico é a 
probabilidade de rejeitar a hipótese nula H0 quando a hipótese alternativa for 
verdadeira. 
 
Exercícios 
 
1) A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa certa usina permanecia 
estável, com uma resistência média de 72 kg/mm² e um desvio-padrão de 2,0 
kg/mm² com distribuição normal. Recentemente a máquina foi ajustada. A fim de 
determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. Os testes apresentaram 
resistência média de 75 kg/mm2. Considere que o desvio-padrão não mudou. Com 
base nesses dados responda: 
a. Com um nível de significância de 5% é possível afirmar que ovalor médio não 
mudou? (Passos: defina as hipóteses, faça o teste, tome a decisão). 
 
2) Uma empresa comercializa um produto e alega ser eficiente pelo prazo de 400 
horas no mínimo. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou 
uma média de eficiência de 380 horas. 
 
a. Teste a afirmação da empresa, contra a alternativa que a duração é inferior a 
400 horas, ao nível de significância de 1%, se o desvio-padrão amostral é de 60 
horas (considere distribuição normal). (Passos: defina as hipóteses, faça o teste, 
tome a decisão) 
 
3) Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu 
inspecionar 200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar 
convencido, ao nível de 5% de significância, de que a proporção de peças 
µ=5048,5 51,5
α/2=0,0287 α/2=0,0287
µ=5048,5 51,5
α/2=0,0287 α/2=0,0287
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 26 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 26 
defeituosas no lote é superior a 4%. Qual será sua decisão (aceitar ou rejeitar o 
lote) se na amostra foram encontradas onze peças defeituosas?(Passos: defina 
as hipóteses, faça o teste, tome a decisão). 
 
4) Um revendedor de lâmpadas recebeu um grande carregamento de um 
fabricante, que afirma que as lâmpadas têm uma vida média de 1120 horas. 
Uma amostra com 8 lâmpadas extraída deste carregamento apresentou média 
amostral de 1070 horas e s= 125 horas. Os dados indicam que a vida média das 
lâmpadas recebidas é menor do que 1120 horas anunciadas? Realize o teste 
com 5% de nível de significância 
 
5) Uma empresa produz itens em embalagens de 500g. Para verificar se a máquina 
de empacotar está trabalhando corretamente o controle de qualidade tomou 
uma amostra de 50 embalagens, que apresentou uma média amostral de 475g e 
desvio padrão amostral de 30g. Os dados obtidos proporcionam evidências 
suficientes para concluir que a máquina de empacotar não está trabalhando 
adequadamente (ou seja, a máquina empacota com pesos diferentes do 
proposto)? Realize o teste com α = 0,01. 
 
6) Um revendedor de baterias recebeu um grande carregamento de um fabricante, 
que afirma que as baterias têm uma vida média de 1200 horas. Uma amostra 
com 10 baterias extraída deste carregamento apresentou média amostral de 
1280 horas e s= 120 horas. Os dados indicam que a vida média das baterias 
recebidas é maior do que 1200 horas anunciados? Realize o teste com 1% de 
nível de significância. 
 
7) Um processo deveria produzir mesas com 0,85 m de altura. O engenheiro 
desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são diferentes que o 
especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou média igual a 0,84 
m. Sabendo que o desvio padrão é de 0,010m, teste a hipótese do engenheiro 
usando um nível de significância de 0,05. 
 
 
8) Um fabricante afirma que no máximo 10% dos seus produtos são defeituosos. 
Um órgão de defesa do consumidor testa uma amostra de 81 desses itens, 
detectando 13,8% de defeituosos. Encontre a região crítica para um nível de 
significância de 5%. Calcule o p_Valor. 
 
 
9) Em uma pesquisa com 800 estudantes universitários, 385 afirmaram possuir 
computador. Teste a hipótese de que pelo menos 50% dos estudantes 
universitários possuem computador. Use α = 0, 10. 
 
10) Uma pesquisa entre 700 trabalhadores revela que 158 obtiveram seus 
empregos por meio de indicações de amigos ou parentes. Teste a hipótese de 
que mais de 20% dos trabalhadores conseguem seus empregos por indicação de 
amigos ou parentes, utilizando 5% como nível de significância. 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 27 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 27 
 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 28 
Probabilidade / Teste de Hipótese / Intervalo de Confiança – Profº Celso Brazil 28