Estatística Aplicada à gestão

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E S T A T Í S T I C A 
 
A P L I C A D A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E D U A R D O L U I Z H O E H N E 
 
 E S T A T Í S T I C O 
 
 
 
 
 
 
2 0 1 1 
 
 
 1 
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS E NUMÉRICAS 
 
 
Arredondamento de decimais 
 
 A regra usada para se arredondar um número para uma casa decimal é que se o segundo 
dígito à direita da vírgula é: 
  4 ou menos, ele é simplesmente esquecido, e o primeiro dígito à direita da vírgula 
continua o mesmo (exemplo: 1,74  1,7); 
  5 ou mais, então, o primeiro dígito à direita da vírgula é acrescido de um 
(exemplos: 2,87  2,9 e 1,98  2,0). 
 
 Para se arredondar para duas ou mais casas decimais a regra é a mesma, devendo ser 
observado o dígito seguinte daquele que se deseja arredondar (caso se deseje arredondar para duas 
casas decimais, observar o terceiro; caso se deseje arredondar para três casas decimais, observar o 
quarto dígito, e assim por diante). 
 
 
Frequência Relativa 
 
 É a proporção de elementos de cada categoria. Supondo, como exemplo, que em uma 
empresa trabalhem 163 pessoas do sexo feminino e 137 do sexo masculino. Seja a frequência 
relativa do sexo feminino denotada por x e a do sexo masculino por y. Como o total das frequências 
absolutas vale 300 (163+137) e o total das frequências relativas vale 100%, então: 
 
300  100% 
163  x 
 
...%333,54 
3
163
 
300
100.163
 100.163300  xxxx
 
 
300  100% 
137  y 
 
...%666,45 
3
137
 
300
100.137
 100.137300  yyyy
 
 
Arredondando os resultados para uma casa decimal, tem-se que: x  54,3% e y  45,7%. 
 
Nesse caso, como há somente duas categorias, há outro modo de cálculo para as frequências 
relativas: bastaria encontrar uma frequência relativa pelo método descrito acima e subtrair o 
resultado de 100% (ou seja, como x  54,3%, então y  100,0% - 54,3%  45,7%). 
 
Portanto, há na empresa, aproximadamente, 54,3% de mulheres e 45,7% de homens. 
 
 2 
Somatórios 
 
 
 Tem-se que uma aluna fez 4 provas, obtendo as seguintes notas: 3, 7, 9 e 6. 
 
 Pode-se chamar nota de “variável X” (maiúscula) e os valores que ela assume de “x” 
(minúscula). Assim, 
6 9 ,7 ,3 4321  xexxx
; onde o índice (i) dos valores de x varia de 1 
até 4. 
 
 
Soma 



n
i
ix
1
 
 (o símbolo  é a letra grega sigma maiúscula). 
A soma dessas notas pode ser escrita por 


4
1i
ix
 (lê-se: “somatório de 
ix
, para i variando de 1 a 4”). 
Portanto, 
2569734321
4
1


xxxxx
i
i
. 
 
 
Quadrado da Soma: é a soma elevada ao quadrado 2
1






 

n
i
ix
 
No caso das notas, o resultado é: 
  62525224321
2
4
1








xxxxx
i
i
. 
 
 
Soma dos Quadrados: os quadrados devem ser somados



n
i
ix
1
2
 
Então, nesse caso: 
17536814996973 222224
2
3
2
2
2
1
4
1
2 

xxxxx
i
i
. 
 
 
Soma de Produtos: os produtos são somados



n
i
ii y.x
1
 
 
Seja o exemplo: 
 
x 
 
1 
 
3 
 
2 
 
Então, 
292270129301
332211
3
1



...
y.xy.xy.xy.x
i
ii
 
 
y 
 
0 
 
9 
 
1 
 
 
 3 
Intervalos 
 
 
 No intervalo a | b (lê-se: “intervalo fechado em a e aberto em b”) estão contidos todos os 
valores entre a (inclusive) e b (exclusive). 
 
Exemplo: O intervalo 7 | 11 contém todos os valores entre 7 (inclusive) e 11 (exclusive). 
 
 
 
 
Tipos de Variáveis 
 
 
 Antes de se começar a análise de um conjunto de dados, é necessário saber quais são os tipos 
das variáveis que se deseja trabalhar; há dois tipos: as variáveis qualitativas e as variáveis 
quantitativas. 
 
 A variável será qualitativa quando se distribui em categorias. Ela pode ser: nominal, para a 
qual não há ordenação (exemplos: sexo, cor de automóveis, lucro em aplicação financeira) ou 
ordinal, para a qual existe uma certa ordem (exemplos: escolaridade  fundamental, médio, 
superior). 
 
 A variável quantitativa é uma medida. Ela pode ser: discreta, cujos possíveis valores formam 
um conjunto enumerável (Ex.: número de itens defeituosos  0, 1, 2,...) ou contínua, cujos 
possíveis valores formam um intervalo de números reais (Ex.: volume médio diário de vendas, 
peso, altura). 
 
 
Obs.: Toda variável cujas categorias forem somente “sim” ou “não” é classificada como qualitativa 
nominal. 
 
 
 
 
 4 
APRESENTAÇÃO TABULAR 
 
 
 Uma tabela estatística pode ser definida, de modo geral, como um resumo de dados 
numéricos dispostos em linhas e colunas para fins de comparação. Toda tabela deve ter significado 
próprio, não sendo necessárias consultas ao texto onde esteja inserida. 
 
 Seja o seguinte exemplo: em março de 2011, havia 92 mulheres e 87 homens matriculados 
como alunos do curso X da Faculdade Y, segundo a secretaria da faculdade. 
 
 
Para tabular esses dados, deve-se: 
 
1) Identificar a variável e seu respectivo tipo. 
 variável: sexo tipo: qualitativa nominal 
 
 
2) Escrever “Feminino” e “Masculino” em coluna. Na respectiva linha, escrever o número de 
indivíduos de cada sexo. 
 
Feminino 92 
Masculino 87 
 
Obs.: Como a variável é qualitativa nominal, as categorias poderiam estar em qualquer ordem. 
 
 
3) Escrever sobre cada coluna o que ela contém. 
 
Sexo Frequência 
Feminino 92 
Masculino 87 
 
 
4) Fazer traços horizontais. Evite os traços verticais. 
 
Sexo Frequência 
Feminino 92 
Masculino 87 
 
 5 
 
5) Colocar o título, na parte superior. 
 
Obs.: O título explica o que a tabela contém. No caso da coleta de dados, ele deve responder a três 
perguntas: “o que?”, “onde?” e “quando?”. 
 
 
Distribuição dos alunos, segundo o sexo, do curso X da 
Faculdade Y, em março de 2011 
Sexo Frequência 
Feminino 92 
Masculino 87 
 
 
 
 A tabela pode conter outros componentes, como: fonte, total e frequências relativas. 
 
frequência relativa do sexo feminino: 
179  100% 
 92  x 
 
%4,51 
179
100.92
 100.92179  xxx
 
 
frequência relativa do sexo masculino: y  100,0% - 51,4%  48,6% 
 
 
Obs.: Quando houver mais de uma tabela no mesmo trabalho, elas devem ser numeradas. 
 
 
 
Tabela 1 – Distribuição dos alunos, segundo o sexo, do curso X da Faculdade Y, em março de 2011 
Sexo Frequência Frequência Relativa (%) 
Feminino 92 51,4 
Masculino 87 48,6 
Total 179 100,0 
 
Fonte: Secretaria da Faculdade Y 
 
 6 
Tabela de Distribuição de Frequências 
 
 Quando os valores são inteiros e se repetem pode ser organizada uma tabela denominada 
Tabela de Distribuição de Frequências. 
 
Exemplo: Quantidade de acidentes de trabalho, em 2010, em uma amostra de microempresas do 
município X: 3; 0; 1; 0; 3; 2; 1; 1; 0; 3; 0; 0; 4; 0; 1; 2; 0; 0; 3; 1; 0. 
 
 Para se construir a Tabela de Distribuição de Frequências, deve-se: 
 
1) Identificar a variável e seu respectivo tipo. 
 variável: quantidade de acidentes de trabalho tipo: quantitativa discreta2) Encontrar o menor e o maior números: 
 0 é o menor e 4 é o maior. 
 
3) Escrever números inteiros consecutivos, em coluna, e contar quantas vezes cada um aparece. 
 0 9 
 1 5 
 2 2 
 3 4 
 4 1 
 
4) Organizar a tabela. 
 
Tabela 2 – Distribuição da quantidade de acidentes de trabalho em uma amostra de microempresas 
do município X, em 2010 
Acidentes de trabalho Frequência Frequência Relativa (%) 
 0 9 42,9 
 1 5 23,8 
 2 2 9,5 
 3 4 19,0 
 4 1 4,8 
 Total 21 100,0 
 
 
Obs.: Suponha que a pessoa responsável pela elaboração da tabela foi a mesma que coletou os 
dados. Nesse caso, não há necessidade de se colocar a fonte. 
 
 7 
Tabela para Dados Agrupados 
 
 Os dados também podem ser organizados em faixas ou classes. 
 
Exemplo: Salários, em reais, de uma amostra de empregados da Empresa A, em janeiro de 2011: 
 1521 2575 5507 3842 6478 4250 2867 3328 1075 2749 
 3756 2409 1872 2645 2903 3229 1654 5703 2687 1950 
 
Obs.: A variável é “salário”, que é quantitativa contínua. 
 
 
Para se organizar os dados em classes, é necessário, primeiramente, definir os intervalos de cada 
uma; a seguir, se faz a contagem dos indivíduos em cada classe e se constrói a tabela. 
 
Tabela 3 – Salários de uma amostra de empregados da Empresa A, em janeiro de 2011 
Salário (R$) Frequência Frequência Relativa (%) 
1000 | 2000 5 25,0 
2000 | 3000 7 35,0 
3000 | 4000 4 20,0 
4000 | 5000 1 5,0 
5000 | 6000 2 10,0 
6000 | 7000 1 5,0 
Total 20 100,0 
 
Fonte: Departamento de Recursos Humanos da Empresa A 
 
 
Tabela de Contingência ou Tabela de Dupla Entrada 
 
 Utilizada para dados classificados de acordo com duas variáveis. Como exemplo, tem-se: 
 
Tabela 4 – Distribuição da população com 18 anos ou mais de idade, segundo o sexo e o emprego 
formal, do município X, em 2010 
Sexo 
Emprego Formal 
Total 
Sim Não 
Feminino 501 1526 2027 
Masculino 2819 118 2937 
Total 3320 1644 4964 
 
Fonte: Prefeitura do Município X 
 
 8 
APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
 Para variáveis qualitativas, utiliza-se o gráfico de colunas ou o gráfico de barras; para 
variáveis quantitativas, utiliza-se o histograma. 
 
 
Gráfico de Colunas e Gráfico de Barras 
 
 A próxima tabela será utilizada para a construção do gráfico de colunas (barras verticais) e 
também para o gráfico de barras (barras horizontais): 
 
Tabela 5 – Amostra de investidores em ações, segundo a lucratividade, em 2010 
Lucratividade Frequência Frequência Relativa (%) 
Não 407 74,0 
Sim 143 26,0 
Total 550 100,0 
 
Fonte: Jornal AB 
 
Obs.: A variável é “lucratividade”, que é qualitativa nominal. 
 
 
 Para se desenhar o gráfico de colunas, deve-se: 
 
1) Traçar o sistema de eixos cartesianos, com a variável no eixo horizontal (abscissa) e as 
frequências no eixo vertical (ordenada). Optou-se pelas frequências relativas. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Não Sim
Lucratividade
%
 
 
 9 
2) Traçar colunas, separadas, com altura igual ao percentual da categoria e, de preferência, 
preenchê-las. As bases das colunas precisam ser iguais. 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Não Sim
Lucratividade
%
 
 
3) Colocar o título com a devida numeração e, se necessário, a fonte; ambos na parte inferior. Caso 
se deseje, fazer traços horizontais nos valores do eixo y e colocar os respectivos valores nas colunas. 
74,0
26,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Não Sim
Lucratividade
%
 
 Figura 1 – Amostra de investidores em ações, segundo a lucratividade, em 2010 
 
 Fonte: Jornal AB 
 
 Para o gráfico de barras, o procedimento é semelhante, mas com a “troca” dos eixos. 
74,0
26,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Não
Sim
Lucratividade
%
 
 Figura 2 – Amostra de investidores em ações, segundo a lucratividade, em 2010 
 
 Fonte: Jornal AB 
 
 10 
 A próxima tabela será utilizada para a construção do histograma: 
 
Tabela 6 – Amostra de domicílios do Bairro Y, segundo o consumo mensal de energia elétrica, em 
maio de 2011 
Consumo de energia elétrica (kWh) Frequência Frequência Relativa (%) 
100 | 150 16 21,3 
150 | 200 25 33,3 
200 | 250 14 18,7 
250 | 300 13 17,3 
300 | 350 7 9,3 
Total 75 100,0 
 
Fonte: Companhia de Energia Elétrica Z 
 
Obs.: A variável é “consumo de energia elétrica”, que é quantitativa contínua. 
 
 
 Para se desenhar o histograma, deve-se: 
 
1) Traçar o sistema de eixos cartesianos, com as classes nas abscissas e as frequências nas 
ordenadas. Optou-se pelas frequências absolutas. 
 
0
5
10
15
20
25
30
Consumo (kWh)
Fr
eq
uê
nc
ia
100 150 200 250 300 350
 
 
 
Obs.: Fez-se um corte no eixo das abscissas (x), devido à não proporcionalidade. 
 
 11 
2) Traçar colunas justapostas e, de preferência, preenchê-las. A altura de cada coluna é dada pela 
frequência da respectiva classe. 
0
5
10
15
20
25
30
Consumo (kWh)
Fr
eq
uê
nc
ia
100 150 200 250 300 350
 
 
3) Colocar o título com a devida numeração e, se necessário, a fonte; ambos na parte inferior. Caso 
se deseje, fazer traços horizontais nos valores do eixo y e colocar os respectivos valores nas colunas. 
16
25
13
7
14
0
5
10
15
20
25
30
Consumo (kWh)
Fr
eq
uê
nc
ia
100 150 200 250 300 350
 
 Figura 3 – Amostra de domicílios do Bairro Y, segundo o consumo mensal de energia elétrica, em maio de 2011 
 
 Fonte: Companhia de Energia Elétrica Z 
 
 O histograma acima só pôde ser feito dessa maneira porque as amplitudes de cada classe 
(diferença entre o limite superior e o limite inferior) são sempre as mesmas, ou seja, igual a 50 
quilowatts-hora; caso contrário (por exemplo: 100 | 150; 150 | 200; 200 | 250; 250 | 300; 
300 | 400), a figura não poderia ser desenhada de forma direta. 
 
 A área total de um histograma é igual a 1 (ou 100%); portanto, as colunas devem ser 
proporcionais às frequências. Quando as amplitudes das classes não forem iguais, deve ser utilizada 
a densidade, que é dada pela divisão da frequência pela amplitude do intervalo. Então, o histograma 
é construído utilizando-se das densidades no eixo y. 
 
 12 
MEDIDAS DE POSIÇÃO (Dados Não Agrupados) 
 
 São as medidas que indicam a localização dos dados. Podem ser divididas em dois grupos: 
as medidas de tendência central e as separatrizes. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 Elas são utilizadas para resumir o conjunto de dados em um único valor (ou seja, em torno 
de qual valor tende a se concentrar a maioria dos dados). Há três medidas de tendência central: 
média, mediana e moda. 
 
Média 
 
 A média (aritmética) é indicada por 
x
 (lê-se: x barra). Ela pode ser simples ou ponderada. 
 
 A média (aritmética) simples é a soma de todos os valores divididapelo número de valores: 
n
x
x
n
i
i
 1 , onde n é o número de elementos do conjunto de dados. 
Exemplo: 8; 3; 7; 5; 8 
26
5
31
5
85738
5
543211 ,
xxxxx
n
x
x
n
i
i






 
 
 A média (aritmética) ponderada é utilizada quando os valores de um conjunto de dados 
possuem ponderações (pesos) diferentes. A fórmula é: 




n
i
i
n
i
ii
p
x.p
x
1
1 , onde 


n
i
ip
1
 é a soma das ponderações. 
Exemplo: A nota bimestral de uma disciplina é dada de acordo com duas listas de exercícios e uma 
prova. Cada lista tem peso um e, a prova, peso oito. Suponha que um aluno tire 8, 9 e 7, 
respectivamente. Então a sua média ponderada será: 
37
10
73
10
5698
811
789181
321
332211
1
1 ,
...
ppp
x.px.px.p
p
x.p
x
n
i
i
n
i
ii












 
 
Obs.: Na média aritmética simples todos os valores possuem o mesmo peso. 
 
Obs.: Há outros tipos de médias, como a geométrica e a harmônica. 
 
 13 
Mediana 
 
 A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. 
 
Exemplos: 
 
n ímpar: 8; 3; 7; 5; 8 ordenando: 3; 5; 7; 8; 8  Md = 7 
 
n ímpar: 2; 3; 7; 4; 9; 6; 9 ordenando: 2; 3; 4; 6; 7; 9; 9  Md = 6 
 
n par: 8; 3; 7; 5; 8; 9 ordenando: 3; 5; 7; 8; 8; 9  Md = 7,5 
(quando n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais) 
 
 
Obs.: A mediana pode dar melhor idéia da tendência central dos dados do que a média quando 
existem valores discrepantes. 
 
 
Exemplo: 1; 2; 8; 5; 54 
média  
14
5
70
5
5458211 



 x
n
x
x
n
i
i 
mediana  ordenando: 1; 2; 5; 8; 54  Md = 5 
 
 
 
Moda 
 
 A moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência. 
 
Exemplos: 
 
8; 3; 7; 5; 8  Mo = 8 (pois aparece duas vezes, e o demais valores somente uma). 
 
6; 5; 7; 6; 8; 5; 6; 5  Mo = 5 e 6 (é um conjunto bimodal, pois há dois números que aparecem 
mais vezes). 
 
1; 8; 5; 3  conjunto amodal (não existe moda). 
 
 
 14 
SEPARATRIZES 
 
 São medidas que dividem um conjunto de dados ordenados em partes iguais 
correspondentes. As mais comuns são: a mediana, os quartis, os decis e os percentis. 
 
Quartis 
 
 Os quartis são valores que dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais (é 
necessário ordenar os dados). Eles são chamados de primeiro, segundo e terceiro quartil e 
representados, respectivamente, por Q1, Q2 e Q3. Nota-se que o segundo quartil coincide com a 
mediana, isto é, Q2 = Md (vide o esquema abaixo). 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
 
 
 Q1 Q2 = Md Q3 
 
Obs.: O primeiro quartil (Q1) também é chamado de quartil inferior e o terceiro quartil (Q3) também 
é chamado de quartil superior. 
 
 Para se encontrar o primeiro quartil deve-se dividir o número de elementos por 4 e 
considerar a parte inteira do resultado; no caso do terceiro quartil, multiplica-se o número de valores 
por 3 e divide-se por 4, considerando-se, também, a parte inteira. Agora, há duas situações: 
  se essa divisão não for exata, então o quartil desejado será dado pelo valor que 
ocupa a posição representada pela parte inteira acrescida de 1; 
  se essa divisão for exata, então o quartil desejado será dado pela média dos valores 
que ocupam as posições representadas pela parte inteira e pela parte inteira acrescida de 1. 
 
Obs.: Idem para a mediana, mas multiplica-se o número de elementos por 1/2 ( = 2/4 ). 
 
Exemplo: Encontrar a mediana, Q1 e Q3 para os tempos de espera por atendimento, em minutos, de 
uma amostra de clientes de uma agência bancária em determinado dia: 
 15 10 12 8 19 20 23 16 13 
 
ordenando: 8 10 12 13 15 16 19 20 23 
Q1: 
252
4
9
,
 [2] divisão não-exata  posição do Q1: 2+1 = 3
o
  Q1 = 12min 
Q2: 
504
2
9
4
92
,
.

 [4] divisão não-exata  posição do Q2: 4+1 = 5
o
  Q2 = 15min 
Q3: 
756
4
93
,
.

 [6] divisão não-exata  posição do Q3: 6+1 = 7
o
  Q3 = 19min 
 
 15 
MEDIDAS DE DISPERSÃO (Dados Não Agrupados) 
 
 O resumo de um conjunto de dados, através de uma única medida representativa de posição 
central (a média, por exemplo), esconde toda a informação sobre a variabilidade desse conjunto. 
 
Exemplo: Sejam os quatro conjuntos de dados a seguir: 
 
 
1
o
) 3; 4; 5; 6; 7 Então, 
5
5
25
5
76543


 xx
 
 
2
o
) 5; 1; 7; 3; 9 Então, 
5
5
25
5
93715


 xx
 
 
3
o
) 5; 5; 5; 5; 5 Então, 
5
5
25
5
55555


 xx
 
 
4
o
) 3; 3; 7; 7 Então, 
5
4
20
4
7733


 xx
 
 
 A identificação de cada um desses conjuntos pela sua média (5 em todos os casos) nada 
informa sobre as diferentes variabilidades dos mesmos. Nota-se, portanto, a conveniência de se criar 
uma medida que resuma a variabilidade de um conjunto de dados. 
 
 As medidas de dispersão ou de variabilidade são aquelas que quantificam a variabilidade dos 
valores em um conjunto de dados. Algumas medidas usadas são: a amplitude, os desvios, a 
variância e o desvio-padrão. 
 
 
Amplitude 
 
 A amplitude (R) é a diferença entre os valores extremos de um conjunto de dados, ou seja, é 
a diferença entre o maior e menor valor 
 mínmáx xxR 
. 
 
No exemplo anterior, tem-se: 
1
o
) R = 7 - 3 = 4 2
o
) R = 9 - 1 = 8 3
o
) R = 5 - 5 = 0 4
o
) R = 7 - 3 = 4 
 
Obs.: A amplitude é fácil de se calcular e de se interpretar, mas não mede bem a variabilidade. 
 
 
 16 
Desvios 
 
 Dado um conjunto de dados, o desvio (d) é a diferença entre um determinado valor e a 
média desse conjunto 
 xxd ii 
. 
 
No exemplo anterior, tem-se: 
1
o
) 
2531 d
 
1542 d
 
0553 d
 
1564 d
 
2575 d
 
2
o
) 
0551 d
 
4512 d
 
2573 d
 
2534 d
 
4595 d
 
3
o
) 
0551 d
 
0552 d
 
0553 d
 
0554 d
 
0555 d
 
4
o
) 
2531 d
 
2532 d
 
2573 d
 
2574 d
 
 
Obs.: Para qualquer conjunto de dados, a soma dos desvios é zero. 
 
 
Variância Amostral 
 
 A variância amostral é a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de 
elementos menos um; é representada por s2: 
 
1
1
2
2





n
xx
s
n
i
i 
 
Obs.: A unidade de medida da variância é igual ao quadrado da unidade de medida dos dados, pois 
os valores são elevados ao quadrado (por exemplo, se os valores estivessem em minutos, então a 
unidade da variância seria em minutos2, ou seja, min  min2). 
 
Para os dados dos quatro conjuntos do exemplo anterior, tem-se: 
 
1
o
) 
         
5,2
4
10
4
41014
4
21012
22222
2 



s
 
 
2
o
) 
         
0,10
4
40
4
1644160
4
42240
22222
2 



s
 
3
o
) 
0002 ,s 
 (pois todos os valores são iguais; não há variabilidade) 
 
4
o
) 
       
35
3
16
3
4444
3
2222
2222
2 ,s 




 
 
 17 
Desvio-Padrão Amostral 
 
 É a raiz quadrada (positiva) da variância amostral e é representado pela letra s: 
 
1
1
2




n
xx
s
n
i
i
 
 
 O desvio-padrão é a mais importante medida de variabilidade utilizada. 
 
Obs.: A unidade de medida do desvio-padrão é a mesma dos dados. 
 
Então, utilizando os dados do exemplo anterior, tem-se: 
1
o
) 
6,15,22  ss
 
2
o
) 
2,30,102  ss
 
3
o
) 
0,00,02  ss
 
4
o
) 
3,23,52  ss
 
 
Obs.: As medidas de tendência central de um conjunto de dados são tanto mais descritivas desse 
conjunto quanto menor for a variabilidade (dispersão). 
 
 
Exemplo: Calcular a média, a variância e o desvio-padrão das seguintes idades, em anos, de uma 
amostra de compradores de um certo produto: 25 28 26 21 26. 
 
anos
n
x
x
n
i
i
 2,25
5
126
5
26212628251 



 
 
 
         
4
2,250,262,250,212,250,262,250,282,250,25
1
22222
1
2
2 





n
xx
s
n
i
i 
 
         
4
80,26
4
64,064,1764,084,704,0
4
8,02,48,08,22,0
22222
2 



 s
 
 
22 7,6 anoss 
 Então, 
anossanoss 6,2 7,6 2 
 
 
 18 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO (Dados Agrupados) 
 
 Em certos casos os resultados estão disponíveis somente em classes, ou seja, não se tem os 
dados brutos. Nessas situações, algumas das medidas utilizadas, com suas respectivas fórmulas, são: 
Média: 






n
i
i
k
i
ii
f
mf
x
1
1 
onde: 
 
k é o número de classes 
 
if
 é a frequência da classe i 
 
im
 é o ponto médioo da classe i 
 
Mediana: 
 
h
f
f
n
LIMd
Md
antac
Md .
2







 
onde: 
 
MdLI
 é o limite inferior da classe que contém a 
mediana 
 
)(antacf
 é a frequência acumulada da classe 
anterior à classe mediana 
 
Mdf
 é a frequência da classe que contém a 
mediana 
 
h
 é a amplitude da classe mediana 
 
Moda: Será utilizada apenas a classe modal, ou seja, aquela que apresenta a maior frequência. 
Primeiro Quartil: 
 
h
f
f
n
LIQ
Q
antac
Q .
4
1
11







 
onde: 
 
1Q
LI
 é o limite inferior da classe que contém o 
primeiro quartil (
1Q
) 
 
)(antacf
 é a frequência acumulada da classe 
anterior à classe que contém o 
1Q
 
 
1Q
f
 é a frequência da classe que contém o 
1Q
 
 
h
 é a amplitude da classe que contém o 
1Q
 
Terceiro Quartil: 
 
h
f
f
n
LIQ
Q
antac
Q .
4
3
3
33







 
onde: 
 
3Q
LI
 é o limite inferior da classe que contém o 
terceiro quartil (
3Q
) 
 
)(antacf
 é a frequência acumulada da classe 
anterior à classe que contém o 
3Q
 
 
3Q
f
 é a frequência da classe que contém o 
3Q
 
 
h
 é a amplitude da classe que contém o 
3Q
 
Variância: 
 
1
1
2
2





n
fxm
s
k
i
ii onde os 
símbolos são os mesmos da definição da média 
Desvio-padrão: 
 
1
.
1
2





n
fxm
s
k
i
ii
 onde os 
símbolos são os mesmos da definição da média 
 
 19 
 Como exemplo, serão utilizados os dados da Tabela 6, referentes ao consumo mensal de 
energia elétrica de uma amostra de domicílios do Bairro Y, em maio de 2011; encontrando-se os 
pontos médios de cada classe e as frequências acumuladas, tem-se: 
 
Consumo (kWh) 
im
 
if
 
acf
 
100 | 150 125 16 16 
150 | 200 175 25 41 
200 | 250 225 14 55 
250 | 300 275 13 68 
300 | 350 325 7 75 
Total ── 75 ── 
 
Média: kWhx
f
mf
x
n
i
i
k
i
ii
205
75
15375
75
325.7275.13225.14175.25125.16
1
1 







 
Mediana: 
 
kWhMdh
f
f
n
LIMd
Md
antac
Md 1934315050.
25
16
2
75
150.
2
















 
 
Classe Modal: 150 | 200kWh 
 
1
o
 Quartil: 
 
kWhQh
f
f
n
LIQ
Q
antac
Q 5,1555,515050.
25
16
4
75
150.
4
11
1
1
















 
 
3
o
 Quartil: 
 
kWhQh
f
f
n
LIQ
Q
antac
Q 8,2548,425050.
13
55
4
75.3
250.
4
3
33
3
3
















 
 
Variância: 
 
1
1
2
2





n
fxm
s
k
i
ii e Desvio-padrão: 
 
1
.
1
2





n
fxm
s
k
i
ii
 
 
         
175
7.20532513.20527514.20522525.20517516.205125
22222
2


s
 
 
222 5,3986
74
295000
 kWhss 
 Então, 
kWhskWhs 1,635,3986 2 
 
 
 20 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
 
 Nessa etapa, se analisará o comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas, através 
do coeficiente de correlação linear. 
 
Obs.: A correlação entre duas variáveis pode ser linear ou não; aqui, se tratará somente do 
comportamento linear. 
 
 Suponha que se queira analisar o comportamento conjunto das variáveis “lucro” e “gasto 
com publicidade” de uma loja de eletrônicos, em milhares de reais, para um período de oito meses. 
Os dados, fornecidos pelo Departamento Financeiro da loja, estão descritos a seguir: 
 
Mês Gasto (x) Lucro (y) 
1 4 109 
2 7 145 
3 10 149 
4 14 165 
5 12 176 
6 18 249 
7 15 208 
8 20 299 
 
 
 A correlação deve ser analisada, primeiramente, quanto ao sentido: positivo ou negativo. 
Para isso, é feito o diagrama de dispersão (vide gráfico a seguir). 
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25
Gasto com publicidade (milhares de reais)
Lu
cr
o 
(m
ilh
ar
es
 d
e 
re
ai
s)
 
 Figura 4 – Gasto com publicidade e lucro de uma loja de eletrônicos para um período de oito meses 
 
 Fonte: Departamento Financeiro da loja 
 
 21 
 Por esse gráfico, nota-se que, para o aumento dos valores do gasto com publicidade, há uma 
tendência linear para o aumento dos valores do lucro; nesse caso, diz-se que a correlação é positiva. 
 
Obs.: Se o aumento dos valores de uma variável provoca diminuição dos valores da outra variável, 
diz-se, então, que a correlação é negativa. 
 
 Depois de visto o sentido, é necessário se quantificar a força dessa correlação linear. Para 
isso, calcula-se o coeficiente de correlação linear de Pearson (r), que é dado por: 

































  

  
2
11
2
2
11
2
1 1 1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
iiii
yynxxn
yxyxn
r 
 
 Essa correlação é um número que varia entre -1 (correlação perfeita negativa) e +1 
(correlação perfeita positiva); se for igual a 0 (zero), há ausência de correlação. 
 
 Para os dados anteriores, tem-se: 
Mês x y x . y x
2
 y
2
 
1 4 109 436 16 11881 
2 7 145 1015 49 21025 
3 10 149 1490 100 22201 
4 14 165 2310 196 27225 
5 12 176 2112 144 30976 
6 18 249 4482 324 62001 
7 15 208 3120 225 43264 
8 20 299 5980 400 89401 
 100 1500 20945 1454 307974 
 
 Utilizando a fórmulaanterior, tem-se: 
     225000024637921000011632
150000167560
1500307974.81001454.8
1500.10020945.8
22 




r
 
 
94,0
348908544
17560
213792.1632
17560
  rr
 
 
 Esta correlação linear é classificada como positiva forte. Em outras palavras, o gasto com 
publicidade e o lucro possuem uma forte correlação positiva. 
 
Obs.: Se a correlação for próxima a 0,50, então ela é classificada como moderada. 
 
 22 
REGRESSÃO LINEAR 
 
 No caso de haver uma tendência linear entre as variáveis X e Y, pode ser traçada uma reta 
no meio desses pontos. A equação da reta é dada por: 
bxay 
, onde a é o coeficiente linear e b é a inclinação da reta. 
 
 A “melhor” reta (no sentido das propriedades estatísticas desejáveis) é a reta dos mínimos 
quadrados (também chamada de reta de regressão). Nesse caso, os coeficientes são calculados 
através das seguintes fórmulas: 
 



 



 









n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
ii
ii
n
x
x
n
yx
yx
b
1
2
12
1
1 1.
 e 
xbya 
 
 
 No caso do exemplo anterior, tem-se: 
 
 76,10
204
2195
12501454
1875020945
8
100
1454
8
1500.100
20945
2






 bb 
 
00,5350,13450,18750,12.76,1050,187  axbya
 
 
Portanto, a equação da reta, através do método dos mínimos quadrados, é: 
xy 76,1000,53 
 
 
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25
Gasto com publicidade (milhares de reais)
Lu
cr
o 
(m
ilh
ar
es
 d
e 
re
ai
s)
 
 Figura 5 – Gasto com publicidade e lucro de uma loja de eletrônicos para um período de oito meses 
 
 Fonte: Departamento Financeiro da loja 
 
 23 
PROBABILIDADE 
 
 Antes de se falar em probabilidades, é necessária a definição de alguns termos: 
 
Experimento: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações. Em cada uma das 
situações a seguir está descrito um experimento: 
  Nível de escolaridade dos trabalhadores de uma empresa; 
  Número de pacientes que chegam a um pronto-socorro nos finais de semana; 
  Sexo dos bebês nascidos em uma maternidade num determinado período. 
 
Espaço amostral (S) de um experimento: todos os possíveis resultados desse experimento. Aqui se 
trabalhará somente com o espaço amostral finito (existe também o infinito). 
 
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral; será denotado por letras maiúsculas. 
 
Obs.: O espaço amostral (S) e o conjunto vazio () são eventos. O primeiro é chamado de evento 
certo, enquanto que o segundo é chamado de evento impossível. 
 
 
Exemplo: Considere um experimento que consiste em jogar um dado e observar o número da face 
voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral será S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. E sejam os 
eventos A: obter um número ímpar e B: obter um número maior do que 3. Então, A = {1, 3, 5} 
e B = {4, 5, 6}. 
 
Exemplo: Suponha um experimento conduzido com a finalidade de se observar o resultado de um 
teste para verificar se um componente eletrônico opera corretamente. Para isso, dois componentes 
foram submetidos a este teste. Então, S = {+ +, + -, - +, - -}. E três eventos são definidos: 
A: ocorrer somente um resultado positivo 
B: ocorrer dois resultados negativos 
C: ocorrer menos do que três resultados positivos 
 
Com isso, tem-se que A = {+ -, - +} B = {- -} C = {+ +, + -, - +, - -} 
 
Obs.: O evento C é um evento certo. 
 
 24 
 Pode-se fazer operações com os eventos, gerando outros: 
 
 A  B  é o evento que ocorre 
 se A ou B ocorre ou ambos ocorrem 
 A  B  é o evento que ocorre 
 se A e B ocorrem simultaneamente 
 
 Figura 6 - União entre dois eventos 
(Diagrama de Venn) 
 Figura 7 - Intersecção entre dois 
eventos (Diagrama de Venn) 
 
 
 No caso do Exemplo 1, tem-se: A  B = {1, 3, 4, 5, 6} e A  B = {5}. 
 
 Dois eventos são denominados mutuamente exclusivos quando eles não puderem ocorrer 
simultaneamente, isto é, a intersecção entre os eventos é vazia (A  B = ). 
 
Exemplo: Seja um experimento que consiste em perguntar a cor/raça de uma determinada pessoa 
nascida no Brasil, segundo os critérios do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). 
Com isso, o espaço amostral S = {branca, negra, parda, amarela, indígena}. Dados os eventos 
A: a pessoa é negra e B: a pessoa é branca, nota-se que eles são mutuamente exclusivos, pois 
não podem ocorrer simultaneamente (ou seja, A  B = ). 
 
 
Propriedades Elementares de Probabilidade 
 
 As propriedades elementares de probabilidade são três: 
 
1) Seja um experimento com n eventos mutuamente exclusivos, E1, E2,...,En. Então, a probabilidade 
de cada evento Ei deve ser maior ou igual a zero, ou seja, 
P(Ei)  0 
 
2) A soma das probabilidades de todos os eventos mutuamente exclusivos vale um, isto é, 
P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1 
 
 25 
3) Sejam Ei e Ej dois eventos mutuamente exclusivos. Então, a probabilidade da ocorrência ou de Ei 
ou de Ej é igual a soma de suas probabilidades individuais, ou seja, 
P(Ei ou Ej) = P(Ei  Ej) = P(Ei) + P(Ej) 
 
 Com essas propriedades, chega-se a um outro resultado: a probabilidade de qualquer evento 
Ei, além de ser maior ou igual a zero, deve ser menor ou igual a um, ou seja, 
0  P(Ei)  1 
 
 
Definição de Probabilidade 
 
 Considere um experimento com espaço amostral S eqüiprovável (isto é, igualmente 
provável) e um evento A associado a esse experimento. Então, a probabilidade de ocorrência do 
evento A, denotado por P(A), é dada pelo número de resultados favoráveis (ao evento A) dividido 
pelo número de resultados possíveis, ou seja, 
 
Sdeelementosde.n
Adeelementosde.n
)A(P
o
o
 
 

 
 
 
Exemplo: Considere um baralho com cinquenta e duas cartas. Selecione, ao acaso, uma carta desse 
baralho. Se os eventos são A: a carta é de copa e B: a carta é um “rei”, então, 
 
%25250,0
52
13
 .
 .
)( 
cartasdetotaln
copadecartasden
AP
o
o
 
%7,7077,0
52
4
 .
"" .
)( 
cartasdetotaln
reisden
BP
o
o
 
 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa seja retirada ao acaso da amostra descrita pela tabela seguinte. 
Qual é a probabilidade dessa pessoa ser do sexo masculino? E de ser fumante? 
 
Tabela 7 – Hábito de fumar e sexo dos alunos de uma faculdade, em março de 2011 
 
H á b i t o d e f u m a r 
S e x o 
 
T o t a l 
M a s c u l i n o F e m i n i n o 
F u m a n t e 25 9 34 
N ã o - f u m a n t e 50 27 77 
T o t a l 75 36 111 
Fonte: Secretaria da Faculdade 
 
%6,67
111
75
) ( masculinosexoP
 
%6,30
111
34
)( fumanteP
 
 
 26 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 Há situações onde é necessária a utilização da Análise Combinatória para se contar o 
número de resultados favoráveis e o número total de possibilidades do espaço amostral e, com isso, 
se aplicar a definição de probabilidade. 
 
 Considere n um número inteiro e maior do que zero. Por definição, n! (lê-se: “fatorial de n” 
ou “n fatorial”) é dado por: 
 
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1 
 
 
Por exemplo, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 ou 6! = 6 . 5! = 6 . 120 = 720 
 
Obs.: Por definição,0! = 1 e 1! = 1 
 
 Dado um conjunto de n elementos, onde n > 0 e sendo x  n , então: 
 !!
!
,
xnx
n
x
n
C xn








 , 
 
lê-se: combinação de n elementos, x a x. 
 
Por exemplo, se n = 7 e x = 3, então: 
 
35
6
5.6.7
!4!3
!4.5.6.7
!4!3
!7
!37!3
!7
3
7
3,7 













C
 
 
Obs.: Quando se trabalha com combinação, não importa a ordem dos elementos (1-2 = 2-1). 
 
Exemplo: Em uma competição esportiva, serão escolhidos 2 entre 5 atletas (numerados de 1 a 5) 
para serem submetidos ao exame anti-doping. De quantos modos distintos podem ser escolhidos 
estes atletas? Qual a probabilidade do atleta 1 e do atleta 2 serem escolhidos? Qual a probabilidade 
ou do atleta 1 ou do atleta 2 ou ambos serem escolhidos? 
 
10
2
4.5
!3!2
!3.4.5
!3!2
!5
!25!2
!5
2
5
2,5 










C
 modos distintos; 
ou seja, S={1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 2-3; 2-4; 2-5; 3-4; 3-5; 4-5} 
%0,10
10
1
)2. 1.( atleatlP
 
%0,70
10
7
) 2. 1.( ambosouatlouatlP
 
 
 27 
VARIÁVEL ALEATÓRA 
 
 
 Variável aleatória (v.a.) é uma função que atribui um valor numérico para cada possível 
resultado de um experimento; ela pode ser discreta ou contínua. 
 
 
 Para cada valor observado de uma variável aleatória está associada uma probabilidade. Com 
isso, têm-se as chamadas Distribuições de Probabilidades. Aqui se enfocarão duas delas: a Binomial 
e a Normal. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 
 A Distribuição Binomial é uma das distribuições de probabilidade mais largamente 
encontradas em estatísticas aplicadas. A distribuição é derivada de um processo conhecido como 
um ensaio de Bernoulli. Quando um ensaio único de algum processo ou experimento pode resultar 
em somente um de dois resultados mutuamente exclusivos, tal como homem ou mulher, peça 
defeituosa ou não, o ensaio é chamado de Bernoulli. 
 
 
 Um dos possíveis resultados num ensaio de Bernoulli é denotado (arbitrariamente) como um 
sucesso, com probabilidade p de ocorrer; essa probabilidade permanece constante de ensaio para 
ensaio. O outro resultado possível é denotado como uma falha, com probabilidade 1 - p (ou q) de 
ocorrer. 
 
 
 Além disso, os ensaios de Bernoulli são independentes, isto é, o resultado de qualquer ensaio 
particular não é afetado pelo resultado de qualquer outro ensaio. 
 
 
 
 
 28 
 Repetindo-se n vezes o ensaio de Bernoulli, tem-se a Distribuição Binomial. Então, a 
probabilidade de se obter exatamente x sucessos é dada pela expressão: 
 
  , ... ,2 ,1 ,0 / nxpxnqxp
x
n
xXP 






 
 
 A Distribuição Binomial é aplicável em situações onde a amostra é proveniente de uma 
população infinita ou de uma população finita com reposição. Desde que, na prática, as amostras 
são usualmente retiradas sem reposição de populações finitas, a questão naturalmente surge com 
respeito à conveniência da Distribuição Binomial sob essas circunstâncias. É usualmente aceito que 
quando n (tamanho da amostra) é pequeno em relação a N (tamanho da população), o modelo 
binomial é apropriado. Segundo alguns autores tomados como referências, N deve ser, no mínimo, 
10 vezes o tamanho de n. 
 
 
 
Exemplo: Suponha que 20% de uma certa população possuam computadores. Uma amostra 
aleatória de 10 pessoas é retirada dessa população. Assumindo que N é suficientemente grande 
relativo a n, qual é a probabilidade de: 
 
 
(a) encontrar exatamente 2 pessoas que possuam computadores? 
 
  











 8282 80,0 . 20,0 . 
!8!2
!10
80,0 . 20,0 . 
2
10
)2(XPxnqxp
x
n
xXP
 
 
%20,303020,0)2(1678,0 . 0400,0 . 45)2(  XPXP
 
 
 
(b) encontrar exatamente 3 pessoas que possuam computadores? 
 
  











 7373 80,0 . 20,0 . 
!7!3
!10
80,0 . 20,0 . 
3
10
)3(XPxnqxp
x
n
xXP
 
 
%13,202013,0)3(2097,0 . 0080,0 . 120)3(  XPXP
 
 
 29 
(c) no máximo, 3 pessoas possuírem computadores? 
 
 
(*))3()2()1()0()3(  XPXPXPXPXP
 
 
 
2684,0)0(1342,0 . 0000,2 . 1080,0 . 20,0 . 
1
10
)1(
1074,0)0(80,080,0 . 20,0 . 
0
10
)0(
91
10100














XPXP
XPXP
 
 
 
%91,878791,0)3(2013,03020,02684,01074,0)3( (*)  XPXP
 
 
 
 
(d) 4 ou mais pessoas possuírem computadores? 
 
 
%09,121209,0)4(8791,01)4()3(1)4(1)4(  XPXPXPXPXP
 
 
 
ou, de outra forma: 
 
 
      1098)7()6()5()4()4( XPXPXPXPXPXPXPXP
 
 
   0000,00000,00001,00008,00055,00264,00881,04XP
 
 
  %09,121209,04  XP
 
 
 
 
 
Obs.: Somando-se todas as possíveis probabilidades de sucesso o total é igual a um (1). 
 
 
 
 30 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 Distribuição Normal ou Distribuição Gaussiana é uma das mais importantes e uma das 
mais utilizadas distribuições de probabilidades. Muitas características mensuráveis presentes na 
natureza apresentam (ou ao menos se assemelham à) essa distribuição como, por exemplo, a altura 
humana, o comprimento de determinada peça, o Quociente de Inteligência (QI). 
 
 
 Seja X uma v.a. com Distribuição Normal com média populacional  (lê-se: mi) e desvio-
padrão populacional  (lê-se: sigma), isto é, X ~ N(; ). Então, ela apresenta a seguinte forma: 
 
 
FIGURA 8 - CURVA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 
 São características da Distribuição Normal: 
 
 A variável aleatória pode assumir qualquer valor real; 
 
 As áreas sob a curva podem ser entendidas como medidas de probabilidades, sendo que a área 
total vale 1 (ou 100%); 
 
 O gráfico da Distribuição Normal é uma curva em forma de “sino” e simétrica em torno de ; 
portanto, valores maiores e menores que a média ocorrem com igual probabilidade. 
 
 
 31 
Distribuição Normal Padrão 
 
 
 Para se obter as probabilidades de uma v.a. que tenha Distribuição Normal é necessária a 
utilização de cálculos refinados e trabalhosos; uma alternativa seria a adoção de tabelas que 
apresentassem estes resultados. Como a Distribuição Normal depende dos valores que  e  
assumem, deveriam existir tantas tabelas para os cálculos de probabilidades quanto o número de 
possibilidades destes valores, ou seja, infinitas. Por este motivo, foi criada a Distribuição Normal 
Padrão (também chamada de Distribuição Normal Reduzida), onde  é igual a zero e  igual a 
um; com isso, é utilizada uma única tabela. A figura a seguir representa a Distribuição Normal 
Padrão: 
 
 
FIGURA 9 - CURVA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
 
 
Obs.: Uma variável aleatória com Distribuição Normal Padrão é representada pela letra Z 
maiúscula, isto é, Z ~ N(0;1). 
 
 
 
 A probabilidade de uma v.a. contínua assumir exatamente um determinado valor é igual a 
zero ( por exemplo, 
0501  ),Z(P
 ); sempre se utilizará de intervalos (isto é, ou menor ou maior 
ou entre dois valores). 
 
 
 
 32 
Cálculos de Probabilidades com a Tabela da Distribuição Normal Padrão 
 
 Para cálculos de probabilidades com variáveis aleatórias que apresentam Distribuição 
Normal Padrão (ou seja, Z ~ N(0;1) ) utiliza-se, como dito anteriormente, a tabela correspondente. 
Esta tabela, dependendo da referênciaque é adotada, pode ser representada de formas diferentes, 
mas todas apresentam os mesmos resultados. Aqui se trabalhará com aquela que fornece as áreas 
sob a curva de valores inferiores a um determinado z (ANEXO 1). 
 
Exemplo: Encontre as seguintes probabilidades: 
 
    6844,048,048,0  ZPZP
 
  9826,011,2 ZP
 
  1020,027,1 ZP
 
 
    1867,089,089,0  ZPZP
 ou 
    1867,08133,0189,0189,0  ZPZP
 
 
    9608,076,176,1  ZPZP
 ou 
    9608,00392,0176,1176,1  ZPZP
 
 
      0230,00009,00239,013,398,198,113,3  ZPZPZP
 
 
      5432,01587,07019,000,153,053,000,1  ZPZPZP
 
 
 
Transformação para a Distribuição Normal Padrão 
 
 Já foram citados exemplos de v.a.’s que se distribuem de forma aproximadamente normal; 
mas elas, assim como a grande maioria, não possuem média igual a zero e desvio-padrão igual a 
um. Então, há a necessidade de transformá-las em v.a’s com Distribuição Normal Padrão, isto é, 
X ~ N(; )  Z ~ N(0;1) . Para isto, basta definir 



X
Z
 
 
Exemplo: Sabe-se que a distribuição de QI’s de uma certa população é Normal, com média 100 e 
desvio-padrão 16 (isto é, ~ N(100;16) ). Qual é a probabilidade que uma pessoa escolhida ao acaso 
deste grupo tenha QI acima de 120? E do QI estar entre 80 e 92? 
    1056,0)25,1(25,1
16
100120120
120 




 





 


 ZPZPZP
X
PXP    
 
  




 







 





16
10092
16
100809280
9280 ZP
X
PXP    
 
      2029,01056,03085,025,150,050,025,1  ZPZPZP
 
 
 33 
INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
 Inferência é o ramo da Estatística que procura fazer afirmações sobre características de uma 
população, baseando-se em resultados de uma amostra. 
 
 
Definições 
 
 População é um conjunto de indivíduos que possuem pelo menos uma variável comum. 
 
 Amostra é qualquer subconjunto da população. 
 
 
 As amostras são utilizadas porque, em geral, se levaria muito tempo e seria muito caro se 
estudar toda a população. Além disso, se a população é muito grande, fica impossível estudá-la em 
sua totalidade (por exemplo, computadores existentes no Brasil). Em outras situações, ainda, onde 
as unidades de estudo são destruídas, só pode ser feita amostragem (por exemplo, vida útil de um 
tipo de componente eletrônico). 
 
 A maneira de se obter uma amostra é muito importante e existem vários modos de fazê-la. 
Há os planos probabilísticos e os não-probabilísticos; ambos têm suas vantagens e desvantagens. A 
grande vantagem das amostras probabilísticas é medir a precisão da amostra obtida, baseando-se no 
resultado contido na própria amostra. O que irá ser visto aqui é o caso mais simples de amostragem 
probabilística: a amostragem aleatória simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
Amostragem Aleatória Simples 
 
 
 Se cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra, então 
esse processo é conhecido como amostragem aleatória simples. Para se fazer o sorteio de uma 
amostra aleatória, recomenda-se o uso de Tabelas de Números Aleatórios (ANEXO 2), que são 
coleções de dígitos construídos aleatoriamente e que simulam o processo de sorteio. 
 
 
Exemplo: Deseja-se selecionar uma amostra aleatória simples de 8 elementos (n = 8) de uma 
população com 700 pessoas (N = 700). 
 
  Numera-se cada elemento da população: 001, 002, 003, ..., 698, 699, 700; 
 
  Sorteia-se ou escolhe-se um local qualquer da Tabela de Números Aleatórios para o ponto 
de partida do processo (por exemplo, a décima segunda linha e a primeira coluna); 
 
  Toma-se três algarismos em seqüência e em sentido pré-determinados (por exemplo, as 
três colunas consecutivas e, em seguida, desloca-se no sentido descendente), até ser atingido o 
tamanho da amostra; 
 
  Considera-se somente os números contidos no intervalo de 001 a 700. 
 
Então, os números obtidos são: 436 296 551 086 685 432 314 792 971 497 
 
Obs.: Nota-se que os números 792 e 971 não fazem parte da amostra. 
 
 
 Caso se permita que os elementos pertencentes à população possam ser sorteados mais de 
uma vez, se terá a chamada amostragem aleatória simples com reposição; caso contrário, será 
chamada sem reposição, que é a preferida, na prática. 
 
Obs.: Faz pouca diferença a reposição ou não dos elementos quando o tamanho da amostra é 
“pequeno” em comparação com o tamanho da população, isto é, n <<N. 
 
 
 35 
Cálculo do Tamanho da Amostra para a Proporção 
 
 Aqui será utilizado o método mais simples para o cálculo do tamanho da amostra para a 
proporção, que não leva em consideração o tamanho da população. Com isso, a amostra ficará 
superestimada. 
 
 Deve-se conhecer: 
 
  a proporção de indivíduos com a característica de interesse na população 
 p
 
 
  a proporção de indivíduos sem a característica de interesse na população 
 q
 
 
  a diferença 
 d
 entre a proporção amostral 
 p
 e a proporção populacional 
 p
 
 
  o nível de significância 
 
 
 
 Então, o tamanho amostral será determinado por: 
 
2
2
2
d
q.p.z
n /
 
645110 
96015 
0502
02502
,zz%/p
,zz%/p
,/
,/





 
 
 
Exemplo: Suponha-se que 70% dos usuários de uma marca de computadores estejam satisfeitos 
com o produto. Quantos usuários devem ser entrevistados de modo que a diferença entre a 
proporção amostral e a proporção populacional seja de, no máximo, 0,04 com probabilidade de 
95%? E se a diferença entre essas proporções fosse de, no máximo, 0,03? 
 
96,1 %5%951 04,0 30,0 70,0 2/   zdqp 
 
 
2,504
)04,0(
30,0 . 70,0 .)96,1(..
2
2
2
2
2/ 
d
qpz
n 
  
usuários 505n
 
 
 
p/ d = 0,03, tem-se:  
4,896
)03,0(
30,0 . 70,0 .)96,1(..
2
2
2
2
2/ 
d
qpz
n 
  
usuários 897n
 
 
 36 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14724 - Informação e 
documentação: trabalhos acadêmicos: apresentação. Rio de Janeiro, 2002. 
 
BERQUÓ, E.S.; SOUZA, J.M.P.; GOTLIEB, S.L.D. - Bioestatística. São Paulo, EPU, 1981. 350p. 
 
BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. - Estatística básica. 5.ed. São Paulo, Editora Saraiva, 2006. 
526p. 
 
DANIEL, W.W. - Biostatistics: a foundation for analysis in the health sciences. 6.ed. New York, 
John Wiley & Sons, Inc., 1995. 780p. 
 
FUNDAÇÃO INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. - Normas de 
Apresentação Tabular. 3.ed. Rio de Janeiro, 1993. 
 
GUEDES, M.L.S. & GUEDES, J.S. - Bioestatística para profissionais de saúde. Brasília, Ao 
Livro Técnico S.A., 1988. 201p. 
 
VIEIRA, S. - Introdução à bioestatística. 4.ed. Rio de Janeiro, Elsevier Editora Ltda., 2008. 345p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 
ANEXO 1 
 
 
 38 
 
ANEXO 2 
 
 
Fonte: Guedes, M.L.S. & Guedes, J.S – Bioestatística para profissionais de saúde, 1988, pág. 40