Lista Algebra Atividade 13

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
A´lgebra Linear - Atividade 13 - Professor Mozart
1. Determinar o nu´cleo e a imagem do operador linear T : R3 → R3 = (x + 2y − z, y + 2z, x + 3y + z)
N (T ) = {(5r,−2r, r)} , r ∈ R
Im (T ) = {(a, b, c)}, tal que a, b, c ∈ R e c− a− b = 0
2. Seja T : V → W , apresentada como sendo T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que
T (1, 0, 0) = (1, 3), T (0, 1, 0) = (−1,−4) e T (0, 0, 1) = (2, 2):
a) Determinar o nu´cleo da transformac¸a˜o e uma das suas bases. T e´ injetora?
N (T ) = {(−6r,−4r, r)} , r ∈ R
Uma Base para N (T ) pode ser {(−6r,−4r, r)} , r ∈ R
b) Qual e´ a dimensa˜o do N(T)?
dimN (T ) = 1
c) Determinar a imagem da transformac¸a˜o e uma das suas bases.
Im(T ) = R2
Uma Base para Im(T ) pode ser {(1, 3) , (−1,−4)}
d) Qual e´ a dimensa˜o da im(T)
dimIm (T ) = 2
e) Qual e´ o resultado de dimN (T ) + dimIm (T ) =?
dimN (T ) = 3
f) O que se pode concluir do resultado da letra “e”?
dimN (T ) + dimIm (T ) = dimV