Lista Algebra Atividade 16

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
A´lgebra Linear - Atividade 16 - Para entregar - Individual - Professor Mozart
1. Determine o polinoˆmio caracter´ıstido da matriz, os autovalores e autovetores da matriz
A =
 2 2 31 2 1
2 −2 1

λI − A =
 λ− 2 −2 −3−1 λ− 2 −1
−2 2 λ− 1

f (λ) = det (λI − A)
f (λ) =
∣∣∣∣∣∣
λ− 2 −2 −3
−1 λ− 2 −1
−2 2 λ− 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 5λ2 + 2λ+ 8
O polinoˆmio caracter´ıstico e´
f (λ) = λ3 − 5λ2 + 2λ+ 8
Os autovalores sa˜o:
λ1 = −1
λ2 = 2
λ3 = 4
Ca´lculo dos autovetores associados a λ1 = −1: −3 −2 −3 0−1 −3 −1 0
−2 2 −2 0

 1 0 1 00 1 0 0
0 0 0 0
  x1 −x3x2 0
x3 x3

Os autovetores associados a λ1 = −1 sa˜o todos os vetores da forma: −r0
r

r ∈ R
Ca´lculo dos autovetores associados a λ2 = 2: 0 −2 −3 0−1 0 −1 0
−2 2 1 0

2  1 0 1 00 1 3
2
0
0 0 0 0
  x1 −x3x2 −32x3
x3 x3

Os autovetores associados a λ2 = 2 sa˜o todos os vetores da forma: −r−3
2
r
r

r ∈ R
Ca´lculo dos autovetores associados a λ3 = 4: 2 −2 −3 0−1 2 −1 0
−2 2 3 0

 1 0 −4 00 1 −5
2
0
0 0 0 0
  x1 4x3x2 52x3
x3 x3

Os autovetores associados a λ3 = 4 sa˜o todos os vetores da forma: 4r5
2
r
r

r ∈ R
2. Determine o polinoˆmio caracter´ıstido da matriz, os autovalores e autovetores da matriz
A =

1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2

λI − A =

λ− 1 −2 −3 −4
0 λ+ 1 −3 −2
0 0 λ− 3 −3
0 0 0 λ− 2

f (λ) = det (λI − A)
f (λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λ− 1 −2 −3 −4
0 λ+ 1 −3 −2
0 0 λ− 3 −3
0 0 0 λ− 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (λ− 1) (λ+ 1) (λ− 3) (λ− 2)
O polinoˆmio caracter´ıstico e´
f (λ) = (λ− 1) (λ+ 1) (λ− 3) (λ− 2)
3
Os autovalores sa˜o:
λ1 = 1
λ2 = −1
λ3 = 3
λ4 = 2
Ca´lculo dos autovetores associados a λ1 = 1:
λI − A =

0 −2 −3 −4 0
0 2 −3 −2 0
0 0 −2 −3 0
0 0 0 −1 0


0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0


x1 x1
x2 0
x3 0
x4 0

Os autovetores associados a λ1 = 1 sa˜o todos os vetores da forma:
r
0
0
0

r ∈ R
Ca´lculo dos autovetores associados a λ2 = −1:
λI − A =

−2 −2 −3 −4 0
0 0 −3 −2 0
0 0 −4 −3 0
0 0 0 −3 0


1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0


x1 −x2
x2 x2
x3 0
x4 0

Os autovetores associados a λ2 = −1 sa˜o todos os vetores da forma:
−r
r
0
0

r ∈ R
Ca´lculo dos autovetores associados a λ3 = 3:
2 −2 −3 −4 0
0 4 −3 −2 0
0 0 0 −3 0
0 0 0 1 0

4 
1 0 −9
4
0 0
0 1 −3
4
0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0


x1
9
4
x3
x2
3
4
x3
x3 x3
x4 0

Os autovetores associados a λ3 = 3 sa˜o todos os vetores da forma:
9
4
r
3
4
r
r
0

r ∈ R
Ca´lculo dos autovetores associados a λ4 = 2:
1 −2 −3 −4 0
0 3 −3 −2 0
0 0 −1 −3 0
0 0 0 0 0


1 0 0 29
3
0
0 1 0 7
3
0
0 0 1 3 0
0 0 0 0 0


x1 −293 x4
x2 −73x4
x3 −3x4
x4 x4

Os autovetores associados a λ4 = 2 sa˜o todos os vetores da forma:
−29
3
r
−7
3
r
−3r
r

r ∈ R