Trabalho3 (2)

Prévia do material em texto

Trabalho 3
1. Dê a definição de combinação linear
2. Dê a definição de de conjunto de vetores linearmente independente (l.i.) e conjunto
de vetores linearmente dependente (l.d.).
3. Dê a definição de subespaço vetorial.
4. Dê a definição de conjunto geradores.
5. Dê a definição de base.
6. Mostre que o conjunto soluçãoW de um sistema homogêneoAX = 0 (matriz n×n)
é um subespaço vetorial de Rn.
7. Dê exemplo de:
(a) Uma matriz que não tem autovalor (real).
(b) Uma matriz que tem autovalor e não é diagonalizável (em Rn).
(c) Uma matriz que tem dois autovalores e não é diagonalizável (em Rn)
8. Seja λ um autovalor (fixo) de A. Demonstre que o conjunto formado por todos os
autovetores de A associados a λ, juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de
Rn. Este subespaço é chamado de autoespaço associado a λ.
9. Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são
os elementos da diagonal principal de A.
10. Demonstre queA eA> possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre
os autovetores de A e A>.
11. Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X . Demonstre que λk é um
autovalor de Ak = A . . . A associado a X , em que k é um inteiro positivo.
12. Uma matriz A é chamada nilpotente se Ak = 0̄, para algum inteiro positivo k.
Demonstre que se A é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o
exercı́cio anterior).
13. Seja A =
[
a b
c d
]
. Ache condições necessárias e suficientes para que A seja dia-
gonalizável.
14. Se ~v e ~w são autovetores associados a um autovalor λ, então ~w−proj~w~v é também
um autovetor associado a λ? E se ~v e ~w forem autovetores associados a autovalores
diferentes?
15. Suponha que duas matrizes n×n A eB são tais queB = αA, para um escalar λ 6= 0.
Mostre que se λ é autovalores de uma matriz A, então αλ é autovalor de B.
Fonte: Um curso de Geometria analı́tica e Álgebra Linear - Reginaldo J. Santos.