Curso Curto Circuito

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Considerações sobre Curto-Circuitos 
em Sistemas Elétricos 
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Sobre o autor
Pablo Mourente Miguel, nascido em 1951, é engenheiro
eletricista formado pela Escola de Engenharia da UFRJ em 1975.
Obteve o grau de mestre em ciências pela COPPE-UFRJ em 1981
e o de doutor em ciências também pela COPPE-UFRJ em 1984.
Desde 1987 mantém a Mourente Engenharia e Consultoria Ltda.,
escritório especializado em consultoria em engenharia elétrica. As principais
áreas de atuação são consultoria em análise de sistemas de potência e
estudos de coordenação de isolamento.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
i
Índice
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1
2 MODELANDO OS COMPONENTES DO SISTEMA ELÉTRICO PARA O CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITOS .......... 2
2.1 VALORES BASE ...............................................................................................................................................2
2.1.1 CONVERSÃO ENTRE BASES DIFERENTES ........................................................................................................................2
2.2 COMPONENTES DE SEQÜÊNCIA.........................................................................................................................3
2.2.1 SEQÜÊNCIA ZERO .....................................................................................................................................................3
2.2.2 SEQÜÊNCIA POSITIVA...............................................................................................................................................3
2.2.3 SEQÜÊNCIA NEGATIVA.............................................................................................................................................4
2.2.4 TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA ABC PARA AS COMPONENTES DE SEQÜÊNCIA ..................................................................4
2.3 MODELO DE GERADOR OU MOTOR SÍNCRONO ...................................................................................................6
2.4 MODELO DE MOTOR ASSÍNCRONO ....................................................................................................................9
2.5 MODELO DE TRANSFORMADOR ......................................................................................................................10
2.5.1 TRANSFORMADOR COM TRÊS ENROLAMENTOS .............................................................................................................12
2.5.2 POLARIDADE DE UM TRANSFORMADOR ........................................................................................................................12
2.5.3 DEFASAGEM ANGULAR EM TRANSFORMADORES DELTA-ESTRELA...................................................................................13
2.5.4 IMPEDÂNCIA DE SEQÜÊNCIA ZERO DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS ........................................................................13
2.6 MODELO DE LINHA DE TRANSMISSÃO ..............................................................................................................14
2.7 REPRESENTANDO O CIRCUITO ELÉTRICO.........................................................................................................18
3 CÁLCULO DA CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO .................................................................................. 20
3.1 TIPOS DE CURTO-CIRCUITO ............................................................................................................................20
3.2 ESCREVENDO AS EQUAÇÕES QUE REPRESENTAM O CURTO-CIRCUITO ..............................................................21
3.3 VALORES A CALCULAR NO CURTO-CIRCUITO ...................................................................................................23
3.3.1 CURTO FASE-TERRA..................................................................................................................................................24
3.3.2 CURTO FASE-FASE-TERRA .........................................................................................................................................25
3.3.3 CURTO FASE-FASE ....................................................................................................................................................25
3.3.4 CURTO TRIFÁSICO .....................................................................................................................................................26
3.4 EXEMPLO DE CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM UM SISTEMA...........................................................................27
3.4.1 DIAGRAMA UNIFILAR SIMPLIFICADO .............................................................................................................................27
3.4.2 COLETANDO OS DADOS .............................................................................................................................................28
3.4.3 CALCULANDO O CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO ...............................................................................................................34
3.4.4 INTERPRETANDO OS RESULTADOS DO CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO ................................................................................39
3.4.5 CALCULANDO O CURTO-CIRCUITO MONOFÁSICO ...........................................................................................................42
3.4.6 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS.............................................................................................................................44
3.5 ENERGIZAÇÃO DE TRANSFORMADORES ..........................................................................................................45
4 SOLICITAÇÕES IMPOSTAS PELA CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO ....................................................... 53
4.1 COMPONENTES SIMÉTRICA E ASSIMÉTRICA .....................................................................................................53
4.2 EFEITO TÉRMICO ...........................................................................................................................................54
4.3 EFEITO ELETRODINÂMICO ..............................................................................................................................55
4.4 CORRENTE DE INTERRUPÇÃO .........................................................................................................................56
4.5 EFEITOS DA ASSIMETRIA NA CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO ...........................................................................57
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
ii
5 TIPOS DE DISJUNTORES ................................................................................................................... 58
5.1 DISJUNTORES A ÓLEO....................................................................................................................................60
5.2 DISJUNTORES A AR........................................................................................................................................61
5.3 DISJUNTORES A SF6 ......................................................................................................................................62
5.4 DISJUNTORES A VÁCUO .................................................................................................................................64
5.5 NORMAS ANSI/IEEE E IEC/ABNT................................................................................................................65
5.5.1 CONDIÇÕES DE SERVIÇO............................................................................................................................................65
5.5.2 CARACTERISTICAS NOMINAIS .....................................................................................................................................65
5.5.3 TENSÃO NOMINAL E NÍVEIS DE ISOLAMENTO .................................................................................................................66
5.5.4 CORRENTE NOMINAL DE ESTABELECIMENTO E INTERRUPÇÃO .......................................................................................67
5.6 ENSAIOS DE CURTO-CIRCUITO EM DISJUNTORES .............................................................................................70
5.6.1 NUMERO DE AMOSTRAS .............................................................................................................................................70
5.6.2 SEQÜÊNCIA NOMINAL DE OPERAÇÃO ...........................................................................................................................70
5.6.3 TEMPOS DE OPERAÇÃO..............................................................................................................................................71
5.6.4 SEQÜÊNCIAS DE ENSAIOS DE CURTO-CIRCUITO ............................................................................................................71
5.6.4.1 Condicionamento dielétrico................................................................................................................................71
5.6.4.2 Seqüências T10, T30 e T60 e T100s.................................................................................................................72
5.6.4.3 Seqüência T100a...............................................................................................................................................72
5.6.4.4 Ensaios de corrente critica.................................................................................................................................72
5.6.4.5 Seqüência OP1..................................................................................................................................................72
5.6.4.6 Seqüência OP2..................................................................................................................................................72
5.6.4.7 Seqüência L90...................................................................................................................................................72
5.6.4.8 Seqüência L75...................................................................................................................................................72
5.6.4.9 Seqüência L60...................................................................................................................................................73
5.7 ANÁLISE DAS CARACTERÍSTICAS DE CADA TIPO DE DISJUNTOR E SUA ADEQUAÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS ..73
5.8 CÁLCULO DA TENSÃO DE RESTABELECIMENTO................................................................................................74
5.8.1 TENSÃO TRANSITÓRIA DE RESTABELECIMENTO ............................................................................................................74
5.8.2 TRV NO PRIMEIRO POLO A INTERROMPER UM CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO......................................................................76
5.8.3 CALCULO DA TRV DESPREZANDO AS RESISTÊNCIAS DO CIRCUITO .................................................................................78
5.8.4 CALCULO DA TRV CONSIDERANDO AS RESISTÊNCIAS DO CIRCUITO ...............................................................................79
5.8.5 TRV EM DISJUNTORES ASSOCIADOS A GERADORES .....................................................................................................81
5.8.5.1 Dimensionamento dos pára-raios para proteção de enrolamentos de máquinas ..............................................83
5.8.5.2 Efeito dos pára-raios na limitação da TRV.........................................................................................................87
5.8.5.3 Limitação da TRV com pára-raios entre fases...................................................................................................89
5.8.5.4 Limitação da TRV com circuito RC ....................................................................................................................90
5.8.5.5 Limitação da TRV com circuito ZORC ...............................................................................................................92
5.8.6 TRV EM DISJUNTORES NÃO ASSOCIADOS A GERADORES COM TENSÃO NOMINAL ABAIXO DE 100 KV.................................94
5.8.7 TRV EM DISJUNTORES COM TENSÃO NOMINAL ACIMA DE 100 KV ..................................................................................96
5.8.8 DISJUNTORES COM MÚLTIPLAS CÂMARAS DE INTERRUPÇÃO ..........................................................................................98
5.8.9 DEFEITO EM LINHA CURTA ........................................................................................................................................100
5.9 INTERRUPÇÃO DE PEQUENAS CORRENTES INDUTIVAS ....................................................................................103
5.10 MANOBRA DE BANCOS DE CAPACITORES ......................................................................................................105
6 DISPOSITIVOS LIMITADORES DA CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO ..................................................... 108
7 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................... 110
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
1
1 Introdução
Em um sistema elétrico existem: a geração, a transmissão e as cargas. A energia deve fluir da geração
para as cargas. Esse fluxo de energia deve ser feito de tal forma que a tensão que chega aos centros de
consumo de carga esteja dentro de parâmetros adequados para o desempenho dos equipamentos. Dentro de
certas situações podem ocorrer acidentes e defeitos, que fazem com que parte do circuito seja alterada e assim
ocorrem distorções que fazem com que a energia que chega aos centros de carga não seja mais adequada.
Entre esse tipo de acidente pode-se mencionar a ocorrência de curto-circuitos. Quando ocorre um curto-
circuito originam-se elevadas correntes e quedas de tensão no sistema e assim além da perda de energia, a
tensão que chega ao centro de carga é afetada. Por essa razão se faz necessário detectar a ocorrência desses
curto-circuitos de modo a:
• Eliminar o curto-circuito o mais rapidamente possível;
• Especificar os componentes e equipamentos do sistema elétrico de forma que ao ocorrer um curto-
circuito, após a sua eliminação os danos ao sistema sejam minimizados;
Para esse fim deve-se efetuar o cálculo de curto-circuito em um sistema elétrico, de modo a:
• Definir os esquemas de proteção necessários e ajustar os reles de modo que os curto-circuitos
possam ser detectados;
• Conhecidos os valores de curto-circuito poder especificar os equipamentos;
No entanto, algumas situações operacionais tais como: a energização de transformadores pode provocar
fenômenos que podem ser confundidos com um curto-circuito. Dessa forma se uma desconexão for efetuada a
energia deixará de ser suprida para as cargas, sem que exista nenhuma razão para isso. Assim se faz necessário
saber discriminar entre ocorrências que podem parecer um curto-circuito, mas são limitadas a um pequeno
intervalo de tempo e um verdadeiro curto-circuito.
Um ponto muito importante é a necessidade de conhecer os equipamentos que permitem eliminar os
curto-circuitos, isolando trechos do sistema elétrico.Dessa forma o reparo pode ser feito no trecho afetado,
enquanto o restante do sistema continua em operação.
Este texto será dividido da seguinte forma:
• Modelagem de sistemas elétricos;
• Cálculo de curto-circuitos;
• Solicitações impostas pelos curto-circuitos;
• Comportamento de disjuntores frente a curto-circuitos;
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
2
2 Modelando os componentes do sistema elétrico para o cálculo de curto-circuitos
No cálculo de curto-circuitos, na maior parte do tempo, os componentes do sistema elétrico são supostos
lineares. Isso significa que se a tensão aplicada duplicar a corrente obtida irá também duplicar. Por isso se faz
conveniente expressar as grandezas dos circuitos elétricos em porcentagem ou “por unidade” de um valor base.
Dessa forma a impedância de um transformador ou de um gerador fornecida em termos de porcentagem varia em
uma mesma faixa, qualquer que seja a tensão nominal e fica mais fácil efetuar uma critica dos dados coletados.
2.1 Valores base
Usualmente escolhem-se os seguintes valores base:
• Tensão base – baseV usualmente a tensão nominal do trecho do sistema sendo considerado,
• Potência base – baseN no caso de equipamentos, usualmente escolhe-se a potência nominal do
equipamento, no caso de sistemas pode adotar-se um nível de potência compatível, por exemplo 100
MVA
 A partir da tensão e potência base, derivam-se a base de corrente e de impedância.
base
base
base V
NI =
base
base
base N
VZ
2
= e dessa forma 
base
abs
Z
ZZ ×=100% e 
base
abs
pu Z
ZZ =
2.1.1 Conversão entre bases diferentes
Eventualmente pode ser necessário converter dados de uma base para outra, por exemplo, ao calcular o
curto-circuito em um sistema cuja base escolhida seja :
MVANkVV basebase 1008,13 == e portanto 
( ) Ω== 9044,1
100
8,13 2100
MVA
kVZ MVAbase
obtém-se dados de um motor expressos na base do próprio motor,
%2158,13 === dmotormotor XMVANkVV
Para introduzir os dados do motor nas equações do sistema elétrico os dados devem ser convertidos para
a mesma base, ou seja para a base do sistema elétrico. Assim a reatância do motor será dada por:
( ) ( ) Ω=×=
×
×
×=×=×= 9985,70880,3821,0
105
108,13
100
21
5
8,13
6
232
555
MVA
kVXZXX MVAd
MVA
base
MVA
d
abs
d
motor
baseMVA
d
base
base
motor
motor
MVA
dMVA
base
MVA
baseMVA
dMVA
base
MVA
base
MVA
d
MVA
base
abs
dMVA
d N
NX
N
V
N
V
X
Z
ZX
Z
ZX
Z
XX ×=×=×=×== 52
2
5
100
5
5
100
55
100
100
pu
N
N
XX
motor
baseMVA
d
MVA
d 2,4%4205
100
100
215100
==×=×=
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
3
2.2 Componentes de seqüência
Os modelos discutidos anteriormente consideraram o sistema equilibrado, isto é, a tensão de cada fase
sendo igual em modulo e defasada de 120º. Em um sistema real isso não ocorre, existem diferenças entre as
impedâncias e nas tensões de uma e outra fase. Essa aproximação poderia ser razoável para o cálculo de curto-
circuitos trifásicos, mas não no caso de um curto fase-terra.
Em um sistema linear pode-se recorrer à representação dos fasores de tensão por meio de uma
combinação de três outros conjuntos de fasores de tensão individualmente equilibrados, que somados
representam exatamente a mesma solicitação 1. Sendo o sistema linear o resultado do curto-circuito será a soma
do resultado obtido para cada uma das solicitações impostas.
Esses conjuntos de fasores equilibrados são denominados Seqüência ZERO, POSITIVA E NEGATIVA.
Com esses três conjuntos de fasores de tensão é possível representar qualquer condição do sistema de tensões
aplicadas ao circuito elétrico. Assim o cálculo de curto-circuito de um circuito trifásico desequilibrado, pode ser
feito resolvendo-se três circuitos elétricos monofásicos.
2.2.1 Seqüência ZERO
Esta seqüência é formada por três fasores idênticos em modulo e ângulo girando com uma freqüência
angular ω
Figura 2.1 – Conjunto de fasores representando a seqüência ZERO
2.2.2 Seqüência POSITIVA
Esta seqüência é formada por três fasores idênticos em modulo e defasados de um ângulo de 120 º
girando com uma freqüência angular ω
Figura 2.2 – Conjunto de fasores representando a seqüência POSITIVA
 
1
 C.L. Fortescue – Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks – Transactions AIEE –
vol 37 – pp 1027-1140 - 1918
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
4
2.2.3 Seqüência NEGATIVA
Esta seqüência é formada por três fasores idênticos em modulo e defasados de um ângulo de 120 º
girando com uma freqüência angular -ω.
Figura 2.3 - Conjunto de fasores representando a seqüência NEGATIVA
2.2.4 Transformação do sistema ABC para as componentes de seqüência
Os três circuitos de seqüência estão mostrados na figura, como os circuitos de seqüência positiva e
negativa são equilibrados e defasados de 120º, não existirá circulação de corrente pelo neutro desses circuitos de
seqüência. No circuito de seqüência ZERO no entanto as três correntes tem a mesma fase e assim a corrente
através do neutro do circuito dessa seqüência será a soma das três correntes de fase, isto é, aon II 3= .
Figura 2.4 – Representação dos circuitos de seqüência
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
5
Cada um dos fasores de cada seqüência se refere a uma fase ABC, e no sistema ABC o fasor da fase A
será dado pela soma dos fasores da fase A de cada seqüência,
210
2
120
21
240
1210
210
11
CCCC
ABABBBBB
AAAA
FFFF
FFFFFFFF
FFFF
oo
&&&&
&&&&&&&&
&&&&
++=
∠=∠=++=
++=
Figura 2.5 – Determinação das tensões a partir dos componentes de seqüência
e assim a transformação 012 para ABC é dada por










=










2
1
0
2
2
1
1
111
F
F
F
aa
aa
F
F
F
C
B
A
onde 
oo
aea 2402120 11 ∠=∠= e a transformação inversa (ABC para 012) é dada por










=










C
B
A
F
F
F
aa
aa
F
F
F
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
6
2.3 Modelo de Gerador ou motor síncrono
Uma máquina síncrona é usualmente representada, nos estudos de curto-circuito, como uma fonte de
tensão atrás de uma impedância.
Figura 2.6 – Representação de máquina síncrona para estudo de curto-circuito
A corrente que se observa quando ocorre um curto-circuito é similar à que se obtém quando se fecha a
chave sobre um circuito RL. Mas devido ao efeito da corrente na armadura sobre o campo (reação da armadura) o
campo enlaçando os enrolamentos do estator será dado pela soma do campo produzido pelo rotor com o campo
produzido pela corrente no estator (que se opõe ao campo do rotor). Conforme o campo resultante diminui a
corrente diminui, mas essa variação não pode ser feita instantaneamente, daí essa variação gradual, conforme
mostrada na Figura 2.7.
Figura 2.7 – Contribuição de uma máquina síncrona ao curto-circuito
A componente unidirecional foi removida (como se o curto acontecesse no instante em que 0=Φ−Θ ) e
assim se pode analisar o efeito da variação da reatância mais facilmente. Nessa Figura podem ser identificadas
três regiõesprincipais, uma logo no inicio da circulação da corrente (subtransitório), uma quando a corrente se
estabiliza e uma região intermediaria (transitório). Isso é levado em conta nos cálculos usando-se uma reatância
diferente para cada uma dessas regiões, a saber:
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
7
• Região subtransitória - Imediatamente após a ocorrência do defeito a máquina estará na região de
comportamento subtransitório, definido pela reatância e constante de tempo subtransitórias ( )'''' , ddX τ
da máquina. É nessa região que se encontra o maior pico de corrente, denominada corrente
dinâmica. A corrente dinâmica será usada para o cálculo dos esforços eletrodinâmicos nos
condutores.
• Região transitória - Por volta do segundo ciclo entra-se na região de comportamento transitório da
máquina, a duração dessa região dependerá da constante de tempo transitória da máquina, sendo
geralmente considerada até o decimo ciclo. Nesta região serão consideradas a reatância e constante
de tempo transitórias ( )'' , ddX τ da máquina. Caso sejam usados disjuntores com tempo de atuação
curto a corrente de interrupção ocorrerá ainda nesta região.
• Região de regime - Finalmente entra-se na região em que a máquina entra em regime, sendo a
máquina caracterizada pela reatância de eixo direto ( )dX . Caso sejam usados disjuntores com tempo
de abertura elevado (disjuntores a óleo) a corrente de interrupção cairá nessa região.
A tensão a ser considerada no caso de maquinas síncronas deve ser obtida a partir da representação das
condições operacionais da máquina no instante de ocorrência da falta. Ver figura 2.8.
Figura 2.8 – Determinação das condições pre-falta
Como trata-se da tensão pre-falta será usada a reatância dd LX ω=
.
Figura 2.9 – Condições da máquina logo após a ocorrência da falta
Na figura 2.10 é mostrada a corrente de defeito incluindo o efeito da assimetria (componente
unidirecional), que será importante quando se tratar mais adiante do dimensionamento de disjuntores para
proteção de máquinas síncronas.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
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Figura 2.10 – Contribuição de máquina síncrona para um curto-circuito nos terminais
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
9
2.4 Modelo de motor assíncrono
Também os motores de indução apresentam uma contribuição para a corrente de curto-circuito. Mas como
o campo magnético não é alimentado por uma excitação independente, esse campo é originado apenas pela
reação da armadura e dura apenas o tempo equivalente ao subtransitório. Assim os motores de indução devem
ser considerados no cálculo da corrente dinâmica (até 2 ciclos) mas não na corrente de curto-circuito em regime.
O modelo do motor assíncrono consiste de uma fonte de tensão atrás de uma indutância, conforme mostrado na
figura 2.11.
Figura 2.11 – Modelo de motor assíncrono para o curto-circuito
Pode-se observar no oscilograma de corrente na figura 2.12, que a duração da corrente é bastante curta,
dependendo basicamente da constante de tempo do estator e assim apenas a corrente dinâmica é afetada pela
contribuição dos motores assíncronos.
Figura 2.12 – Contribuição de um motor assíncrono para um curto-circuito nos terminais
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
10
2.5 Modelo de Transformador
Nos sistemas elétricos os transformadores são usados principalmente quando há necessidade de conectar
dois trechos do circuito com tensões diferentes. O modelo do transformador será conforme mostrado na figura
2.13, um circuito T formado por três ramos, a saber:
• impedância do enrolamento primário,
• impedância do enrolamento secundário,
• impedância do circuito de magnetização.
Figura 2.13 – Modelo de transformador
Do modelo estabelecido pode-se ver que não existe nenhuma transformação nos valores de tensão e
corrente, tais como as que ocorrem num transformador real. Por isso é necessário transformar as impedâncias
usadas no modelo para a mesma base. Escolhida, por exemplo, como base o lado de tensão mais elevada,
trafobase
primbase
prim
NN
VV
V
V
n
=
=
=
sec
 e portanto 
base
base
base V
NI = e 
base
base
base N
VZ
2
=
para o enrolamento primário tem-se então
pu
I
I
I
pu
V
V
V
base
prim
p
base
prim
p
1
1
==
==
 e assim as impedâncias localizadas no lado primário não precisam ser convertidas.
para o enrolamento secundário tem-se
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
11
pun
I
II
pu
nV
VV
base
s
base
s
==
==
sec
sec 1
 e portanto 
( ) prim
base
base
base
base Z
nN
VZ 2
2sec
sec 1
==
Assim para converter as impedâncias conectadas no lado secundário para a base do lado primário,
punZZ baseprimbase 2secsecsec ×=
Da mesma forma as tensões e correntes no lado secundário devem ser convertidas para a base do lado
primário,
pu
n
II
punVV
baseprimbase
baseprimbase
1sec
secsec
sec
secsec
×=
×=
Figura 2.14 – Modelo simplificado do transformador para estudos de curto-circuito
O modelo do transformador para o cálculo de curto-circuitos será então formado então apenas pela
impedância série, sendo desprezada a impedância de magnetização. No entanto, quando for necessário a
consideração da corrente de “inrush” na energização do transformador, a impedância de magnetização deverá ser
levada em conta.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
12
2.5.1 Transformador com três enrolamentos
Em um transformador com dois enrolamentos a potência dos dois enrolamentos será a potência do
transformador, assim as impedâncias normalizadas dos enrolamentos serão expressas nessa base. Em um
transformador com três enrolamentos, cada enrolamento pode ter uma potência diferente. Assim é necessário
inicialmente converter todas as impedâncias para as mesmas bases de tensão e potência.
Na figura 2.15 é mostrado o modelo do transformador com três enrolamentos, desprezado o ramo de
magnetização. Ocorre que a impedância só pode ser medida entre cada dois enrolamentos, ou seja os valores
fornecidos são a impedância primário-secundário, a impedância primário-terciário e a impedância secundário-
terciário. A conversão entre os valores fornecidos de impedância de cada par de enrolamentos, para o modelo,
será dada por:
( )
( )
( )psstptttsst
ptstpsstppt
stptpspspps
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
−+=+=
−+=⇔+=
−+=+=
2
1
2
1
2
1
Figura 2.15 – Modelo de transformador com três enrolamentos
2.5.2 Polaridade de um transformador
A marcação de polaridade em um transformador monofásico é conforme mostrado na figura, note-se que
no mesmo instante de tempo a corrente no enrolamento primário entra no terminal H1 e a corrente no secundário
saí pelo terminal X1.
Desprezadas as perdas e a magnetização a defasagem angular entre as tensões primária e secundária
será nula em um transformador monofásico, marcado conforme a figura 2.16.
Figura 2.16 – Marcação da polaridade de um transformador
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
13
2.5.3 Defasagem angular em transformadores delta-estrela
A defasagem angular em transformadores trifásicos com ligação estrela-estrela ou delta-delta será nula. No
caso de transformadores delta-estrelaou estrela-delta a tensão estará em fase entre cada par de enrolamentos,
mas não entre os terminais de linha do primário e secundário do transformador, ver figura 2.17. Nesse caso a
defasagem será de +30º ou –30º, dependendo da forma como os enrolamentos estiverem conectados.
Figura 2.17 – Determinação da defasagem angular
2.5.4 Impedância de seqüência ZERO de transformadores trifásicos
Os modelos mostrados anteriormente são aplicáveis aos circuitos de seqüência positiva e negativa, mas no
caso da seqüência ZERO se faz necessário um modelo diferente. Como visto anteriormente a corrente no circuito
de seqüência ZERO é relacionada com a corrente que circula pelo neutro. Assim tem-se que se a conexão do
enrolamento do transformador não permite circulação de corrente, então também o circuito de seqüência ZERO
não deve permitir. Na figura 2.18 é mostrado o modelo do transformador para o circuito de seqüência ZERO de
acordo com o tipo de conexão dos enrolamentos do transformador.
Figura 2.18 – Impedância de seqüência ZERO
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
14
2.6 Modelo de linha de transmissão
Figura 2.19 - Modelo da linha de transmissão
No cálculo de curto-circuito as capacitâncias podem ser desprezadas e assim apenas as impedâncias série
precisam ser determinadas. 23
A resistência série expressa por unidade de comprimento, referida a 20 ºC, pode ser obtida por:
mS
R
n
Ω
=
ρ
1
onde S – seção nominal do condutor expressa em mm2,
ACSRpara
m
mm
ioalupara
m
mm
cobrepara
m
mm
2
2
2
51
1
min
34
1
54
1
Ω
=
Ω
=
Ω
=
ρ
ρ
ρ
No calculo do curto-circuito máximo as resistências são usadas na temperatura de referência de 20 ºC. No
cálculo do curto mínimo deve ser aplicada a correção da temperatura dos cabos. A correção em função da
temperatura será dada por:
( )[ ] 11 201 RR −+= θα
onde 
C°
=
1004,0α sendo valido tanto para cobre, como alumínio e ACSR.
A reatância de seqüência positiva da linha, expressa por unidade de comprimento, será dada por:
mr
df
r
dfX Ω





+=





+= ln
4
1ln
4
1
2
2 001 pi
µ
pipi
µ
pi
onde CABCAB dddd = - distância média geométrica entre os condutores da linha,
r – raio do condutor ou em caso de feixes n nB Rrnr
1−
= sendo R – raio do feixe;
 
2
 IEC 60909-0 – Short-circuit currents in three-phase a.c. systems – Part 0: Calculations of currents - 2001
3
 IEC 909-2 – Electrical quipment – Data for short-circuit current calculations in accordance with IEC 909 (1988) - 1992
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
15
m
H7
0 104
−×= piµ
Figura 2.20 – Representação das distâncias numa linha de transmissão
A impedância de seqüência zero dependerá da resistividade do solo e da existência ou não dos cabos pára-
raios.
A corrente de retorno pelo solo se distribui em uma camada superficial do solo, em torno do trajeto dos
condutores, sendo a espessura equivalente dessa camada dada por:
mf µpi
ρδ =
assim para m.100 Ω=ρ Hzf 60= 0µµ = tem-se m7,64960
100
0
=
××
=
µpi
δ
Figura 2.21 - Tipos de linhas
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
16
A impedância de seqüência zero por unidade de comprimento, será dada por:
• Para uma linha com circuito simples e sem cabo pára-raios
mdR
j
Sn
Z
n
Ω
















+++=
3 2
0
0 ln34
1
8
3 δ
pi
ω
µ
ω
ρ
• Para uma linha com circuito simples e com cabo pára-raios
mZ
Z
dR
j
Sn
Z
D
LD
n
Ω
−
















+++=
2
3 2
0
0 3ln34
1
8
3 δ
pi
ω
µ
ω
ρ
onde 








+=
3
00
111
ln
28 CDBDAD
LD ddd
jZ δ
pi
µ
ω
µ
ω ,












+++=
D
D
DD
r
jRZ δµ
pi
µ
ω
µ
ω ln
428
00
,
DR - resistência, por unidade de comprimento do cabo pára-raios,
Dµ - permeabilidade magnética do material do cabo pára-raios.
• Para uma linha com circuito simples e dois cabos pára-raios
Sejam os cabos pára-raios identificados por D1 e D2, tem-se então
mZ
Z
dR
j
Sn
Z
DD
DLD
n
Ω
−
















+++=
21
21
2
3 2
0
0 3ln34
1
8
3 δ
pi
ω
µ
ω
ρ
onde 








+=
6
00
222111
21
ln
28 CDBDADCDBDAD
DLD dddddd
jZ δ
pi
µ
ω
µ
ω ,
















+++=
21
21
ln
428
00
DDD
D
DDD dr
jRZ δµ
pi
µ
ω
µ
ω ,
21DDd - distância entre os dois cabos pára-raios
DR - resistência, por unidade de comprimento do cabo pára-raios,
Dµ - permeabilidade magnética do material do cabo pára-raios.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
17
• Para uma linha com circuito duplo em paralelo e um único cabo pára-raios
Sejam os cabos fase identificados por A1 B1 C1 e A2 B2 C2, o cabo pára-raios por D, tem-se então
mZ
Z
Z
dR
j
Sn
Z
D
LD
LM
n
Ω
−+
















+++=
2
3 2
0
0 63ln34
1
8
3 δ
pi
ω
µ
ω
ρ
onde 







+=
3
00
111
ln
28 DCDBDA
LD ddd
jZ δ
pi
µ
ω
µ
ω
,












+++=
D
D
DD
r
jRZ δµ
pi
µ
ω
µ
ω ln
428
00
,










+=
3 2
00
21
ln
28
DMDM
LM
dd
jZ δ
pi
µ
ω
µ
ω
3
1111 DCDBDADM dddd =
3
2222 DCDBDADM dddd =
DR - resistência, por unidade de comprimento do cabo pára-raios,
Dµ - permeabilidade magnética do material do cabo pára-raios.
• Para uma linha com circuito duplo em paralelo e dois cabos pára-raios
Sejam os cabos fase identificados por A1 B1 C1 e A2 B2 C2, o cabo pára-raios por D, tem-se então
mZ
Z
Z
dR
j
Sn
Z
DD
DLD
LM
n
Ω
−+
















+++=
21
21
2
3 2
0
0 63ln34
1
8
3 δ
pi
ω
µ
ω
ρ
onde 








+=
6
00
222111
21
ln
28 CDBDADCDBDAD
DLD dddddd
jZ δ
pi
µ
ω
µ
ω ,
















+++=
21
21
ln
428
00
DDD
D
DDD dr
jRZ δµ
pi
µ
ω
µ
ω ,
21DDd - distância entre os dois cabos pára-raios
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
18
2.7 Representando o circuito elétrico
Para proceder ao cálculo de curto-circuitos em um sistema elétrico é necessário antes representar esse
sistema elétrico, de modo a determinar as características dos componentes e a forma pela qual esses são
interligados. Para isso procede-se inicialmente à elaboração do diagrama unifilar do sistema.
Figura 2.22 - Unifilar de um sistema elétrico
Posteriormente passa-se à modelagem de cada componente, inicialmente cada componente será
considerado equilibrado.
Figura 2.23 – Circuito elétrico modelando o sistema elétrico
Como a corrente de magnetização de um transformador é muito menor do que a corrente nominal4, pode-
se desprezar o ramo que representa a magnetizaçãono transformador. Adicionalmente pode-se remover as
capacitâncias no modelo da linha de transmissão, posto que a corrente capacitiva será muito menor do que a
corrente de curto-circuito. Finalmente as cargas, se a carga for eminentemente resistiva (aquecimento e
iluminação) a corrente na carga será muito menor do que a corrente de curto-circuito e a carga pode ser
desconsiderada. Porém se a carga for composta por motores deverá ser considerada, posto que durante o curto
os motores se comportarão como geradores.
 
4
 A corrente de inrush será considerada posteriormente em um tópico separado
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
19
Figura 2.24 – Elementos que podem ser desconsiderados no estudo de curto-circuito
E assim o circuito a ser considerado para o cálculo do curto-circuito fica bastante simplificado.
Figura 2.25 – Modelo simplificado a ser usado no estudo de curto-circuito
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
20
3 Cálculo da corrente de curto-circuito
Atualmente o cálculo de curto-circuito é feito com a ajuda de programas computacionais. Existem diversos
tipos de programas, mas basicamente a sua concepção é a mesma alterando-se apenas a forma de inclusão dos
dados e da apresentação dos resultados. Neste texto será enfocado o uso de um programa elaborado pelo
próprio autor, mas todos os procedimentos podem ser aplicados ao uso de outros programas.
3.1 Tipos de curto-circuito
Figura 3.1 – Circuito representando a falta
• Trifásico - Curto-circuito onde as três fases são envolvidas A impedância de falta é idêntica para as três
fases.
• Curto-circuito em que apenas duas fases são envolvidas sem circulação ou contato com a terra.
• Fase-Fase-Terra - Curto-circuito em que estão envolvidas duas fases e a terra.
• Fase-Terra - Curto-circuito em que apenas uma fase e a terra estão envolvidas.
 Selecione o curto-circuito que se quer calcular e os resultados serão indicados para esse tipo de curto-
circuito. Desde que os dados de seqüência ZERO também tenham sido digitados, pois caso existam apenas os
dados de seqüência POSITIVA apenas os curtos trifásico e fase-fase poderão ser calculados.
O cálculo de curto-circuito usando-se as componentes de seqüência 012 torna mais simples o cálculo ao
dividir o problema em 3 circuitos monofásicos que podem ser relacionados entre si dependendo do tipo de curto-
circuito a considerar. As tensões e correntes serão obtidas por uma composição fasorial das tensões e correntes
obtidas em cada circuito de seqüência. A transformação do sistema de referência 012 para o sistema de
referência ABC é feito através da expressão:










=










=
2
1
2
2
1
1
111
I
I
I
aa
aa
I
I
I
I
o
c
b
a
abc
onde 
oo
aea 2402120 11 ∠=∠= e do sistema ABC para o 012,










=










=
c
b
ao
I
I
I
aa
aa
I
I
I
I
2
2
2
1
012
1
1
111
3
1
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
21
O mesmo se aplica para as tensões, a conversão de impedâncias é feita por:
aa
aa
ZZZ
ZZZ
ZZZ
aa
aa
Z
Z
Z
Z
cccbca
bcbbba
acabaa
2
2
2
2
2
1
0
012
1
1
111
1
1
111
3
1
00
00
00
==
3.2 Escrevendo as equações que representam o curto-circuito
Para resolver o circuito elétrico e calcular o curto-circuito se faz necessário primeiramente representa-lo
em forma de equações matemáticas. O sistema elétrico com n barras será representado por uma equação
matricial n x n da forma 5
[ ] [ ]abcbarraabcbarraabcbarra IZE =
que pode ser reescrita,
















=
















abc
n
abc
abc
abc
nn
abc
n
abc
n
abc
n
abcabc
abc
n
abcabc
abc
n
abc
abc
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
E
E
E
...
...
.
......
...............
...............
......
......
...
...
2
1
21
22221
11211
2
1
Figura 3.2 - Modelo do sistema elétrico
 
5
 Stagg G. W. , El-Abiad A. H. – Computer Methods in Power System Analysis – McGraw-Hill - 1968
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
22
Figura 3.3 - Modelo do sistema elétrico considerando a matriz Zbarra
Uma vez montada a matriz abcbarraZ pode-se determinar o curto-circuito em qualquer barra.
A corrente de curto-circuito na barra q, será dada por:
[ ] abcqabcqqabcFabcFq EZZI )0(1)()( −+=
e a tensão nessa mesma barra por:
[ ] abcqabcqqabcFabcFqabcFqabcFabcFq EZZZIZE )0(1)()()()()( −+==
e nas demais barras por:
[ ] qpEZZZEE abcqabcqqabcFabcpqabcpabcFp ≠+−= − )0(1)()0()(
A matriz Zbarra pode ser montada tanto em componentes de fase, como em componentes de seqüência
012. O procedimento para a montagem de Zbarra será o seguinte:
• Incluem-se as impedâncias próprias das barras, isto é as impedâncias conectadas entre a barra e
a referência, incluem-se as impedâncias ppZ , que entram na diagonal da matriz;
• Nem todas as barras apresentarão uma impedância própria;
• Incluem-se as impedâncias de conexão entre as barras, isto é, linhas, cabos, transformadores,
etc. Essas impedâncias são representadas na forma pqZ e representam a impedância entre a
barra p e a barra q;
• A inclusão é feita da seguinte forma;
• Se na barra q ainda não existe nenhuma conexão, isto é, 0=qqZ , o elemento que irá
ser incluído forma um ramo e será incluído da seguinte forma, pqqppq zZZ == e
pqpqqq zZZ +=
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
23
• Se tanto na barra p, como na barra q, já há elementos conectados, isto é
00 ≠≠ qqpp ZZ , então será incluído um link. O procedimento requer a inclusão de
uma linha adicional na matriz Zbarra que depois será reduzida.
• Considere-se a linha adicional l, essa linha será formada por:
pqlqlpll
qkpklkkl
zZZZ
ZZZZ
+−=
−==
• A linha adicional será agora eliminada (ou reduzida), alterando os demais elementos da
matriz 
ll
lklj
kj
novo
jk
novo
kj Z
ZZ
ZZZ −==
3.3 Valores a calcular no curto-circuito
Os seguintes valores de curto-circuito devem ser calculados para cada barra do sistema:
• Curto-circuito inicial máximo – É o valor de corrente de curto-circuito obtido considerando-se
a maior tensão de operação do sistema. A maior tensão de operação do sistema a ser
considerada é definida na norma IEC 60909-0 6;
• Curto-circuito inicial mínimo – É o valor obtido considerando-se a tensão nominal de
operação do sistema, esse valor é utilizado para o dimensionamento de fusíveis e ajuste de
proteção.
Na tabela abaixo são definidos os valores do coeficiente de tensão c conforme IEC60909-0 para o cálculo
das correntes de curto-circuito.
Fator de tensão cTensão Nominal
Un
Curto máximo
cmax (nota 1)
Curto mínimo
cmin
De 1 a 35 kV 1,10 1
Acima de 35 kV (nota 2) 1,10 1
Notas:
1 - nUcmax não deve exceder a tensão máxima de operação dos equipamentos do sistema mU
2 – Deve-se usar mn UUc =max e mn UUc 90,0min =
Note-se que em qualquer caso a tensão máxima a ser usada não deve ultrapassar a tensão máxima de
operação dos equipamentos, por exemplo, em um sistema de 13,8 kV tem-se:kVUcekVUUcusarsedeve
kVsetemkVUkVU
nmn
mn
80,1315
18,158,1310,10,158,13
minmax ===−
=×−==
Para cada curto-circuito calculado serão obtidos os seguintes valores:
• Corrente simétrica inicial - ''kI
• Corrente de crista - pi
• Corrente simétrica de regime - kI
• Componente unidirecional da corrente valor inicial - dci
• Componente unidirecional da corrente valor no instante da interrupção - bdci
• Corrente simétrica de interrupção - bI
 
6
 IEC 60909-0 – Short-circuit currents in three-phase a.c. systems – Part 0: Calculations of currents - 2001
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
24
Na figura 3.4 pode ser vista a representação de cada uma dessas grandezas.
Figura 3.4 - Correntes a determinar para cada curto-circuito
3.3.1 Curto fase-terra
No caso de um curto-circuito fase-fase-terra tem-se que existe a contribuição de duas fases e ainda existe
a circulação de corrente de seqüência ZERO. As condições impostas são 00 === VcVeI ba e isso é
conseguido ligando-se os três circuitos de seqüência em série, conforme mostrado na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Curto fase-terra
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
25
3.3.2 Curto fase-fase-terra
Figura 3.6 – Curto fase-fase-terra
No caso de um curto-circuito fase-fase-terra existe a contribuição de duas fases e ainda existe a circulação
de corrente de seqüência ZERO. As condições impostas são 00 === VcVeI ba e isso é conseguido ligando-
se os três circuitos de seqüência em paralelo, conforme mostrado na Figura 3.6.
3.3.3 Curto fase-fase
Figura 3.7 – Curto fase-fase
No caso de um curto-circuito fase-fase apenas duas fases contribuem com corrente, logo
00 ==−== cbcba VVeIII e isso é conseguido ligando-se os circuitos de seqüência POSITIVA e
NEGATIVA em paralelo, conforme mostrado na figura 3.7. O circuito de seqüência ZERO permanece desligado
pois não havendo a participação da terra não há circulação da corrente de seqüência ZERO.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
26
3.3.4 Curto trifásico
Figura 3.8 – Curto trifásico
No caso de um curto-circuito trifásico a corrente nas três fases é igual, mas defasada de 120 º, a tensão
em cada fase caí a zero durante a fase, e assim tem-se que,
00 20 ==→== IIIII cba
ou seja existe apenas a componente de seqüência POSITIVA, e tem-se que 
1
1
1 Z
VI =
e portanto










=










=










1
1
2
1
1
2
2
0
0
1
1
111
Ia
Ia
I
I
aa
aa
I
I
I
c
b
a
ou seja a corrente na fase B é a corrente na fase A com um deslocamento de fase de 240 º e a corrente da fase C
é a corrente da fase A com um deslocamento de fase de 120 º. Note-se que isto atende às condições impostas
inicialmente.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
27
3.4 Exemplo de cálculo de curto-circuito em um sistema
Com o objetivo de fixar os conceitos expostos, será apresentado um exemplo a ser resolvido passo a
passo.
3.4.1 Diagrama unifilar simplificado
O primeiro passo é elaborar um diagrama unifilar simplificado do sistema a ser calculado. Nesse unifilar
serão localizados os principais componentes do sistema.
Figura 3.9 – Unifilar do caso exemplo
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
28
3.4.2 Coletando os dados
Os dados de cada componente são coletados e incluídos no diagrama unifilar, afim de tornar a consulta às
informações mais simples.
• Valores base - MVANkVV basebase 100138 ==
• Concessionária – 138 kV
 Nível de curto circuito trifásico – 1817 MVA - X/R=4.3
 Nível de curto-circuito monofásico – 1909 MVA - X/R=4.8
Seqüência positiva – puZ 0550,017,18
11 == considerando
( ) º908,763,43,4/ 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 0536,00125,01 +=
 Seqüência ZERO - puZ 0524,009,19
10 == considerando
( ) º232,788,48,4/ 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 0513,00107,00 +=
Figura 3.10 – Fator X/R
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
29
• Gerador 1 – 13,8 kV – 35 MVA – valores saturados
ssXXXX ddddd 35,102,0%22%19%32%190 '''2''' ====== ττ
Perdas estator – 600 kW
pu
N
P
RIRP
gerador
estCU
estgeradorestestCU 00571,035
6,0
3
1
3
13 2 =×==⇒=
aterramento por meio de resistor 800 Ω -10 A
Inicialmente convém converter os valores para a mesma base de potência, assim
 
pu
N
V
R
pu
N
NRR
pu
N
NXX
pu
N
NXX
pu
N
NXX
pu
N
NXX
base
base
aterr
gerador
base
geradorestest
gerador
base
gerador
gerador
base
geradordd
gerador
base
geradordd
gerador
base
geradordd
0798,420
100
8,13
800800
0163,0
35
10000571,0
6286,0
35
10022,0
9143,0
35
10032,0
5429,0
35
10019,0
4286,5
35
10090,1
22
22
''
''''
===
=×=×=
=×=×=
=×=×=
=×=×=
=×=×=
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
30
• Motor Equivalente 1 – kV 13,8=motorV - 102,05 '' === R
XpuXMVAN dmotor
 pu
N
N
XX
motor
base
motordd 0000,45
10020,0'''' =×=×=
 ( ) º289,841010 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 9801,33980,01 +=
• Motor Equivalente 2 – kV 44,0=motorV - 1025,035 '' === R
XpuXkVAN dmotor
 pu
N
N
XX
motor
base
motordd 2857,714035,0
10025,0'''' =×=×=
 ( ) º289,841010 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 7409,0710741,711 +=
• Motor Equivalente 3 – kV ,440=motorV - 102,05,1 '' === R
XpuXMVAN dmotor
 pu
N
N
XX
motor
base
motordd 3333,135,1
10020,0'''' =×=×=
 ( ) º289,841010 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 2672,1303267,11 +=
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
31
• Transformador 1 – 15 MVA – 138-13,8 kV – Z=8,5% - estrela-estrela aterrado
seqüência positiva - pu
N
N
ZZ
trafo
base
trafo 5667,015
100085,0 =×=×=
 ( ) º690,7855 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 5557,01111,01 +=
Impedância de neutro - 00,84 =Ω= nn XR - aterrado por resistência
 pu
N
V
R
base
base
n 810,44
100
8,13
0,840,84
22 ===
• Transformador 2 – 35 MVA – 138-13,8 kV – Z=8,5 % - estrela aterrado - delta
seqüência positiva - pu
N
N
ZZ
trafo
base
trafo 2429,035
100085,0 =×=×=
 ( ) º690,7855 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 2381,00476,01 +=
Impedância de neutro - 00 == nn XR - solidamente aterrado
• Transformador 3 – 45 kVA – 13,8–0,48 kV – Z=2,5 % - delta-estrela X/R=5
 seqüência positiva - pu
N
N
ZZ
trafo
base
trafo 5556,55045,0
100025,0 =×=×=
 ( ) º690,7855 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 4767,548953,101 +=
Impedância de neutro - 0=∞= nn XR - não aterrado
• Transformador 4 – 2500 kVA – 13,8-0,48 kV – Z=7,5 % - delta-estrela
 seqüência positiva - pu
N
N
ZZ
trafo
base
trafo 0000,35,2
100075,0 =×=×=
 ( ) º690,7855 1 ==Θ⇒= −tgRX pujZ 9417,25883,01 +=
Impedância de neutro - 0=∞= nn XR - não aterrado
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos32
• Reator Limitador de Corrente – 0,300 Ω pu
N
V
X
X
base
base
reator 1575,0
100
8,13
300,0
221 ===
• Linha 1 - 1,3km: %j0,340,13Z1 += %1,04j 0,34Z0 +=
• Linha 2 - 7,5km: %1,88j 0,53Z1 += %6,23j 1,44Z0 +=
• Linha 3 (barramento blindado) – comprimento 16 m – L=150 nH/m C=80 pF/m
 Ω=×××××== − 000905,016101506022 9pipi lLfX
 
pu
N
V
XX
base
base
4
221 10752,4
100
8,13
000905,0
−×===
Figura 3.11 – Dimensões do barramento blindado
• Linha 4 (barramento blindado) – comprimento 16 m – L=150 nH/m C=80 pF/m
 
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
33
Figura 3.12 – Representação do caso exemplo com as impedâncias
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
34
3.4.3 Calculando o curto-circuito trifásico
Em um sistema tão pequeno seria possível prosseguir convertendo as impedâncias para a mesma base
de tensão e eliminar os transformadores e com isso resolver o curto-circuito manualmente. Mas atualmente
existem diversos programas computacionais para o cálculo de curto-circuito e com isso será usado o
procedimento de cálculo através de um programa computacional. Conhecidas as impedâncias do sistema passa-
se a preencher os dados no programa de cálculo de curto-circuito, neste exemplo usaremos o programa
WinCurto_32 da Mourente.
Inicialmente são criadas as barras, ver figura 3.13 para verificar a entrada de dados típica de cada barra.
Figura 3.13 - Inclusão da barra da concessionária
Figura 3.14 - Inclusão de barra com carga de motores
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
35
Figura 3.15 - Inclusão de barra sem carga própria
Figura 3.16 - Inclusão de barra com gerador
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
36
Assim será criada a lista de barras do sistema, ver figura 3.17.
Figura 3.17 - Lista de barras do sistema
Passa-se então à inclusão das linhas e alimentadores, cada linha ou alimentador é definido pela barra de
partida e de chegada e pelas impedâncias. Adicionalmente a linha pode ser considerada ligada ou desligada.
Figura 3.18 - Entrada das linhas e alimentadores
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
37
Após a entrada das linhas, passa-se à entrada dos transformadores.
Figura 3.19 - Entrada dos transformadores
Escolhe-se então a barra em que se deseja calcular o curto-circuito, o tipo de curto e o regime do curto
desejado e se obtém então a corrente de curto-circuito nessa barra.
Figura 3.20 - Corrente de curto-circuito na barra selecionada
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
38
Selecionando-se a aba de tensões, pode-se ver as tensões em cada barra para um curto-circuito na barra
considerada.
Figura 3.21 - Tensão nas demais barras para um curto-circuito numa barra selecionada
Depois seleciona-se a aba de Corrente nas linhas e se obtém a corrente em cada linha ou alimentador,
para o curto na barra considerada.
Figura 3.22 - Corrente nas diversas linhas e alimentadores para um curto-circuito na barra selecionada
E finalmente pode-se ver a corrente através de cada transformador.
Figura 3.23 - Corrente nos diversos transformadores para um curto-circuito na barra selecionada
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
39
3.4.4 Interpretando os resultados do curto-circuito trifásico
Escolhendo a barra onde o curto-circuito será considerado, obtém-se a corrente de curto-circuito nessa
determinada barra. Obtém-se também o fator X/R da corrente de curto-circuito, nessa mesma barra.
Figura 3.24 - Curto-circuito trifásico subtransitório na Barra 4
Figura 3.25 - Curto-circuito trifásico transitório na Barra 4
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
40
Figura 3.26 - Contribuições para o curto-circuito trifásico na Barra 4
Marcando as contribuições, pode-se verificar a corrente que circula em cada trecho do circuito, a corrente
que passa pelo barramento e a corrente que atravessa o disjuntor.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
41
Figura 3.27 - Corrente de curto-circuito trifásico na Barra 4
Note-se que apesar de no instante da interrupção a corrente na Barra 4 ser a indicada por bI , a corrente
que passa pelo disjuntor não tem esse valor. Na realidade a corrente que passa pelo disjuntor corresponde à
contribuição vinda através da Linha 3, sendo bastante menor do que a corrente que circula na Barra 4. Daí a
importância de o programa de curto-circuito fornecer as diversas contribuições de corrente.
Figura 3.28 - Corrente através do disjuntor da Linha 3 para um curto-circuito trifásico na Barra 4
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
42
3.4.5 Calculando o curto-circuito monofásico
Para efetuar o cálculo de curto fase-terra é necessário considerar as impedâncias de seqüência zero e
também as impedâncias de aterramento dos transformadores e das máquinas.
Figura 3.29 - Correntes de curto fase-terra em diversas barras
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
43
 Note-se que o curto-circuito fase-terra na barra Gerador 1 é limitada a 10,5 A, devido à presença do
resistor de aterramento do neutro do gerador. O angulo de fase dessa corrente é de 2,46 ° exatamente devido ao
efeito do resistor de aterramento.
Figura 3.30 - Resultados do curto fase-terra na barra Gerador 1
Figura 3.31 - Resultados do curto fase-terra na Barra 2
Já na Barra 2 o curto fase-terra é de 756 A e o angulo de fase é de 70,6 °, posto que a limitação está
sendo feita apenas pela impedância das linhas e dos transformadores.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
44
3.4.6 Apresentação dos resultados
A apresentação dos resultados pode ser feita na forma de uma tabela, conforme mostrado a seguir.
Curto Trifásico máximo (1,05 pu)
Tempo de abertura = 50 ms
Barra
Tensão
(kV) Ik’’
(kArms)
Ip
(kAcrista)
X/R Idc
(%)
Ib sim
(kArms)
Curto
Fase-Terra
(kArms)
Concessionária 144,9 8,176 22,1 4,296 17,3 9,091 11,893
Barra 2 144,9 1,303 3,5 3,075 8,6 1,190 0,756
Carga 1 14,5 5,821 15,7 4,448 61,8 4,703 0,099
Barra 3 144,9 0,747 2,0 7,521 36,7 0,562 0,149
Barra 4 14,5 9,784 26,4 13,812 57,9 6,441 0,011
Barra 5 14,5 9,785 26,4 13,813 57,9 6,441 0,011
RLC 14,5 2,177 5,9 63,182 88,7 1,927 0,011
Gerador 1 14,5 9,787 26,4 13,814 57,9 6,442 0,011
Curto Trifásico mínimo (1,00 pu)
Tempo de abertura = 50 ms
Barra
Tensão
(kV) Ik’’
(kArms)
Ip
(kAcrista)
X/R Idc
(%)
Ib sim
(kArms)
Curto
Fase-Terra
(kArms)
Concessionária 138 7,786 21,0 4,297 17,3 7,705 11,326
Barra 2 138 1,241 3,3 3,075 8,6 1,133 0,720
Carga 1 13,8 5,544 15,0 4,447 18,3 4,479 0,094
Barra 3 13,8 0,712 1,9 7,521 36,7 0,536 0,141
Barra 4 13,8 9,318 25,1 13,812 57,9 6,134 0,010
Barra 5 13,8 9,319 25,1 13,813 57,9 6,134 0,010
RLC 13,8 2,073 5,6 63,182 88,7 1,834 0,010
Gerador 1 13,8 9,321 25,1 13,814 57,9 6,135 0,010
MourenteConsiderações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
45
3.5 Energização de transformadores
Uma situação que deve ser considerada ainda no cálculo de curto-circuitos, vem a ser a energização de
transformadores. Ao energizar um transformador ocorre uma sobretensão e essa sobretensão leva à saturação
do núcleo do transformador provocando picos de corrente, que podem ser da ordem de grandeza da corrente de
curto-circuito e assim fazer com que a proteção atue indevidamente. Assim a energização de transformadores é
um assunto a ser considerado tanto na coordenação de isolamento como no cálculo de curto-circuito.
A figura 3.32 mostra a curva V x I de um transformador, no eixo vertical tem-se a tensão aplicada e no eixo
horizontal a corrente de magnetização. Essa curva pode ser relacionada com a curva B x H do material
magnético do núcleo. A tensão aplicada é dada por 
dt
dV Φ= e sendo a tensão aplicada senóidal tem-se,
( ) ( )
ω
ω
ω
tdttV
t
m
sen
cos 0
0
0 +Φ=+Φ=Φ ∫ onde 0Φ - fluxo inicial no núcleo. Assim, pode-se converter a
curva V x I em uma curva ΦΦΦΦ x I.
Figura 3.32 - Curva V x I
Figura 3.33 - Curva ΦΦΦΦ x I
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
46
Determinando-se a tensão que chega aos terminais do transformador, pode-se então calcular o fluxo no
núcleo e assim determinar a corrente de magnetização. Na figura pode-se ver o modelo do transformador.
Figura 3.34 - Modelo do transformador
No momento da energização o disjuntor recebe a ordem de fechamento e os contatos começam a
aproximar-se. A tensão suportável entre os contatos depende da distância e assim sendo irá decrescendo
conforme os contatos se aproximam. Em dado instante a tensão aplicada será maior do que a tensão suportada e
se formará um arco entre os contatos. Ver figura 3.35.
Figura 3.35 - Caracterização do momento de estabelecimento de corrente
Do exposto pode-se concluir que o disjuntor pode estabelecer a corrente apenas em uma determinada
região da curva de tensão, que depende da velocidade dos contatos. Assim a corrente não pode ser estabelecida
no zero de tensão, a menos que chaves especiais sejam usadas.
A corrente durante a energização do transformador dependerá do fluxo residual existente no núcleo do
transformador e também do instante em que o circuito é estabelecido. Na figura pode-se ver dois casos
superpostos, o primeiro com energização na crista da tensão ( °=Θ 0 ) e o segundo com energização 1 ms antes
da crista ( °−=Θ 6,21 ).
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
47
Figura 3.36 - Influência do angulo da tensão no instante do chaveamento
Note-se que uma diferença de 1 ms no instante de estabelecimento provoca uma grande variação na
corrente de inrush do transformador. Também deve ser notado que a corrente de inrush é menor quando o
estabelecimento se dá próximo à crista da onda de tensão. Assim o fato de o disjuntor ser capaz de estabelecer a
corrente apenas numa janela em torno da crista de tensão, se mostra favorável. Devido a este fato foram
desenvolvidos dispositivos de chaveamento sincronizado, que medem as condições do circuito e enviam o
comando de fechamento do disjuntor de tal forma que a corrente seja estabelecida no instante mais propicio.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
48
No entanto, não é apenas o angulo da tensão no instante de estabelecimento que afeta a corrente de
inrush, também deve ser considerado o fluxo residual no núcleo. Na figura 3.37 dois casos superpostos mostram
o efeito do fluxo residual.
Considerando o estabelecimento efetuado nas proximidades da crista (t=4 ms), foram considerados os
seguintes casos:
• A - fluxo residual nulo ( 00 =Φ );
• B - skV .2,00 =Φ ;
• C - skV .2,00 −=Φ .
Figura 3.37 - Efeito do fluxo residual na corrente de inrush
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
49
O efeito da saturação pode ser visto na curva de fluxo e sua conseqüência é a de distorcer a tensão de
magnetização e portanto a tensão induzida no outro enrolamento.
Figura 3.38 - Variação do fluxo após a energização do transformador
Figura 3.39 - Efeito de distorção na tensão de magnetização devido à saturação
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
50
Até aqui foi considerado um circuito monofásico, para facilitar a simplicidade de apresentação. Neste
ponto convém que se verifique o comportamento do circuito trifásico, posto que a tensão nas três fases está
defasada de 120° e assim a energização do transformador ocorre em condições diferentes em cada fase.
Figura 3.40 - Tensões na energização de transformador trifásico
Figura 3.41 - Correntes na energização de transformador trifásico
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
51
Durante a energização as tensões no transformador serão destorcidas pela saturação, com isso a tensão
de seqüência zero não é mais nula. Quanto mais pronunciada a saturação, mais elevada a tensão de seqüência
zero. Assim caso esse transformador seja protegido por um relê 59N conectado a um conjunto de
transformadores de potencial no secundário, esse relê medirá a tensão de seqüência zero,
TFCTFBTFA VVVV ++=0 e poderá ocorrer atuação durante a energização do transformador.
Figura 3.42 - Tensão de seqüência zero durante a energização de trafo trifásico
A forma de diminuir esse efeito de distorção da tensão seria aumentar o núcleo do transformador e assim
reduzir a saturação, mas também pode-se usar resistores de pre-inserção.
Figura 3.43 - Tensão de seqüência zero durante a energização de trafo trifásico com resistor de pre-
inserção
Note-se que o uso de um resistor de 10 Ω durante 50 ms 7, reduziu a tensão 0V de 110 kVcrista para
88 kVcrista. O valor de resistência e tempo de inserção deve ser otimizado em função do sistema e do efeito
pretendido.
 
7
 O tempo de inserção de 50 ms foi usado apenas para facilitar a visualização dos transientes associados, na pratica o tempo
de inserção é da ordem de 8 a 16 ms.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
52
Figura 3.44 - Tensões na energização de transformador trifásico com resistor de pre-inserção
Figura 3.45 - Correntes na energização de transformador trifásico com resistor de pre-inserção
Deve ser notado que o resistor de pre-inserção resultou em uma forma de onda menos distorcida e em um
menor valor na corrente de inrush.
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
53
4 Solicitações impostas pela corrente de curto-circuito
4.1 Componentes simétrica e assimétrica
Resolvendo-se um circuito RL série a corrente será dada por: atransitoriregime III +=
Figura 4.1 – Circuito RL série
A corrente de curto-circuito é formada por duas componentes:
• Componente Simétrica – É representada pela solução de regime permanente, trata-se de uma
corrente senoidal e portanto expressa na forma
( ) ( )Φ+=Φ+= tItII rmssim .cos2.cosmax ωω ;
• Componente DC ou Unidirecional.- É representada pela solução de regime transitório e depende
portanto da condição inicial do circuito RL, isto é, ( ) 00 =+i , logo ( ) tLRsimDC eII −−= 0 .
A corrente assimétrica vem a ser a corrente total, ou seja a soma das componentes simétrica e
unidirecional.Figura 4.2 - Ilustração das componentes simétrica e assimétrica da corrente de curto-circuito
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
54
4.2 Efeito térmico
O efeito térmico da corrente de curto-circuito é dado por ∫ dti2 e fornece uma medida da energia
gerada pela corrente de curto-circuito na componente resistiva da impedância equivalente do sistema. Como a
corrente de curto-circuito tem duas componentes, é necessário proceder à integração das duas parcelas. Como o
valor eficaz da corrente simétrica varia com o tempo, em função do regime subtransitório, transitório e
permanente, se faz necessário levar em conta essa variação da corrente simétrica. Assim:
( ) kthkk
T
TITnmIdti
k 22''
0
2
=+=∫
onde
• ( ) kkth TnmII += '' - corrente térmica equivalente do curto-circuito.
• ( )
( )[ ]1
1ln2
1 1ln4
−
−
=
−kTf
k
ke
kTfm - equivalente térmico da componente DC,
''
k
p
I
I
k =
• n – equivalente térmico da componente simétrica,
• para 1
''
=
k
k
I
I
, isto é, quando a componente simétrica de regime subtransitório é igual à de
regime permanente - 1=n
• para 25,1
''
≥
k
k
I
I
, isto é, quando existe diferença entre os regimes subtransitório, transitório e
permanente - ( )CBA
I
I
n
k
k ++





=
2
''
2
'2'2'''20''
11
2
1
20
1
''








−










−+








−










−+=
−−
k
kT
T
k
d
k
k
k
kT
T
k
d
I
I
e
T
T
I
I
I
I
e
T
T
A d
k
d
k








−










−+








−










−=
−−
1121
5
'''''10'
''
k
kT
T
k
d
k
k
k
kT
T
k
d
I
I
e
T
T
I
I
I
I
e
T
T
B d
k
d
k








−








−










−=
−
11
5,5
''''11'
'
k
k
k
k
k
kT
T
k
d
I
I
I
I
I
I
e
T
TC d
k
k
kk
k
k
k
I
II
I
I
I
''
'''
17,088,0
1
+
=
s
I
I
T
k
k
d 1
'
1,3
=
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
55
4.3 Efeito eletrodinâmico
Condutores elétricos conduzindo corrente exercem uma força de atração ou repulsão entre si. Dessa
forma quando a corrente de curto-circuito circula pelos barramentos e pelos equipamentos essas forças aparecem
entre os condutores. Caso os condutores não sejam adequadamente suportados, podem sofrer deformações e
tocarem-se ou até mesmo romper-se. Para evitar isso os barramentos e os equipamentos devem ser
dimensionados para suportar os esforços produzidos pela corrente de curto-circuito.
Figura 4.3 – Barramento
No caso particular de dois um barramento formado por condutores paralelos a força entre os condutores
será dada por:
• Força entre os condutores Principais N
a
lIFH
20
2pi
µ
=
• Força entre os subcondutores N
a
l
n
I
F
T
T
T
2
0
2pi
µ
=
Sendo pI - corrente de crista, expressa em Ampères;
 n – numero de subcondutores em cada condutor principal.
Como a força entre os condutores depende da amplitude da corrente, é possível perceber que o
dimensionamento deve ser feito para o maior valor de corrente de curto-circuito, ou seja para o valor de crista pI
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
56
4.4 Corrente de Interrupção
A corrente nominal de interrupção é a maior corrente que o disjuntor tem por obrigação ser capaz de
interromper, frente à TRV nominal especificada. A corrente nominal de interrupção ( bI ) é expressa em duas
partes:
• Componente simétrica, expressa em kA,
• Componente unidirecional, expressa em %
• A componente unidirecional depende do fator X/R no ponto de curto-circuito e do tempo de
separação dos contatos, sendo dada por %1001 τ
ω
τ
opt
dc eIR
X −
==
• A constante de tempo do sistema considerada na norma IEC 62271-100 8 depende da
aplicação do disjuntor,
• Valor normalizado – uso geral – ms45=τ
• Valor alternativo – para disjuntores com tensão nominal abaixo de 52 kV – ms120=τ
• Valor alternativo – disjuntores com tensão nominal de 72,5 a 420 kV – ms60=τ
• Valor alternativo – disjuntores de 550 kV e acima – ms75=τ
• Os valores alternativos indicam que a norma reconhece que existem casos nos quais
a corrente a interromper pode apresentar uma componente unidirecional mais
pronunciada. Quando a constante de tempo no ponto de defeito for acima de 45 ms,
a componente unidirecional deverá ser indicada no pedido de cotação.
Figura 4.4 - Corrente de estabelecimento e de interrupção - ms45=τ
Na figura acima a constante de tempo do sistema, no ponto de instalação do disjuntor, é igual aos 45 ms
previstos na norma IEC 62271-100, note-se que a componente DC ( %9,32100 45
50
==
−
eIdc ), é bem menor
do que a componente simétrica da corrente de interrupção.
 
8
 IEC 62271-100 – High-voltage switchgear and controlgear – Part 100: High-voltage alternating-current circuit-breakers
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
57
4.5 Efeitos da assimetria na corrente de curto-circuito
A assimetria na corrente de curto-circuito tem dois efeitos principais:
• Aumentar os esforços eletrodinâmicos produzidos pela corrente, devido ao aumento do valor de
crista,
• Dificultar a interrupção do curto-circuito, isso decorre dos seguintes fatos:
• Uma corrente mais elevada provoca um maior aquecimento do arco e assim as partículas
ionizadas levarão mais tempo para serem neutralizadas;
• Devido ao fato de a componente unidirecional ser caracterizada por uma curva exponencial a
partir do valor inicial da corrente subtransitória, pode ocorrer nas proximidades de geradores
a supressão de alguns zeros de corrente, o que faz com que a corrente só venha a ser
interrompida mais tarde.
Na figura 4.5 os dois efeitos da assimetria da corrente de curto-circuito são ilustrados.
Figura 4.5 - Corrente de estabelecimento e de interrupção próximo a gerador - ms120=τ
Mourente Considerações sobre Curto-Circuitos em Sistemas Elétricos
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5 Tipos de disjuntores
Os disjuntores serão caracterizados pelo meio usado para a extinção do arco elétrico e posterior isolamento
entre os contatos.
Em todos os disjuntores se faz necessário que com os contatos separados seja suportada uma tensão e para
isso deve existir um meio isolante, seja ar, óleo, SF6 ou vácuo. Pode-se definir dois tipos de suportabilidade da
tensão, a saber:
• Suportabilidade de tensão entre fase-terra e entre polos de fases adjacentes;
• Suportabilidade de tensão entre os contatos abertos do polo do disjuntor
Por razões de segurança a tensão suportável entre os contatos abertos do polo do disjuntor é mais elevada
do que a tensão suportável entre fases e entre fase e terra. Assim uma sobretensão excessiva que incida sobre o
disjuntor deverá causar antes um curto fase-terra ou um curto fase-fase e não fazer com que o disjuntor venha a
conduzir.
Para estabelecer um circuito, ou seja, conduzir uma corrente, o mecanismo de acionamento faz com que um
contato móvel seja deslocado de modo que a distância entre os contatos se reduz, até ocorrer