Calculo - 1 Geral

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Calculo I
Notas de Aulas
JOSEPH NEE ANYAH YARTEY
&
SIMONE SOUSA RIBEIRO
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Departamento de Matemática - DMAT
Apresentação
O presente texto constitui um resumo do conteúdo da disciplina Cál-
culo I do Curso de Licenciatura emMatemática à Distância, oferecido pela
Universidade Federal da Bahia através do sistema Universidade Aberta
do Brasil - UAB, da Diretoria de Educação à Distância da Fundação Co-
ordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES, do
Ministério da Educação - MEC.
Salvador, 15 de setembro de 2015
Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática à Distância
da Universidade Federal da Bahia
Esse material didático de autoria dos professores Joseph Nee Anyah
Yartey e Simone Sousa Ribeiro é resultado da tentativa de produzir um
material que ajuda os alunos do Curso de Licenciatura em Matemática a
Distância. São aulas que os autores vem usando no curso de Calculo A
durante varias anos de ensino da disciplina que envolve partes de livros,
listas e contribuições próprias. Observamos que o principal objetivo deste
material é apresentar o Calculo Diferencial de uma forma simples, através
de exemplos, com foco na interpretação geométrica e intuitiva. Por isto
este material não substitui a consulta, leitura e estudos de textos e livros
de Calculo já consagrados. Todos os erros são de responsabilidade dos
autores.
Joseph Nee A. Yartey - Simone Sousa Ribeiro
Salvador - Bahia
Conteúdo
1 Funções 2
1.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Revisão de funções trigonométricas . . . . . . . . . . 15
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Funções inversas e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Limite de uma função 33
2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Propriedades do Limite de uma função 47
3.1 Propriedades do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Limites envolvendo a indeterminação
0
0
. . . . . . . . . . . . 50
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Limite Infinito de uma função 56
4.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Propriedades dos limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Limite no infinito de uma função 65
5.1 Limites no infinito: assíntotas horizontais . . . . . . . . . . . 65
5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Indeterminações do Limite de uma função 72
6.1 Indeterminação no Calculo dos Limites . . . . . . . . . . . . 72
6.1.1 Limites envolvendo indeterminações do tipo∞−∞ . 72
6.1.2 Limites envolvendo indeterminações do tipo
∞
∞ . . . 73
6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Continuidade de uma função 76
7.1 Noção de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Propriedades das funções contínuas. . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Outros Teoremas sobre Limites 90
8.1 Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.1 Limite Trigonométrico Fundamental . . . . . . . . . . 93
8.2.2 Limite Exponencial Fundamental . . . . . . . . . . . . 95
8.3 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Derivada de uma função 100
9.1 Como surgiu a idéia de limite e derivada:
o problema da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.2 O problema da tangente: calculando coeficientes angulares . 101
9.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.4 A definição de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5 Notação da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10 O Cálculo da derivada 112
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.2.1 Derivada de uma constante . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.2.2 Derivada de f (x) = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5
10.2.3 Derivada de uma potência: f (x) = xn . . . . . . . . . . 117
10.2.4 Derivadadoprodutodeuma funçãoporumaconstante117
10.2.5 Derivada da soma de funções . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2.6 A derivada do produto de funções . . . . . . . . . . . 119
10.2.7 A derivada do quociente de funções . . . . . . . . . . 120
10.2.8 Regra da potência com expoente inteiro negativo . . 122
10.2.9 Regra da potência com expoente racional . . . . . . . 124
10.3 Derivada das funções exponenciais ex e ax . . . . . . . . . . . 124
10.4 Derivada da função logaritmo ln x . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.5 Derivadas de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 127
10.6 Derivadas de segunda ordem e de ordens mais altas . . . . . 130
10.7 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11 Regra da cadeia 138
11.1 Revisão de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.2 A regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12 Derivação Implícita 146
12.1 Definição de funções dadas implicitamente . . . . . . . . . . 146
12.2 Regra de derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13 Derivada da Função Inversa 154
13.1 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.2 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14 Aplicações da Derivada 159
14.1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.2 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.3 Taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15 A Diferencial 167
15.1 A definição de diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.2 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6
15.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
16 Valores extremos 172
16.1 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . 172
16.2 Crescimento e decrescimento de funções . . . . . . . . . . . . 175
16.3 Máximos e mínimos: definição . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.4 Máximos e mínimos em intervalos fechados . . . . . . . . . . 190
16.5 Teste da segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.6 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . 194
16.7 Demonstração dos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
16.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
17 Regras de L’Hospital 205
17.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18 Gráficos de funções 209
18.1 Assíntotas verticais e horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . 209
18.2 Passos para a construção de um gráfico . . . . . . . . . . . . 210
18.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1
Aula 1
Funções
1.1 Conceitos fundamentais
Definição 1.1.1. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função
de A em B, denotada por f : A → B, se é uma regra de correspondência
em que cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Chamamos o conjunto A de domínio da função f e o conjunto B de contra-
domínioda função e simbolizamosporA = D( f ) eB = ConDom( f ). Se a ∈ A
e b ∈ B estão associados pela função f , escrevemos b = f (a) e dizemos que
b é a imagem de a.
Exemplo 1.1.1. Seja f a função definida por f (x) = x + 1 cujos domínio e
contra-domínio são o conjunto dos números reais. Como f (1) = 1 + 1 = 2,
podemos dizer que 2 é imagem do elemento 1 do domínio.
Observações:
• Dada a função definida por y = f (x), chamamos x de variável inde-
pendente porque pode assumir qualquer valor do domínio e chama-
mos y de variável dependente porque seu valor numérico depende
do valor de x escolhido.
• Uma função f não estará definida totalmente enquanto não souber-
mos para quais valores da variável independente x, podemos calcular
2
o valor de f (x). Desta forma, é muito importante determinarmos pri-
meiramente o domínio de uma função.
Exemplo 1.1.2. Determine o domínio das funções f (x) = x2, g(x) =
1
x2
e
h(x) =
√
25 − x2.
Definição 1.1.2 (Imagem de uma função). Seja f : A → B uma função de
A em B. Chamamos de imagem de f ao subconjunto de B :
Im( f ) = { f (x) | x ∈ A}.
Exemplo 1.1.3. Seja a função f (x) = x2 com domínio e contra-domínio o
conjunto dos reais. A imagem da função f é o conjunto de todos os reais
positivos, R+
Exercício 1.1.1. Ache odomínio e a imagemda funçãodada implicitamente
pela expressão xy2 = x − 1.
Definição 1.1.3 (Gráfico de f ). Seja f uma função de A em B. O conjunto
Gr( f ) = {(x, y), | y = f (x) ∧ x ∈ A}.
é chamado de gráfico da função f .
Exemplo 1.1.4. Desenhe o gráfico das funções f (x) = x + 1 e g(x) = |x + 1|.
Na figura 1.1, temos a função f à esquerda e a função g = | f | à direita.
Mas o que realmente se entende por gráfico de uma função? A grosso
modo, podemos dizer que o gráfico de uma função é a trajetória de um
ponto que se move no plano cartesiano. A variável independente x se
move no eixo OX da esquerda para a direita e cada valor de x determina
um valor da variável dependente y = f (x). Desta forma, o gráfico da
função f é simplesmente a trajetória do ponto (x, y) do plano cartesiano.
Na próxima seção apresentaremos vários tipos de funções bem como os
seus respectivos gráficos.
3
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3−4 x
y
f (x) = x + 1 1
2
3
4
5
−1
−2
1 2 3−1−2−3−4 x
y
g(x) = |x + 1|
Figura 1.1: Gráficos das funções f (x) = x+ 1 (à esquerda) e f (x) = |x+ 1| (à
direita) referentes ao exemplo 1.1.4.
Exercício 1.1.2. O conjunto {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y = 1} é o gráfico de alguma
função? Em caso afirmativo, descreva explicitamente tal função.
Exercício 1.1.3. A circunferência de centro (a, b) e raio r > 0 é o lugar
geométrico de todos os pontos (x, y) que distam r do ponto (a, b). Assim, a
equação da circunferência de centro (a, b) e raio r é
(x − a)2 + (y − b)2 = r2.
A regra dada implicitamente por (x − a)2 + (y − b)2 = r2 define uma função
y = f (x)? Por que ?
Definição 1.1.4 (Função injetiva). Uma função f : A → B é dita injetiva
se, para cada elemento b ∈ Im( f ), existe um único elemento a ∈ A tal que
f (a) = b. Em outras palavras,
f (x1) = f (x2) ⇐⇒ x1 = x2.
4
Exemplo 1.1.5. Mostre que f (x) = x + 1 é uma função injetiva.
Solução: Sejam x1 e x2 dois elementos do domínio de f . Então:
f (x1) = f (x2)⇐⇒ x1 + 1 = x2 + 1⇐⇒ x1 = x2,
e portanto a função é injetiva.
Exemplo 1.1.6. A função f (x) = x2 não é injetiva, pois f (1) = f (−1) = 1,
mas 1 , −1
Definição 1.1.5 (Função sobrejetiva). Dizemos que a função f : A → B é
sobrejetiva se, e só se, ConDom( f ) = Im( f ).
Definição 1.1.6 (Função bijetiva). Dizemos que a função f : A → B é
bijetiva se, e só se, ela é injetiva e sobrejetiva.
Exemplo 1.1.7. Seja f : R → R uma função definida por f (x) = x + 1.
Vamos mostrar que ela é sobrejetiva: tome um elemento b ∈ ConDom( f ).
Podemos escrever este elemento b na forma (b−1)+1, isto é, b é sucessor de
b − 1, ou seja, f (b − 1) = (b − 1) + 1 = b. Como b ∈ ConDom( f ) foi escolhido
de forma arbitrária, segue que a função é sobrejetiva. Como esta função é
injetiva e sobrejetiva, segue que ela é bijetiva.
Exemplo 1.1.8. A função f : R→ R dada por:
f (x) =
0, se x é irracional1, se x é racional.
Ela não é injetiva, pois f (0) = f (1) = 1. Também não é sobrejetiva pois
Im( f ) = {0, 1}.
1.2 Tipos de funções
Se nada for dito em contrário, os domínios e contra-domínios das fun-
ções consideradas a partir daqui serão sempre o conjunto dos números
reais.
5
Exemplo 1.2.1 (Função constante). Seja y = f (x) uma função. Dizemos
que ela é constante quando ela assume omesmo valor para qualquer valor
de x do domínio. Em outras palavras, se a ∈ R é uma constante, então a
função f (x) = a é uma função constante. Seu gráfico é uma reta paralela ao
eixo OX como mostrado na figura abaixo, considerando a = 3.
1
2
3
4
5
6
−1 1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
x
y
f (x) = 3
Exemplo 1.2.2 (Funçãodegrau). Uma função y = f (x) é chamadade função
degrau quando ela é constante por partes. Como exemplo, consideramos
a função
f (x) =
−1, x < 01, x ≥ 0.
Note que a função é constante e igual a −1 em ] − ∞, 0[ e é igual a 1 em
[0,+∞[. Veja o gráfico 1.2:
Exemplo 1.2.3 (Função linear). Seja f : R → R uma função real. Ela será
chamada de função linear se ela é escrita na forma f (x) = ax, onde a é um
número real. Seu gráfico é uma reta que sempre passa na origem (0, 0) do
plano cartesiano. Se a > 0, o seu gráfico inclina-se para a direita; se a < 0,
sua inclinação está para a esquerda e se a = 0, seu gráfico coincide com o
eixo OX. Veja os gráficos 1.3 para y = 2x e y = −2x.
6
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6 x
y
f
Figura 1.2: Exemplo de função degrau
Exemplo 1.2.4 (Função afim). Seja f : R → R uma função real. Ela será
chamadade função afim se ela é escrita na forma f (x) = ax+b, onde a, b ∈ R.
Seu gráfico é uma reta que passa no ponto (0, b) e é paralela à reta y = ax.
Se a > 0, o seu gráfico inclina-se para a direita; se a < 0, sua inclinação está
para a esquerda e se a = 0, seu gráfico é o gráfico de uma função constante,
paralelo ao eixo OX.
Exemplo 1.2.5 (Função polinomial). Seja f : R→ R uma função real. Ela
será chamada de função polinomial se ela tem a forma de um polinômio.
Em outras palavras, a função
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, a0, a1, . . . , an ∈ R, an , 0.
é uma função polinomial de grau n, n ∈N.
Exemplo 1.2.6. Desenhe o gráfico da função f (x) = x2− 2. Veja a figura 1.4.
Exemplo 1.2.7. Desenhe o gráfico das funções f (x) = x3 (abaixo à esquerda)
e g(x) = x3 − 3x (abaixo à direita).
Observações sobre a função g(x) do Exemplo 1.2.7: no presentemomento,
não temos ferramentas para descobrir o verdadeiro formato desta curva
7
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6 x
y
y = 2xy = −2x
Figura 1.3: Função linear
como a localização dos seus picos,onde ela cresce e decresce. No entanto,
podemos fazer algumas observações. Se escrevermos a função g(x) na
forma fatorada, teremos:
g(x) = x3 − 3x⇐⇒ g(x) = x(x2 − 3)⇐⇒ g(x) = x(x −
√
3)(x +
√
3),
e aí descobrimos suas raízes: 0,
√
3 e −
√
3. Estas três raízes dividem o
eixo OX em quatro intervalos: ] − ∞,−
√
3], ] −
√
3, 0], ]0,
√
3] e ]
√
3,+∞[.
Podemos estudar o sinal da função em cada um destes intervalos.
Intervalo sinal
] −∞,−
√
3] −
] −
√
3, 0] +
]0,
√
3] −
]
√
3,+∞[ +
Desta forma, sabemos se o gráfico está acima ou abaixo do eixo OX em
cada intervalo.
8
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5 x
y
Figura 1.4: Função polinomial de grau 2
Uma segunda análise que podemos fazer é observar o que acontece
com o valor da função quando x assume valores muito grandes positivos e
negativos. No caso da função g(x) acima, vemos que àmedida que x cresce,
o valor de f (x) também cresce com x3. Da mesma forma, à medida que
x decresce com valores negativos, a função também decresce com valores
negativos f (x) na ordem de x3.
Exemplo 1.2.8 (Função racional). Seja f : R → R uma função real. Ela
será chamada de função racional se ela é escrita na forma f (x) =
p(x)
q(x)
, onde
p(x) e q(x) são duas funções polinomiais. O domínio de f é o conjunto
{x ∈ R | q(x) , 0}.
Exemplo 1.2.9. Desenhe o gráfico de f (x) =
x + 1
x
.
9
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = x3 1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
g(x) = x3 − 3x
Figura 1.5: Função polinomial cúbica do exemplo 1.2.7.
Note que f (x) é uma função racional com x , 0. Além disso, ela pode
ser escrita na forma f (x) = 1 +
1
x
. Portanto, o gráfico desta função é obtido
do gráfico de
1
x
transladado uma unidade para cima. Na figura 1.6 à
esquerda mostramos o gráfico de
1
x
e à direita, o gráfico de f (x).
1
2
3
−1 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
f (x) =
1
x 1
2
3
−1 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
f (x) = 1 +
1
x
Figura 1.6: Função racional do exemplo 1.2.9
10
Exemplo 1.2.10. Desenhe o gráfico de f (x) =
x2 + 1
x
. Note que f (x) é uma
função racional com x , 0. Além disso, ela pode ser escrita na forma
f (x) = x +
1
x
.
Suponha que x assume valores positivos: à medida que x cresce, assu-
mindo valores muito grandes, o gráfico de f (x) se aproxima, por cima, do
gráfico de y = x e à medida que x se aproxima de zero, os valores de f (x)
crescem.
Suponha agora que x assume valores negativos: à medida que x de-
cresce, assumindo valores negativos muito grandes, o gráfico de f (x) se
aproxima, por baixo, do gráfico de y = x e à medida que x se aproxima de
zero, os valores de f (x) decrescem. Veja a figura 1.7.
1
2
3
−1 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8 x
y
y = x
f (x) = x +
1
x
Figura 1.7: Função racional do exemplo 1.2.10
11
1.3 Exercícios
1. Simplifique
f (x) − f (p)
x − p com x , p para as seguintes funções:
(a) f (x) = x2 e p = 1. Resp: x + 1
(b) f (x) = x2 e p = −1. Resp: x − 1
(c) f (x) = x2 e p qualquer. Resp: x + p.
(d) f (x) = 5 e p = 2. Resp: 0
(e) f (x) = x3 e p qualquer. Resp: x2 + px + p2.
(f) f (x) =
1
x
e p = 1. Resp: −1
x
.
(g) f (x) =
1
x2
e p = 3. Resp: −x + 3
9x2
.
2. Simplifique
f (x + h) − f (x)
h
, h , 0, para as seguintes funções:
(a) f (x) = 2x + 1. Resp: 2
(b) f (x) = xˆ2 + 3x. Resp: 2x + 3 + h
(c) f (x) = xˆ2 − 2x + 3. Resp: 2x − 2 + h.
(d) f (x) = xˆ3 + x2 − x. Resp: 3x2 + 2x − 1 + 3xh + h + h2.
(e) f (x) = 5. Resp: 0.
(f) f (x) = 1/x. Resp: − 1
x(x + p)
.
3. Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f (x) =
2x
x2 + 1
. Resp: R
(b) f (x) =
√
x − 1
x + 1
. Resp: {x ∈ R | x < −1 ou x ≥ 1}.
(c) f (x) =
√
x2 − 1. Resp: {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 1}.
(d) f (x) =
√
x
3√
x − 1
. Resp: {x ∈ R | x ≥ 0 e x , 1}.
12
(e) f (x) =
√
x − 1 +
√
3 − x. Resp: [1, 3]
(f) f (x) =
√
1 − √x. Resp: [0, 1]
(g) f (x) =
√
x − √x. Resp: {0} ∪ [1,+∞[.
4. Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) =
{
x, se x ≤ 2
3, se x > 2 . Resp: R
(b) f (x) =
{
2x, se x ≤ −1
−x + 1, se x > 1 . Resp: R
(c) f (x) = |x − 1|, Resp: R
(d) f (x) =
x2 − 1
x − 1 , Resp: {x ∈ R | x , 1}.
(e) f (x) =
|x|
x
, Resp: {x ∈ R | x , 0}.
5. Elimine o módulo da função f (x) = |x − 1| + |x − 2| e esboce o seu
gráfico.
6. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) = |x| + |x − 2|.
(b) f (x) = |x| − 1.
(c) f (x) = ||x| − 1|.
7. Estude a variação do sinal de f :
(a) f (x) = (x − 1)(x − 2).
(b) f (x) =
x − 1
x + 1
.
(c) f (x) =
x(2x − 1)
x + 1
.
8. Considere a função f dada por f (x) = x2 + 4x + 5.
(a) Mostre que f (x) = (x + 2)2 + 1.
13
(b) Esboce o gráfico de f .
(c) Qual o menor valor de f (x) ? Qual o valor de x onde f (x) é
mínimo?
9. Seja f (x) = ax2 + bx + c, a , 0.
(a) Verifique que f (x) = a
(
x +
b
2a
)2
− ∆
4a
, onde ∆ = bˆ2 − 4ac.
(b) Mostre que se a > 0, o menor valor de f (x) acontece quando
x = − b
2a
. Qual o menor valor de f (x) ?
(c) Mostre que se a < 0, então f
(
− b
2a
)
= − ∆
4a
é o maior valor
assumido por f . Interprete estes dois casos graficamente.
10. Com relação à função dada, determine as raízes (caso existam), o
maior ou o menor valor e esboce o gráfico.
(a) f (x) = x2 − 3x + 2.
(b) f (x) = x2 + 2x + 1.
(c) f (x) = −x2 + 2x.
(d) f (x) = −x2 − 4x − 5.
(e) f (x) = 2x2 − 3x.
11. (a) Usando o teorema de Pitágoras, encontre uma fórmula para a
distância entre o ponto (x, y) do plano cartesiano e a origem.
(b) Sabendo que oponto (x, y) pertence ao gráficode y =
1
x
, expresse
a fórmula da distância de (x, y) a (0, 0) em termos de x.
12. Ummóvel desloca-se (emmovimento retilíneo) de (0, 0) a (x, 10) com
uma velocidade constante de 1m/s. Em seguida, de (x, 10) a (30, 10)
emmovimento retilíneo comvelocidade constante de 2m/s. Expresse
o tempo total T(x), gasto no percurso, em função de x.
14
1.3.1 Revisão de funções trigonométricas
A unidade de medida mais usual para medir ângulos é o grau. No
entanto, a unidade padrão que iremos adotar aqui é o radiano.
Definição 1.3.1 (Radiano). Considere uma circunferência de raio OA = r
(veja a figura 1.8 à esquerda). Marcamos um ponto P na circunferência de
tal forma que o comprimento do arco ÂP seja igual a r. Traçamos então o
segmento que liga o centro da circunferênciaO ao ponto P. Isso determina
um ângulo P̂OA cuja medida definimos como um radiano.
Agora considere um ângulo θ como mostrado na figura 1.8 à direita.
Queremos saber quantos radianos mede este ângulo. Notamos que este
ânguloθ corresponde ao arco de comprimento s. O número de radianos do
ângulo equivale a perguntar quantas vezes o arco demedida s cabe no arco
de medida r, isto é, θ =
s
r
rad. Como a circunferência tem comprimento de
2πr, um ângulo central completo de 360o equivale a θ =
2πr
r
= 2πrad.
Assim, podemos resumir estas obervações com a seguinte tabela:
2π radianos = 360o π radianos = 180o
1 radiano =
180o
π
≈ 57, 296o 1o = π rad
180o
≈ 0, 0175 rad.
Outra definição útil é a de área do setor circular. Considerando a figura
acima à direita e suponhamos que desejamos medir a área da região do
setor circular QOAQ de ângulo θ. Notamos que a área A do setor circular
está para a área do círculo πr2, assim como o comprimento de arco s do
setor está para o comprimento do circulo 2πr. Em fórmula matemática,
obtemos:
A
πr2
=
s
2πr
⇐⇒ A = 1
2
rs. (1.1)
Passaremos agora a introduzir as noções das funções trigonométricas
seno, cosseno e tangente. Considere a circunferência de raio 1 e centro na
origem do plano cartesiano (0, 0). Veja a figura 1.9.15
r
r r
A
P
O
1rad
r
r
s
A
Q
O
θ
Figura 1.8: Medida de um radiano
x
1 y
A = (1, 0)
P = (x, y)
O
θ
{
x = cos θ
y = sen θ
Figura 1.9: O círculo trigonométrico: definição de seno e cosseno
16
θ = 2π θ = π θ = π/2
θ = −2π θ = −π
θ = −π/2
Figura 1.10: Sinal do ângulo θ. O ângulo é positivo quando se percorre o
ciclo trigonométrico no sentido anti-horário (linha de cima) e é negativo,
quando se percorre no sentido horário (linha de baixo).
Considere θ > 0. Seja OP o raio igual a 1 que, a partir de OA gira θ
radianos no sentido anti-horário, como mostra as figuras da linha de cima
a seguir. Se θ < 0, então OA gira −θ no sentido horário. A figura 1.10 faz
uma explanação do que significa um ângulo positivo e negativo.
Observamos também que, para todo θ, θ e θ+2π determinam omesmo
ponto sobre a circunferência. Logo,
sen (θ + 2π) = sen θ se cos (θ + 2π) = cos θ.
Desta forma, os valores de sen θ e cos θ se repetem quando θ > 2π. Daí,
dizemos que as funções seno e cosseno são funções periódicas de período
2π. As outras funções trigonométricas restantes são definidas por:
tg θ =
sen θ
cos θ
, cotθ =
cos θ
sen θ
, sec θ =
1
cos θ
e cossec θ =
1
sen θ
.
Quando θ é positivo e menor que π/2, podemos deduzir as expressões
de seno, cosseno e tangente a partir do triângulo retângulo:
17
−θ
1
(x, y)
(x,−y)
O
θ
Figura 1.11: Funçoes trigonométricas em θ e −θ.
x
r
y
(x, y)
O
θ
sen θ =
lado oposto
hipotenusa
=
y
r
cos θ =
lado adjacente
hipotenusa
=
x
r
tg θ =
lado oposto
lado adjacente
=
y
x
Daí surge a mudança de coordenadas retangulares para a polar:{
x = r cos θ
y = r sen θ.
De forma equivalente, a mudança de coordenadas polares para coordena-
das retangulares obedece as seguintes relações: r =
√
x2 + y2
θ = arctg
(y
x
)
18
De acordo com o que mostra a figura 1.11, observamos que
sen (−θ) = − sen θ, cos (−θ) = cos θ e tg (−θ) = − tg θ.
Isto nos diz que seno e tangente são funções ímpares e cosseno é uma
função par.
Identidades trigonométricas
Exercício 1.3.1. Usando o círculo trigonométrico, mostre que vale a relação
cos 2x + sen 2x = 1 para todo x real.
Exercício 1.3.2. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas e de-
termine para que valores de x elas são válidas.
i) 1 + tg 2x = sec 2x.
ii) 1 + cot2 x = csc2 x.
iii) cos 2x =
1
1 + tg 2x
.
iv) sen 2x =
tg 2
1 + tg 2x
.
Teorema 1.3.1. Sejam a e b números reais quaisquer. As seguintes relações são
válidas.
• sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a.
• sen (a − b) = sen a cos b − sen b cos a.
• cos (a + b) = cos a cos b − sen a sen b.
• cos (a − b) = cos a cos b + sen a sen b.
• tg (a + b) = tg a + tg b
1 − tg a tg b.
• tg (a − b) = tg a − tg b
1 + tg a tg b
.
19
1.4 Exercícios
1. Mostre que o seno é uma função ímpar e o cosseno é uma função par.
2. Mostre que, para todo x,
cos 2x = cos 2x − sen 2x e sen 2x = 2 sen x cos x
3. Mostre que. para todo o x,
cos 2x =
1
2
+
1
2
cos 2x e sen 2x =
1
2
− 1
2
cos 2x
4. Esboce o gráfico da função dada por y = sen
1
x
.
5. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) y = sen 2x.
(b) y = 2 cos x.
(c) y = cos
x
2
.
(d) y = | sen x|.
(e) y = sen πx.
(f) y = x sen x.
(g) y =
1
x
sen x.
(h) y = x sen
1
x
.
(i) y = x2 sen
1
x
.
(j) y = x + sen x.
6. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que:
(a) sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a − b)].
(b) cos a cos b =
1
2
[ cos (a + b) + cos (a − b)].
20
(c) sen a sen b =
1
2
[ cos (a + b) − cos (a − b)].
7. Mostre que, para todo x, com cos
x
2
, 0, tem-se:
(a) sen x =
2 tg
x
2
1 + tg 2
x
2
.
(b) cos x =
1 − tg 2x
2
1 + tg 2
x
2
1.5 Operações com funções
Definição 1.5.1 (Operações com funções). Sejam f : D1 7→ R e g : D2 7→ R
duas funções reais de tal forma que D = D1 ∩D2 seja não vazio.
1. A soma f + g : D 7→ R das funções f e g, com domínio D, é definida
através da expressão: ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D.
2. O produto f · g : D 7→ R das funções f e g, com domínioD, é definida
através da expressão: ( f · g)(x) = f (x) g(x), ∀x ∈ D.
3. Se Dq = {x ∈ D | g(x) , 0}, definimos o quociente
f
g
: Dq 7→ R das
funções f e g através da expressão:
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, ∀x ∈ Dq.
4. Definimos o produto de uma função f por um real k, k f : D1 7→ R,
de domínio D1, através da expressão: (k f )(x) = k f (x), ∀x ∈ D1.
Exemplo 1.5.1. Sejam as funções f (x) =
√
7 − x e g(x) =
√
x − 2. Encontre
as funções f + g, f · g, f
g
, bem como os seus respectivos domínios.
21
Definição 1.5.2 (Composição de duas funções). Sejam f : D1 7→ R e g :
D2 7→ R duas funções reais de tal forma que Im( f ) ⊂ D2. Definimos
a função composta de g e f , denotada por g ◦ f : D1 7→ R através da
expressão
h(x) = (g ◦ f )(x) = g( f (x)), ∀x ∈ D1.
Exemplo 1.5.2. Sejam as funções f , g : R 7→ R definidas por f (x) = 2x + 1
e g(x) = x2 + 3. Encontre g ◦ f e f ◦ g.
Definição 1.5.3 (Igualdade de duas funções). Sejam f : D1 7→ R e g : D2 7→
R duas funções reais. Dizemos que a f = g, isto é, que a função f é igual à
função g se os seus domínios forem iguais, D1 = D2, e se f (x) = g(x), para
todo x do domínio.
1.6 Exercícios
1. Sejam f : D 7→ R e g : D 7→ R duas funções reais. Prove que
f + g = g + f .
2. As f (x) =
√
x
√
x − 1 e g(x) =
√
x2 − x são iguais?
3. Determine o domínio de f + g e
f
g
.
(a) f (x) = x e g(x) =
1√
x
. Resp: D = {x ∈ R | x ≥ 0}.
(b) f (x) = 1 e g(x) =
√
x − 1. Resp: D = {x ∈ R | x > 1}.
4. Determine que a Im( f ) ⊂ Dg e calcule a função composta h(x) =
g( f (x)) nos seguintes casos:
(a) g(x) = 3x + 1 e f (x) = x + 2. Resp: h(x) = 3x + 7.
22
(b) g(x) =
√
x e f (x) = x2 + 2. Resp: h(x) =
√
2 + x2.
(c) g(x) =
x + 1
x − 2 e f (x) = x
2 + 3. Resp: h(x) =
x2 + 4
x2 + 1
.
(d) g(x) =
2
x − 2 e f (x) = x + 1, x , 1. Resp: h(x) =
2
x − 1.
(e) g(x) =
x + 1
x − 2 e f (x) =
2x + 1
x − 1 . Resp: h(x) = x, x , 1.
5. Determine o maior conjunto A tal que Im( f ) ⊂ Dg. Em seguida, ache
a composta h(x) = g( f (x)).
(a) g(x) =
2
x + 2
, f : A 7→ R, f (x) = x + 3.
Resp: A = {x ∈ R | x , −5}, h(x) = 2
x + 5
.
(b) g(x) =
√
x − 1, f : A 7→ R, f (x) = x2.
Resp: A = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 1}, h(x) =
√
x2 − 1.
(c) g(x) =
√
x − 1, f : A 7→ R, f (x) = 2x + 1
x − 3 .
Resp: A = {x ∈ R | x ≤ −4 ou x ≥ 3}, h(x) =
√
x + 4
x − 3.
(d) g(x) =
1
x
, f : A 7→ R, f (x) = x3−x2. A = {x ∈ R | x , 0 e x , 1},
h(x) =
1
x3 − x2 .
6. Determine f demodo que g( f (x)) = x para todo x ∈ D f , sendo g dada
por:
(a) g(x) =
1
x
. Resp: f (x) =
1
x
.
(b) g(x) =
x + 2
x + 1
. Resp: f (x) =
x − 2
1 − x .
(c) g(x) = x2, x ≥ 0. Resp: f (x) = √x.
(d) g(x) = 2 +
3
x + 1
. Resp: f (x) = −1 + 3
x − 2.
(e) g(x) = x2 − 4x + 3, x ≥ 2. Resp: f (x) = 2 +
√
1 + x.
23
7. Prove que tg
x
2
=
sen x
1 + cos x
.
8. Encontre uma expressão para sen 3x em termos de sen x e cos x.
9. Simplifique as seguintes expressões:
(a) sen (x + π/2). Resp: cos x
(b) sen (3π/2 + x).
(c) cos (3π/2 − x). Resp: − sen x
(d) tg (x + 7π/2).
(e) sec (6π + x). Resp: sec x
(f)
sen (x + 5π/2)
cos (π/2 − x) .
1.7 Funções exponenciais
A grosso modo, uma função do tipo f (x) = 2x é chamada de função
exponencial porque a incógnita é um expoente.
Definição 1.7.1. A função f : R 7→ R+∗ definida por f (x) = ax, com a sempre
positivo e diferente de 1 é chamada de função exponencial.
Observações:
• Note que o domínio de f , D f é sempre o conjunto dos reais.
• Como a base a é sempre positiva, então ax é semprepositivo para
todo o x ∈ R. Com isso, a Im( f ) = R+∗ .
• Se x = n um inteiro positivo, então
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n f atores
• Se x = 0, f (0) = a0 = 1.
24
1
2
3
4
5
−1 1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = ax, a > 1 1
2
3
4
5
−1 1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = ax, a < 1
Figura 1.12: Tipos de funções exponenciais. Esquerda: quando a base a é
maior que 1. Direita: quando a base a é positiva e menor que 1.
• Se x = −n, onde n é um inteiro positivo, então a−n = 1
an
.
• Se x e y forem expoentes quaisquer, então:
– ax+y = axay,
– ax−y =
ax
ay
,
– (ax)y = axy,
– (ab)x = axbx.
• Seja a > 1. Vemos que se x1 > x2, então ax1 > ax2 , isto é, a função é
crescente.
• Se 0 < a < 1, vemos que a função é decrescente, isto é, se x1 > x2 então
teremos ax1 < ax2 . Para exemplificar, considere a função f (x) =
(1
2
)x
.
Note que 3 > 2, mas
(1
2
)3
=
1
8
<
(1
2
)2
=
1
4
.
Exemplo 1.7.1. Desenhe o gráfico da função y = 3 − 2x e determine o seu
domínio e a sua imagem.
25
Exemplo 1.7.2. Desenhe os gráficos de 2x e x2 num só plano cartesiano.
Que função crescerá mais rápido à medida que x cresce?
Aplicações da função exponencial: crescimento populacional e decai-
mento radioativo. Será visto com detalhes na Disciplina de Sequências,
Séries e EDO.
A função exponencial mais usada no Cálculo é função f (x) = ex cuja
base a = e. A principal propriedade da função ex que a torna tão especial
é que a reta tangente ao gráfico ex passando pelo ponto (0, 1) tem incli-
nação 1. Estas idéias e a definição formal do número e será vista mais
tarde depois do capítulo de derivadas. Por ora, precisamos saber que
e = 2.7182818284559045....
1.8 Exercícios
1. Faça o gráfico das seguintes funções:
(a) y = 4x − 3.
(b) y = 4x−3.
(c) y = −2−x.
(d) y = 1 + 2ex.
(e) y = 3 − ex.
(f) y = 2 + 5(1 − e−x).
2. Considere o gráfico da função y = ex. Escreva a forma analítica da
função que resulte nos seguintes efeitos sobre o gráfico original:
(a) Deslocamento de 2 unidades para baixo.
(b) Deslocamento de 2 unidades para a direita.
(c) Reflexão em torno do eixo x.
(d) Reflexão em torno do eixo y.
(e) Reflexão em torno do eixo x e também em torno do eixo y.
(f) Reflexão em torno da reta y = 4.
(g) Reflexão em torno da reta x = 2.
26
3. Ache o domínio das seguintes funções:
(a)
1
1 + ex
.
(b)
1
1 − ex .
(c) sen e−x.
(d)
√
1 − 2x.
4. Ache a função exponencial f (x) = cax cujo gráfico é:
x
y
(1, 6)
(3, 24)
x
y
(0, 2) (
2,
2
9
)
5. Se f (x) = ex, mostre que
f (x + h) − f (x)
h
= ex
(
eh − 1
h
)
6. Suponha que você é contratado por um mês para fazer um determi-
nado trabalho. Que tipo de pagamento você prefereria?
(a) Um milhão de reais no final do mês?
(b) Um centavo no primeiro dia, dois centavos no segundo dia,
quatro centavos no terceiro dia, etc. No n-ésimo dia, você ganha
2n−1 centavos.
27
1.9 Funções inversas e logaritmos
Definição 1.9.1 (Função inversa). Seja f : A 7→ B uma função bijetiva com
domínio A e imagem B. A inversa da função f , denotada por f −1, é uma
função com domínio B e imagem A definida por:
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y, ∀y ∈ B.
Da definição de função inversa acima, substituindo y = f (x) teremos a
expressão f −1( f (x)) = x. De forma análoga, f ( f −1(x)) = x. Assim, se f −1 é a
inversa de f , então vale:
• ( f ◦ f −1)(x) = x,
• ( f −1 ◦ f )(x) = x.
A grosso modo, a definição acima diz que se f leva x em y, então f −1 leva
y em x.
Exemplo 1.9.1. Dada a função f (x) = x3, a inversa de f é a função f −1(x) =
x1/3. De fato, se y = x3, então
f −1(y) = f −1(x3) = (x3)1/3 = x.
Como achar a inversa de uma função bijetiva:
Passo 1: Escreva y = f (x).
Passo 2: Resolva esta equação para x em termos de y, se possível.
Passo 3: Troque o x pelo y para encontrar a expressão de f −1(x).
Exemplo 1.9.2. Aplique o procedimento explicado acima e ache a inversa
de f (x) = x3 − 2.
Passo 1: Escrevemos y = x3 − 2.
Passo 2: A seguir, resolvemos a equação encontrando o valor de x:
y = x3 − 2 ⇐⇒ x3 = y + 2 ⇐⇒ x = 3
√
y + 2.
28
Passo 3: Trocamos x por y na expressão encontrada: y =
3√
x + 2. Isso
resulta que f −1(x) =
3√
x + 2.
Sobre o gráfico da função inversa f −1: Da definição de função inversa,
sabemos que se f (a) = b então f −1(b) = a. Disto resulta que o ponto (a, b)
está no gráfico de f se, e somente se, o ponto (b, a) está no gráfico de f −1.
Note que o ponto (b, a) nadamais é que a reflexão do ponto (a, b) em relação
à reta y = x. Com isto, afirmamos que o gráfico de f −1 é obtido por reflexão
do gráfico de f em relação à reta y = x.
Exemplo 1.9.3. Dada a função f (x) =
√
−x − 1, encontre seu domínio e
imagem, sua inversa, se existir, e desennhe os gráficos de f e f −1 nomesmo
plano cartesiano.
1.10 Função logarítmica
Vimos que a função exponencial f (x) = ax com a > 0, a , 1 é uma
função bijetiva. Logo, ela admite uma inversa. Chamaremos esta inversa
de função logarítmica de base a e denotaremospor loga. Usando adefinição
de função inversa f −1(x) = y ⇐⇒ f (y) = x, chegamos à expressão que
define a função logaritmo:
loga x = y ⇐⇒ ay = x.
Note que:
• D(log) = Im(ax) = R+∗ , isto é, só podemos calcular o logaritmo de
números reais positivos.
• Im(log) = D(ax) = R, isto é, a imagem da função logarítmica é todo o
conjunto dos números reais.
• A grosso modo, o valor de loga x é o expoente ao qual a base a deve
ser elevada para obter o número x.
29
• Sabendo que f (x) = ax e f −1(x) = loga x, substituímos em f ( f −1(x)) e
f −1( f (x)) e obtemos:
f ( f −1(x)) = f (loga x) = a
loga x = x
f −1( f (x)) = f −1(ax) = loga a
x = x
• Ográfico de loga x é a reflexão do gráfico de ax em relação à reta y = x.
x
y
y = ax, a > 1
y = loga x, a > 1
y = x
Propriedade dos logaritmos: Se x e y são números reais positivos quais-
quer, então:
1. loga(xy) = loga x + loga y.
2. loga
(
x
y
)
= loga x − loga y.
3. loga x
n = n loga x.
30
Exemplo 1.10.1. Use as leis dos logaritmos para calcular a expressão
log2 80 − log2 5.
Se a base do logaritmo for igual ao número e, chamaremos este loga-
ritmo de logaritmo natural e denotaremos por
loge x = ln x.
Neste caso, teremos as seguintes observações:
• ln x = y ⇐⇒ ey = x. Se x = 1, então y = 0, ou seja, ln 1 = 0.
• ln ex = x. Se x = 1, então ln e = 1.
• eln x = x.
Exemplo 1.10.2. Resolva a equação e5−3x = 10.
Exemplo 1.10.3. Expresse ln a +
1
2
ln b como um simples logaritmo.
Exemplo 1.10.4. Desenhe o gráfico de ln(x − 2) − 1.
1.11 Exercícios
1. Encontre a expressão da função inversa, se existir, para cada função
abaixo:
(a) f (x) =
√
10 − 3x. Resp: f −1(x) = −1
3
x2 +
10
3
, x ≥ 0.
(b) f (x) =
4x − 1
2x + 3
. Resp: f −1(x) =
3x + 1
4 − 2x .
(c) f (x) = ex
3
. Resp: f −1(x) =
3√
ln x.
(d) f (x) = ln(x + 3). Resp: f −1(x) = ex − 3.
(e) f (x) =
1 + ex
1 − ex . Resp: f
−1(x) = ln
(
x − 1
x + 1
)
.
2. Ache os valores exatos das seguintes expressões sem usar a calcula-
dora:
(a) log2 64. Resp: 6.
31
(b) log6
1
36
. Resp: −2.
(c) log8 2. Resp: 1/3.
(d) ln e
√
2. Resp:
√
2
(e) log10 1.25 + log10 80. Resp: 2
(f) log5 10 + log5 20 − 3 log5 2. Resp: 2
(g) 2log2 3+log2 5. Resp: 15
3. Reduza as seguintes expressões a um simples logaritmo:
(a) 2 ln 4 − ln 2. Resp: ln 8
(b) ln x + a ln y − b ln z. Resp: ln
(
xya
zb
)
.
(c) ln(1 + x2) +
1
2
ln x − ln sen x. Resp: ln (1 + x
2)
√
x
sen x
.
4. Desenhe os gráficos das funções a seguir:
(a) ln(x + 5).
(b) − ln x.
(c) ln(−x).
(d) ln |x|.
5. Encontre o valor de x nas equações abaixo:
(a) 2 ln x = 1. Resp:
√
e
(b) e2x+3 − 7 = 0. Resp: x = ln 7
2
−3
2
.
(c) ln x + ln(x − 1) = 1. Resp: 1
2
(1 −
√
1 + 4e.
(d) ln(ln x) = 1. Resp: x = ee.
32
Aula 2
Limite de uma função
2.1 Limite
Vamos estudar o comportamento de uma função f (x) para valores de x
próximos de um ponto a. Consideremos, por exemplo, a função
f : R − {−2, 2} → R, f (x) = x
2 − 2x
x2 − 4 .
Queremos estudar o comportamento de f (x) para valores de x próximos
de 2. Claramente, existem duas possibilidades para x se aproximar de 2:
(1) x se aproxima de 2 por valores
inferiores a 2
x f(x)
1,5 0,4285714286
1,7 0,4594594595
1,9 0,4871794872
1,99 0,4987468672
1,999 0,4998749687
1,9999 0,4999874997
↓ ↓
2 0,5
(2) x se aproxima de 2 por valores
superiores a 2
x f(x)
2,5 0,5555555556
2,3 0,5348837209
2,1 0,5121951220
2,01 0,5012468828
2,001 0,5001249688
2,0001 0,5000124997
↓ ↓
2 0,5
Da tabela vemos que quando x estiver próximode 2 (de qualquer lado de 2)
33
f (x) estará próximo de 0, 5. De fato, podemos tomar os valores de f (x) tão
próximos de 0, 5 quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de
2.Veja a figura abaixo que representa o que está acontecendo nas tabelas.
x
y
2
f (x) =
x2 − 2x
x2 − 4
0, 5
quando x tende a 2
f (x) tende a 0, 5
Expressamos isso dizendo que o limite da função f (x) =
x2 − 2x
x2 − 4 quando
x tende a 2 é igual a 0, 5.
Simbolicamente: lim
x→2
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
Definição 2.1.1 (Limite - Intuitiva). Seja f (x) uma função definida para
valores de x próximos de um valor a, mas não necessariamente definida
34
em a, isto é, não é necessário que f (a) exista. Suponha que exista um
número L com a seguinte propriedade: os valores de f (x) ficam cada vez mais
próximos de L à medida que x se aproxima mais e mais de a. Veja a figura mais
abaixo. Sendo assim, dizemos que L é o limite da função f (x) quando x
tende a a. Simbolicamente escrevemos:
lim
x→a
f (x) = L. (2.1)
Uma outra forma de representar a mesma idéia é:
f (x)→ L quando x→ a
e se lê “ f (x) tende a L quando x tende ao valor a. Note que, quando este
número L não existe, dizemos que f (x) não tem limite quando x tende ao
valor a.
Observações: É importante notar que, da definição de limite, não é
necessário saber o que acontece com f (x) quando x = a. Na realidade, f (x)
nem precisa estar definido em x = a. Note que x tende a a, mas nunca é
igual a a. O que estamos realmente analisando é o comportamento de f (x)
quando x se aproxima arbitrariamente de a.
x
y
a
y = f (x)
f (a)
f definida em a
e lim
x→a
f (x) = f (a)
x
y
y = f (x)
L
a
f não é definida em a
mas lim
x→a
f (x) = L
x
y
y = f (x)
L
a
f definida em amas
lim
x→a
f (x) = L , f (a)
Até agora estivemos analisandoo significadoda equação 2.1 demaneira
muito informal e vaga. Os termos “muito próximos de” não tem precisão
35
matemática e devemos definir com exatidão. Antes de avançarmos para
uma definição formal de limite, vamos analisar um outro exemplo:
Exemplo 2.1.1. Seja f (x) =
2x2 + x
x
. Esta função não está definida para
x = 0 e para x , 0, a função pode ser simplificada para f (x) = 2x + 1.
x
y
0
f (x) =
2x2 + x
x
1
quando x tende a 0
f (x
) t
en
de
a 1
Ao analisar o seu gráfico notamos claramente que f (x) se aproxima de
1 quando x se aproxima de zero, ou seja
lim
x→0
2x2 + x
x
= 1.
Vamos analisar esta aproximação de forma quantitativa. Queremos saber
quão próximo f (x) está de 1 quando x está próximo de 0. Proximidade é
uma noção de distância e a distância de f (x) a 1 pode ser calculada usando
| f (x)−1|. Da expressão de f (x) para x , 0, vemos que | f (x)−1| = |2x|. Vemos
por esta expressão que f (x) pode estar tão perto de 1 quanto se queira
bastando para isso fazer x suficientemente próximo de 0. Por exemplo,
| f (x) − 1| = 1
100
quando |x − 0| = 1
200
,
36
| f (x) − 1| = 1
1000
quando |x − 0| = 1
2000
,
De modo mais geral, chamando de ǫ um número bem pequeno, então a
distância de f (x) a 1 será menor que ǫ, isto é,
| f (x) − 1| < ǫ,
bastando para isso que a distância de x a 0 seja menor que δ = ǫ/2. Pondo
em fórmulas:
se |x − 0| < δ = ǫ/2 então | f (x) − 1| < ǫ.
Esta expressão nos diz exatamente quão próximo x deve estar de 0 para
garantir um certo grau de proximidade previamente estabelecido de 1.
Daqui surge naturalmente a definição de limite por ǫ’s e δ’s.
Definição 2.1.2 (Limite - Definição formal). Seja f (x) uma função real defi-
nida num intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente
o próprio a. Dizemos que f (x) tende a L quando x tende ao valor a se, para
cada número positivo ǫ, existir um número positivo δ tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ.
Em outras palavras,
lim
x→a
f (x) = L
significa que para todo ǫ > 0 (não importa quão pequeno for ǫ) podemos
achar δ > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a − δ, a + δ) e x , a,
então f (x) estará on intervalo aberto (L − ǫ,L + ǫ).
Exemplo 2.1.2. Prove que lim
x→2
(3x + 4) = 10 em termos de ǫ′s e δ′s.
Solução: Devemos mostrar que, para todo ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
|x − 2| < δ ⇒ | f (x) − 10| < ǫ,
onde f (x) = 3x + 4. Para acharmos este δ, vamos analisar a desigualdade
| f (x) − 10| < ǫ.
| f (x) − 10| < ǫ⇐⇒ |3x + 4 − 10| < ǫ⇐⇒ |3x − 6| < ǫ⇐⇒ 3|x − 2| < ǫ
⇐⇒ |x − 2| < ǫ/3.
37
Esta última expressão nos sugere fazer δ = ǫ/3. Assim,
|x − 2| < ǫ/3 ⇒ | f (x) − 10| < ǫ.
Teorema 2.1.1 (Unicidade do limite). Se lim
x→a
f (x) = L1 e lim
x→a
f (x) = L2, então
L1 = L2.
Demonstração. Seja ǫ > 0 qualquer.
i Como lim
x→a
f (x) = L1, existe δ1 > 0 tal que
| f (x) − L1| < ǫ/2 sempre que |x − a| < δ1.
ii Como lim
x→a
f (x) = L2, existe δ2 > 0 tal que
| f (x) − L2| < ǫ/2 sempre que |x − a| < δ2.
Faça δ = min{δ1, δ2} e tome um x tal que |x − a| < δ. Então:
|L1 − L2| = |L1 − f (x) + f (x) − L2| ≤ | f (x) − L1| + | f (x) − L2| < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.
Como ǫ é arbitrariamente pequeno, segue que L1 = L2.
�
2.2 Limites Laterais
Na seção anterior estudamos o limite
lim
x→2
x2 − 2x
x2 − 4
através de 2 tabelas.
(1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas são chamados
de limites laterais:
38
• Quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2, dize-
mos que x tende a 2 pela esquerda, e denotamos simbolicamente
por x→ 2− . Temos então que:
lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
• Quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, dize-
mos que x tende a 2 pela direta, e denotamos simbolicamente
por x→ 2+ . Temos então que:
lim
x→2+
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
(2) Temos que
lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4 = limx→2+
x2 − 2x
x2 − 4 = limx→2
x2 − 2x
x2 − 4 = 0, 5
Definição 2.2.1 (Limites Laterais - Intuitiva).
(1) Escrevemos
lim
x→a−
f (x) = L
edizemosqueo limitede f (x) quando x tende a apela esquerda é igual
a L se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos
de L, tomando x suficientemente próximo de a com x menor do que
a.
(2) Escrevemos
lim
x→a+
f (x) = L
e dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a pela direta é igual
a L se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos
de L, tomando x suficientemente próximo de a com xmaior do que a.
Segue das definições de limites laterais o seguinte teorema.
39
Teorema 2.2.1. Dizemos que lim
x→a
f (x) = L se, e somente se, lim
x→a−
f (x) = L e
lim
x→a+
f (x) = L.
Deste teorema, podemos retirar as seguintes conclusões importantes:
• se f admite limites laterais em a e lim
x→a−
f (x) , lim
x→a+
f (x) então o limite
lim
x→a
f (x) não existe.
• se f não admite um dos limites laterais em a, então o limite lim
x→a
f (x)
não existe.
Exemplo 2.2.1. Calcule o limite lim
x→0
x
|x| .
Solução:
Sabemos que:
|x|=
{
x, x ≥ 0
−x, x < 0
Logo,
f (x) =
|x|
x
=
{
1, x ≥ 0
−1, x < 0
Note que lim
x→0
f (x) não existe pois
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
x>0
f (x) = lim
x→0
1 = 1
e
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0
x<0
f (x) = lim
x→0
−1 = −1
Veja na figura abaixo.
40
x
y
1
−1
f
0
Exemplo 2.2.2. Esboce o gráfico de
f (x) =

x2 − 2, x < 2
3, x = 2
8 − x2, x > 2.
Use-o para determinar os seguintes limites:
(i) lim
x→2−
f (x) e (ii) lim
x→2+
f (x)
Existe lim
x→2
f (x) ?
Resolução:
• lim
x→2−
f (x) = lim
x→2
x<2
f (x) = lim
x→2
(x2 − 2) = 2
• lim
x→2+
f (x) = lim
x→0
x>2
f (x) = lim
x→2
(8 − x2) = 4
Como lim
x→2+
f (x) , lim
x→2−
f (x) concluímos que o limite lim
x→2
f (x) não existe. Veja
o gráfico abaixo:
41
x
y
4
3
2
2
−2
y = x2 − 2 y = 8 − x2
2.3 Exercícios
1. Explique com as suas palavras o que significa
lim
x→2
f (x) = 5.
É possível a afirmação ainda ser verdadeira e f (2) = 3?
2. Explique o significado de
lim
x→1−
f (x) = 2 e lim
x→1+
f (x) = 5.
O que você pode dizer sobre o limite de f (x) quando x tende a 1?
3. A função sinal, denotada por sgn, é definida por:
sgn(x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
(a) Esboce o gráfico desta função.
(b) Calcule ou explique porque não existe cada um dos seguintes
limites:
42
i. lim
x→0−
sgn(x). Resp: −1
ii. lim
x→0+
sgn(x). Resp: 1
iii. lim
x→0
sgn(x). Resp: não existe.
iv. lim
x→0
|sgn(x)|. Resp: 1.
4. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→0
f (x).
(b) lim
x→3+
f (x).
(c) lim
x→3−
f (x).
(d) lim
x→3
f (x).
(e) f (3).
Resp:
(a) 3 (b) 2 (c) 4 (d) não existe (e) 3
5. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→1−
f (x).
(b) lim
x→1+
f (x).
(c) lim
x→1
f (x).
(d) lim
x→5
f (x).
(e) f (5).
43
Resp:
(a) 2 (b) 3 (c) não existe (d) 4 (e) não é definido
6. Desenhe o gráfico da seguinte função e use-o para determinar todos
os valores de a para os quais é possível calcular o limite lim
x→a
f (x).
f (x) =

2 − x, x < −1
x, −1 ≤ x < 1
(x − 1)2, x ≥ 1.
Resp:
a ∈ R − {−1, 1}
7. Desenhe um gráfico de uma possível função f (x) que satisfaça as
condições lim
x→0+
f (x) = −1, lim
x→0−
f (x) = 1, lim
x→2−
f (x) = 0, lim
x→2+
f (x) = 1,
f (2) = 1 e f (0) é indefinido.
44
8. Seja
f (x) =
4 − x2 se x ≤ 2x − 1 se x > 2
(a) Encontre lim
x→2−
f (x) e lim
x→2+
f (x).
(b) Existe lim
x→2
f (x) ?
(c) Esboce o gráfico.
Resp:
(a) 0 e 1 (b) não existe
9. Seja
f (x) =

x se x < 1
3 se x = 1
2 − x2 se 1 < x ≤ 2
x − 3 se x > 2
(a) Esboce o gráfico.
(b) Calcule, caso exista lim
x→1−
f (x), lim
x→1
f (x) e f (1).
(c) Calcule, caso exista lim
x→2−
f (x), lim
x→2+
f (x) e lim
x→2
f (x).
Resp:
(b) 1, 1, 3 (c) − 2, −1, não existe
10. Esboceográficode cada funçãoa seguir f , e determine lim
x→a−
f (x), lim
x→a+
f (x)
e, caso exista, lim
x→a
f (x) :
a) f (x) =

3x − 2, x > 1
2, x = 1
4x + 1, x < 1
(a = 1)
b) f (x)=

x2 − 1, x ≥ 1 e x , 2
1, x = 2
1 − x, x < 1
(a = 2)
c) f (x) =
{
x2 − x, x ≥ 0
−x, x < 0
(a = 0)
d) f (x) =
 x + 2|x + 2| , x , −20, x = −2
(a = −2)
45
Resp:
(a) lim
x→1−
f (x) = 5 lim
x→1+
f (x) = 1 ∄ lim
x→1
f (x)
(b) lim
x→2−
f (x) = lim
x→2+
f (x) = lim
x→2
f (x) = 3
(c) lim
x→0−
f (x) = lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
f (x) = 0
(d) lim
x→−2−
f (x) = −1 lim
x→−2+
f (x) = 1 ∄ lim
x→−2
f (x)
11. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista lim
x→x0
f (x), sendo:
a) f (x) =

3x − 2, x > −1
3, x = −1
5 − ax, x < −1
(x0 = −1)
b) f (x) =
 x
2 − 4
x − 2 , x , 2
a, x = 2
(x0 = 2)
Resp:
(a) -10
(b) lim
x→2
f (x) existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um
número real qualquer.
46
Aula 3
Propriedades do Limite de uma
função
3.1 Propriedades do Limite
Para calcular o limite lim
x→a
f (x), nem sempre é necessário construir o seu
gráfico. Há varias propriedades do limite que permitem calcular o seu
valor. Enunciaremos algumas destas propriedades no teorema abaixo.
Teorema3.1.1. Sejam f (x) e g(x) duas funções tais que lim
x→a
f (x) = L1 e lim
x→a
g(x) =
L2, então as seguintes propriedades operatórias são verdadeiras:
a. lim
x→a
( f (x) + g(x)) = L1 + L2 = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x) e se lê “o limite da soma
é igual à soma dos limites.
b. lim
x→a
k f (x) = kL1 = k lim
x→a
f (x). O limite do produto de uma constante por
uma função é igual à constante multiplicada pelo limite da função.
c. lim
x→a
( f (x)g(x)) = L1L2 = lim
x→a
f (x) lim
x→a
g(x) e se lê “o limite do produto é
igual ao produto dos limites.
d. lim
x→a
f (x)
g(x)
=
L1
L2
, se L2 , 0. O limite do quociente é o quociente dos limites
desde que o denominador não seja igual a zero.
47
Demonstração. Se lim
x→a
f (x) = L1, então dado ǫ > 0, existe δ1 tal que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ | f (x) − L1| < ǫ/2.
Da mesma forma, como lim
x→a
g(x) = L2, então dado ǫ > 0, existe δ2 tal que
0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − L2| < ǫ/2.
Chamando agora δ = min{δ1, δ2}, podemos afirmar que:
a.
0 < |x−a| < δ⇒ | f (x)+g(x)−(L1+L2)| < | f (x)−L1|+|g(x)−L2| < ǫ2+
ǫ
2
= ǫ.
b. Se k = 0, k f (x) = 0 para todo x ∈ D f . Logo,
lim
x→a
k f (x) = 0 = k · lim
x→a
f (x) = 0 · lim
x→a
f (x).
Seja k , 0. Como lim
x→a
f (x) = L1, então dado ǫ > 0, existe um δk > 0 tal
que
0 < |x − a| < δk ⇒ | f (x) − L1| < ǫ
k
.
Daí, 0 < |x − a| < δk ⇒ |k f (x) − kL1| < kǫ
k
= ǫ.
d. Usando a propriedade do produto e supondo que L2 , 0,
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
1
g(x)
= L1
1
L2
.
�
Algumas propriedades adicionais
1. Usando induçãofinita, pode-severificar que se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) =
L2, lim
x→a
f3(x) = L3, . . ., lim
x→a
fn(x) = Ln, então
lim
x→a
( f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x)) = L1 + L2 + · · · + Ln,
para todo natural n ≥ 2.
48
2. Se c ∈ R é uma constante, então lim
x→a
c = c.
3. lim
x→a
x = a.
4. lim
x→a
[ f (x)]n = [lim
x→a
f (x)]n.
5. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a
f (x), onde n é um inteiro positivo. Se n é par,
supomos que lim
x→a
f (x) ≥ 0.
6. lim
x→a
(ln f (x)) = ln(lim
x→a
f (x)).
7. lim
x→a
e f (x) = elimx→a f (x).
8. lim
x→a
( cos f (x)) = cos (lim
x→a
f (x)).
9. lim
x→a
( sen f (x)) = sen (lim
x→a
f (x)).
Observações: Segue das propriedades de limite que:
1. Se P(x) = a0 + a1x + · · · + anxn é uma função polinomial então
lim
x→a
P(x) = P(a)
.
2. Se f (x) =
P(x)
Q(x)
é uma função racional comP(x) eQ(x) dois polinômios
e se Q(a) , 0, então
lim
x→a
f (x) = f (a)
.
3. As propriedades de limites são válidas se substituirmos “x→ a′′ por
“x→ a+ ′′ ou “x→ a− ′′.
Exemplo 3.1.1. Calcule os seguinte limites:
1. lim
x→1
(3x4−2x+5).Neste caso P(x) = 3x4−2x+5 é um polinômio. Logo
lim
x→1
(3x4 − 2x + 5) = 3(1)4 − 2(1) + 5 = 6
49
2. lim
x→2
2x2 − 5
x − 3 . Neste caso como limx→2(x − 3) = −1 , 0 podemos aplicar
propriedade d do teorema 3.1.1, logo lim
x→2
2x2 − 5
x − 3 =
lim
x→2
(2x2 − 5)
lim
x→2
(x − 3) =
3
−1 = −3.
3. lim
x→−1
5
√
x3 + 2x
x2 − 2 . Como limx→−1(x
2 − 2) = −1 , 0 temos que
lim
x→−1
5√
x3 + 2x
x2 − 2 =
5
√√√√√ lim
x→−1
(x3 + 2x)
lim
x→−1
(x2 − 2) =
5
√
−1 − 2
1 − 2 =
5√
3
3.2 Limites envolvendo a indeterminação
0
0
No cálculo do limite lim
x→a
f (x)
g(x)
em que f (a) = 0 e g(a) = 0, temos uma
expressão do tipo
0
0
. Chama-se simbolo de indeterminação. Isto não signi-
fica a inexistência do limite. Geralmente esta indeterminação é eliminada
mediante uma simplificação da expressão permitindo o cálculo do limite
por substituição direta. Se f (x) e g(x) forem polinômios podemos fazer
uma simplificação através de uma divisão dos polinômios ou usando os
produtos notáveis abaixo:
• A2 − B2 = (A − B)(A + B)
• A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2)
• A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2)
Exemplo 3.2.1. Calcule os seguinte limites:
1. lim
x→3
x2 − 9
x − 3 .Neste caso, como limx→3(x
2−9) = 0 e lim
x→3
(x−3) = 0, temos uma
indeterminação do tipo
0
0
. Então precisamos simplificar a expressão.
50
Observe que:
x2 − 9
x − 3 =
(x − 3)(x + 3)
x − 3 = x + 3, ∀x , 3
Logo lim
x→3
x2 − 9
x − 3 = limx→3(x + 3) = 3 + 3 = 6.
2. lim
x→2
√
x2 + 5 − 3
x − 2 . Como limx→2(
√
x2 + 5− 3) = 0 e lim
x→2
(x− 2) = 0, precisa-
mos simplificar antes de substituir. Observe que:
√
x2 + 5 − 3
x − 2 =
(
√
x2 + 5 − 3)
x − 2 ·
(
√
x2 + 5 + 3)
(
√
x2 + 5 + 3)
=
x2 − 4
(x − 2)(
√
x2 + 5 + 3)
=
(x + 2)
(
√
x2 + 5 + 3)
, ∀x , 2.
Logo, lim
x→2
√
x2 + 5 − 3
x − 2 = limx→2
(x + 2)
(
√
x2 + 5 + 3)
=
2
3
.
3. lim
x→8
8 − x
2 − 3√x . Como limx→8(8 − x) = 0 e limx→8(2 −
3
√
x) = 0, precisamos
simplificar antes de substituir. Fazendo a mudança de variável y =
3
√
x, ou seja x = y3 na expressão temos que
8 − x
2 − 3√x =
8 − y3
2 − y
=
23 − y3
2 − y
=
(2 − y)(22 + 2y + y2)
2 − y = 4 + 2y + y
2, ∀ y , 2.
Portanto,
lim
x→8
8 − x
2 − 3√x = limy→2(4 + 2y + y
2) = 4 + 4 + 4 = 12.
51
3.3 Exercícios
1. Calcule os limites a seguir, se existirem:
(a) lim
x→−2
(3x4 + 2x2 − x + 1). Resp: 59
(b) lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x − 4. Resp: 3/4
(c) lim
x→−1
x2 − 4x
xˆ2 − 3x − 4. Resp: não existe.
(d) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
. Resp: 8.
(e) lim
h→0
(1 + h)2 − 1
h
. Resp: 2.
(f) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
. Resp: 12.
2. Calcule os limites a seguir, se existirem:
(a) lim
x→5
(x2 − 3x + 4). Resp: 14.
(b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x . Resp: −1/11.
(c) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
. Resp: 6.
(d) lim
x→1
g(x), quando
g(x) =
x + 1 se x , 1π se x = 1.
Resp: 2.
(e) lim
t→0
√
t2 + 9 − 3
t2
. Resp: 1/6.
(f) lim
x→0
|x|. Resp: 0.
(g) lim
x→0
|x|
x
. Resp: não existe.
52
(h) lim
x→4
f (x), quando
f (x) =

√
x − 4 se x > 4
8 − 2x se x < 4.
Resp: 0.
3. Dado que lim
x→2
f (x) = 4, lim
x→2
g(x) = −2, lim
x→2
h(x) = 0, encontre, se existir,
os seguintes limites. Caso não exista, explique o por quê.
(a) lim
x→2
[ f (x) + 5g(x)]. Resp: −6.
(b) lim
x→2
[g(x)]3. Resp: −8.
(c) lim
x→2
√
f (x). Resp: 2.
(d) lim
x→2
3 f (x)
g(x)
. Resp: −6.
(e) lim
x→2
g(x)
h(x)
. Resp: não existe.
(f) lim
x→2
g(x)h(x)
f (x)
. Resp: 0.
4. Os gráficos de f e g são dados abaixo. Use-os para calcular os se-
guintes limites, se existirem. Caso não exista o limite, explique o por
quê.
.
53
(a) lim
x→2
[ f (x) + g(x)]. Resp: 2.
(b) lim
x→1
[ f (x) + g(x)]. Resp: não existe.
(c) lim
x→0
[ f (x)g(x)]. Resp: 0.
(d) lim
x→1
f (x)
g(x)
. Resp: não existe.
(e) lim
x→2
[x3 f (x)]. Resp: 16.
(f) lim
x→1
√
f (x) + 3. Resp: 2.
5. Calcule os limites a seguir, caso existam:
(a) lim
x→−1
x − 2
x2 + 4x − 3. Resp: 1/2.
(b) lim
x→1
( 1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
. Resp: 1/8.
(c) lim
u→−2
√
u4 + 3u + 6. Resp: 4.
(d) lim
x→4−
√
16 − x2. Resp: 0.
(e) lim
x→2
x2 + x − 6
x − 2 . Resp: 5.
6. Calcule os seguintes limites, se existirem:
(a) lim
x→−3
x2 − 9
2x2 + 7x + 3
. Resp: 6/5.
(b) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
. Resp: 8.
(c) lim
x→−2
x + 2
x3 + 8
. Resp: 1/12.
(d) lim
t→9
9 − t
3 − √t
. Resp: 6.
(e) lim
x→7
√
x + 2 − 3
x − 7 . Resp: 1/6.
54
7. Calcule, utilizando propriedades operatórias, os limites a seguir:
a) lim
x→ π2
senx
1 + cos x
b) lim
x→2
∣∣∣∣x2 − 42 − x ∣∣∣∣ c) limx→1 x3 − 1|x − 1|
d) lim
x→ 12
2x2 + 3x − 2
8x3 − 1 e) limx→2 e
( x
4−16
x3−8 ) f ) lim
x→1
√
x − 1
x − 1
g) lim
y→−1
1 − y2
y +
√
2 + y
h) lim
x→4
3 −
√
5 + x
1 −
√
5 − x
i) lim
x→64
√
x − 8
3
√
x − 4
j) lim
x→0
√
2 + 3x −
√
2 + x
x + 3x2
k) lim
x→4
√
x − 3 −
√
5 − x√
x − 2
Resp:
(a) 1 (b) 4 (c) não existe (d)
5
6
(e) e
8
3 ( f )
1
2
(g)
4
3
(h) − 1
3
(i) 3 ( j)
1
3
√
2
(k) 4
55
Aula 4
Limite Infinito de uma função
4.1 Limites infinitos
Considere as funções
f : R∗ → R
x 7→ f (x) = 1
x2
g : R∗ → R
x 7→ g(x) = − 1
x2
como visto na figura abaixo.
x
y
0
f (x) =
1
x2
x
y
0
g(x) = − 1
x2
56
• Note que, quando x se aproxima de 0, x2 também se aproxima de 0
e f (x) =
1
x2
cresce muito. Quanto menor é o valor de x, maior será
o valor de f (x) =
1
x2
. Para indicar que a função f (x) =
1
x2
cresce
arbitrariamente quando x se aproxima de 0, escrevemos:
lim
x→0
1
x2
= +∞
Observe que o simbolo “ +∞” lê-se “mais infinito” não representa
nenhum número real mas indica o que ocorre com a função quando
x se aproxima de 0.
• De forma análoga, para a função g, quando x se aproxima de 0, os
valores de g(x) decrescem ilimitadamente. Simbolicamente escreve-
mos:
lim
x→a
g(x) = −∞.
O simbolo “−∞” lê-se “menos infinito” e indica que a função assume
valores arbitrariamente pequenos quando x se aproxima muito de a.
Definição 4.1.1 (Intuitiva). Seja f (x) uma função definida em ambos os
lados de a, mas não necessariamente em a.
• Dizemos que
lim
x→a
f (x) = +∞,
quando f (x) torna-se arbitrariamente grande à medida que fazemos
x→ a.
• Dizemos que
lim
x→a
f (x) = −∞,
quando f (x) torna-se arbitrariamente pequeno, à medida que faze-
mos x→ a.
De maneira mais formal, podemos dizer que
57
Definição 4.1.2. Seja f (x) uma função definida num intervalo aberto con-
tendo a, exceto possivelmente em x = a.
• Dizemos que lim
x→a
f (x) = +∞, se para qualquer A > 0, existir um δ > 0
tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > A.
• Dizemos que lim
x→a
f (x) = −∞, se para qualquer B < 0, existir um δ > 0
tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < B.
Proposição 4.1.1. Para todo número natural n, temos
1. lim
x→0+
1
xn
= +∞
2. lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞, se n é par
−∞, se n é ímpar
Veja as figuras abaixo dos gráficos de f (x) =
1
x5
e g(x) =
1
x4
x
y
0
f (x) =
1
x5
x
y
0
g(x) =
1
x4
58
Proposição 4.1.2. Sejam f (x) e g(x) funções reais tais que lim
x→a
f (x) , 0 e
lim
x→a
g(x) = 0. Então:
1. lim
x→a
f (x)
g(x)
= −∞ se f (x)
g(x)
< 0, quando x se aproxima de a;
2. lim
x→a
f (x)
g(x)
= +∞ se f (x)
g(x)
> 0, quando x se aproxima de a.
Estes resultados continuam válidos se substituirmos “x → a′′ por “x→ a+ ′′ ou
“x→ a− ′′.
Exemplo 4.1.1. Calcule
(a) lim
x→1
3x − 2
(x − 1)2 (b) limx→2
2x − 5
(x − 2)2
Solução
(a) Como lim
x→1
(3x−2) = 1 , 0 e lim
x→1
(x−1)2 = 0, estudamos o sinal de 3x − 2
(x − 1)2
próximo de 1.
x ∈ 2
3
< x < 1 x > 1
3x − 2 + +
(x − 1)2 + +
3x − 2
(x − 1)2 + +
Portanto
3x − 2
(x − 1)2 > 0 próximo de 1. Logo
lim
x→1
3x − 2
(x − 1)2 = +∞.
(b) Como lim
x→2
(2x − 5) = −1, 0 e lim
x→2
(x − 2)2 = 0, estudamos o sinal de
2x − 5
(x − 2)2 próximo de 2.
59
x ∈ x < 2 2 < x < 5
2
2x − 5 - -
(x − 2)2 + +
2x − 5
(x − 2)2 - -
Portanto
2x − 5
(x − 2)2 < 0 próximo de 2. Logo
lim
x→2
2x − 5
(x − 2)2 = −∞.
Exemplo 4.1.2. Calcule
(a) lim
x→2+
3x − 5
x2 − 4 (b) limx→2−
3x − 5
x2 − 4 (c) limx→2
3x − 5
x2 − 4
Solução:
Seja f (x) =
3x − 5
x2 − 4 .
Como lim
x→2
(3x − 5) = 1 , 0 e lim
x→2
(x2 − 4) = 0, estudamos o sinal de f (x)
próximo de 2.
x ∈ 5
3
< x < 2 x > 2
3x − 5 + +
x2 − 4 - +
3x − 5
x2 − 4 - +
Portanto
2x − 5
x2 − 4 < 0 próximo de 2 pela esquerda e
2x − 5
x2 − 4 > 0 próximo de
2 pela direta. Logo:
(a) lim
x→2+
3x − 5
x2 − 4 = +∞ (b) limx→2−
3x − 5
x2 − 4 = −∞ (c) limx→2
3x − 5
x2 − 4 não existe
4.2 Propriedades dos limites infinitos
1. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = L e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = +∞ e lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = −∞.
60
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] =
{
+∞, se L > 0
−∞, se L < 0 .
(c) lim
x→a
f (x)
g(x)
= 0.
2. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = L e lim
x→a
g(x) = −∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = −∞ e lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] =
{ −∞, se L > 0
+∞, se L < 0 .
(c) lim
x→a
f (x)
g(x)
= 0
3. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = +∞
4. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = −∞ então
(a) lim
x→a
[ f (x) + g(x)] = −∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = +∞
5. Se f e g são funções tais que lim
x→a
f (x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = +∞ então
(a)lim
x→a
[ f (x) − g(x)] = −∞ e lim
x→a
[g(x) − f (x)] = +∞
(b) lim
x→a
[ f (x) · g(x)] = −∞
Estes resultados continuamválidos se substituirmos “x→ a′′ por “x→ a+ ′′
ou “x→ a− ′′.
Exemplo 4.2.1. Calcule lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4
61
Solução:
lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4 = limx→2+
x2 + 3x
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2+
1
x − 2 ·
x2 + 3x
x + 2
= +∞ · 5
2
= +∞.
Exemplo 4.2.2. Calcule lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1
Solução:
lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 2x + 1 = limx→1−
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)2
= lim
x→1−
1
x − 1 · (x
2 + x + 1)
= −∞ · 3 = −∞
Definição 4.2.1 (Assíntota vertical). Dada uma curva y = f (x), dizemos
que a reta x = a é sua assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes
condições for verdadeira:
lim
x→a
f (x) = ∞ lim
x→a−
f (x) = ∞ lim
x→a+
f (x) = ∞
lim
x→a
f (x) = −∞ lim
x→a−
f (x) = −∞ lim
x→a+
f (x) = −∞
Por exemplo, a reta x = 0 é a assíntota vertical para a curva dada por
y = 1/x2.
Exemplo 4.2.3. Encontre os valores de lim
x→3−
2x
x − 3 e limx→3+
2x
x − 3, caso existam.
Ache as suas assíntotas.
Exemplo 4.2.4. Ache as assíntotas da função f (x) =
sen x
cos x
.
Exemplo 4.2.5. Ache as assíntotas da função f (x) = ln x.
62
4.3 Exercícios
1. Explique o significado de
(a) lim
x→1
f (x) = ∞.
(b) lim
x→4+
f (x) = −∞.
2. Use o gráfico da função f (x) =
1
1 + e1/x
para determinar os valores
dos limites abaixo, caso existam. Se não existirem, explique o por
que.
(a) lim
x→0−
f (x). Resp: 1.
(b) lim
x→0+
f (x). Resp: 0.
(c) lim
x→0
f (x). Resp: não existe.
3. Para a função f dada pelo gráfico abaixo, determine os seguintes
limites, caso existam. Se não existir, explique o por quê.
(a) lim
x→2
f (x). Resp: −∞.
(b) lim
x→5
f (x). Resp: +∞.
(c) lim
x→−3−
f (x). Resp: −∞.
(d) lim
x→−3+
f (x). Resp: +∞.
(e) Determine a equações das
assíntotas verticais.
Resp: x = −3, x = 2 e x = 5.
63
4. Determine os seguintes limites infinitos:
(a) lim
x→5+
6
x − 5.
Resp: +∞.
(b) lim
x→5−
6
x − 5.
Resp: −∞.
(c) lim
x→1
2 − x
(x − 1)2 .
Resp: +∞.
(d) lim
x→0
x − 1
x2(x + 2)
.
Resp: −∞.
(e) lim
x→−2+
x − 1
x2(x + 2)
.
Resp: −∞.
(f) lim
x→5+
ln (x − 5).
Resp: −∞.
5. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
x2 + 1
sen x
b) lim
x→0+
√
x − 1
x2
c) lim
x→5
2x2 + 3
(x − 5)2
d) lim
x→2
5x − 4
|x − 2| e) limx→0
cos 3x
x
f ) lim
x→−3
3x − 11
|x| − 3
g) lim
x→0
√
x + 2 −
√
3
x4
Resp
(a) Não existe pois lim
x→0−
x2 + 1
sen x
= −∞ e lim
x→0+
x2 + 1
sen x
= +∞ (b) −∞ (c)
+∞ (d) +∞
(e) Não existe pois lim
x→0−
cos 3x
x
= −∞ e lim
x→0+
cos 3x
x
= +∞
(f) Não existe pois lim
x→−3−
3x − 11
|x| − 3 = −∞ e limx→−3+
3x − 11
|x| − 3 = +∞ (g) −∞
64
Aula 5
Limite no infinito de uma função
5.1 Limites no infinito: assíntotas horizontais
Exemplo 5.1.1. Analise o comportamentoda função f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
àmedida
que x cresce. Veja o gráfico abaixo:
y
2
f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
1
quando x tende a −∞ quando x tende a +∞
f (x) tende a 1f (x) tende a 1
O gráfico acima mostra claramente que, à medida que x cresce assu-
mindo valores arbitrariamente grandes, o valor de f (x) fica muito próximo
de 1, mas nunca igual a 1. Em termos de limite, escrevemos:
lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1.
65
Generalizando a idéia, podemos escrever a seguinte definição:
Definição 5.1.1. a. Seja f uma função definida em algum intervalo
(a,+∞). Então
lim
x→+∞
f (x) = L
é verdade quando os valores de f (x) estão arbitrariamente próximos
de L fazendo x suficientemente grande.
b. Seja f uma função definida em algum intervalo (−∞, a). Então
lim
x→−∞
f (x) = L
é verdade quando os valores de f (x) estão arbitrariamente próximos
de L bastando para isso, fazer x suficientemente pequeno.
Observação: Utilizamos a notação
lim
x→+∞
f (x) = +∞
para indicar que os valores de f (x) tornam-se arbitrariamente grandes para
valores muito grandes de x. De forma análoga utilizamos a notação:
lim
x→+∞
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = +∞, lim
x→−∞
f (x) = −∞
A seguir apresentamos alguns resultados que nos ajudarão a concluir
algo sobre o comportamento dos valores de uma função quando os valores
de x crescem (ou decrescem) ilimitadamente, sem necessariamente termos
que construir um gráfico.
Teorema 5.1.1.
1) lim
x→+∞
xn = +∞, ∀n ∈N∗ é par
2) lim
x→−∞
xn =
{
+∞, se n ∈N∗ é par
−∞, se n ∈N∗ é ímpar
66
3) lim
x→±∞
1
xn
= 0, ∀n ∈N∗
Exemplo 5.1.2.
lim
x→−∞
x3 = −∞ e lim
x→−∞
x4 = +∞,
lim
x→−∞
1
x3
= 0 e lim
x→+∞
1
x4
= 0
Exemplo 5.1.3. Calcule:
1. lim
x→+∞
(x5 + 3x3 + x + 1)
2. lim
x→−∞
(x5 + 3x3 + x + 1)
3. lim
x→+∞
(x6 + x3 + 1)
Solução:
1. lim
x→+∞
(x5 + 3x3 + x + 1) = lim
x→+∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x
+
1
x5
)
= +∞ · 1 = +∞
2. lim
x→−∞
(x5 + 3x3 + x + 1) = lim
x→−∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x4
+
1
x5
)
= −∞ · 1 = −∞
3. lim
x→−∞
(x6 + x3 + 1) = lim
x→−∞
x6
(
1 +
1
x3
+
1
x6
)
= +∞ · 1 = +∞
Exemplo 5.1.4. Calcule
lim
x→−∞
(
√
x2 + 1 − x)
.
Solução: Observe que:
lim
x→−∞
√
x2 + 1 =
√
lim
x→−∞
(x2 + 1) = +∞ e lim
x→−∞
x = −∞
Portanto
lim
x→−∞
(
√
x2 + 1 − x) = +∞− (−∞) = ∞ +∞ = +∞
67
Exemplo 5.1.5. Calcule lim
x→−∞
x5 − 3x2 + 3
2x5 + 7x3
.
Solução:
lim
x→−∞
x5 − 3x2 + 3
2x5 + 7x3
= lim
x→−∞
x5
(
1 − 3
x3
+
3
x5
)
x5
(
2 +
7
x2
)
= lim
x→−∞
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
3
x3
+
✁
✁
✁✁✕
0
3
x5
2 +
✁
✁
✁✁✕
0
7
x2
=
1
2
Exemplo 5.1.6. Calcule lim
x→+∞
3x2 − 2x − 1
x3 + 4
.
Solução:
lim
x→+∞
3x2 − 2x − 1
x3 + 4
= lim
x→+∞
x2
(
3 − 2
x
− 1
x2
)
x3
(
1 +
4
x3
)
= lim
x→+∞
3 −✄
✄
✄✄✗
0
2
x
−
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
x
1 + ✁✁✁✁✕
0
4
x3

=
3
+∞ = 0.
Exemplo 5.1.7. Seja f (x) =
√
x2 − 1
3x − 4 . Calcule
lim
x→+∞
f (x) e lim
x→−∞
f (x)
.
Solução: Lembre que |x| =
√
x2, ou seja
√
x2 =
{ −x, se x < 0
x, se x > 0
68
• Considerando x→ +∞ implica que x > 0. Portanto
lim
x→+∞
√
x2 − 1
3x − 4 = limx→+∞
√
x2
(
1 − 1
x2
)
x
(
3 − 4
x
) = lim
x→+∞
|x|
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→+∞
x
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→+∞
√
1 − 1
x2
3 − 4
x
=
√
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
3 −
✄
✄
✄✄✗
0
4
x
=
1
3
.
• Considerando x→ −∞ implica que x < 0. Portanto
lim
x→−∞
√
x2 − 1
3x − 4 = limx→−∞
√
x2
(
1 − 1
x2
)
x
(
3 − 4
x
) = lim
x→−∞
|x|
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→−∞
−x
√
1 − 1
x2
x
(
3 − 4
x
)
= lim
x→−∞
−
√
1 − 1
x2
3 − 4
x
=
−
√
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
1
x2
3 −
✄
✄
✄✄✗
0
4
x
= −1
3
.
Note que estas noções de limites no infinito dão origem à noção de
assíntota horizontal.
69
Definição 5.1.2 (Assíntota horizontal). A reta y = L é chamada de assíntota
horizontal da curva y = f (x) se
lim
x→∞
f (x) = L ou lim
x→−∞
f (x) = L.
Exemplo 5.1.8. Acheos limites infinitos, os limites no infinito e as assíntotas
da função y = f (x) dada pelo gráfico abaixo:
Solução:
Os limites infinitos são:
lim
x→2+
f (x) = +∞, lim
x→2−
f (x) = −∞, e lim
x→−1
f (x) = +∞
Logo as assintotas verticais são x = 2 e x = −1.
Os limites no infinito são:
lim
x→+∞
f (x) = 4, e lim
x→−∞
f (x) = 2
Logo as assintotas horizontais são y = 4 e y = 2.
70
5.2 Exercícios
Calcule:
1. lim
x→+∞
(2x5 + 4x2 − 3). Resp: +∞.
2. lim
x→−∞
(4x3 − 2x2 + x − 5). Resp:
−∞.
3. lim
x→−∞
(−5ex). Resp: 0.
4. lim
x→−∞
√
5x2 + x + 2. Resp: +∞.
5. lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x + x). Resp: +∞.
6. lim
x→0+
(x2 + ln x). Resp: −∞.
7. lim
x→+∞
1
1 + 21/x
. Resp:
1
2
.
8. lim
x→2−
ln(2 − x). Resp: −∞.
9. lim
x→1−
π
2 + 3
1
x−1
. Resp:
π
2
.
10. lim
x→+∞
x2 + 3
x + 2
. Resp: +∞.
11. lim
x→+∞
5 − x3
8x + 2
. Resp: −∞.
12. lim
x→+∞
2x4 + 3x2 + 1
4 − x4 . Resp: −2.
13. lim
x→+∞
x2 + 3x − 1
x3 − 2 . Resp: 0.
14. lim
x→+∞
3x + |x|
7x − 5|x| . Resp: 2.
15. lim
x→−∞
3x + |x|
7x − 5|x| . Resp:
1
6
.
16. lim
x→+∞
1
(x + 2)2
. Resp: 0.
17. lim
x→+∞
x + 1
x2 + 1
. Resp: 0.
18. lim
x→−∞
x + 1
x2 + 1
. Resp: 0.
19. lim
x→+∞
x2 − 2x + 3
2x2 + 5x − 3. Resp:
1
2
.
20. lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2 − x2 . Resp: +∞.
71
Aula 6
Indeterminações do Limite de
uma função
6.1 Indeterminação no Calculo dos Limites
Nas operações com limites, muitas vezes aparecem indeterminações
como
0
0
, ∞−∞, 0 · ∞, ∞∞ , 0
0, ∞0 e 1±∞
Como vimos, em relação ao
0
0
, a indeterminação não significa a inexis-
tência do limite de uma função. Mostraremos através de exemplos, como
resolver alguns dos limites de funções contendo as indeterminações acima.
6.1.1 Limites envolvendo indeterminações do tipo∞−∞
Exemplo 6.1.1. Calcule o limite lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x − x).
Solução:
Como lim
x→+∞
√
x2 − 3x = +∞ e lim
x→+∞
x = +∞, temos a indeterminação
72
∞−∞. Portanto precisamos simplificar a expressão.
lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x − x) = lim
x→+∞
(
√
x2 − 3x − x) · (
√
x2 − 3x + x)
(
√
x2 − 3x + x)
= lim
x→+∞
(x2 − 3x − x2)
(
√
x2 − 3x + x)
= lim
x→+∞
−3x
x +
√
x2 − 3x
= lim
x→+∞
−3x
x + |x|
√
1 − 3
x2
= lim
x→+∞
−3
1 +
√
1 −
✁
✁
✁✁✕
0
3
x2
= −3
2
6.1.2 Limites envolvendo indeterminações do tipo
∞
∞
Exemplo 6.1.2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
2ex − 1
ex + 1
(b) lim
x→+∞
5x
3x + 2x
Solução:
(a) Como lim
x→+∞
(2ex−1) = +∞ e lim
x→+∞
(ex+1) = +∞, temos a indeterminação
∞
∞ . Assim, simplificando a expressão, obtemos:
lim
x→+∞
2ex − 1
ex + 1
= lim
x→+∞
ex
(
2 − 1
ex
)
ex
(
1 +
1
ex
)
= lim
x→+∞
2 − 1
ex
1 +
1
ex
=
2 − 0
1 + 0
= 2
73
(b) Como lim
x→+∞
(5x) = +∞ e lim
x→+∞
(3x + 2x) = +∞, temos a indeterminação
∞
∞ . Portanto vamos simplificar a expressão.
lim
x→+∞
5x
3x + 2x
= lim
x→+∞
(5
3
)x
· 1
1 +
(2
3
)x
= +∞ · 1 = +∞
6.2 Exercícios
Calcule os seguintes limites, caso existam:
1. lim
x→+∞
(
√
x + 2 − √x ). Resp: 0.
2. lim
x→+∞
(
√
x2 + 4x − √x ). Resp: +∞.
3. lim
x→+∞
(
√
x +
√
x −
√
x − √x ). Resp: 1.
4. lim
x→−∞
3x − 2x
1 + 4x
. Resp: 0.
5. lim
x→−∞
1 − 5e2x
3ex + 4e2x
. Resp: +∞.
6. lim
x→+∞
(x2/3 − x3/4). Resp: −∞.
7. lim
x→+∞
(ln(x2) − ln(2x + 1) ). Resp: +∞.
8. lim
x→+∞
(x−1/3 − x−1/2). Resp: 0.
9. lim
x→0+
(x−1/3 − x−1/2). Resp: −∞.
10. lim
x→+∞
x7/2 − x8/3
x2
. Resp: +∞.
11. lim
x→0+
x7/2 − x8/3
x2
. Resp: 0.
74
12. lim
x→+∞
2x − 4−x
3x
. Resp: 0.
13. lim
x→+∞
4 · 3x
2 + 3x
. Resp: 4
14. lim
x→−∞
3x − 5x
4x
. Resp: +∞
15. lim
x→0
sen (3x2)
x3 − x . Resp: 0
75
Aula 7
Continuidade de uma função
7.1 Noção de continuidade
Definição 7.1.1 (Continuidade). Seja uma função y = f (x) definida em
x = a. Dizemos que:
f é contínua em a ⇐⇒ lim
x→a
f (x) = f (a). (7.1)
Note que esta definição diz que se f é contínua em a, então as seguintes
condições são verdadeiras.
• f está definida em a.
• lim
x→a
f (x) existe.
• lim
x→a
f (x) = f (a).
Se uma destas condições não se verificar, então f não será contínua em
x = a. Neste caso, dizemos que f é descontínua em a ou que f tem uma
descontinuidade em a.
Observações: Dizemos que uma função f é contínua num intervalo
(a, b) se f é contínua em todos os pontos deste intervalo. E dizemos sim-
plesmente que f é contínua se ela é contínua em todos os pontos do seu
domínio.
76
Exemplo 7.1.1. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
 x
2 − 1
x − 1 , se x , 1
1, se x = 1
f não é continua em x = 1 pois
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = limx→1(x + 1) = 2 , 1 = f (1).
Exemplo 7.1.2. Determine, se possível, as constantes a e b de modo que
(a) f (x) =

x2 − ax + 9
x − 3 x < −3
bx x = −3
3x + 1 x > −3
seja contínua em x0 = −3.
(b) f (x) =

ax3 − 1, x < 1 e x , 0
x2 − a, x ≥ 1
b − a, x = 0
seja contínua em x0 = 0 e x1 = 1.
Solução:
(a)
(⋆) lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3
x<−3
f (x) = lim
x→−3
x2 − ax + 9
x − 3 = −
6 + a
2
(⋆) lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3
x>−3
f (x) = lim
x→−3
(3x + 1) = −9 + 1 = −8
(⋆) f (−3) = −3b
Logo,
f (x) é continua em x=−3⇔ lim
x→−3−
f (x)= lim
x→3+
f (x)= f (−3)
⇔

−6 + a
2
= −8
−3b = −8
⇔ a = 10 e b = 8
3
77
(b)
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0
x<0
f (x) = lim
x→0
(ax3 − 1) = −1
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
x>0
f (x) = lim
x→0
(ax3 − 1) = −1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1
x<1
f (x) = lim
x→1
(ax3 − 1) = a − 1
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1
x>1
f (x) = lim
x→1
(x2 − a) = 1 − a
Logo,
(∗) f (x) é continua em x=1⇔ lim
x→1−
f (x)= lim
x→1+
f (x)= f (1)
⇔ a − 1 = 1 − a
⇔ a = 1
(∗∗) f (x) é continua em x=0⇔ lim
x→0−
f (x)= lim
x→0+
f (x)= f (0)
⇔ b − a = −1
⇔ b = −1 + a
⇔ b = 0
7.2 Propriedades das funções contínuas.
Nesta seção estudaremos alguns resultados importantes sobre funções
contínuas.
Teorema 7.2.1. Sejam f e g funções contínuas em x = a e seja k uma constante.
Então f + g, f g e k f são contínuas em x = a.O quociente f/g será contínuo em
x = a se g(a) , 0.
78
Demonstração. Como f e g são contínuas em x = a, segue que lim
x→a
f (x) = f (a)
e lim
x→a
g(x) = g(a). Usando a propriedade da adição de limites,
lim
x→a
( f + g)(x) = lim
x→a
( f (x)+ g(x)) = lim
x→a
f (x)+ lim
x→a
g(x) = f (a)+ g(a) = ( f + g)(a),
isto é, f + g é contínua em x = a. Verifique os outros casos. �
Teorema 7.2.2. Toda função polinomial é contínua em R.
Demonstração. Um polinômio de grau n ∈N pode ser escrito como
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn.
Vimos no capítulo anterior que lim
x→a
P(x) = P(a) e isso mostra que P(x) é
contínua em a.
�
Teorema 7.2.3. Toda função racional é contínua no seu domínio.
Demonstração. Uma função racional é do tipo f =
g
h
, onde g e h são funções
polinomiais. Assim, f é contínua em todo o ponto a que não anula o
denominador. �
Teorema 7.2.4. As funções sen x e cos x são contínuas para qualquer valor real
de x, ou seja
lim
x→a
sen x = sen a, lim
x→a
cos x = cos a, ∀a ∈ R
79
Teorema 7.2.5. A função f (x) = tg x é continua emR−
{
π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
.Veja
gráfico abaixo.
x
y
0
π
2
π 3π
2
−π
2
−π−3π
2
Podemos concluir que tg x é descontinua em
π
2
+ kπ com k ∈ Z e
lim
x→ π2 +
tg x = −∞ e lim
x→ π2 −
tg x = +∞
Teorema 7.2.6. A função arcotangente, arctgx, é continua em R. Veja o gráfico
abaixo.
80
x
y
0
π
2
−π
2
Podemos concluir que
lim
x→+∞
arctgx =
π
2
e lim
x→−∞
arctgx = −π
2
Teorema 7.2.7. As funções exponenciais são continuas para todo valor real de x.
Em particular a função exponencial ex é contínua para todo valor real de x.
x
y
f (x) = ax, a > 1
lim
x→−∞
ax = 0
lim
x→+∞
ax = +∞
x
y
f (x) = ax, a < 1
lim
x→−∞
ax = +∞
lim
x→+∞
ax = 0
81
Teorema 7.2.8. A função logaritmo ln x é contínua para todo x > 0.
x
y
0
y = ln x
lim
x→0+
ln x = −∞
lim
x→+∞
ln x = +∞
Teorema 7.2.9 (Continuidade da composição de funções). Sejam f e g duas
funções tais que Im f ⊂ Dg. Se lim
x→p
f (x) = a e g é contínua em a, então
lim
x→p
g( f (x)) = lim
u→a
g(u) = g(a).
Este teorema nos diz que se g for contínua em a e lim
x→p
f (x) = a, então
lim
x→p
g( f (x)) = lim
u→a
g(u) = g(a) = g(lim
x→p
f (x)). Note que não se exige a conti-
nuidade da f em a. No próximo teorema a continuidade da função f em p
é hipótese.
82
Teorema 7.2.10. Se f é contínua em p e g é contínua em f (p), então a composta
g( f (x)) é contínua em p, isto é, a composta de duas funções contínuas é uma função
contínua.
Demonstração. Como f é contínua em p, nós temos:
lim
x→p
f (x) = f (p).
Como g é contínua em a = f (p), segue do teorema anterior que:
lim
x→p
g( f (x)) = g(lim
x→p
f (x)) = g( f (p)),
isto é, que a composta é contínua em p. �
Exemplo 7.2.1. Calcule lim
x→1
√
x2 − 1
x − 1 .
Solução: √
x2 − 1
x − 1 =
√
u, com u =
x2 − 1
x − 1 , x > −1, x , 1.
lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2, e g(u) =
√
u é contínua em 2.
Assim,
lim
x→1
√
x2 − 1
x − 1 = limu→2
√
u =
√
2.
Exemplo 7.2.2.
1. lim
x→0
2x
2+1 = 2
(
lim
x→0
(x2 + 1)
)
= 20
2+1 = 21 = 2
2. lim
x→2
e
x2 − 4
x + 2 = e
lim
x→1
x2 − 4
x + 2 = e
lim
x→2
(x − 2)
= e0 = 1
83
3. lim
x→0+
eln x = e
lim
x→0+
ln x
= e−∞ = 0
Exemplo 7.2.3.
1. A função h(x) = sen
(
x6 − x2
x2 + 4
)
é continua em R pois h(x) = f (g(x)),
sendo que g(x) =
x6 − x2
x2 + 4
é continua em R e f (x) = sen x é contínua
em R.
2. A função h(x) = e
1
x é continua em R∗ pois h(x) = f (g(x)), sendo que
g(x) =
1
x
é continua em R∗ e f (x) = ex é continua em R.
Exemplo 7.2.4. Para que valores de x as funções seguintes são contínuas:
a. F(x) = sen (x2),
b. h(x) = ln(1 + cos x).
Solução:
a. Chamando f (x) = x2 e g(x) = sen x e notando que f e g são funções
contínuas em todo o conjunto dos reais R, segue que a composta é
uma função contínua.
b. Chamando f (x) = 1 + cos x, esta função é contínua porque 1 e cos x
são contínuas. Fazendo g(x) = ln x e sabendo que ln é uma função
contínua em x > 0, segue que g( f (x)) = ln(1 + cos x) é uma função
contínua sempre que cos x , −1 ou que x , ±π, 3π, . . ..
Teorema 7.2.11. Teorema do Valor intermediário Suponha que f (x) seja uma
função contínua num intervalo fechado [a, b] e seja L um número entre f (a) e f (b),
em que f (a) , f (b). Então existe um número c ∈ (a, b) tal que f (c) = L.
O Teorema do Valor Intermediário afirma que, se f (x) é contínua num
intervalo [a, b], então ela assume todos os valores intermediários entre os
valores de f (a) e f (b).
Consequência imediata: Se f (x) é uma função contínua num intervalo
fechado [a, b] tal que f (a) e f (b) tem sinais opostos, então existe um número
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
84
Exemplo 7.2.5. Mostre que existe uma raiz da equação
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0
entre x = 1 e x = 2.
Solução: Seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é contínua em todo o R e
f (1) = −1 < 0 e f (2) = 12 > 0,
segue que f (1) < 0 < f (2) e o Teorema do Valor Intermediário garante que
existe um número 1 < c < 2 tal que f (c) = 0.
7.3 Exercícios
1. Se f e g são funções contínuas com f (3) = 5 e lim
x→3
[2 f (x) − g(x)] = 4,
ache g(3). Resp: 6.
2. Use a definição de continuidade e as suas propriedades para verificar
se as funções seguintes são contínuas nos pontos dados.
(a) f (x) = x2 +
√
7 − x em x = 4. Resp: é contínua.
(b) f (x) = (x + 2x3)4 em x = −1. Resp: é contínua em todo o real.
(c) f (x) =
x + 1
2x2 − 1 em x =
√
2
2
. Resp: não é contínua neste ponto.
3. Use a definição de continuidade e as suas propriedades para verificar
se as funções seguintes são contínuas nos intervalos dados.
(a) f (x) =
2x + 3
x − 2 em (2,∞). Resp: contínua em x , 2.
(b) f (x) = 2
√
3 − x em (−∞, 3]. Resp: contínua em x ≤ 3.
4. Explique por que a função é descontínua no número a dado.
(a) f (x) = ln |x − 2| em a = 2.
(b) f (x) =

1
x − 1 se x , 1
2 se x = 1
em a = 1.
85
(c) f (x) =
ex se x < 0x3 se x ≥ 0 em a = 0.
(d) f (x) =

x2 − x
x2 − 1 se x , 1
1 se x = 1
em a = 1.
(e) f (x) =

cos x se x < 0
0 se x = 0
1 − x2 se x > 0
em a = 0.
5. Use a continuidade para calcular o limite nos seguintes casos:
(a) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
. Resp: 7/3
(b) lim
x→π
sen (x + sen x). Resp: 0.
(c) lim
x→1
ex
2−x. Resp: 1.
(d) lim
x→2
arctg
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
. Resp: arctg(2/3).
6. Mostre que f (x) é contínua em (−∞,+∞).
(a) f (x) =
x2 se x < 1√x se x ≥ 1.
(b) f (x) =
 sen x se x < π/4cos x se x ≥ π/4.
7. Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais destes
pontos, a função é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum dos
casos ?
(a) f (x) =

1 + x2 se x ≤ 0
2 − x se 0 < x ≤ 2
(x − 2)2 se x > 2
. Resp: 0, à esquerda
86
(b) f (x) =

1 + x se x ≤ 1
1/2 se 1 < x < 3√
x − 3 se x ≥ 3
. Resp: 1, à esquerda e 3, à direita.
(c) f (x) =

x + 2 se x < 0
ex se 0 ≤ x ≤ 1
2 − x se x > 1
. Resp: 0, à direita e 1, à esquerda.
8. Para quais valores da contante c, a função f é contínua em (−∞,+∞)?
f (x) =
cx2 + 2x se x < 2x3 − cx se x ≥ 2
. Resp: 2/3.
9. Para quais valores das contantes a e b, a função f é contínua em
(−∞,+∞)?
f (x) =

x2 − 4
x − 2 se x < 2
ax2 − bx + 3 se 2 ≤ x < 3
2x − a + b se x ≥ 3
Resp: a = b = 1/2.
10. Suponha f contínua em [1, 5] e que as únicas soluções da equação
f (x) = 6 são x = 4 e x = 1. Se f (2) = 8, explique por que f (3) > 6.
11. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determineo que se pede:
a) f (x) =
{
ln x, x > 0
ex, x ≤ 0
i) lim
x→−∞
f (x) ii) lim
x→0−
f (x) iii) lim
x→0+
f (x) iv) lim
x→0
f (x)
v) lim
x→1
f (x) vi) lim
x→−1
f (x) vii) lim
x→e
f (x) viii) lim
x→+∞
f (x)
e os intervalos onde f é contínua.
b) f (x) =

(1
2
)x
, x > 0
1
x
, x < 0
87
i) lim
x→−∞
f (x) ii) lim
x→0−
f (x) iii) lim
x→0+
f (x) iv) lim
x→0
f (x)
v) lim
x→1
f (x) vi) lim
x→−1
f (x) vii) lim
x→+∞
f (x)
c) f (x) =

ln x, x > 0
0, x = 0
x−2 x < 0
i) lim
x→−∞
f (x) ii) lim
x→+∞
f (x) iii) lim
x→0
f (x) iv) lim
x→1
f (x)
e estude a continuidade de f em x = 0.
d) f (x) =

x4, x ≤ 0
cot gx, 0 < x < π
x + π, x ≥ π
i) lim
x→−∞
f (x) ii) lim
x→0−
f (x) iii) lim
x→0+
f (x) iv) lim
x→0
f (x)
v) lim
x→ π2
f (x) vi) lim
x→π−
f (x) vii) lim
x→π+
f (x) viii) lim
x→+∞
f (x)
e os ponto(s) de descontinuidade f .
Resp:
(a) (i) 0 (ii) 1 (iii) −∞ (iv) não existe (v) 0 (vi)
1
e
(vii) 1
(viii) +∞
Intervalos de continuidade (−∞, 0), (0,+∞)
(b) (i) 0 (ii) −∞ (iii) 1 (iv) não existe (v) 1
2
(vi) − 1 (vii) 0
(c) (i) 0 (ii) −∞ (iii) +∞ (iv) 0
f não é contínua em zero
(d)
(i) +∞ (ii) 0 (iii) +∞ (iv) não existe (v) 0 (vi) −∞
(vii) 2π (viii) +∞
f é descontinua em x = 0 e x = π
88
12. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma
raiz da equação dada no intervalo especificado.
(a) x4 + x − 3 no intervalo (1, 2).
(b) 3
√
x = 1 − x no intervalo (0, 1).
(c) cos x = x no intervalo (0, 1).
(d) ln x = e−x no intervalo (1, 2).
13. Demonstre que a equação abaixo tem pelo menos uma raiz real.
(a) ex = 2 − x.
(b) x5 − x2 + 2x + 3 = 0.
89
Aula 8
Outros Teoremas sobre Limites
8.1 Teorema do Confronto
Os dois próximos teoremas nos dão propriedades de limites muito
importantes:
Teorema 8.1.1. Seja r > 0 e sejam duas funções f (x) e g(x) tais que f (x) ≤ g(x)
quando 0 < |x− a| < r. Se os limites de f e g ambos existem quando x→ a, então
lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x).
Teorema 8.1.2 (Teorema do confronto). Sejam três funções f , g e h e r > 0. Se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para 0 < |x − a| < r e se
lim
x→a
f (x) = L = lim
x→a
h(x),
então lim
x→a
g(x) = L. A figura abaixo mostra um esquema gráfico deste teorema.
90
 
Demonstração. Tome ǫ > 0 arbitrariamente pequeno. Como lim
x→a
f (x) = L,
existe um δ1 tal que se |x − a| < δ1 então | f (x) − L| < ǫ. Analogamente,
como lim
x→a
h(x) = L, existe um δ2 tal que se |x − a| < δ2 então |h(x) − L| < ǫ.
Tome agora δ = min{δ1, δ2}. Temos que se |x − a| < δ, então | f (x) − L| < ǫ e
|h(x) − L| < ǫ. De forma equivalente, dizemos que |x − a| < δ implica que
L − ǫ < f (x) < L + ǫ e L − ǫ < h(x) < L + ǫ.
Assim, usando a hipótese, concluímos que se |x − p| < δ, teremos:
L − ǫ < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ǫ,
isto é, |g(x) − L| < ǫ. �
Observação: OTeoremadoConfronto tambéméconhecido comoTeorema
do Sanduíche. Ele continua válido se trocarmos x → a no enunciado por
qualquer uma das condições: x→ a+, x→ a−, x→ +∞ ou x→ −∞.
Exemplo 8.1.1. Mostre que lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
Solução: Note primeiramente que não podemos usar a regra do produto:
lim
x→0
x2 sen
1
x
, lim
x→0
x2 lim
x→0
sen
1
x
,
91
pois lim
x→0
sen
1
x
não existe. No entanto, como
−1 < sen 1
x
< 1,
segue que
−x2 < x2 sen 1
x
< x2.
Aplicando o Teorema do Confronto considerando f (x) = −x2, g(x) =
x2 sen
1
x
e h(x) = x2 e observando que:
lim
x→0
−x2 = 0 e lim
x→0
x2 = 0,
então teremos que ter
lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
A seguir enumciaremos um corolário importante do Teorema do Con-
fronto.
Corolário. Sejam f e g funções reais tais que lim
x→a
f (x) = 0 e g(x) é limitada, ou
seja, existe um número real M > 0 tal que |g(x)| ≤M para todo x ∈ R, então
lim
x→a
f (x)g(x) = 0.
Exemplo 8.1.2. Mostre que lim
x→∞
e sen (πx)
x
= 0.
Solução: Sejam f (x) =
1
x
e g(x) = e sen (πx)
Então
lim
x→∞
f (x) = lim
x→∞
1
x
= 0
e
|g(x)| ≤ e ∀x ∈ R, pois | sen (πx)| ≤ 1 ∀x ∈ R
Portanto pelo corolário acima
lim
x→∞
f (x)g(x) = lim
x→∞
e sen (πx)
x
= 0
92
8.2 Limites fundamentais
8.2.1 Limite Trigonométrico Fundamental
Teorema 8.2.1. lim
x→0
sen x
x
= 1.
Demonstração. Considere o círculo de raio 1 como mostra a figura abaixo:
X
Y
M
M’ A
T
x
O
Lembramos ainda que a área de setor circular de arco s e raio r é dado pela
expressão A =
1
2
rs e que a medida do ângulo central x é igual à medida do
arco ÂM
Considerando 0 < x < π/2, podemos afirmar que:
área∆MOA < área setorMOA < área∆AOT
|OA||M′M|
2
<
|OA||ÂM|
2
<
|OA||AT|
2
|M′M| < |ÂM| < |AT|
sen x < x < tg x
Como sen x > 0 para 0 < x < π/2, dividmos a última desigualdade toda
por sen x para obter:
1 <
x
sen x
<
1
cos x
.
93
Invertendo as frações, obtemos:
cos x <
sen x
x
< 1.
Como lim
x→0+
cos x = 1 e lim
x→0+
1 = 1 e usando o Teorema do Confronto,
concluímos que:
lim
x→0+
sen x
x
= 1.
A demonstração do limite lim
x→0−
sen x
x
= 1 é análoga. Como os limites
laterais são iguais, segue que:
lim
x→0
sen x
x
= 1.
�
Exemplo 8.2.1. Calcule os seguintes limites
1. lim
x→0
sen (ax)
x
2. lim
x→0
tg (ax)
bx
Solução
1.
lim
x→0
sen (ax)
x
= lim
x→0
a · sen (ax)
ax
= lim
u→0
a · sen (u)
u
, mudança u = ax
= a · 1 = a
2.
lim
x→0
tg (ax)
bx
= lim
x→0
sen (ax)
bx · cos (ax)
= lim
x→0
a
b
· sen (ax)
ax
· 1
cos (ax)
=
a
b
· 1 · 1 = a
b
94
8.2.2 Limite Exponencial Fundamental
Teorema 8.2.2. Considere a função f : R\[−1, 0]→ R definida por
f (x) =
(
1 +
1
x
)x
.
Definimos o número neperiano e � 2, 71828 como o seguinte limite,
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Observação: o limite lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
é uma indeterminação do tipo 1∞
Exemplo 8.2.2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)2x
(b) lim
x→0+
(1 + x)1/x (c) lim
x→+∞
(
x + 1
x − 1
)x
(d) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
Solução:
(a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)2x
= lim
x→−∞
[(
1 +
1
x
)x]2
=
[
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x]2
= e2
(b) Fazendo a mudança u =
1
x
temos que quando x→ 0+, u→ +∞. Logo
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u
= e
(c) lim
x→+∞
(
x + 1
x − 1
)x
= lim
x→+∞
(
x − 1 + 2
x − 1
)x
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x − 1
)x
= lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)u+1
Fazendo a mudança u = x − 1
= lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)u
· lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)
= e2 · 1 = e2
95
(d) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
= lim
x→+∞
(
x2 − 3 + 4
x2 − 3
)x2
= lim
x→+∞
(
1 +
4
x2 − 3
)x2
= lim
u→+∞
(
1 +
4
u
)u+3
Fazendo a mudança u = x2 − 3
= lim
u→+∞
(
1 +
4
u
)u
· lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)3
= e4 · 1 = e4
Teorema 8.2.3. lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, a > 0, a , 1.
Demonstração. Fazendo a mudança de variável t = ax − 1, temos que:
ax = t+1⇒ x ln a = ln(t+1)⇒ x = ln(t + 1)
ln a
. Quando x→ 0, t = ax−1→ 0.
Daí,
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
t→0
t
ln(t+1)
ln a
= lim
t→0
t
1
ln a
ln(t + 1)
= ln a lim
t→0
1
ln(1+t)
t
= ln a lim
t→0
1
ln(1 + t)1/t
= ln a
limt→0 1
limt→0 ln(1 + t)1/t
= ln a
1
1
= ln a.
�
96
Exemplo 8.2.3. Calcule o limite
lim
x→2
ex − e2
x − 2
Resolução Fazendo a mudança de variável u = x − 2, temos que:
x = u + 2⇒ ex = eu+2. Quando x→ 2, u = x − 2→ 0. Daí,
lim
x→2
ex −e2
x − 2 = limu→0
eu+2 − e2
u
= e2 lim
u→0
eu − 1
u
= e2 · ln e
= e2
8.3 Exercicios
1. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
x→0
x2 cos (20πx) = 0.
2. Use o Teorema do Confronto para mostrar que
lim
x→0
√
x3 + x2 lim
x→0
sen (π/x) = 0.
3. Se 4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
f (x). Resp: 7
4. Se 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 para todo x, encontre lim
x→1
g(x). Resp: 2.
5. Demonstre que lim
x→0
x4 cos (2/x) = 0.
6. Demonstre que lim
x→0+
√
xe sen (π/x) = 0.
7. Mostre que lim
x→1
(x − 1)2ecos ( 1x−1 ) = 0
8. Mostre que lim
x→0
x − sen x
x2
= 0
(Dica: tg x > x para x > 0)
97
9. Seja f é uma função definida em R tal que
−x2 + 3x ≤ f (x) ≤ x
2 − 1
x − 1 , ∀ x , 1.
Prove que lim
x→1
f (x) = 2.
10. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
sen ax
x
. Resp: a.
(b) lim
x→0
tg ax
bx
, com a, b , 0.
Resp:
a
b
.
(c) lim
x→0
1 − cos x
x2
. Resp:
1
2
.
(d) lim
x→0
tg x − sen x
sen 2x
. Resp: 0.
(e) lim
x→π
sen x
x − π . Resp: −1.
(f) lim
x→a
sen x − sen a
x − a .
Resp: cos a.
(g) lim
x→a
cos x − cos a
x − a .
Resp: − sen a.
(h) lim
x→0
tg x
x
. Resp: 1.
(i) lim
x→0
x
sen x
. Resp: 1.
(j) lim
x→0
sen 3x
sen 4x
. Resp:
3
4
.
11. Calcule os seguintes limites:
a. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)3x
. Resp: e3.
b. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
. Resp: e.
c. lim
x→+∞
(
1 +
4
x
)x
. Resp: e4.
d. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x
. Resp: e6.
e. lim
x→+∞
(
1 +
3
x
) x
4
. Resp: e3/4.
f. lim
x→+∞
( x
x + 1
)x
. Resp:
1
e
.
g. lim
x→+∞
(
1 − 3
x
)2x
. Resp:
1
e6
h. lim
x→+∞
(x + 4
x − 3
)x
. Resp: e7.
i. lim
x→−∞
(x + 2
x + 1
)x
. Resp: e.
j. lim
x→−∞
(x − 3
x + 2
)x
. Resp: e−5.
k. lim
x→+∞
(x − 4
x − 1
)x+3
. Resp: e−3.
l. lim
x→+∞
(x2 + 1
x2 − 3
)x2
. Resp: e4.
m. lim
x→+∞
(2x + 3
2x + 1
)x
. Resp: e.
n. lim
x→−∞
(2x − 1
2x + 1
)x
. Resp: 1.
98
o. lim
x→−∞
(3x + 2
3x − 1
)2x
. Resp: e2
p. lim
x→0
e2x − 1
x
. Resp: 2.
q. lim
x→0
23x − 1
x
. Resp: 3 ln 2.
r. lim
x→0
e2x − 1
e3x − 1. Resp:
2
3
.
s. lim
x→0
32x − 1
25x − 1. Resp:
2 ln 3
5 ln 2
t. lim
x→2
ex − e2
x − 2 . Resp: e
2
u. lim
x→3
2x − 23
x − 3 . Resp: 8 ln 2.
v. lim
x→0
ln(1 + x)
x
. Resp: 1.
w. lim
x→0
log(1 + x)
x
. Resp: log 2.
x. lim
x→0
ln(1 + 2x)
x
. Resp: 2
y. lim
x→0
log(1 + 3x)
x
. Resp:
3
ln 10
.
z. lim
x→0
x
√
1 − 2x. Resp: e−2.
99
Aula 9
Derivada de uma função
9.1 Como surgiu a idéia de limite e derivada:
o problema da tangente
O Cálculo é usualmente dividido em dois grupos: o cálculo diferencial
e o cálculo integral. As idéias e aplicações que giram em torno destes dois
grupos residem em dois problemas geométricos muito simples. Ambos se
referem ao gráfico de uma função y = f (x). Para evitar maiores compli-
cações, vamos considerar estes gráficos inteiramente acima do eixo X. Os
problemas são os seguintes:
Problema 1: Dadosuma função f (x) nosmoldes acimadescrito eumponto
(x0, f (x0)) pertencente ao gráfico, o cálculo diferencial se ocupa em
encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f (x) que passa
neste ponto.
Problema 2: No cálculo integral, o problema básico é o cálculo de áreas:
calcular a área sob o gráfico de f (x) quando a ≤ x ≤ b.
Apesar de serem problemas bem simples, eles tiveram uma implicação
muito forte na Matemática e nas ciências de um modo geral: Engenharia,
Física, Química, Biologia, etc. Num primeiro momento, vamos estudar
de maneira aprofundada o problema das tangentes e a seguir, analisar
algumas aplicações destas idéias.
100
x
y
x
y
Figura 9.1: Definição de reta tangente a uma circunferência (esquerda) e a
uma curva qualquer (direita).
9.2 O problema da tangente: calculando coefi-
cientes angulares
Primeiramente, devemos entender o que significa realmente uma reta
tangente a uma curva. Se esta curva é uma circunferência, então a idéia de
reta tangente a uma curva émais simples de entender. Neste caso, diremos
que a reta tagente à circunferência é aquela que toca a circunferência em
apenas um ponto, chamado de ponto de tangência. Todas as outras retas
não tangentes à circunferência interceptam a mesma em dois pontos ou
não a interceptam. Veja a figura 9.1 da esquerda.
Isto sugere a definição de reta tangente a uma curva num dado ponto
como sendo a reta que “toca” a curva neste ponto. A idéia da reta tangente
à circunferência também sugere definir reta tangente como sendo uma
reta que intercepta a curva em apenas um ponto, o ponto de tangência.
101
No entanto, a figura 9.1 da direita deixa claro que esta definição não é
satisfatória. A curva tem uma reta tangente (a reta de baixo); a reta de
cima não é uma reta tangente. Este exemplo mostra claramente que nossa
definição necessita de mais clareza.
Antes de avançarmos na construção de retas tangentes, precisamos
enunciar o que entendemos por reta secante a uma curva. Sejam então o
gráfico de uma curva e P e Q dois pontos sobre este gráfico. A reta que
passa por P e Q chama-se reta secante ao gráfico desta curva.
Construção das retas tangentes: Considere uma curva y = f (x) e uma
dado ponto fixo P sobre esta curva. Considere um segundo ponto Q,
próximo de P, sobre a curva e desenhe a reta secante à curva que passa por
P eQ. Veja a figura abaixo. Fazemos então o pontoQ deslizar sobre a curva
indo na direção de P ao mesmo tempo que desenhando as retas secantes
PQ para as novas posições de Q. Veremos que a reta tangente é a reta
secante-limite de todas estas retas secantes quando Q está arbitrariamente
próximo de P. Veja a figura abaixo. Esta idéia qualitativa será útil na
cálculo da reta tangente.
x
y
Q
P
y = f (x)
Ta
ng
en
te
Secante
Cálculo do coeficiente angular da reta tangente: vamos começar nosso
estudo encontrando o coeficiente angular de uma reta tangente a uma
parábola y = x2 e a seguir, estenderemos as idéias parauma curva qualquer.
102
Seja P(x0, y0) um ponto fixo sobre a parábola. Nosso objetivo é calcular
o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P fixado.
Como vamos trabalhar com as retas secantes, precisamos de um segundo
ponto Q(x1, y1) sobre a curva. Veja a figura abaixo:
x
y
y = x2
P(x0, y0)
(x1−x0)
(y1−y0)
Q(x1, y1)
x0 x1
Ta
ng
en
te
Se
ca
nt
e
A reta secante PQ determinada por estes dois pontos tem coeficiente
angular
mPQ =
y1 − y0
x1 − x0 . (9.1)
Agora fazemos x1 se aproximar de x0 de modo que o ponto Q se aproxima
do ponto P fixado. Note que, à medida que Q se aproxima de P, a reta
secante se aproxima cada vez mais da reta tangente à parábola no ponto
P. Usando o jargão matemático, dizemos que a reta tangente é o limite
das retas secantes PQ quando x1 tende a (ou se aproxima de) x0. Usando
o símbolo → para o verbo tender, podemos simbolizar este limite com a
seguinte expressão:
m = lim
Q→P
mPQ = limx1→x0
=
y1 − y0
x1 − x0 . (9.2)
103
Note que x1 tende a x0, mas nunca é igual. Não podemos simplesmente
substituir x1 por x0 (e consequentemente y1 por y0) porque isso daria
0
0
e
isso não tem qualquer significado.
No entanto, sabemos que y = x2. Assim, y1 = x21 e y0 = x
2
0. Substituindo
na equação (9.1), temos:
mPQ =
y1 − y0
x1 − x0 =
x21 − x20
x1 − x0 =
(x1 − x0)(x1 + x0)
x1 − x0 = x1 + x0.
Assim usando a equação (9.2), podemos achar o coeficiente angular da reta
tangente no ponto P:
m = lim
x1→x0
=
y1 − y0
x1 − x0 = limx1→x0 x1 + x0 = 2x0.
SeP é opontoP(1, 1), então o coeficienteangular da reta tangente àparábola
neste ponto é m = 2 e a reta tangente terá equação y − 1 = 2(x − 1).
Agora vem uma pergunta fundamental: como generalizar este proce-
dimento para qualquer curva y = f (x)? Este será o objeto do nosso estudo
a partir de agora. Analisaremos passo a passo a construção acima com o
objetivo da generalização.
Generalizando o cálculo do coeficiente angular
Sejam então uma curva y = f (x) e um ponto P(x0, y0) nesta curva com
y0 = f (x0). Queremos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à
curva no ponto P, supondo que esta reta tangente exista.
No procedimento acima, partimos do ponto P(x0, y0) fixo e escolhemos
umsegundopontoQda curvapróximodeP. Comoqueremos queQ(x1, y1)
esteja realmente próximo de P, partimos do ponto P(x0, y0) variando o x de
x0 para x1 = x0+∆x, onde esta quantidade ∆x (lê-se “delta x”) é suposta ser
bem pequena. A ordenada y1 correspondente a esta abscissa x0 + ∆x será
y1 = f (x0 + ∆x). Usando a equação (9.1), podemos calcular o coeficiente
104
angular da reta secante PQ (veja a figura abaixo).
mPQ =
y1 − y0
x1 − x0
=
f (x0 + ∆x) − f (x0)
x0 + ∆x − x0
=
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
. (9.3)
x
y
y = f (x)
P
∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0)
Q
x0 x0 + ∆x
No caso da parábola em que y = x2, a equação acima se transformaria
em:
mPQ =
(x0 + ∆x)2 − x20
∆x
=
x20 + 2x0∆x + (∆x)
2 − x20
∆x
= 2x0 + ∆x.
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no
ponto P(x0, f (x0)) como limite dos coeficientes angulares de todas as retas
secantes PQ quando se faz x1 = x0 +∆x→ x0, isto é, quando se faz ∆x→ 0,
105
usamos a equação (9.2),
m = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
. (9.4)
Aplicado ao caso da parábola, isso resulta em lim
∆x→0
(2x0 + ∆x) = 2x0, como
já tínhamos obtido mais acima.
O valor deste limite (9.4) é usualmente denotado por f ′(x0) e se lê “ f
linha de x0. Assim, por definição, temos:
f ′(x0) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
. (9.5)
Com esta notação e considerando que a função f (x) = x2 é a parábola,
segue que f ′(x0) = 2x0.
Exemplo 9.2.1. Calcular f ′(x0) usando a fórmula (9.5) com f (x) = 2x2 − 3x.
9.3 Exercícios
1. Ache a equação da reta tangente à parábola y = x2:
(a) no ponto (−2, 4). Resp: y = −4(x + 1).
(b) no ponto em que o coeficiente angular é 8. Resp: y = 8(x − 2).
(c) se a tangente corta o eixo x no ponto de abscissa 2. Resp: y =
8(x − 2).
2. Mostre que a tangente à parábola y = x2, no ponto (x0, y0) diferente
do vértice, corta o eixo x no ponto de abscissa x =
1
2
x0.
3. Esboce o gráfico de f (x) = x − x2 sobre o intervalo −2 ≤ x ≤ 3.
(a) Calcule o coeficiente angular num ponto arbitrário (x0, y0) da
curva. Resp: m = 1 − 2x0.
(b) Quais são os coeficientes angulares das retas tangentes à curva
nos pontos A(−1,−2), B(0, 0), C(1, 0), D(2,−2) sobre a curva?
Encontre as equações destas retas. Resp: mA = 3, mB = 1,
mC = −1 e mD = −3.
106
(c) Em que pontos sobre a curva a reta é horizontal? Resp:
(1
2
,
1
4
)
.
4. Calcule f ′(x0) se f (x) =
(a) x2 − 4x − 5. Resp: f ′(x0) = 2x0 − 4.
(b) x2 − 2x + 1. Resp: f ′(x0) = 2x0 − 2.
(c) 2x2 + 1. Resp: f ′(x0) = 4x0.
(d) x2 − 4. Resp: f ′(x0) = 2x0.
5. Ache a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 1 que é paralela à
reta 8x + y − 2 = 0. Resp: y − 9 = −8(x + 2).
6. Ache as equações das duas retas que passam pelo ponto (3, 1) e são
tangentes à curva y = x2−4. Resp: y−21 = 10(x−5) e y+3 = 2(x−1).
9.4 A definição de derivada
Definição 9.4.1 (Derivada). Dada uma função y = f (x) qualquer, sua deri-
vada f ′(x) é a nova função cujo valor num ponto x é definida por
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
. (9.6)
Note que este limite pode existir para alguns valores de x e pode não
existir para outros valores de x. Se o limite existe em x = a, então dizemos
que a função é derivável ou diferenciável em a. Se uma função é derivável
ou diferenciável, então ela é derivável em cada ponto do seu domínio.
Geometricamente, a derivada f ′(x) nada mais é que o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico de f (x) no ponto (x, f (x)). A próxima figura
representa um esquema para o cálculo da derivada.
O processo de calcular realmente a derivada f ′(x) chama-se derivação
(ou diferenciação) da função f (x) dada. Este cálculo pode ser resumido
nos seguintes 3 passos:
107
Passo 1: Calcule o valor f (x+∆x)− f (x) para a função dada e simplifique-a
ao máximo.
Passo 2: Divida tudo por ∆x para encontrar
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
.
Passo 3: Calcule o limite do quociente acima quando ∆x→ 0.
x
y
P
Declive = f ′(x)
f (x)
x
Aplique estes passos aos seguintes exemplos e calcule a derivada das
funções dadas.
Exemplo 9.4.1. Determine f ′(x) quando f (x) = x3.
Exemplo 9.4.2. Determine f ′(x) quando f (x) = 1/x.
Exemplo 9.4.3. Determine f ′(x) quando f (x) =
√
x.
Exemplo 9.4.4. Encontre f ′(x) se f (x) =
1 − x
2 + x
.
Exemplo 9.4.5. Analise onde a função f (x) = |x| é diferenciável.
108
Solução: Note que a função módulo de x é definida por
f (x) =
x, x > 0−x, x < 0.
Então vamos analisar cadaumadestas partes separadamente. No intervalo
]0,+∞[: |x| = x e escolhemos∆x suficientemente pequeno para que x+∆x >
0. Note que quando fazemos o∆x tender a zero, o∆x pode assumir valores
negativos muito próximos de zero.
Sendo então este ∆x suficientemente pequeno, x + ∆x > 0 e portanto
|x + ∆x| = x + ∆x. Substituindo os valores na expressão da derivada (9.6),
temos:
f ′(x) = lim
∆x→0
|x + ∆x| − |x|
∆x
= lim
∆x→0
x + ∆x − x
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1
e f é diferenciável em qualquer ponto do intervalo ]0,+∞[.
Analogamente, para o intervalo ] − ∞, 0[, temos |x| = −x e escolhemos
um ∆x suficientemente pequeno para que x + ∆x < 0. Assim, |x + ∆x| =
−x − ∆x. Substituindo os valores na expressão da derivada (9.6), temos:
f ′(x) = lim
∆x→0
|x + ∆x| − |x|
∆x
= lim
∆x→0
−x − ∆x + x
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
∆x
= −1
e f é diferenciável em qualquer ponto do intervalo ]−∞, 0[. Falta verificar
se a função é diferenciável para x = 0. Para isso, vamos calcular os limtes
laterais:
lim
∆x→0−
|0 + ∆x| − |0|
∆x
= lim
∆x→0−
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0−
−∆x
∆x
= −1
e também
lim
∆x→0+
|0 + ∆x| − |0|
∆x
= lim
∆x→0+
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0+
∆x
∆x
= 1.
Como os limites laterais são distintos, segue que o limite não existe e
portanto, f ′(0) não existe. Neste caso, dizemos que a função NÃO é dife-
renciável em x = 0, mas note que ela é contínua em x = 0.
109
9.5 Notação da derivada
É muito usual encontrar diversas notações para a derivada de uma
função. A derivada de uma função f (x) foi denotada por f ′(x). Se, no
entanto, a nossa função for dada por y = f (x), então o mais prático é
escrever y′ no lugar de f ′(x).
A principal desvantagem desta notação com a linha ′ é que ela esconde
todo o processo que nos levou ao cálculo da derivada. Porém, uma outra
notação, conhecida como notação de Leibniz passa melhor a idéia do que
significa realmente o cálculo da derivada.
Para explicar a notação de Leibniz, seja a função y = f (x) e escrevemos
o quociente das diferenças:
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
na forma
∆y
∆x
,
onde ∆y = f (x + ∆x) − f (x) e ∆x = (x + ∆x) − x. Leibniz escreveu o limite
deste quociente de diferenças que é naturalmente a derivada f ′(x) na forma
dy
dx
= lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
. (9.7)
Duas formas equivalentes desta notação é
d f (x)
dx
ou
d
dx
f (x).
e se lê a derivada da função f (x) em relação a x. Note que a notação
dy
dx
é
um símbolo e não um quociente de valores distintos dy e dx.
Para finalizarmos esta questão de notação, suponhamos que se deseja
calcular a derivada de uma função y = f (x) no ponto x0 = 1.No primeiro
caso, basta escrever f ′(1). Na notação de Leibniz, deveremos escrever:(
dy
dx
)
x=1
ou
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1
.
9.6 Exercícios
1. Calcule a derivada das seguintes funções:
110
(a) 5x − x3. Resp: 5 − 3x2.
(b) x − 1
x
. Resp: 1 + 1/x2
(c)
1
3x + 2
. Resp: − 3
(3x + 2)2
(d)
x
x + 1
. Resp:
1
(1 + x)2
2. Considere a parte da curva y = 1/x que fica no primeiro quadrante e
desenhe a tangente num ponto arbitrário (x0, y0) desta curva.
(a) Mostre que a porção da reta tangente compreendida entre os
eixos tem como ponto médio o ponto de tangência.
(b) Ache a áreado triângulo formadopelos eixos epela reta tangente
e verifique que a área é independente do ponto de tangência.
Observação: Veremos aplicações da derivada à Física no módulo de
Ensino à Distância.
111
Aula 10
O Cálculo da derivada
10.1 Introdução
Como vimos nas seções 9.2, 9.4 e na equação (9.6), a derivada de uma
função f (x) em um ponto x nada mais é que a inclinação da reta tangente
à curva y = f (x) neste ponto. Note que esta inclinação nos fornece a
informação de como a função varia à medida que variamos os valores de
x. Isto é uma medida importante para a descrição de uma curva.
Lembramos que a função derivada foi apresentada na definição 9.4.1,
como sendo a função f ′(x) tal que
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
.
Já usamos esta fórmula para calcularmos algumas derivadas no capítulo
anterior. Agora, queremos estabeler as condições para que uma função
f não seja diferenciável, isto é, para que o limite acima não exista. An-
tes disso, precisaremos do seguinte teorema que relaciona as noções de
diferenciabilidade e de continuidade.
Teorema 10.1.1. Se f for diferenciável em a, então f será contínua em a.
Demonstração. Queremosmostrar a continuidade de f em a. Isto quer dizer
que devemos mostrar que
lim
x→a
f (x) = f (a)
112
ou, de forma equivalente, que lim
x→a
( f (x) − f (a)) = 0. Nossa hipótese é que f
é diferenciável em a, isto é, que o limite
f ′(a) = lim
∆x→0
f (a + ∆x) − f (a)
∆x
existe. Vamos escrever x = a+∆x. Assim, ∆x = x− a e o limite acima pode
ser escrito na forma:
f ′(a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a .
Faremos agora algumasmanipulações algébricas para chegarmos ao limite
que dá a continuidade a partir do limite acima. Note que
f (x) − f (a) = f (x) − f (a)
x − a · (x − a),
Assim, usando a regra do limite do produto, temos:
lim
x→a
( f (x) − f (a)) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a · (x − a)
= lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a · limx→a(x − a)
= f ′(a) · 0 = 0
⇒ lim
x→a
f (x) = f (a)
�
Chamamos a atenção ao fato de que a recíproca do teorema acima é
falsa: a função f (x) = |x| é contínua em zero, mas não é diferenciável neste
ponto. Isto mostra que a continuidade não é suficiente para garantir a
diferenciabilidade.
Quando uma função não será diferenciável ?
Já vimos que a função f (x) = |x| não é diferenciável em x = 0, pois os
limites laterais são distintos. Isso acontece porque o gráfico desta função
muda abruptamente de direção formando uma ponta bicuda em x = 0.
Em geral, se o gráfico de uma função tem um canto ou um bico, então f
113
não tem reta tangente neste ponto e a função não será diferenciável aí. Isto
quer dizer que os limites laterais neste ponto serão diferentes.
O teorema anteior, no entanto, nos fornece um outro meio de analisar
quando uma função não é diferenciável. A contrapositiva deste teorema
diz que “se f não é contínua em a então f não será diferenciável em a”.
Uma terceira possiblidade é a curva ter uma reta tangente vertical em
x = a, isto é, a função é contínua em a, mas lim
x→a
| f (x)| = ∞. As três
figuras a seguir mostram os casos em que a função não é diferenciável em
x = a: no primeiro caso, a função apresenta um bico e portanto não será
diferenciável neste ponto; no segundo caso, a função não é diferenciável
porque apresenta um salto em x = a e é descontínua neste ponto e no
terceiro caso, a função tem uma reta tangente vertical em x = a.
x
y
a
114
x
y
a
y = f (x)
x
y
a
y = f (x)
115
10.2 Regras de derivação
10.2.1 Derivada de uma constante
Teorema 10.2.1. Seja a função f (x) = c, onde c é uma constante real, então
f ′(x) = (c)′ = 0. (10.1)
Demonstração.
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
= lim
∆x→0
c − c
∆x
= 0
�
10.2.2 Derivada de f (x) = mx
Teorema 10.2.2. Suponha que m é uma constante, então a derivada de f (x) = mx
é:
f ′(x) = (mx)′ = m. (10.2)
Demonstração.
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
= lim
∆x→0
m(x + ∆x) − (mx)
∆x
= lim
∆x→0
mx +m∆x −mx
∆x
= lim
∆x→0
m∆x
∆x
= m.
�
116
10.2.3 Derivada de uma potência: f (x) = xn
Teorema 10.2.3. Se n é um inteiro positivo, então
d
dx
xn = nxn−1, (10.3)
isto é, a derivada de xn é obtida baixando-se o expoente n e tornando-o umcoeficiente
e subtraindo uma unidade ao n para formar o novo expoente.
Demonstração.
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
= lim
∆x→0
(x + ∆x)n − xn
∆x
= lim
∆x→0
xn + nxn−1∆x + n(n−1)2 x
n−2(∆x)2 + · · · + (∆x)n − xn
∆x
= lim
∆x→0
nxn−1∆x + n(n−1)2 x
n−2(∆x)2 + · · · + (∆x)n
∆x
= lim
∆x→0
[
nxn−1 +
n(n − 1)
2
xn−2(∆x) + · · · + (∆x)n−1
]
= nxn−1.
�
10.2.4 Derivada do produto de uma função por uma cons-
tante
Teorema 10.2.4. Se c é uma constante e u = f (x) uma função derivável de x,
então
d
dx
(c f (x)) = c
d
dx
f (x), (10.4)
117
isto é, a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada
da função.
Demonstração.
lim
∆x→0
c f (x + ∆x) − c f (x)
∆x
= lim
∆x→0
c
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
= c f ′(x).
�
Exemplo 10.2.1. Combinando as regras dadas acima, calcule as derivadas
das funções 3x7 e −1
2
x12.
10.2.5 Derivada da soma de funções
Teorema 10.2.5 (Derivada da soma de funções). Sejam u = f (x) e v = g(x)
duas funções de x. Então
d
dx
(u + v) =
du
dx
+
dv
dx
, (10.5)
isto é, a derivada da soma de duas funções é a soma de suas derivadas.
Demonstração. Se escrevermos y = u+v = f (x)+g(x), então (u+v)(x+∆x) =
f (x + ∆x) + g(x + ∆x). Assim,
d
dx
(u + v) = lim
∆x
f (x + ∆x) + g(x + ∆x) − f (x) − g(x)
∆x
= lim
∆x
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
+ lim
∆x
g(x + ∆x) − g(x)
∆x
=
du
dx
+
dv
dx
.
�
118
De forma análoga, a derivada da diferença de duas funções também é a
diferença de suas derivadas. Alémdisso, esse resultado pode ser estendido
para qualquer número de funções.
Exemplo 10.2.2. Agora podemos aplicar todas estas regras de derivação
para derivar o polinômio 15x4 + 9x3 − 7x2 + 5x − 1.
10.2.6 A derivada do produto de funções
Na seção anterior, vimos como derivar somas e subtrações de funções e
também funções multiplicadas por constantes. Consideremos agora duas
funções reais de x, u(x) e v(x). Queremos encontrar uma regra para calcular
a derivada do produto uv.
Note que a derivada da soma das funções u(x) e v(x),
d
dx
(u(x) + v(x)) =
du
dx
+
dv
dx
,
é a soma de suas derivadas. O mesmo não pode ser afirmado sobre a
derivada do produto das duas funções u(x) e v(x), isto é,
d
dx
(u(x) · v(x)) , du
dx
· dv
dx
.
Exemplo 10.2.3. Calculamos a derivada de f (x) = x2 pela definição, ob-
tendo f ′(x) = 2x. Por outro lado, se fizéssemos
d
dx
(
x2
)
=
d
dx
(x · x) = d
dx
x · d
dx
x = 1 · 1 = 1,
obteríamos um valor incorreto.
Teorema 10.2.6 (A derivada do produto). Se u e v são duas funções reais,
diferenciáveis em x, então o seu produto uv também é diferenciável em x e
d
dx
(u · v) = udv
dx
+ v
du
dx
. (10.6)
119
Demonstração. Calculando a derivada de u · v pela definição,temos:
d
dx
(u · v) = lim
h→0
u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x)
h
.
Adicionando e subtraindo o termo u(x + h)v(x) no numerador, obtemos:
d
dx
(u · v) = lim
h→0
u(x + h)v(x + h) + u(x + h)v(x) − u(x + h)v(x) − u(x)v(x)
h
= lim
h→0
u(x + h)[v(x + h) − v(x)] + v(x)[u(x + h) − u(x)]
h
= lim
h→0
u(x + h) · lim
h→0
v(x + h) − v(x)
h
+ v(x) · lim
h→0
u(x + h) − u(x)
h
= u(x) · dv
dx
+ v(x) · du
dx
.
�
Exemplo 10.2.4. Calcule a derivada da função f (x) = (x2 + 1)(x3 + 3).
Solução:
d f
dx
= (x2 + 1)
d
dx
(x3 + 3) + (x3 + 3)
d
dx
(x2 + 1)
= (x2 + 1) · 3x2 + (x3 + 3) · 2x = 5x4 + 3x2 + 6x.
Exemplo 10.2.5. Seja y = u · v o produto de duas funções u e v. Ache y ′(2)
sabendo que u(2) = 3, u ′(2) = −4, v(2) = 1 e v ′(2) = 2.
Solução: Calculamos a derivada usando a regra do produto e substituindo
o valor de x por 2:
y ′(2) = u(2) · v ′(2) + v(2) · u ′(2)
= 3 · 2 + 1 · (−4) = 2.
10.2.7 A derivada do quociente de funções
Assim como a derivada do produto não é o produto das derivadas, a
derivada do quociente também não é o quociente das derivadas.
120
Teorema 10.2.7 (A derivada do quociente). Sejam u e v duas funções reais,
diferenciáveis em x. Se v(x) , 0, então o seu quociente u/v também é diferenciável
em x e (
u
v
)′
=
v u ′(x) − u v ′(x)
v2
. (10.7)
Demonstração. Calculamos a derivada
(
u
v
)′
pela definição:
(
u
v
)′
= lim
h→0
1
h
[
u(x + h)
v(x + h)
− u(x)
v(x)
]
= lim
h→0
1
h
[
u(x + h)v(x) − u(x)v(x + h)
v(x)v(x + h)
]
Agora vamos adicionar e subtrair o termo u(x)v(x) no numerador:
(
u
v
)′
= lim
h→0
1
h
[
u(x + h)v(x)−u(x)v(x) + u(x)v(x) − u(x)v(x + h)
v(x)v(x + h)
]
= lim
h→0
1
h
[
v(x) [u(x + h) − u(x)] − u(x) [v(x + h) − v(x)]
v(x)v(x + h)
]
=
v(x) limh→0 1h [u(x + h) − u(x)] − u(x) limh→0 1h [v(x + h) − v(x)]
limh→0 v(x)v(x + h)
=
v(x)u′(x) − u(x) v′(x)
v2(x)
.
�
Exemplo 10.2.6. Use a regra do quociente para calcular a derivada da
função f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
.
Solução:
121
(
x2 − 1
x2 + 1
)′
=
(x2 + 1) (x2 − 1)′ − (x2 − 1) (x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
(x2 + 1) · 2x − (x2 − 1) · 2x
(x2 + 1)2
=
4x
(x2 + 1)2
.
10.2.8 Regra da potência com expoente inteiro negativo
Teorema 10.2.8. Seja n um inteiro negativo. Se x , 0, então
d
dx
(xn) = n xn−1. (10.8)
Demonstração. Seja n um inteiro negativo. Chamamos n = −m, onde m =
|n|. Desta forma, xn = x−m = 1/xm. Assim, podemos usar a regra do
quociente para calcular a derivada de xn:
(xn)′ =
( 1
xm
)
=
xm (1)′ − (1) (xm)′
(xm)2
=
0 −mxm−1
(xm)2
=
mxm−1
x2m
= mxm−1−2m = mx−m−1 = −nxn−1, lembrando que n = −m.
�
Exemplo 10.2.7. Ache a equação da reta tangente à curva f (x) = x +
2
x
no
ponto (1, 3).
Solução:
A equação da reta tangente ao gráfico de f (x) no ponto (1, 3) é dada por:
y − 3 = f ′(1) (x − 1).
122
Precisamos calcular f ′(1) para determinar a equação da reta:
f ′(x) = (x)′ +
(2
x
)′
= 1 + (2x−1)′ = 1 − 2x−2,
e portanto, f ′(1) = 1 − 2 = −1. Substituindo este valor na equação da reta
acima, temos:
y − 3 = −1(x − 1) ⇒ y = −x + 4.
Exemplo 10.2.8. Ache a derivada da função y =
(x − 1)(x2 − 2x)
x4
.
Solução:
y′ =
x4[(x − 1) (x2 − 2x)]′ − (x − 1) (x2 − 2x) (x4)′
(x4)2
=
x4[(x − 1)′ (x2 − 2x) + (x − 1) (x2 − 2x)′] − 4x3(x − 1)(x2 − 2x)
x8
=
x[(x2 − 2x) + (x − 1) (2x − 2)] − 4(x3 − 3x2 + 2x)
x5
=
x[3x2 − 6x + 2] − 4x3 + 12x2 − 8x
x5
=
−x3 + 6x2 − 6x
x5
.
Exemplo 10.2.9. Suponha que u e v sejam funções de x e diferenciáveis em
x = 0. Sabendo que u(0) = 5, u ′(0) = −3, v(0) = −1 e v ′(0) = 2, ache os
valores das seguintes derivadas em x = 0.
a) (u v) ′(0);
b) (u/v) ′(0);
c) (v/u) ′(0);
d) (7v − 2u) ′(0).
Solução:
a) (u v) ′(0) = u(0) v ′(0) + u ′(0) v(0) = 5 · 2 + (−3) · (−1) = 13.
b) (u/v) ′(0) =
v(0)u ′(0) − u(0) v ′(0)
v2(0)
=
−1 · 5 − 5 · 2
(−1)2 =
−15
1
.
123
10.2.9 Regra da potência com expoente racional
Teorema 10.2.9. Seja n , 0 e n ∈N. A derivada de n√x é:
[ n
√
x] ′ =
1
n
x1/n−1, (10.9)
com x > 0 se n é par e x ∈ R se n é ímpar e n > 2.
Observação: Faremos a demonstração deste teorema no capítulo de deri-
vação implícita.
Exemplo 10.2.10. Seja f (x) = 3
√
x. Determine f ′(x) e f ′(8).
Solução: Aplicando diretamente a fórmula (10.9), temos:
f ′(x) =
1
3
x1/3−1 =
1
3
x−2/3 ⇒ f ′(8) = 1
12
.
Exemplo 10.2.11. Seja f (x) = 3
√
x. Determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abscissa 8.
Solução: A equação da reta tangente é y− y0 = f ′(x0) (x− x0), onde x0 = 8
e y0 = f (x0) = f (8) = 2. Substituindo os valores de x0 e y0, a equação é:
y − 2 = f ′(8) (x − 8). Do exemplo anterior, f ′(8) = 1
12
. Portanto, a equação
da reta tangente é y − 2 = 1
12
(x − 8).
10.3 Derivada das funções exponenciais ex e ax
Seja a função exponencial y = ax, com a ∈ R, a > 0 e a , 1. O
seguinte teorema nos dá uma fórmula para o cálculo da derivada da função
exponencial.
124
Teorema 10.3.1. Seja a função exponencial y = ax, com a ∈ R, a > 0 e a , 1. A
sua derivada é:
d
dx
ax = ax ln a. (10.10)
Demonstração. Vamos calcular sua derivada usando a definição de deri-
vada por limite:
d
dx
ax = lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax
ah − 1
h
= ax lim
h→0
ah − 1
h
.
Na seção de Limites Fundamentais, vimos que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a. Portanto,
fica demonstrado que:
d
dx
ax = ax ln a
�
Observação: Quando a = e, f (x) = ex e ln e = 1. Assim,
d
dx
ex = ex. (10.11)
Exemplo 10.3.1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f (x) = ex no ponto de abscissa 0.
Solução: Chamando x0 = 0, y0 = f (x0) = f (0) = 1, podemos determinar
a equação da reta tangente pela expressão y − 1 = f ′(0)(x − 0). Como
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = e0 = 1. Substituindo, a equação da reta tangente é:
y = x + 1.
Exemplo 10.3.2. Calcule a derivada de:
a. f (x) = 5x;
125
b. f (x) = (x2 + 1) ex.
Solução:
a. f ′(x) = 5x ln 5.
b. f ′(x) = 2x ex + (x2 + 1) ex.
10.4 Derivada da função logaritmo ln x
Teorema 10.4.1. Seja f (x) = ln x, x , 0. A derivada de ln x é:
(ln x) ′ =
1
x
. (10.12)
Demonstração. Vamos calcular a derivada pela definição:
(ln x) ′ = lim
h→0
ln(x + h) − ln x
h
= lim
h→0
1
h
ln
[
1 +
h
x
]
= lim
h→0
ln
[
1 +
h
x
]1/h
.
Faremos agora uma mudança de variável u = h/x (lembramos que x > 0).
Quando h→ 0, u→ 0. Substituindo no limite acima, temos:
(ln x) ′ = lim
h→0
ln [1 + u]1/(ux) = lim
u→0
1
x
ln [1 + u]1/(u) .
Na seção de limites fundamentais, mostramos que lim
h→0
ln [1 + u]1/(u) = e.
Logo,
(ln x) ′ =
1
x
ln lim
u→0
[1 + u]1/(u) =
1
x
ln e =
1
x
.
�
126
Exemplo 10.4.1. Calcule a derivada de f (x) = ex ln x.
Solução: Aplicando a regra do produto e as regras de derivação de função
exponencial e logarítmica, temos:
f ′(x) = (ex) ′ ln x + ex (ln x) ′ = ex ln x +
ex
x
.
Exemplo 10.4.2. Seja f (x) = loga x, onde a > 0 e a , 1. Mostre que f
′(x) =
1
x ln a
.
Solução: Para resolver este exercício, vamos usar a regra de mudança de
base em logaritmos (mudar da base b para a base a):
loga x = (logb x) / (logb a).
Como sabemos calcular a derivada de ln x, vamos supor que b = e. Assim,
loga x = (ln x) / (ln a).
Como ln a é uma constante, fica fácil ver que a derivada de loga x é:
(loga x)
′ =
1
ln a
(ln x) ′ =
1
x ln a
.
10.5 Derivadas de funções trigonométricas
Nesta seção, vamos demonstrar as regras de derivação das funções
trigonométricas sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e csc x. No entanto,
como as funções tg x, cotg x, sec x e csc x são definidas a partirde senos e
cossenos, basta então calcularmos as derivadas das funções seno e cosseno.
Antes de calcularmos estas derivadas, vamos analisar o seguinte limite:
Teorema 10.5.1.
lim
x→0
cos x − 1
x
= 0.
127
Demonstração. Como existe uma indeterminação do tipo 0/0, precisamos
fazer algumas manipulações algébricas para contornar este problema. As-
sim,
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
· cos x + 1
cos x + 1
= lim
x→0
cos 2x − 1
x(1 + cos x)
= lim
x→0
− sen 2x
x(1 + cos x)
= − lim
x→0
sen 2x
x(1 + cos x)
= − lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
sen
1 + cos x
= 1 · 0
1
= 0.
�
Teorema 10.5.2.
d
dx
sen x = cos x. (10.13)
Demonstração. Vamos calcular a derivada de f (x) = sen x usando a defini-
ção:
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
sen (x + h) − sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x( cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
[
( cos h − 1)
h
]
+ cos x lim
h→0
[
sen h
h
]
= ( sen x) · 0 + ( cos x) · 1
= cos x.
�
128
Teorema 10.5.3.
d
dx
cos x = − sen x. (10.14)
Demonstração. Novamente vamos calcular a derivada usando a definição:
[ cos x] ′ = lim
h→0
cos (x + h) − cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sen x sen h − cos x
h
= lim
h→0
cos x( cos h − 1) − sen x sen h
h
= cos x lim
h→0
[
( cos h − 1)
h
]
− sinx lim
h→0
[
sen h
h
]
= ( cos x) · 0 − ( sen x) · 1
= − sen x.
�
Exemplo 10.5.1. Use as regras de derivação conhecidas para mostrar que:
a. ( tg x) ′ = sec 2x;
b. ( sec x) ′ = sec x tg x;
c. (cotg x) ′ = − csc2 x;
d. (csc x) ′ = − csc x cotg x.
Solução: Vamos resolver as duas primeiras alíneas e as demais ficam
como exercício.
a. Para calcular a derivada de tg x, precisamos usar a regra do quoci-
ente:
( tg x) ′ =
[ sen x
cos x
]
′ =
( cos x)( cos x) − ( sen x)(− sen x)
cos 2x
=
1
cos 2x
= sec 2x.
129
b. Novamente usamos a regra doquociente sabendoque sec x =
1
cos x
:
( sec x) ′ =
[ 1
cos x
]
′ =
( cos x)(0) − 1 · (− sen x)
cos 2x
=
− sen x
cos 2x
= sec x tg x.
Exemplo 10.5.2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) =
sen x no ponto de abscissa 0.
Solução: Quando x = 0, f (0) = sen 0 = 0. Assim, a equação da reta
tangente neste ponto é:
y − 0 = f ′(0)(x − 0) ⇐⇒ y = f ′(0) x.
Como f ′(x) = cos x, então f ′(0) = cos 0 = 1. Assim, a reta tangente ao
gráfico de f (x) = sen x no ponto de abscissa 0 tem equação y = x.
10.6 Derivadas de segunda ordem e de ordens
mais altas
Seja y = f (x) uma função real. Se y é diferenciável, então sua derivada
y′ = f ′(x) é uma função. Se também a função y′ = f ′(x) é diferenciável,
então podemos derivar f ′(x) para obter uma nova função que chamaremos
de f ′′(x), isto é,
f ′′(x) = ( f ′(x))′,
é a derivada de f ′(x). Chamaremos a função f ′′(x) de segunda derivada
de f . Vamos adotar as seguintes notações para a derivada segunda:
y ′′(x) =
d2y
dx2
=
d
dx
[
dy
dx
]
.
Observação: Podemos interpretar a segunda derivada como a taxa de
variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f (x).
Esta medida nos fornece o grau de variabilidade da função.
Exemplo 10.6.1. Ache a segunda derivada da função y = x6.
130
Solução:
y′ = (x6)′ = 6x5 ⇒ y′′ = (6x5)′ = 30x4.
Analogamente, se y′′ é uma função diferenciável, então podemos cal-
cular sua derivada (y′′)′ = y′′′ =
d
dx
y′′ =
d3y
dx3
que é chamada de terceira
derivada de y com respeito a x. Se também y′′′ é diferenciável, então
podemos calcular a sua derivada, obtendo a quarta derivada de y com
respeito a x, denotada por yIV = (y′′′)′ =
d4y
dx4
.
De uma formamais geral, se a (n−1)−ésina derivada de y é uma função
diferenciável, então podemos calcular a sua derivada obtendo a n−ésima
derivadade y comrespeito a xque iremosdenotar por y(n) = (y(n−1))′ =
dny
dxn
.
Exemplo 10.6.2. Calcule as primeiras 4 derivadas de y = x3 − 3x2 + 2.
Solução:
Primeira derivada: y′ = 3x2 − 6x.
Segunda derivada: y′′ = (y′)′ = 6x − 6.
Terceira derivada: y′′′ = (y′′)′ = 6.
Quarta derivada: yIV = (y′′′)′ = 0.
Exemplo 10.6.3. Ache as primeira e segunda derivadas da função y =
x3 + 7
x
.
Solução:
Primeira derivada:
y′ =
x · 3x2 − (x3 + 7) · 1
x2
=
3x3 − x3 − 7
x2
=
2x3 − 7
x2
.
Segunda derivada:
y′′ =
[
2x3 + 7
x2
]′
=
x2 · 6x2 − 2x · (2x3 + 7)
x4
=
2x4 − 14x
x4
.
131
10.7 Exercicios
1. Calcule a derivada de cada função:
(a) 6x9. Resp: 54x8.
(b) 19. Resp: 0.
(c) 3x500 + 15x100. Resp: 1500x499 + 1500x99.
(d) (x − 3)2. Resp: 2(x − 3)
(e)
1
5
x5 +
1
4
x4 +
1
3
x3 +
1
2
x2 + x + 1. Resp: x4 + x3 + x2 + x + 1.
(f) (2x − 1)(3x + 2). Resp: 12x + 1.
2. Ache a reta tangente à curva y = 3x2 − 5x + 2 no ponto (2, 4). Resp:
y − 4 = 7(x − 2).
3. Ache os pontos da curva y = 4x3+ 6x2− 24x+ 10 nos quais a tangente
é horizontal.
Resp: (1,−4) e (−2, 50).
4. A reta x = a intercepta a curva y =
1
3
x3 + 4x + 3 num ponto P e a
curva y = 2x2 + x num ponto Q. Para que valor (ou valores) de a, as
tangentes a essas curvas em P e Q são paralelas?
Resp: a = 3 ou a = 1.
5. Ache o vértice da parábola y = x2 − 8x + 18. Sugestão: a tangente no
vértice é horizontal. Resp: (4, 2).
6. Ache o vértice da parábola y = ax2 + bx + c. Resp:
(−b
2a
,
−b2 + c
4a
)
.
7. Que valores devem ter as constantes a, b e c se as duas curvas y =
x2 + ax + b e y = cx − x2 têm a mesma tangente no ponto (3, 3).
Resp: a = −8, b = 18 e c = 4.
8. A reta que passa por um ponto nessa curva e é perpendicular à
tangente neste ponto chama-se normal à curva neste ponto. Ache a
normal à curva 4y + x2 = 5 no ponto (1, 1).
Resp: y = 2x − 1.
132
9. Considere a normal à curva y = x− x2 no ponto (1, 0). Onde esta reta
intercepta a curva uma segunda vez?
Resp: (−1,−2).
10. Calcule f ′(a) pela definição, sendo dados:
(a) f (x) = x2 + x em a = 1. Resp: 3.
(b) f (x) = 5x − 3 em a = 0. Resp: 5.
(c) f (x) = 1/x em a = −1. Resp: −1.
11. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(1) = 0.
12. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(x) > 0 para todo o x.
13. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(0) < f ′(1).
14. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(1) não exista.
15. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(x) > 0 para x < 1 e f ′(x) < 0 para x > 1.
16. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(x) > 0 para x < 0 e f ′(x) < 0 para 0 < x < 2
e f ′(x) > 0 para x > 2.
17. Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função f , definida e
derivável em R tal que f ′(1) = 0 e f ′(0) = 0.
18. Mostre que a função f (x) =
2x + 1, se x < 1−x + 4, se x ≥ 1 não é derivável em
a = 1.
19. Mostre que a função f (x) =
x2 + 2, se x < 12x + 1, se x ≥ 1 é derivável em a = 1 e
calcule f ′(1).
Resp: f ′(1) = 2.
133
20. Seja a função f (x) =
2, se x ≥ 0x2 + 2, se x < 0 . f é derivável em a = 0. Em
caso afirmativo, calcule f ′(0). Resp: f ′(0) = 0.
21. Construa uma função f deR emR que seja contínua emR e que seja
derivável em todos os pontos, exceto em −1, 0 e 1.
22. Construa uma função f deR emR que seja contínua emR e que seja
derivável em todos os pontos, exceto nos números inteiros.
23. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 1/x no ponto
de abscissa 2. Resp: y − 1/2 = −1
4
(x − 2).
24. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y =
1
x2
noponto
de abscissa 1. Resp: y − 1 = −2(x − 1).
25. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3
√
x no ponto
de abscissa 1. Resp: y − 1 = 1
3
(x − 1).
26. Seja a função f (x) =
x + 1, se x < 21, se x ≥ 2 .
(a) f é contínua em 2? Resp: Não.
(b) f é derivável em 2? Resp: Não.
27. Seja a função f (x) =
x2, se x ≤ 0−x2, se x > 0 .
(a) f é contínua em 0? Resp: Sim.
(b) f é derivável em 0? Resp: Sim.
28. Seja a função f (x) =
−x + 3, se x < 3x − 3, se x ≥ 3 .
(a) f é contínua em 3? Resp: Sim.
(b) f é derivável em 3? Resp: Não.
134
29. Seja f (x) = x3 + 1/x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico
de f (x) no ponto (1, f (1)). Resp: y − 2 = 2(x − 1).
30. Calcule f ′(x) quando f (x) é igual a:
(a) f (x) =
x
x2 + 1
.
Resp:
−x2 + 1
(x2 + 1)2
.
(b) f (x) =
x2 − 1
x + 1
.
Resp: 1.
(c) f (x) =
3
√
x + x3√
x
.
Resp:
−1
6
x−7/6 +
5
2
x3/2.
(d) f (x) =
x + 1
tg x
.
Resp: cot x − (x + 1) csc2 x.
(e) f (x) =
3
sen x + cos x
.
Resp:
3( sen x − cos x
( sen x + cos x)2
.
(f) f (x) = x2 + 3x sec x.
Resp: 2x + 3 sec x + 3x sec x tg x.
(g) f (x) =
x + sen x
x − cos x .
Resp:
(x − 1) cos x − (x + 1) sen x − 1
(x − cos x)2 .
(h) f (x) = x2 ln x + 2xex.
Resp: x(2 ln x + 1) + 2ex(x + 1).
(i) f (x) =
1 + ex
1 − ex .
Resp:
2ex
(1 − ex)2
135
(j) f (x) =
x + 1
x ln x
.
Resp:
−x − ln x − 1
(x ln x)2
.
(k) f (x) =
ln x
x
.
Resp:
1 − ln x
x2
.
(l) f (x) =
ex
x + 1
.
Resp:
xex
(x + 1)2
.
31. Seja f (x) = x2 sen x + cos x. Calcule f ′(x), f ′(0), f ′(3a) e f ′(x2).
Resp: f ′(x) = (2x − 1) sen x + x2 cos x, f ′(0) = 0, f ′(3a) = (6a −
1) sen (3a) + 9a2 cos (3a), f ′(x2) = (2x2 − 1) sen x2 + x4 cos x2,.
32. Sejam f , g e h funções deriváveis. Verifique que
[ f (x)g(x)h(x)]′ = f ′(x)g(x)h(x) + f (x)g′(x)h(x) + f (x)g(x)h′(x).
33. Calcule f ′(x) quando f (x) é igual a:
(a) xex cos x.
Resp: ex((x + 1) cos x − x sen x).
(b) x2( cos x)(1 + ln x).
Resp: x cos x(3 + 2 ln x) − x2 sen x(1 + ln x).
(c) ex sen x cos x.
Resp: ex(
1
2
sen 2x + cos 2x)
(d) (1 +
√
x)ex tg x.
Resp: (
1
2
x−1/2ex + ex + x1/2ex) tg x + ex sec 2x + x1/2ex sec 2x.
34. Determine f ′, f ′′ e f ′′′ quando
(a) f (x) = 4x4 + 2x.
Resp: f ′(x) = 16x3 + 2, f ′′(x) = 48x2 e f ′′′(x) = 96x,
(b) f (x) = 1/x.
Resp: f ′(x) = −1/x2, f ′′(x) = 2/x3 e f ′′′(x) = −6/x4,
136
(c) f (x) = 5x2 − 1
x3
.
Resp: f ′(x) = 10x + 3/x4, f ′′(x) = 10 − 12/x5 e f ′′′(x) = 60/x6.
(d) f (x) = x|x|.
Resp: f ′(x) =
2x, se x ≥ 0−2x, se x < 0 ., f ′′(x) =
2, se x ≥ 0−2, se x < 0 . e
f ′′′(x) = 0.
(e) f (x) =
x2 + 3x, se x ≤ 15x − 1, se x > 1 ..
Resp: f ′(x) =
2x + 3, se x ≤ 15, se x > 1 ., f ′(x) =
2, se x ≤ 10, se x > 1 . e
f ′′′(x) = 0.
35. Determine a derivada de ordem n.
(a) f (x) = ex.
Resp: f (n)(x) = ex.
(b) f (x) = cos x.
Resp: f (n)(x) =

− sen x, se n mod 4 = 1
− cos x, se n mod 4 = 2
sen x, se n mod 4 = 3
cos x, se n mod 4 = 0.
.
(c) f (x) = sen x.
Resp: f (n)(x) =

cos x, se n mod 4 = 1
− sen x, se n mod 4 = 2
− cos x, se n mod 4 = 3
sen x, se n mod 4 = 0.
.
(d) f (x) = ln x.
Resp: f (n)(x) = (−1)n−1 (n − 1)!
xn
.
137
Aula 11
Regra da cadeia
11.1 Revisão de funções compostas
Definição 11.1.1. Sejam f : A 7→ R e g : B 7→ R tais que g(B) ⊂ D f . A
composta de f e g, denotada por
f ◦ g
é uma função que, a cada x ∈ B, associa o número real f (g(x)), isto é,
( f ◦ g)(x) = f (g(x)) (11.1)
Notação: Para posterior cálculo da derivada da função composta y =
f (g(x)), vamos chamar u = g(x). Assim, a função composta dada pela
equação (11.1) pode ser escrita na forma:
y = f (u) e u = g(x).
Exemplo 11.1.1. Se f (u) = u3 + 2 e u = g(x) = (x2 + 1)2, ache y = f ◦ g.
Solução:
y = f (g(x)) = f ((x2 + 1)2) = [(x2 + 1)2]3 + 2 = (x2 + 1)6 + 2.
Exemplo 11.1.2. Se f (x) =
√
x e g(x) = x3 − 5, ache f ◦ g e g ◦ f .
138
Solução:
• ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x3 − 5) =
√
x3 − 5.
• (g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(√x) = (√x)3 − 5 = x3/2 − 5.
Exemplo 11.1.3. Escreva h(x) =
√
1 + x2
2 + (1 + x2)3
como a composta de duas
funções.
Solução:
Note que basta considerar f (u) =
√
u
2 + u3
e u = g(x) = 1 + x2. Logo, a
função h(x) = f (g(x)).
11.2 A regra da cadeia
Note que nenhuma das regras vistas até agora nos permite calcular a
derivada da função h(x) =
√
x3 − 5x = (x3−5x)1/2. Porém, antes de mostrar
um método para derivar este tipo de função, vamos analisar funções mais
simples, análoga a h(x), porém comexpoente inteiro positivo. Por exemplo,
considere uma nova função h(x) = (x3 − 5x)2. Vamos chamar u(x) = x3 − 5x.
Assim,
h(x) = [u(x)]2 = u(x) · u(x).
Derivando a função usando a regra do produto, temos:
h′(x) = u′(x)u(x) + u(x)u′(x) = 2u(x)u′(x).
Substituindo u(x) pela função (x3 − 5x) para obter a expressão final da
derivada da função h(x):
h′(x) = 2 (x3 − 5x) · (x3 − 5x)′ = 2 (x3 − 5x) · (3x2 − 5).
Se, por outro lado, tivermos h(x) = u3(x) = u2(x) · u(x), podemos aplicar a
regra do produto novamente e chegamos ao resultado h′(x) = 3u2(x) ·u′(x).
Pode-se provar por indução que se h(x) = un(x), então
h′(x) = nun−1(x) · u′(x).
139
Exemplo 11.2.1. Ache a derivada de [g(x)]3, sabendo que g(x) = (x4 + 2x2).
Solução:
Seja h(x) = [g(x)]3 = (x4 + 2x2)3. Então, h′(x) = 3(x4 + 2x2) · (4x3 + 4x).
Observação: Vimos que se y = un e u = u(x) são funções deriváveis, então
dy
dx
= nun−1
du
dx
.
Por outro lado, sabemos que
dy
du
= nun−1. Desta forma, podemos escrever
a derivada de y em relação a x usando a expressão:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Esta fórmula é conhecida como Regra da Cadeia e sempre será válida
quando y = y(u) e u = u(x) forem diferenciáveis. Com isso, enunciamos o
Teorema a seguir.
Teorema 11.2.1 (Regra da Cadeia). Se y = f (u), u = g(x) e as derivadas
dy
du
e
du
dx
existem, então a função composta y = f (g(x)) é derivável e
dy
dx
=
dy
du
du
dx
ou y ′(x) = f ′(g(x)) g ′(x). (11.2)
11.3 Exercícios resolvidos
Exercício 11.3.1. Dada a função y = (x2 + 5x + 2)7, determine y ′(x).
Solução:
Chamamos u(x) = x2 + 5x + 2. Usando a regra da cadeia, temos que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 7u6 · (2x + 5) = 7(x2 + 5x + 2)6 · (2x + 5).
140
Exercício 11.3.2. Dada a função y =
[3x + 2
2x + 1
]5
, determine y ′(x).
Solução:
Chamamos u(x) =
3x + 2
2x + 1
e y = u5. Aplicando a regra da cadeia, temos:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 5u4 ·
[3x + 2
2x + 1
]′
= 5u4 ·
[ −1
(2x + 1)2
]
.
Exercício 11.3.3. Dada a função g(x) =
x2
3√
x3 + 1
, determine g ′(x).
Solução:
Podemos reescrever g(x) como produto de duas funções: g(x) = x2 ·
(x3 + 1)−1/3. Chamaremos h(x) = x3 + 1. Neste caso, g(x) = x2 · h(x)−1/3. Para
calcular a derivada de g(x), vamos usar a regra do produto e a regra da
cadeia:
g ′(x) = (x2) ′ · h(x)−1/3 + x2 · [h(x)−1/3] ′
= 2x · h(x)−1/3 + x2 ·
(
−1
3
)
h(x)−1/3−1 · [h(x)] ′
=
2x
3√
x3 + 1
+ x2 ·
(
−1
3
)
h(x)−4/3 · (3x2)
=
2x
3√
x3 + 1
− x4 · h(x)−4/3
=
2x
3√
x3 + 1
− x
4
3
√
(x3 + 1)4
Exercício 11.3.4. Seja y = x3 u, onde u = u(x) é uma função derivável até
segunda ordem. Verifique que:
a)
dy
dx
= 3x2 u + x3
du
dx
.
b)
d2y
dx2
= 6x u + 6x2
du
dx
+ x3
d2u
dx2
.
Solução:
141
Para encontrar as derivadas
dy
dx
e
d2y
dx2
, basta usar a regra do produto em
conjunto com a regra da cadeia:
dy
dx
= (x3) ′ · u(x) + x3 · u ′(x) = 3x2 u(x) + x3 · u ′(x).
d2y
dx2
= [3x2 u(x)] ′ + [x3 · u ′(x)] ′
= [3x2] ′ · u(x) + 3x2 u ′(x) + [x3] ′· u ′(x) + x3 · u ′′(x)
= 6x u(x) + 3x2 u ′(x) + 3x2 u ′(x) + x3 · u ′′(x)
= 6x u(x) + 6x2 u ′(x) + x3 · u ′′(x).
Exercício 11.3.5. Seja y = x2 u, onde u = u(x) é uma função derivável.
Calcule
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1
supondo
du
dx
∣∣∣∣∣
x=1
= 2 e u(1) = 3.
Solução:
Procedemos de forma análoga ao exercício anterior, calculando primei-
ramente a derivada y ′(x) e, a seguir, o calculando o seu valor em x = 1:
dy
dx
= (x2) ′ · u(x) + x2 · u ′(x) = 2x u(x) + x2 · u ′(x)
⇒
[
dy
dx
]
x=1
= 2 · 1 · u(1) + 12 · u ′(1)
= 2 · 3 + 1 · 2 = 8.
Exercício 11.3.6. Calcule a derivada de:
a) y = e3x.
b) y = sen t2.
c) y = ln(x2 + 3).
Solução:
Vamos usar a regra da cadeia para calcular a derivada y ′ em cada uma
das funções acima.
a) Chamamos u(x) = 3x. Assim, y = eu e y ′(x) =
dy
du
· du
dx
= 3 eu = 3 e3x.
142
b) Chamamos u(t) = t2. Assim, y = sen u e y ′(t) =
dy
du
· du
dt
= 2t cos u =
2t cos t2.
c) Chamamos u(x) = x2 + 3. Assim, y = lnu e y ′(x) =
dy
du
· du
dx
= 2x · 1
u
=
2x · 1
x2 + 3
.
Exercício 11.3.7. Seja f : R 7→ R uma função derivável até segunda ordem
e seja g uma função dada por g = f (x2). Calcule g ′′(2), supondo que
f ′′(4) = 3 e f ′(4) = 2.
Solução:
Primeiramente vamos calcular g ′′(x) para em seguida calcular o seu
valor em x = 2. Para isso, vamos usar a regra da cadeia:
g ′(x) = f ′(x2) · (x2) ′ = f ′(x2) · 2x
g ′′(x) = [ f ′(x2) · 2x] ′
= [ f ′(x2)] ′ · 2x + f ′(x2) · [2x] ′
= [ f ′′(x2) · 2x] · 2x + 2 f ′(x2).
= 4x2 f ′′(x2) + 2 f ′(x2)
⇒ g ′′(2) = 4 · 22 · f ′′(22) + 2 f ′(22)
= 16 · f ′′(4) + 2 f ′(4) = 16 · 3 + 2 · 2 = 52.
11.4 Exercícios
1. Use a regra da cadeia para achar a derivada de f (x), sendo dados
f (u) = u2 e u(x) = x3 + 1. Resp: 6x2(x3 + 1).
2. Seja f (x) =
1
(3x2 − 2x + 1)100 . Ache f
′(x). Resp:
−600x + 200
(3x2 − 2x + 1)2 .
3. Ache a derivada de
√
x3 + 5. Resp:
3
2
x2(x3 + 5)−1/2.
4. Se h(x) = f (x2), ache a fórmula para h′(x). Resp: h ′(x) = f ′(x2) · 2x.
5. Use a regra da cadeia para calcular a derivadade f (x) = ((x2+1)20+1)4.
Resp: 160x((x2 + 1)20 + 1)3(x2 + 1)19.
143
6. Ache a derivada das seguintes funções:
(a) (x + 3)4. Resp: 4(x + 3)3
(b) (x2 + 8x)4x. Resp: (x2 + 8x)3(9x2 + 40x).
(c) (x2 + 2)3(x9 − 8)2. Resp: x(x2 + 2)2(x9 − 8)(24x9 + 36x8 − 48).
(d) ((x2 − 1)2 + 3)10. Resp: 40x((x2 − 1)2 + 3)9(x2 − 1).
7. Seja y =
x3
x +
√
x
. Calcule
dy
dx
e
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1
. Resp: 9/8.
8. Seja y = x2u, onde u = u(x) é uma função derivável. Calcule
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1
supondo
du
dx
∣∣∣∣∣
x=1
= 2 e u(1) = 1.
Resp: 4.
9. Seja y = x3u, onde u = u(x) é uma função derivável. Calcule
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=2
supondo
du
dx
∣∣∣∣∣
x=2
= 3 e que u(2) = 1. Resp: 24.
10. Considere a função y =
u
x + u
, onde u = u(x) é uma função derivável.
Calcule
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=1
sabendo que
du
dx
∣∣∣∣∣
x=1
= 4 e que u(1) = 2. Resp: 2/9.
11. Seja f : R 7→ R uma função derivável e seja g(x) = f ( cos x). Calcule
g′
(
π
3
)
, sabendo que f ′
(1
2
)
= 4. Resp: −2
√
3.
12. Seja y = xe−2x. Verifique que
d2y
dx2
+ 4
dy
dx
+ 4y = 0.
13. Calcule
d2y
dx2
sendo y = cos (5x). Resp: −25 cos (5x).
14. Calcule
dy
dx
sendo
144
(a) y =
(
x + 1
x2 + 1
)4
.
Resp: 4
(
x + 1
x2 + 1
)3
· −x
2 − 2x + 1
(x2 + 1)2
.
(b) y =
3√
x2 + 3.
Resp:
2x
3
(x2 + 3)−2/3.
15. Seja f : R → R uma função derivável até a segunda ordem e seja g
dada por g(x) = f (x2). Calcule g′′(2), supondo f ′(4) = 2 e f ′′(4) = 3.
Resp: 52.
16. A função diferenciável y = f (x) e tal que, para todo x ∈ D f ,
x f (x) + sen f (x) = 4.
Mostre que
f ′(x) =
− f (x)
x + cos f (x)
para todo x ∈ D f com x + cos f (x).
17. Seja y = x3, onde x = x(t) é uma função derivável até a segunda
ordem. Verifique que
d2y
dt2
= 6x
(
dx
dt
)2
+ 3x2
d2x
dt2
.
18. Determine a derivada
(a) y = sen x3. Resp: 3x2 cos x3
(b) y = ln(2x + 1). Resp:
2
2x + 1
.
(c) y = e sen x. Resp: e sen x cos x.
(d) y = sen ( cos x). Resp: − sen x cos ( cos x).
(e) y = e tg x. Resp: e tg x sec 2x.
19. Seja f : R→ R uma função derivável e seja g(t) = f (t2 + 1). Supondo
f ′(2) = 5, calcule g′(1). Resp: 10.
20. Seja f : R → R uma função derivável e seja g(t) = f (e2x). Supondo
f ′(1) = 2, calcule g′(0). Resp: 4.
145
Aula 12
Derivação Implícita
12.1 Definição de funções dadas implicitamente
Definição 12.1.1. Funções implícitas Dizemos que a função y = f (x) é dada
implicitamente pela equação
F(x, y) = 0. (12.1)
se, ao substituirmos y for f (x), a equação (12.1) se torna uma identidade.
Exemplo 12.1.1. A equação x2 + y2 = 1 define implicitamente a função
y =
√
1 − x2 com −1 < x < 1.
Solução:
De fato, substituindo y =
√
1 − x2, obtemos:
x2 + (
√
1 − x2)2 = 1 ⇐⇒ x2 + 1 − x2 = 1 ⇐⇒ 1 = 1.
Note que também a equação x2 + y2 = 1 define implicitamente a função
y = −
√
1 − x2 com −1 < x < 1. Este exemplo mostra que nem toda equação
do tipo F(x, y) = 0 define implicitamente uma única função y = f (x) ou
x = g(y).
146
Exemplo 12.1.2. A equação x2 +
1
2
y− 1 = 0 define implicitamente a função
y = 2(1 − x2), a < x < b.
Solução:
De fato, substituindo y = 2(1 − x2) na equação, obtemos:
x2 +
1
2
· 2(1 − x2) − 1 = 0 ⇐⇒ x2 + 1 − x2 − 1 = 0 ⇐⇒ 0 = 0.
Observação 2: Suponha que F(x, y) = 0 define implicitamente y = f (x).
Nem sempre é possível obter, a partir desta equação, uma fórmula explícita
de y como uma função de x ou de x em função de y. Como exemplo, não
existe uma forma explícita y = f (x) definida implicitamente pela equação
y4 + 3xy + 2 ln(xy) = 0. No entanto, é possível calcular a derivada de
y = f (x) sem necessariamente fazer uso de uma fórmula explícita de y em
termos da variável independente x.
12.2 Regra de derivação implícita
Considere o seguinte exemplo:
Exemplo 12.2.1. Calcule a derivada da função y = n
√
x usando a regra da
cadeia.
Solução:
Note que y = n
√
xpode ser escrito na forma yn = x. Sabendo que y = f (x)
e usando a regra da cadeia, derivamos a equação yn = x em relação a x:
d
dx
[
yn
]
=
d
dx
[x] ⇐⇒ n yn−1dy
dx
= 1
⇐⇒ n y
n
y
dy
dx
= 1 ⇐⇒ n x
y
dy
dx
= 1
⇐⇒ dy
dx
=
1
n
y
x
⇐⇒ dy
dx
=
1
n
x1/n
x
⇐⇒ dy
dx
=
1
n
x1/n−1
Através deste exemplo, podemos esquematizar a regra da derivação
implícita nos seguintes passos:
147
Regra da função implícita: Suponha que x e y estão relacionados através
da equação F(x, y) = 0 e que a equação F(x, y) = 0 e y = y(x) sejam dife-
renciáveis em relação a x. Para calcular a derivada de y em relação a x,
seguimos os seguintes passos:
1. Diferenciamos ambos os lados da equação F(x, y) = 0 com respeito a
x usando a regra da cadeia e levando em conta que y é uma função
de x.
2. Resolvemos a equação resultante do item (1) para encontrar o valor
de
dy
dx
.
Exemplo 12.2.2. Se y = f (x) e x2 + y2 = 1, encontre uma expressão
dy
dx
em
função de x e y.
Solução: Lembrando que y é uma função de x, diferenciamos ambos os
lados da equação x2 + y2 = 1 em relação a x. A derivada do lado direito da
equação é
d 1
dx
= 0, enquanto a derivada do lado esquerdo é:
d
dx
[
x2 + y2
]
= 2x + 2y
dy
dx
.
Desta forma,
2x + 2y
dy
dx
= 0 ⇐⇒ dy
dx
= −x
y
.
Observação: O resultado deste exemplo pode ser verificado porque, neste
caso, podemos encontrar duas formas explícitas de y = f (x): y = f1(x) =√
1 − x2 e y = f2(x) = −
√
1 − x2. Tomando o caso de y = f1(x) e derivando
esta função usando a regra da cadeia com y =
√
u e u = 1 − x2, obtemos:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
√
u
(−2x) = 1
2y
(−2x) = −xy
,
confirmando o resultado obtido acima. Fica como exercício verificar que a
derivada da função y = f2(x) dará o mesmo resultado.
148
Exemplo 12.2.3. Dado o círculo de raio 1 centrado na origem x2 + y2 = 1,
encontre o coeficiente angular da equação da reta que passa por (0, 0) e por
(x, y) pertencente ao círculo.
Solução: O coeficiente angular m é:
m =
y − 0
x − 0 =
y
x
No exemplo 12.2.2, vimos que
dy
dx
= −x
y
= mT define o coeficiente
angular da reta tangente ao círculo no ponto (x, y). Combinando com o
resultado do exemplo anterior, vemos quemT ·m = −x
y
· y
x
= −1, mostrando
que a reta tangente ao círculo no ponto (x, y) e a reta que passa por (0, 0) e
o ponto (x, y) são perpendiculares.
Exemplo 12.2.4. Ache a equação da reta tangente à curva 2x6 + y4 = 9xy
no ponto (1, 2), sabendo que y = f (x).
Solução: Primeiramente observamos que o ponto (1, 2) pertence à curva:
2(1)6+ (2)4 = 9 ·1 ·2⇐⇒ 18 = 18. Para calcular dy
dx
, lembramos que y = f (x)
e diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x obtendo:
d
dx
[
2x6 + y4
]
=
d
dx
[
9xy
]
⇒ 12x5 + 4y3dy
dx
= 9y + 9x
dy
dx
⇒ 4y3dy
dx
− 9xdy
dx
= 9y − 12x5
⇒ dy
dx
(4y3 − 9x) = 9y − 12x5
⇒ dy
dx
=
9y − 12x5
4y3 − 9x .
Substituindo os valores de x = 1 e y = 2 na expressão de
dy
dx
, encontramos
o coeficiente angular:
dy
dx
(1) =
9(2) − 12(1)5
4(2)3 − 9(1) =
6
15
=
2
5
. Portanto, a equação
149
da reta tangente que passa por (1, 2) e tem coeficiente angular
dy
dx
(1) =
2
5
é:
y − 2 = 2
5
(x − 1).
Exemplo 12.2.5. Use a derivação implícita para calcular a derivada da
função y = f (x)g(x), supondo f (x) > 0 e f (x) , 1.
Solução: Como não conhecemos nenhum método para derivar a função
dada, reescrevemos a função para eliminar o expoente g(x). Note que, para
eliminar o expoente, precisamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da
equação:
ln y = ln f (x)g(x) ⇒ ln y = g(x) ln f (x).
E agora derivamos ambos os lados da última equação em relação a x:
d
dx
[
ln y
]
=
d
dx
[
g(x) ln f (x)
]
⇒ 1
y
dy
dx
=
dg(x)
dx
· ln f (x) + g(x) · 1
f (x)
· d f (x)
dx
⇒ dy
dx
=
[
dg(x)
dx
· ln f (x) + g(x) · 1
f (x)
· d f (x)
dx
]
f (x)g(x).
Exemplo 12.2.6. Use as ideias do exemplo anterior para calcular a derivada
da função y = xx
2−ex .
Solução: Primeiramente aplicamos o logaritmo de ambos os lados:
ln y = ln xx
2−ex ⇒ ln y = (x2 − ex) ln x.
E agora derivamos ambos os lados da última equação em relação a x:
d
dx
[
ln y
]
=
d
dx
[
(x2 − ex) ln x
]
⇒ 1
y
dy
dx
= (2x − ex) ln x + x
2 − ex
x
· 1
⇒ dy
dx
=
[
(2x − ex) ln x + x
2 − ex
x
]
xx
2−ex .
Exemplo 12.2.7. Use a derivação implícita para calcular a derivada da
função y = arcsenx quando x ∈] − 1, 1[.
150
Solução: Aplicamos a função seno em ambos os lados de y = arcsenx,
obtendo:
sen y = sen ( arcsenx) ⇐⇒ sen y = x.
Derivando ambos os membros desta última equação em relação a x e
lembrando que y é uma função de x, temos:
d
dx
[
sen y
]
=
d
dx
x
⇒ cos y dy
dx
= 1
⇒ dy
dx
=
1
cos y
.
Por outro lado, como sen y = x e cos 2y + sen 2y = 1, seque que
cos 2y + x2 = 1 ⇒ cos y =
√
1 − x2. Desta forma, a derivada da função
y = arcsenx é:
dy
dx
=
1√
1 − x2
.
Exemplo 12.2.8. Use a derivação implícita para calcular a derivada da
função y = arctgx quando x ∈ R.
Solução: Aplicamos a função tangente em ambos os lados de y = arctgx,
obtendo:
tg y = tg ( arctgx) ⇐⇒ tg y = x.
Derivando ambos os membros desta última equação em relação a x e
lembrando que y é uma função de x, temos:
d
dx
[
tg y
]
=
d
dx
x
⇒ sec 2y dy
dx
= 1
⇒ dy
dx
=
1
sec 2y
.
Por outro lado, como tg 2y + 1 = sec 2y, segue que sec 2y = 1 + x2. Desta
forma,
dy
dx
=
1
1 + x2
.
151
12.3 Exercícios
1. Suponha que y = f (x) seja uma função derivável e dada implicita-
mente pela equação xy2 + y + x = 1. Mostre que
f ′(x) =
−1 − [ f (x)]2
2x f (x) + 1
em todo x ∈ D f com 2x f (x) + 1.
2. A função y = f (x) é dada implicitamente pela equação xy + 3 = 2x.
Mostre que x
dy
dx
= 2 − y. Calcule dy
dx
∣∣∣∣∣
x=2
. Resp: 3/4.
3. Expresse
dy
dx
em termos de x e de y, onde y = f (x) é uma função
diferenciável dada implicitamente pela equação:
(a) x2 − y2 = 4. Resp: dy
dx
=
x
y
.
(b) xy2 + 2y = 3. Resp:
dy
dx
=
−y2
2xy + 2
.
(c) x2 + 4y2 = 3. Resp:
dy
dx
=
−x
4y
.
(d) xey + xy = 3. Resp:
dy
dx
=
−y − ey
xey + x
.
(e) 5y + cos y = xy. Resp:
dy
dx
=
y
5 − sen y − x .
(f) y + ln(x2 + y2) = 4. Resp:
dy
dx
=
−2x
x2 + y2 + 2y
.
4. A função y = f (x), y > 0, é dada implicitamente por x2 + 4y2 = 2.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa 1. Resp: y − 1/2 = −1
2
(x − 1).
5. Determine a equação da reta tangente à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, no ponto
(x0, y0), y0 , 0. Resp: y − y0 = b
2x0
a2y0
(x − x0).
152
6. Verifique que y0x + x0y = 2 é a equação da reta tangente à curva
xy = 1 no ponto (x0, y0), y0 neq0. Conclua que (x0, y0) é o ponto médio
do segmento AB, onde A e B são as interseções da reta tangente, em
(x0, y0), com os eixos coordenados.
7. Suponhaque y = f (x) seja uma funçãoderivável dada implicitamente
pela equação y3 + 2xy2 + x = 4. Suponha ainda que 1 ∈ D f .
(a) Calcule f (1). Resp: 1.
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abscissa 1. Resp: y − 1 = −3
7
(x − 1).
8. A reta tangente à curva x
2
3 + y
2
3 = 1, no ponto (x0, y0), x0 > 0, y0 > 0,
intercepta os eixos x e y nos pontos A e B, respectivamente. Mostre
que a distância de A a B não depende de (x0, y0).
9. A reta tangente à curva xy−x2 = 1 no ponto (x0, y0), x0 > 0, intercepta
o eixo y no ponto B. Mostre que a área do triângulo de vértices (0, 0),
(x0, y0) e B não depende de (x0, y0).
10. A função y = f (x) é dada implicitamente pela equação 3y2+2xy−x2 =
3. Sabe-se que, para todo x ∈ D f , f (x) > 0 e que f admite uma reta
tangenteT parela à reta 5y−x = 2. DetermineT. Resp: y−1 = 1
5
(x−2).
153
Aula 13
Derivada da Função Inversa
13.1 Funções inversas
Seja y = f (x) uma função f : A 7→ B bijetiva. Então f admite uma função
inversa que denotaremos por f −1. Sobre esta função inversa, podemos
afirmar que:
1. f −1 : B 7→ A.
2. Se x ∈ A e y = f (x) ∈ B, então f −1(y) = x.
3. O ponto (x, y) pertence ao gráfico de f se, e somente se, o ponto (y, x)
pertence ao gráfico de f −1. Como (x, y) e (y, x) são simétricos em
relação à reta y = x, resulta que os gráficos de f e f −1 são também
simétricos em relação à reta y = x.
4. f ( f −1(x)) = x, ∀x ∈ B e f −1( f (x)) = x, ∀x ∈ A.
Objetivo: Suponhamos que f e f −1 sejam deriváveis. A seguir, daremos
uma ideia de como encontrar a derivada da função inversa f −1(x).
Tomamos a observação (4) acima, f ( f −1(x)) = x. Supondo f e f −1
deriváveis, derivamos ambos os membros desta equação usando a regra
da cadeia:
d
dx
f ( f −1(x)) =
d
dx
(x) ⇐⇒ f ′ ( f −1(x)) · ( f −1(x)) ′ = 1.
Desta forma, se f ′ ( f −1(x)) , 0, resolvemos a equação em termos de
( f −1(x)) ′, obtendo:
154
( f −1(x)) ′ =
1
f ′ ( f −1(x))
f ′ ( f −1(x)) , 0. (13.1)
O próximo Teorema formaliza este resultado:
13.2 Derivada da função inversa
Teorema 13.2.1. Sejam f uma função inversível e f −1 a sua inversa. Suponha
que f (a) = b. Se f for derivável em a = f −1(b) com f ′(a) , 0 e se f −1 for contínua
em b, então f −1 será diferenciável em b e
( f −1(b)) ′ =
1
f ′ ( f −1(b))
.
Demonstração. Temos as seguintes hipóteses:
1. f −1 existe;
2. f (a) = b eportanto f −1(b) = a;
3. f é diferenciável em a;
4. f ′(a) , 0;
5. f −1 é contínua em b.
Vamos calcular a derivada da função inversa f −1 pela definição, isto é,
( f −1(x)) ′ = lim
x→b
f −1(x) − f −1(b)
x − b .
Para calcular o limite acima, precisamos reescrever oquociente
f −1(x) − f −1(b)
x − b
em termos da função f cuja derivada é conhecida. Neste caso, observamos
155
que:
f −1(x) − f −1(b)
x − b =
f −1(x) − f −1(b)
f ( f −1(x)) − f ( f −1(b)) , x , p
= 1
/ ( f ( f −1(x)) − f ( f −1(b))
f −1(x) − f −1(b)
)
, x , p.
Lembramos que f −1(b) = a e chamamos z = f −1(x). Como f −1 é contínua
em b,
lim
x→b
f −1(x) = f −1(b) = a.
isto é, z→ a quando x→ b. Então:
lim
x→b
f −1(x) − f −1(b)
x − b = limz→a 1
/ ( f (z) − f (a)
z − a
)
= 1
/ (
lim
z→a
f (z) − f (a)
z − a
)
=
1
f ′(a)
=
1
f ′( f −1(b))
.
�
Exemplo 13.2.1. Use a regra da derivação de função inversa dada pela
fórmula (13.1) para calcular a derivada da função arcsenx que é a inversa
da função sen x quando x ∈
[−π
2
,
π
2
]
.
Solução: As funções são f (x) = sen x e f −1(x) = arcsenx. Então,
aplicando a fórmula (13.1) diretamente, temos:[
f −1(x)
] ′ = 1
f ′( f −1(x))
=
1
cos ( arcsenx)
.
Agora precisamos encontrar o valor de cos ( arcsenx). Para isso, usare-
mos a identidade trigonométrica cos 2( arcsenx) + sen 2( arcsenx) = 1
⇐⇒ ( cos ( arcsenx))2 = 1 − ( sen ( arcsenx))2. Daí, concluímos que
cos ( arcsenx) =
√
1 − x2 e portanto, a derivada procurada é:
[
f −1(x)
] ′ =√
1 − x2.
156
Exemplo 13.2.2. Ache a derivada da função arctgx.
Solução: Procedendo de forma análoga ao exemplo anterior, notamos
que arctgx é a inversa da função tg x. Assim, chamamos f (x) = tg x e
f −1(x) = arctgx. Usando a regra de derivação de função inversa dada pela
fórmula (13.1), obtemos:[
f −1(x)
] ′ = 1
f ′( f −1(x))
=
1
sec 2( arctgx)
.
Da identidade trigonométrica sec 2( arctgx) = tg 2( arctgx) + 1, resulta
que sec 2( arctgx) = ( tg ( arctgx))2 + 1 = x2 + 1. Daí,
[
f −1(x)
] ′ = 1
1 + x2
.
Exemplo 13.2.3. Use a regra de derivação de função inversa e calcule a
derivada da função arcsenx2.
Solução: Chamamos u(x) = x2. Queremos derivar a função arcsenu(x).
Usando o exemplo anterior com f (u) = sen u e f −1(u) = arcsenu e
aplicando a regra da cadeia, temos que:[
f −1(x)
] ′ = d
du
[
f −1(u)
]
· du
dx
=
√
1 − u2 · 2x = 2x
√
1 − x4.
Exemplo 13.2.4. Determine a derivada da função x arctg3x.
Solução: Note que precisamos primeiro aplicar a regra o produto:[
x arctg3x
] ′ = [x] ′ arctg3x + x [ arctg3x] ′ = arctg3x + x [ arctg3x] ′.
Desta forma, precisamos calcular a derivada da função arctg3x para de-
terminar a derivada desejada. Para isso, chamamos u(x) = 3x e usamos o
exemplo 13.2.2 e a regra da cadeia:
[ arctg3x] ′ =
d
du
arctgu · du
dx
=
1
1 + u2
· 3 = 3
1 + 9x2
.
Substituindo este resultado na equação anterior,
[x arctg3x] ′ = arctg3x +
3x
1 + 9x2
.
157
13.3 Exercícios
1. Seja f (x) = x+ex e seja f −1 é a inversa de f . Mostre que f −1 é derivável
e que [ f −1]′ =
1
1 + e f−1(x)
.
2. Seja f (x) = x+ex e seja f −1 é a inversa de f . Calcule [ f −1]′(1) e [ f −1]′′(1).
3. Seja f (x) = x + ln x, x > 0.
(a) Mostre que f admite função inversa f −1, que f −1 é derivável e
que
[ f −1]′ =
f −1(x)
1 + f −1(x)
.
(b) Calcule [ f −1](1), [ f −1]′(1) e [ f −1]′′(1).
158
Aula 14
Aplicações da Derivada
O conceito de derivada pode ser aplicado a vários problemas na Física,
Química, Biologia, Economia, etc. Vamosnos restringir a algunsproblemas
clássicos da Física.
14.1 Velocidade
Vamos analisar o problema físico do cálculo da velocidade de umobjeto
em movimento. Pondo a questão em termos práticos, vamos analisar a
velocidade de um carro que viaja de Salvador para Feira de Santana.
Seja t o tempo em segundos e suponha que após t segundos, o carro
percorreu a distância s metros em direção à Feira de Santana. Como a
distância percorrida s depende do tempo decorrido t, temos assim a função
s = s(t). Por exemplo, se a função s = s(t) = 3t2, então após decorridos 5
segundos, o carro percorrerá um total de s(5) = 2 · (5)2 = 50 metros.
Note que a velocidade média de um carro que viaja de Salvador para
Feira não fornecemuita informação sobre a velocidade domesmo carro em
vários pontos do percurso. Por exemplo, podemos ter dois carros fazendo
o mesmo trajeto no mesmo tempo, porém um deles parando várias vezes
no caminho. Ambos terão a mesma velocidade média (espeço percorrido
entre Salvador e Feira dividido pelo tempo da viagem), porém as curvas
descritas pelo movimento dos dois carros serão totalmente diferentes. Daí
se faz necessário uma definição mais precisa sobre a velocidade.
A velocidade do carro num dado momento, medida em metros por
segundo, é uma quantidade física. Pode ser medida no velocímetro e,
159
como ela se refere a um instante, é chamada de velocidade instantânea. E aí
temos o seguinte problema: dada uma função distância s = s(t), como calcular
a velocidade instantânea de um objeto em movimento?. Vamos ver que esta
velocidade instantânea está relacionada com a velocidademédia calculada
em intervalos de tempo muito pequenos.
Suponhamos que a distância seja medida no tempo t0. Chamamos
esta distância de s0 = s(t0). Agora tome um instante de tempo depois,
porém próximo de t0: t = t0 + ∆t. Meça a disância percorrida e chame-a
de s(t) = s(t0 + ∆t). Sejam ∆t = t − t0 o tempo transcorrido entre as duas
medições e ∆s = s − s0 a distância percorrida neste intervalo de tempo
entre t0 e t. Desta forma, a velocidade média neste intervalo é definido
pelo quociente ∆s/∆t, isto é,
∆s
∆t
=
s − s0
t − t0 =
s(t) − s(t0)
t − t0 .
Sabendo que ∆t = t − t0 ⇒ t = t0 + ∆t, concluímos que
velocidade média =
s(t0 + ∆t) − s(t0)
∆t
.
Exemplo 14.1.1. Um carro viaja numa estrada retilínea percorrendo 2t2
metros em t segundos. Ache ∆t, ∆s e a velocidade média no intervalo de
tempo ∆t nos seguintes casos:
a. t0 = 3 e t = 4.
b. t0 = 3 e t = 3.1.
c. t0 = 3 e t = 3.01.
Se estabelecermos a precisão comaqual queremos calcular a velocidade
instantânea, podemos calcular a velocidade média fazendo o intervalo de
tempo suficientemente pequeno para obter esta precisão. Para obter uma
precisão maior ainda, devemos fazer o intervalo de tempo ainda menor.
Neste sentido, a velocidade instatânea ou exata será aquela em que o
intervalo de tempo ∆t será “quase” zero. Como já foi visto anteriormente,
v = lim
∆t→0
=
s(t0 + ∆t) − s(t0)
∆t
. (14.1)
160
Note que esta equação é igual à equação (9.4) e também igual à equação
(9.7), mostrando o que afirmamos no início desta seção de que as seguintes
grandezas físicas são equivalentes:
• cálculo da velocidade instantânea de um objeto em movimento num
tempo t0;
• a inclinação da reta tangente ao gráfico de s = s(t) no ponto t0 que
descreve o movimento deste objeto.
• a derivada da função s = s(t) neste ponto (indicada aqui por s′(t0) são
a mesma coisa.
Exemplo 14.1.2. Um carro viaja numa estrada retilínea percorrendo 2t2
metros em t segundos. Ache a velocidade instantânea v no tempo t0 = 3.
O cálculo da velocidade instantânea no tempo t0, quando a posição em
t é dada por s = s(t), pode ser feito seguindo os passos descritos abaixo:
Passo 1: Encontre a velocidade média no intervalo de tempo de t0 a t =
t0 + ∆t:
∆s
∆t
=
s(t0 + ∆t) − s(t0)
∆t
.
Passo 2: Simplifique esta expressão o méximo possível de modo a tentar
cancelar ∆t do numerador e denominador.
Passo 3: Ache a velocidade fazendo o limite como na equação (14.1).
Exemplo 14.1.3. A posição de um carro no tempo é dada pela função
s = s(t) = 3t2 + 8t, t ≥ 0. Ache a velocidade instantânea num tempo
arbitrário t0.Para que tempo t, a velocidade instantânea é de 11m/s?
14.2 Aceleração
Assim como a velocidade é a variação do espaço percorrido num inter-
valo de tempo, a aceleração média é a variação da velocidade no intervalo
de tempo ∆t, isto é,
am =
∆v
∆t
=
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
, (14.2)
161
e a aceleração instantânea é:
a(t) = lim
∆t→0
am = lim
∆t→0
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
=
dv(t)
dt
. (14.3)
Como v(t) = s ′(t), temos: a(t) = v ′(t) = [v(t)] ′ = [s ′(t)] ′ = s ′′(t).
Exemplo 14.2.1. Um corpo inicia seu movimento em linha reta no instante
t = 0s. Sua posição no instante t é dada é dada pela equação s(t) = 16t−t2m.
Determinar:
a. A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2s, 4s]..
b. A velocidade do corpo no instante t = 2s.
c. A aceleração no instante t = 4.
d. A aceleração média no intervalo de tempo [0s, 4s].
Solução:
a. vm =
s(4) − s(2)
4 − 2 =
48 − 28
2
= 10m/s.
b. v(t) = s ′(t) = 16 − 2t ⇒ v(2) = s ′(2) = 12m/s.
c. a(t) = v ′(t) = −2 ⇒ a(4) = −2m/s2.
d. am =
v(4) − v(0)
4 − 0 =
8 − 16
4
= −2m/s2
Exemplo 14.2.2. O movimento de um corpo em queda livre é dado pela
equação s(t) =
1
2
gt2m, onde g = 9.8m/s2 é a aceleração da gravidade.
Determinar a velocidade e a aceleração do corpo num instante t qualquer.
Solução: A velocidade instantânea é v(t) = s ′(t) = gtm/s e a aceleração
instantânea é a(t) = v ′(t) = g.
162
14.3 Taxa de variação
Vimos que a velocidade de um corpo que se move em linha reta é dada
por v(t) = s ′(t), onde s(t) representa o espaço percorrido pelo corpo no
instante t. Na realidade, a velocidade diz como o espaço percorrido varia
num determinado intervalo de tempo. Assim, dizemos que:
“a derivada s ′(t) é a taxa de variação (como varia) da função s(t) por
unidade de tempo. ”
Analogamente
“a aceleração é a taxa de variação da função v(t) por unidade de tempo. ”
Se y = f (x) for uma função qualquer, quando fazemos x variar de x
para x + ∆x, a função sofre uma variação de
∆y = f (x + ∆x) − f (x).
O quociente
∆y
∆x
=
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(14.4)
representa a taxa média de variação de y em relação a x e a derivada
dy
dx
= lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(14.5)
representa a taxa instantânea de variação de y em relação a x, ou simples-
mente, taxa de variação de y em relação a x.
Exemplo 14.3.1. A área de um quadrado é uma função A : R∗+ 7→ R∗+ que
depende do seu lado de acordo com a expressão A(l) = l2, sendo que l
representa o lado do quadrado. Determine:
a. A taxa média de variação da área do quadrado em relação ao seu
lado, quando este varia de 2.5m a 3m.
b. A taxa de variação da área do quadrado em relação ao seu lado,
quando este mede 4m.
163
Solução:
a. taxa média =
∆A
∆l
=
A(3) − A(2.5)
0.5
= 5.5.
b. taxa de variação é
dA
dl
= 2l⇒ dA
dl
(4) = 8.
Assim, a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 a cada variação
de um metro no comprimento do lado.
Exemplo 14.3.2. Uma cidade é atingida por uma epidemia. Os setores de
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela epidemia num
tempo t medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia é dado por
f (t) = 64t − t
3
3
.
a. Qual a razão da expansão da epidemia no instante t = 4?
b. Qual a razão da expansão da epidemia no instante t = 8?
c. Quantas pessoas serão atingidas no quinto dia?
Solução:
a. Razão da expansão da epidemia é a taxa de variação com que a
epidemia se propaga, dada por
f ′(t) = 64 − t2.
No tempo t = 4 dias, f ′(4) = 64 − 16 = 48, isto é, a epidemia se
propaga a uma taxa de 48 pessoas por dia.
b. No instante t = 8 dias, f ′(8) = 64 − 64 = 0 e, neste instante, a
propagação da epidemia está sob controle.
c. O número de pessoas afetadas pela epidemia no quinto dia é f (5) −
f (4), isto é, o intervalo de um dia:
f (5) − f (4) = 43.
Isto nos diz que, no quinto dia, 43 pessoas foram afetadas pela epi-
demia.
164
Exemplo 14.3.3. O lado de um quadrado se expande segundo a equação
l(t) = 2 + t2, onde t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da
área do quadrado no tempo t = 2.
Solução: A área do quadrado é A(l) = l2, mas o lado varia com o tempo
segundo a expressão l(t) = 2 + t2. Assim, temos uma função composta
A(l(t)) = [l(t)]2 = [2 + t2]2. Por outro lado, aplicando a regra da cadeia,
podemos obter a taxa de variação da área em relação ao tempo:
dA
dt
=
dA
dl
dl
dt
= (2l) (2t) = 4t(l) = 4t(2 + t2).
Assim,
dA
dt
(2) = 8(2 + 4) = 48,
isto é, a área do quadrado varia de 48m2 a cada unidade de tempo.
14.4 Exercícios
1. Umcorpo semove em linha reta, demodoque suaposiçãono instante
t é dada por f (t) = 16t + t2, 0 ≤ t ≤ 8, onde o tempo é dado em
segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidademédia durante o intervalo de tempo [b, b+h],
0 ≤ b < 8. Resp: 16 + 2b + hm/s.
(b) Achar avelocidademédianos intervalos [3, 3.1], [3, 3.01] e [3, 3.001].
Resp: 22.1m/s, 22.01m/s e 22.001m/s.
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante t qualquer.
Resp: 16 + 2tm/s.
(d) Achar a velocidade do corpo no tempo t = 3. Resp: 22m/s.
(e) Determinar a aceleração no instante t. Resp: 2m/s2.
2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal
forma que o seu deslocamento é regida pela equação y =
b
t
+ ct, onde
y é o deslocamento e t é o tempo.
(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 ? Resp: −b
4
+ c.
165
(b) Qual a equação da aceleração? Resp:
2b
t3
.
3. A posição de uma partícula que semove no eixo x depende do tempo
de acordo com a equação x(t) = 3t2 − t3, em que x é o deslocamento
em metros e t é o tempo medido em segundos.
(a) Qual é o seu deslocamente ao final dos primeiros 4 segundos?
Resp: −16m
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 se-
gundos? Resp: 3m/s; 0m/s; −9m/s e −24m/s.
(c) Qual é a aceleração ao fim dos 4 primeiros segundos. Resp:
0m/s2; −6m/s2; −12m/s2 e −18m/s2.
4. Uma peça de fruta foi colocada no freezer no instante t = 0. Após
t horas, sua temperatura em graus centígrados, é dada pela função
T(t) = 30− 5t+ 4
t + 1
, 0 ≤ t ≤ 5. Qual a velocidade de redução de sua
temperatura após 2 horas? Resp: −5.444oC/h
5. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de
água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de t horas seu
volume diminuiu 2500t2 litros, determinar:
(a) temponecessário para o esvaziamentodapiscina. Resp: 6 horas.
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5]. Resp: 17.500 l/h.
(c) taxa de escoamento depois de 2 duas do início do processo.
Resp: 10.000 l/h.
6. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação
de r em relação a x quando x = 8. Resp: 1/12.
166
Aula 15
A Diferencial
15.1 A definição de diferencial
Seja uma função y = f (x). Suponha que a variável independente sofra
uma variação de x1 para x2. Vamos denotar esta variação por
∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 + ∆x (15.1)
Esta variação em x provoca uma variação na função y = f (x) de f (x1) a
f (x2). Denotaremos esta variação por:
∆y = f (x2) − f (x1) = f (x1 + ∆x) − f (x1). (15.2)
Definição 15.1.1 (Diferencial). Sejam y = f (x) uma função derivável e ∆x
uma variação de x. Definimos:
a. A diferencial de x é dx = ∆x.
b. A diferencial de y é
dy = f ′(x) dx. (15.3)
Observação: Note que, se ∆x for muito pequeno, então ∆y estará muito
próximo de dy.
Exemplo 15.1.1. Se y = 2x2 − 6x + 5, calcule o acréscimo ∆y e a diferencial
dy quando x varia de 3 para 3, 01. Calcule também ∆y − dy.
167
Solução: Sejam y = f (x) = 2x2 − 6x + 5 e x1 = 3, x2 = 3, 01 ⇒ ∆x = 0, 01.
Então:
∆y = f (x2) − f (x1)
= f (3, 01) − f (3)
= 2(3, 01)2 − 6(3, 01) + 5 − 2(3)2 + 6(3) − 5
= 2(3 + 0, 01)2 − 18, 06 = 2(9 + 0, 06 + 0, 0001 − 18, 06
= 18 + 0, 12 + 0, 0002 − 18, 06 = 0, 0602.A diferencial, por sua vez, é dy = f ′(x) dx = (4x − 6) dx. Daí, substituindo
o valor de x = 3 e o valor de dx = 0, 01, obtemos dy = 6 · (0, 01) = 0, 06.
Logo, ∆y − dy = 0, 0002, o que mostra que dy é uma boa aproximação
para ∆y. Isso nos leva a concluir que, se ∆x for muito pequeno, podemos
estudar a variação de uma função num intervalo de x para x+∆x através da
diferencial da função, sendo esta uma vantagem uma vez que a diferencial
é mais rápida e a mais simples de se calcular.
Exemplo 15.1.2. Repita o exemplo anterior quando x muda de 3 para
3, 0001.
Solução: Fica como exercício.
15.2 Interpretação geométrica
Dada uma função y = f (x), vimos que uma variação em x, de x1 para
x1 + ∆x, provoca uma variação na função de f (x1) para f (x1 + ∆x) que
denotamos por ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1). Temos então a seguinte questão:
Como podemos obter um valor aproximado para ∆y sem ter que cal-
cular explicitamente o valor de f (x1 + ∆x) ? Por exemplo, suponha que
queremos calcular um valor aproximado de
4√
17 mas não dispomos de
uma calculadora.
A próxima figura mostra como podemos calcular esta aproximação.
Note que dy é uma aproximação para ∆y e que:
tg α =
dy
dx
= f ′(x1) ⇒ dy = f ′(x1) dx.
168
x
y
x2
f (x1)
f (x2)
x1
P
y = f (x)
}
dy
α
∆x
∆y
reta tang
ente
A figura abaixo mostra que, diminuindo o valor de ∆x, o valor de ∆y
está mais próxima de dy.
x
y
x2
f (x1)
f (x2)
x1
P
y = f (x)
}dy
∆x
∆y
reta tang
ente
Note que agora o
dy está muito
proximo de ∆y
Exemplo 15.2.1. Obtenha o valor aproximado para o volume de uma fina
coroa cilíndrica de uma altura de 12m, raio interior 7m e espessura de
0.05m.
Solução: O volume do cilindro é dado por V(r) = πr2h, onde r é o raio e
h é a altura. O volume do cilindro interior com r = 7 é V(7) = π(72) (12) =
588πm3. Se o raio tiver um acreéscimo ∆r = 0.05, então uma aproximação
para a variação do volume é dada pela diferencial
dV
dr
= V(7) · dr. Mas
169
dV
dr
= 2π r h e portanto,
dV
dr
= 2π (7) (12) · 0.05 = 8.4m3,
isto é, para cada uma unidade de variação do raio, o volume varia em
8.4m3.
Exemplo 15.2.2. Calcule um valor aproximado de
√
1.01
Solução: Noteque
√
1.01 =
√
1 + 0.01. Chamaremos y = f (x) =
√
x, x1 = 1
e x2 = x1 + ∆x = 1.01⇒ ∆x = 0.01. Queremos obter um valor aproximado
de f (1.01) = f (x1 + ∆x) = f (x1) + ∆y. Como f (x1) = f (1) =
√
1 = 1, basta
então encontrarmos um valor aproximado de ∆y. Este valor aproximado
é dado pela diferencial dy. Assim, como
dy
dx
=
1
2
√
x
, vemos que
dy =
1
2
√
1
dx =
1
2
(0.01) = 0.005.
Daí, concluímos que
√
1.01 ≈ 1+0.005 = 1.005. Para analisarmos quão boa
é esta aproximação, se usarmos uma calculadora, vemos que o resultado é√
1.01 = 1.00498....
15.3 Exercícios
1. Calcule a diferencial das funções:
(a) y = x3. Resp: dy = 3x2dx.
(b) y =
x
x + 1
. Resp: dy =
1
(x + 1)2
dx.
(c) y = 3
√
x. Resp: dy =
1
3
3√
x2
dx.
2. Encontrar dy para os valores dados:
(a) y =
1
2x2
;∆x = 0, 001, x = 1. Resp: −0.001.
170
(b) y = 5x2 − 6x;∆x = 0, 02, x = 0. Resp: −0.12.
(c) y =
2x + 1
x − 1 ;∆x = 0, 1, x = −1. Resp: −0.075.
3. Calcular um valor aproximado das seguintes raízes usando diferen-
cial:
(a)
√
50,
(b)
3√
63.5,
(c)
4√
13.
4. Calcular a diferencial das seguintes funções
(a) y = ln(3x2 − 4x); Resp: dy = 6x − 4
3x2 − 4xdx.
(b) y =
x + 1
ex
; Resp: dy = −xexdx.
(c) y = sen (5x2 + 6). Resp: dy = 10x cos (5x2 + 6).
5. Uma caixa na forma de um cubo deve ter um revestimento externo
com espessura de 1/4cm. Se o lado da caixa é de 2m, usando dife-
rencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. Resp:
0.03m3
6. Use diferencial para obter o aumento aproximado no volume da
esfera quando o seu raio varia de 3cm para 3.1cm. Resp: 3.6πm3.
171
Aula 16
Valores extremos
16.1 Teorema de Rolle e Teorema doValorMédio
Os teoremas de Rolle e do valor médio são fundamentais para o estudo
de variação das funções que trataremos nas seções seguintes. Nesta seção,
apresentaremos seus enumciados com algumas aplicações e deixaremos
suas demonstrações para o final do capítulo.
Teorema 16.1.1 (Teorema deRolle). Seja f uma função que satisfaz as seguintes
condições:
1. f é contínua num intervalo fechado [a, b].
2. f é diferenciável num intervalo aberto (a, b).
3. f (a) = f (b).
Então existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Interpretação geométrica: Considere uma função f não constante cujo
gráfico liga os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), como mostra a figura abaixo:
172
x
y
ba c
f (x)
f (a) = f (b)
Como f é uma função derivável em (a, b) e f (a) = f (b), se o gráfico de f
sobe, a partir de (a, f (a)), ele terá que descer. No ponto onde o gráfico pára
de subir e começa a descer, a reta tangente é horizontal, indicando que a
derivada da função neste ponto é zero.
Exemplo 16.1.1. Determine um ponto c que satisfaça o Teorema de Rolle
para a função f (x) = 2 +
√
x −
√
x3, definida em [0, 1].
Solução:
1. f é contínua em [0, 1].
2. f é derivável em (0, 1).
3. f (0) = 2 e f (1) = 2⇒ f (0) = f (1).
Assim, todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas. Logo,
existe um c ∈ (0, 1) tal que f ′(c) = 0. Vamos derivar a função e encontrar
os pontos onde a derivada se anula.
f ′(x) =
1
2
√
x
− 3
2
√
x =
1 − 3x
2
√
x
.
Vemos que f ′(x) = 0 quando x = 1/3 e como 1/3 ∈ (0, 1), segue que c = 1/3
é o número que procuramos.
173
Teorema 16.1.2 (Teorema do Valor Médio (TVM)). Seja f uma função contí-
nua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a . (16.1)
Interpretação geométrica:
Se f é uma função contínua e diferenciável que liga os pontos A(a, f (a))
a B(b, f (b)), então existe umponto c ∈ (a, b) tal que a reta tangente ao gráfico
de f neste ponto é paralela à reta secante que liga o ponto A ao ponto B.
Veja a figura abaixo:
x
y
ba c
f (x)
f (a)
f (b)
Exemplo 16.1.2. Seja f (x) = x3 − 5x2 − 3x. Mostre que as hipóteses do
teorema do valor médio estão satisfeitas no intervalo [1, 3] e encontre o
valor c ∈ (1, 3) tal que f ′(c) = f (3) − f (1)
3 − 1 .
Solução:
1. f é contínua em R e, em especial, em [1, 3].
174
2. f é diferenciável em R e, em especial, em (1, 3).
Assim, as hipóteses do TVM estão satisfeitas. Queremos achar um número
c ∈ (1, 3) tal que
f ′(c) =
f (3) − f (1)
3 − 1 =
27 − 45 − 9 − (1 − 5 − 3)
3 − 1 = −10
A derivada de f é: f ′(x) = 3x2 − 10x − 3. Assim, queremos determinar
um valor x ∈ (1, 3) tal que 3x2 − 10x − 3 = −10 ou 3x2 − 10x + 7 = 0.
Resolvendo esta equação do segundo grau, encontramos dois resultados
x1 = 1 e x2 = 7/3. Como x2 é o único número que pertence ao intervalo
(1, 3), segue que 7/3 é o valor procurado.
16.2 Crescimento e decrescimento de funções
Agora que nós sabemos diferenciar uma função, podemos usar esta
informação para nos auxiliar em diversos estudos:
• Estudar os intervalos onde uma função cresce e decresce.
• Encontrar os valores extremos de uma função, isto é, encontrar o
menor ou maior valor de uma determinada função.
• Determinar o comportamento de um gráfico.
• Desenhar o gráfico de uma função.
Neste capítulo trataremos do estudo do comportamento das funções e
mais adiante, falaremos especificamente da construção de gráficos.
Vamos ver nesta seção que o sinal da derivada de uma função pode ser
usado para determinar os intervalos onde ela cresce e decresce. Para dar
início a este estudo, vamos analisar o gráfico da figura abaixo:
175
x
y
x0 x1 x2 x3
f é crescente
em x0
f é descrescente
em x2
f não é crescente
nem descrescente x1
f é crescente
em x3
y= f (x)
Note que é fácil ver no gráfico que a função f é crescente em x0. No
ponto x1, a função não é nem crescente e nem decrescente. Já no ponto
x2, nota-se claramente que a função é decrescente. A partir da análise
deste gráfico, vamos agora formalizar a definição de função crescente e/ou
decrescente.
Definição 16.2.1. Seja y = f (x) uma função definida num intervalo I = (a, b)
contendo x0. Sejam x1, x2 ∈ I. Se, x1 < x2 implicar f (x1) < f (x2), para
quaisquer x1, x2 ∈ I, dizemos que a função é crescente neste intervalo I.
Por outro lado, dizemos que a função é decrescente em I se x1 < x2 implicar
f (x1) > f (x2).
Note que a definição de crescimento e decrescimento de uma função é
uma noção local. Depende do ponto x0 e de como a função se comporta
numa vizinhança deste ponto. Desta definição, podemos concluir que se
176
y = f (x) for crescente em x0 ∈ I, então:
1. Se a < x < x0 então f (x) < f (x0) e
2. Se x0 < x < b então f (x) > f (x0).
Analogamente, se y = f (x) for decrescente em x0 ∈ I, então:
1. Se a < x < x0 então f (x) > f (x0) e
2. Se x0 < x < b então f (x) < f (x0).
Exemplo 16.2.1. Mostre que f (x) = x2 é crescente em x0 = 2.
Solução: Primeiramente temos que escolher o intervalo (a, b) que contém
o ponto x0 = 2. Seja então o intervalo (1, 3) e note que 2 ∈ I. Vamos mostrar
que as duas condições acima de função crescente em x0 = 2 são satisfeitas:
1. Se 1 < x < 2 então x2 < 4 = x20, isto é, f (x) < f (2) e
2. Se 2 < x < 3 então x2 > 4, isto é, f (x) > f (2).
Desta forma, a função é crescente em x0 = 2.
Seja y = f (x) e suponha que exista um x0 tal que f (x0) = 0. Qual o
comportamento desta função quando f é crescente ? Dizemos que f muda
de sinal de negativo para positivo em x0, isto é, tomando I = (a, b) com
x0 ∈ I, temos que se a < x < x0 então f (x) < 0 e se x0 < x < b então f (x) > 0.
Analogamente, se f (x0) = 0 e se f for decrescente em x0, então f muda de
sinal de positivo para negativo em x0.
Exemplo 16.2.2. A função f (x) = x2 não muda de sinal, pois x2 ≥ 0 para
todo o x ∈ R.
Exemplo 16.2.3. Onde a função y = x − 6 muda de sinal ?
Solução: Note que isso é o mesmo que perguntar se a função cruza o eixo
Ox. De fato, a função cruza o eixoOx em x− 6 = 0⇐⇒ x = 6. Para valores
menores que 6, a função é negativa, e para valores maiores que 6, a função
é positiva. Desta forma, a função muda de sinal em x = 6 e é crescente
neste ponto.
Exemplo 16.2.4. Onde a função f (x) = x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). muda de
sinal? Analise se a função é crescente ou decrescente no ponto ou nos
pontos encontrados.
177
Solução: A função cruza o eixoOx ou se anula em x1 = −1 e x2 = 1. Vamos
analisar estes dois pontos separadamente. Tome I1 = (−2, 0) com −1 ∈ I1 e
I2 = (0, 2) com 1 ∈ I2.
• Se−2 < x < −1, então (x+1) < 0 e (x−1) < 0, daí f (x) = (x−1)(x+1) > 0.
Se−1 < x < 0, então (x+1) > 0 e (x−1) < 0, daí f (x) = (x−1)(x+1) < 0.
Isto é, a função muda de sinal de positivo para negativo. Portanto, a
função é decrescente em −1.
• Fazendo a mesma análise em I2, chegamos à conclusão que f é cres-
cente em 1.
Dependendo da complexidade da função, pode ser muito difícil de-
terminar se uma função é crescente ou decrescente num ponto apenas
fazendo estas análises num intervalo que contém o ponto. Vamos mostrar
agora que a derivada fornece ummétodo muito efetivo para determinar o
crescimento e decrescimento de uma função.
Dada uma função linear f (x) = mx + b, sabemos que esta função é
crescente se, e somente se, o seu coeficiente angular m for maior que zero.
Como o coeficiente angular m = f ′(x), então uma função qualquer g(x)
é crescente em x0 quando a reta tangente ao gráfico de g neste ponto
tem coeficiente angular positivo, isto é, se g ′(x0) > 0. Por outro lado, se
g ′(x0) < 0, então a função g será decrescente em x0.
As funções y = x3, y = −x3, y = x2 e y = −x2 mostram que podemos ter
vários tipos de comportamento quando f ′(x0) = 0. Nestas funções, isso
ocorre sempre quando x0 = 0. No caso y = x3, a função muda de sinal
de negativo para positivo em x0 = 0 mostrando que f (x) = x3 é crescente
neste ponto. Já no caso y = −x3, a função muda de sinal de positivo para
negativo em x0 = 0 e a função é decrescente neste ponto. Veja a figura 16.1
Nos casos seguintes, y = x2 e y = −x2, as funções não mudam de sinal e
portanto, nada podemos dizer acerca do crescimento ou decrescimento da
função neste ponto. Veja a figura 16.2.
Desta forma, chegamos ao seguinte teste de crescimento e decresci-
mento de uma função:
Teorema 16.2.1 (Teste de crescimento e decrescimento). Seja y = f (x) uma
função derivável e x0 um ponto do seu domínio. Então:
178
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f (x) = x3 1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y = −x3
Figura 16.1: À esquerda: f ′(0) = 0 e f é decrescente em x0 = 0. À direita:
f ′(0) = 0 e f é crescente em x0 = 0.
• Se f ′(x0) > 0, então f é crescente em x0.
• Se f ′(x0) < 0, então f é decrescente em x0.
• Se f ′(x0) = 0, então o teste é inconclusivo.
Exemplo 16.2.5. A função f (x) = x5 − x3 − 3 é crescente ou decrescente em
−2 ?
Solução: Calculamos a derivada da função f ′(x) = 5x4 − 3x2 e a seguir,
subsituímos o ponto x = −2: f ′(−2) = 5(16) − 3(4) > 0. Pelo teste do
crescimento e decrescimento, a função é crescente em −2.
179
x
y
y = x2
f ′(0) = 0 e f não é crescente
e nem descrescente em x0 = 0
x
y
y = −x2
Figura 16.2: À esquerda: f ′(0) = 0 e f não é nem crescente e nem decres-
cente em x = 0. O ponto x0 = 0 é um ponto de mínimo. À direita: f ′(0) = 0
e f não é nem crescente e nem decrescente neste ponto. O ponto x0 = 0 é
um ponto de máximo.
Exemplo 16.2.6. Como a função f (x) = x3 − x2 + x + 3 muda de sinal em
x = −1?
Solução: Note que f (−1) = −1 − 1 − 1 + 3 = 0. Além disso, f ′(x) =
3x2 − 2x + 1 ⇒ f ′(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 > 0. Portanto, f é crescente em −1 e
neste caso, f muda de sinal de negativo para positivo em −1.
Exemplo 16.2.7. Seja a função f (x) = x2 − 1. Em que intervalos ela é
crescente e em que intervalos ela é decrescente?
Solução: Calculando a derivada, temos: f ′(x) = 2x. Vemos que f ′(x) > 0
quando x > 0 e f ′(x) < 0 quando x < 0, isto é, f é crescente quando x > 0 e
decrescente quando x < 0.
180
Agora vamos analisar os pontos x0 que separam duas regiões onde
a função decresce (à esquerda de x0 por exemplo) de outra região onde
a função cresce (à direita de x0, por exemplo). Se a função decresce à
esquerda de x0 e cresce à direita de x0, então chamaremos este ponto x0 de
um ponto demínimo local porque a função atingiu um valor mínimo neste
ponto. A figura abaixo mostra um exemplo de ponto de mínimo local.
x
y
x0 ba
ponto de mínimo local
y = f (x0)
y = f (x)
Analogamente, se a função cresce à esquerda de x0 e decresce à direita
de x0, então chamaremos este ponto x0 de um ponto de maximo local
porque a função atingiuumvalormáximoneste ponto (veja a figura abaixo.
Na próxima seção, apresentaremos uma definição formal de pontos de
máximo local e pontos de mínimo local.
181
x
y
x0 ba
ponto de máximo local
y = f (x0)
y = f (x)
Exemplo 16.2.8. Para cada um dos exemplos a seguir, determine se x0 é
um ponto de máximo local, um ponto de mínimo local ou nenhuma das
duas opções.
x
y
x0 x
y
x0 x
y
x0 x
y
x0
Solução: Da esquerda para a direita:
1. À esquerda de x0, a função cresce e à direita de x0, a função também
182
cresce. Logo não pode ser nem ponto de máximo local e nem ponto
de mínimo local.
2. À esquerda de x0, a função cresce e à direita de x0, a função decresce.
Logo, é um ponto de máximo local.
3. À esquerda de x0, a função decresce e à direita de x0, a função cresce.
Logo, é um ponto de mínimo local.
4. À esquerda de x0, a função decresce e à direita de x0, a função também
decresce.Logo não pode ser nemponto demáximo local e nemponto
de mínimo local.
16.3 Máximos e mínimos: definição
Nesta seção vamos definir formalmente o que são pontos extremos de
uma função. Estes extremos podem ser máximos ou mínimos globais ou
locais.
Definição 16.3.1 (Máximo local). Uma função f assume um valor máximo
local em x = c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que f (x) ≤ f (c)
para todo o x ∈ I. Neste caso, dizemos que c é um ponto de máximo local.
Definição 16.3.2 (Mínimo local). Uma função f assume um valor mínimo
local em x = c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que f (x) ≥ f (c)
para todo o x ∈ I. Neste caso, dizemos que c é um ponto de mínimo local.
Definição 16.3.3 (Máximo e mínimo globais). Uma função f tem um má-
ximo global em x = c se f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ D f , onde D f é o domínio
de f . Analogamente, uma função f tem um mínimo global em x = c se
f (x) ≥ f (c) para todo x ∈ D f . Na figura abaixo à esquerda, temos um ponto
de máximo global e à direita, um ponto de mínimo global.
183
x
y
XM
YM
Im
(f
)
V
Ponto de
Máximo
Valor
Máximo
x
y
Xm
Ym
Im
(f
)
V
Ponto de
Mínimo
Valor
Mínimo
Observação: Os pontos de máximo e de mínimo são chamados de pontos
extremos.
Teorema 16.3.1. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e
derivável no intervalo aberto (a, b):
i. Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ (a, b), então f é crescente no intervalo [a, b].
ii. Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ (a, b), então f é decrescente no intervalo [a, b].
Demonstração. i. Por hipótese, temos uma função contínua em [a, b] e
derivável em (a, b). Suponha que f ′(x) > 0 e sejam x1, x2 ∈ (a, b) com
x1 < x2. Então f é contínua em [x1, x2] e derivável em (x1, x2). Pelo
TVM, segue que existe um c ∈ (x1, x2) tal que
f ′(c) =
f (x2) − f (x1)
x2 − x1 .
Mas como f ′(x) > 0, para todo o x ∈ (a, b), segue que f ′(c) > 0 e
portanto
f (x2) − f (x1)
x2 − x1 > 0.
184
De x2 > x1 ⇒ x2 − x1 > 0. Logo, f (x2) − f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1),
mostrando que a função f é crescente.
ii. A demonstração da parte ii é análoga e é deixada como exercício.
�
Observação: Note que a partir dos exemplos da seção anterior, se x0 é
um ponto extremo de uma função f derivável, então este ponto x0 separa
a função localmente de uma região em que ela é crescente (ou decrescente)
de outra em que ela é decrescente (ou crescente). Segue daí que em um
ponto extremo x0, a função não pode ser nem crescente ( f ′(x0) > 0) e nem
decrescente ( f ′(x0) < 0). Logo, devemos ter f ′(x0) = 0. Os pontos x0 onde
f ′(x0) = 0 são chamados de pontos críticos de f .
Teorema 16.3.2. Seja y = f (x) definida e diferenciável no intervalo aberto I =
(a, b). Se f tem um extremo local em x = c ∈ I, então f ′(c) = 0.
Demonstração. Suponhamos que f é definida e diferenciável no intervalo
aberto I = (a, b) e que f tenha um ponto de máximo local em x = c. Então,
por definição de derivada,
f ′(c) = lim
x→c−
f (x) − f (c)
x − c = limx→c+
f (x) − f (c)
x − c .
Como c é um ponto de máximo local, se x está suficientemente próximo de
c, então f (c) ≥ f (x)⇒ f (x) − f (c) ≤ 0. Assim,
1. se x→ c+, x − c > 0⇒ f (x) − f (c)
x − c ≤ 0, e portanto,
f ′(c) = lim
x→c+
f (x) − f (c)
x − c ≤ 0. (16.2)
2. se x→ c−, x − c < 0⇒ f (x) − f (c)
x − c ≥ 0, e portanto,
f ′(c) = lim
x→c−
f (x) − f (c)
x − c ≥ 0. (16.3)
185
De (16.2) e (16.3), concluímos que f ′(c) = 0.
�
Observação: Note que a condição f ′(c) = 0 no teorema acima é uma
condição necessária para a existência de um extremo local em c, porém
não é uma condição suficiente, isto é, saber que f ′(c) = 0 não é suficiente
para garantir que a função vai ter um máximo ou mínimo local em c. Veja
o próximo exemplo:
Exemplo 16.3.1. Seja a função y = x3. Ache os pontos críticos da função e
verifique se são pontos extremos locais.
Solução: Achar os pontos críticos é achar os pontos c tais que f ′(c) = 0.
No nosso caso, f ′(x) = 3x2 e 3x2 = 0 ⇐⇒ x = 0. Daí x = 0 é um ponto
crítico e candidato a ponto de extremo local. Porém, sabemos x = 0 não é
nem um ponto de máximo local e nem um ponto de mínimo local porque
a função é crescente em x < 0 e também crescente em x > 0.
Teorema 16.3.3 (Teste da primeira derivada). Seja y = f (x). Suponha que x0
seja um ponto crítico de f , isto é, que f ′(x0) = 0 ou que a derivada de f neste
ponto não exista. Então, temos as seguintes condições:
1. Se f ′(x) muda de sinal de positivo para negativo numa vizinhança de x0,
então x0 é um ponto de máximo de f .
2. Se f ′(x) muda de sinal de negativo para positivo numa vizinhança de x0,
então x0 é um ponto de mínimo de f .
3. Se f ′(x) < 0 para todo x , x0, numa vizinhanção de x0, então f é decrescente
em x0.
4. Se f ′(x) > 0 para todo x , x0, numa vizinhanção de x0, então f é crescente
em x0.
Segue abaixo um esquema para aplicar o Teste da primeira derivada e
encontrar os extremos locais de f :
1. Achar f ′(x);
186
2. Ache todos os valores de x para os quais:
(a) f ′(x) = 0;
(b) f ′(x) não existe.
3. Aplique o teste da primeira derivada. Na tabela a seguir, o sinal de
f ′(x) é considerado numa vizinha próxima de x0.
Sinal de f ′(x) Sinal de f ′(x) Comportamento de
à esquerda de x0 à direita de x0 f em x0
− + mínimo local
+ − máximo local
+ + crescente
− − decrescente
Vamos aplicar este esquema aos próximos exemplos:
Exemplo 16.3.2. Seja f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
1. Determine os intervalos onde a função f é crescente e decrescente.
2. Use o teste da primeira derivada para determinar os extremos locais.
Solução: Primeiramente, vamos determinar os pontos x para os quais
f ′(x) = 0 (os pontos críticos) e também f ′(x) não existe:
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0 ⇐⇒ x1 = 1 e x2 = 3.
Note que f ′(x) é um polinômio e, portanto, a derivada de f existe para
todos os pontos x ∈ R.
Agora precisamos determinar os intervalos que serão analisados e se
estes intervalos são de crescimento ou decrescimento. Os pontos críticos
encontrados x1 e x2 dividem o domínio da função nos seguintes intervalos:
] − ∞, 1[, ]1, 3[ e ]3,+∞[. Analisaremos o sinal da derivada em cada um
deles. Como a derivada é uma função do segundo grau (umaparábola com
concavidade voltada para cima), a análise do seu sinal é bastante simples e
bem conhecida do EnsinoMédio: é negativa entre as raízes, ]1, 3[ e positiva
fora delas. Veja a tabela abaixo:
187
Sinal de f ′(x) A função é... O ponto é...
] −∞, 1[ + crescente
]1, 3[ − decrescente
1 máximo local
]3,+∞[ + crescente
3 mínimo local
Exemplo 16.3.3. Seja f (x) =
x2 − 4 x < 38 − x x ≥ 3. Ache os pontos de máximo e
mínimo locais, assim como os intervalos de crescimento e decrescimento
da função.
Solução: Passo 1: encontrar os pontos críticos e os pontos onde a
derivada não existe. Para isso, vamos encontrar a derivada da função:
f ′(x) =
2x x < 3−1 x ≥ 3.
Note que a derivada não existe em x = 3, pois lim
x→3−
f ′(x) = 6 e lim
x→3+
f ′(x) =
−1. Para achar os pontos críticos, fazemos f ′(x) = 0 e vemos que a única
possibilidade é x = 0.
Passo 2: Aplicar o teste da primeira derivada nos pontos x1 = 3, onde
a derivada não existe, e x2 = 0, o ponto crítico. Além disso, determinar os
intervalos de crescimento e decrescimento de f . Resumimos o resultado
na tabela abaixo. Veja a seguir o gráfico da função em questão.
Sinal de f ′(x) A função é... O ponto é...
] −∞, 0[ − decrescente
]0, 3[ + crescente
0 mínimo local
]3,+∞[ − decrescente
3 máximo local
188
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4 x
y
mínimo local
máximo local
Observação: Por que o valor f (0) = −4 não é um mínimo global? Porque
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
(8 − x) = −∞,
oquemostra que f podeassumir valores bemmenores que−4globalmente.
De forma análogaf (3) = 5 não é um máximo global.
Exemplo 16.3.4. Suponha que f ′′(x) > 0 em (a, b) e suponha que exista um
c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Prove que f é decrescente em (a, c) e crescente
em (c, b).
Solução: Se f ′′(x) > 0 em (a, b), então f ′(x) é crescente em (a, b). Como
f ′(c) = 0 para um c ∈ (a, b), então devemos ter:
1. f ′(x) < 0 em (a, c),
2. f ′(c) = 0,
3. f ′(x) > 0 em (c, b),
Aplicando o teste da primeira derivada, concluímos:
• f é decrescente em (a, c),
• f é crescente em (c, b),
• Portanto, c é ponto de máximo local.
189
Exemplo 16.3.5. Prove que g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x + 10 admite uma única
raiz real a com −3 < a < −2.
Solução:
• Cálculo de g ′(x): g ′(x) = 24x2 + 60x + 24.
• Achar os valores de x para os quais g ′(x) = 0: basta encontrar as
raízes da equação 24x2 + 60x + 24 = 0⇐⇒ x1 = −2 e x2 = −1/2.
• Achar os intervalos de crescimento e decrescimento de g:
Sinal de g ′(x) A função é... O ponto é...
] −∞,−2[ + crescente
] − 2,−1/2[ − decrescente
−2 máximo local
] − 1/2,+∞[ + crescente
3 mínimo local
Além disso, observe que:
– lim
x→−∞
g(x) = −∞ e g(−2) = 18 > 0,
– que g(x) é contínua em todos os x ∈ R e
– que g(x) é crescente em ] −∞,−2[.
Usando o Teorema do Valor Intermediário, podemos concluir que
g(x) tem uma única raiz no intervalo ] − ∞,−2[ Observando mais
ainda que g(−3) = −8 < 0 e que g(−2) = 18 > 0, segue que a função
g(x) tem uma única raiz real no intervalo ] − 3,−2[.
16.4 Máximos emínimos em intervalos fechados
O próximo teorema garante a existência de máximos e mínimos sob
certas condições.
Teorema 16.4.1 (Teorema de Weierstrass). Seja f : [a, b] 7→ R uma função
contínua definida num intervalo fechado. Então f assume máximo e mínimo
globais em [a, b].
190
Procedimento para encontrar máximos e mínimos em inter-
valos fechados
Seja f uma função contínua em [a.b] e derivável em (a, b). Para encontrar
o máximo e mínimo de f em [a, b], efetuamos os seguintes passos:
Passo 1: Achar em [a, b] todos os pontos críticos de f e os pontos onde a
derivada não existe: x1, x2, . . . xn.
Passo 2: Calcular f (x1), f (x2), . . . f (xn), f (a), f (b);
Passo 3: O maior entre estes valores será o máximo em de f em [a, b] e o
menor valor será o mínimo de f em [a, b].
Exemplo 16.4.1. Ache os valores máximo emínimo de f (x) = (x2−8x+12)4
no intervalo [−10, 10].
Solução:
Passo 1: A função é derivável em todos os pontos. Vamos agora encontrar
os pontos críticos: f ′(x) = 8(x2 − 8x + 12)3(x − 4) e f ′(x) = 0⇐⇒ x = 6, x =
2, x = 4.
Passo 2: Calcular f (2), f (4), f (6), f (−10), f (10):
x -10 2 4 6 10
f (x) (192)4 0 (−4)4 0 (32)4
Passo 3: Logo, podemos ver que o valor máximo de f é (192)4 e o ponto
de máximo é x = −10. O valor mínimo de f é zero e os pontos de mínimo
são x = 2 e x = 6.
Exemplo 16.4.2. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser cons-
truídade formaqueo seuvolume seja 2500m3. Omaterial da base vai custar
1500, 00/m2 e o material dos lados, 980, 00/m2. Encontre as dimensões da
caixa de forma que o custo do material seja mínimo.
Solução: Queremosminimizar a função custo. Precisamos primeiramente
escrever a função custo. Chamamos de x o lado da base quadrada da caixa
e de y, a altura. A caixa tem uma base de área x2 e 4 lados retangulares de
área xy. A área total da caixa é A = x2 + 4xy. Desta forma, o custo será:
C = x2 · 1200 + 4xy · 980.
Sabemos também que o volume é 2500m3, isto é,
V = x2 · y = 2500 ⇒ y = 2500
x2
.
191
Substituindo este y na função custo, teremos:
C(x) = 1200 x2 +
9800000
x
.
Vamos agora encontrar a derivada da função custo juntamente com os
pontos críticos e os pontos onde a derivada não existe:
C ′(x) = 2400x − 9800000
x2
.
C ′(x) = 0 ⇐⇒ x = 15, 983m
e observe que C ′′(15, 983) > 0, mostrando que x = 15, 983m é um ponto de
mínimo. Logo, as dimensões da caixa são x = 15, 983m e y = 9.785m.
Exemplo 16.4.3. Determine o ponto P(x, y) sobre o gráfico da hipérbole
xy = 1 que está mais próximo da origem.
Solução: Queremos minimizar a função distância do ponto P(x, y) à
origem, d(x, y) =
√
x2 + y2. Como o ponto P(x, y) está sobre a hipérbole
xy = 1, segue que y = 1/x. Substituindo y na função distância, obtemos
assim uma nova função dependente apenas de x:
d(x) =
√
x2 +
1
x2
cuja derivada é d ′(x) =
x − x−3√
x2 + 1
x2
. Resolvendo d ′(x) = 0, encontramos os
pontos críticos que são x = ±1. Se x = 1 ⇒ y = 1 e se x = −1 ⇒ y = −1.
Nos dois casos, a distância é
√
2.
Mas x = 1 e x = −1 são mesmo pontos de mínimo ? Para resolver
esta questão, aplicamos o teste da segunda derivada que será explicado na
próxima seção.
16.5 Teste da segunda derivada
192
Teorema 16.5.1 (Critério da segunda derivada para determinação de extre-
mos de uma função). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um
ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ′(c) = 0, a < c < b. Se f é derivável até
segunda ordem em (a, b), então:
1. Se f ′′(c) < 0, f tem um valor máximo local em c.
2. Se f ′′(c) > 0, f tem um valor mínimo local em c.
Demonstração.
1. Temos que:
• f ′(c) = 0;
• f ′′(c) existe;
• f ′′(c) < 0, isto é, lim
x→c
f ′(x) − f ′(c)
x − c < 0.
Assim, dado que f ′ é contínua em c, existe um ǫ > 0 tal que
lim
x→c
f ′(x) − f ′(c)
x − c < 0, ∀x ∈ (c − ǫ, c + ǫ).
Como f ′(c) = 0, a expressão acima fica igual a
lim
x→c
f ′(x)
x − c < 0, ∀x ∈ (c − ǫ, c + ǫ) (16.4)
Vamos dividir agora este invervalo da seguinte forma: I1 = (c − ǫ, c)
e I2 = (c, c + ǫ). Se x ∈ I1, então x − c < 0 e da equação (16.4) resulta
que f ′(x) > 0. Se x ∈ I2, então x − c > 0 e da equação (16.4) resulta
que f ′(x) < 0. Pelo critério da primeira derivada, f tem um máximo
local em c, como queríamos demonstrar.
2. A demonstração da segunda parte é análoga e fica como exercício.
�
193
Exemplo 16.5.1. Encontre osmáximos e osmínimos locais da função f (x) =
−4x3 + 3x2 + 18x aplicando o critério da segunda derivada.
Solução:
Passo 1: Primeiramente encontramos os pontos críticos da função
f , isto é, os pontos x tais que f ′(x) = 0. Derivando a função: f ′(x) =
−12x2 + 6x + 18. Igualando a zero: −12x2 + 6x + 18 = 0, encontramos os
pontos críticos: x1 = −1 e x2 = 3/2.
Passo 2: A seguir, vericamos o sinal da segunda derivada: f ′′(x1) e
f ′′(x2):
f ′′(x) = −24x + 6 ⇒ f ′′(−1) > 0 e f ′′(3/2) < 0.
Pelo teste da segunda derivada, f tem um mínimo local em −1 e um
máximo local em 3/2.
16.6 Concavidade e pontos de inflexão
Seja y = f (x) uma função derivável em (a, b). Se chamarmos de T(x) a
equação tangente ao gráfico de f em x = x0, então:
T(x) = f (x0) + f ′(x0) (x − x0).
Definição 16.6.1 (Concavidade para cima). Dizemos que f tem concavi-
dade voltada para cima no intervalo (a, b) se f (x) ≥ T(x), para todo o
x ∈ (a, b). Veja a figura abaixo à direita.
Definição 16.6.2 (Concavidade para baixo). Dizemos que f tem concavi-
dade voltada para baixo no intervalo (a, b) se f (x) ≤ T(x), para todo o
x ∈ (a, b). Veja a figura abaixo à esquerda.
194
x
y
ba x0
y = f (x)
T(x)
x
y
ba x0
y = f (x)
T(x)
Teorema 16.6.1 (Sobre concavidade). Seja y = f (x) derivável até segunda
ordem no intervalo (a, b).
1. Se f ′′(x) > 0, então f terá concavidade voltada para cima;
2. Se f ′′(x) < 0, então f terá concavidade voltada para baixo.
Demonstração.
1. Seja x0 ∈ (a, b). Precisamos mostrar que f (x) ≥ T(x), para todo o
x ∈ (a, b), onde T(x) = f (x0)+ f ′(x0) (x−x0) é a reta tangente ao gráfico
de f em x0. Seja g(x) = f (x) − T(x) para todo o x ∈ (a, b). Temos:
g ′(x) = f ′(x) − T ′(x) = f ′(x) − f ′(x0), ∀x ∈ (a, b).
Como f ′′(x) > 0 em (a, b), f ′ é crescente em (a, b). Então:
• g ′(x) < 0 para x < x0 e
• g ′(x) > 0 para x > x0,
isto é, g é decrescente em x < x0 e crescente em x > x0 e como
g ′(x0) = 0, segue que x0 é ponto de mínimolocal. Como, além disso,
g(x0) = 0, segue que g(x) ≥ 0 para todo o x ∈ (a, b).
195
2. A demonstração da segunda parte é feita de forma análoga e é dei-
xada como exercício.
�
Definição 16.6.3 (Pontos de inflexão). O ponto (x0, f (x0)) será um ponto de
inflexão do gráfico de f se o gráfico tiver uma reta tangente neste ponto e
se existir um intervalo aberto I contendo x0 tal que se x ∈ I, então:
• f ′′(x) < 0, se x < x0 e f ′′(x) > 0, se x > x0 ou
• f ′′(x) > 0, se x < x0 e f ′′(x) < 0, se x > x0.
Em outras palavras, o gráfico de f tem concavidades diferentes em x < x0
e em x > x0.
Teorema16.6.2 (Sobrepontosde inflexão). Seja y = f (x) derivável até segunda
ordem no intervalo (a, b). Seja x0 ∈ (a, b) tal que (x0, f (x0)) seja um ponto de
inflexão. Então f ′′(x0) = 0.
Demonstração. Seja g(x) = f ′(x). Então g ′(x) = f ′′(x). Como (x0, f (x0)) é
um ponto de inflexão do gráfico de f em x0, segue que g ′ muda de sinal
em x0. Pelo teste da primeira derivada, g ′ assume um extremo local em x0
e portanto, g ′(x0) = 0, isto é, f ′′(x0) = 0, como queríamos demonstrar.
�
Exemplo 16.6.1. Ache o(s) pontos(s) de inflexão do gráfico de f (x) = x3 −
6x2+ 9x+ 1 e determine os intervalos onde o gráfico tem concavidade para
cima e para baixo e os extremos locais.
Solução:
Determinar os pontos críticos:
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 3.
196
Determinar os extremos locais usando o teste da segunda derivada:
f ′′(x) = 6x − 12 ⇒ f ′′(1) < 0 e f ′′(3) > 0,
isto é, x1 = 1 é um ponto de máximo local e x2 = 3 é um ponto de mínimo
local.
Determinar os pontos de inflexão:
f ′′(x) = 6x − 12 = 0 ⇒ x = 2,
isto é x = 2 é um ponto de inflexão.
Determinar o intervalo com concavidade voltada para baixo:
f ′′(x) = 6x − 12 < 0 ⇒ x < 2.
Determinar o intervalo com concavidade voltada para cima:
f ′′(x) = 6x − 12 > 0 ⇒ x > 2.
16.7 Demonstração dos teoremas
Teorema 16.7.1 (Teorema deRolle). Seja f uma função que satisfaz as seguintes
condições:
1. f é contínua num intervalo fechado [a, b].
2. f é diferenciável num intervalo aberto (a, b).
3. f (a) = f (b).
Então existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
197
Demonstração. Como f é contínua em [a, b], o Teorema de Weierstrass
afirma que f assume um valor máximo e um valor mínimo em [a, b].
Chamaremos o ponto de máximo deM e o ponto de mínimo de m, isto é,
f (m) ≤ f (x) ≤ f (M), ∀x ∈ [a, b].
1. Se f for uma função constante em [a, b], então f (x) = f (a) = f (b),
∀x ∈ [a, b]⇒ f ′(x) = 0,∀x ∈ [a, b] e o teorema fica provado.
2. Agora considere f (x) , f (a) para algum x ∈ (a, b). Neste caso, ou
m ou M é diferente das extremidades. Vamos considerar M , a e
M , b. Como M é ponto de máximo e está no interior de (a, b) onde
f é derivável, segue que f ′(M) = 0. Fazemos c = M e o teorema está
provado.
�
Teorema 16.7.2 (Teorema do Valor Médio (TVM)). Seja f uma função contí-
nua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a . (16.5)
Demonstração. Chamaremosde h(x) a reta quepassa porA(a, f (a)) e (b, f (b)):
h(x) − f (a) = f (b) − f (a)
b − a (x − a) ⇐⇒ h(x) =
f (b) − f (a)
b − a (x − a) + f (a)
Note que h(x) é polinomial. Logo é contínua e derivável em todos os
pontos. Seja agora a função g(x) = f (x) − h(x). Temos que:
1. g(x) é contínua em [a, b],
2. g(x) é derivável em (a, b),
3. g(a) = f (a) − h(a) = f (a) − f (a) = 0,
g(b) = f (b) − ( f (b) − f (a)) − f (a) = 0,
⇒ g(a) = g(b).
198
Assim, a função g satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle. Então existe
um c ∈ (a, b) tal que g ′(c) = 0. Mas g ′(x) = f ′(x)−h ′(x) = f ′(x)− f (b) − f (a)
b − a .
Portanto,
g ′(c) = f ′(c) − f (b) − f (a)
b − a = 0 ⇒ f
′(c) =
f (b) − f (a)
b − a ,
isto é, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em c é igual ao
coeficiente angular da reta secante que liga o ponto A ao ponto B.
�
16.8 Exercícios
1. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor
Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c ∈ (a, b), tal
que f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a .
(a) f (x) =
1
x
em (2, 3). Resp: Sim. c =
√
6.
(b) f (x) =
1
x
em (−1, 3). Resp: Não.
(c) f (x) = x3 em (0, 4). Resp: Sim. c =
4√
3
.
(d) f (x) = x3 em (−2, 0). Resp: Sim. c = − 2√
3
.
(e) f (x) = cos x em (0, π/2). Resp: Sim. c = arcsen(
2
π
)
(f) f (x) = tg x em (π/4, 3π/4). Resp: Não.
(g) f (x) = tg x em (0, π/4). Resp: Sim. c = arccos(
√
π
2
).
(h) f (x) =
√
1 − x2 em (−1, 0). Resp: Sim. c = arccos(
√
2
2
).
(i) f (x) = 3
√
x em (−1, 1). Resp: Não.
(j) f (x) = |x| em (−1, 1). Resp: Não.
199
2. A função f (x) = x2/3 − 1 é tal que f (−1) = f (1) = 0. Por que ela
não verifica o Teorema de Rolle no intervalo [−1, 1]? Resp: Não é
diferenciável em x = 0.
3. Seja f (x) = −x4 + 8x2 + 9. Mostrar que f satisfaz as condições do
Teorema de Rolle no intervalo [−3, 3] e determine os valores de c ∈
(−3, 3) para os quais f ′(c) = 0. Resp: c = 0,−2, 2.
4. Usando o Teorema do Valor Médio, provar que:
(a) | sen θ − sen α| ≤ |θ − α|, ∀θ, α ∈ R.
(b) sen θ ≤ θ, θ ≥ 0.
5. Para cada função dada abaixo: (a) Faça um esboço do gráfico, (b)
verifique as hipóteses do Teorema de Rolle, (c) se as condições do
Teorema de Rolle forem todas satisfeitas, determine um ponto no
qual o gráfico da função tem uma reta tangente horizontal.
(a) f (x) =
3x + 6, se x < 1x − 4, se x ≥ 1. , [−2, 4]. Resp: Não verifica o Teo.
Rolle.
(b) f (x) =
x2 − 4, se x < 15x − 8, se x ≥ 1. , [−2, 8/5]. Resp: Não verifica o Teo.
Rolle.
(c) f (x) = 1 − |x|, [−1, 1]. Resp: Não verifica o Teo. Rolle.
6. Para cada uma das seguintes funções, não existe um número c ∈ (a, b)
que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio. Determine
quais das hipóteses do Teorema do Valor Médio não são satisfeitas:
(a) f (x) =
4
(x − 3)2 , a = 1, b = 6.
(b) f (x) =
2x − 1
3x − 4, a = 1, b = 2.
(c) f (x) = 3(x − 4)2/3. a = −4, b = 5.
(d) f (x) =
2x + 3, se x < 3−2x + 15, se x ≥ 3. , a = −1 e b = 5.
200
7. Se f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x, então f ′(x) = 4x3 − 6x2 + 4x − 1. Prove
usando o Teorema de Rolle que a equação 4x3 − 6x2 + 4x − 1 = 0 tem
pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1).
8. Prove, pelo Teorema de Rolle, que a equação x3 + 2x+ c = 0, onde c é
uma constante qualquer, não pode ter mais que uma raiz real.
9. Determinar os pontos críticos e os pontos onde a derivada não existe
das seguintes funções.
(a) y = x2 − 3x + 8. Resp: 3/2
(b) y = (x − 2)(x + 4). Resp: −1
(c) y = 3 − x3. Resp: 0.
(d) y = sen x. Resp:
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
(e) y = sen x − cos x. Resp: 3π
4
+ kπ, k ∈ Z.
(f) y = ex − x. Resp: 0
(g) y = (x2 − 9)2/3. Resp: 0; 3;−3.
(h) y =
x
x2 − 4. Resp: não existe.
(i) y = |2x − 3|. Resp: 3/2.
(j) f (x) =
x, x < 0x2 x ≥ 0. . Resp: 0.
10. Determinar os intervalos nos quais as seguintes funções são crescen-
tes e decrescentes.
(a) f (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3). Resp: (−∞,−
√
7/3] ∪ [
√
7/3,+∞)
crescente; [−
√
7/3,
√
7/3] decrescente.
(b) f (x) =
x
2
+ sen x. Resp: [
2π
3
+2nπ,
4π
3
+2nπ], n ∈ Z, decrescente.
(c) f (x) = 2x. Resp: sempre crescente.
(d) f (x) = e−x. Resp: sempre decrescente.
(e) f (x) = xe−x. Resp: (−∞, 1] crescente; [1,+∞) decrescente.
201
(f) f (x) =
x2
x − 1. Resp: (−∞, 0] ∪ [2,+∞) crescente; [0, 1) ∪ (1, 2]
decrescente.
(g) f (x) = x +
1
x
. Resp: (−∞,−1] ∪ [1,+∞) crescente; [−1, 0) ∪ (0, 1]
decrescente.
(h) f (x) = ex sen x, x ∈ [0, 2π]. Resp: [0, 3π
4
] ∪ [7π
4
, 2π] crescente;
[
3π
4
,
7π
4
] decrescente.
11. Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções nos inter-
valos indicados.
(a) f (x) = 1 − 3x, [−2, 2]. Resp: 7;−5.
(b) f (x) = x2 − 4, [−1, 3]. Resp: 5;−4.
(c) f (x) = x3 − x2,[0, 5]. Resp: 100;−4/27.
(d) f (x) =
x
1 + x2
, [−2, 2]. Resp: 1/2;−1/2.
(e) f (x) = |x − 2|, [1, 4]. Resp: 2; 0.
(f) f (x) = cos 3x, [0, 2π]. Resp: 1;−1
(g) f (x) = cos 2x, [0, 2π]. Resp: 1; 0.
12. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos
e os mínimos relativos das seguintes funções.
(a) f (x) = 2x + 5. Resp: Não tem extremo relativo.
(b) f (x) = 3x2 + 6x + 1. Resp: −1 é ponto de mínimo local.
(c) f (x) = 4x3 − 8x2. Resp: 0 é ponto de máximo e 4/3 é ponto de
mínimo.
(d) f (x) =
x − 1
x + 1
. Resp: Não tem extremo relativo.
(e) f (x) = x + 1/x. Resp: −1 é ponto de máximo e −1 é ponto de
mínimo.
(f) f (x) = xex. Resp: −1 é ponto de mínimo.
(g) f (x) =
1√
x
. Resp: Não tem extremo relativo.
202
(h) f (x) =
x + 4, x ≤ −2x2 − 2 x > −2. . Resp: 0 é ponto demínimo e−2 é ponto
de máximo.
(i) f (x) =
x + 1, x < −11 − x2 x ≥ −1. . Resp: 0 é ponto de máximo.
13. Mostrar que y =
loga x
x
tem seu valor máximo em x = e para todos os
números a > 1.
14. Determinar os coeficientes a e b de forma que f (x) = x3+ ax2+ b tenha
um extremo relativo no ponto (−2, 1). Resp: a = 3; b = −3.
15. Encontrar a, b, c e d tal que f (x) = 2ax3 + bx2 − cx + d tenha pontos
críticos x = 0 e x = 1. Se a > 0, qual deles é de máximo e qual é de
mínimo? Resp: a é qualquer real; b = −3a, c = 0, d é qualquer real.
16. Demonstrar que a função f (x) = ax2 + bx + c, x ∈ R, tem máximo se,
e somente se, a < 0; e mínimo se, e somente se, a > 0.
17. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as
funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(a) f (x) =
1
x + 4
. Resp: não existe; (−4,+∞) côncava para cima;
(−∞,−4) côncava para baixo;
(b) f (x) = 2xe−3x. Resp: (2/3, f (2/3)); (2/3;+∞) côncava para cima;
(−∞, 2/3) côncava para baixo;
(c) f (x) = x2ex. Resp: (−2 ±
√
2, f (−2 ±
√
2)); (−∞,−2 −
√
2) ∪ (−2 +√
2,+∞) côncava para cima; (−2 −
√
2,−2 +
√
2) côncava para
baixo.
(d) f (x) =
x2 + 9
(x − 3)2 . Resp: (−6, f (−6)); (−6,+∞) côncava para cima;
(−∞,−6) côncava para baixo;
(e) f (x) = e−x cos x, x ∈ [0, 2π]. Resp: (π, f (π)); (0, π) côncava para
cima; (π, 2π) côncava para baixo.
203
(f) f (x) =
2x − x2, x < 1x x ≥ 1. . Resp: não existe; (−∞, 1) côncava para
baixo.
(g) f (x) =
x2 − 4, x ≤ 24 − x2 x > 2. . Resp: (2, 0); (−∞, 2) côncava para cima;
(2,+∞) côncava para baixo.
204
Aula 17
Regras de L’Hospital
As Regras de L’Hospital são muito úteis para calcular limites que apre-
sentam indeterminações do tipo 0/0 e ∞/∞. A seguir, enunciaremos as
regras e veremos alguns exercícios de aplicação.
Teorema 17.0.1 (Regras de L’Hospital). Sejam f e g funções deriváveis num
intervalo aberto I, exceto possivelmente num ponto a ∈ I. Suponhamos que
g ′(x) , 0 para todo o x ∈ I com x , a,
0/0: Se lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = 0 e lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
= L, então lim
x→a
f (x)
g(x)
= L.
∞/∞: Se lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = ±∞ e lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
= L, então lim
x→a
f (x)
g(x)
= L.
Exemplo 17.0.1. Determine o limite lim
x→0
2x
ex − 1.
Solução: Note que lim
x→0
2x = 0 e lim
x→0
(ex − 1) = 0. Vamos aplicar a regra de
L’Hospital para resolver a indeterminação do tipo 0/0:
lim
x→0
2x
ex − 1 = limx→0
[2x] ′
[ex − 1] ′ = limx→0
2
ex
= 2.
Exemplo 17.0.2. Determine o limite lim
x→0
sen x − x
ex + e−x − 2.
205
Solução: Note que lim
x→0
( sen x−x) = 0 e lim
x→0
(ex+ e−x−2) = 0. Vamos aplicar
a regra de L’Hospital para resolver a indeterminação do tipo 0/0:
lim
x→0
sen x − x
ex + e−x − 2 = limx→0
[ sen x − x] ′
[ex + e−x − 2] ′ = limx→0
cos x − 1
ex − e−x .
Como no último limite ainda temos uma indeterminação do tipo 0/0, apli-
camos novamente a regra de L’Hospital a este novo limite:
lim
x→0
cos x − 1
ex − e−x = limx→0
[ cos x − 1] ′
[ex − e−x] ′ = limx→0
− sen x
ex + e−x
=
0
2
= 0.
Logo, lim
x→0
sen x − x
ex + e−x − 2 = 0.
Exemplo 17.0.3. Determine o limite lim
x→+∞
ex − 1
x3 + 4x
.
Solução: Note que lim
x→0
(ex − 1) = +∞ e lim
x→0
(x3 + 4x) = +∞. Vamos aplicar a
regra de L’Hospital para resolver a indeterminação do tipo∞/∞:
lim
x→+∞
ex − 1
x3 + 4x
= lim
x→+∞
ex
3x2 + 4
= lim
x→+∞
ex
6x
= lim
x→+∞
ex
6
= +∞.
Exemplo 17.0.4. Determine o limite lim
x→+∞
(3x + 9)1/x.
Solução: Note que este limite temuma indeterminação do tipo∞0. Vamos
transformá-la numa indeterminação do tipo∞/∞ e a seguir aplicar a regra
de L’Hospital. Seja
L = lim
x→+∞
(3x + 9)1/x ⇒ lnL = ln
(
lim
x→+∞
(3x + 9)1/x
)
.
Pela propriedade de limite,
lnL = lim
x→+∞
ln(3x + 9)1/x = lim
x→+∞
1
x
ln(3x + 9) = lim
x→+∞
ln(3x + 9)
x
.
Este último limite tem uma indeterminação do tipo ∞/∞. Aplicando a
regra de L’Hospital, temos:
lim
x→+∞
ln(3x + 9)
x
= lim
x→+∞
3/(3x + 9)
1
= lim
x→+∞
3
3x + 9
= 0.
Assim, lnL = 0, e portanto L = 1, isto é, lim
x→+∞
(3x + 9)1/x = 1.
206
17.1 Exercícios
1. Determine os seguintes limites o auxílio das regras de L’Hospital.
(a) lim
x→2
x2 − 4x + 4
x2 − x − 2 . Resp: 0
(b) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 4x + 3
. Resp: −2
(c) lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
. Resp: 6/5.
(d) lim
x→1/2
2x2 + x − 1
4x2 − 4x + 1. Resp: ∞
(e) lim
x→+∞
x2 − 6x + 7
x3 + 7x − 1. Resp: 0
(f) lim
x→−∞
5 − 5x3
2 − 2x3 . Resp: 5/2
(g) lim
x→+∞
ex
x2
. Resp: ∞
(h) lim
x→+∞
x99
ex
. Resp: 0
(i) lim
x→0
x
ex − cos x . Resp: 1
(j) lim
x→+∞
x2(e1/x − 1). Resp: ∞
(k) lim
x→π/2
cos x
(x − π/2)2 . Resp: ∞
(l) lim
x→+∞
2x
2x − 1. Resp: 1
(m) lim
x→+∞
ln
x
x + 1
. Resp: 0.
(n) lim
x→+∞
ln x
3
√
x
. Resp: 0
(o) lim
x→0
(1 − cos x) cot x. Resp: 0
(p) lim
x→1
ln x(ln(x − 1)). Resp: 0
(q) lim
x→0+
x sen x. Resp: 1
207
(r) lim
x→+∞
x ln x
x + ln x
. Resp: ∞
(s) lim
x→0+
(ex + x)1/x. Resp: e2.
208
Aula 18
Gráficos de funções
Neste capítulousaremos toda a teoria dederivadas e o estudodevalores
extremos para construir o gráfico de uma função dada qualquer. A seguir,
faremos uma breve revisão do conceito de retas assíntotas ao gráfico de
uma função.
18.1 Assíntotas verticais e horizontais
Definição 18.1.1 (Assíntota vertical). A reta x = a é uma assíntota vertical
de y = f (x) se, pelo menos uma das seguintes condições, for satisfeita:
1. lim
x→a+
f (x) = +∞;
2. lim
x→a+
f (x) = −∞;
3. lim
x→a−
f (x) = +∞;
4. lim
x→a−
f (x) = −∞.
Exemplo 18.1.1. A reta x = 2 é uma assíntota vertical ao gráfico da função
f (x) =
1
(x − 2)2 .
Solução: Note que lim
x→2
1
(x − 2)2 = +∞. Como basta uma condição ser
satisfeita, concluímos que x = 2 é uma assíntota vertical ao gráfico de f .
Veja o gráfico abaixo.
209
Definição 18.1.2 (Assíntota horizontal). A reta y = b é uma assíntota ho-
rizontal ao gráfico da função y = f (x) se pelo menos uma das seguintes
afirmações for verdadeira:
1. lim
x→+∞
f (x) = b;
2. lim
x→−∞
f (x) = b.
Exemplo 18.1.2. As retas y = 1 e y = −1 são retas assíntotas horizontais do
gráfico de f (x) =
x√
x2 + 2
.
Solução: Note que:
lim
x→+∞
x√
x2 + 2
= lim
x→+∞
x√
x2(1 + 2/x2)
= lim
x→+∞
x
|x| √1 + 2/x2
= 1,
mostrando que y = 1 é uma assíntota horizontal. Além disso,
lim
x→−∞
x√
x2 + 2
= lim
x→−∞
x√
x2(1 + 2/x2)
= lim
x→−∞
x
|x| √1 + 2/x2
= −1,
isto é, y = −1 é uma assíntota horizontal.
18.2 Passos para a construção de um gráfico
Seja y = f (x) uma função dada qualquer. Para construirmos o gráfico de
f , faremos um estudo do comportamento da função seguindo os seguintes
passos:
1. Determineo domínio de f ;
2. Encontre as retas assíntotas verticais e horizontais, caso existam;
3. Encontre as interseções com o eixo Ox e com o eixo Oy, caso sejam
fáceis de determinar;
4. Encontre os pontos críticos;
210
5. Determine os intervalos de cresimento e decrescimento de f ;
6. Encontrar os pontos de máximo e mínimo locais de f ;
7. Determine a concavidade e os pontos de inflexão;
8. Esboçar o gráfico com as informações acima.
Exemplo 18.2.1. Construa o gráfico da função y = f (x) = 3x4−8x3+6x2+2.
Solução: Para esboçar o gráfico de f , vamos efetuar cada um dos passos
do procedimento descrito acima.
Passo 1: Domínio = R.
Passo 2: Não há assíntotas verticais e também não há assíntotas hori-
zontais, pois lim
x→+∞
f (x) = +∞ e lim
x→−∞
f (x) = +∞.
Passo 3: Interseção com o eixoOy: y = 2. As interseções com o eixoOx
é mais trabalhoso para encontrar e por isso não será determinado.
Passo 4: Pontos críticos.
f ′(x) = 12x3 − 24x2 + 12x = 0 ⇐⇒ x1 = 0 e x2 = 1.
Passo 5: Determinar os intervalos de cresimento e decrescimento de f :
f ′(x) > 0 quando x(x − 1)2 > 0⇐⇒ x > 0 e
f ′(x) < 0 quando x(x − 1)2 < 0⇐⇒ x < 0.
Daí, a função f cresce no intervalo (0,+∞) e decresce no intervalo (−∞, 0).
Passo 6: Concavidade e pontos de inflexão.
f ′′(x) = 36x2 − 48x + 12 = 0⇐⇒ x1 = 1 e x2 = 1/3
são pontos de inflexão. Assim, f ′′(x) < 0 em ]1/3, 1[ e f ′′(x) > 0 em
] − ∞, 1/3[ e ]1,+∞[. Então f tem concavidade voltada para cima em
] − ∞, 1/3[ e ]1,+∞[ e tem concavidade voltada para baixo em ]1/3, 1[.
Note que o ponto de abscissa 1/3 é um ponto de inflexão porque divide
duas regiões com concavidades distintas.
Passo 7: Encontrar os extremos locais. Substituindo os pontos críticos
em f ′′(x), temos:
f ′′(0) = 12 > 0 logo, 0 é ponto de mínimo local.
e já vimos que x = 1 é ponto de inflexão.
Resumimos o estudo da função f na seguinte tabela:
211
x f (x) Conclusão
(−∞, 0) f decresce
(0,+∞) f cresce
0 2 é ponto de mínimo local
(−∞, 1/3) concavidade para cima
(1/3, 1) concavidade para baixo
1/3 ponto de inflexão
(1/3,+∞) concavidade para cima
1 3 ponto de inflexão
x
y
1
3
f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
10
2
3
212
Exemplo 18.2.2. Construa o gráfico da função y = f (x) =
x2
x − 3.
Solução: Para esboçar o gráfico de f , vamos efetuar cada um dos passos
do procedimento descrito acima.
Passo 1: Domínio = R − {3}.
Passo 2: Não há assíntotas horizontais. A reta x = 3 é uma assíntota
vertical:
lim
x→3−
x2
x − 3 = −∞ e limx→3+
x2
x − 3 = ∞
Passo 3: Interseção com o eixo Oy: f (0) = 0.
Passo 4: Pontos críticos.
f ′(x) =
x(x − 6)
(x − 3)2 = 0 ⇐⇒ x1 = 0 e x2 = 6.
Passo 5: Determinar os intervalos de cresimento e decrescimento de f :
f ′(x) > 0 quando
x(x − 6)
(x − 3)2 > 0⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (6,+∞) e
f ′(x) < 0 quando
x(x − 6)
(x − 3)2 < 0⇐⇒ 0 < x < 6.
Daí, a função f cresce em (−∞, 0) ∪ (6,+∞) e decresce no intervalo (0, 6).
Passo 6: Concavidade e pontos de inflexão.
f ′′(x) =
18x − 54
(x − 3)4 = 0⇐⇒ x = 3,
mas a função não está definida em x = 3. Assim, f ′′(x) < 0 em ] − ∞, 3[
e f ′′(x) > 0 em ]3,+∞[. Então f tem concavidade voltada para baixo em
] −∞, 1/3[ e ]1,+∞[ e tem concavidade voltada para cima.
Passo 7: Encontrar os extremos locais. Substituindo os pontos críticos
em f ′′(x), temos:
f ′′(0) < 0 logo, 0 é ponto de máximo local e
f ′′(6) > 0 logo, 0 é ponto de mínimo local.
Resumimos o estudo da função f na seguinte tabela:
213
x f (x) Conclusão
(−∞, 0) f cresce
0 0 ponto de máximo local
(0, 6) f decresce
(6,+∞) f cresce
6 12 ponto de mínimo local
x→ 3− f (x)→ −∞ assíntota vertical
x→ 3+ f (x)→∞ assíntota vertical
(−∞, 3) concavidade para baixo
(3,+∞) concavidade para cima
x
y
3
f (x) =
x2
x − 3
60
−3
12
3
214
18.3 Exercícios
1. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das se-
guintes funções:
(a) f (x) =
4
x − 4. Resp: y = 0
(b) f (x) =
−3
x + 2
. Resp: y = 0; x = −2.
(c) f (x) =
4
x2 − 3x + 2. Resp: y = 0; x = 2; x = 1
(d) f (x) =
4
(x − 3)(x + 4). Resp: y = 0; x = 2, x = −4
(e) f (x) =
1√
x + 4
. Resp: 15e. y = 0; x = −4
(f) f (x) =
2x2√
x2 − 16
. Resp: x = ±4
(g) f (x) = e1/x. Resp: y = 1; x = 0.
(h) f (x) = ex − 1. Resp: y = −1
(i) f (x) = ln x. Resp: x = 0.
2. Esboçar o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) = x4 − 32x + 48.
(b) f (x) = x + 2/x.
(c) f (x) =
2x
x + 2
.
(d) f (x) =
3x + 1
(x + 2)(x − 3).
(e) f (x) =
2
x2 − 2x − 3.
(f) f (x) =
4√
x + 2
.
(g) f (x) = x3/2.
(h) f (x) = ex−x
2
.
215
(i) f (x) = ln(2x + 3).
(j) f (x) = ln(x2 + 1).
216
Bibliografia
[1] Anton, H; Bivens, I e Davis, S. Cálculo: um novo horizonte. 8. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2007.
[2] Flemming, Diva e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A. 6. ed. São
Paulo: Makron Books, 2007. 617p.
[3] Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo Vol. 1. 5. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2001. 635p.
[4] Leithold, Louis O Cálculo com Geometria Analítica 1. 3. ed. São
Paulo: Harbra, 1994. 685p.
[5] Marsden, Jerrold e Weinstein, Alan Calculus I. 2. ed. Nova York:
Springer-Verlag, 1985. 335p.
[6] Piskunov,N..Cálculo diferencial e integral 1. 3. ed.Moscou: Editora
MIR, 1977. 519p.
[7] Simmons, George. Calculus with Analytic Geometry. 2. ed. Nova
York: McGraw-Hill, 1996. 886p.
[8] Stewart, James. Cálculo 1. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Lear-
ning, 2006. 707p.
217