Teoria dos conjuntos

Prévia do material em texto

Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Conjuntos
Elementos da teoria dos Conjuntos
Conceitos primitivos:
Conjunto 
Elemento 
A relação de pertinência entre elemento e conjunto dada pela expressão “pertence a”
Os conjuntos são representados por letras latinas maiúsculas.
Os elementos por letras latinas minúsculas.
A relação de pertinência usa os símbolos “” pertence, e também ““ não pertence.
Conjunto determinado pela designação de seus elementos:
Exemplo:
{3 ,4 , 5} indica o conjunto formado pelos números 3, 4 e 5.
{a, e ,i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais.
Esta notação pode ser usada tanto para conjuntos finitos como para conjuntos infinitos.
Exemplo:
{1, 2, 3, 4, ...} conjunto dos números naturais (infinito)
{2, 4 ,6, 8 , ...} conjunto dos números positivos pares (infinito).
Conjunto determinado pela propriedade de seus elementos:
Genérico {x tal que x tem a propriedade P}, no caso “tal que” pode ser abreviado por t.q. ou |.
Exemplo:
{x | x é real e x >2}
{x | x é aluna desta classe e x tem blusa vermelha}
{x | x é número natural e x é ímpar}
Outras notações:
“e” = “ ” ; “ou” = “ “ ;“>” = maior ;“<” = menor ; “” = menor ou igual ; “” = maior ou igual
Conjunto unitário e conjunto vazio:
Seja o conjunto dos inteiros tal que x + 8 = 10, é claro que o conjunto só possui o elemento 2. Daí escrevemos:
{x | x é inteiro e x + 8 = 10} ou {2}
Agora se queremos o conjunto das soluções reais tais que x2 + 1 = 0, encontramos um conjunto que não possui elementos.
{x | x é real e x2 + 1 = 0} não tem elementos.
Conjuntos com um só elemento são chamados de unitários.
Conjuntos que não tem elementos são chamados de vazios, e são representados por { } ou .
Conjunto universo:
É o conjunto ao qual pertencem todos elementos com os quais estamos trabalhando, este conjunto é denominado universo.
Para efeito de cálculo na matemática utilizaremos o conjunto dos reais IR.
OBS:
Conjuntos numéricos:
Naturais, representado pela letra IN. IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Inteiros, representado pela letra Z.	 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Racionais, representado pela letra Q. 	 Q = {...; -3;-2,5; -2; -1,8;--1; ; 0; 1; 2, 3, ...}
Irracionais, representados pela letra I.	 I = {, 2,56982548..., }
Reais, representados pela letra IR.	 IR = união de todos anteriores
Complexos, representados pela letra C. C = {x | x é raiz de índice par de número negativo}
Quando o conjunto vier acompanhado de * significa que devemos retirar o zero.
Quando aparecer por exemplo Z + , significa “inteiros não negativos”, ou Z – que significa inteiros não positivos.
Subconjuntos:
Definição: Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B ou A é parte de B ou ainda A está contido em B, se e somente se todos elementos de A, pertencem também a B.
	Usaremos a notação AB ”A está contido em B”.
Simbolicamente a definição acima pode se escrita assim:
AB , que se lê: “A está contido em B, se e somente se, qualquer que seja x, se x pertence a A, então x pertence a B”
Exemplo:
Sejam os conjuntos {3, 4}, {5, 6 ,4} , {6, 4 ,3} e {4, 3}, temos:
{3, 4} {6, 4 ,3}, pois todo elemento do primeiro é elemento do segundo.
{3, 4} {5, 6 ,4}, pois 3 pertence ao primeiro mas não pertence ao segundo.
Propriedade:
Admitimos que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
Todo conjunto A é subconjunto do conjunto universo U;
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
Igualdade de conjuntos:
Definição: um conjunto A é igual a B se e somente se AB e BA (não importando a ordem dos elementos dentro do conjunto)
	Indicamos A = B
Conjunto das partes de um conjunto:
	A partir de um conjunto A podemos sempre pensar num novo conjunto, cujos elementos são os subconjuntos ou partes de A.
Indicaremos esse novo conjunto por IP(A).
Exemplo: Seja o conjunto {a, b, c}, os elementos de IP(a, b, c) são:
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
 		 ou
IP(a, b, c) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Propriedade:
Verifica-se que o número de elementos de um conjunto formado pelas partes de um conjunto A é sempre dado pela fórmula 2n onde n é o número de elementos do conjunto A
Diagrama de Venn- Euler
Ex.:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
União ou reunião de conjuntos
	Chama-se conjunto união de dois conjuntos A e B, o conjunto formado por todos elementos que pertencem a A ou a B.
	Indicamos por: 	AUB 	“A união com B”		OBS.: A + B , também é usado.
Ex:
A = {a, b, c, d} e B = {d, e, f, g}
AUB = {a, b, c, d, e, f, g}
AUB = {x | x A ou xB}
AUB = BUA
A(AUB) e B(AUB)
Se AB, então AUB = B
Interseção de dois conjuntos
	Chama-se interseção de A e B ao conjunto dos elementos que pertencem a A e a B.
	Indicamos por:	AB		“A inter B”	OBS.: A.B ou AB também são usados.
Ex.:
	A = {1, 2, 3, 4, 5}	e	B = {3, 4, 5, 6, 7}
AB = {3, 4, 5}
AB = {x | x A e xB}
AB = BA
(AB)A e (AB)B
Se AB, então AB = A
Diferença entre dois conjuntos
	Chama-se diferença de A e B ao conjunto dos elementos de U que pertencem a A e não pertencem a B.
Indicamos por: A – B “A menos B”
Ex: A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
A – B = {1,2,3}
A – B { e }
(A – B) A e (B – A) B
Complemento
	O complemento de um conjunto A é o conjunto de elementos que não pertencem a A, isto é, a diferença do conjunto U e A
	Indicamos por A’		“complemento de A’, ou não A”
Ex.:
	A = { 0, 1, 2, 3, 4} e U = {x | }
A’ = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
A’ = {x | x U, x A}	ou 	A’ = {x | x A}
A’ U’
AUA’ = U		e		A A” = 
U’ = 		e		’ = U
(A’)’ = A
RELAÇÃO ENTRE LÓGICA E TEORIA DOS CONJUNTOS
A Lógica Proposicional é fundamental no estudo da teoria dos Conjuntos.
Existe uma relação direta entre os operadores lógicos e algumas operações sobre conjuntos. 
Assim, terminamos com a seguinte tabela que mostra tal analogia:
Exercícios TED 5
Determine os elementos dos conjuntos:
A = { x | x2= 9 } 
B = { x | x é letra da palavra "arara"} 
C = { x | x R e x2< 0 } 
D = { x | x N e x 3 } 
Descreva por meio de uma propriedade característica de seus elementos os conjuntos: 
A = { a, e, i, o, u } 
B = { 2, 4, 6, 8, ....} 
C = { r, s, t, u, v, x, z} 
Sejam A= {x, y, z} e B={x}. Escrever com símbolos as seguintes sentenças classificando-as em falsas ou verdadeiras: 
x é elemento de A 
y não pertence a B
B é subconjunto de A
B pertence a A
B está contido em A
Exercícios TED 6
Se A = {a} , B = {a, b} , C = {c, d} , D = { a, b, c} e E = { b, c, d}, determinar quais das seguintes sentenças são verdadeiras, justificando as falsas: 
A D ( ) 
B E ( ) 
D = E ( ) 
C D ( )
B C ( ) 
B D ( ) 
Dados A= {x R | 0 x 4} e B = {xR | 1 x 3} determinar A - B. 
Numa escola com 517 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Física e 112 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se: 
quantos alunos estudam Matemática ou Física? 
quantos alunos estudam Matemática e Física? 
quantos alunos estudam Matemática e não estudam Física?
Exercícios TED 7
Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:
e A 	
 hA	 
iA
cA	
dA
Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:
O conjunto A, dos números primos menores que 10.
O conjunto B, dos pólos geográficos.
O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15.
O conjunto D, dos divisores positivos de 9.
O conjunto E, dos números pares maiores que 7.
Determine os elementos dos seguintes conjuntos:
A = {x | x é número de uma das faces do dado}
B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s}
C = {x | x é numero ímpar compreendido entre 12 e 18}
D = {x | x é consoanteda palavra conjunto}
Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:
A = {1,3,5}
B = {1,2,4,8,16,32}
C = {cheia, nova, minguante, quarto crescente}
D = {trapézio retângulo, trapézio isósceles, trapézio escaleno}
Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
A = {x | x é número natural e x – 2 = 5}
B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}
C = {x | x é número natural primo e par}
D = {x | x é número natural e x . 0 = 2}
Exercícios TED 8
Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2} assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
A C	
DB	
CB
A D
Dados os conjuntos 
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {x | x é número natural e x – 5 = 2}
C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}
Assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
AC
BA
Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos:
A = {x | x é número primo entre 4 e 8}
B = {x | x é numero natural ímpar menor do que 8}
Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto tem 32 elementos, determine o número de elementos do conjunto A.
Dado A ={4, 6}, temos que P(A) = { , {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação, justificando cada afirmação:
4A
4 P(A)
 P(A)
A
AP(A)
Exercícios TED 9
Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:
B
A
B
Aa) AB				b) ABC
C
CDados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine:
AB
AC
BD
(A B) C
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha:
A – B
B – C 
C – B 
A – C
Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
A – B = B – A 	
(A – B) (AB) 
(A – B) A
Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo: 
	Produtos
	A
	B
	C
	A e B
	B e C
	A e C
	A e B e C
	Nenhum
	N.º Consumidores
	100
	150
	200
	20
	40
	30
	10
	130
Determine quantas pessoas: 
foram consultadas.
consomem somente dois produtos. 
não consomem o produto B. 
não consomem A ou não consomem B.