Álgebra Linear parte 2

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1 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES (funções vetoriais lineares) 
 
Sejam 
  ,,,V
 e 
  ,,,W
 espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W 
é uma função (ou aplicação) 
WVT :
 tal que: 
 
)()()( vTuTvuT 
 
 
 
)()( vkTkvT 
 , 
 keVvu,
 
 
Uma transformação linear 
VVT :
 é denominada operador linear. 
 
Dada uma transformação linear 
23: T
, definida por 
  







 zx
yx
zyxT ,
2
,,
 
determinar: 
a) T(0,0,0) = 
 
b) T(1,0,2) = 
 
c) T(1,3,4) = 
 
 
Propriedade I: 
Em toda transformação linear 
WVT :
 a imagem do vetor 
V0
 é o vetor 
W0
, 
isto é T(0) = 0 (a recíproca não é verdadeira). 
 
Para determinar se uma transformação é linear, verificamos: 
 
)()()3
)()()()2
0)0()1
vkTkvT
vTuTvuT
T



 
 
Exercícios: 
 
1. Verificar quais transformações são lineares: 
 
a) 
22: T
, definida por 
),1(),( yxyxT 
. 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
22: T
, definida por 
)0,(),( 2xyxT 
. 
 
 
 
 
 
 
 2 
c) 
22: T
, definida por 
),(),( yxyyxT 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
33: T
, definida por 
),,(),,( zyyxzyxT 
. 
e) 
2: T
, definida por 
)2,()( xxT 
. 
f) 
2:T
, definida por 
xyyxT ),(
. 
 
2. No plano cartesiano, representar graficamente um vetor genérico v = (x,y) e sua 
imagem T(v) pela transformação linear dada por: 
a) T(x, y) = (0, 3y) 
b) T(x ,y) = (x, -y) 
c) T(x, y) = (2x, y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Propriedade II: 
A imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens 
desses vetores com os mesmos coeficientes. 
)()()()( 22112211 nnnn vTavTavTavavavaT  
 
 
Exercícios: 
 
1. Dados os vetores u = (1,2) e v = (3, -1) e a transformação linear 
22: T
 
definida por 
)4,23(),( yxyxyxT 
, mostrar que T(3u+4v) = 3T(u) + 4T(v). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada a transformação linear 
WVT :
, tal que T(u) = 3u e T(v) = u-v, calcular 
em função de u e v: 
a) T(u + v) 
b) T(3v) 
c) T(4u – 5v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Determinação de transformações lineares: 
 
Uma transformação linear 
WVT :
 fica completamente definida quando conhecemos 
as imagens dos vetores de uma base do domínio V. 
Se 
 nvvv ,,, 21 
 é uma base do domínio V e 
)(,),(),( 21 nvTvTvT 
 são as imagens dos 
vetores desta base, sempre é possível obter a imagem T(v) de qualquer 
Vv
, pois 
sendo v combinação dos vetores da base, 
nnvavavav  2211
 e pela propriedade II 
temos 
)()()()( 2211 nn vTavTavTavT  
. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Determinar a transformação linear 
32: T
definida por 
)2,0,1()1,2(),1,2,3()2,1(  TT
. 
2. Determinar a transformação linear 
33: T
definida por 
)0,1,2()2,1,0(),0,1,1()1,1,1(),0,1,1()1,0,1(  TTT
. 
3. Determinar a transformação linear 
23: T
definida por 
)0,0()1,0,0(),2,0()0,1,0(),1,1()1,2,3(  TTT
. 
4. Determinar a transformação linear 
22: T
definida por 
)1,2()1,2(),2,3()2,1(  TT
. 
5. Determinar a transformação linear 
23: T
definida por 
)1,1()1,1,1(),0,1()0,1,2(),3,2()3,2,1(  TTT
. 
6. Determinar a transformação linear 
32: T
definida por 
)0,1,1()1,0(),1,2,3()1,1(  TT
. Determinar 
2v
tal que T(v) = (-2, 1, -3). 
7. Determinar a transformação linear 
23: T
definida por 
)3,3()1,0,0(),2,2()1,1,0(),1,1()0,1,1(  TTT
. 
8. Determinar a transformação linear 
23: T
definida por 
)4,3()0,0,1(),3,2()0,1,1(),2,1()1,1,1(  TTT
. Determinar 
3v
tal que 
T(v) = (-3,-2). 
9. Determinar a transformação linear 
33: T
definida por 
)3,0,1()1,0,0(),2,0,0()0,1,0(),0,2,0()0,0,1(  TTT
. 
 
 
RESPOSTAS: 
1. 





 
 x
yx
yxyxT ,
5
42
,),(
 2. T não está definida. 
3. 





 

3
65
,
3
),,(
yxx
zyxT
 4. 





 
 y
yx
yxT ,
3
4
),(
 
5. 





 
 z
zx
zyxT ,
2
),,(
 6. 
 xyxyxyxT  ,,2),(
 v = (3, 4) 
7. 
 zyzyzyxT 3,3),,( 
 
8. 
 zyxzyxzyxT  4,3),,(
 v = (1, 6-z, z) 
9. 
 zyxzzyxT 32,2,),,( 
 
 
 
 5 
NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Seja 
WVT :
 uma transformação linear. Núcleo de T, representado por 
)(TN
 ou 
)ker(T
 é o conjunto de todos os vetores de V (domínio) que são transformados no vetor 
nulo de W (contradomínio). 
  0/  vTVvN
 
 
Propriedades: 
I) O núcleo de uma transformação 
linear 
WVT :
 é um subespaço 
vetorial de V. A dimensão do 
núcleo é denominada nulidade da 
transformação. 
II) Uma transformação linear 
WVT :
 é injetora se e 
somente se 
0)( TN
. 
 
 
 
Ex.: 
1. Seja 
33: T
, definida por 
   0,,,, yxzyxT 
 
 
 
N(T)= 
 
2. Seja 
22: T
definido por 
   yxyxyxT 24,2, 
. 
 
  ?)(2,1 TN
 
  ?)(3,2 TN
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Seja 
WVT :
 uma transformação linear. Imagem da transformação, representada por 
)Im(T
ou 
)(VT
 é o conjunto dos vetores de W (contradomínio) que são imagens de pelo 
menos um vetor 
Vv
. 
 
  VvumaparawvTWwT  lg,/)Im(
 
 
Propriedades: 
I) A imagem de uma 
transformação linear 
WVT :
 é um 
subespaço vetorial de W. 
A dimensão da imagem é 
denominada posto da 
transformação. 
II) Uma transformação linear 
WVT :
 é sobrejetora 
 se e somente se 
WT )Im(
. 
 
Ex.: 
1. Seja 
33: T
, definida por 
   0,,,, yxzyxT 
 
 
 
 
Im(T)= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja 
22: T
definido por 
   yxyxyxT 24,2, 
. 
  ?)Im(4,2 T
 
  ?)Im(3,1 T
 
 
 
 
 
 
Teorema da dimensão: 
Seja V um espaço de dimensão finita e 
WVT :
 uma transformação linear. 
VTTN dim)Im(dim)(dim 
 
 7 
Exercícios: 
 
a) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é injetora? 
Justificar. 
b) Determinar a imagem, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? 
Justificar. 
c) Verificar o teorema da dimensão. 
 
1. 
22: T
 definida por 
   yxyxyxT  3,3,
. 
2. 
32: T
 definida por 
   yxyxyxT 2,,, 
. 
3. 
22: T
 definida por 
   yxyxyxT  ,2,
. 
4. 
23: T
 definida por 
   zyxzyxzyxT  2,2,,
 
5. 
33: T
 definida por 
   zxzyxzyxzyxT 3,2,2,, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja W um espaço vetorial de dimensão m. 
Sejam 
 nvvvA ,,, 21 
 e 
 mwwwB ,,, 21 
 bases de V e W respectivamente e 
WVT :
 uma transformaçãolinear. 
 
mmwcwcwcvT 12121111)(  
 

 mmwcwcwcvT 22221212 )( 
 
mnmnnn wcwcwcvT  2211)(
 
 
A transposta da matriz dos coeficientes é denominada representação matricial de T em 
relação às bases A e B. Indicamos por 
 ABT
. 
 
 
T
nmnn
m
m
A
B
ccc
ccc
ccc
T



















21
22221
12111
 
 
Exercícios: 
 
1. Seja a transformação linear 
23: T
 definida por 
   yxzyxzyxT 2,2,, 
 
e as bases A={(1,0,0), (2,-1,0), (0,1,1)} e B={(-1,1), (0,1)}. Determinar 
 ABT
. 
 
2. Seja a transformação linear 
32: T
 definida por 
   yyxyxyxT 2,3,2, 
 
e as bases A={(-1,1), (2,1)}, B={(0,0,1), (0,1,-1), (1,1,0)} e C: canônica do 
3
. 
Determinar 
 ABT
, 
 ACT
 e 
 T
. 
 
3. Seja o operador linear 
22: T
 definido por 
   yxyxyxT  ,2,
 e as bases 
A={(-1,1), (1,0)} e B={(2,-1), (-1,1)} e C: canônica. Determinar 
 AT
, 
 BT
 e 
 CT
. 
 
4. Determinar T(x,y) e 
 T
, sabendo que a matriz de uma transformação linear 
32: T
 nas bases A={(-1,1), (1,0)} e B={(1,1,-1), (2,1,0), (3,0,1)} é 
 ABT












11
52
13
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Adição: Sejam 
WVT :
 e 
WVS :
transformações lineares. 
WVST  :)(
 é definida por 
VvvSvTvST  )()())((
 
Se A e B são bases de V e W respectivamente, temos: 
     AB
A
B
A
B STST 
 
 
Multiplicação por escalar: Seja 
WVT :
 uma transformação linear e 
k
. 
WVkT :)(
 é definida por 
VvvkTvkT  )())((
 
Se A e B são bases de V e W respectivamente, temos: 
   AB
A
B TkkT 
 
 
Composição: Sejam 
WVT :1
 e 
UWT :2
transformações lineares. 
Aplicação composta de 
1T
 com 
2T
, representada por 
12 TT 
 é a transformação linear 
UVTT :12 
 tal que 
  VvvTTvTT  )),(()( 1212 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Se A, B e C são bases de V, W e U respectivamente, temos: 
     A
B
B
C
A
C
TTTT 1212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Exercícios: 
 
1. Para S e T operadores lineares do 
3
, definidos por 
   yxzyxS ,,0,, 
e 
   xzzyxT ,0,,, 
, calcular: 
 
 
 
 0,0,0
,0,0
0,0,
,0,
3
2




S
zTS
xSST
zxTT



 
 
2. Sejam as transformações lineares 
3243 ::  Tes
 definidas por 
),,,(),,( zyyxzyxzyxS 
 e 
   yxyxyxyxT 3,,2, 
, calcular 
TS 
e 
ST 
. 
(3x, x-3y, x+2y, 2x-4y) e não está definida 
 
3. Se 
),,2(),( yyxxyxR 
 e 
),(),,( xzzyzyxS 
, determinar 
   RSeSR 
. 













101
211
220
 






 12
21 
4. Se 
    




 








112
101
31
21
SeR
, determinar 
SR 
. 
 zyxzyx 435,25 
 
 
5. Sejam S e T operadores lineares de 
2
 definidos por 
   yyxyxS ,2, 
e 
   yxyxT  ,2,
. Determinar: 
 
a) 
TS 
 (3x-2y, 0) 
b) 
ST 
 (x+2y, -2y) 
c) 
TS 42 
 (10x-4y, -2y) 
d) 
TS 
 (2x+2y, -y) 
e) 
ST 
 (2x-4y, -y) 
f) 
SS 
x-4y, y) 
 
6. Sendo S e T operadores lineares de 
3
 definidos por 
   yxyxzyxS  ,2,,,
e 
   zyzxzyxT ,,,, 
, determinar 
   STeTS 
 












111
020
101
 










 011
020
010
 
 
 
 
 
 
 
 11 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS 
São transformações de 
2
 em 
2
. 
 
I) REFLEXÕES: 
 
a) Reflexão em torno do eixo dos x. 
 
22: T
, definida por 
   yxyxT  ,,
. 
Sua matriz canônica é
  







10
01
T
. 
 
 
 
 
 
b) Reflexão em torno do eixo dos y. 
 
22: T
, definida por 
   yxyxT ,, 
. 
Sua matriz canônica é
  






10
01
T
. 
 
 
 
 
c) Reflexão na origem. 
 
22: T
, definida por 
   yxyxT  ,,
. 
Sua matriz canônica é
  








10
01
T
. 
 
 
 
 
 
d) Reflexão em torno da reta 
xy 
. 
 
22: T
, definida por 
   xyyxT ,, 
. 
Sua matriz canônica é
  






01
10
T
. 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
e) Reflexão em torno da reta 
xy 
. 
 
22: T
, definida por 
   xyyxT  ,,
. 
Sua matriz canônica é
  








01
10
T
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES: 
 
a) Dilatações ou contrações na direção do vetor. 
 
22: T
, definida por 
      ,,, yxyxT
. 
Sua matriz canônica é
  








0
0
T
. 
 
 
 
 
 
 
b) Dilatações ou contrações na direção do eixo dos x (horizontal). 
 
22: T
, definida por 
    0,,,   yxyxT
. 
Sua matriz canônica é
  






10
0
T
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
c) Dilatações ou contrações na direção do eixo dos y 
(vertical). 
 
22: T
, definida por 
    0,,,   yxyxT
. 
Sua matriz canônica é
  






0
01
T
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III) CISALHAMENTOS: 
 
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x (horizontal). 
 
22: T
, definida por 
   yyxyxT ,, 
. 
Sua matriz canônica é
  






10
1 
T
. 
 
 
b) Cisalhamento na direção do eixo dos y (vertical). 
 
O cisalhamento transforma um retângulo em um paralelogramo de mesma base e mesma 
altura. 
 
22: T
, definida por 
   xyxyxT  ,,
. 
Sua matriz canônica é
  






1
01

T
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
IV) ROTAÇÃO: 
 
A rotação do plano em torno da origem faz cada ponto descrever um ângulo 

. 
 
22: T
, definida por 
    cos,cos, yxsenysenxyxT  . 
Sua matriz canônica é
  




 




cos
cos
sen
sen
T
. 
 
 
 
Exercícios: 
1) Representar graficamente os pontos: A(1,1), B(4,1), C(5,2), D(4,3) e E(1,3) e 
aplicar as transformações: 
a) Reflexão em torno do eixo dos x. 
b) Reflexão em torno do eixo dos y. 
c) Reflexão na origem. 
d) Reflexão em torno da reta 
xy 
. 
e) Reflexão em torno da reta 
xy 
. 
f) Dilatação de fator 2 na direção do vetor. 
g) Contração de fator 
2
1
 na direção do eixo dos x. 
h) Dilatação vertical de fator 2. 
i) Cisalhamento de fator 2 na direção do eixo dos x. 
j) Cisalhamento vertical de fator 
2
1
. 
k) Rotação de 
90
. 
l) Reflexão horizontal e dilatação vertical de fator 3. 
m) Dilatação de 2, seguida de uma rotação de 90° no sentido anti-horário e 
uma reflexão em torno do eixo y. 
n) Reflexão em torno da origem, seguida de uma dilatação de fator 2 na 
direção horizontal e cisalhamento vertical de fator 3. 
o) Reflexão em torno da reta 
xy 
, cisalhamento horizontal de fator 2, 
contração na direçãodo eixo y de fator 
2
1
 e rotação de 90° no sentido 
horário. 
 
2) Os pontos A(2,-1), B(6,1) e C(x,y) são vértices de um triângulo eqüilátero. 
Determinar o vértice C, utilizando a matriz rotação. 
 15 
3) Os pontos A(2,-1) e B(-1,4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular 
os outros dois vértices, utilizando a matriz rotação. 
 
4) Determinar a matriz canônica e a lei de transformação que representa a seqüência 
de transformações: 
a) Reflexão em torno da reta 
xy 
, seguida de uma dilatação horizontal de 
fator 2 e um cisalhamento de fator 3 na direção do eixo dos y. 
b) Reflexão em torno da reta 
xy 
, cisalhamento horizontal de fator 2, 
contração na direção Oy de fator 
3
1
 e uma rotação de 90° no sentido anti-
horário. 
 
 
 
5) Escolha uma das letras a seguir, represente-a graficamente e aplique as 
transformações indicadas. 
 A: (0,0), (1,1), (2,4), (3,1), (4,0) 
 F: (0,0),(0,2), (0,4), (2,2), (3,4) 
 M: (0,0), (0,3), (2,0), (4,3), (4,0) 
a) Dilatação de 2, seguida de uma rotação de 90° no sentido anti-horário e 
uma reflexão em torno do eixo y. 
b) Reflexão em torno da origem, seguida de uma dilatação de fator 2 na 
direção horizontal e cisalhamento vertical de fator 3. 
c) Reflexão em torno da reta 
xy 
, cisalhamento horizontal de fator 2, 
contração na direção do eixo y de fator 
2
1
 e rotação de 90° no sentido 
horário. 
 
Respostas: 
 
2) 
 32,34C
 
3) (4,7) e (7,2) ou (-6,1) e (-3,-4) 
4) a) 








61
20 b) 









12
0
3
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
OPERADORES INVERSÍVEIS 
 
Um operador linear 
VVT :
é inversível, se existe um operador 
VVS :
 tal que a 
cada vetor transformado 
)(vT
 associe o vetor de partida 
v
. S é denominado operador 
inverso e é representado por 1T . 
Se um operador linear 
VVT :
admite inverso, então transforma base em base. 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dados os operadores lineares em 
2
 e 
3
, verificar quais são inversíveis e, nos 
casos afirmativos, determinar uma fórmula para 1T . 
a) 
 yxyxyxTT 2,43),(,: 22 
 
b) 
 yxyxyxTT 24,2),(,: 22 
 
c) 
 zyxzxxzyxTT  ,,),,(,: 33
 
d) 
 zyxzyzyxzyxTT 32,,2),,(,: 33 
 
e) 
 yzxzxzyxTT ,,),,(,: 33 
 
 
2) Verificar se o operador linear 
33 T
 definido por 
)0,1,2()0,0,1( T
, 
)1,1,0()1,3,0()1,1,1()0,1,0(  TeT
 é inversível e, em caso afirmativo, 
determinar 1T . 
 
 
Respostas: 
 
1) a) 






 yxyxyxT
2
3
2
1
,2),(1
 
 b) T não é inversível 
 c) 
 yxzyxzyxT  ,,),,(1
 
 d) T não é inversível 
 e) 






 yxzyxzyxT
2
1
2
1
,,
2
1
2
1
),,(1
 
2) 
 zyxzyxzyzyxT 32,742,),,(1 
 
 
 
 
 17 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
Seja 
VVT :
um operador linear. Estaremos interessados em vetores cuja imagem é 
um múltiplo de si mesmo. 
 
Ex.: Seja 
22 T
 um operador linear definido por 
 yxyxyxT  2,54),(
. 
Determinar: 


)2,5(
)1,2(
T
T
 
 
Def.: Seja 
VVT :
 um operador linear. Um autovetor de T é um vetor não nulo v tal 
que: 
  ,)( vvT
. 
O número real 

 é denominado autovalor de T associado ao autovetor v. 
Se 
0
, T conserva o sentido de v; 
 
0
, T inverte o sentido de v; 
 
1
, T dilata v; 
 
1
, T contrai v. 
 
Outras denominações: 
Autovetor: vetor característico ou vetor próprio. 
Autovalor: valor característico ou valor próprio. 
 
Determinação dos autovalores e autovetores. 
 
Seja o operador linear 
22 T
. Sua matriz canônica é: 
  A
aa
aa
T 






2221
1211
 
Se v e 

são, respectivamente, autovetor e autovalor do operador T, pela definição 
temos: 
0,)(   vvT
 
vvA 
 onde v é a matriz coluna 2x1 
0 vvA 
 Sabendo que 
vIv 
, temos: 
0 vIvA 
 
  0 vIA 
 Sistema homogêneo 
 
Para que este sistema admita soluções não nulas, 
0v
, devemos ter: 
  0det  IA 
 
0
10
01
det
2221
1211

















 
aa
aa 
0
0
0
det
2221
1211




















aa
aa 
0det
2221
1211










aa
aa 
0
2221
1211





aa
aa 
 18 
O 
 IA det
 é um polinômio em 

 denominado polinômio característico. 
A equação 
  0det  IA 
 é denominada equação característica e suas raízes são os 
autovalores do operador T ou da matriz A. 
Para determinar os autovetores, basta substituir 

 pelos seus valores no sistema de 
equações lineares homogêneo: 
  0 vIA 
. 
 
Exercícios: 
 
1) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores: 
a) 
 yyxyxTT 2,2),(,: 22 
 
b) 
 zzyzxzyxTT  ,53,43),,(,: 33
 
c) 
 zyxzxzyxzyxTT 22,22,3),,(,: 33 
 
d) 
 zyzyzyxzyxTT 32,2,),,(,: 33 
 
e) 
 zyxyxxzyxTT 22,2,),,(,: 33 
 
2) Determinar a transformação linear 
22 T
 tal que T tenha autovalores -2 
e 3 associados aos autovetores 
 yy,3
 e 
 yy,2
 respectivamente. 
3) Calcular os autovalores e autovetores das seguintes matrizes: 
 









 


































211
232
011
)
002
010
200
)
568
010
233
)
321
141
123
) dcba
 
4) Seja 
22 T
 uma transformação linear que dobra o comprimento do 
vetor 
 1,2u
 e triplica o comprimento do vetor 
 2,1v
, sem alterar as 
direções nem inverter os sentidos. 
a) Determinar 
 yxT ,
. 
b) Determinar a matriz do operador T na base 
    2,1,1,2B
. 
Respostas: 
 
1) a) 
 b) 
 c) 
 d)
   xxxvyyxv 2,,,4;,,,1 321   
 e) 
     zvzzvzzzv ,0,0,2;,3,0,1;,,,1 321   
2) 
   yxxyxT  ,6,
 
3) a) 
   zzzvzyzyv ,,,6;,,2,2 321   
 b) 








 zy
z
yv ,,
24
3
,1321 
 
 c) 
     zzvzzvyv ,0,,2;,0,,2;0,,0,1 321   
 d) 
   zzzv
y
yyvzzv ,2,,3;
2
,,,2;,0,,1 321 





  
4) a) 
  




 

3
102
,
3
25
,
yxyx
yxT
 b) 






30
02