Álgebra Linear parte 2
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Álgebra Linear parte 2


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1 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES (funções vetoriais lineares) 
 
Sejam 
\uf028 \uf029\uf0d7\uf0c2\uf02b ,,,V
 e 
\uf028 \uf029\uf0d7\uf0c2\uf02b ,,,W
 espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W 
é uma função (ou aplicação) 
WVT \uf0ae:
 tal que: 
\uf0b7 
)()()( vTuTvuT \uf02b\uf03d\uf02b
 
 
\uf0b7 
)()( vkTkvT \uf03d
 , 
\uf0c2\uf0ce\uf022\uf0ce\uf022 keVvu,
 
 
Uma transformação linear 
VVT \uf0ae:
 é denominada operador linear. 
 
Dada uma transformação linear 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
\uf028 \uf029 \uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d
\uf02b
\uf03d zx
yx
zyxT ,
2
,,
 
determinar: 
a) T(0,0,0) = 
 
b) T(1,0,2) = 
 
c) T(1,3,4) = 
 
 
Propriedade I: 
Em toda transformação linear 
WVT \uf0ae:
 a imagem do vetor 
V\uf0ce0
 é o vetor 
W\uf0ce0
, 
isto é T(0) = 0 (a recíproca não é verdadeira). 
 
Para determinar se uma transformação é linear, verificamos: 
 
)()()3
)()()()2
0)0()1
vkTkvT
vTuTvuT
T
\uf03d
\uf02b\uf03d\uf02b
\uf03d
 
 
Exercícios: 
 
1. Verificar quais transformações são lineares: 
 
a) 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
),1(),( yxyxT \uf02b\uf03d
. 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
)0,(),( 2xyxT \uf03d
. 
 
 
 
 
 
 
 2 
c) 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
),(),( yxyyxT \uf02d\uf03d
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
),,(),,( zyyxzyxT \uf02b\uf03d
. 
e) 
2: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
)2,()( xxT \uf03d
. 
f) 
\uf0c2\uf0ae\uf0c22:T
, definida por 
xyyxT \uf03d),(
. 
 
2. No plano cartesiano, representar graficamente um vetor genérico v = (x,y) e sua 
imagem T(v) pela transformação linear dada por: 
a) T(x, y) = (0, 3y) 
b) T(x ,y) = (x, -y) 
c) T(x, y) = (2x, y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Propriedade II: 
A imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens 
desses vetores com os mesmos coeficientes. 
)()()()( 22112211 nnnn vTavTavTavavavaT \uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b \uf04c\uf04c
 
 
Exercícios: 
 
1. Dados os vetores u = (1,2) e v = (3, -1) e a transformação linear 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 
definida por 
)4,23(),( yxyxyxT \uf02b\uf02d\uf03d
, mostrar que T(3u+4v) = 3T(u) + 4T(v). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada a transformação linear 
WVT \uf0ae:
, tal que T(u) = 3u e T(v) = u-v, calcular 
em função de u e v: 
a) T(u + v) 
b) T(3v) 
c) T(4u \u2013 5v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Determinação de transformações lineares: 
 
Uma transformação linear 
WVT \uf0ae:
 fica completamente definida quando conhecemos 
as imagens dos vetores de uma base do domínio V. 
Se 
\uf07b \uf07dnvvv ,,, 21 \uf04c
 é uma base do domínio V e 
)(,),(),( 21 nvTvTvT \uf04c
 são as imagens dos 
vetores desta base, sempre é possível obter a imagem T(v) de qualquer 
Vv\uf0ce
, pois 
sendo v combinação dos vetores da base, 
nnvavavav \uf04c\uf02b\uf02b\uf03d 2211
 e pela propriedade II 
temos 
)()()()( 2211 nn vTavTavTavT \uf02b\uf02b\uf02b\uf03d \uf04c
. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Determinar a transformação linear 
32: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)2,0,1()1,2(),1,2,3()2,1( \uf03d\uf02d\uf03d TT
. 
2. Determinar a transformação linear 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)0,1,2()2,1,0(),0,1,1()1,1,1(),0,1,1()1,0,1( \uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d TTT
. 
3. Determinar a transformação linear 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)0,0()1,0,0(),2,0()0,1,0(),1,1()1,2,3( \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d TTT
. 
4. Determinar a transformação linear 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)1,2()1,2(),2,3()2,1( \uf03d\uf03d TT
. 
5. Determinar a transformação linear 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)1,1()1,1,1(),0,1()0,1,2(),3,2()3,2,1( \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d TTT
. 
6. Determinar a transformação linear 
32: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)0,1,1()1,0(),1,2,3()1,1( \uf03d\uf03d\uf02d TT
. Determinar 
2\uf0c2\uf0cev
tal que T(v) = (-2, 1, -3). 
7. Determinar a transformação linear 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)3,3()1,0,0(),2,2()1,1,0(),1,1()0,1,1( \uf03d\uf03d\uf03d\uf02d TTT
. 
8. Determinar a transformação linear 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)4,3()0,0,1(),3,2()0,1,1(),2,1()1,1,1( \uf03d\uf03d\uf03d TTT
. Determinar 
3\uf0c2\uf0cev
tal que 
T(v) = (-3,-2). 
9. Determinar a transformação linear 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definida por 
)3,0,1()1,0,0(),2,0,0()0,1,0(),0,2,0()0,0,1( \uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d TTT
. 
 
 
RESPOSTAS: 
1. 
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02b
\uf02b\uf03d x
yx
yxyxT ,
5
42
,),(
 2. T não está definida. 
3. 
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf03d
3
65
,
3
),,(
yxx
zyxT
 4. 
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02b
\uf03d y
yx
yxT ,
3
4
),(
 
5. 
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02b
\uf03d z
zx
zyxT ,
2
),,(
 6. 
\uf028 \uf029xyxyxyxT \uf02d\uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d ,,2),(
 v = (3, 4) 
7. 
\uf028 \uf029zyzyzyxT 3,3),,( \uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d
 
8. 
\uf028 \uf029zyxzyxzyxT \uf02d\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d 4,3),,(
 v = (1, 6-z, z) 
9. 
\uf028 \uf029zyxzzyxT 32,2,),,( \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d
 
 
 
 5 
NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Seja 
WVT \uf0ae:
 uma transformação linear. Núcleo de T, representado por 
)(TN
 ou 
)ker(T
 é o conjunto de todos os vetores de V (domínio) que são transformados no vetor 
nulo de W (contradomínio). 
\uf028 \uf029\uf07b \uf07d0/ \uf03d\uf0ce\uf03d vTVvN
 
 
Propriedades: 
I) O núcleo de uma transformação 
linear 
WVT \uf0ae:
 é um subespaço 
vetorial de V. A dimensão do 
núcleo é denominada nulidade da 
transformação. 
II) Uma transformação linear 
WVT \uf0ae:
 é injetora se e 
somente se 
0)( \uf03dTN
. 
 
 
 
Ex.: 
1. Seja 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf0290,,,, yxzyxT \uf03d
 
 
 
N(T)= 
 
2. Seja 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definido por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029yxyxyxT 24,2, \uf02b\uf02b\uf03d
. 
 
\uf028 \uf029 ?)(2,1 TN\uf0ce\uf02d
 
\uf028 \uf029 ?)(3,2 TN\uf0ce\uf02d
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Seja 
WVT \uf0ae:
 uma transformação linear. Imagem da transformação, representada por 
)Im(T
ou 
)(VT
 é o conjunto dos vetores de W (contradomínio) que são imagens de pelo 
menos um vetor 
Vv\uf0ce
. 
 
\uf028 \uf029\uf07b \uf07dVvumaparawvTWwT \uf0ce\uf03d\uf0ce\uf03d lg,/)Im(
 
 
Propriedades: 
I) A imagem de uma 
transformação linear 
WVT \uf0ae:
 é um 
subespaço vetorial de W. 
A dimensão da imagem é 
denominada posto da 
transformação. 
II) Uma transformação linear 
WVT \uf0ae:
 é sobrejetora 
 se e somente se 
WT \uf03d)Im(
. 
 
Ex.: 
1. Seja 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
, definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf0290,,,, yxzyxT \uf03d
 
 
 
 
Im(T)= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
definido por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029yxyxyxT 24,2, \uf02b\uf02b\uf03d
. 
\uf028 \uf029 ?)Im(4,2 T\uf0ce
 
\uf028 \uf029 ?)Im(3,1 T\uf0ce\uf02d
 
 
 
 
 
 
Teorema da dimensão: 
Seja V um espaço de dimensão finita e 
WVT \uf0ae:
 uma transformação linear. 
VTTN dim)Im(dim)(dim \uf03d\uf02b
 
 7 
Exercícios: 
 
a) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é injetora? 
Justificar. 
b) Determinar a imagem, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? 
Justificar. 
c) Verificar o teorema da dimensão. 
 
1. 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029yxyxyxT \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d 3,3,
. 
2. 
32: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029yxyxyxT 2,,, \uf02b\uf03d
. 
3. 
22: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029yxyxyxT \uf02b\uf02d\uf03d ,2,
. 
4. 
23: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029zyxzyxzyxT \uf02b\uf02d\uf02d\uf02b\uf03d 2,2,,
 
5. 
33: \uf0c2\uf0ae\uf0c2T
 definida por 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029zxzyxzyxzyxT 3,2,2,, \uf02d\uf02b\uf02b\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja W um espaço vetorial de dimensão m. 
Sejam 
\uf07b \uf07dnvvvA ,,, 21 \uf04c\uf03d
 e 
\uf07b \uf07dmwwwB ,,, 21 \uf04c\uf03d
 bases de V e W respectivamente e 
WVT \uf0ae:
 uma transformação