FI 04 - Sistemas Numéricos

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Eixo Tecnológico: GESTÃO 
Curso: Superior de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas 
Unidade Curricular / Unidade de Estudo: Fundamentos de Informática 
Docente: Fábio Giulian Marques 
Módulo/Semestre: 1º SEMESTRE 
 
Representação de um número na BASE 10 (DECIMAL) 
Escrever um número inteiro em Decimal, isto é, na base Dez, não apresenta problema. Cada posição 
digital representará uma potência de DEZ, ou seja, cada posição representa uma potência de dez. 
23.457 = 2x104 + 3x103 + 4x102 + 5x101 + 7x100. 
Isto é representado pela tabela: 
100 101 101 101 101 101 101 101 101 101 102 102 102 103 103 104 105 106 107 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 900 1000 1500 10000 100000 1000000 10000000 
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 201 901 1001 1501 10001 100001 1000001 10000001 
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 202 902 1002 1502 10002 100002 1000002 10000002 
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 203 903 1003 1503 10003 100003 1000003 10000003 
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 204 904 1004 1504 10004 100004 1000004 10000004 
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 205 905 1005 1505 10005 100005 1000005 10000005 
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 206 906 1006 1506 10006 100006 1000006 10000006 
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 207 907 1007 1507 10007 100007 1000007 10000007 
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 208 908 1008 1508 10008 100008 1000008 10000008 
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 209 909 1009 1509 10009 100009 1000009 10000009 
 
Representação de um número na BASE 2 (Binário) 
O sistema numérico mais simples que usa notação posicional é o sistema numérico binário. Como o 
próprio nome diz, um sistema binário contém apenas dois elementos ou estados. Num sistema 
numérico isto é expresso como uma base dois, usando os dígitos 0 e 1. Esses dois dígitos têm o mesmo 
valor básico de 0 e 1 do sistema numérico decimal. 
Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binário de numeração para manipular 
dados. Dados binários são representados por dígitos binários chamados "bits". O termo "bit" é 
derivado da contração de "binary digit". Microprocessadores operam com grupos de "bits" os quais são 
chamados de palavras.O número binário 1 1 1 0 1 1 0 1 contém oito "bits". 
Escrever um número inteiro em Binário, isto é, na base DOIS, é semelhante ao sistema decimal. Cada 
posição digital representará uma potência de DOIS, ou seja, cada posição representa uma potência de 
DOIS. 
Isto é representado pela tabela: 
Bin Dec Bin Dec Bin Dec Bin Dec Bin Dec 
20 21 22 23 24 
0 0 10 2 100 4 1000 8 10000 16 
1 1 11 3 101 5 1001 9 10001 17 
 110 6 1010 10 10010 18 
 111 7 1011 11 10011 19 
 1100 12 10100 20 
 1101 13 10101 21 
 1110 14 10110 22 
 1111 15 10111 23 
 
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 11000 24 
 11001 25 
 11010 26 
 11011 27 
 11100 28 
 11101 29 
 11110 30 
 11111 31 
 
 
Na base dois, a base usada nos computadores binários, o número(10101)2 será representado: 
 
24 23 22 21 20 
( 1 0 1 0 1 )2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 +1x20 = (21)10 
 
Tal qual no sistema numérico decimal, cada posição de "bit" (dígito) de um número binário tem um 
peso particular o qual determina a magnitude daquele número. O peso de cada posição é determinado 
por alguma potência da base do sistema numérico. 
Para calcular o valor total do número, considere os "bits" específicos e os pesos de suas posições (a 
tabela abaixo mostra uma lista condensada das potências de 2). 
Para determinar o valor decimal ao número binário 1101012, multiplique cada "bit" por seu peso 
posicional e some os resultados. 
1101012=(1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310 
Potências de 2 
20 = 110 25 = 3210 
21 = 210 26 = 6410 
22 = 410 27 = 12810 
23 = 810 28 = 25610 
24 = 1610 29 = 51210 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Números Fracionários 
Os números com parte fracionária, da mesma forma, podem ser representados, usando-se potências 
negativas de dez, na base dez 
0,24 = 2x10-1 + 4x10-2 
456,78 = 4x102 + 5x101 + 6x100 + 7x10-1 + 8x10-2. 
Na base DOIS: 
101,101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 +0x2-2 + 1x2-3 = 5,625 
Para converter um número binário no seu equivalente decimal, some todos os pesos das posições no 
número onde os l's binários aparecem. Números binários fracionários são expressos como potências 
negativas de dois. Os pesos das posições inteiras e fracionárias são indicadas a seguir. 
INTEIRAS FRACIONÁRIAS 
27 26 25 24 23 22 21 20 ponto 
binário 
. 
2-1 2-2 2-3 
128 64 32 16 8 4 2 1 .5 .25 .125 
Para determinar o valor decimal do número binário 0·11012, multiplique cada "bit" por seu peso 
posicional e some os resultados. No sistema numérico binário, o ponto base é chamado de ponto 
binário. 
 
Na notação posicional, o número binário 0.11012 pode ser expresso como se segue:(1x2-1) + (1x2-2) + 
(0x2-3) + (1x2-4) 
A tabela abaixo fornece uma lista condensada das potências negativas de dois. 
Potências Negativas de 2 
2-1 = 1/2 0,510 
 
2-2 = 1/4 0,2510 
 
2-3 = 1/8 0,12510 
 
2-4 = 1/16 0,0625 
 
2-5 1/32 0,03125 
 
 
 
 
 
Exemplo: Para ressaltar este processo, converter o número binário 101101.112 no seu equivalente 
decimal: 
Notação Posicional 
Número binário 1 0 1 1 0 1 . 1 1 
Pesos posicionais 25 24 23 22 21 20 . 2-1 2-2 
Equivalente decimal 32+ 0+ 8+ 4+ 0+ 1 . 0,5+ 0,25= 45,7510 
 
 
 
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Sabe-se que, na base dez, para se multiplicar um número pela base, isto é, por dez, basta deslocar a 
vírgula uma casa para a direita. 
 
2,0 x 10 = 20,0 
2,0 x 100 = 200,0 
 
O mesmo ocorre com qualquer base, em particular com a base dois. Para multiplicar um número por 
dois, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita. 
 (7)10 x (2)10 =(14)10 
(111)2 x (10)2 =(1110) 2 
(1110)2 x (10)2 =(11100) 2 
7 = 111 , 14 = 1110 , 28 = 11100 
(1010)2 x (10)2 = (10100) 2 
 (10)
 10 x (2) 10 = (20) 2 
Conversão DECIMAL >> BINÁRIO 
Números Inteiros 
A conversão do número inteiro, de DECIMAL para BINÁRIO, será feita da direita para a esquerda, 
isto é, determina-se primeiro o algarismos das unidades ( o que vai ser multiplicado por 20 ) , em 
seguida o segundo algarismo da direita ( o que vai ser multiplicado por 21 ) etc... 
 
A questão chave, observar se o número é par ou ímpar. Em binário, o número par termina em 0 e o 
ímpar em 1. Assim determina-se o algarismo da direita, pela simples divisão do número por dois; se o 
resto for 0 (número par) o algarismo da direita é 0; se o resto for 1 (número ímpar) o algarismo da 
direita é 1. 
Na base DEZ, ao se dividir um número por dez, basta levar a vírgula para a esquerda. 
24,0/ 10 = 2,4 
120,0 / 10 = 12,0 
Na base dois, ao se dividir um número por dois, basta levar a vírgula para a esquerda. Assim, para se 
determinar o segundo algarismo, do número em binário, basta lembrar que ele é a parte inteira do 
número original dividido por dois, abandonado o resto. 
 
 
 
 
 
 
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Converter (25)10 de decimal para binário. 
 
 
 
Conversão Decimal para Binária 
Um número inteiro decimal pode ser convertido para uma base diferente através de divisões sucessivas 
pela base desejada. Para converter um número inteiro decimal no seu equivalente binário, divida o 
número por 2 sucessivamente e anote os restos. quando se divide por 2, o resto será sempre 1 ou 0. Os 
restos formam o número binário equivalente. 
Como um exemplo, o número decimal 25 é convertido no seu equivalente binário. 
Divisões Resto Divida o número decimal por dois e anote o 
resto. Então divida o quociente por dois e 
novamente anote o resto. Continue este 
processo de divisão até resultar zero. Então 
pegue os restos começando pelo último ou o 
"bit" mais significativo (MSB) e continue até o 
primeiro ou "bit" menos significativo (LSB). 
O número 110012 = 2510. 
25/2 = 12 1 LSB 
12/2 = 6 0 
6/2 = 3 0 
3/2 = 1 1 
1/2 = 0 1 MSB 
Observe que os restos são coletados em ordem reversa. Ou seja, o primeiro resto torna-se o "bit" 
menos significativo, enquanto o último resto torna-se o "bit" mais significativo. 
Para ressaltar, o Divisões Resto 
 
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número 175 é 
convertido no seu 
equivalente binário. 
O processo de 
divisão continua 
até que seja 
atingido 0 como 
quociente. Os 
restos são coletados 
para produzir o 
número 101011112 
= 17510. 
175/2 = 87 1 LSB 
87/2 = 43 1 
43/2 = 21 1 
21/2 = 10 1 
10/2 = 5 0 
5/2 = 2 1 
2/2 = 1 0 
1/2 = 0 1 MSB 
Nota: não tente usar calculadora para realizar esta conversão. Ela poderia apenas fornecer-lhe 
resultados confusos. 
 
 
Binário para decimal pela Tabela 
Converta o endereço IP binário 01110110.00011010.10101111.01011101 para formato decimal. 
Usando o conhecimento da tabela coloca-se os números binários na tabela. 
 
 
Somar os campos onde o bit 1 está (LIGADO) preenchido . 
118.26.175.93 
Verificar através da conversão feita na calculadora do windows. 
 
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Decimal para binário 
 
Converta o endereço 100.200.1.232 para formato binário 
Através da tabela CIDR soma-se os valores até encontrar o valor decimal esperado. 
 
 Ele 128 
 
1. 128 é Maior que 100 => marca-se 128 com o bit zero e passa para o próximo 
2. Onde 64 é menor que 100 (64 cabe em 100) , => Marca-se 1 
3. Faz-se 100-64 = 36 32 é menor que 36 (32 cabe em 36) � , marca-se 1 
4. Faz-se 36-32 = 4 . 
5. As casas 16, 8 são maiores que quatro (Não cabem em 4) => marca-se com zero as duas casas. 
6. A Casa 4 = 4 (4 cabe em 4) 
7. . 4-4=0 => Marca-se todas as outras casas com zero. 
 
Exemplos 
 
 
O resultado do exercício 
 
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Conversão Decimal para Binário de um número Fracionário 
Para converter uma fração decimal para uma base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela 
base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela multiplicação. Para converter a fração 
decimal 0,3125 na sua equivalente binária multiplique repetidamente por dois. Estas multiplicações 
irão resultar em números com 1 ou 0 na posição das unidades (a posição a esquerda do ponto decimal). 
Pela gravação dos valores da posição das unidades, pode-se constituir a fração binária equivalente. 
Multiplicações inteiro Quando 0,3125 é multiplicado por 2, a parte 
inteira é 0. Isto resulta o "bit" mais 
significativo (MSB) da fração binária 
equivalente. Então 0,625 é multiplicado por 2 e 
o produto é 1,25, a parte inteira é 1. Quando a 
parte inteira for 1, ela é subtraída do produto e 
o 1 é guardado. Portanto, apenas 0,25 é 
multiplicado por 2 no próximo processo de 
multiplicação. 
0,3125 X 2 = 0,625 = 0,625 0 MSB 
0,625 X 2 = 1,250 = 0,250 1 
0,250 X 2 = 0,500 = 0,500 0 
0,500 X 2 = 1,000 = 0 1 LSB 
O método continua até que resulte um número sem parte fracionária. É importante observar que não 
se pode obter sempre 0 (zero) quando se multiplica por 2. Portanto, deve-se apenas continuar o 
processo de conversão até a precisão que se deseja. Colete os números inteiros começando pelo ponto 
binário com o MSB e continuando até o LSB. Esta é a mesma ordem na qual as partes inteiras são 
produzidas. O número 0·01012 = 0,312510. 
Para ilustrar este processo, a fração decimal 
0,90625 é convertida no seu equivalente binário. 
O processo de multiplicação continua até que 
zero ou a precisão desejada é obtida. Os inteiros 
são então coletadas começando com o MSB no 
ponto binário e seguindo até o LSB. 
O número 0.111012 = 0,9062510. 
multiplicações inteiro 
0,90625 X 2 = 1,8125 = 0,8125 1 MSB 
0,81250 X 2 = 1,6250 = 0,6250 1 
0,62500 X 2 = 1,2500 = 0,2500 1 
0,25000 X 2 = 0,5000 = 0,5000 0 
0,50000 X 2 = 1,0000 = 1 1 LSB 
 
Se o número decimal apresenta uma parte inteira e uma fracionária, deve-se separar as partes inteiras e 
fracionárias usando o ponto decimal como ponto de separação. Então realiza-se a conversão apropriada 
em cada parte. Após se converter à parte inteira e a parte fracionária, deve-se juntá-las. 
Por exemplo, o número 
decimal 14,375 é 
convertido no seu 
equivalente binário. 
14,375 = 1410 + 
Operações resto resultados parciais 
14 ÷ 2 = 7 0 LSB 
7 ÷ 2 = 3 1 
3 ÷ 2 = 1 1 
1 ÷ 2 = 0 1 MSB 1410 = 11102 
 
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0,37510 inteiro 
0,375 X 2 = 0,750 0 MSB 
0,750 X 2 = 1,500 1 
0,500 X 2 = 1,000 1 LSB 0,37510 = 0,0112 
Resultado geral 14,37510 = 1110.0112 
 
 
Quando o número tiver parte inteira e parte fracionária, podemos calcular, cada uma, separadamente. 
Tentando representar 0,8, verifica-se que é uma dízima. 
0,8 = 0,110011001100.... 
Da mesma forma, vê-se que 5,8 = 101,11001100... , também uma dízima. 
11,6 = 1011,10011001100... o que era óbvio, bastaria deslocar a vírgula uma casa para a direita, pois 
11,6 = 2 x 5,8 . 
 
Ponto fixo e ponto flutuante 
Em todosesses exemplos, a posição da vírgula está fixa, separando a casa das unidades da primeira 
casa fracionária. 
Entretanto, pode-se variar a posição da vírgula, corrigindo-se o valor com a potência da base, seja dez 
ou dois, dependendo do sistema que se use. 
Façamos, mais uma vez, analogia com o sistema decimal. 
45,31 = 4x101 + 5x100 + 3x10-1 +1x10-2. 
Esse mesmo número poderia ser escrito como sendo: 
45,31 = 4,531 x 101 
45,31 = 0,4531x102 
45,31= 453,1x10-1 
 
Chama-se a isso ponto flutuante (floating point), pois no lugar de se deixar sempre a posição da vírgula 
entre a casa das unidades e a primeira casa decimal, flutua-se a posição da vírgula e corrige-se com a 
potência de dez. 
 
Forma normalizada: é a que tem um único dígito, diferente de zero, antes da vírgula; no caso seria: 
4,531 x 101. 
 
Com a base dois pode-se fazer exatamente a mesma coisa, escrevendo-se o mesmo número 
(110101)2 = (53)10 
 
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110101 = 110,101 x 23 
1 1 0 , 1 0 1 
22 21 20 , 2
-1 2-2 2-3 x 23 
4 + 2 + 0 , 0,5 + 0 + 0,125 x 8 
6 , + 0,625 x 8 = 53 
 
110101 = 1,10101 x 25 
1 , 1 0, 1 0 1 x 2
5
 
20 , 2
-1 2-2 2-3 2-4 2-5 x 25 
1 , 0,5 +0 +0,125 +0 +0,03125 x 32 
1 , + 0,65625 x 32 = 53 
 
 
110101 = 0,0110101x27 
0 , 0 1 1 0, 1 0 1 x 2
7
 
20 , 2
-
1 
2-2 2-3 2-
4 
2-5 2-6 2-7 x 27 
0 , 0 0,25 0,125 0 0,03125 0 0,0078125 x 128 
0 , + 0,4140625 x 128 = 53 
 
 
 
Claro que esses expoentes também deverão ser escritos na base dois, onde (3)10 = (11)2 e (7)10=(111)2, 
e assim por diante, ficando: 
(23)10=((10)11)2 
(25)10=((10)101)2 
(27)10=((10)111)2 
 
110,101 x (10)11 
1,10101x(10)101 
 
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0,0110101x(10)111. 
 
Forma normalizada 
Como se vê, há diferentes maneiras de escrever o mesmo número. 
Chama-se forma normalizada aquela que apresenta um único dígito, diferente de zero, antes da vírgula. 
110101 = 1,10101x25 ou, 
 escrevendo-se o próprio 5 também na base dois, 
1,10101x2101. 
OBS.: A base 2 está sendo mantido na forma decimal, 2 , e não na binária 10 , porque ela não 
precisará ser representada, por ser implícita. 
 
Chama-se mantissa ao número 1,10101 e expoente ao número 101, deste exemplo. 
Seguem-se outros exemplos: 
1110,01 ou 1,11001 x 23 ou 1,11001 x 211 , que corresponde a 14,25, em decimal. 
0,0011 ou 1,1 x 2-3 ou 1,1 x 2-11 , que corresponde a 0,1875 em decimal. 
0,1001 ou 1,001 x 2-1 , que corresponde a 0,5625 em decimal.