Física Geral MIT Ed. 1

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Física I - Mecânica Página 1 
 
Jonathan Tejeda Quartuccio 
 
Física I 
 
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de 
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999. 
 
 
 
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Jonathan Tejeda Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
Física I 
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de 
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação 
Atualmente, enquanto escrevo esse livro, curso Física pelo Instituto de Física Gleb 
Wataghin da Universidade de Campinas (Unicamp). Esse livro é uma transcrição de aulas 
online ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do MIT. Posso dizer que mesmo cursando 
física eu não tinha um contato real com essa ciência (ainda não havia caído minha ficha de 
como a física funciona). Quando assisti às aulas do professor, fiquei fascinado com o seu modo 
de ensinar. Posso dizer que ele se tornou minha grande inspiração para a física. Para minha 
alegria, tive a grande satisfação de conversar, em rápidas palavras, com o professor Lewin 
através de e-mails. Pude então agradece-lo por abrir a minha mente para o verdadeiro 
conhecimento da física, e é exatamente isso que pretendo nesse curso de Mecânica. 
Não estão todas as aulas ministradas aqui, decidi escrever somente até o ponto que 
está de acordo com Física I, curso F 128 da Unicamp. 
Alunos abram suas mentes e não desistam da física. 
 
Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala 
Aula 02 – Velocidade e Aceleração 
Aula 03 – Vetores 
Aula04 – Movimento de Projéteis 
Aula 05 – Movimento Circular 
Aula 06 – Leis de Newton 
Aula 07 – Peso 
Aula 08 – Atrito 
Aula 09 – Revisão 
Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores 
Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal 
Aula 12 – Forças de Resistência 
Aula 13 – Equações do Movimento de Osciladores Harmônicos Simples 
Aula 14 – Órbitas, Velocidade de Escape e Energia 
Aula 15 – Momentum e sua Conservação 
Aula 16 – Colisões Elásticas e Inelásticas 
Aula 17 – Momentum de Objetos Individuais, Impulso e Foguetes 
Aula 18 – Revisão 
Aula 19 – Rotação de Corpos Rígidos, Momento de Inércia e Teorema dos Eixos 
Aula 20 – Momento Angular 
Aula 21 – Torque 
Aula 22 – Leis de Kepler e Mudanças de Órbitas 
Aula 23 – Efeito Doppler, Sistemas Binários, Estrelas de Nêutrons e Buracos Negros 
Aula 24 – Movimento Rotacional e Giroscópios 
Aula 25 – Equilíbrio Estático 
 
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Física I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala 
 
Em física, nós exploramos coisas que vão desde o muito pequeno até o muito 
grande. Frações que compreendem o tamanho de um próton até o tamanho do 
Universo. Os físicos medem 45 ordens de grandeza (um seguido de quarenta e cinco 
zeros). 
Para expressar as medidas adotamos unidades: 
 Comprimento [L] 
 Tempo [T] 
 Massa [M] 
Essas são as grandezas chamadas de fundamentais na mecânica. 
Há um vídeo, chamado “Powers of Ten” que mostra um pouco sobre a 
magnitude das grandezas medidas em física. Segue o link para acessar o vídeo: 
http://www.powersof10.com/film 
Agora que nós conhecemos um pouco mais sobre ordens de grandeza, 
podemos introduzir as unidades de medida. Para a unidade de comprimento, temos 
metros (m); para a unidade de tempo, segundo (s); para a unidade de massa, temos o 
kilograma (kg). Mas essas não são as únicas unidades. Temos uma série de outras 
unidades que correspondem às mesmas grandezas. Por exemplo: para o comprimento 
nós temos metros, centímetros, polegadas, entre outras; para o tempo nós temos 
segundos, minutos, horas, dias, meses, etc.; para a massa nós temos o kilograma, 
toneladas, etc. E essas grandezas foram sofrendo alterações no decorrer do tempo até 
chegarmos aos padrões atuais de medida, descritos pelo Sistema Internacional de 
Unidades. 
A partir das grandezas fundamentais nós podemos derivar outras grandezas. 
Por exemplo: 
[ ] 
[ ]
[ ]
 [ ] [ ] 
 
[ ] 
[ ]
[ ] 
 [ ] 
[ ]
[ ] 
 
 
 
Conhecendo essas grandezas nós podemos fazer nossas medições. 
Porém, é importante conhecer o máximo possível uma medida. Para isso, 
devemos conhecer, também, uma incerteza relacionada à nossa medida. Qualquer 
medida que fazemos sem conhecer sua incerteza é completamente sem sentido. Essa 
frase é tão importante que ela merece destaque: 
“Qualquer medida que fazemos, sem conhecer a sua incerteza, é 
completamente sem sentido”. 
Algumas pessoas possuem uma crença popular, na qual dizem que quando 
estamos deitados somos ligeiramente maiores do que quando estamos em pé. O que 
faremos aqui é testar essa crença e ver se ela tem algum fundamento científico. 
Primeiramente, mediremos uma barra de alumínio. 
- Na vertical 
L = 149.9 0.1 cm 
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- Na horizontal 
L = 150.0 0.1 cm 
O “mais ou menos” representa a minha incerteza, pois o meu instrumento de 
medida pode conter algum erro, e certamente ele contém. Ou então eu posso ter 
cometido algum erro na hora da medida. Mas perceba que, embora minha medida na 
horizontal possa ter diferenciado da vertical, o meu erro anula essa diferença. 
Agora, medindo uma pessoa. 
- Na vertical 
L = 183.2 0.1 cm 
- Na horizontal 
L = 185.7 0.1 cm 
A diferença de altura é cerca de 2.5 0.2 cm 
Perceba que a diferença não é muito grande, e o nosso erro é dado em 
milímetros. Se o erro fosse maior ou menor, nós não seríamos tão convincentes em 
nossas medidas. Da mesma maneira, se esse valor fosse dado em polegadas ou em 
pés, nossa diferença de altura seria muito grande e quando saíssemos da cama 
sentiríamos uma sensação muito estranha. 
De qualquer forma, se não tivéssemos nossa incerteza nossa medida não faria 
sentido. 
Galileu Galilei fez a seguinte questão: 
“Por que os grandes mamíferos não podem ser muito maiores do que seu 
tamanho original?” 
Segundo Galileu, se a massa desses mamíferos se torna muito maior, seus ossos 
poderão se quebrar. Tomemos um animal de tamanho S e massa M. 
 
Vamos nos fixar no fêmur do animal. O fêmur possui um comprimento l e uma 
espessura d. Assim, a dimensão do fêmur é dada por: 
Fêmur = 
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Sendo A a área da secção transversal do fêmur. 
O que iremos fazer agora é utilizar uma ferramenta na qual os físicos chamam 
de argumento de escala. 
 
 
 
A pressão sobre o fêmur é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Se a pressão for maior que certo valor, os ossos vão se quebrar. 
Se a massa de um animal aumenta para um fator 4 (por exemplo), para que os 
ossos não se quebrem d também terá de aumentar um fator para 4. 
 
 
 
 
 
Esse resultado mostra que se eu tenho dois animais e um é dez vezes maior que 
o outro, então S é dez vezes maior, os comprimentos das pernas serão dez vezes 
maiores, mas a espessura do fêmur será trinta vezes maior. 
 
Agora usaremos outra ferramenta, conhecida como análise dimensional, para 
tentar responder a seguinte questão: Digamos que uma maçã cai de uma altura h, o 
tempo de queda (t) depende de quais fatores? 
 
O valor α é desconhecido,mas se aumentamos α nós aumentamos t. 
Sabemos que a maçã possui uma massa m. 
 
Da mesma maneira, se β aumenta a maçã é mais maciça e levará menos tempo 
para cair. Mas também existe a aceleração da gravidade, que nós ainda não 
compreendemos muito bem. 
 
Agora, vamos tentar encontrar os valores dos nossos expoentes. Note que do 
lado esquerdo de nossa relação só existe o tempo, e ele está elevado a um. Da mesma 
maneira, temos de ter do lado direito apenas o tempo. 
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Assim, podemos escrever: 
[ ] [ ] [ ] 
[ ] 
[ ] 
 
Como só há M do lado direito, β deve ser zero. 
Como não há L no lado esquerdo, temos: 
 
Para T, temos: 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que nos dá as possíveis respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
Observando esses valores, nós podemos concluir que (como existem potencias 
iguais a ½ e isso é uma raiz): 
 √
 
 
 √ 
O valor C é uma constante, assim como g (que é a gravidade) e por essa razão 
nos sobra apenas √ . 
Se a maçã cai de uma altura de 8 metros e outra de uma altura de 2 metros, a 
de 8 metros demorará 2 vezes mais para chegar ao chão do que a de 2 metros. 
 
Fazendo uma experimentação... 
Lançaremos um objeto de duas alturas distintas, sendo que uma é o dobro da 
outra. 
H1 = 3.000 0.003 m 
H2 = 1.500 0.003 m 
 
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A relação de H1 para H2 é: 
 
 
 
O que queremos é encontrar uma relação do tempo de queda, sendo que não 
medimos o tempo de queda do objeto das diferentes alturas (apenas utilizamos os 
valores das alturas para encontrar uma relação). Mas sabemos que: 
 √ 
Com isso, podemos obter a relação dos tempos de queda t1 e t2: 
 
 
 √
 
 
 
O que fizemos até aqui foi apenas uma predição do que esperamos ocorrer 
experimentalmente. Agora, mediremos o tempo de queda do objeto das duas alturas. 
Os resultados são: 
t1 = 0.781 0.002 s 
t2 = 0.551 0.002 s 
 
Assim, nossa relação fica: 
 
 
 
Perceba que o valor experimental foi muito próximo de nossa predição. Na 
realidade, como estamos adotando um erro, podemos confiar em nossa experiência e 
dizer que os valores coincidem. 
Esse resultado nos mostra que o tempo de queda não depende da massa do 
objeto, mas sim da altura que o mesmo é lançado (pois o resultado com o objeto em 
queda foi o mesmo resultado analisando apenas a altura). 
 
Essa primeira aula buscou fazer com que o aluno comece a questionar 
fisicamente a natureza, pois é isso que um físico faz. Portanto, quero lhe desejar boas 
vindas ao conhecimento da natureza. Isso é Física! 
 
Indo mais além... 
Unidades de Medidas 
No decorrer da história, foi necessária a criação de padrões únicos de unidades 
de massa e comprimento pelo fato de que os poderosos da França (por volta do século 
XVIII) usufruíam mercadorias por um preço menor, e as vendiam por um preço maior. 
A França estava passando por problemas, e com a decadência e a desmoralização da 
monarquia, era difícil ter leis. Isso originou várias formas de opressão. Em 1790, no 
início da Revolução Francesa, um decreto da Assembleia Constituinte, que assumiu o 
poder da França, exigiu da Academia de Ciências uma criação de padrões únicos de 
massa e comprimento. Foram esses padrões que originaram o sistema métrico, 
oficializado na França em 1799. Para definir a unidade de quilograma, foi criado o 
Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM). Existem mais de oitenta cópias do 
BIPM pelo mundo, inclusive no Brasil. 
Medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor numérico e uma unidade. São essas 
unidades muito importantes para o estudo da física, pois são elas que muitas das vezes 
confundem as pessoas. Em qualquer campo de conhecimento, em especial nas ciências 
e na engenharia, a interpretação e a previsão de eventos se baseiam na medição de 
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grandezas. A necessidade de classificar grandezas como temperatura, comprimento, 
etc. nos conduziu ao desenvolvimento de unidades de medidas, os padrões de 
medidas. Geralmente, os padrões de medidas seguem o Sistema Internacional de 
Medidas (S.I.), mas também temos outras unidades. 
 
Notas de Aula 
A figura mostra diferentes medidas de fêmures de vários mamíferos. 
 
Aqui temos um gráfico que relaciona as medidas obtidas com os fêmures. 
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Aula 02 – Velocidade e Aceleração 
 
Vamos falar sobre velocidade e aceleração. 
Temos um objeto que se move em linha reta, em um movimento 
unidimensional. 
 
A direção nós quem escolhemos, somos livres para decidir isso. 
Iremos introduzir o conceito de velocidade: 
〈 〉𝑡 𝑡 
 𝑡 𝑡 
 
 
Nesse caso, 〈 〉𝑡 𝑡 > 0, pois 𝑡 é maior que 𝑡 . Perceba que para 〈 〉𝑡 𝑡5 = 0, 
pois a posição 𝑡 e 𝑡5 é a mesma. Para 〈 〉𝑡 𝑡4 < 0, pois 𝑡4 é menor que 𝑡 . 
 𝑡 representa a posição x do objeto no tempo t, enquanto que 〈 〉 é a 
velocidade média. 
Se eu mudo o sentido da trajetória, eu mudo os sinais da minha velocidade. 
Velocidade negativa indica que o móvel está no sentido contrário ao sentido positivo 
da trajetória. Ou seja, a escolha dos sentidos determina os sinais. 
Analisando nosso movimento em um gráfico, escolhemos um intervalo, nesse 
caso de t2 a t3. 
 
O que nos dá: 
〈 〉 
 
 
 
Se α é positivo, então a velocidade é positiva. Mas se α é negativo então a 
velocidade é negativa, como é o caso de t4 a t5. 
Existe uma grande diferença entre velocidade média e velocidade escalar 
média. A velocidade escalar é definida como: 
 
 
 
 
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Entre t1 e t5 a velocidade média é zero, mas a velocidade escalar é diferente de 
zero. Para a velocidade escalar o sinal não importa, mas sim a magnitude. Por 
exemplo, se eu tenho: v1 = + 30 m/s e v2 = – 100 m/s, embora sabemos que – 100 é 
menor que + 30, para a velocidade escalar só importa a magnitude, ou seja não 
consideramos o sinal (100 é a velocidade maior). 
Olhando novamente para o intervalo do meu gráfico: 
 
Se eu aproximo t3 de t2 o ângulo α começa a mudar. A nossa reta t2t3 se torna 
uma tangente em α no caso limite de Δt  0 (ou seja, quando meu intervalo de tempo 
for muito pequeno). Assim nós definimos velocidade instantânea: 
 
 𝑡 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a velocidade instantânea é uma derivada. 
Temos que: 
 
 
 
 
Pode ser maior que zero; igual à zero ou menor que zero. 
Suponha que temos um projétil que vai partir do ponto I e chegar ao ponto II, 
que estão separados por uma distância D. 
 
 
Como sabemos, medidas sem uma incerteza é sem sentido. Em nosso caso 
temos duas incertezas: à distância e o tempo que o projétil demora a ir de I até II. 
A distância nós medimos e sabemos que é D. 
Ao passar por I, o tempo do projétil começará a ser medido e terminará em II. 
Sendo D = 148.5 0.5 cm 
Se a velocidade do projétil fosse de 300 m/s, o tempo medido seria de 5 
milissegundos. Adotando um erro de 20%, temos que nosso erro será 0.1 ms. 
Medindo experimentalmente a velocidade do projétil: 
t = 5.8 0.1 ms 
Assim: 
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Introduziremos agora o conceito de aceleração média. 
Podemos perceber que a velocidade não permaneceu constante todo o tempo. 
Ela tem mudado. Assim: 
〈 〉 
 𝑡 𝑡Assim como a velocidade, o sinal depende da trajetória. 
〈 〉 
 
 
 
Suponha que uma bola caia no chão com uma velocidade de 5 m/s, e depois ela 
retorna com a mesma velocidade. 
 
 
Assim: 
〈 〉 
 
 
 
Note que a partir do gráfico de velocidade em função do tempo é possível 
encontrar o valor da aceleração. Da mesma maneira que fizemos anteriormente, 
podemos encontrar a aceleração em qualquer momento (aceleração instantânea) 
tornando o intervalo de tempo cada vez menor, ou tendendo a zero. Portanto, temos 
que: 
 
 𝑡 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Agora, analisemos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
O que nos fornece: 
 
 
 
 
Ou seja, a aceleração é a segunda derivada do espaço em função do tempo. A 
aceleração pode ser maior que zero, igual a zero ou menor que zero. 
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Se em um gráfico a velocidade é constante então a aceleração é zero. Se v > 0 
então a > 0 e se v < 0 então a < 0. 
 
Tomemos a seguinte função: . 
Essa função representa o espaço percorrido por um determinando objeto em 
função do tempo. Vamos lembrar uma regra básica de derivação: 
 
 
 
 
Portanto, podemos derivar nossa função espacial e obter a velocidade do nosso 
objeto. Assim: v = – 6 + 2t (m/s) 
Derivando mais uma vez nossa função, encontramos o valor da aceleração: a = 
+ 2 (m/s²) 
Note que nossa função é de segundo grau e nossa aceleração é positiva. Assim, 
podemos esboçar nosso gráfico. 
 
Vamos nos focar no estudo em uma dimensão (1-D). Tomaremos o valor da 
nossa aceleração constante e os valores de C são parâmetros que dependem do 
tempo. 
 
 
Essa é uma forma geral de escrever o espaço percorrido. Derivando temos: 
 
 
Assim, ficamos com os seguintes resultados: 
 
 
 
 
 
 
Para objetos sob a influencia da gravidade, existe uma aceleração constante a 
qual chamamos de “g”, cujo valor é de 9.8 m/s². 
 
Essa aceleração é independente da massa do objeto. 
 
 
 
 
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Vamos soltar uma bola de uma determinada altura, de maneira que o espaço 
inicial é zero e a velocidade inicial é zero (a bola parta do repouso): 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso nos conduz à uma conclusão com respeito à primeira aula, quando 
tínhamos a seguinte equação: 
 √
 
 
 
E agora, podemos concluir que: 
 √ 
Como v = gt, quando soltamos um objeto sua velocidade aumenta com o 
tempo. Com o auxilio de uma foto estroboscópica podemos ver espaços cada vez 
maiores entre imagens sucessivas do objeto em queda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 03 – Vetores 
 
Algumas quantidades em física nós representamos utilizando apenas um 
número e uma unidade, como a massa ou a temperatura, por exemplo. Existem, 
porém, algumas grandezas na qual devemos conhecer, também, uma direção e um 
sentido. Esse é o caso dos vetores. 
Velocidade e aceleração são exemplos de vetores. 
Nessa aula, aprenderemos a trabalhar com essas ferramentas matemáticas. 
Os vetores possuem um comprimento, uma direção e um sentido. Sua 
representação é: 
 
Nós vamos estudar planos de uma maneira tridimensional. Por essa razão, 
muitas vezes, nossos vetores poderão sair do plano (papel) ou entrar no plano. 
 
 
Quando representamos vetores, nós podemos escrevê-los das seguintes 
maneiras: 
 
Aqui, vamos representar os vetores com negrito. 
Seja O um ponto qualquer e P uma determinada localização. Digamos que eu vá 
de O até P. 
 
Imagine que o plano onde OP esteja seja uma grande mesa, e essa mesa se 
move da seguinte maneira: 
 
O ponto S será minha posição final na qual vocês verão (embora, para mim, eu 
tenha permanecido em P). Portanto, haverá uma distância OS que vocês medirão. 
 
Essa distância é calculada utilizando-se a adição de vetores: 
 
Física I - Mecânica Página 19 
 
Há várias maneiras nas quais podemos somar vetores. Dados dois vetores A e 
B: 
 
Eu posso juntar a extremidade de um vetor com a origem do outro. 
 
 
Não importa qual vetor venha antes, meu resultado permanece o mesmo. 
 
 
 
Podemos utilizar a regra do paralelogramo, que consiste em juntar as duas 
origens dos vetores. 
 
O que significa um vetor ser negativo? 
 
 
Física I - Mecânica Página 20 
 
Ou seja - A é igual a A, mas com o sentido contrário (possui a mesma direção e 
o mesmo comprimento). Essa ideia nos conduz à subtração de vetores. 
 
 
 
 
Se não conhecemos a direção e o sentido de algo, então existem várias 
possibilidades para nosso resultado. Por exemplo, se temos dois vetores os quais 
conhecemos apenas suas magnitudes, sem os sentidos ou direções, e sejam seus 
valores iguais a 5 e 4, nosso vetor final pode ser 1 ou 9. 
Vários vetores podem ser representados por um único vetor. De maneira 
análoga, podemos decompor um único vetor em vários outros. 
Seja um vetor A num espaço tridimensional. 
 
Os vetores i, j e k representam os vetores unitários das coordenadas x, y e z 
(respectivamente). Esses vetores nós chamamos de “versores”. 
Assim eu reescrevo meu vetor A nas componentes i, j e k: 
 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 21 
 
A magnitude do vetor, ou o comprimento, é calculado da seguinte maneira: 
 | | √ 
Exemplo: 
A = 3i – 5j + 6k 
| | √ 
| | √ 
 
 
Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos. 
 
 
| |
 
Assim, nossa resposta fica: 
 
 
√ 
 
Multiplicação de Vetores 
 Produto Escalar (Produto Ponto) 
 
O resultado é um número. 
 
O ângulo θ entre os vetores deve ser encontrado projetando-se um vetor sobre 
o outro, o que nos fornece a definição de produto escalar: 
 
 
 | || | 
O sinal desse resultado depende do ângulo adotado. 
Isso será melhor visto em trabalho, pois nós teremos trabalho positivo e 
trabalho negativo. 
Exemplo 1. 
 
Assim, nossa resposta fica: 
 
Exemplo 2. 
 A = j e B = k 
 
Física I - Mecânica Página 22 
 
 Produto Vetorial (Produto Cruz) 
 
O resultado é um vetor. 
Vamos colocar nossos vetores em uma matriz. 
 
É importante que A venha antes, pois em nossa multiplicação ele vem antes. 
Agora, copiamos as coordenas dos vetores em ambos os lados da matriz e 
aplicamos a multiplicação como se fossemos encontrar o determinante. 
 
Conhecendo dois vetores A e B, temos que: 
 | || | 
Nós conhecemos a magnitude do vetor, mas comosaberemos sua direção? 
Para isso, nós utilizamos a regra da mão direita. 
Os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois ele foi o primeiro termo a 
surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B (formando o ângulo). O polegar 
apontará no sentido do vetor C. 
 
Se o vetor entra no plano, seu sinal será positivo. O vetor é sempre 
perpendicular a A e B. Portanto: 
 
 
Com isso, podemos concluir que: 
 
Exemplo: 
A = i Ax = 1 
B = j By = 1 
Física I - Mecânica Página 23 
 
 
 
Há uma dica para a multiplicação de vetores: 
 
Assim, seguindo sempre no sentido das setas: 
 
 
 
Caso invertemos a ordem: 
 
 
 
Agora, vamos observar um ponto que se move em um espaço tridimensional 
durante um tempo t. Seja r(t) o vetor deslocamento: 
 
Podemos derivar essa função e encontrar a velocidade e a aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o ponto P se movendo: 
 
 
 
 
 
 
 
Essas são as coordenadas em x. 
De modo análogo para y e z. 
Com isso decompomos um movimento tridimensional para um movimento em 
uma dimensão, o que irá facilitar as coisas. 
Lançando uma bola para frente sua trajetória poderá ser descrita em um plano 
vertical. Por mais que a bola viaje em 3 dimensões, podemos representar sua trajetória 
em apenas 2 eixos, bidimensionalmente, em x e y. 
Estudaremos o trajeto da bola analisando um trajeto no eixo x independente 
do eixo y. Da mesma maneira analisaremos o eixo y e então juntaremos ambos para 
descrever o trajeto da bola. 
Como vimos na aula anterior, em movimentos em 1-D. 
 
 
 
 
 
 
Estudaremos essas equações para x e depois y. 
Lançando uma bola, temos: 
Física I - Mecânica Página 24 
 
 
 
 é a velocidade inicial no eixo x e é a velocidade inicial no eixo y. 
A posição de P é dada por X(t) no eixo x no tempo t e por Y(t) no eixo y e no 
tempo t. O vetor deslocamento é dado por r(t). Estudando as equações nos eixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, em y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, nós decompomos um movimento complicado em dois movimentos 
independentes. Na próxima aula nós retornaremos esses argumentos. 
Observando as equações, no eixo x a velocidade não varia, pois não há 
aceleração. Apenas em y a velocidade varia, pois existe a aceleração da gravidade. Isso 
implica que se lançarmos uma bola numa trajetória oblíqua e continuarmos andando 
no mesmo sentido com a mesma velocidade horizontal, a bola cairá em nossas mãos. 
O motivo é que só existe aceleração em y, e y é independente de x. Porém, a trajetória 
será uma junção de ambos os movimentos. 
Física I - Mecânica Página 25 
 
Fazendo uma experimentação... 
Um dispositivo com uma bola lançara a mesma assim que passar por um 
determinado ponto. Após lançar a bola, o dispositivo continuará se movimentando 
com velocidade constante, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 04 – Movimento de Projéteis 
 
Nessa aula faremos algumas aplicações do que vimos na aula passada. 
Tomando a trajetória de uma bola. 
 
P é o ponto máximo (altura máxima atingida) e S é o ponto final da trajetória 
(alcance). 
Vamos utilizar as equações do movimento em uma direção: 
 
 
 
 
 
 
 
Da aula anterior, temos que: 
 
 
 
 
 
A aceleração é –g, pois aponta no sentido contrário à y. 
Usando a equação 3, temos que: 
 
 
 
 
Como o espaço inicial é zero o termo desaparece. 
Da equação 1: 
 
Da mesma maneira, desaparece, pois é zero. 
Isolando t na equação 1: 
 
 
 
 
Substituindo t na equação 3: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
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Essa é a equação da trajetória que por sua vez é uma parábola (perceba que há 
termos quadráticos). Nós usamos t da equação 1 pois ao término do movimento em x 
nosso objeto completa a trajetória. 
Agora, qual o tempo o nosso objeto demorará a atingir a altura máxima? 
Para isso, usaremos a equação 4. Devemos nos perguntar em que momento a 
velocidade em y é zero, pois na altura máxima essa velocidade é zero. 
Da equação 4, temos: 
 
 
 
 
 
Esse é o tempo que a bola demora a atingir o ponto P, ou a altura máxima. 
Substituindo esse resultado na equação 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso, podemos encontrar a altura máxima. 
Agora, podemos calcular o tempo que o objeto leva para ir de O até S. 
Calcularemos, portanto, seu alcance. 
O tempo de subida da bola é igual ao tempo de descida, portanto o tempo total 
do movimento, até chegar em S, será duas vezes o tempo para alcançar P. 
 
 
 
 
O ângulo determinará a altura e o alcance. 
Queremos saber a distância OS. Utilizaremos a equação 1 pois o alcance é com 
relação ao eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atirando um objeto verticalmente: 
 
 
 
 
 
Digamos que o objeto alcance uma altura igual a 307 0.15 m. 
Esses valores são experimentais (lançamos o objeto várias vezes para cima e 
estamos adotando um erro de 5%). Assim, temos que: 
 
Alterando o ângulo: 
 
Minha predição será: 
 
 
 
Minha predição será: 
Física I - Mecânica Página 28 
 
 
Nesse caso, adotamos um erro de 7%. 
É interessante fazer essas experiências. 
Se ao invés de 30° eu usasse 60°, OS não mudaria, pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E sen60 = sen120. 
 
 
Algumas pessoas possuem um hobby um tanto quanto maldoso. Trágico para 
ser mais exato. Essas pessoas, como ocorre muito na África, caçam macacos. 
 Um caçador mira sua arma, apontando diretamente para um macaco que está 
em uma árvore. 
 
A linha tracejada representa o trajeto que o projétil faria caso não houvesse a 
gravidade. A parábola representa a trajetória real do projétil (embora esteja um pouco 
exagerada). Ou seja, se o caçador mira direto no macaco ele não o acertará, mas o 
projétil atingirá o ponto P. 
Mas, digamos que o macaco se assuste com o flash do disparo e então ele salta. 
O que ocorrerá com ele? 
Vamos analisar as duas trajetórias do projétil. 
Sabemos que: 
 
 
 
 
Portanto, o que ocasiona a mudança na trajetória é a gravidade (que é a 
mesma em todo o trajeto). Com isso: 
Física I - Mecânica Página 29 
 
 
Perceba que a diferença de altura no primeiro ponto é ocasionada pelo mesmo 
fator que ocasiona a diferença de altura no segundo ponto (ambos são por causa do 
1/2gt²). 
Ou seja, se o macaco pula no momento do disparo ele será atingido. Se a 
velocidade do projétil for alta, o macaco será atingido em uma altura maior. Se a 
velocidade do projétil for baixa, o macaco será atingidoem uma altura menor. Mas se 
a velocidade for muito baixa, o macaco não será atingido. 
Agora, vamos imaginar a mesma situação só que dentro de um elevador em 
queda livre. 
 
Se o macaco não se mover ele verá o projétil vindo em direção a sua cabeça. 
Mas digamos que o macaco, muito inteligente, faça um rápido cálculo. Ele 
percebe que: 
 𝑡 
√ 
 
 
 
Para nós, calculando o tempo de morte do macaco (caso ele não faça nada): 
 𝑡 
 
 
 
 
E 
 
 
√ 
 
Física I - Mecânica Página 30 
 
 
Então: 
 𝑡 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
Ou seja, se o macaco vai viver ou morrer dependerá se os seus cálculos 
estiverem certos ou errados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 31 
 
Aula 05 – Movimento Circular 
 
Nessa aula nós discutiremos sobre movimento circular uniforme. 
 
Perceba que a velocidade é tangente à trajetória. A velocidade média está 
mudando, mas a velocidade escalar não. 
T = período (s) 
f = frequência (rad/s) ou Hz 
 
 
 
 
A velocidade angular (ω) em um movimento circular é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há uma aceleração sobre o objeto que altera sua direção. A aceleração 
centrípeta (ac) é sempre direcionada para o centro da trajetória. 
 
| | 
 
 
 
Um exemplo: 
r: 10 cm 
f: 10 Hz 
T = 1/10 s 
600 rpm 
Física I - Mecânica Página 32 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração centrípeta deve ser causada por algo. E é esse algo que está 
mudando o sentido da velocidade. Esse algo nós chamaremos de “puxão” ou 
“empurrão”. 
Imaginemos uma plataforma giratória, e você está sentado em uma cadeira que 
está parafusada a essa plataforma. A plataforma gira com uma velocidade angular ω. 
Então você sentirá um empurrão da cadeira em suas costas em direção ao centro. 
Agora, digamos que ao invés de estar sentado na cadeira você esteja em pé segurando 
um cabo de vassoura na vertical (voltado para o centro da plataforma). Dessa maneira, 
você sentirá que o cabo de vassoura está te puxando em direção ao centro. 
 
 
O que aconteceria se o puxão ou o empurrão deixasse de agir sobre você? 
Algumas pessoas acreditam que você seguiria uma trajetória descrita por uma espiral. 
 
Mas isso não é verdade. Não é isso o que acontece. 
Pelo fato da velocidade ser tangente à trajetória, se o puxão ou empurrão 
deixar de agir, você sairia no sentido da velocidade. 
Física I - Mecânica Página 33 
 
 
Se você possui uma velocidade na direção x e de repente o puxão ou empurrão 
deixa de agir, então você sairá na direção x. É fácil demonstrar isso 
experimentalmente. Fique girando algum objeto preso a uma corda e depois solte a 
corda. Você verá o objeto saindo na direção a qual você soltou a corda. 
No caso dos planetas do sistema solar, o que causa esse puxão é o Sol. Se o Sol 
desaparece, os planetas escapariam em linha reta ao longo da direção em que estavam 
no momento em que deixaram de sentir o puxão do Sol. 
Mas é claro que as órbitas dos planetas não são circulares. Como descreveu 
Kepler, as órbitas são elípticas. Conhecendo-se a distância dos planetas ao Sol (que 
seria o raio) e conhecendo também seus períodos, podemos adotar uma trajetória 
circular para os mesmos a fim de fazer uma estimativa de suas acelerações centrípetas. 
 
Temos uma bola de gude dentro de um tubo de vidro. Nós vamos girar esse 
tubo, como mostra a figura: 
 
 
O desenho mostra o trajeto circular da bola de gude. A bola necessita de uma 
aceleração centrípeta para girar em torno do centro. Mas o que prova que exista algo 
agindo sobre ela? 
Física I - Mecânica Página 34 
 
O tubo é o que ocasiona o movimento da bola, assim como o Sol dos planetas. 
A posição da bola depende do tudo. Se o tubo deixa de existir repentinamente a bola 
escapa no sentido de v. Essa é a ideia básica de uma centrífuga. 
Se quisermos secar salada, como alface, por exemplo, podemos fazer isso 
utilizando uma centrifuga para saladas. A secagem ocorre pois a água mantém seu 
sentido igual ao da velocidade e escapa pelos furos presentes na centrifuga. Abaixo, 
temos o exemplo de uma centrífuga para saladas. 
 
Vamos falar sobre aceleração centrípeta e a maneira como nós percebemos a 
gravidade. 
Iremos coloca-lo em várias situações e ver como você sente a gravidade. Você 
está segurando em uma corda. Eu te pergunto: você sente um puxão ou um 
empurrão? E em que sentido você sente a gravidade? 
 
Ou seja, você sente um puxão para cima e a gravidade no sentido oposto. 
Agora, você está em pé, sobre o chão. Você sente um puxão ou um empurrão? 
E em que sentido você sente a gravidade? 
Física I - Mecânica Página 35 
 
 
O chão empurra você para cima. Perceba que em ambos os casos a gravidade é 
oposta ao puxão ou empurrão. 
Agora, vou rodá-lo enquanto você segura na corda. Você sente um puxão ou 
um empurrão? E qual o sentido da gravidade? 
 
São esses os sentidos os quais você sentirá um puxão e a gravidade. Quanto 
mais rápido eu rodá-lo, mais forte será o puxão e mais forte será a sensação de 
gravidade. 
 
Vamos viajar agora para o espaço onde você está na estação espacial 
Enterprise. Não há gravidade, mas nós criaremos uma gravidade artificial. 
Física I - Mecânica Página 36 
 
 
 
O chão da nave está te empurrando, então você deveria sentir a gravidade no 
sentido oposto. Mas uma pessoa em outro ponto da estação espacial sentiria a 
gravidade em outra direção. 
Queremos calcular a rotação da Enterprise a fim de imitar a aceleração da 
gravidade terrestre, que é de 9.8 m/s², ou podemos arredondar o valor para 10 m/s². 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
| | 
No centro de nossa estação espacial não há aceleração centrípeta, pois o raio é 
zero. 
Agora vem uma questão: nós podemos andar pelo corredor em torno da nave 
sem problema algum, mas poderíamos andar nos corredores centrais? 
Digamos que você quer chegar até o quarto. 
Física I - Mecânica Página 37 
 
 
Você nunca conseguiria chegar ao seu destino pois você estaria indo contra a 
gravidade. 
Mas, por outro lado, digamos que você acorda no quarto e decida voltar para o 
corredor em torno da nave. O que aconteceria? 
Você simplesmente seria jogado para fora. A medida que você começa a se 
afastar do centro da Enterprise a gravidade começa a aumentar pois o raio começa a 
aumentar. 
 
Suponha que temos um líquido cheio de diminutas partículas. Essas partículas 
são tão pequenas que estão misturadas no líquido, nem podemos percebe-las. 
Colocamos o liquido em um tubo e o giramos em torno de um eixo. 
 
Física I - Mecânica Página 38 
 
Como há uma aceleração centrípeta, as partículas sentirão a gravidade no 
sentido oposto. O líquido é sempre perpendicular a gravidade, portanto, assim que o 
tudo começa a girar, temos: 
 
 
Depois de um certo tempo girando, as partículas no líquido irão todas emdireção à gravidade. No final teremos: 
 
Esse é o funcionamento de uma centrífuga de laboratório. 
 
Vamos dar alguns valores para uma centrífuga: 
 
 
 
 
Esse valor é cerca de 2000 vezes maior que a aceleração da gravidade da Terra. 
Agora, voltemos ao caso em que você esteja rodando enquanto segura em uma 
corda. Mas agora vou rodá-lo de uma maneira um pouco diferente. 
Física I - Mecânica Página 39 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
Eu posso girá-lo cada vez mais rápido, de modo que v aumente e a aceleração 
centrípeta aumente. Então, eu te pergunto: em que direção é a gravidade? 
E você me responderá o seguinte (assumindo que você esteja nesse ponto): 
 
Por mais que isso pareça ir contra nosso senso comum, é algo verdadeiro. É tão 
verdadeiro que eu posso pegar um balde com água, prende-lo à uma corda e girá-lo da 
mesma maneira que fiz com você de maneira que a água não caia do balde. 
 
Física I - Mecânica Página 40 
 
Com alguns dados, podemos calcular um valor para que a aceleração centrípeta 
seja maior que a aceleração da gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, se a física funciona, eu posso girar o balde com certa velocidade 
(mínima) que quando o balde estiver no topo a água não cairá dele. Se minha 
velocidade for baixa, então eu irei me molhar. 
 
Notas de Aula 
Esses são dados das distâncias dos planetas ao Sol, de seus períodos e de suas 
acelerações centrípetas. 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 41 
 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 42 
 
 
Perceba que foi encontrada uma relação entre as acelerações centrípetas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 43 
 
Aula 06 – Leis de Newton 
 
Na aula passada foi discutido como a aceleração é causada por um puxão ou 
empurrão. 
Nessa aula discutiremos melhor essa ideia com o que chamamos de Leis de 
Newton. 
A primeira lei foi expressa por Galileu, o qual dizia: 
“Um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento 
permanece em movimento com uma velocidade constante através de uma linha reta 
ao menos que uma força externa aja sobre ele”. 
Newton, em seu famoso livro Principia, escreveu essa lei. E aqui está da forma 
como ele escreveu: 
“Todo corpo mantém seu estado de repouso ou de movimento uniforme em 
linha reta até que uma força externa mude seu estado”. 
Essa lei é chamada de inércia. 
Se um objeto fosse lançado através de uma linha reta e conseguíssemos anular 
a gravidade e outras forças, como o arrasto, por exemplo, então esse objeto 
permaneceria em movimento para sempre. 
A inércia não serve para um referencial que está sendo acelerado. Imagine que 
eu esteja me movendo em um movimento acelerado na seguinte direção. 
 
Você iria ver minha velocidade mudando, contanto que você esteja em 
repouso. De acordo com a primeira lei deve existir uma força agindo sobre mim. Se 
você me perguntar se eu sinto algo me empurrando eu responderei: sim, eu sinto um 
empurrão. 
Agora, imagine que vocês vêm na minha direção com velocidade constante. Eu 
veria vocês em movimento acelerado, pois eu estou acelerado e no sentido contrário. 
Então eu diria que vocês, de acordo com a primeira lei, devem estar sentindo uma 
força empurrando vocês. Mas vocês não sentem nada. 
Portanto, a inércia não funciona para meu referencial que está acelerado. 
A primeira lei funciona para referenciais inerciais. E nesses referenciais não 
podemos levar em conta qualquer tipo de aceleração. 
A sala em que você está não é um referencial inercial, pois a Terra gira ao redor 
do Sol com uma aceleração centrípeta. O Sol, por sua vez, gira em torno do núcleo da 
Via Láctea. E a Via Láctea gira em torno de outros aglomerados galácticos. 
Podemos fazer uma estimativa da aceleração que a sala está sofrendo. Vamos 
imaginar que a sala em que você está fique sobre o equador. 
Física I - Mecânica Página 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
Esse valor é bem menor que a aceleração da gravidade da Terra. 
A primeira lei não pode ser provada, mas devemos acreditar nela. 
Vamos para a segunda lei. 
Tomemos uma mola, na qual a esticaremos um pouco. 
 
Se eu estico a mola surgirá uma força de tração (ou puxão) oposta. 
Agora, eu prendo um corpo de massa M1 à mola. 
 
Eu meço a aceleração a1 do bloco M1, causada pelo puxão logo após eu soltar a 
mola. 
Física I - Mecânica Página 45 
 
Agora, eu substituo M1 por outro corpo de massa M2, mas mantenho a mesma 
deformação da mola. Assim, eu meço a2. 
Experimentalmente eu vejo que, como a deformação é a mesma (o puxão é o 
mesmo e, portanto, a força é a mesma): 
 
E essa é a minha definição de força. 
Assim, uma força sobre um corpo de massa 10 vezes maior daria ao mesmo 
uma aceleração 10 vezes menor em relação a outro corpo. 
A segunda lei é descrita como: 
“A ação de uma força sobre um corpo lhe dá uma aceleração que é na direção 
da força e tem magnitude dada por ma”. 
O que nos fornece a seguinte equação: 
 
[ ] 
 
 
 
A segunda lei, assim como a primeira, só serve para referenciais inerciais e 
também não pode ser provada. 
Para um objeto em queda, podemos escrever: 
 
Se m se torna maior, a força da gravidade se tornará maior. 
Vamos adotar a sala como um referencial inercial. Temos uma bola na sala, e a 
bola está em repouso (a bola está em minhas mãos). Como a bola está em repouso, 
sua aceleração é zero e, portanto, as forças sobre ela devem ser zero. 
 
Eu começo a levantar a bola com a mesma força de mg (ou seja, a aceleração 
continua sendo nula). 
 
Física I - Mecânica Página 46 
 
Então: 
 
 
Chegamos à terceira lei: 
“Se um objeto exerce uma força sobre outro. O outro exerce a mesma força no 
sentido contrário ao primeiro”. 
Essa lei é conhecida como ação e reação. 
 
Vamos ver um exemplo: 
Vamos aplicar uma força de intensidade igual a 20 N sobre dois blocos que 
estão grudados. A massa dos blocos é dada: 
 
Podemos calcular a aceleração total do sistema: 
 
 
Vamos calcular a intensidade da força aplicada no bloco 2. Sendo F(1,2) a força 
que o bloco 1 aplica no bloco 2: 
 
 
No bloco 1: 
Física I - Mecânica Página 47 
 
 
 
Mas como F(2,1) está contrário, temos que F(2,1) = – 15 N. 
Assim como as outras leis, a terceira lei não pode ser provada. 
Seja uma mangueira de jardim a qual está ligada a uma torneira aberta. A força 
da água é na direção do jato, e na direção oposta temos uma força de reação, o que 
faz a mangueira serpentear quando a soltamos. 
 
Enchemos um balão com ar, e depois deixamos com que o ar saia. 
 
Dessa maneira a bexiga voa loucamente pelo ar. 
É essa a ideia básica de um foguete. 
Agora, quero apresentar um experimento simples de ser feito. O aparato que 
construiremos é conhecido como “motor de Hero” (ou “máquina de Hero”). Hero era 
uma sacerdotisa de Vênus que ficava em uma torre no mar e toda noite era visitada 
pelo seu amado Leandro, que atravessava nadando o mar até chegar à torre de Hero. 
Um dia, Leandrose afogou e Hero se jogou ao mar para salvá-lo, mas ambos acabaram 
morrendo. 
Temos uma esfera de ferro com água dentro. Nós iremos aquecer a água 
dentro da esfera. Ao redor da esfera existem saídas para o vapor d´agua. 
À medida que o vapor começa a sair, impulsionado por uma força de pressão, 
surge uma força oposta, o que faz com que a esfera comece a girar. 
 
Física I - Mecânica Página 48 
 
 
Podemos fazer essa experiência em casa. Utilizamos uma latinha de 
refrigerante e fazemos pequenos furos próximos da base. Quatro furos já são 
suficientes. Penduramos um barbante na boca da latinha e a enchemos de água. Assim 
que esticarmos o barbante e levantarmos a latinha, a água começara a sair pelos furos 
ocasionando a rotação da nossa “máquina de Hero caseira”. 
Vamos imaginar agora que uma maçã esteja caindo na Terra de uma altura de 
100 metros. Calcularemos o tempo de queda da maçã. 
 
 
 
 
 
 
A maçã puxa a Terra com a mesma força que a Terra puxa a maçã. 
 
Física I - Mecânica Página 49 
 
Ou seja, a Terra “cairá” em direção à maçã. 
Vamos calcular a aceleração que a Terra sofre (at). Seja Mt a massa da Terra. 
 
 
 4
 
 5 
 
 
 
 4 
Ou seja, a Terra se move 4 metros. Mas é claro que isso é impossível de 
se medir. 
Se eu jogo a maçã para cima, eu empurro a Terra para baixo. Essa é uma 
consequência da terceira lei de Newton. 
 
Agora, iremos analisar outro problema. 
Penduramos um objeto em cordas da seguinte maneira. 
 
O objeto está em repouso. Isso implica que a sua aceleração é zero e que as 
forças agindo sobre ele estão em equilíbrio (como diz a primeira lei). Vamos obter as 
coordenadas das forças. 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 50 
 
 
 
Em x: 
 
 
 
 
√ 
 
 
Em y: 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
Se m = 4 kg, temos T1 = 29.3 N e T2 = 20.7 N. 
 
Fazendo uma experimentação... 
Eu tenho um bloco de massa m = 2 kg pendurado, onde na parte inferior tenho 
uma corda que está apenas presa ao bloco (sem aplicar força ao mesmo). 
 
Se eu puxo o bloco para baixo, de modo que eu não o estou acelerando, T1 
deve aumentar. 
Física I - Mecânica Página 51 
 
Agora, eu vou aumentar a tensão sobre T2 até que uma das cordas arrebente. 
Se estamos puxando T2, T1 deve aumentar. 
Qual das cordas arrebentará primeiro? 
Puxando rápido, a corda de baixo arrebenta. 
Mas isso é muito estranho. Parece ir contra as leis de Newton, pois 
aumentamos a tensão em T1 mas a corda não arrebentou. 
Fazendo novamente. 
Eu puxo T2 devagar e a corda de cima arrebenta. 
Pense sobre isso... 
 
Indo mais além... 
Força e Primeira Lei de Newton 
Em física, força é o agente capaz de alterar o estado de movimento retilíneo de 
um corpo ou produzir deformações em um corpo elástico. 
Na natureza, existem quatro forças as quais chamamos de fundamentais. Todas 
as outras forças são derivadas dessas quatro. São elas: 
 Gravitacional 
 Eletromagnetismo 
 Força Fraca 
 Força Forte 
A primeira lei de Newton relaciona a somatória de forças em um corpo com o 
seu estado de movimento ou repouso. 
A resultante de forças em um corpo é dada por: 
 
Se , o corpo mantém seu estado de movimento. Matematicamente, 
temos: 
 
Assim: 
 
 
 
 
Um corpo sob a ação de uma força não nula sofre aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I - Mecânica Página 52 
 
Aula 07 – Peso 
 
Até agora nós falamos de massa, de aceleração, de forças, mas ainda não 
falamos de peso. 
O que é o peso? 
Você está sobre uma balança. 
 
Fb é a força de reação da balança. Como você está em repouso, temos que, 
nesse caso, Fb = mg. 
É essa força de reação da balança sobre você que definimos como peso. 
Agora, vou coloca-lo dentro de um elevador junto com a balança. O elevador 
está subindo. 
 
Como o elevador está subindo, Fb deve ser maior que mg. Pela segunda lei: 
 
 
Ou seja, quando o elevador está subindo nosso peso aumenta. Vamos agora 
acelerar o elevador para baixo. 
Física I - Mecânica Página 53 
 
 
Pela segunda lei: 
 
 
Ou seja, quando o elevador está descendo nós perdemos peso. 
Digamos que nós cortemos o cabo que segura o elevador. Com isso, você estará 
em queda livre e o valor de a será o mesmo de g. 
Assim: 
 
 
 
Ou seja, em queda livre nós não temos peso algum. 
Podemos ler seu peso utilizando uma balança presa a uma corda. 
 
Se eu acelero esse sistema para cima T aumenta. 
 
 
Não há diferença com o elevador. 
Perceba que estamos utilizando cordas para medir o peso. Tomemos, então, o 
seguinte sistema, conhecido como máquina de Atwood. 
Física I - Mecânica Página 54 
 
 
Estamos assumindo que m2 > m1. 
A tensão na corda da esquerda deve ser igual a da direita, pois temos uma 
única corda. Estamos assumindo que a corda não tem massa. 
Para entender melhor como a tensão na corda é igual em todos os seus pontos, 
tomemos um pedaço qualquer da corda. 
 
Ou seja, existem forças de trações (tensões) em toda a corda, e todas com o 
mesmo valor. 
Como as trações são as mesmas, devo concluir que os pesos de m1 e m2 são 
iguais (pois lembre-se que estamos usando as cordas para medir os pesos). Embora as 
massas sejam diferentes, o peso é o mesmo. 
Vamos calcular a aceleração do sistema e as trações. 
Física I - Mecânica Página 55 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo nossas equações, temos que: 
 
 
 
 
Assim, temos que: 
 
 
 
 
 
Considerando que m2 = m1 = m  a = 0, obtemos: 
 
Exemplo: 
m1 = m2 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos supor que m2 seja bem maior que m1. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Física I - Mecânica Página 56 
 
m2 >> m1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, nesse caso não existe mais tração. 
Como no elevador, se m1 está subindo ele está ganhando peso e m2 está 
perdendo peso (pois está descendo). Assim: 
 
Vamos dar alguns dados: 
m1 = 1.1 kg 
m2 = 1.25 kg 
 
 
 
 
 
Ambos os corpo pesam 1.17g. Por isso: 
 
Podemos ver então que m1 ganhou peso e m2 perdeu peso. 
 
Voltemos à ideia de algumas aulas atrás, quando você está sendo girado preso 
à uma corda num movimento circular. 
Nós vamos nos fixar em dois pontos da trajetória. O ponto S é o máximo e P é o 
ponto mínimo. 
 
Quando você estiver em P, teremos: 
 
Física I - Mecânica Página 57 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, em P o seu peso é maior. 
Agora, você está no ponto S. 
 
 
 
 
Em S, você perde peso. 
Se acé menor que g, a tração na corda teria um valor negativo e isso não possui 
um significado físico. Caso isso ocorresse você simplesmente não conseguiria chegar 
até o ponto S. Quando giramos o balde com água na aula sobre movimento circular, foi 
necessário dar certa aceleração centrípeta para o balde. Se nossa aceleração fosse 
menor que g, o balde não chegaria ao topo e não conseguiríamos girá-lo de modo a 
impedir que água não caísse. 
O que vimos até agora implica que um objeto quando lançado para cima ganha 
peso e quando está em queda livre ele não possui peso. Eu posso pular de cima de 
uma mesa segurando algo em minhas mãos. Quando eu pulo, o objeto que eu seguro 
permanecerá, rapidamente, parado no ar e depois cairá em minhas mãos. 
Podemos soltar uma balança com um peso preso à ela de uma determinada 
altura. Durante a queda, a balança marca que o peso do objeto é zero. 
 
A NASA se interessa por experimentos que parecem anular a gravidade. São 
experimentos em condições de microgravidade. 
Se você saltar de uma altura de uns 100 metros, você possuíra um pouco de 
peso devido à resistência do ar. Mas se você saltar acima da atmosfera, onde a 
resistência do ar é desprezível, você ficaria sem peso. 
O que as pessoas tem feito é o experimento que elas chamam de “gravidade 
zero”. Esse nome é um equívoco, pois a gravidade nunca se torna zero. O certo seria 
“peso zero”. 
Um avião (KC-135) voa a uma altitude de cerca de 30.000 pés. Em determinado 
momento, o avião fica em um ângulo de 45° (por conveniência). A velocidade é cerca 
de 425 milhas por hora (425 mph). As componentes da velocidade são: 
Física I - Mecânica Página 58 
 
 
Os motores são desligados e o avião entra em queda livre (através de uma 
parábola). 
 
Em P1 os motores do avião são religados. Em P2 ocorre um aumento de peso 
devido à frenagem do avião. Nesse intervalo é como se você estivesse batendo no 
chão, então seria necessário uma aceleração na direção oposta (para cima). Nesse 
ponto, seu peso dobra. Em P3 seu peso volta ao normal e o avião se prepara para 
desligar seus motores novamente. 
Aqui temos um link de um vídeo desse experimento: 
 http://www.youtube.com/watch?v=e8Nmc_m2568 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 08 – Atrito 
 
Nessa aula iremos tratar sobre atrito. 
Quando aplicamos uma força sobre um objeto o mesmo não sofre uma 
aceleração instantânea, pois existe uma força oposta ao movimento. Essa força nós 
chamamos de atrito. 
 
Existe uma força que é sempre perpendicular à superfície. Essa força é uma 
força de reação é nós a chamamos normal. Nesse caso, a normal é igual à mg. 
Se eu for aumentando a força, chegará um momento em que o objeto 
começará a se mover. A força de atrito (Fat) resiste até um valor máximo. 
Podemos escrever a força de atrito como: 
 
O coeficiente de atrito é dado por . Existem dois tipos de coeficiente de atrito. 
O coeficiente de atrito estático ( ) ocorre quando o objeto está parado. O coeficiente 
de atrito cinético ( ) ocorre quando o objeto já está se movendo. 
 
O coeficiente de atrito estático é maior, pois é bem mais difícil colocar um 
objeto em movimento do que manter o mesmo em movimento. 
Vamos analisar um plano inclinado. 
 
Podemos aumentar o valor de α a fim que nosso bloco comece a deslizar. 
No momento em que o bloco está prestes a deslizar, a segunda lei de Newton 
nos fornece: 
 
 
 
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Ou seja, nós temos o ângulo crítico no qual o bloco começará a deslizar. 
Perceba que o atrito não depende da massa do objeto, nem da área da superfície de 
contato. 
Podemos fazer vários experimentos com uma rampa utilizando diferentes 
objetos para demonstrar a ideia acima. 
Vamos utilizar novamente nosso plano inclinado. Mas penduraremos o objeto à 
uma corda. 
 
Como não sabemos para que lado o sistema esteja acelerando, se é que ele 
está acelerando, temos de tratar essas opções independentemente. 
 
Como eu não sei para que lado meu objeto esteja se acelerando eu não sei 
aonde eu colocarei a força de atrito. A única coisa que eu sei é que: 
 
Eu devo estudar os três possíveis casos para a aceleração. 
 
 
Como vimos anteriormente, as trações na corda são as mesmas. 
Vamos analisar um sistema em repouso. 
Para permanecer em repouso: 
 
Analisando outras situações: 
1. O sistema está começando a se acelerar para cima (está na eminencia do 
movimento). 
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2. O sistema está começando a se acelerar para baixo. 
 
 
 
Se não ocorrer nem 1 e nem 2, então a aceleração do sistema é zero. 
Exemplo: 
m1 = 1 kg 
m2 = 2 kg 
 
 
 
Analisando os casos: 
 
 
 
20 > 5 + 4.33, ou seja, sabemos que nesse caso a aceleração é para cima. 
Agora, podemos nos perguntar qual é a aceleração e qual é a tensão. 
Como meu objeto está acelerando para cima: 
 
Vamos escrever a segunda lei de Newton na direção x: 
 
Nesse caso eu tenho duas incógnitas (a e T). 
Analisando m2. 
 
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Agora eu tenho duas equações com duas incógnitas, o que permite que eu 
resolva o problema. Assim: 
 
 
Agora, mudaremos apenas o valor de m2. 
m2 = 0.4 kg 
m2g = 4 
4 > 5 + 4.33, nesse caso há um erro, pois 4 é menor e não maior que 5 + 4.33. 
Vamos testar o segundo caso: 
4 < 5 – 4.33, nesse caso também há um erro, pois 4 é maior e não menor que 5 
– 4.33. 
Ou seja, concluímos que a aceleração é zero (o objeto não será acelerado). 
O atrito se ajusta de forma que a aceleração seja zero. 
 
As pessoas tentam reduzir o atrito, pois o mesmo causa desgastes e custa 
dinheiro. Pense num pneu de automóvel. O atrito desgasta os pneus. 
Podemos utilizar óleos e lubrificantes para diminuir o atrito. A água é um ótimo 
lubrificante. 
Se uma estrada está molhada, o coeficiente de atrito da estrada com os pneus 
do carro torna-se quase zero e o carro desliza. Quando o carro derrapa, nós temos a 
chamada aquaplanagem. 
Um Hovercraft é um veículo que se apoia em um colchão de ar. Ele é capaz de 
atravessar diversos tipos de solo e também se desloca na água. O ar diminui o atrito a 
um valor quase que zero. Em um Hovercraft, o ar empurra esse veículo para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 09 – Revisão 
 
Essa aula destina-se à uma revisão sistemática de algumas aulas anteriores. 
Está de acordo com a primeira prova do MIT. A revisão segue a seguinte ordem: 
Unidades e Medidas 
 Argumento de escala 
 Analise Dimensional 
 
Cinemática em uma Dimensão 
 Velocidade 
 Velocidade Escalar 
 Aceleração 
 
Vetores 
 Produto Escalar 
 Produto Vetorial 
 
Cinemática em três Dimensões 
 Posição de objetos através de vetores 
 Trajetória 
 
Movimento Circular Uniforme 
 Período 
 Frequência 
 Velocidade Angular 
 Aceleração Centrípeta 
 Percepção de gravidade Artificial 
 Centrífuga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores 
 
Nessa aula falaremos sobre molas, pêndulos e osciladores harmônicos. Temos 
uma mola: 
 
Quando esticamos a mola, surge umaforça contrária que a puxa para sua 
posição de equilíbrio (comprimento inicial). 
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola. 
| | | | 
Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com 
isso, temos a Lei de Hooke: 
 
Onde K é a constante da mola. 
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos 
que essa força é uma força restauradora. 
Como é possível medir a constante da mola? 
Podemos usar a gravidade. 
 
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar 
diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. 
Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico: 
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Assim, temos que: 
 
 
 
 
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, 
a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei 
de Hooke. 
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se 
comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu 
tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou 
seja, existe um limite para a deformação. 
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em 
que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a 
mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente. 
 
Há outras maneiras de medir o valor de K. 
Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito. 
 
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Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0). 
O período de oscilação é dado por: 
 √
 
 
 
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e 
x = 0). 
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei 
de Hooke está presente. 
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema: 
 
 
 
 
 
Dividindo tudo por m: 
 
 
 
 
 
 
 
E assim obtemos uma equação diferencial. 
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com 
um senóide ou cossenóide. 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
Vamos substituir essa equação na equação diferencial. 
Eu tenho que: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
O que nos dá: 
 √
 
 
 
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 √
 
 
 
Exemplo: 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, 
 tem de ser zero. 
Com isso, temos as possíveis respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
Para a velocidade: 
 
Se 
 
 
, o . 
Assim: 
 
 
 
 
 
Se escolhêssemos o 
 
 
, teríamos: 
 
 
 
 
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do 
movimento. 
A oscilação é independente da amplitude. 
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. 
Faremos isso experimentalmente. 
 
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude. 
 
 
Tomando uma massa diferente: 
 
Vamos medir 10 períodos: 
 √
 
 
 
Fazendo uma previsão: 
 
Fazendo A = 35 cm. 
 
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Tomemos um pêndulo. 
 
Decompondo a tensão T em y e x. 
Em x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em y: 
 
 
 
 
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que 
iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os 
chamados “aproximação por pequenos ângulos”. Ou seja, 
Assim: 
 
Essa é a nossa primeira consequência. 
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do 
que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que: 
 
 
 
Ou seja, a aceleração em y é quase zero. 
Portanto, na equação II: 
 
 
Substituindo em I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples. 
Com isso: 
 
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 √
 
 
 
 √
 
 
 
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a 
corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período. 
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo. 
Mola: 
 √
 
 
 
Pêndulo: 
 √
 
 
 
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa. 
Fazendo uma experimentação... 
 
Temos um pêndulo de comprimento L e massa m. 
 
 
 √
 
 
 
Essa foi nossa predição. Iremos contar 10 períodos. 
 
 
Ou seja, a física funciona. Eu mudei o ângulo, mas o período permaneceu igual. 
Como eu disse anteriormente, o período é independente da massa do objeto. Isso 
significa que eu posso sentar nessa esfera e me balançar, de forma que obterei o 
mesmo período. 
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A física funciona! Eu já disse isso! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal 
 
Nessa aula iremos tratar sobre trabalho e energia. 
Começaremos analisando um caso unidimensional. 
O trabalho que a força está fazendo para mover um objeto de A até B é: 
 ∫ 
 
 
 
 
W = [N.m] = J (joule) 
O trabalho pode ser maior que zero; igual a zero ou menor que zero. 
Sabendo que: 
 
 
 
 
 
Assim: 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em física: 
 
 
 
Que nós chamamos de Energia Cinética. 
Assim, podemos escrever trabalho da seguinte maneira: 
 
Exemplo 1. 
 
Jogamos uma bola para cima. A gravidade a puxará para baixo (no sentido 
contrário à nossa trajetória). Nós desconhecemos a altura h. 
 
Mas a energia cinética em B é igual a zero, pois nesse ponto a velocidade é 
zero. Então: 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2. 
Eu estou levantando um objeto. Como meu movimento é na direção positiva de 
y, tenho que meu trabalho é positivo. 
 
 
 
 
Se eu levanto um objeto do chão, eu faço um trabalho positivo. Se esse objeto 
retorna para o chão, ocorre trabalho negativo. Ao final, eu não realizei trabalho algum. 
Por mais que eu tenha feito esforço e tenha me cansado, meu trabalho foi zero. Não 
vamos confundir cansaço com trabalho. 
Analisaremos agora o trabalho emtrês dimensões: 
 ∫ 
 
 
 
r é a posição no espaço tridimensional. 
 
 
 ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o trabalho é a variação da energia cinética. 
Voltando para a gravidade. Um objeto se move de A para B. 
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Queremos saber o trabalho realizado pela gravidade e estamos 
desconsiderando outras forças que não sejam em y. 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
Sempre que o trabalho é feito por uma força independente do percurso, ou 
seja, só depende do ponto final e inicial nós chamamos essa força de força 
conservativa. A gravidade é um exemplo desse tipo de força. 
 
 
 
 
 
Chegamos, assim, ao que chamamos de Energia Mecânica. 
 
A energia mecânica é sempre conservada, mas somente em casos de forças 
conservativas. 
O atrito é uma força não conservativa. 
Em problemas envolvendo energia mecânica, se temos uma altura nós 
escolhemos onde iremos ter h = 0 (é de livre escolha). 
Vamos estudar uma consequência da energia mecânica. 
Temos um trajeto que se assemelha à um loop. Um objeto será solto do ponto 
A. 
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Queremos saber o menor valor que h pode ter para que o objeto, quando solto 
de A, complete e loop. 
Em C, o objeto atinge a velocidade máxima pois toda a energia potencial foi 
transformada em energia cinética (repare que nesse ponto, h = 0). Aplicando a 
conservação de energia: 
 
Eu sei que em A, eu tenho energia cinética igual a zero, pois v é zero. Portanto, 
eu posso trabalhar apenas com meus valores inicial e final. 
 
 
 
 
 
 
A altura está descrita como h – y, pois não sabemos o valor de h (o que 
sabemos é que seu resultado é uma diferença das alturas no eixo y, nesse caso h que é 
a altura de A e y que é a altura de D). 
Não sabemos o valor da velocidade em D, mas sabemos que nesse ponto existe 
uma aceleração centrípeta. Com isso: 
 
 
 
 
Substituindo II em I: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, para completar o loop o objeto tem de ser abandonado de uma altura 
maior ou igual a 2,5 do raio. Note que a altura em D é igual à duas vezes o raio. 
Vamos analisar uma situação na qual os pontos A e B são tão afastados que a 
aceleração da gravidade não é mais constante, ou seja, não podemos simplesmente 
dizer que a diferença de energia potencial é mgh. Temos dois corpos, M e m separados 
por uma distância r. 
 
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Ocorre uma força de atração entre esses corpos. Essa força é descrita pela Lei 
da Gravitação Universal de Newton. 
 
 
 
 
G é uma constante, e seu valor é: 
 
Vamos tomar a massa da Terra. Sendo que eu estou na superfície, eu sinto a 
atração da Terra. Minha massa é dada por m. 
 
 
 
 
Substituindo os valores (minha única incógnita é g), tenho que: 
 
 
 
Tomemos um ponto P bem distante de M (a distância tende a infinito). 
Veremos o trabalho necessário para trazer um objeto em P até M. 
 
Minha força é dada por: 
 
 
 
 
O meu trabalho será: 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que nesse caso, não podemos escolher onde teremos altura zero, pois 
não estamos próximos da superfície da Terra. 
Podemos fazer um gráfico de nossa função. 
 
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Retornando para a conservação de energia mecânica. 
Temos um pêndulo de massa 15 kg. 
 
Se eu o levanto eu estarei fazendo um trabalho dado por mgh. Se eu o levanto 
cerca de 1 metro, meu trabalho será de 150 J. Soltando o pêndulo, a energia potencial 
é convertida em energia cinética. Se o pêndulo balança à uma altura de 1 metro e 
acerta sua cabeça você morre, pois 150 J já é energia suficiente para mata-lo. As 
pessoas usam dispositivos semelhantes a pêndulos, chamados guincho-bola, para 
demolir edifícios. 
Levantando o objeto e o soltando, você está convertendo um tipo de energia 
em outro. 
Se eu soltar a esfera do pêndulo de uma altura h, de uma maneira que ao voltar 
ela não ultrapasse essa altura, e eu ficar no ponto de partida da esfera, eu não serei 
atingido, pois existe a conservação de energia, contanto que eu não forneça uma 
velocidade inicial a esfera. Eu posso por minha vida em risco, mas se a física funciona e 
a conservação de energia é verdadeira, eu ficarei vivo. 
 
 
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A física funciona e ainda estou vivo. 
 
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Aula 12 – Forças de Resistência 
 
Nessa aula falaremos sobre forças de resistência, fixando no que chamamos de 
arrasto. 
Quando você move um objeto através de um gás ou um líquido, o objeto 
experimenta uma força oposta ao movimento. Essa força é a força de arrasto. 
A força de arrasto depende do tamanho do objeto, da forma do objeto, do 
meio no qual ele está e da velocidade do objeto. 
Não vamos confundir arrasto com atrito. O atrito, a partir de certo valor, possui 
um coeficiente de atrito constante enquanto que o arrasto depende da velocidade. 
Podemos escrever: 
 
 
O sinal é negativo, pois a força se opõe ao sentido de v. 
Os valores de k dependem da forma e do tamanho do objeto. 
Vamos nos concentrar no caso de esferas. 
| | 
 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
Se a viscosidade de um meio é maior, mais pegajoso, então vai ter um valor 
maior. é uma função da temperatura (quando algo esquenta ele se torna menos 
viscoso). 
Ainda não podemos entender a razão de existir um v², mas podemos pensar 
sobre r. 
Se possuímos uma esfera em um líquido, e essa esfera possui uma área 
transversal A: 
 
Temos que 
Portanto, essa área da esfera sente uma pressão do líquido que é proporcional 
a r. 
Digamos que eu solte um objeto de uma determinada altura. 
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A medida que o objeto vai caindo, sua velocidade vai aumentando cada vez 
mais (devido a aceleração da gravidade). Porém, em determinado momento, a força 
de resistência e a força da gravidade se tornam iguais. Dessa maneira a aceleração se 
anula. 
Então, quando não há aceleração e o objeto cai com velocidade 
constante. Essa é a chamada velocidade terminal. 
 
Em um contexto onde , podemos obter a velocidade crítica. Essa 
velocidade crítica é quando esses dois termos são iguais. 
 𝑡 
 
 
 
Tomemos o seguinte caso, o qual chamaremos de regime I. 
 𝑡 
 𝑡 
 𝑡 
 
 
 
Se você deixa cair objetos formados pelo mesmo material, isso é de mesma 
densidade, no líquido ou no gás, temos que a massa da esfera é dada por: 
 
 
 
 
Onde é a densidade do objeto. 
Temos que: 
 𝑡 
 
 
 
Estudando outro caso, temos o regime II. 
 𝑡 
 
 𝑡 √
 
 
 √ 
Vamos medir o tempo de queda de algumas esferas em um meio viscoso. 
Serão quatro esferas, com seus diâmetros dados em polegadas: