lista 3 polinomios de taylor

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Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica - BCT
Lista 3 - complementar
Polinoˆmios de Taylor
[1] Calcule o polinoˆmio de Taylor de ordem 1 da func¸a˜o dada, em volta de x0 dado.
(a) f(x) =
1
1 + x
, x0 = 1 (b) f(x) = cos 3x, x0 = pi/2
[2] Calcule um valor aproximado e avalie o erro.
(a) e0,001 (b) sin 0, 02
[3] Calcule o polinoˆmio de Taylor de ordem 2 da func¸a˜o dada, em volta de x0 dado.
(a) f(x) = 3
√
x e x0 = 1 (b) f(x) = ln(1 + x) e x0 = 0
[4] Calcule um polinoˆmio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
(a)
√
0, 8 (b) ln 1, 3
[5] Mostre que, para todo x,
(a) | sinx− x| ≤ 1
3!
|x|3 (b)
∣∣∣∣cosx− (1− x22
)∣∣∣∣ ≤ 13! |x|3
[6] Mostre que, para todo 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ ex −
(
1 + x+
1
2
x2
)
<
1
2
x3
[7] Utilizando a relac¸a˜o sinx = x+ o(x2), calcule
(a) lim
x→0
sinx− x
x2
(b) lim
x→0+
sinx− x2
x2
(Sugesta˜o: o(x2) e´ um infinite´simo de ordem superior a x2, para x→ 0, isto e´, limx→0 o(x
2)
x2
= 0.)
[8] Verifique que
(a) ex = 1 + x+
1
2
x2 + o(x2)
(b) cosx = 1− 1
2
x2 + o(x2)
(c) sinx = x+ o(x2)
(d) ln(x−1) = (x−1)− 1
2
(x−1)2+o((x−1)2)
[9] Seja f(x) = x8 sin
1
x2
para x 6= 0 e, f(0) = 0.
(a) Determine o polinoˆmio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 = 0.
(b) Seja a > 0 um nu´mero real dado. Mostre que na˜o existe M > 0 tal que, para todo x em
[0, a], |f ′′′(x)| ≤M .
[10] Sejam f : I −→ R uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel e x0 ∈ I. Mostre que existe uma func¸a˜o
ϕ : I −→ R tal que, para todo x ∈ I,
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + ϕ(x)(x− x0)
e lim
x→x0
ϕ(x) = 0.
[11] Determine o polinoˆmio de Taylor, de ordem 5, de g(x) = arctanx em volta de x0 = 0.
[12] Seja f(x) = (1 + x)α, onde α 6= 0 e´ um nu´mero real dado. Determine o polinoˆmio de Taylor, de
ordem n, de f em torno de x0 = 0 e deˆ a expressa˜o do erro em termos da derivada de ordem
n+ 1.
[13] A resistividade ρ de um fio condutor e´ a rec´ıproca da condutividade e e´ medida em unidades de
ohm-metros Ω−m. A resistividade de um dado metal depende da temperatura de acordo com a
equac¸a˜o
ρ(t) = ρ20e
α(t−20),
onde t e´ a temperatura em ◦C. Existem tabelas que listam os valores de α (o coeficiente da
temperatura) e ρ20 (a resistividade a 20
◦C) para va´rios metais. Exceto a temperaturas muito
baixas, a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, e assim e´ comum aproximar
a expressa˜o para ρ(t) por seu polinoˆmio de Taylor de grau 1 ou 2 em t = 20.
(a) Encontre expresso˜es para as aproximac¸o˜es linear e quadra´tica.
(b) Para o cobre, a tabela fornece α = 0, 0039 ◦C e ρ20 = 1, 7× 10−8Ω−m. Plote a resistividade
do cobre e as aproximac¸o˜es linear e quadra´tica para −250 ◦C ≤ t ≤ 1000 ◦C.
(c) Para quais valores de t a aproximac¸a˜o linear coincide com a expressa˜o exponencial com
precisa˜o de 1%.
[14] Um dipolo ele´trico consiste em duas cargas ele´tricas de grandezas iguais e sinais opostos. Se as
cargas forem q e −q e estiverem localizadas a uma distaˆncia d, enta˜o o campo ele´trico E no ponto
P na figura e´
E =
q
D2
− q
(D + d)2
Usando o polinoˆmio de Taylor de ordem n, em d/D, da func¸a˜o E, mostre que E e´ aproximada-
mente proporcional a 1/D3 quando P esta´ muito distante do dipolo.
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[15] Se uma onda de a´gua com comprimento L se mover com velocidade v ao longo de um corpo de
a´gua com profundidade d, como na figura, enta˜o
v2 =
gL
2pi
tanh
(
2pid
L
)
(a) Se a a´gua for profunda, mostre que v ≈
√
gL
2pi
(b) Se a a´gua for rasa, use o polinoˆmio de Taylor de tanh em torno de x = 0 para mostrar que
v ≈ √gd. (Enta˜o, em a´gua rasa a velocidade de uma onda tende a ser independente do
comprimento da onda.)
[16] Se um topo´grafo mede as diferenc¸as nas elevac¸o˜es dos terrenos atrave´s do deserto, com finalidade
de se construir uma rodovia, ele tem de fazer correc¸o˜es devido a` curvatura da Terra.
(a) Se R e´ o raio da Terra e L, o comprimento da rodovia, mostre que a correc¸a˜o a ser feita e´
C = R sec(L/R)−R
(b) Use um polinoˆmio de Taylor para mostrar que
C ≈ L
2
2R
+
5L4
24R3
(c) Compare as correc¸o˜es dadas pelas fo´rmulas em (a) e (b) para uma rodovia que tem 100 km
de percurso. (Tome o raio da Terra como 6370 km.)
[17] A forc¸a da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h acima da superf´ıcie da Terra e´
F =
mgR2
(R+ h)2
,
onde R e´ o raio da Terra e g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
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(a) Determine o polinoˆmio de Taylor de F em poteˆncias em h/R, em torno de x = 0, de ordem
n.
(b) Observe que, se aproximarmos F pelo polinoˆmio de Taylor de ordem 1, em torno de x = 0,
obtemos a expressa˜o F ≈ mg, que e´ geralmente usada quando h e´ muito menor que R.
Usando esse mesmo polinoˆmio, encontre os valores de h para os quais a aproximac¸a˜o F ≈ mg
tem precisa˜o de 1%. (Use R=6370 km).
Refereˆncias: Demidovitch, Guidorizzi e Stewart.
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