P1 - Calculo 2 - Prof Douglas - UTFPR PB

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Aluno: RA: Ass.:
Curso: CD22NB Turma: Data: 13 / 10 /2015. Prof.: Douglas F. Copatti
Lista de Exerc´ıcios: Int. Impro´prias, Coord. Polares e Limites em duas
Varia´veis
1. (2,0 pts) Seja P um nu´mero real. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) ( )
∫ +∞
1
dx
xP
converge se, e so´ se, P ≤ 1;
(b) ( )
∫ +∞
1
dx
xP
converge se, e so´ se, P > 1;
(c) ( ) Se
∫ +∞
1
dx
xP
converge, enta˜o
∫ +∞
17
dx
xP
;
(d) ( ) Se
∫ +∞
1
dx
xP
converge, seu valor e´
1
P − 1 ;
(e) ( )
∫ +∞
1
dx
xP
sempre converge;
(f) ( )
∫ +∞
1
dx
xP
nunca converge.
A sequeˆncia correta e´: ( ) F-V-V-V-F-F, ( ) F-V-V-F-F-F, ( ) F-V-F-V-F-V, ( ) V-F-V-F-V-F, ( ) V-F-V-F-F-V
2. Decida se as seguintes integrais impro´prias convergem ou divergem. Nos casos em que a integral e´ convergente, determine o seu valor.(0,5
pts cada)
(a)
∫ 0
−∞
e3xdx (b)
∫ +∞
−∞
e−|x|dx (c)
∫ +∞
1
1dx
3. Tome o sistema de coordenadas polares, para o plano, cujo polo coincide com a origem e o eixo polar com o eixo x positivo do sistema
cartesiano e escreva em coordenadas polares os seguintes pontos dados em coordenadas cartesianas:(0,25 pts cada)
(a) (5, 5) (b) (
√
2
2
,
√
2
2
) (c) (−5, 0) (d) (0,−13)
4. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es e, em seguida, esboce o mesmo graficamente. (0,5 pts cada)
(a) f(x, y) =
√
9− x2 − y2 (b) f(x, y) = y + 8
x− 3y (c) f(x, y) =
1
cos(x)sen(y)
(d) f(x, y) =
ln(x3 − y)√
x2 + y2 − 25
5. (0,5 pts) Complete a prova de que lim
(x,y)→(0,0)
3x− 5y + 13 = 13: “Dado ε > 0, tome δ = ε
8
. Se 0 < ||(x, y)− (0, 0)|| < δ, enta˜o · · · ”
6. Prove que os seguintes limites na˜o existem:(0,5 pts cada)
(a) lim
(x,y)→(−3,1)
x2 + 6x+ 9
x2 + 6x+ y2 − 2y + 10
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(2,5)
(x− 2)(y − 5)
(x− 2)2 + (y − 5)2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
1
x
− 1
y
7. Calcule os seguintes limites:(0,5 pts cada)
(a) lim
(x,y)→(−3,6)
−5x+ 4y
(b) lim
(x,y)→(−3,3)
4x2 − 9y2
2x+ 3y
(c) lim
(x,y)→(2,0)
x2 − y2
x+ y
(d) lim
(x,y)→(−1,4)
1
2xy − 4x+ y − 4
(e) lim
(x,y)→(pi
4
,pi
9
)
(f) lim
(x,y)→(1,0)
10cos2(x+y
8
)− sen2(y4)
sen2(xy) + cos2(xy)
(g) lim
(x,y)→(−3,−4)
x2 − y2 + 6x− 8y − 7
x+ y + 7