APOSTILA Elementos de Construção de Máquinas

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ELEMENTOS DE CONSTRUÇÃO DE MÁQUINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Gerd Erwin Ernst Gojtan 
 
 
 
São Paulo 
2016 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em Elementos de Construção de Máquinas são estudados alguns dos principais 
componentes de máquinas e sistemas mecânicos, possibilitando os cálculos das tensões 
atuantes e da vida útil, assim como a determinação de seus dimensionamentos. 
O estudo se concentra na apresentação e cálculo dos seguintes elementos que fazem parte 
da construção de máquinas em geral: 
 Transmissão por engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais (ECDH). 
 Eixos de transmissão. 
 Acoplamento por pinos. (a elaborar) 
 Acoplamento por estrias. 
 Mancais de rolamentos. 
 Mancais de deslizamento. 
 Sistema Came e seguidor. (a elaborar) 
 Fadiga de materiais 
 
As máquinas e conjuntos mecânicos são compostos por elementos formando: 
 Acoplamentos fixos. 
 Acoplamentos móveis. 
 Sistemas de transmissão. 
 
 
Transmissão de Potência 
 
É a transmissão de força e velocidade de um eixo a outro, uma vez que a potência é igual ao 
produto da força pela velocidade de deslocamento. Os mecanismos de transmissão de 
potência são divididos conforme demonstrado a seguir. 
 
1. Transmissão por contato direto 
 
 
 
2. Transmissão por contato indireto 
 
 
 
 
 
2. TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS 
 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 
 
2.1 Introdução 
 
Transmissão por engrenagens é aquela em que a rotação e o torque de uma roda dentada 
motora (pinhão) são transmitidos a uma roda dentada movida (coroa). 
A transmissão por engrenagens se faz através do contato entre dentes com formato 
padronizado, que podem ser internos ou externos. 
Geralmente o engrenamento é constituído por um par de rodas dentadas, mas também pode 
haver mais de duas, como no caso de um “trem de engrenagens” e de “engrenagens 
satélite”. 
 
a) Tipos de engrenamentos 
 
Os principais tipos de engrenamentos utilizados nas máquinas, quanto à forma das 
rodas e dos dentes, são: 
 
 Engrenagens cilíndricas de dentes retos: Aqui os dentes são paralelos ao eixo da 
engrenagem e os eixos das engrenagens são paralelos entre si. O engrenamento 
pode ser interno ou externo. Relações de transmissão até 8:1 e rendimentos de 98%. 
 
 Externo Interno 
 
 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais: Aqui os dentes são inclinados ao 
eixo da engrenagem e os eixos das engrenagens podem ser paralelos ou reversos 
entre si. O engrenamento ocorre de forma gradual, esta suavidade resultando em 
uma maior resistência e menor ruído. Para eixos paralelos: relações de transmissão 
até 8:1 e rendimentos de 98%. Para eixos reversos: relações de transmissão até 5:1 e 
rendimentos de 95%. 
 
 
 Engrenagens cônicas de dentes retos: Aqui os dentes são paralelos ao eixo da 
engrenagem e os eixos das engrenagens são concorrentes ou reversos entre si. 
Podem ser classificadas de acordo com o valor do semi-ângulo do cone primitivo. 
As que possuem ângulo menor que 90°, são chamadas de engrenagens externas. As 
que possuem ângulo igual a 90°, são chamadas de engrenagens planas. As que 
possuem ângulo maior que 90°, são chamadas de engrenagens internas. Relações de 
transmissão até 6:1 e rendimentos de 98%. 
 
 
 Engrenagens cônicas de dentes helicoidais: Aqui os dentes são inclinados ao eixo 
da engrenagem e os eixos das engrenagens podem ser concorrentes ou reversos 
entre si. Os dentes inclinados podem ser inclinados retos, inclinados espirais ou 
inclinados hipoidais. Para dentes retos e espirais: relações de transmissão até 6:1 e 
rendimentos de 98%. Para dentes hipoidais: relações de transmissão até 10:1 e 
rendimentos de 85 a 95%. 
 
 Inclinado reto espiral hipoidal 
 
 Coroa e rosca sem-fim: Aqui os dentes são inclinados em relação ao eixo da 
engrenagem e os eixos são reversos entre si, sendo o ângulo formado normalmente 
igual a 90°. Relações de transmissão relativamente altas podem ser obtidas 
satisfatoriamente num espaço mínimo, porém com o sacrifício do rendimento, se 
comparado com outros tipos de engrenagens. Nos parafusos sem-fim a rosca desliza 
em contato com os dentes de uma coroa helicoidal, evitando assim o efeito do 
impacto entre os dentes como nos casos dos outros tipos de engrenagem. Este efeito 
resulta num funcionamento silencioso se o projeto e a confecção forem adequados. 
Entretanto, este deslizamento provoca um maior atrito, que pode levar a problemas 
de aquecimento e perda de rendimento. O parafuso sem-fim pode ter uma, duas, três 
ou mais entradas. O passo axial da rosca sem-fim é igual ao passo frontal da 
engrenagem helicoidal. Relações de transmissão de 10:1 até 60:1 e rendimentos de 
45% até 90%. Quanto mais alta a relação de transmissão, menor o rendimento. 
 
 
 
 Cremalheira: Aqui os dentes são paralelos ao eixo da engrenagem e os eixos da 
engrenagem e da cremalheira são paralelos entre si. Relações de transmissão até 8:1 
e rendimentos de 98%. 
 
 
 
b) Materiais de engrenagens 
 
Os principais tipos de materiais empregados na fabricação de engrenagens são: 
 
 Ferro Fundido (FoFo): Cinzento, Branco. 
 Aço carbono: SAE1020, SAE1030, SAE1040, SAE1050, entre outros. 
 Aço liga: SAE2320 (Ni), SAE3245 (CrNi), SAE6145 (CrV), entre outros. 
 Outros: bronze, latão, zamak, nylon, resina fenólica (PVC). 
 
Aplicações: 
 Bronze: em rosca sem-fim devido ao baixo coeficiente de atrito. 
 FoFo: em engrenagens de baixas velocidades. 
 Aço cementado: em caixas de câmbio. 
 Aço liga baixo teor: em máquinas operatrizes e transmissões de navios. 
 Aço liga alto teor: em transmissões de aviões. 
 
NOTA: Os mais empregados são o ferro fundido e o aço liga tratado termicamente. 
 
Condições: 
As condições a serem levadas em conta na seleção de um material são: 
 Usinabilidade. 
 Coeficiente de atrito. 
 Dureza. 
 Resistência ao desgaste. 
 Resistência à fadiga. 
 Resistência à deformação plástica. 
 Resistência à ruptura. 
 
c) Processos de fabricação e Qualidade 
 
Processos de fabricação 
 
Diversos processos podem ser utilizados na fabricação de engrenagens, tais como: 
 
 Usinagem 
 Fundição em areia 
 Injeção plástica 
 Injeção de zamak 
 Forjamento 
 Sinterização 
 Estampagem 
 Extrusão 
 
Qualidade 
 
São apresentadas duas maneiras para determinar a qualidade das engrenagens: 
 
 A partir do ruído, em função de velocidades periféricas e diferentes processos de 
fabricação e lubrificação. (Manual Técnico: Handbook Hutte). 
 A partir da tolerância de fabricação do passo. (Norma DIN 882). 
 
Qualidade pelo ruído 
Obtida em função das velocidades tangenciais, tipos de processos de fabricação e tipos 
de lubrificação. 
 
Tabela: Qualidade da engrenagem pelo ruído. Fonte: Manual Técnico. Handbook Hutte. 
 
 
Dependendo da faixa de atuação, a velocidade tangencial no ponto de contato entre 
os dentes engrenados, pode ser considerada: baixa, média ou alta. 
 
 
 
 
Qualidade pela tolerância 
 
Qualidade a partir da tolerância de fabricação do passo. 
 
Tabela: Qualidade da engrenagem pela tolerância. Fonte: Norma DIN 882 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Distribuição das forças nos dentes em diferentes tipos de engrenagens 
 
Tabela:
Distribuição de forças nos dentes das engrenagens. (a) roda 1, (b) roda 2. 
 
Roda 1 
Engrenamento Ft1 [N] Fr1 [N] Fa1 [N] 
Cilíndrico de dentes retos 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


 tgFtFr  11 - 
Cilíndrico de dentes helicoidais 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


 tgFtFr  11
 
tgFtFa  11
 
Cônica de dentes retos 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


 111 cos  tgFtFr
 
111  sentgFtFa 
 
Cônica de dentes helicoidais 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


  1111 cos  sentgtgFtFr 
 
 1111 cos  tgsentgFtFa
 
Parafuso sem-fim e Corôa 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


 
 
 a 
 
Roda 2 
Engrenamento Ft2 [N] Fr2 [N] Fa2 [N] 
Cilíndrico de dentes retos 
2
2
2
2
d
Mt
Ft


 tgFtFr  22 - 
Cilíndrico de dentes 
helicoidais 2
2
2
2
d
Mt
Ft


 tgFtFr  22 tgFtFa  22 
Cônica de dentes retos 
2
2
2
2
d
Mt
Ft


 
222 cos  tgFtFr
 
222  sentgFtFa 
 
Cônica de dentes helicoidais 
2
2
2
2
d
Mt
Ft


  2211 cos  sentgtgFtFr 
 
 2222 cos  tgsentgFtFa
 
Parafuso sem-fim e Corôa 
2
2
2
2
d
Mt
Ft


 
 
 b 
 
Figura: Direções das forças no dente de engrenagem. (a) engrenagem cilíndrica de dentes 
 retos, (b) engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais, (c) engrenagem cônica de 
 dentes retos, (d) engrenagem cônica de dentes helicoidais. 
 
 a b 
 
 
 c d 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais (ECDH) 
 
Características 
 
 São usadas nas transmissões entre “eixos paralelos” e “eixos reversos”. 
 Seus dentes são inclinados em relação ao eixo geométrico da roda. 
 Admitem grande capacidade de carga e altas rotações. 
 São pouco barulhentas. 
 O rendimento é em torno de η = 98% (para eixos paralelos) e η = 95% (para eixos 
reversos). 
 A relação de transmissão é até i = 8 (para eixos paralelos) e i = 5 (para eixos 
reversos). 
 
2.2.1 Relação de Transmissão (i) 
 
Corresponde ao fator de transformação das rotações e torques no eixo de entrada para as 
rotações e torques no eixo de saída. 
 
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
Mt
Mt
T
T
f
f
n
n
z
z
dp
dp
i  
 [mm] 
 
Onde 
dp1, dp2 ... diâmetros primitivos das engrenagens motora e movida. [mm] 
z1, z2 ... numero de dentes das engrenagens motora e movida. 
n1, n2 ... rotações das engrenagens motora e movida. [rpm] 
ω1, ω2 ... velocidades angulares das engrenagens motora e movida. [rad/s] 
f1, f2 ... frequências das engrenagens motora e movida. [Hz] 
T1, T2 ... períodos das engrenagens motora e movida. [s] 
Mt1, Mt2 ... momentos torsores das engrenagens motora e movida. [Nm] 
 
 
2.2.2 Geometria 
 
Tabela: Geometria das engrenagens ECDH. 
 
 
Figura: Distância entre centros. (a) engrenamento externo, (b) engrenamento interno. 
 Fonte: O autor. 
 
 
(a) (b) 
 
a) Número de dentes mínimo 
 
Para efeitos de projeto, podemos estimar o número de dentes mínimo, tanto da 
engrenagem menor como da engrenagem maior, considerando que sejam atendidos 
todos os requisitos a seguir: 
 
 Número de dentes mínimo para a engrenagem menor 
 
Tabela: Zmin em função da relação de transmissão (i) e do ângulo de pressão (α) 
 
 
Tabela: Zmin em função da velocidade periférica (v) e do ângulo de pressão (α). 
 
 
 Número de dentes mínimo para a engrenagem maior 
 
Tabela: Zmin em função de ser engrenamento interno ou externo. 
 
 
b) Módulo 
 
O módulo é definido como a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes de 
uma roda dentada (engrenagem). 
 
Tabela: Módulos normalizados segundo a norma DIN 867. 
 
 
 
 
 
Figura: Relação entre o módulo, tamanho e número de dentes. Fonte: Flores P; Gomes J. 
 Cinemática e Dinâmica de Engrenagens. 
 
 
c) Ângulo de pressão 
 
É o ângulo formado entre a reta de ação (que é tangente às circunferências dos 
diâmetros de base) e a reta comum (que é tangente às circunferências dos diâmetros 
primitivos), com ambas as retas se cruzando no ponto P (que é o ponto de contato 
primitivo entre os dentes). 
Quanto maior o ângulo de pressão (α), menor a força de transmissão ou força tangencial 
(Ft) e maior a capacidade de carga do dente. 
 
 Pela norma Internacional ISO 
 
 Pela norma Norte Americana (USA) 
 
 
 
 
 
Figura: Obtenção do ângulo de pressão. Fonte: O autor. 
 
 
 
2.2.3 Cinemática do movimento 
 
Quando as engrenagens são acionadas, passa a existir entre elas um movimento relativo, de 
forma que surgem: 
 
 Ciclos ou rotações por minuto (n). 
 Velocidades angulares (ω). 
 Velocidades tangenciais ou periféricas (v). 
 Frequências (f). 
 Períodos (T). 
 
 
 
 
Figura: Relações cinemáticas. Fonte: O autor. 
 
 
a) Rotação média 
 
%...%%
%...%%
21
2211
n
nn
média
ttt
tntntn
n



 
 
Com 
 
%100%...%% 21  nttt
 
 
Onde 
n1, n2,..., nn ... grupos de rotações [rpm] 
t1%, t2%, ... tn% ... tempos dos grupos [s] 
 
b) Velocidade angular (ω) 
 
60
2 1
1
n



 [rad/s] 
 
60
2 2
2
n



 [rad/s] 
 
c) Velocidade tangencial ou periférica (v) 
 
2
1
11
d
v  
 [mm/s] 
 
2
2
22
d
v  
 [mm/s] 
 
NOTA: Se não houver escorregamento entre polias e correia, então 
correiavvv  21
 
 
d) Frequência (f) 
 
60
1
1
n
f 
 [Hz] = [rps] 
 
60
2
2
n
f 
 [Hz] = [rps] 
 
e) Período (T) 
 
1
1
1
f
T 
 [s] 
 
2
2
1
f
T 
 [s] 
 
2.2.4 Dinâmica do movimento 
 
Quando acionamos as engrenagens, passa a existir entre elas esforços relativos, de forma 
que surgem: 
 
 Rendimento (η) 
 Potências de acionamento (N). 
 Momentos torsores (Mt). 
 Forças tangenciais (Ft). 
 Forças radiais (Fr). 
 Forças axiais (Fa). 
 Forças resultantes (Fn). 
 
Figura: Forças atuantes no dente de engrenagem. Fonte: O autor. 
 
 
a) Rendimento (η) 
 
Tabela: Rendimentos de engrenagens. 
Engrenagem η [%] 
Cilíndrica de dentes retos 98 
 
b) Potência útil (N) 
 
 Lado motor (entrada do redutor) 
 
motorentrada NNN 1
 [W] 
 
 Lado máquina (saída do redutor com um par de engrenagens) 
 
totalmotorsaída NNN 2
 [W] 
 
Com 
 nrmancaismancalengrenagemtotal   
 
Onde 
nrtransmissões ... quantidade de pares de engrenagens. 
nrmancais ... quantidade de mancais no redutor. 
 
Figura: Redutor de engrenagens com um par de rodas dentadas 
 
 
c) Momento torsor ou torque atuante (Mt) 
 
1
1
1

N
Mt 
 [Nm] 
 
2
2
2 
N
Mt 
 [Nm] 
 
d) Força tangencial atuante (Ft) 
 
1
1
1
2
d
Mt
Ft


 [N] 
 
2
2
2
2
d
Mt
Ft


 [N] 
 
e) Força radial atuante (Fr) 
 
tgFtFr  11
 [N] 
 
tgFtFr  22
 [N] 
 
f) Força axial atuante (Fa) 
 
tgFtFa
 11
 [N] 
 
tgFtFa  22
 [N] 
 
 
g) Força total normal atuante (Fn) 
 
2
1
2
1
2
11 FaFrFtFn 
 [N] 
 
2
2
2
2
2
22 FaFrFtFn 
 [N] 
 
2.2.5 Resistência dos dentes 
 
As análises de falha ou cálculos de resistência dos dentes de engrenagens são realizadas 
somente para a condição dinâmica, segundo dois critérios: 
 
 Tensão de fadiga devido à flexão no pé do dente. 
 Pressão superficial devido ao desgaste por contato no flanco do dente. 
 
Estas análises são feitas para a condição dinâmica, em função da força tangencial que 
inside sobre cada dente e a qual é originada pelo torque atuante no eixo. 
A condição dinâmica, pressupôe que o esforço está associado a movimentos, cujas 
intensidades variam ao longo do tempo. No caso de dentes de engrenagens, a cada ciclo ou 
rotação completa do eixo, há a alternância da intensidade do esforço entre um valor nulo 
quando os dentes não estão em contato e um valor máximo quando os dentes estão em 
contato. 
 
Figura: Ciclos pulsantes. 
 
O esforço a ciclos pulsantes pode ser dividido em duas parcelas: uma parcela constante ou 
média e uma parcela variavel ou alternada em função do tempo. 
 
A parcela constante é definida pela expressão: 
 
22
minmax FtFt
FtFt
Ft mm 


 
 
A parcela variável é definida pela expressão: 
 
22
minmax FtFt
FtFt
Ft aa 


 
 
A força aplicada para o calculo de resistência é a força tangencial total: 
 
am FtFtFt 
 
 
2.2.5.1 Tensão de fadiga devido à flexão no pé do dente 
 
No cálculo da tensão de fadiga devido à flexão no pé do dente (σf), o dente é considerado 
uma barra engastada. A ruptura ocorre na região do diâmetro interno da engrenagem, sob 
efeito repetitivo de um momento fletor (Mf). São também considerados fatores de 
concentração de tensões (kf), na região do raio do pé do dente. 
 
Figura: Dente de engrenagem sob efeito de flexão. 
 
a) Tensão de flexão atuante (σfat) 
 
Aplicando a equação de Lewis, podem ser determinadas as tensões normais devido à flexão 
(σf), na área do fundo do dente. Estas tensões sofrem um aumento na região do raio do pé 
do dente (r), devido a um fator de concentração de tensões. 
No cálculo da tensão de flexão no pé do dente (σf), cada um dos dentes da engrenagem é 
considerado uma barra engastada sob a ação repetitiva de um momento fletor (Mf) 
originado pela força tangencial (Ft), que leva os dentes a falharem pelo efeito da fadiga. A 
ruptura ocorre na região da superfície entre a base do dente e o diâmetro interno da 
engrenagem, em função do aparecimento de trincas na região. 
O movimento repetitivo sob esforços variados, provoca deformações plásticas no material, 
que ocorrem a níveis de tensão bem abaixo do limite elástico. Isto leva ao surgimento de 
fissuras microscópicas, que progridem para trincas severas, culminando com uma quebra 
brusca após determinado número de ciclos. 
 
Figura: Área do fundo do dente sob efeito da tensão de flexão. 
 
 
n
f
at
ml
kqFt
f




 1
 [N/mm²] 
 
Onde 
Ft1 ... força tangencial no dente do pinhão. [N] 
l ... comprimento do dente. [mm] 
mn ... módulo normal. [mm] 
q ... fator de forma. [-] 
υ ... fator de serviço. [-] 
kf ... fator de concentração de tensões à flexão. [-] 
 
 Fator de forma 
 
Lewis verificou a influêcia da foma do dente na sua resistência, o que foi levado em conta 
nos cálculos através da inclusão de equações empíricas, conforme tabela adiante. 
 
Y
q
1

 
 
Tabela: Equações de fator de forma do dente. 
 
 
ou 
 
Tabela: Fator de forma (q) para engrenamento externo 
 
 
 
Tabela: Fator de forma (q) para engrenamento interno 
 
NOTA: Tabelas acima baseadas na equação empírica para dentes profundos com α = 20°, 
que é o caso mais crítico. 
 
 Fator de serviço (φ) 
 

 vide tabela a seguir 
 
Tabela: Fator de serviço. 
 
NOTA: São valores de referência, obtidos com base: no tipo de acionamento (fonte), no 
tipo e duração do serviço, no tipo de carga atuante. 
 
 Fator de concentração de tensões à flexão (kf) 
 
O fator de concentração de tensões depende da geometria do dente e do material da 
engrenagem. Da geometria, obtém-se o fator de concentração teórico (Kt) e do material, 
obtém-se o fator de sensibilidade ao entalhe (q). Assim a equação do fator de concentação 
de tenções efetivo fica: 
 
 11  KtqKf
 
 
A AGMA (American Gear Manufacturers Association) propôe a seguinte equação para 
determinar o fator de concentração teórico. 
 
 
 
sendo 
 
Onde: 
r ... raio do pé do dente. [mm] 
l ... comprimento do dente. [mm] 
s ... espessura do dente. [mm] 
hd ... altura do pé do dente. [mm] 
dp1 ... diâmetro primitivo do pinhão. [mm] 
α ... ângulo de pressão. [rad] 
 
O fator de sensibilidade ao entalhe (q) é obtido pelo gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Gráfico de Índice de Sensibilidade 
 
 
b) Tensão de flexão admissível 
 
s
f
f matadm

 
 [N/mm²] 
Onde 
σfmat ... limite de fadiga do material na flexão. [N/mm²] 
s ... fator de segurança relativo à aplicação e confiabilidade do material. [ - ] 
 
c) Verificação 
 
Deve-se ter sempre 
admat ff  
 
 
 
2.2.5.2 Pressão superficial devido ao desgaste por contato no flanco do dente 
 
No cálculo da pressão superficial devido ao degaste no flanco do dente (pH), é aplicada e 
equação de Hertz modificada para duas superfícies cilíndricas em contato. 
A ruptura ocorre através do fenômeno do “pitting” (pedaços de material arrancado), devido 
ao desgaste do flanco na altura do diâmetro primitivo, em função de contatos repetitivos 
sob pressão. 
 
Figura: Dente de engrenagem sob efeito de pressão superficial. 
 
 
a) Pressão superficial atuante (pHat) 
 
Aplicando a equação modificada de Hertz, determina-se a pressão superficial (pH) devido 
ao contato no flanco do dent. Note-se que não há a influência de fatores de concentração de 
tensões, na região do flanco do dente. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Área do flanco do dente sob efeito da pressão superficial. 
 
 
 
   22221121
21
21
211
2
2











EEEE
EE
dpdp
dpdp
senl
Ft
pH
n
at
 [N/mm²] 
 
Onde 
Ft1 ... força tangencial atuante no dente do pinhão. [N] 
l ... comprimento do dente. [mm] 
dp1, dp2 ... diâmetros primitivos. [mm] 
E1, E2 ... módulos de elasticidade dos materiais. [N/mm²] 
ν1, ν2 ... coeficiente de poisson [-] 
υ ... fator de serviço. [-] 
αn ... Ângulo de pressão normal. [graus] 
 
Outra forma de calcular a pressão superficial no flanco do dente (pH) é dada pela expressão 
 
  14,0
1
1072,5
2
1
15






i
i
dpl
Mt
xpH at
 [N/mm²] 
 
Onde 
Mt1 ... momento torsor no eixo do pinhão. [Nm] 
l ... comprimento do dente [mm] 
dp1 ... diâmetro primitivo do pinhão. [mm] 
i ... relação de transmissão do par [-] 
υ ... fator de serviço [-] 
+ ... engrenamento externo. 
- ... engrenamento interno. 
 
NOTA: Esta segunda expressão deve ser utilizada apenas no dimensionamento de 
engrenagens com módulo de elasticidade (aço), ângulo de pressão normal αn = 20 [graus] e 
com até z = 40 dentes. 
 
b) Pressão superficial admissível 
 
s
pH
pH matadm 
 [N/mm²] 
Onde 
pHmat ... Tensão limite de fadiga do material na flexão. [N/mm²]
s ... fator de segurança relativo à aplicação e confiabilidade do material. [ - ] 
 
c) Verificação 
 
Deve-se ter sempre 
admat pHpH 
 
 
2.2.6 Dimensionamento das engrenagens 
 
O dimensionamento dos dentes e das demais geometrias da engrenagem, se inicia com a 
determinação do módulo normal mn, considerando que sejam atendidos ambos os critérios 
de resistência, de forma que o material utilizado esteja dentro dos limites admissíveis de: 
 Tensão de fadiga devido à flexão no pé do dente. 
 Pressão superficial devido ao desgaste por contato no flanco do dente. 
 
2.2.6.1 Módulo normal pela flexão no dente 
 
O módulo normal, calculado em função da flexão no pé do dente é obtido pela expressão a 
seguir. 
 
3
1
12
f
f
n
z
kqMt
X
m





 [mm] 
 
Com 
nm
b
X 
 
 
Onde 
X ... constante prática que varia entre: 6 ≤ X ≤ 10. Normalmente se utiliza X = 10. 
Mt1 ... momento torsor no eixo do pinhão. [Nmm] 
z1 ... número de dentes do pinhão. [-] 
σf ... limite de fadiga à flexão admissível do material da engrenagem. [mm] 
q ... Fator de forma [-] 
υ ... Fator de serviço [-] 
kf ... Fator de concentração de tensões à flexão [-] 
 
2.2.6.2 Módulo normal pela pressão superficial 
 
O módulo, calculado em função da pressão superficial no flanco do dente é obtido pela 
expressão a seguir. 
 
   
3
21
21
21
21
2
1
1
2
4
EE
EE
zz
zz
senpHz
Mt
X
m
nadm
n








 
 [mm] 
 
Com 
nm
b
X 
 
 
Onde 
X ... constante prática que varia entre: 6 ≤ X ≤ 10. Normalmente se utiliza X = 10. 
Mt1 ... Momento torsor no eixo do pinhão. [Nm] 
z1, z2 ... Número de dentes do pinhão e da coroa. [-] 
pHadm ... Pressão de contato superficial admissível. [mm] 
αn ... Ângulo de pressão normal. [graus] 
υ ... Fator de serviço. [-] 
E1, E2 ... Módulo de elasticidade do material do pinhão e da coroa. [N/mm²] 
 
2.2.7 Vida útil 
 
A vida útil de um par de engrenagens é obtida em função de ambos os critérios citados: 
 
 Tensão de fadiga devido à flexão no pé do dente. 
 Pressão superficial devido ao desgaste por contato no flanco do dente. 
 
Para pinhão e coroa de mesmo material, a vida é calculada para a menor engrenagem deste 
par. Em caso de redução de velocidades é o pinhão e em caso de ampliação de velocidades 
é a coroa. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Vida útil pela Pressão de Hertz 
 
 Vida útil em número de ciclos (Lpn) 
 
A vida útil de uma engrenagem em (10
6
) milhões de ciclos, quanto à pressão de Hertz no 
flanco do dente, é calculada em função: da dureza Brinell do material, e da pressão 
superficial atuante no flanco do dente. 
 
at
n
pH
HB
Lp


487,0
 [10
6
 ciclos] 
 
Onde 
HB ... dureza Brinell do material usado. [N/mm²] 
pHat... pressão de Hertz atuante. [N/mm²] 
 
 Vida útil em quantidade de horas (Lph) 
 
A vida útil de uma engrenagem em horas, quanto à pressão de Hertz no flanco do dente, é 
calculada em função: da vida útil em milhões de ciclos e da rotação média da engrenagem. 
 
60
106


média
nh
n
LpLp
 [h] 
 
Onde 
Lpn ... vida útil à pressão superficial (ou Hertz). [10
6
 ciclos] 
nmédia ... rotação média. [rpm] 
 
b) Vida útil pela Tensão de Flexão 
 
Sendo conhecido o material utilizado e seu comportamento a partir de um diagrama de 
fadiga, pode-se determinar a vida útil do eixo em estudo. 
 
Figura: Diagrama de resistência à fadiga - σ x N (segundo Woehler e Weibull). 
 
 
 Vida útil em número de ciclos (Lσn) 
 
A vida útil de uma engrenagem em (10
6
) milhões de ciclos, quanto à tensão de flexão no pé 
do dente, é calculada em função: da resistência á fadiga do material, da resistência sem-
estática do material e da tensão de flexão atuante. 
 
610
10E
nL 
 [10
6
 ciclos] 
 
Onde 
E ... expoente de vida. 
nmédia ... rotação média. [rpm] 
 
Sendo 
 
    ANNE ef  expexp
 
 
Com 
 
exp(Ns) = 3 ... Todos os materiais, com ruptura quase-estática a 1x10
3
 = 1000 ciclos. 
 
exp(Nf) = 6 ... Materiais de resistência baixa, que rompem a 1x10
6 
= 1 milhão de ciclos. 
 
exp(Nf) =7 ... Materiais de resistência média, que rompem a 1x10
7 
=10 milhões de ciclos. 
 
exp(Nf) =8 ... Materiais de resistência alta, que rompem a 1x10
8 
= 100 milhões de ciclos. 
 































f
s
f
at
sNA




log
log
)exp(
.
 
 
e 
rs x  
 
 
Onde 
exp ... expoente. 
Ns ... número de ciclos necessários para atingir o limite de ruptura quase-estático do 
 material. [rot] 
Nf ... número de ciclos necessários para atingir o limite de fadiga do material. [rot]. 
σat = Sat ... tensão dinâmica atuante. [N/mm²] 
σf = Sf ... limite de fadiga do material. [N/mm²] 
σr = Su ... limite de ruptura do material. [N/mm²] 
σs = Ss ... limite de ruptura quase-estática do material. [N/mm²] 
σe = Sy ... limite de escoamento do material. [N/mm²] 
x ... coeficiente. Para aços: x = 0,9; para alumínio: x = 0,8. 
 
 
 Vida útil em quantidade de horas (Lσh) 
 
A vida útil de uma engrenagem em horas, quanto à tensão de flexão no pé do dente, é 
calculada em função: da vida útil em milhões de ciclos e da rotação mediado eixo. 
 
60
106


média
nh
n
LL 
 [h] 
 
Onde 
Lσn ... vida útil à pressão superficial (ou Hertz). [10
6
 ciclos] 
nmédia ... rotação média. [rpm] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 EIXOS 
 
3.1 Introdução 
 
Os eixos são elemento de máquinas, normalmente compostos por vários segmentos 
escalonados em diferentes diâmetros e sustentados por mancais ou apoios. Sobre estes 
eixos podem ser montados outros elementos tais como: engrenagens, polias, discos, 
turbinas, ventiladores, entre outros. 
 
a) Classificação dos eixos 
 
Os eixos podem trabalhar sob duas condições: 
 Estacionária ou estática, na qual o eixo não gira, mas suporta componentes rotativos 
como, por exemplo: polias “loucas”. 
 Rotativa ou dinâmica, na qual o eixo gira e é denominado eixo de transmissão, 
suportando componentes que giram junto com o eixo como, por exemplo: 
engrenagens, cames, polias. 
 
b) Processo de fabricação dos eixos 
 
Os eixos são produzidos a partir de barras cilíndricas, denominadas tarugos ou vergalhões. 
Eles são cortados no comprimento e usinados com diferentes diâmetros (escalonados), 
rebaixos, chanfros, canais, furos, rasgos de chavetas, etc. 
 
Figura: Exemplo de eixo. 
 
 
c) Materiais dos eixos 
 
O material mais utilizado é o aço, que pode ser tratado: termicamente (têmpera, 
cementação, revenimento) e superficialmente (cromeação, fosfatização, pintura). 
Entretanto, dependendo das condições de projeto e de custo / benefício, praticamente 
qualquer material ferroso, não-ferroso ou não metálico, pode ser utilizado para 
confeccionar um eixo. 
 
Tabela: Características dos Materiais para eixos. 
 
 
3.2 Eixos de Transmissão 
 
Estes eixos giram em torno de seu próprio eixo de simetria, transmitindo torque e potência 
através de outros elementos a eles unidos tais como: motor, engrenagem, polia, came. 
 
3.2.1 Cinemática do movimento 
 
Quando um eixo é acionado, passa a existir um movimento de rotação, de forma
que 
surgem: 
 
 Ciclos ou rotações por minuto (n). 
 Velocidades angulares (ω). 
 Velocidades tangenciais ou periféricas (v). 
 Frequências (f). 
 Períodos (T). 
 
Figura: Relações cinemáticas. Fonte: O autor. 
 
 
 Rotação média 
 
 
 
Com 
 
Onde 
n1, n2,..., nn ... grupos de rotações [rpm] 
t1%, t2%, ... tn% ... tempos dos grupos [s] 
 
 Velocidade angular (ω) 
 
 
 Velocidade tangencial ou periférica (v) 
 
 
 Frequência (f) 
 
 Período (T) 
 
 
3.2.2 Vibração do eixo – rotação de ressonância 
 
Em determinados casos considerados críticos, pode ser necessário determinar a rotação que 
causa vibração de ressonância no eixo, que corresponde amplitudes elevadíssimas as quais 
podem levar à ruina do elemento. A ressonância ocorre quando o valor da velocidade 
angular do eixo coincide com a frequência natural do sistema composto por: eixo, mancais, 
rotores. 
 
 
a) Sistema com um rotor 
 
 Massa equivalente do rotor e dos mancais 
Tabela: Massa equivalente do rotor e dos mancais. 
Condição Massa equivalente [Kg] 
 
 
  eixorotorrotor
m
lbla
lbla
mmeq 



2
 
  eixomancalAmancalA
m
lbla
la
mmeq 


2
 
  eixomancalBmancalB
m
lbla
lb
mmeq 


2
 
 
 
  eixorotorrotor
m
lbla
lb
mmeq 


2
 
  eixomancalAmancalA
m
lbla
la
mmeq 


2
 
  eixomancalBmancalB
m
lbla
lbla
mmeq 



2
 
 
 
  eixorotorrotor
m
lbla
la
mmeq 


2
 
  eixomancalAmancalA
m
lbla
lbla
mmeq 



2
 
  eixomancalBmancalB
m
lbla
lb
mmeq 


2
 
 
Onde 
mrotor ... massa do rotor (disco, turbina, compressor, engrenagem, etc) [Kg] 
meixo ... massa do eixo [Kg] 
mmancal ... massa do mancal [Kg] 
 
Nota: As massas equivalentes dos mancais são utilizadas caso seja necessário considerar a 
deflexão axial destes. Entretanto, a princípio consideraremos os mancais totalmente rígidos 
ou seja, com deflexão nula e consequentemente com rigidez infinita. 
 Rigidez do eixo 
 
Tabela: Rigidez e deflexão de eixo em função da posição da força peso. 
 Condição Kf [N/m] δ [m] 
1 
 
 3
48
ba ll
IE
kf



 
kf
F

 
2 
 
 
   3223
2
3
baba
ba
llll
llIE
kf



 
kf
F

 
3 
 
 
   3223
2
3
baba
ba
llll
llIE
kf



 
kf
F

 
4 
 
  21
3
ccba llll
IE
kf



 
  cba lll
IE
kf



22
16
 
1
1
kf
F

2
2
kf
F

 
5 
 
  21
3
acba llll
IE
kf



 
  acb lll
IE
kf



22
16
 
1
1
kf
F

2
2
kf
F

 
6 
 
  cba lll
IE
kf



23
16
 
 34
48
ba ll
IE
kf



 
3
3
kf
F

4
4
kf
F

 
7 
 
  acb lll
IE
kf



23
16
 
 34
48
cb ll
IE
kf



 
3
3
kf
F

4
4
kf
F

 
 
 
Para eixos escalonados, calcula-se a rigidez equivalente. Analisando, por exemplo, o caso 2 
da tabela anterior, como sendo um eixo escalonado, obtém-se: 
 
eba
eq
kfkfkf
kf
1
...
11
1

 [N/m] 
 
Figura: Eixo escalonado. 
 
 
 Frequência natural 
 
rotor
eixo
n
meq
keq

 
 
 Rotação critica 
 





2
60n
critn
 
 
b) Sistema com dois ou mais rotores 
 
Para eixos que sustentam mais de um rotor, aplicam-se: o método da superposição para a 
determinação da deflexão e o método de Rayleigh para a determinação da frequência 
natural. 
 
Figura: Exemplos de eixos com mais de um rotor. 
 
 
 Deflexão 
 
Para eixos sob a influência de mais de uma força, aplica-se o método da superposição das 
deflexões em cada secção de interesse, conforme exemplificado a seguir. 
 
Figura: 
 
 
No caso exposto, há dois pontos de deflexão crítica: uma onde está localizada a massa que 
provoca F1 e a outra onde está localizada a massa que provoca F2. Além disso, estas 
deflexões do eixo ocorrem em função do efeito combinado de F1 e F2, de forma que se tem 
uma superposição dos casos 4 e 6 da tabela anterior, ou seja: 
 
3
2
1
1
31
kf
F
kf
F
I  
 [mm] 
 
4
2
2
1
42
kf
F
kf
F
II  
 [mm] 
 
Figura: 
 
 
 Frequência natural 
 
Segundo Rayleigh, tem-se: 
 
...
...
2
2
2
1
21



III
III
n
mm
mm
g

 
 
 Rotação critica 
 





2
60n
critn
 
 
3.2.3 Dinâmica do movimento 
 
Os eixos estão sujeitos a forças e momentos externos aplicados, de forma que se pode 
determinar: 
 
 Potência de acionamento (N). 
 Momento torsor (Mt). 
 Forças tangenciais (Ft). 
 Forças radiais (Fr). 
 Forças axiais (Fa). 
 Forças resultantes (FR). 
 
Figura: Exemplo de forças atuantes no eixo devido a engrenamento cilíndrico helicoidal. 
 
 
a) Potência útil (N) 
 
A potência útil que chega ao eixo corresponde á potência transmitida pelo motor, 
descontando-se todas as perdas em mancais e elementos de transmissão localizados 
entre este motor e o eixo em questão. 
 
 motoreixo NN
 [W] 
 
b) Momento torsor atuante (Mt) 
 
O momento torsor atuante no eixo pode ser determinado de duas formas, conforme 
apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir da potência e velocidade angular do eixo 
 
Figura: Eixo acionado diretamente pelo motor. 
 
 
eixo
eixoNMt


 [Nm] 
 
Figura: Diagrama de momento torsor ou torção. Fonte: O autor. 
 
 
 
 A partir da força do elemento de transmissão 
 
Calculado a partir de força atuante na direção tangencial do eixo. 
 
Figura: Eixo acionado por elemento de transmissão (engrenagem, polia). 
 
 
Engrenagem: 
2
dp
FtMt 
 [Nm] 
 
Polia & correia: 
2
1
d
TMt 
 [Nm] 
 
Onde: 
Neixo ... potência útil no eixo. [W] 
ωeixo ... velocidade angular do eixo. [rad/s] 
Ft ... força tangencial no dente da engrenagem acoplada ao eixo. [N] 
T1 ... maior força de tração na correia. [N] 
dp ... diâmetro primitivo da engrenagem acoplada ao eixo. [mm], [m] 
d ... diâmetro primitivo da polia acoplada ao eixo. [mm], [m] 
 
c) Momento fletor atuante (Mf) 
 
O momento fletor atuante no eixo é calculado a partir da(s) força(s) atuante(s) no elemento 
de transmissão e das posições relativas entre esta(s) força(s) e os apoios (mancais) ao longo 
do comprimento do eixo. 
 
Procedimento de calculo: 
- Determinar a(s) força(s) atuantes(s). 
- Determinar as forças de reação nos apoios (mancais). 
- Determirar os momentos fletores nas secções críticas. 
 
 No caso de transmissão por engrenagens 
 
Neste caso, a força atuante se refere à força normal ou força resultante, composta pela soma 
vetorial das forças tangencial e radial atuantes no dente da engrenagem. Esta força é 
transferida para o eixo em função do efeito de ação e reação. 
 
Figura: Eixo solicitado à flexão pela força normal originada no contato entre dentes de 
 engrenagens e sua posição sobre o eixo. 
 
 
 No caso de transmissão por polia & correia
Neste caso, a força atuante se refere à força total de tração atuante na correia, composta 
pela soma algébrica das forças de tração atuantes no lado motriz (T1) e no lado resistivo 
(T2). Esta força é transferida para o eixo em função do efeito de ação e reação. 
 
 
Figura: Eixo solicitado à flexão pela força normal, que é originada pelas forças de tração na 
 Correia e sua posição sobre o eixo. 
 
 
c1) Calculo das reações de apoio 
 
É a determinação das forças de reação nos apoios (mancais), para manter o sistema em 
equilíbrio estático, em função das forças externas aplicadas. 
Para isso, é feito o cálculo do equilíbrio estático entre momentos ativos e reativos assim 
como o equilíbrio estático entre forças ativas e reativas, ou seja: 
 
  0AM
 e 
  0F
. 
 
Figura: Reações de apoio. 
 
 
 
c2) Esforços internos solicitantes 
 
São os esforços suportados pelo eixo em qualquer posição ao longo de seu comprimento. 
Para a determinação destes esforços, e em especial dos esforços críticos (de maior 
intensidade), nos baseamos no “método das secções”. 
Este método permite analisar os esforços em qualquer secção desejada do eixo, sendo para 
isso necessário dividir o eixo em segmentos de corte. A quantidade destes segmentos deve 
ser igual ao número de forças concentradas ao longo do eixo menos um. 
As secções críticas do eixo são aquelas onde se localizam as forças concentradas de ação e 
de reação (apoios). No caso do momento fletor, a intensidade do momento é nula sobre as 
forças localizadas nas pontas do eixo e máxima sobre as forças localizadas mais para a 
parte central do eixo. 
Assim, na situação da figura anterior, a posição e a intensidade do momento fletor máximo 
atuante sobre o eixo pode ser determinado da seguinte forma: 
 
Figura: 
 
 
  MalaRAMf 
 [Nm] ou 
  MalbRBMf 
 [Nm] 
 
 Figura: Diagramas de momento fletor ou flexão. Fonte: O autor. 
 
 
3.2.4 Resistência e Dimensionamento 
 
Os cálculos de resistência e de dimensionamento levam em conta a condição de fadiga em 
função do movimento cíclico do eixo. Estes cálculos podem envolver condições estáticas 
ou constantes, assim como condições dinâmicas ou alternadas. 
A condição é definida como sendo estática, quando a intensidade das forças e momentos 
externos atuantes é constante e os seus pontos de aplicação no eixo não se alteram. 
A condição é definida como sendo dinâmica, quando a intensidade das forças e momentos 
externos atuantes varia com o tempo e os seus pontos de aplicação no eixo se alteram de 
forma cíclica. Esta alternância leva o eixo a falhar pelo efeito da fadiga. 
A fadiga se inicia com fissuras microscópicas imperceptíveis ao olho nu, que progridem 
para trincas mais severas, culminando com uma quebra brusca após determinado número de 
ciclos. A falha por fadiga resulta de deformação plástica repetitiva e esta falha ocorre a 
níveis de tensão bem abaixo do ponto de escoamento ou limite elástico do material. Devido 
ao fato que o escoamento plástico altamente localizado poder dar origem a falha por fadiga, 
o engenheiro é levado a ter especial atenção a locais potencialmente vulneráveis tais como: 
quinas, roscas, rasgo de chavetas, corrosão, furos e entalhes. A fissura inicial devido a 
fadiga resulta em um aumento da concentração de tensão local. À medida que a fissura se 
propaga, o material na raiz da fissura é submetido a um escoamento localizado destrutivo. 
A seção é reduzida e causa um aumento de tensões, a taxa de propagação da fissura 
aumenta até que a seção restante não é mais capaz de suportar a carga aplicada, vindo 
finalmente a acontecer a fratura. 
Estes cálculos levam em conta o tipo de material utilizado na confecção do eixo, através 
dos seus limites de resistência estáticos (Sy = σesc - escoamento, Su = σrup - ruptura) e 
dinâmicos (Sf = σfad – fadiga). 
 
3.2.4.1 Fator de Concentração de tensões 
 
A condição de fadiga implica na inclusão de fatores de concentração de tensões. As 
concentrações de tensões são provocadas por tensões residuais originárias de processos de 
fabricação e ocorrem em determinadas regiões do eixo, tais como: chanfros, raios de 
arredondamento entre diâmetros escalonados, rasgos de chavetas, furos transversais, entre 
outros. Tais fatores diferem conforme o tipo de esforço interno que provoca a tensão. 
 
a) Fator de concentração de tensões teórico (Kt) 
 
O fator de concentração de tensões teórico ou geométrico é obtido de forma experimental e 
apresentado na forma de gráficos, conforme mostrado mais adiante. Tal fator multiplica a 
tensão nominal calculada pelo modelo matemático sem a existência de entalhe e permite 
determinar a tensão máxima que atua no entalhe. 
 
0
max


Kt
 
Figura: Gráficos de Fatores de Concentração de tensões Teóricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Fator de concentração de tensões teórico (Kt) 
 
A sensibilidade ao entalhe q, depende do limite de resistência à tração e do raio do entalhe, 
sendo determinado de forma experimental. Os valores experimentais da literatura usam q 
variando de 0 a 1, sendo que os valores mais utilizados se encontram na faixa de 0,6 a 0,9. 
Testes de ciclagem de vida comparativos, realizados em corpos de prova sem entalhes e 
com entalhes, mostram que Kf é frequentemente menor que Kt. 
Os gráficos do índice de sensibilidade ao entalhe são plotados em função do raio e da 
resistência à tração dos materiais. Para os aços, observa-se a tendência de materiais mais 
resistentes e duros serem mais sensíveis ao entalhe. Isto significa que a troca de um aço 
menos resistente por um aço mais resistente e duro normalmente aumenta uma parte da 
resistência à fadiga, mas o aumento não é tão grande como se poderia esperar devido ao 
aumento no índice de sensibilidade. 
 
Figura: Gráfico de Índice de Sensibilidade 
 
 
Fator de Concentração de Tensões Efetivo (Kf) 
 
Dependendo do tipo de material e de sua resistência, o fator de concentração teórico pode 
sofrer alterações, diminuindo sua intensidade em função da sensibilidade q do entalhe. A 
relação que determina o fator de concentração efetivo ou prático, foi definido por Peterson, 
como: 
 
 11  KtqKf
 
 
 
 
3.2.4.2 Resistência do eixo à flexo - torção 
 
Conhecidas as dimensões do eixo de transmissão em análise e os esforços nele aplicados, 
determina-se inicialmente as tensões atuantes no eixo, na condição dinâmica (ciclos 
alternados) e sob o efeito de fatores de concentração de tensões. 
Em seguida, conhecendo-se o material que constitui o eixo em termos das tensões 
admissíveis quanto ao limite estático de escoamento e ao limite dinâmico de fadiga, avalia-
se a sua resistência dinâmica determinando a vida útil em número de ciclos ou horas. 
 
a) Tensões atuantes à flexo-torção na condição dinâmica 
 
Para determinar a resistência de um eixo de transmissão, geralmente se calcula uma tensão 
equivalente que leva em conta o efeito combinado de dois tipos de esforços internos 
solicitantes: o momento fletor (Mf) e o momento torsor (Mt). 
Na realidade podem estar atuando quatro tipos de esforços internos ao mesmo tempo: 
flexão, torção, carga axial e carga cortante. Mas como a carga axial e a carga cortante são 
de ordem de grandeza inferior, em geral podem ser desprezadas no cálculo. 
Existem algumas teorias ou critérios para a determinação da tensão equivalente à flexo-
torção. As mais usadas são a teoria de Tresca (ou da máxima tensão de cisalhamento)
e a 
teoria de Von Mises (ou da máxima energia de distorção). 
A teoria de Tresca considera apenas o estado duplo de tensões sendo, portanto, mais fácil 
de equacionar. A tensão resultante calculada é menos precisa, mas maior do que a real, 
estando assim, a favor da segurança. 
A teoria de Von Mises considera o estado triplo de tensões sendo, portanto, mais difícil de 
obter a equação. A tensão resultante calculada é mais precisa, estando o valor mais próximo 
do valor real. 
A expressão matemática para o cálculo da tensão equivalente atuante à flexo-torção tem a 
seguinte forma: 
     
 




33
2
1
22
1,0 ie
tf
at
dd
KfMtKfMf
eq
 
 
Com: 
1
e
i
d
d

 para eixos vazados. 
 
Tabela: Índice α 
Critério α 
Von Mises 0,75 
Tresca 1 
 
b) Tensão de flexão admissível 
 
s
f
f matadm

 
 [N/mm²] 
Onde 
σfmat ... Tensão limite de fadiga do material na flexão. [N/mm²] 
s ... fator de segurança relativo à aplicação e confiabilidade do material. [ - ] 
 
c) Verificação 
 
Deve-se ter sempre 
admat feq  
 
 
3.2.4.3 Dimensionamento do eixo 
 
O dimensionamento dos eixos é feito sob a influência de cargas alternadas e médias. 
Pode-se definir, se uma carga atua de forma variável ou constante sobre um eixo que gira 
em torno de seu eixo de simetria, analisando um determinado elemento infinitesimal 
pertencente a este eixo. Assim sendo, temos os seguintes casos: 
 
 Momento fletor variável alternado: Forças radiais com intensidades constantes e 
direcionamento fixo, aplicadas a um eixo que gira em torno de seu eixo de simetria, 
como é o caso: da força peso de um rotor, das forças nos dentes de engrenagens e das 
forças de uma correia, provocam um momento fletor, cujo efeito para o elemento 
infinitesimal que gira junto com o eixo, tem o efeito de um momento que se alterna em 
torno de um valor médio nulo, entre um valor máximo positivo e um valor máximo 
negativo de mesma intensidade. Esta situação faz com que um mesmo ponto ou 
elemento infinitesimal do eixo esteja sujeito a tensões normais alternadas ao longo do 
tempo. 
 
Figura: Tensões alternadas ao longo do tempo. 
 
 
 Momento fletor constante: Massas desbalanceadas provocam o surgimento de forças 
centrífugas. Estas forças centrífugas são de intensidade constante, mas não têm um 
direcionamento fixo, já que giram junto com o eixo, provocando um momento fletor que 
não se altera em relação a um determinado ponto ou elemento infinitesimal preso ao 
eixo. Esta situação faz com que um mesmo ponto ou elemento infinitesimal do eixo 
esteja sujeito a tensões normais constantes ao longo do tempo. Exceto por um 
pequeníssimo intervalo de tempo, para tirar o eixo do repouso e levá-lo á rotação de 
trabalho. 
 
Figura: Tensões constantes ao longo do tempo. 
 
 
 Momento torsor variável pulsante: Rotações variáveis entre um valor mínimo positivo 
e um valor máximo positivo, levam a momentos torsores cujas intensidades variam em 
relação a um determinado elemento infinitesimal pertencente ao eixo. Esta situação faz 
com que este mesmo ponto ou elemento infinitesimal do eixo esteja sujeito a tensões 
normais pulsantes ao longo do tempo. 
 
Figura: Tensões pulsantes ao longo do tempo. 
 
 
 Momento torsor constante ou médio: Rotações constantes levam a momentos torsores. 
Por outro lado, mesmo quando as rotações variam entre um valor mínimo positivo e um 
valor máximo positivo, existe um valor de momento torsor médio, calculado em função 
dos momentos torsores mínimo e máximo. Ambas as possibilidades fazem com que um 
determinado ponto ou elemento infinitesimal do eixo esteja sujeito a tensões normais 
constantes ao longo do tempo. 
 
Figura: Tensões (a) constantes ou (b) médias ao longo do tempo. 
 
 
a 
 
 
b 
 
As tensões médias (σm) são obtidas fazendo: 
 
2
minmax 

m
 [N/mm²] 
 
As tensões alternadas (σa) são obtidas fazendo: 
 
2
minmax 

a
 [N/mm²] 
 
Teorias de fadiga de eixos 
 
Existem diversas teorias que relacionam as tensões variadas e constantes (ou médias), aos 
limites de fadiga, escoamento e ruptura do material. 
Tais teorias foram desenvolvidas por: Goodman, Sodeberger, Gerber e ASME. 
 
Figura: Representação gráfica das diversas teorias de fadiga. 
 
 
 
As equações correspondentes ao gráfico são: 
 
1
y
m
f
a
SS

 Soderberg 
 
1
rup
m
f
a
SS

 Goodman 
 
1
2










rup
m
f
a
SS
 Gerber 
 
1
22


















y
m
f
a
SS
 ASME 
 
a) Dimensão de eixo sujeito a Mf alternado e Mt constante 
 
Situação de um redutor de velocidades, por exemplo. 
 
 Soderberg e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
22
32















 










y
m
f
a
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 Gerber e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
2
2
2
32















 










u
m
f
a
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 Goodman e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
22
32













 










u
m
f
a
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 ASME e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
3
2
1
2
2
2
2
32















 










y
m
f
a
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 Onde 
Su = limite de ruptura do material 
Sy = limite de escoamento do material. 
Sf = limite de fadiga do material 
Mfa = momento fletor máximo alternado atuante no eixo. 
Mtm = momento torsor máximo constante atuante no eixo. 
 
b) Dimensão de eixo sujeito a Mf alternado e constante e a Mt alternado e constante 
 
Para o caso, por exemplo, de um eixo de caixa de cambio com engrenagem desbalanceada. 
 
 Soderberg e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
2222
32















 

















 










y
m
y
m
f
a
f
a
S
Mt
S
Mf
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 
 
 Gerber e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
2
2
2
2
22
32















 
















 










u
m
u
m
f
a
f
a
S
Mt
S
Mf
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 Goodman e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
2222
32













 














 










u
m
u
m
f
a
f
a
S
Mt
S
Mf
S
Mt
S
Mf
d


 
 
 ASME e Von Mises (α=0,75) ou Tresca (α=1) 
 
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
32















 

















 










y
m
y
m
f
a
f
a
S
Mt
S
Mf
S
Mt
S
Mf
d


 
 
Onde 
Su = limite de ruptura do material 
Sy = limite de escoamento do material. 
Sf = limite de fadiga do material 
Mfa = momento fletor máximo alternado atuante no eixo. 
Mta = momento torsor máximo alternado atuante no eixo. 
Mfm = momento fletor máximo constante atuante no eixo. 
Mtm = momento torsor máximo constante atuante no eixo. 
 
 
 
3.2.5 Vida útil 
 
A vida útil em relação á tensão de flexão equivalente (flexo-torção), é calculada em função: 
da resistência á fadiga do material, resistência sem-estática do material, rotação média e da 
tensão de flexão atuante. 
 
60
10


m
E
n
t
 [h] 
 
Onde 
E ... expoente de vida. 
nm ... rotação média. [rpm] 
 
 
 
Sendo 
 
    ANNE ef  expexp
 
 
Com 
 
exp(Ns) = 3 ... Todos os materiais, com ruptura quase-estática a 1x10
3
 = 1000 ciclos. 
 
exp(Nf) = 6 ... Materiais de resistência baixa, que rompem a 1x10
6 
= 1 milhão de ciclos. 
 
exp(Nf) =7 ... Materiais de resistência média, que rompem a 1x10
7 
=10 milhões de ciclos. 
 
exp(Nf) =8 ... Materiais de resistência alta, que rompem a 1x10
8 
= 100 milhões de ciclos. 
 































f
s
f
at
sNA




log
log
)exp(
.
 
 
e 
rs x  
 
 
Onde 
exp ... expoente. 
Ns ... número de ciclos necessários para atingir o limite de ruptura quase-estático do 
 material. [rot] 
Nf ... número de ciclos necessários para atingir o limite de fadiga do material. [rot]. 
σat = Sat ... tensão dinâmica atuante. [N/mm²] 
σf = Sf ... tensão limite de ruptura à fadiga do material. [N/mm²] 
σr = Su ... tensão limite de ruptura estática do material. [N/mm²] 
σs = Ss ... tensão limite de ruptura quase-estática do material. [N/mm²] 
σe = Sy ... tensão limite de elasticidade estática do material. [N/mm²] 
x ... coeficiente. Para aços: x = 0,9; para alumínio: x = 0,8. 
 
Figura: Gráfico σ x N (segundo Woehler e Weibull). 
 
 
4. ACOPLAMENTO POR PINOS 
 
4.1 Introdução 
 
Pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens, polias e outros 
elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através deles. Os pinos são 
usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do 
componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos. 
 
Figura: Pinos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 ACOPLAMENTO POR ESTRIAS 
 
Os acoplamentos por estrias são utilizados quando o torque a ser transmitido é tão alto, que 
não permite o uso de chavetas em função do enorme esforço atuante. 
 
5.1 Tipos de Estrias 
 
As estrias são padronizadas segundo a SAE e a ANSI, sendo os tipos mais comuns: 
 Estria com perfil reto. 
 Estria com perfil evolvente. 
 Estria com perfil por entalhe. 
 
Figura: Exemplo de união por estria. 
 
 
 
 
 
a) Dimensões padronizadas de estrias 
 
Tabela: Dimensões padronizadas de estrias d1 x d2 x b, segundo SAE e ANSI. 
 
 
 
 
 Área submetida ao cisalhamento (Acis) 
 
A área submetida a cisalhamento é: 
 
2
ldp
Acis



 [mm²] 
 
Onde 
dp ... diâmetro primitivo do componente estriado. [mm] 
l ... comprimento da estria. [mm] 
 
5.2 Cálculo de resistência das estrias 
 
As estrias falham por cisalhamento. Assim, o cálculo de resistência consiste na 
determinação das tensões de cisalhamento atuantes nas estrias em função, tanto do torque 
atuante como da geometria da estria e do eixo. 
 
 
A tensão de cisalhamento atuante na estria é calculada por: 
 
ldp
T
T



2
16


 [N/mm²] 
 
Onde 
T ... Torque interno solicitante. [Nmm] 
dp ... diâmetro primitivo do componente estriado. [mm] 
l ... comprimento da estria. [mm] 
 
 
 
 
 
5.3 Dimensionamento das estrias 
 
O cálculo de dimensionamento consiste na determinação do comprimento (L) da estria em 
função, tanto do torque atuante e da resistência do material, como da geometria do eixo 
estriado e das dimensões do perfil frontal da estria. 
 
a) Dimensionamento ao cisalhamento 
 
O cálculo do comprimento quanto ao cisalhamento para as estrias é obtido pela expressão: 
 
Tdp
T
l
 


2
16
 [mm] 
 
Onde 
T ... Torque interno solicitante. [Nmm] 
dp ... diâmetro primitivo do componente estriado. [mm] 
τT ... tensão de cisalhamento admissível do material da peça estriada. [N/mm²] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. MANCAIS DE ROLAMENTOS 
 
6.1 Introdução 
 
Os mancais de rolamentos têm a função de sustentar eixos de transmissão, permitindo o 
movimento de rotação em torno de seu eixo de simetria, mas impedindo o seu 
deslocamento em qualquer direção no espaço tridimensional. 
O cálculo do rolamento se inicia sendo conhecido o diâmetro do furo, que corresponde ao 
diâmetro do eixo. A determinação das demais dimensões é feita através de cálculos de 
solicitação estática e dinâmica. 
 
a) Tipos construtivos de rolamentos 
 
Os rolamentos pode ser: 
 
 Radiais: suportam grandes cargas na direção radial do eixo e cargas menores ou nulas 
na direção axial deste eixo. 
 Axiais: suportam grandes cargas na direção axial do eixo e cargas menores ou nulas na 
direção radial deste eixo. 
 
Figura. Tipos de rolamentos radiais. (a) fixo de esferas, (b) angular de esferas, (c) angular 
de esferas de duas carreiras, (d) autocompensador de esferas, (e) rolos cilíndricos, (f) rolos 
cônicos, (g) rolos cilíndricos de duas carreiras, (h) autocompensador de rolos cilíndricos. 
 
 
a b c d e f g h 
 
 
Figura. Tipos de rolamentos axiais. (a) fixo de esferas, (b) fixo de esferas de duas careiras, 
(c) angular de esferas, (d) angular de esferas de duas carreiras, (e) rolos cilíndricos, (f) 
autocompensador de rolos. 
 
 
a b c d e f 
 
b) Características gerais 
 
 São compostos por um anel externo, um anel interno, um porta- elementos rolantes 
e pelos elementos rolantes localizados entre os anéis. Com isso, existe um 
movimento relativo entre ambos os anéis. O porta – elementos rolantes serve para 
manter os elementos rolantes equidistantes e fazer com que rolem em vez de 
deslizarem. 
 Previstos para aplicações a temperaturas de serviço de até 100°C. 
 A carga estática equivalente (P0) é um valor calculado, sendo que nos rolamentos 
radiais corresponde a carga radial e nos rolamentos axiais corresponde a uma carga 
axial e central. 
 A carga dinâmica equivalente (P) é um valor calculado, sendo que nos rolamentos 
radiais corresponde a carga radial e nos rolamentos axiais corresponde a uma carga 
axial e central. 
 Rendimento em torno de 99%. 
 
a) Materiais de pistas e rolos 
 
Os rolamentos são feitos de aço temperado, sendo a dureza mínima das pistas e dos corpos 
rolantes de 58 HRC (Rockwell C). Note-se que a temperaturas acima de 100°C, a dureza do 
material se reduz
e com isto, a capacidade de carga do rolamento. 
 
 Corpos rolantes e anéis: O material usado é aço - cromo temperado (1% carbono, 
1,5% cromo, 0,25 a 0,35% manganês). Às vezes se usa aço inoxidável para 
ambientes corrosivos. 
 Porta-corpos rolantes: o material normalmente usado é aço estampado. A 
Ás vezes se usa teflon, nylon, bronze ou latão para altas rotações. 
 
b) Processo de fabricação 
 
 Anéis internos e externos 
- furos de anéis torneados em tornos automáticos. 
- pistas usinadas em tornos especiais. 
- recozidos e temperados, não sendo feito o revenimento para a dureza não cair 
abaixo de 58 HRC. 
- planos laterais retificados. 
- diâmetros externos retificados 
- diâmetros internos retificados. 
- pistas de anéis internos retificados e polidos. 
- pistas de anéis externos retificados e polidos. 
 
 Elementos rolantes até 3/4" 
- estampados a frio, após corte automático a partir de vergalhão. 
- remoção de rebarbas em forma de anel, numa máquina de superfície limadora. 
- retífica usando um disco com ranhuras concêntricas e um disco abrasivo (massa 
abrasiva). 
- recozimento e têmpera para dureza ≥ 58 HRC. 
- retífica final em pó abrasivo misturado no óleo. 
- tamboreamento com pasta em tambor rotativo. 
- inspeção visual. 
- seleção automática em grupos de diâmetros, numa gama de tolerância de alguns 
microns, através de canaletas cônicas. 
 
6.2 Cinemática 
 
 Rotações variáveis 
 
Se, no decorrer do tempo houver alterações na rotação do eixo sustentado por um 
rolamento solicitado dinamicamente, este fato deve ser considerado no cálculo. 
Neste caso, obtém-se a rotação equivalente média aplicando-se a seguinte fórmula: 
 
100
...
100100
2
2
1
1
n
nmedia
t
n
t
n
t
nn 
 [min
-1
] 
 
Onde 
n1 , n2 , ..., nn ... rotações individuais. [rpm] 
t1, t2 ,..., tn ... tempos parciais de cada rotação individual. [%] 
 
Figura: Rotações variáveis em função do tempo. 
 
 
 
 
6.3 Forças 
 
6.3.1 Forças radiais atuantes 
 
a) Forças radiais atuantes no eixo (FR) 
 
Aqui são consideradas apenas as forças existentes na direção radial do eixo. Estas forças 
radiais são decorrentes de forças devido a: peso de rotores (turbinas, compressores), 
transmissão por engrenagens, transmissão por polias & correias. 
 
 Engrenagem cilíndrica: 
22 FrFtFR 
 [N] 
 Polias & correia: 
TFR 
 [N] 
 Rotor: 
PFR 
 [N] 
 
Onde 
Ft ... força tangencial no dente de engrenagem. [N] 
Fr ... força radial no dente de engrenagem. [N] 
T ... força de esticamento total da correia. [N] 
P ... força peso do rotor (turbina, bomba, ventilador, etc). [N] 
 
Figura: Eixo solicitado por força resultante FR, sustentado pelos mancais A e B. 
 
 
Estas forças resultantes podem ser de: 
 intensidade constante, que não varia com o tempo. 
 intensidades variáveis, que variam com o tempo. 
 
 Forças radiais equivalentes 
 
Caso a intensidade da força resultante (FR) varie ao longo do tempo, determina-se uma 
força equivalente média, aplicando a relação: 
 
3
3223
2
113
1
%100
%
...
%100
%
%100
% n
eq
n
n
eqeq
eq
t
n
n
FR
t
n
n
FR
t
n
n
FRFR 
 [KN] 
 
Figura: Forças radiais atuantes no eixo, cujas intensidades variam em função do tempo. 
 
 
 
b) Forças radiais atuantes nos mancais de rolamentos. 
 
As forças nos mancais de rolamentos correspondem às forças de reação de apoios, obtidas 
através do cálculo do equilíbrio estático: 
0M
, 
0F
. 
 
 
 
 
 
Figura: Forças radiais atuantes nos mancais de rolamentos. 
 
 
Dependendo das posições relativas entre a força FR e os mancais A e B, as forças sobre os 
mancais de rolamentos se distribuem de forma diferentes. 
 
 Posições de atuação das forças nos mancais 
 
As posições de atuação das forças nos mancais a serem consideradas nos cálculos, 
dependem do tipo de rolamento utilizado e se este rolamento suporta ou não cargas axiais. 
 
Para rolamentos que não suportam cargas axiais 
 
Em rolamentos tais como: fixos se esferas, de rolos cilíndricos e autocompensadores, a 
posição das forças dos mancais recai exatamente sobre o centro do rolamento. 
 
Figura: Posições de atuação das forças dos rolamentos. 
 
 
Para rolamentos que suportam cargas axiais 
 
Em rolamentos tais como: angulares de esferas e de rolos cônicos, a posição das forças dos 
mancais recai num ponto fora do centro do rolamento, sendo que existem duas opções de 
montagem: disposição em O e disposição em X. Esta diferença no posicionamento é obtida 
no catálogo, para o tipo de rolamento previamente escolhido. 
 
Figura: Posições de atuação das forças dos rolamentos. (a) disposição em O, (b) disposição 
 em X. 
 
 
 a b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Forças radiais nos mancais A e B (Ry) 
 
Tabela: Situação hiperestática ou isostática. Ambos os mancais suportam cargas radiais. 
Layout Mancal A Mancal B 
 RAy [N] RBy [N] 
 
 








LbLa
La
FRRAy
 
 








LbLa
Lb
FRRBy
 
 
 





 

Lb
LbLa
FRRAy
 
 







Lb
La
FRRB y
 
 
 







La
Lb
FRRAy
 
 





 

La
LbLa
FRRBy
 
 
 
 
 
 
6.3.2 Forças axiais atuantes 
 
a) Forças axiais atuantes no eixo (Fa) 
 
Aqui são consideradas apenas as forças existentes na direção axial do eixo. Estas forças 
axiais resultantes são decorrentes de forças devido a: transmissão por engrenagens 
cilíndricas helicoidais, cônicas e sem-fim. 
 Engrenagem cilíndrica de dentes retos: 
0Fa
 [N] 
 Engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais: 
0Fa
 [N] 
 Engrenagem cônica e sem-fim: 
Fa
 [N] 
 Polias & correia: 
0Fa
 [N] 
 Rotor: 
0Fa
 [N] 
 
Figura: Eixo solicitado por força axial Fa, sustentado pelos mancais A e B. 
 
 
Estas forças resultantes podem ser de: 
 intensidade constante, que não varia com o tempo. 
 intensidades variáveis, que variam com o tempo. 
 
 Força axial equivalente atuante no eixo (Faeq) 
 
Caso a intensidade da força axial (Fa) atuante no eixo varie ao longo do tempo, determina-
se uma força equivalente média, aplicando a relação: 
 
3
3223
2
113
1
%100
%
...
%100
%
%100
% n
eq
n
n
eqeq
eq
t
n
n
Fa
t
n
n
Fa
t
n
n
FaFa 
 [KN] 
 
Figura: Forças axiais atuantes no eixo, cujas intensidades variam em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Forças axiais nos mancais A e B (Rx) 
 
Tabela: Situação hiperestática. Ambos os mancais suporta cargas axiais 
Layout Mancal A Mancal B 
 RAx[N] RBx [N] 
 
 








LbLa
Lb
FaRAx
 
 








LbLa
La
FaRBx
 
 
 





 

Lb
LbLa
FaRAx
 
 







Lb
La
FaRBx
 
 
 







La
Lb
FaRAx
 
 





 

La
LbLa
FaRBx
 
 
 
 
 
 
 
Tabela: Situação Isostática. Apenas um dos mancais suporta cargas axiais 
Apenas A suporta carga Apenas B suporta carga
Layout Mancal A Mancal B Mancal A Mancal B 
 RAx[N] RBx [N] RAx[N] RBx [N] 
 
 
FaRAx 
 
 
0xRB
 
 
0xRA
 
 
FaRBx 
 
 
 
FaRAx 
 
 
0xRB
 
 
0xRA
 
 
FaRBx 
 
 
 
FaRAx 
 
 
0xRB
 
 
0xRA
 
 
FaRBx 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.3 Cargas consideradas na seleção dos mancais de rolamentos 
 
a) Cargas radiais estáticas consideradas nos mancais de rolamentos (P0) 
 
A carga radial considerada no rolamento é estática, quando o movimento de giro é de até 10 
rpm. Esta carga estática (P0) corresponde à solicitação de maior intensidade que inside 
sobre o mancal e ela ocorre no ponto central de contato entre os corpos rolantes e a pista. 
Ela é determinada conforme equações a seguir: 
 
xy RAYARAXAPA  000
 [KN] 
xy RBYBRBXBPB  000
 [KN] 
 
Onde 
RAy , RBy ... carga radial nos mancais A e B. [kN] 
RAx , RBx ... carga axial nos mancais A e B. [kN] 
XA0 , XB0 ... fator radial estático. 
YA0 , YB0 ... fator axial estático. 
 
 Fatores X0 e Y0 
 
Os valores de X0 e Y0 são tabelados e diferem para os diversos tipos de rolamentos 
existentes, sendo citados a seguir, os valores para os rolamentos radiais: de rolos 
cilíndricos, fixos de esferas, de rolos cônicos e angulares de esferas. 
 
Tabela: Valores de X0 e Y0 para rolamentos radiais de rolos cilíndricos. 
Rx/ Ry X0 Y0 
- 1 0 
 
 
 
 
Tabela: Valores de X0 e Y0 para rolamentos radiais fixos de esferas. 
Rx/ Ry X0 Y0 
≤ 0,8 1 0 
 > 0,8 0,6 0,5 
 
Tabela: Valores de X0 e Y0 para rolamentos radiais de rolos cônicos. 
Rx/ Ry X0 Y0 
≤ 1 / (2 . Y0) 1 0 
> 1 / (2 . Y0) 0,5 Y0 
Nota: O valor de Y0 está indicado no catálogo. 
 
Tabela: Valores de X0 e Y0 para rolamentos radiais angulares de esferas. 
Rx/ Ry X0 Y0 
≤ 1,9 1 0 
 > 1,9 0,5 0,26 
 
b) Cargas radiais dinâmicas consideradas nos mancais de rolamentos (P) 
 
A carga radial considerada no rolamento é dinâmica, quando o movimento de giro é 
superior a 10 rpm. Esta carga dinâmica (P) corresponde a uma solicitação equivalente que 
inside sobre mancal, calculada em função de eventuais cargas variáveis atuantes que 
ocorrem no ponto central de contato entre os corpos rolantes e a pista. Ela é determinada 
conforme equações a seguir: 
 
xy RAYARAXAPA 
 [KN] 
xy RBYBRBXBPB 
 [KN] 
Onde 
RAy , RBy ... carga radial nos mancais A e B. [kN] 
RAx , RBx ... carga axial nos mancais A e B. [kN] 
XA , XB ... fator radial dinâmico. 
YA , YB ... fator axial dinâmico. 
 Fatores X e Y 
 
Os valores de X e Y são tabelados e diferem para os diversos tipos de rolamentos 
existentes, sendo citados a seguir, os valores para os rolamentos radiais de esferas e os 
rolamentos radiais de rolos cilíndricos. 
 
Tabela: Valores de X e Y para rolamentos radiais de rolos cilíndricos. 
Rx/ Ry X Y 
- 1 0 
 
Tabela: Valores de X e Y para rolamentos radiais fixos de esferas. 
(fs . P0) / C0 e Rx/ Ry ≤ e Rx/ Ry > e 
 Folga normal X Y X Y 
0,3 0,22 1 0 0,56 2 
0,5 0,24 1 0 0,56 1,8 
0,9 0,28 1 0 0,56 1,58 
1,6 0,32 1 0 0,56 1,4 
3 0,36 1 0 0,56 1,2 
6 0,43 1 0 0,56 1 
 
Tabela: Valores de X e Y para rolamentos radiais de rolos cônicos. 
Rx/ Ry X Y 
≤ e 1 0 
> e 0,4 Y 
Nota: Os valores de e e Y estão indicados no catálogo. 
 
Tabela: Valores de X e Y para rolamentos radiais angulares de esferas. 
Rx/ Ry X Y 
≤ 1,14 1 0 
> 1,14 0,35 0,57 
 
c) Cargas axiais consideradas nos mancais de rolamentos (FA) 
 
Tabela: Carga axial nos mancais A e B. 
Condição FAA FAB 
YB
RB
YA
RA yy

 e 









YB
RB
YA
RA
RA
yy
x .5,0
 
YB
RB
RA
y
x .5,0
 
x
y
RB
YA
RA
.5,0
 
YB
RB
YA
RA yy

 e 









YB
RB
YA
RA
RA
yy
x .5,0
 
YB
RB
RA
y
x .5,0
 
YA
RA
RB
y
x .5,0
 
YB
RB
YA
RA yy

 e 









YB
RB
YA
RA
RA
yy
x .5,0
 
YB
RB
RA
y
x .5,0
 
YA
RA
RB
y
x .5,0
 
YB
RB
YA
RA yy

 e 









YB
RB
YA
RA
RA
yy
x .5,0
 
x
y
RA
YB
RB
.5,0
 
YA
RA
RB
y
x .5,0
 
 
6.4 Resistência 
 
Os cálculos de resistência dos rolamentos são realizados para a situação estática e para a 
situação dinâmica, sendo aqui estudados dois tipos de rolamentos: 
 Rolamentos radiais de esferas. 
 Rolamentos radiais de rolos cilíndricos. 
 
6.4.1 Solicitação Estática 
 
A falha é considerada estática quando a tensão atuante na pista e nos corpos rolantes é 
superior à tensão limite de elasticidade do material e ocorre após um número total de ciclos 
entre zero até no máximo 1000 rotações ou quando o movimento é de até 10 rpm. 
 
a) Capacidade de carga estática (C0) 
 
A capacidade de carga estática C0 é calculada conforme a expressão a seguir, devendo o 
valor final ser selecionado nas respectivas tabelas de rolamentos em função do tipo e do 
diâmetro do anel interno. 
 
sfPACA  00
 [KN] 
sfPBCB  00
 [KN] 
 
Onde 
PA0, PB0 ... carga estática equivalente nos mancais A e B. [kN] 
fs ... fator de esforços estáticos. 
 
Uma carga desta magnitude considera uma deformação plástica total dos corpos rolantes e 
da pista na ordem de 1 /10000 do diâmetro do corpo rolante. 
De uma maneira geral, pode-se considerar que esta carga provoca uma pressão de 
superficial entre os corpos rolantes e a pista de: 
 4600 N/mm² em todos os rolamentos auto-compensadores de esferas. 
 4200 N/mm² em todos os outros rolamentos de esferas. 
 4000 N/mm² em todos os rolamentos de rolos. 
 
Com 
 Tabela: Fator de esforços estáticos. 
Exigências fs 
Elevadas 1,5 ≤ fs < 2.5 
Normais 1,0 ≤ fs < 1,5 
Reduzidas 0,7 ≤ fs < 1,0 
 
Nota: É um fator de segurança contra deformações plásticas nos pontos de contato dos 
corpos rolantes. 
 
6.4.2 Solicitação dinâmica 
 
A falha é considerada dinâmica quando a tensão atuante na pista e nos corpos rolantes é 
superior à tensão limite de fadiga do material e ocorre após um número total de ciclos 
superior a 1000 rotações ou quando o movimento é acima de 10 rpm. 
a) Capacidade de carga dinâmica (C) 
 
A capacidade de carga dinâmica C é calculada conforme a expressão a seguir, devendo o 
valor final ser selecionado nas respectivas tabelas de rolamentos em função do tipo e do 
diâmetro do anel interno, conforme Norma DIN/ISO 281-1993 
 
p
LPACA 
 [KN] 
p
LPACA 
 [KN] 
 
Onde 
PA, PB ... carga dinâmica equivalente nos mancais A e B. [kN] 
L ... vida útil desejada. [10
6
 rotações] 
p ... expoente de duração de vida nominal, que é diferenciado para rolamentos de esferas e 
 rolamentos de rolos. 
 
Com 
 
Tabela: Expoente de duração de vida. 
Tipo de rolamento p 
De esferas 3 
De rolos 10/3 
 
6.5 Vida útil 
 
a) Vida em número de ciclos ou rotações 
 
O calculo da vida nominal L10 conforme Norma DIN ISO 281, para rolamentos 
dinamicamente solicitados, tem por base a fadiga do material, como causa da falha. A 
fórmula para o cálculo de vida nominal é: 
 
p
PA
CA
LA 





10
 [10
6
 rotações] 
p
PB
CB
LB 





10
 [10
6
 rotações] 
 
Onde 
CA, CB ... capacidade de carga dinâmica dos mancais A e B. [kN] 
PA, PB ... carga dinâmica equivalente atuante nos mancais A e B. [kN] 
p ... expoente