AV1 AV2 AV3 - Todo material - Servomec 2.pdf

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Unidade I: Introdução ao Controle Digital.•
Unidade II: Equações A diferenças e a Transformada Z.•
Unidade III: Sistemas de Controle Digital usando a transformada Z.•
Unidade IV: Projeto de Compensadores Digitais.•
Unidade V: Projeto no espaço de estado de sistemas contínuos.•
Unidade VI: Representação de sistemas de controle digital no espaço de estado.•
Ementa:
Prof. Felipe
fcaetano2000@yahoo.com.br
sala 1301
ANALÓGICO DIGITAL
Eq. Diferenciais Eq. Diferenciais
Função de Transf. H(s) Função de Transf. H(z)
Software de modelagem utilizado 
pela Estácio: SCILAB.
Controlabilidade →
Observabilidade →
Bibliografia:
a) Nise, Norman - Engenharia de Sistemas de Controle - LTC, 3a edição - 2004
b) Ogata, K - Engenharia de Controle Moderno - Prentice HALL, 3a edição - 2003
A/D INTERFACE
CONTROLADOR
ENTRADA DE
REFERÊNCIAINTERFACEAMPLIFRELE
Forno
Elétrico
sensor
D/A
Temp.
desejada
Temp.
obtida
E(s)
E(z)
digital G(z)
][]1[][][]1[][
1
)( 1012
2
1
1
2
2
1
10 NnbnxbnxbMnanyany
zazaza
zbzbzbb
zH NMn
n
n
n
−++−+=−++−+⇒
++++
++++
=
−−−
−−−
KK
K
K
ωjez =
s z
Controle e Servomecanismos II
segunda-feira, 23 de fevereiro de 2015
20:30
 Página 1 de Servomec_2 
1.1 - Configuração básica de um sistema de controle digital em malha fechada:
x(t)
Sinal Digital
Sinal Analógico
1.2 - Modelagem do Conjunto A/D + D/A
Para criação desse modelo no domínio analógico, vamos considerar que ele possa ser modelado 
matematicamente por um amostrador ideal e por um CKT sustentador de ordem zero ("zero order holder - ZOH).
Em outras palavras, o conversor A/D gera uma sequência de amostras a cada Ta (período de amostragem) 
segundos, enquanto o sustentador de ordem zero mantém um nível constante de amplitude, dado pelo valor da 
amostra saída do amostrador ideal, durante o período de tempo igual a Ta.
Sinal Digital
Ta
HOLD
u(t - kTa) u(t - kTa-Ta)
(kTa) (k + 1)Ta (kTa) (k + 1)Ta
Ta
Introdução ao Controle Digital
segunda-feira, 2 de março de 2015
20:30
 Página 2 de Servomec_2 
Sendo assim: ∑
∞
−∞=
−−−−=
k
aaaa TkTtukTtukTxtx )]()()[(()(*
atraso
Aplicando Laplace:
Laplace
depende do sinal de 
entrada x
não depende do sinal de 
entrada x nem de k
Passando novamente para o domínio do tempo:
)]()([*)()()(* a
k
aa TtutukTtkTxtx −−−= ∑
∞
∞−
δ
convolução
Ta
HOLD
x(t) xa(t) x*(t)
2 - TRANSFORMADA Z.
Pela análise anterior, o sinal obtido após o amostrador ideal é um trem de impulsos com energia igual 
ao valor da amostra do sinal x(t) no instante t = kTa.
∑
∞
∞−
−=
k
aaA kTtkTxtx )()()( δ No domínio de Laplace: ∑
∞
∞−
−
=
k
skT
aA
aekTxsX )()(
Uma maneira mais conveniente de trabalhar com a equação anterior é fazer:
sTaez +=
representação para 
sinal analógico
representação para 
sinal digital
ou
Para fins práticos, a transformada z de um sinal discreto (ou digital) x[k] é definida como:
∑∑
∞
∞−
−
∞
∞−
−
==
k
k
k
k
aA zkxzkTxsX ][)()(
∑
∞
=
−
=
0
][)(
k
kzkxzX
∑∑
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
+−−






−
=





−=
k
sT
skT
a
k
sTkTskT
a
s
e
ekTx
s
e
s
ekTxsX
a
a
aaa 1)()()(*
)(
Modelagem A/D - D/A
segunda-feira, 2 de março de 2015
21:00
 Página 3 de Servomec_2 
OBS: Conceito de Impulso:
Exemplo:
Encontre a transformada z para uma função rampa unitária



≥
<
=
0,
0,0)(
tt
t
tr
amostrada a 2 amostras/s
(fa = 2Hz)
freq. de amostragem
Transformada z
segunda-feira, 2 de março de 2015
21:30
 Página 4 de Servomec_2 
Rampa Unitária:



≥
<
=
0,
0,0)(
tt
t
tx
sinal analógico



>
∈<
=
=
0,5,0
0,0)(
kk
zkk
kTx
kTt
a
a
-1 -0,5
x(kTa)
t(seg)
0,5 1 1,5 2
0,5
1
1,5
2
Conversão A/D
Ta = 0,5s
[ ] → representa "discreto"
→ índice da amostra
SINAL
DISCRETO
Ou: x[k] = {...; 0; 0,5; 1; 0;...}
Representação no mundo discreto
k = 0
Logo:



≥
<
=
0,5,0
0,0][
kparak
k
kx
E sua transformada z é:
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
==
00
][)(
k
k
a
k
k kzTzkxzX → Caso geral; Ta qualquer
...)320()( 321
0
++++== −−−
∞
=
−∑ zzzTkzTzX a
k
k
a mas: ...)321()( 21 +++= −− zzTzzX a
então: ...)1()()( 321 −−− +++=− zzzTzXzzX a Para |z| >1: 





−
=−
−11
1)()1(
z
TzXz a
Soma de termos em PG
com a1 = 1 e q = z-1
OBS: para |q| < 1, 





−
=
−
=
11
1
z
zT
q
aS apg
)²()( 1−= z
zTzX a
razão
Ta = 0,5 → )²7(
5,0)7( 1−=
z
x
Resolução
segunda-feira, 9 de março de 2015
20:30
 Página 5 de Servomec_2 
OBS1: A transformada z de sinais discretos obtidas a partir de um processo de conversão A/D dependerão 
de período da amostragem (Ta)
OBS2: Na prática, usamos tabelas com as transformadas de sinais discretos básicos e com as 
propriedades da transformada z.
2.1 - Implementação dos sistemas digitais
Mundo analógico:
no tempo -> equações diferenciais
)(...1)(...1 01
1
101
1
tyb
dt
xdb
dt
xdbtya
dt
yd
a
dt
yd
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
++−+=++−+
−
−
−
−
−
Na frequência:
0
1
1
0
1
1
...1
...)(
asa
bsbsb
su
n
n
n
n
n
n
+++
+++
=
−
−
−
−
aplicando
Laplace:
Mundo discreto: no tempo -> equações de diferenças
][...]1[][][...]1[][ 101 nkxbkxbkxbnkyakyaky nn −++−+=−++−+ transformada z
OBS1: z-1 → corresponde ao um atraso de uma amostra.
 z-n →corresponde ao um atraso de n amostras.
OBS2: Sistema analógico:
Polos do semi 
plano esquerdo
plano s
)( ωσ js +=
Sistema digital ou sistema discreto estável:
1
1
plano z
pólos no interior do 
círculo unitário
sTaez =
Observações
segunda-feira, 9 de março de 2015
21:00
 Página 6 de Servomec_2 
Transformada z UNILATERAL
Transformada z BILATERAL⇒=
⇒=
∑
∑
∞
−∞=
−
∞
=
−
k
k
k
k
zkxzX
zkxzX
][)(
][)(
0
1
1
plano zjω
σ
plano s
sTaez =
16/03
23/03
30/03 → AV1 e Ativ. Estrut. 3 e 4
Para obtenção da transformada z inversa é comum utilizarmos o método de decomposição em frações parciais, 
exemplificado a seguir:
2121
1
1 .))((
))(()()(
ps
B
ps
A
psps
pssN
sGps
−−
=
−−
−
=−
))((lim 1
1
pssGA
ps
−=
→
Frações Parciais:
Exemplo 13.2 - Nise
)7,0)(5,0(
5,0)()(
)(
−−
==
zz
z
zG
zX
zY
( ))()( 1 zGTzkg −=
0 =
resposta ao impulso
Plano z
diagrama de pólos 
e zeros
X(z) Y(z)
G(z)
Tz(g(k)) δ[k] g[k]
Resposta: Para um sistema com 2 pólos reais e distintos, temos:
R
Im
0,70,5
1
1






−
⇔
1
1
1)(
ps
ApA t






−
+





−
=
−−
=
7,05,0)7,0)(5,0(
5,0)(
z
zB
z
zA
zz
z
zG
kk BAkg )7,0()5,0.()( +=
⇓ 





−
−
5,0
1
z
zTz 





−
−
7,0
1
z
zTz
Pela tabela de transformadas:
(I)
pz
z
zXpkx
Tz
Tz
k
−
=⇔=
−
)(][
1
OBS IMG 1834
Transformada z inversa
segunda-feira, 16 de março de 2015
20:30
 Página 7 de Servomec_2 
Pela equação (I) podemos dizer: )7,0)(5,0(
5,0
7,0
1
5,0
1)(
−−
=





−
+





−
=
zzz
B
z
A
z
zG
Receita de bolo:
5,2
2,0
5,0
7,0
5,0lim)5,0.()(lim
5,05,0
−=
−
=





−
=





−=
→→ z
z
z
zGAzz
p1
p1
5,2
2,0
5,0
5,0
5,0lim)7,0.()(lim
7,07,0
==





−
=





−=
→→ z
z
z
zGB
zz
p2
p2






−
+





−
−=
7,0
5,2
5,0
5,2)(
z
z
z
z
zG
Pela tabela →
kkkg )7,0.(5,2)5,0).(5,2()( +−=
No SciLab
OBS: Pequena Introdução - Entrada de Dados:
a = 5
a = 7; → inibe a exibição da resposta na tela
a
b = 2 , 5 → "," ou ";" separa comandos da mesma linha
1o cmd 2o cmd
equivale a:
b = 2
ans = 5
b = 5.7 → Software sensível a caixa alta
Números reais têm sua parte inteira separada da parte fracionária por ponto.
vlinha = [1 2 3] → 1 2 3 
xlinha = [3 , 2 , 1] → 3 2 1
ycoluna = [1; 2; 3] → 1
2
3
→ para gerar matrizes ou vetores, os dados devem estar entre colchetes.
→vírgula ou espaço separam elemento da mesma linha, 
enquanto ponto-vírgula separam linhas diferentes.
M = [1 , 2 , 3 ; 4 5 5] 





=⇒
554
321
M
1a linh 2a linh
Análise de Sinais e Sistemas:
1o passo: Definindo o sistema
num = poly ([0 0.5] , 'z' , 'c')
z0 z1 vetor é de coeficientes
den = poly ([0.5 0.7] , 'z' , 'r')
vetor é de raízes
saída:
num = 0,5z
den = 0,35 - 1,2z + z² = (z - 0,5) (z - 0,7)
variáveis
s1 = syslin("d" , num , den) → obs: help syslin
2o passo: Definição da Entrada (nesse caso, Impulso)
x = [1 , zeros(1 , 50)] → x{1,0,0,0...,0}
1 linha e 50 colunas 50 zeros
É equivalente a:
den = poly([0.35 -1.2 1] , 'z' , 'c')
Exemplo
segunda-feira, 16 de março de 2015
21:30
 Página 8 de Servomec_2 
X(z) Y(z)
G(z) )7,0)(5,0(
5,0
)(
)()(
−−
==
zz
z
zX
zY
zG kkkg )5,0(5,2)7,0(5,2][ −=
pela teoria
resposta ao impulso
)(][
1
zGkg
Tz
Tz −
⇔resposta ao impulso → ← função de transf.
OBS1: Se ao invés de 'd' tivéssemos usado 'c', então teríamos criado um sistema contínuo (analógico - Laplace):
s1 = syslin('c' , num , den)
-->s1 = syslin('c' , num , den)
s1 =
 0.5s 
 -------------- 
 2 
 0.35 - 1.2s + s 
OBS2: Nesse caso, definimos o sistema a partir de sua função de transferência. Porém é possível usar syslin para 
criar um sistema a partir de sua representação em equação de estado (vide help syslin).
2o passo: Definindo a entrada:
No nosso caso, a entrada é o impulso unitário.



≠
=
=
0,0
0,1][
k
k
kδ
Digital: Analógico: δ(t)
x = [1 , zeros(1 , 50)] → x{1,0,0,0...,0}
Modelagem no SciLab
segunda-feira, 23 de março de 2015
20:30
 Página 9 de Servomec_2 
3o passo: Obter a saída:
y = flts (x , s1) → só vale para sistemas digitais (sistemas analógicos, utilizar "csim")
x[k] y[k]
s1
OBS2:
)(
)(
35,02,11
5,0
35,02,1²
5,0)( 21
1
zX
zY
zz
z
zz
z
zG =
+−
=
+−
=
−−
−
× �
��
���
)(5,0)(35,0)(2,1)( 121 zXzzYzzYzzY −−− =+−
]1[5,0]2[35,0]1[2,1][ −=−+−− kxkykyky
Transformada z
Inversa
Transformada z
]1[5,0]2[35,0]1[2,1][ −+−−−= kxkykyky
Equações a diferenças finitas
É isso o que a "flts" implementa, supondo:
y[-1], y[-2] e x[-1] = 0
y[0] = 0
y[1] = 0,5
y[2] = 0,6
.
.
.
Modelagem no SciLab
segunda-feira, 16 de março de 2015
21:00
 Página 10 de Servomec_2 
Passos Adicionais:
k = 0:50 → k = {0,1,2,3...,50}
plot (k , y , '.r')
var1 = k
var2 = y
OBS:
plot (k , y)
plot (y)
plot (y , '.g')
Existem vários empregos ou 
sintaxes para o comando 
plot, vide help plot.
Obtendo o sinal teórico:
yteo = 2.5 * 0.7^k - 2.5 * 0.5^k
corresponde a:
kkky 5,05,27,05,2][ ×−×=
clf → Apagar gráfico.
plot(yteo - y)
diferença corresponde ao 
erro entre o real analógico e 
o equivalente digital
Operadores Matemáticos:
* → multiplicação
/ → divisão
+ → soma
- → subtração
^ → potenciação
Modelagem no SciLab
segunda-feira, 16 de março de 2015
21:30
 Página 11 de Servomec_2 
Ativ. Estruturada 4
1 e 2, entregar no 
dia da prova
http://simulado.estacio.br/alunos/
Dado:
4,0
5,0
)(
)()(
−
==
z
z
zU
zY
zH
u[k] = δ[k] y[k] = ?
H(z)
Descubra y[k]
Ta = 1s
Pela tabela:
pz
zkupep
ez
z
e kat
aT
akT
−
→⇒=⇒
−
→ +−
−
− ][
considerando que:
então:
T → Período de Amostragem (ou Ta)






−
=
4,0
5,0)(
z
z
zH
Resposta:
então: h[k] = 0,5(0,4)k
MAS h[k] é a resposta ao impulso unitário, logo: y[k] = 0,5(0,4)k u[k]
ℎ���	
			
�			�
�
���
�
�		�(�)Resposta ao impulso
Função de 
Transferência
)(][
)(][
zXZNnx
zXnx
NTz
Tz
−
→−
→ x[n] y[n]
Atividade Estruturada 4:
1) ]2[3,0]1[6,0][3,0]2[9,0][ −+−+=−− nxnxnxnyny
)(3,0)(6,0)(3,0)(9,0)( 212 zXzzXzzXzYzzY −−− ++=−
)()3,06,03,0()()9,01( 212 zXzzzYz −−− ++=−
9,0²
3,06,0²3,0
9,01
3,06,03,0
)(
)()( 2
21
−
++
=
−
++
==
−
−−
z
zz
z
zz
zX
zY
zH
1 .
-0
Eq. a diferenças finitas
pela tabela
transf. Z
. z²
. z²
transf. Z inversa
)()}({ zFzNTtfz N−=−=
Exercício Simulado
segunda-feira, 30 de março de 2015
20:30
 Página 12 de Servomec_2 
num = poly([0.3 , 0.6 , 0.3] , 'z' , 'c') →
den = poly ([-0.9 , 0 , 1] , 'z' , 'c') →
s1 = syslin('d' , num , den) →
num = 0,3z² + 0,6z + 0,3
den = z² - 0,9
0,3�� + 0,6� + 0,3
�� − 0,9
z0 z¹ z²
z0 z¹ z²
Diagrama de pólos e zeros
Zeros: 0,3z² + 0,6z + 0,3 = 0
z² + 2z + 1 = 0
(z+ 1)² = 0 → z1 = z2 = -1
Polos:÷0,3 z² - 0,9 = 0
z² = 0,9
z = ±√0,9	 ≅ ±0,94
R
Im
0,94-0,94
1
1
-1
Re(s) =
Plano sPlano z
módulo: z = a + bi
1²² <+ ba
ωσωσ aaa jTTjT eee .)( =+
1;0 <<↑ eσ
ωaa jTsT eez ==
Mas
ωσ js +=
ωjs =
ωσσ js +=⇒< 0
1.1 MatLab / Octave
a = [0.3 0.6 0.3]
b = [-0.9 0 1]
s1 = tf(a , b)
n y[n] y[n - 2] x[n] x[n - 1] x[n - 2]
0 y[0] = 0,3 y[-2] = 0 x[0] = 1 x[-1] = 0 x[-2] = 0
1 y[1] = 0,6 y[-1] = 0 x[1] = 0 x[0] = 1 x[-1] = 0
2 y[2] = 0,57 y[0] = 0,3 x[2] = 0 x[1] = 0 x[0] = 1
3 y[3] = 0,54 y[1] = 0,6 x[3] = 0 x[2] = 0 x[1] = 0
4 y[4] = 0,513 y[2] = 0,57 x[4] = 0 x[3] = 0 x[2] = 0
5 y[5] = 0,486 y[3] = 0,54 x[5] = 0 x[4] = 0 x[3] = 0
6 y[6] = 0,4617 y[4] = 0,513 x[6] = 0 x[5] = 0 x[4] = 0
7 y[7] = 0,4374 y[5] = 0,486 x[7] = 0 x[6] = 0 x[5] = 0
8 y[8] = 0,41553 y[6] = 0,4617 x[8] = 0 x[7] = 0 x[6] = 0
SciLab:
num = poly([0.3 , 0.6 , 0.3] , 'z' , 'c')
den = poly ([-0.9 , 0 , 1] , 'z' , 'c')
s1 = syslin('d' , num , den)
1.2 n = 0 até n = 8:
]2[3,0]1[6,0][3,0]2[9,0][ −+−+=−− nxnxnxnynyExemplo p/ n = 2:
y[2] = 0,57
0,3 0 0 1
-0,27→ (+) 0,3
Na aplicação:
x[n] = δ[n] y[n] = h[n]
n de -10 a 100:
cond. iniciais: y[-1] = 0; y[-2] = 0
10 zeros 100 zeros
Definição do Intervalo:
n = -10:100
x = [zeros(1 , 10) , 1 , zeros(1 , 100)]






16
cos8,1 pi
Ex.2:
Modelagem Ativ. Estr. 4
segunda-feira, 30 de março de 2015
21:00
 Página 13 de Servomec_2 
Modelando Sistemas Analógicos no Domínio Digital:
Como já havíamos visto, um sistema de controle digital segue o diagrama de blocos abaixo:
No mundo digital gostaríamos de ter:
Para transformar os blocos ABAIXO:
D/A G(s)
Supondo que o conversor D/A é do tipo zero order hold (ZOH):
s
e
sTa−
−1 G(s) H(z)
onde:
L-1 → Transformada Inversa de Laplace
Tz → Transformada z
Ta → Período de Amostragem
como projetar?
planta
analógico
digital
( )
s
sG
e
sTa )(1 −−












−=
−−
s
sGLTzzzH )()1()( 11
Modelando no Domínio Digital
segunda-feira, 13 de abril de 2015
20:30
 Página 14 de Servomec_2 
1
2)(
+
+
=
s
s
sG Logo:
1)1(
2)(
+
+=
+
+
=
sB
s
A
ss
s
s
sG
1
1
2lim)1.()(lim
2
1
2lim.)(lim
11
00
−=




 +
=





+=
=





+
+
=





=
−→−→
→→
s
s
s
sGB
s
s
s
s
sGA
ss
ss
aT
t
ez
z
z
z
s
sGLzTtuetu
s
L
s
L
s
sGL
−
−−−−−
−
−





−
=












⇒−=






+
−






=






1
2)()()()(2
1
112)( 1111
Usando a tabela
de Laplace
Usando a tabela de 
Transformada Z
Supondo Ta = 0,5s:






−
×
−
−





−
×
−
=





−
−
−
−=
−
−
607,0
1
1
21
1
2)1()( 5,01 z
z
z
z
z
z
z
z
ez
z
z
z
zzH
607,0
1214,12
607,0
12)(
−
+−−
=
−
−
−=
z
zz
z
z
zH
607,0
214,0)(
−
−
=
z
z
zH
1 − ��" = 1 − 1� =
� − 1
� 	
Exemplo 13.4 - NISE
segunda-feira, 13 de abril de 2015
21:00
 Página 15 de Servomec_2 
Modelagem de Sistemas Analógicos no domínio digital:
Revisão:
s
e
sTa−
−1 G(s)
Conv. DA Planta
ZOH (Zero Order Hold)
G(z)
digital
≡












−=
−−
s
sGLTzzzG )()1()( 11 Tz = Transformada zL-1 = Transformada Inversa de Laplace
Exemplo 13.4
607,0
213,0)(
1
2)( 5,0
−
−
= →
+
+
=
=
z
z
zG
s
s
sG sTa
OBS: A representação digital de um sistema analógico depende do período de amostragem.
Essa dependência é tão importante que, em alguns casos, determinados valores de Ta podem levar a um sistema 
digital instável, mesmo que o sistema analógico seja estável.
aula anterior
No SciLab (Ex. 13.4):
1o passo: Determinar o sistema analógico:
num = poly(-2 , 's' , 'r') → s + 2
den = poly(-1 , 's' , 'r') →s + 1
sa = syslin ('c' , num , den) 1
2
+
+
=
s
s
sa
2o passo: Obtendo o sistema discreto:
ta = 0.5
sd = dscr(sa , ta)
sd = ss2tf(sd)
Gerou o sistema discreto supondo o uso de um conversor D/A do tipo ZOH. 
Além disso, esse sistea está representado na forma de Equações de Estado.



+=
+=
DuCxY
BuAxX&
vetor de entrada
sinal de entrada
sinal de saída
A, B, C e D formam o modelo 
de Equações de Estado
Transforma do modelo de equações de estado (ss) 
para o modelo de função de transferência (tf).
sd
ss
sd
tf
ss2tf tf2ss
analógico digital
sa
Modelagem A/D
segunda-feira, 20 de abril de 2015
20:30
 Página 16 de Servomec_2 
1- Apenas usando o SciLab, refaça o exemplo 13.4 para
a) Ta = 0,001
c) Ta = 1
b) Ta = 0,01
d) Ta = 5
2- Fazer o exercício 13.3 calculando teoricamente (no papel) G(z) e depois verificando a resposta no SciLab.
3679,0
264,1)(
4
8)( 25,0
−
= →
+
=
=
z
zG
s
sG sTa
resposta
Exercícios
segunda-feira, 20 de abril de 2015
21:00
 Página 17 de Servomec_2 
≡
≡
≡












−=
−−
s
sGLTzzzG )()1()( 11












−=
−−
s
sGsGLTzzzGG )()()1()( 211121 caso mais comum
4444 34444 214444 34444 21
)(
211
)(
111
21
21
)()1()()1()()(
sGsG
s
sGLTzz
s
sGLTzzzGzG












−×












−=
−−−−
)(.1
)(
zHG
zG
+
caso mais comum
Quando H(z) =1 (realimentação unitária):
)(1
)()(
zG
zG
zHeq +
=
)().(1
)(
zHzG
zG
+
≡
≡
Redução de Diagrama de Blocos
segunda-feira, 20 de abril de 2015
21:30
 Página 18 de Servomec_2 
a
a
a
a
aa T
T
T
T
TT
ez
e
ez
zez
ez
z
ez
z
z
z
z
z
s
sGLTzzzG
−
−
−
−
−−
−−
−
−
=





−
+−−
=





−
−
−=





−
−
−





 −
=












−=
)1(101
.1011.10
1
1
.10)()1()( 11
Estabilidade de Sistemas Digitais que combinam parte analógica com parte digital:
Exemplo 13.7 - Defina a faixa de valores para o período de amostragem (Ta)que garanta a estabilidade do sistema.
s
e
sTa−
−1
Ta
G(z)
Resp. das aulas anteriores:












−=
−−
s
sGLTzzzG )()1()( 11
Onde:
Tz = Transformada z
L-1 = Transformada Inversa de Laplace
1o passo: Cálculo de $�" %&(')' (
Se
1)1(
10)(
1
10)(
+
+=
+
=⇒
+
=
s
B
s
A
sss
sG
s
sG
1010lim)1.()1(
10lim
10
1
10lim.)1(
10lim
11
00
−=





=





+
+
=
=





+
=





+
=
−→→
→→
s
s
ss
B
s
s
ss
A
ss
ss
Logo: )()1(10)(10)(10
1
1010
1
1010)( 1111 tuetuetu
s
L
s
L
ss
L
s
sGL tt −−−−−− −=−=






+
−






=






+
−=






2o passo: Cálculo de )� %$�" %&(')' ((, fazendo t = kTa:
][10][10][)1(10)(1 kuekukue
s
sGL aa kTkT −−− −=−=






Portanto:
Tz Tz
3o passo: 
De aulas anteriores:
X(s) Y(s)
conv
AD
)()(1
)(
)(.1
)(
)(
)()(
zHzG
zG
zHG
zG
zX
zY
zT
+
≠
+
==
Porém, para H(s) = 1 →
)(1
)(
)(
)()(
zG
zG
zX
zY
zT
+
==
ZOH
conv. D/A Planta Analógica
448447648476






−
−





−
=












=
−
−
aTez
z
z
z
s
sGLTzTz .10
1
.10)(1
Estabilidade
segunda-feira, 27 de abril de 2015
20:30
 Página 19 de Servomec_2 
Para determinarmos a estabilidade do sistema de malha fechada, devemos calcular por último:
a
a
aa
a
a
a
a
a
T
T
TT
T
T
T
T
T
ez
e
eez
e
ez
e
ez
e
zG
zG
zX
zY
zT
−
−
−−
−
−
−
−
−
−+
−
=
−+−
−
=
−
−
+
−
−
=
+
==
1110
)1(10
)1(10
)1(10
)1(101
)1(10
)(1
)(
)(
)()( *+,+�
�	�*+,+ = 11-�
. − 10
Por último, o sistema T(z) será estável se seu polo tiver módulo menor que 1.
1101111|1011| <−<−⇒<− −− aa TT ee
-1 1
Para:
sT
eee
a
TTT aaa
2,0
11
9ln
11
991111011
≅





−<+
>⇒>⇒−>− −−−
→ 0 < Ta < 0,2s ou fa > 5Hz
|z²| = a² + b² < 1
No caso de exemplo visto, a função de transferência do sistema de malha fechada é do tipo:
cuja determinação dos polos é trivial e da estabilidade também.
Mas se e /(�) = 01�1 +⋯+ 0"� + 03, N > 2; Como definir sua estabilidade??
1º caso: ANÁLISE: Se {an, ... , a0} são conhecidos, basta usar o computador para calcular as raízes de D(z) e verificar 
se existe algum polo com módulo maior do que 1 para definí-lo como INSTÁVEL.
2º caso: PROJETO: Se {an, ... , a0} dependem de parâmetros de projeto (por exemplo, período de amostragem ou 
ganho), então faça:
)(�) = �� + 0
)(�) = 4(�)/(�)
1º passo: converter para o domínio analógico, fazendo
2º passo: usar o critério de ROUTH-HORWITZ
� = 5 + 15 − 1
)1ln(
1111111011
−>+
<⇒<⇒<− −−−
a
TTT
T
eee aaa
=0
Estabilidade
segunda-feira, 27 de abril de 2015
21:30
 Página 20 de Servomec_2 
Determine a faixa de valores de k que torna o sistema digital em um sistema estável.
ZOH )4(
3
+ss
k
sTa 2,0=
s
e
sTa−
−1
ZGRID
PlZR
routh-t(h , [k])
1º caso: ANÁLISE → conheço o polinômio do denominador.
2º caso: PROJETO → O polinômio do denominador depende de parâmetros de projeto.
transf bilinear
1
1
−
+
=s
s
z
1ºpasso 2ºpasso: critério de Routh-Horwitz
Usar computador:
OBS: A transformada bilinear apresentada:
1
1
1
1
−
+
=⇔
−
+
=
z
z
s
s
s
z possui a característica de preservar
a estabilidade do sistema. sTaez +=
Plano s Plano z
transf. bilinear
Exercício 14
segunda-feira, 4 de maio de 2015
20:30
 Página 21 de Servomec_2 
Suponha: )(�) = 4(�)/(�) 1,02,0²³)( +−−= zzzzD o sistema é estável?
Usando a transformada bilinear temos:
1º passo
0)³1(
)³1(1,0)²1)(1(2,0)1)²(1()³1(01,0)1(
)1(2,0)²1(
)²1(
)³1(
)³1(
=
+
−+−+−−+−+
⇒=+
−
+
−
−
+
−
−
+
s
ssssss
s
s
s
s
s
s
OBS: 12²)²1( ++=+ sss
)1( +sx
12² ++ ss
sss ++ ²2³
13²3³)³1( +++=+ ssss
12² ++ ss
1−s
12² −−− ss
sss ++ ²2³
1²³)1)².(1( −−+=−+ sssss
12²)²1( +−=− sss
1+s
12² +− ss
sss +− ²2³
1²³)²1).(1( +−−=−+ sssss
13²3³)1)².(1()³1( −+−=−−=− ssssss
)²1(12² −=++ sss
1−s
12² −+− ss
sss +− 2³
13²3³)³1( −+−=− ssss
Na sequência, aplicamos o critério de ROUTH-HURWITZ. Para o caso em questão temos:
(065³ + 0�5² + 0"5 + 03 = 0)
1
0
1
02
13
0¹
²
³
cs
bs
aas
aas 1ª linha: pego o primeiro, pulo um termo e pego o próximo
IDEM, porém pegando inicialmente o 2º termo
2
02
13
1
a
aa
aa
b −=
Tabela de ROUTH
0
1
10
1
102
1
1
02
1
)0.(0
a
b
ba
b
baa
b
b
aa
c ==
−−
=−=
0)13²3³(1,0)1²³(2,0)1²³()13²3³( =−+−++−−−−−+−+++ ssssssssssss
01745²19³07,15,4²9,1³1,0 )10( =−−− →=+++− −× ssssss
Exemplo 13.8
segunda-feira, 4 de maio de 2015
21:00
 Página 22 de Servomec_2 
No nosso exemplo, a3 = 1, a2 = -19, a1 = -45 e a0 = -17. Logo, a tabela de Routh será:
17
089,45¹
1719²
451³
0
−
−
−−
−
s
s
s
s
Olhando para a primeira coluna, percebe-se que ocorreu uma mudança de sinal. 
Logo o sistema é instável e terá um polo fora do círculo de raio unitário
cada mudança de sinal = 1 polo instável
17
089,45¹
1719²
451³
0
−
−
−−
−
ks
s
ks
s
Outro ponto importante é que, para o problema apresentado, bastaria determinarmos os polos do sistema 
calculando as raízes do polinômio D(z). Isso poderia ser feito facilmente no SciLab. Por exemplo, considere:
1,02,0²³
1)(
+−−
−
=
zzz
z
zT
arbitrado
89,45
19
194517
19
1719
451
1 −≅
×−−
=
−
−−
−
−=b
Exemplo 13.8
segunda-feira, 4 de maio de 2015
21:30
 Página 23 de Servomec_2 
Vimos em uma aula anterior que:
1,02,0²³
1)(
+−−
=
zzz
zG era instável usando o comando plzr do SciLab
e antes no papel usando a transformada bilinear e o método Routh-HURWITZ.
Vejamos como usar o SciLab para calcular a transformada bilinear do sistema e a tabela de Routh.
a) Criando o sistema digital: coeficiente
domínio digital
b) Passando para o domínio analógico pela transformada bilinear:
num = poly (1 , 'z' , 'c')
den = poly([0.1 , -0.2 , -1 , 1], 'z' , 'c'
sd = syslin('d' , num , den)
sd = tf2ss(sd)
sa = bilin(sd , [1 , 1 , 1 , -1]
sa = ss2tf(sa)
passa de função de transf. para espaço de estados
� = 5 + 15 − 1
OBS: sa = bilin (sd, [a, b, c, d]) → obtém o sistema analógico, substituindo z por 05 + 9
:5 + ;
passa para função de transf.
c) Obtendo a tabela de Routh:
routh_t(sa,0)
17
089,45¹
1719²
451³
0
−
−
−−
−
s
s
s
s
1,02,0²³
1
+−−
=
zzz
sd
1745²19³
1030²30³10
−−−
+−+−
=
sss
sss
sa
bateu com o feito no 
papel na aula passada
Modelos:
EDO:
y" - y' + y = x' + 3x
1²
3)(
+−
+
=
ss
s
sH
FT (TF) j2
35,0 +
j
2
35,0 −
2
411 −±
polos e zeros
DUCXY
BUAXX
+=
+=&
ss2tf tf2ss
U Y
No SciLab
segunda-feira, 11 de maio de 2015
20:30
 Página 24 de Servomec_2 
OBS: Projeto de Sistemas analógicos com SciLab - questão da estabilidade:
G(s)
controlador
proporcional planta
Seja
)3)(2(
4)(
+−
+
=
ss
s
sG
k=
0
k=
0
Planos
No SciLab
num = poly(-4 , 's' , 'r')
den = poly([-3, +2], 's' , 'r')
G = syslin('c' , num , den)
k = poly(0 , 'k')
routh_t(G , k)
regime contínuo
igual a k = poly(0, 'k' , 'r')
Root-Locus
046
01¹
461²
0 ks
ks
ks
+−
+
+−
2
3
2
3
4
6046
101
>⇒




=>⇒>+−
−>⇒>+
k
kk
kk
Projetos de Sistemas
segunda-feira, 11 de maio de 2015
21:30
 Página 25 de Servomec_2 
Projeto de Controladores Proporcionais por Root-Locus:
- Considerações Iniciais
a) Estabilidade
Plano S Plano Za
sT
ez =
aT0ω
Período de Amostragem
1
1
ωωωσ jsjsjs =⇒+=⇒+= 0



=∠
=
⇒=
a
Tj
Tz
z
ez a
ω
ω 1||asTez =
ANALÓGICO DIGITAL
b) Tempo de Acomodação - Regra de Projeto:
σ
4
−=sT
±2%
0
4
σ=−
sT
Tempo de acomodação 
constante
Plano S
Plano Za
sT
ez =
1
4
0 <==
−
s
a
a T
T
T
eer
σ
ωσ js += 0



=∠
=
⇒== +
a
T
TjTTj
Tz
ez
eeez
a
aaa
ω
σ
ωσωσ
0
00
||
.
)(
ANALÓGICO DIGITAL
asTez =
↑< 00σ
ts
Projeto de Controladores
segunda-feira, 18 de maio de 2015
20:30
 Página 26 de Servomec_2 
c) OVERSHOOT
²1 ξ
piξ
−
−
= eOV
ξ = fator de amortecimento
ω
n
nξωσ −=
ωξω =− ²1n
curva para overshoot 
constante →
Plano S
asTez +=
²1 ξ
piξ
−
−
= eOV
Plano Z
OBS: )ln(1
²1
)cot( OV
piξ
ξθ −=
−
=
)cos()cos( ξθξθ ar=⇒=
ωξ
ξω js +
−
−=
²1
asTez +=




=∠
=⇒=
−
−
−
−
a
T
Tj
T
Tz
ezeez
a
a
a
ω
ξ
ξω
ωξ
ξω
²1²1 ||
.
qdo ω↑ ⇒ |z|↓
qdo ω↑ ⇒ ∠z ↓
ANALÓGICO DIGITAL
Exemplo:
No sistema abaixo, calcule o valor de k para que ξ = 0,7 (overshoot ≅ 5%)
)5,0)(1(
1
−−
+
zz
zx(t)
y(t)
controlador 
proporcional planta
)(
)(
zD
zN
)()(
)()(
zkNzD
zkN
zT
+
=
Revisão
σ
jω
-1 1
k=?
0,5
k=0k=0
resposta k → ∞ Lugar Geométrico dos polos 
do sistema de malha fechada
nξωσ −=
ωξω =− ²1n
Projeto de Controladores
segunda-feira, 18 de maio de 2015
21:00
 Página 27 de Servomec_2 
No SciLab:
num = poly(-1 , 'z' , 'r')
den = poly([0.5 , 1], 'z' , 'r')
sd = syslin('d' , num , den)
evans(sd , 10)
zgrid(0.7 , 1)
sistema kmax
ξ ωn
k = 1 / real (horner(sd , [1 , %i] * locate (1)))
))(Re(
1
ozG
k −=
k = 0,0620673
 0,0627
numer
denom
roots
Utilizar comandos para definir interseção:
Exemplo
segunda-feira, 18 de maio de 2015
21:30
 Página 28 de Servomec_2 
Projeto de Controladores utilizando a Transformada de Tustin.
Na aula passada, vimos como projetar um controlador proporcional digital diretamente pelo uso do root locus
(método de Evans). No entanto, nem sempre é possível obter todas as especificações técnicas desejadas para o 
sistema.
Nesses casos, podemos utilizar uma técnica em que projetamos um controlador no domínio analógico e depois o 
convertemos para o mundo digital pela transformada de Tustin, dada por:
)1(
)1(2
+
−
=
z
z
T
s
a
Exemplo: Projete um controlador avanço de fase para o sistema abaixo, para obter um overshoot de 20% e um 
tempo de acomodação de 1,1s.
)10)(6(
1)(
++
=
sss
sGp
Solução: Primeiro projetamos um controlador no domínio contínuo.
Gc(s) Gp(s)
Controlador 
Analógico
Suponhamos inicialmente Gc(s) = k (novamente controlador proporcional). Nesse caso:
k Gp(s)
Por sua vez, para um overshoot de 20%, temos:
222
2
2²1²1 )1()2,0ln()1()2,0ln(²1
²1
)2,0ln(2,0 ξξξ
pi
ξξ
pi
ξξ
piξξpiξξpiξ
=−⇒=





−
−⇒=





−
−⇒
−
−=⇒=⇒= −
−
−
−
aeeOVa
43421visto em controle 1
4559,0
1
)1(222 ≅
+
=⇒=+⇒=−
a
a
aaaa ξξξξ
°≅= 87,62)cos(ξθ a
ξθ =)cos(
26245,0)2,0ln(
2
≅





−
=
pi
a
)10)(6(
1)(
++
=
sss
sGp
)(1
)()(
skG
sG
sT
p
p
+
= )(
)(
sD
sNGp =
)()(
)()(
skNsD
skN
sT
+
=
Transformada de Tustin
segunda-feira, 25 de maio de 2015
20:30
 Página 29 de Servomec_2 
reta para overshoot 
constante e igual a 
20%
plano S
O root locus do sistema será:
θ = 62,87
k → ∞
polos do sistema de malha fechada
plano S
σ
σ
44
−=⇒−= s
s
T
T
de controle 1:
No SciLab:
num = poly(1 , 's' , 'c')
den = poly([-10 , -6 , 0], 's' , 'r')
sa = syslin('c' , num , den)
evans(sa)
sgrid(0.4559 , 1)
visualmente: σ ≅ -1,75 (??1,79??)
Ts ≅ 2,28s
σ
4
−=sT
ξ ωn
Regra de projeto para ± 2%
Aplicando zoom:
Exemplo
segunda-feira, 25 de maio de 2015
21:00
 Página 30 de Servomec_2 
Obtido:
1,2
Ts = 2,28s
OV = 20%
1,2
Ts = 1,1s
Desejado:
Logo:
Para Ts = 1,1s 63,3
1,1
44
' −=−=−=
sT
σ
θ = 62,87
k → ∞
polos do sistema de malha fechada
plano S
→ σ' = -3,65
Determinar σ ' que atende ao requisito de projeto:
Conclusão: O controlador proporcional não atende aos requisitos. Devemos portanto utilizar um controlador do 
tipo AVANÇO DE FASE e para deslocarmos o Root Locus obtido para que passe pelo polo desenhado no plano S:
)87,62(63,363,3 °+−= tgjs
cc
c
c
c PzPs
zsk
sG >
−
−
= ,)(
)()(
•
Exemplo
segunda-feira, 25 de maio de 2015
21:30
 Página 31 de Servomec_2 
? = Gc(s)
Transf. de TUSTIN
Gc(z) = ?
Planta
Para Gp(s) = 
)10)(6(
1
++ sss
, temos:
σ
jω
-10 -6
0
σ
θ
sTs 1,1=
Overshoot p/ 20% →
↓ polo desejado
← polo obtido
Plano S
PARA UM CONTROLADOR 
PROPORCIONAL
62,89°
σ = 3,63
63,344 =−=⇒−=
s
s T
T σ
σ
Conclusão: Não consegue atender as especificações com um controlador proporcional.
-3
,6
3
polo desejado →
Plano S )(
)()(
c
c
c Ps
ZsksG
−
−
=
Controlador
Avanço de Fase
Como já escolhemos Zc = -6 para cancelar e realocar um dos polos dominantes, temos:
Pc < Zc
)(
)6()(
c
c Ps
sk
sG
−
+
=
deslocado root locus 
E o polo desejado está em:
44 344 21
d
tgjs
ω
)89,62(63,363,3 °+−=
Solução: 
a calcular
a calcular
Continuação
segunda-feira, 1 de junho de 2015
20:30
 Página 32 de Servomec_2 
Cálculo de Pc:
Regra do Root Locus: TODO PONTO QUE PERTENCE AO ROOT LOCUS SATISFAZ A:
°+=∑−∑ 180)12( Lpoloszeros θθ
No exemplo, não há zeros finitos no sistema de malha aberta logo:
°+=−−−⇒°+=∑− 180)12(180)12( 321 LLpolos θθθθ
-3
,6
3
62,89°
polo desejado no 
sistema de malha 
fechada
polos do sistema de malha aberta
= 180 - 62,89° = 117,11°
= 3,63.tg(62,87°) = 7,091
Por sua vez:
°≅





=⇒=
−
= 064,48
37,6
091,7
37,6
091,7
63,310
)( 22 arctgtg d θ
ωθ Logo:
-117,11 - 48,064 - θ3 = -180 → θ3 = 180 - 165,174 = 14,826°
1,2943,30)(63,3)(63,363,3)( 333
−≅−=−−===−−=
−−
=
θ
ω
θ
ωωθ
tg
P
tg
P
P
tg dcdc
c
d
pelo livro
Finalmente temos:
746,0
16741778)()1,29(
)6(1977)( .
−
−
= →
+
+
=
z
z
zG
s
s
sG c
TUSTINtransf
c
aaa TzT
z
z
z
T
s
+
−
=
+
−
=
22
)1(
)1(
.
2Ta = 0,01s (enunciado)
num = poly([6*1977 , 1977], 's' , 'c')
den = poly(-29.1 , 's' , 'r')
sa = syslin('c' , num , den)
sd = bilin(sa , [2 , -2 , 0.01 , 0.01])
sd = ss2tf(sd)
Gerei Gc(s)
Calculei Gc(z) pela 
transformada de TUSTIN
2	,−2
0.01	, 0.01
No SciLab:
Solução
segunda-feira, 1 de junho de 2015
21:00
 Página 33 de Servomec_2 
Dada uma função de transferência geral, temos:
n
nn
n
nn
azaz
bzbzb
zH
+++
+++
=
−
−
...
...)( 1
1
1
10
n
n
n
n
zaza
zbzbb
zH
−−
−−
+++
+++
=
...1
...)( 1
1
1
10
mult. por 
��A
��A
Logo: )()...()()...1( 11011 zXzbzbbzYzaza nnnn −−−− +++=+++
][...]1[][][...]1[][ 101 NnxbnxbnxbNnyanyany nn −++−+=−++−+
↓ no tempo
atraso de
1 amostra
x[n-1]
x[n-2]
Graficamente:
z
-1
z
-1
z
-1
...
bn
b1
b2
a1
b0 +
+
+ +
x[n]
z
-1
z
-1
z
-1
a2
an
- -
-
+ y[n]
...
No exemplo:
746,0
16741778)(
−
−
=
z
z
zGc
]1[1674][1778]1[746,0][ −−=−− nxnxnyny ]1[1674][1778]1[746,0][ −−+−= nxnxnyny→
Graficamente:
Propr. da 
Transf. Z:
⇆x[n-k] z-kX(z)
TZ
TZ-1
Programar no SciLab o equivalente a função FLTS, podendo utilizar os comandos:
for•
numer•
denom•
coef•
roots•
lenght•
help•
ATIVIDADE ESTRUTURADA PARA AV2:
-> flts(sist , entrada)
vetores → saídasistema na forma de 
função de transferência
Implementação de controladores
segunda-feira, 1 de junho de 2015
21:30
 Página 34 de Servomec_2 
e[n] = x[n] - y[n]
O sinal de erro é definido como a diferença entre a saída desejada (sinal aplicado na entrada) e a saída realmente 
obtida. Ou seja: 
Por sua vez, o erro em regime estacionário é obtido quando fazemos n→∞ . Pelo teorema de valor final, temos:
G(z)
E(z)X(z) Y(z)
Mas:
)(1
)()()())(1)((
)()()()()()()()()()(
zG
zX
zEzXzGzE
zXzGzEzEzGzEzXzYzXzE
+
=⇒=+
=+⇒−=−=
)(1lim)()1(lim][lim)(
1
1
1
zE
z
z
zEznee
zzn





 −
=−==∞
→
−
→∞→
Logo:
)(1
)()1(lim)( 1
1 zG
zX
ze
z +
−=∞
−
→
a) Para uma entrada do tipo degrau unitário:
1
)(
−
=
z
z
zX
pk
e
+
=∞
1
1)( , onde ))((lim
1
zGk
z
p
→
=
b) Para uma entrada do tipo rampa unitária:
)²1()( −= z
zT
zX a
vk
e
1)( =∞ , onde )()1(lim1
1
zGz
T
k
z
a
v −=
→
c) Para uma entrada do tipo parábola:
)³1(2
)1()(
−
+
=
z
Tzz
zX a
ak
e
1)( =∞ , onde )()²1(lim
²
1
1
zGz
T
k
z
a
a −=
→
Função de transferência digital, série / paralelo;•
Erro estacionário, cálculo•
Resposta ao degrau e ao impulso•
Passar do analógico para digital usando conversor D/A do tipo ZOH•
Para AV2:
Erro em regime estacionário
segunda-feira, 8 de junho de 2015
20:30
 Página 35 de Servomec_2 
Calcule os erros ao degrau, rampa e parábola para os sistemas abaixo, supondo Ta = 1s:
⇒
−
−
=
75,0
5,0)(
z
z
zGa)
b)
∞===∞⇒=
−
−−






=−=
∞===∞⇒=
−
−−






=−=
=
+
=
+
=∞⇒=
−
−
==
→
→
→
0
11)(0
75,01
)5,01)²(11(
²1
1)()²1(lim
²
1
0
11)(0
75,01
)5,01)(11(
²1
1)()1(lim1
3
1
21
1
1
1)(2
75,01
5,01)(lim
1
1
1
a
z
a
a
v
z
a
v
p
z
p
k
ezGz
T
k
k
ezGz
T
k
k
ezGk
∞==∞⇒=−−=
−
−−






=−=
===∞⇒=−=
−
−−






=−=
=
∞+
=
+
=∞⇒∞==
−
−
==
→
→
→
a
z
a
a
v
z
a
v
p
z
p
k
ezGz
T
k
k
ezGz
T
k
k
ezGk
1)(0)5,01)(11()11(
)5,01)²(11(
²1
1)()²1(lim
²
1
2
5,0
11)(5,05,01)11(
)5,01)(11(
²1
1)()1(lim1
0
1
1
1
1)(
0
5,0
11
5,01)(lim
1
1
1
⇒
−
−
=
1
5,0)(
z
z
zG
↕ 1/3
0,667
a)
b)
Planta
75,0
5,0
−
−
z
z
75,0
5,0
−
−
z
z
c
c
Pz
Zz
−
−
Para:
Zc = 0,75
Pc = 1
controlador planta
1
5,0
−
−
z
z
25,12
5,0
75,0
5,01
75,0
5,0
)(
)()(
−
−
=
−
−
+
−
−
==
z
z
z
z
z
z
zX
zY
zT
Exemplos:
segunda-feira, 8 de junho de 201521:00
 Página 36 de Servomec_2 
Determine numericamente a saída do sistema para uma entrada degrau unitário, supondo y[-1] = 0:
n y[n-1] x[n] x[n-1] y[n]
0 y[-1] = 0 x[0] = 1 x[-1] = 0 y[0] = 1
1 y[0] = 1 x[1] = 1 x[0] = 1 y[1] = 1,5
2 y[1] = 1,5 x[2] = 1 x[1] = 1 y[2] = 2
u[n] y[n]
1
5,0
−
−
z
z
Resp:
]1[5,0][]1[][
1
5,01)(
1
5,0)( 1
1
1
1
−−=−− →
−
−
= →
−
−
=
−
−×
−
−
nxnxnyny
z
z
zH
z
z
zH temponoz
z
]1[5,0][]1[][ −−+−= nxnxnyny
equação a
diferença finita
2057
no tempo
No SciLab:
y = flts(x , sd)
5; = � − 0,5� − 1
[1 -0.5]
num = numer(sd)
den = denom(sd)
coeff_num = coeff(num)
coeff_den = coeff(den)
for ...
 ...
Atividade Estruturada para AV2:
Reproduzir função flts via 
programação no SciLab
Exercício
segunda-feira, 8 de junho de 2015
21:30
 Página 37 de Servomec_2 
1 - Estabilidade
2 - Equações a diferença
3 - Passar um sistema (+DA) do mundo analógico para o mundo discreto:
4 - Projeto pelo root-locus → estabilidade:
5 - Erro em regime estacionário ou aplicação do teorema do valor final
-1 1
k = 0 k = 0k →∞ k →∞
?)3(
0)1(
]2[25,0][5,0]1[][
=
=−
−−+−=
y
y
nxnxnyny
zz
z
z
z
zX
zY
nxnxnyny
z
z
−
−
→
−
−
=
−−=−−
×
−
−
²
25,0²5,0
)1(1
25,05,0
)(
)(
]2[25,0][5,0]1[][
²
²
1
2
Planta
G(s)
s
e
sTa−
−1
G(z)












−=
−−
s
sGLTzzzG )()1()( 11
x(t) X(s) X(z)
-�DEF(G) 1
5 + 0
�
� − -�D
.
F(G) 1
5
�
� − 1
Exemplo consulta tabela:
Ta → Período de Amostragem
)()1(lim)( 1
1
zEze
z
−
→
−=∞
)()²1(lim
²
1
,
1
)()1(lim1,1
)(lim,
1
1
1
1
1
zGz
T
k
k
zGz
T
k
k
zGk
k
z
a
a
a
z
a
v
v
z
p
p
−=
−=
=
+
→
→
→degrau
rampa
parábola
)()()1(lim)()1(lim)( 1
1
1
1
zXzHzzYzy
zz
−
→
−
→
−=−=∞
Sist. Malha Fechada
)(1
)(
zG
zG
+
Revisão AV2
segunda-feira, 15 de junho de 2015
20:30
 Página 38 de Servomec_2 
1a Opção: Programar em SciLab o equivalente a função flts:
Instruções:
( )∑∑∑
===
−−−+=⇒−−−=
−++−++−−−−−=
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
NN
inyainxbnxbnyinyainxbny
NnbnxbnxbNnyanyany
1
0
10
101
][][][][][][][
][]1[][][]1[][ KK
b = coeff(numer(sd))
a = coeff(denom(sd))
y(n) = 0
for i = 1:N
y(n) = y(n) + (?)
end
for n = (?): lenght(x)
end
Criar variáveis como:
a , b , Delta , k , x , sd , y
y = flts(x , sd)
2a Opção: Resolver exercício exemplo 13.9:
)100)(36(
100)(
++
=
sss
k
sG
Considerando os dados:
overshoot = 20%
tempo de pico = 0,1s
kv = 40
Ta = 0,001s
Atividade Estruturada - AV2
segunda-feira, 15 de junho de 2015
21:30
 Página 39 de Servomec_2