Fundações Empuxo de Terra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
FUNDAÇÕES (101304)
ASSUNTO: EMPUXOS DE TERRA
Prof.: Erinaldo H. Cavalcante
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EMPUXO
DEFINIÇÃO:
ENTENDE-SE POR EMPUXO DE TERRA OU ÁGUA A 
AÇÃO PRODUZIDA PELA CAMADA SOLO OU DE ÁGUA 
SOBRE AS OBRAS COM ELA EM CONTATO.
NAterreno
água
2
3
EMPUXOS DE TERRA: INTRODUÇÃO
CONDIÇÕES:
O MACIÇO DE TERRA PODE ESTAR INCLINADO E 
PODE TAMBÉM ESTAR SUBMETIDO A EFEITOS DE 
SOBRECARGAS.
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EMPUXOS DE TERRA: APLICAÇÃO
3
5
EMPUXOS DE TERRA: ELEMENTOS DE UM MURO
Ea
Ep
Eah
Eav
Ea = empuxo ativo resultante
Eah = componente horizontal do empuxo ativo
Eav = componente vertical do empuxo ativo
Ep = empuxo passivo
ATIVO
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COEFICIENTE DE EMPUXO NO (EM) REPOUSO
Estado de tensões geostáticas 
sobre um elemento de solo
Diagrama de tensão geostática 
horizontal
zkk vh ⋅⋅== γσσ 00 k0 = coef. de empuxo do solo em repouso
4
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COEFICIENTES DE EMPUXO
CASO ATIVO CASO PASSIVO
8
COEFICIENTES DE EMPUXO: ATIVO, PASSIVO E NO 
REPOUSO
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MÉTODO DE RANKINE
σho
σvo
Círculos de Mohr correspondentes aos estados de tensão em 
repouso, ativo e passivo.
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MÉTODO DE RANKINE
Figura – Condições para a aplicação da teoria de Rankine.
6
11
MÉTODO DE RANKINE
Figura – Efeito do atrito solo-estrutura sobre as direções dos planos de 
ruptura.
OBS.: Rankine despreza o atrito solo-estrutura.
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MÉTODO DE RANKINE: SOLOS GRANULARES E 
MACIÇO HORIZONTAL
SUPERFÍCIE DO TERRENO (Horizontal)
Figura – Estado de tensão em repouso em maciço granular com superfície 
horizontal.
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13
MÉTODO DE RANKINE: SOLOS GRANULARES E 
MACIÇO HORIZONTAL
Figura – Determinação dos coeficientes de empuxo em solos granulares.
COESÃO = 0 φ ≠ 0
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MÉTODO DE RANKINE: SOLOS GRANULARES
Coeficientes de Empuxo Ativo e Passivo (Ka e Kp)
a
p
v
hp
p
aaa
a
a
v
ha
v
ha
v
hav
v
hav
hav
hav
hav
hav
KK
tgK
tgKKK
K
K
1
)245(sen1
sen1
)245(sen1
sen11sen)1(
1
1
1
1
2
2sen
2
2
=
+=−
+==
−=+
−=⇒−=+
⇒+
−=
+
−
=+
−
=+
−=+
−
=
φ
φ
φ
σ
σ
φ
φ
φφ
σ
σ
σ
σ
σ
σσ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
φ
Analogamente:
Estas relações permitem concluir que:
v
hk σ
σ=0
8
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RANKINE: SOLOS GRANULARES E MACIÇO HORIZONTAL
AA KHE ⋅⋅⋅= 22
1 γ
Figura – Distribuição de esforços laterais e empuxo pela Teoria de Rankine.
CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO
3
_ Hy =
∫ ∫ ⋅⋅⋅== H haA dzzdzE
0
H
0
AK γσ
(Pto. de aplicação)
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C ≠ 0
φ ≠ 0
aaaa
HH
haa
aavha
aaa
avaha
hava
v
haA
v
ha
a
KHcHKdzKcKzdzE
KcK
KKge
sen
senK
KgcK
gcgcK
gc
gc
PO
POK
.2..
2
1)2..(.
2.
2)1(cot.............
1
1
)1(cot..
cot.)cot.(
cot.
cot.
2
00
3
3
−=−==⇒
⇒−=
−=−+
−=
−+=⇒
⇒+=+⇒+
+===
∫∫ γγσ
σσ
φφ
φ
φσσ
σφσφσφ
σφ
σ
σ
RANKINE: SOLOS COM COESÃO E ATRITO
Porém,
Resultando em
Ou seja,
Vejamos:
Como
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17
RANKINE: SOLOS COM COESÃO E ATRITO
IMPLICAÇÃO
Figura – Determinação da altura crítica (Hc).
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RANKINE: SOLOS COM ATRITO E COESÃO
γφ
γγ
cHK
K
cHHKHcHKE
ca
a
caaa
4......1...0
1.4....0.2..
2
1 2
=⇒=⇒=
==⇒=−=
a
oaoaavaha K
czKczKKcK 1.2..02....02. γγσσ =⇒=−⇒=−=
Condição: σha = 0
Para esta altura o 
maciço se mantém 
estável sem nenhuma 
contenção.
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RANKINE: MACIÇO COM SUPERFÍCIE INCLINADA
• Figura – Círculos de Möhr para solos com atrito e superfície inclinada.
τ
Pólo ativo
Pólo passivo
σha = OP’A =OPA
σhp = OP’p =OPp
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ƒ O segmento OP representa a tensão vertical e os 
pólos ativo e passivo são, respectivamente Pa e 
Pp. As tensões num muro vertical serão 
conhecidas traçando-se pelo polo uma vertical; a 
interseção desta com o círculo de Mohr (ponto 
P’A - caso ativo) fornece a tensão lateral 
procurada. Assim:
ƒ σha = OP’A =OPA
ƒ Analogamente, para o caso passivo
σhp = OP’p =OPp
RANKINE: MACIÇO COM SUPERFÍCIE INCLINADA
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Da mesma forma que para superfície horizontal, 
pode-se determinar algebricamente o valor da 
tensão lateral:
φ
φ
φ
φ
φφ
σ
σ
22
22
22
1
22
11
22
1
22
11
22
1
22
1
2
1
22
1
22
1
2
11
2
1
2
1
2
1
1
coscoscos
coscoscos
...
)cos1()cos1(cos.
)cos1()cos1(cos.
)cos1(sen.
)cos1(sen.....
......cos.......,......
−+
−−=⇒
⇒
−−−+
−−−−=
⇒−==
−===−=
==+
−===
ii
ii
K
iOOOOiOO
iOOOOiOO
OP
OP
iOOiOORO
OOOOCOPOROPORP
eiOOOReRPRPPorém
RPOR
RPOR
OP
OPK
A
A
AAA
A
AA
v
ha
a
Substituindo na relação inicial, tem-se:
RANKINE: MACIÇO COM SUPERFÍCIE INCLINADA
22
ƒ Esta é a expressão mais genérica para Ka. 
Observe que fazendo i=0 resulta nas 
expressões já deduzidas para taludes com 
superfície horizontal.
ƒ O empuxo resultante será:
ƒ Empuxo passivo⇒raciocínio análogo ⇒
φ
φ
γγσ
22
22
2
00
coscoscos
coscoscos
cos...
2
1.cos.....
−−
−+=
=⇒== ∫∫
ii
ii
K
iHKEdzizKdzKE
p
A
H
aA
H
vAa
RANKINE: MACIÇO COM SUPERFÍCIE INCLINADA
12
23
)cos(
2
1 2 iKHE AA ⋅⋅⋅⋅= γ ∫ ∫ ⋅⋅⋅==
H
haA dzizdziE
0
H
0
A )cos(K )cos( γσ
)cos(
2
1 2 iKHE AA ⋅⋅⋅⋅= γ
Figura – Diagrama e direção do empuxo em maciços com superfície inclinada.
3
_ Hy =
)cos(
2
1 2 iKHE AA ⋅⋅⋅⋅= γ
(pto. de aplicação)
RANKINE: MACIÇO COM SUPERFÍCIE INCLINADA
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Valores do coeficiente de empuxo ativo (Ka) para ser usado no método de Rankine 
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Valores do coeficiente de empuxo passivo (Kp) para ser usado no método de Rankine 
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Exercício 1 - Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicação 
para o caso apresentado a seguir. 
NA
φ = 25°
γsat = 19 KN/m3
Ea (solo)
(I)
Ea (água)
(II)
a) Ka = tg2 ( 45 - φ/2 ) = tg2 ( 45 – 25/2 ) = 0,406
b) para z=0 , σh = γ z Ka = 0
para z= 3 m , σh = (19-10)(3)(0,406) = 11 kPa
para z= 3 m , σhágua = (10)(3) = 30 kPa
c) Ea1 = ½. (11)(3) = 16,5 kN/m
Ea2 = ½. (30)(3) = 45 kN/m
Ea = Ea1 + Ea2 = 16,5 + 45 = 61,5 kN/m
d) ponto de aplicação
y = (16,5) [1/3. (3 )] + (45)[ 1/3.( 3)] 
61,5
y = 1,0 m
14
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Exercício 2 - Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicação
φ = 30°
γ = 18 KN/m3 NA
γsat = 21KN/m3
a) Ka = tg2 ( 45 - φ/2 ) = tg2 ( 45 – 30/2 ) = 0,333
b) solo:
para z=0 , σh = γ z Ka = 0
para z= 2 m , σh = (18)(2)(0,333) = 12 kPa
para z= 4 m , σh = [ (18)(2) + (21-10)(2) ] 0,333 = 19,3 kPa
água:
para z=0 , σh = γγ z Ka = 0 para z=2m , σh = γγ z Ka = 0
para z= 4 m , σh = γw z = (10)(2) = 20 kPa
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Continuação do exercício 2 
(III)(II)
(I)
(IV)
c) Ea1 = ½. (12)(2) = 12 kN/m
Ea2 = (12)(2) = 24 kN/m
Ea3 = ½. (19,3 - 12)(2) = 7,3 kN/m 
Ea4 = ½. (20)(2) = 20 kN/m
Ea = Ea1 + Ea2 + Ea3 + Ea4 = 12 + 24 + 7,3 + 20 = 63,3 kN/m
d) ponto de aplicação
y = (12) [2 + 1/3. (2 )] + (24)(1) + (7,3)[1/3 .( 2)] + (20)[ 1/3 .( 2)] = 1,17 m
63,3
15
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Exercício 3 - Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicação
φ = 32°
γ = 16,8 KN/m
3
q = 20 kPa
(I)
(II) E2
E1
a) Ka = tg2 ( 45 - φ /2 ) = tg2 ( 45 – 32/2 ) = 0,307
b) para z=0 , σh = (γ z + q)Ka = (0 + 20) (0,307) = 6,1 kPA
para z= 3 m , σh = [ (16,8)(3) + (20) ] 0,307 = 21,6 kPa
c) Ea1 = (6,1)(3) = 18,3 kN/m
Ea2 = ½. (21,6 – 6,1)(3) = 23,3 kN/m 
Ea = Ea1 + Ea2 = 18,3 + 23,3 = 41,6 kN/m
d) ponto de aplicação
y = (18,3)[ 1/2 . (3)] + (23,3) [ 1/3 .( 3)] = 1,22 m
41,6
30
Exercício 4 - Determinar o valordo empuxo ativo e seu ponto de aplicação
φ = 30°
γ = 19 KN/m3
φ = 20°
γ = 18 KN/m3
a) Ka1 = tg2 ( 45 - φ/2 ) = tg2 ( 45 – 20/2 ) = 0,490
Ka2 = tg2 ( 45 - φ/2 ) = tg2 ( 45 – 30/2 ) = 0,333
b) para z=0 , σh = γ z Ka1 = 0
para z= 2 m , σh =γ z Ka1= (18)(2)(0,490) = 17,6 kPa
para z= 2 + dz , σh =γ z Ka2= (18)(2)(0,333) = 12 kPa
para z= 10m, σh = Σ(γ z )Ka2=[(18)(2) + (19)(8)] 0,333 =
= 62,6 kPa