cap4 4

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vin(t) = R(t) cos [wc t + q(t)] (4-72)
A função transferência do componente não-linear pode ser expandida pela
série de Taylor, tal que o termo de saída de n-ésima ordem é:
[ ])t(tcos)t(RK)t( vK)t(v cnnnninn1 q+w==
ou
v1(t) = CRn(t) cos[n wct + nq(t)] + outros termos
Devido ao filtro passa-faixa ser projetado para passar frequências na
vizinhança de nfc, a saída é:
vout(t) = CRn(t) cos [n wct + n qt)] (4-73)
Isto ilustra que a variação de amplitude de entrada R(t) aparece distorcida
no sinal de saída porque a enoltória real na saída é Rn(t). A forma de onda
da variação do ângulo, q(t), não é distorcida pelo multiplicador de
frequência, mas o multiplicador de frequência, mas o multiplicador de
frequência aumenta a amplitude da variação de ângulo por um fator de n.
Portanto os circuitos multiplicadores de frequência não são usados em sinais
onde a AM deva ser preservada; mas veremos que os multiplicadores de
frequência são muito úteis em problemas PM e FM, já que eles efetivamente
“amplificam” a forma de onda de variação de ângulo, q(t). O multiplicador
n=2 é chamado de estágio dobrador, e o multiplicador de frequência para
n=3 é chamado de estágio triplicador.
O Multiplicador de frequência não deve ser confundido com um misturador.
O multiplicador de frequência atua como um componente não linear. O
circuito misturador (o qual usa um multiplicador matemático) atua como
um circuito linear com ganho variável no tempo
(causado pelo sinal LO). A largura de faixa do sinal na saída de um
multiplicador de frequência é maior do que a largura de faixa do sinal de
entrada, e ele aparece na faixa de frequência localizada na n-ésima
harmônica da entrada. A largura de faixa de um sinal na saída do misturador
é a mesma da entrada, mas o espectro de entrada foi transladado ou para
cima ou para baixo, dependendo da frequência LO e da faixa de passagem
do filtro de saída. Naturalmente, compreende-se que o multiplicador de
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frequência é essencialmente um amplificador não-linear seguido por um
filtro passa-faixa que é projetado para permitir a passagem da n-ésima
harmônica.
Figura 4-12 – Multiplicadores de frequência.
4.13. Circuitos Detectores
Como indicado na figura 4-1, o receptor contém circuitos de portadora que
convertem a forma de onda passa-faixa de entrada em uma forma de onda
banda-básica de saída. Estes circuitos de portadora são chamados
circuitos detectores. As seções seguintes mostrarão como os circuitos
detectores podem ser projetados para apresentarem R(t), q(t), x(t) ou y(t) em
suas saídas quando os sinais passa-faixa correspondentes estiverem
alimentando a entrada dos circuitos detectores.
Detector de Envoltória
Um detector de envoltória ideal é um circuito que produz uma forma de
onda em sua saída proporcional à envoltória real, R(t), de sua entrada. A
partir de (4-1b) a entrada passa-faixa pode ser representada por R(t) cos [wc
t + q(t)], onde R(t) > 0; então a saída do detector de envoltória ideal é:
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vout(t) = K R(t) (4-74)
onde K é a constante de proporcionalidade.
Um circuito simples de detector a diodo que se aproxima de um detector de
envoltória ideal esta ilustrado na figura 4-13a . A corrente do diodo ocorre
em pulsos proporcionais à parte positiva da forma de onda de entrada. Os
pulsos de corrente carregam o capacitor para produzirem a forma de onda de
tensão de saída, como ilustrado na figura 4-13b. A constante de tempo RC
é escolhida tal que o sinal de saída siga a envoltória real, R(t), do sinal de
entrada. Consequentemente, a frequência de corte do filtro passa-baixas
necessita ser muito menor do que a frequência de portadora, fc, e muito
maior do que a largura de faixa da forma de onda de modulação detectada,
B. Isto é,
cfRC2
1
B <<
p
<< (4-75)
onde RC é a constante de tempo do filtro.
Figura 4-13 – Detector de envoltória.
O detector de envoltória é tipicamente usado para detectar a modulação em
sinais AM. Neste caso, vin(t) tem a envoltória complexa g(t) = Ac [1 +
m(t)], onde Ac > 0 representa a força do sinal AM recebido, e m(t) é a
modulação. Se |m(t)| < 1, então:
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vout(t) = K R(t) = K|g(t)| = K Ac[1 + m(t)] = K Ac + K Ac m(t)
K Ac é uma tensão DC que é usada para prover um controle automático de
ganho (AGC) para o receptor AM. Isto é, para K Ac relativamente pequeno
(sinal AM recebido fraco), o ganho do receptor é aumentado e vice-versa.
K Ac m(t) é a modulação detectada. Para o caso de modulação de áudio
(não de vídeo), valores típicos para os componentes do detetor de envoltória
são R = 10 kW e C = 0,001 mF. Isto causa uma frequência de corte do filtro
passa-baixas (3 dB) de 9,15
RC2
1
fco =p
= kHz. Isto é muito menor do que
fc e maior do que a maior frequência de áudio, B, usada em amplificações
AM típicas.
Detector de produto
Um detector de produto (figura 4-14) é um circuito misturador que converte
para baixo a entrada, sinal mais ruído passa-faixa, para banda-básica. A
saída do multiplicador é:
[ ] ( )ococ1 tcosA)t(tcos)t(R)t(v q+wq+w=
 [ ] [ ]ocooo )t(t2cos)t(RA2
1
)t(cos)t(RA
2
1
q+q+w+q-q=
onde a frequência do oscilador é fc e a fase é qo. O filtro passa-baixas deixa
passar somente o termo de conversão para baixo, tal que a saída é:
[ ] { }oj-oooout e )t(gReA2
1
)t(cos)t(RA
2
1
)t(v q=q-q= (4-76)
Figura 4-14 – Detector de Produto.
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onde a envoltória complexa da entrada é denotada por:
g(t) = R(t) ejq(t) = x(t) + jy(t)
e x(t) e y(t) são as componentes em quadratura [ver (4-2)]. Devido à
frequência do oscilador ser a mesma frequência da portadora do sinal de
entrada, o oscilador tem de estar sincronizado em frequência com o sinal
de entrada. Se, além disso, qo = 0, o oscilador é dito estar sincronizado em
fase com a componente em-fase, e a saída fica:
 x(t)A
2
1
)t(v oout = (4-77a)
Se qo = 90o,
y(t) A
2
1
v oout = (4-77b)
A expressão (4-76) também indica que um detetor de produto é sensível à
AM e/ou PM. Por exemplo, se a entrada não contiver modulação angular,
tal que q(t) = 0 e se a fase de referência for ajustada em zero (isto é, qo = 0),
então:
R(t) A
2
1
v oout = (4-78a)
o que implica que x(t) > 0 e a envoltória real é obtida na saída do detector
de produto, como para o caso detector de envoltória discutido
anteriormente. Entretanto, se um sinal modulado em ângulo Ac cos[wc t +
q(t)] estiver presente na entrada e qo = 90o, a saída do detector de produto
fica:
[ ]{ }o90-(t)jcoout e ARe A2
1
)t(v q=
ou
(t)sen A A
2
1
)t(v coout q= (4-78b)
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Neste caso o detector de produto atua de modo semelhante a um detector
de fase com uma característica senoidal, devido à tensão de saída ser
proporcional ao seno da diferença de fase entre o sinal de entrada e o sinal
do oscilador. Também existem detectores de fase que apresentam outras
características: triangulares e dente de serra. [Krauss, Bostian, e Raab,
19980]. Se nos referirmos à expressão (4-78b), para o detector de fase
com característica senoidal, e assumirmos que a diferença de fase é pequena
(isto é, |q(t)| << p/2), vemos que sen q(t) » q(t) e
( )t A A2
1
)t(v coout q» (4-79)
que é uma característica linear (para pequenos ângulos). Portanto a saída
deste detector de fase é diretamente proporcional às diferenças de fase
quando o ângulo de diferença for pequeno (ver figura 4-20).
Deve ser esclarecido que o detector de produto atua como um componente
linear, variável no tempo, em relação à entrada vin(t), contrastando com o
detector de envoltória, que é um componente não-linear. A propriedade de
ser ou não linear, afeta significativamente os resultados quando dois ou mais
componentes, tal como sinal mais ruído, são aplicados à entrada. Este
tópico esta analisado no Capítulo 7.
Os detectores também podem ser classificados como sendo coerentes ou
não-coerentes. Um dectetor coerente tem duas entradas, uma para um
sinal de referência, tal como o sinal de um oscilador sincronizado, e uma
para o sinal modulado que será demodulado. O detector de produto é um
exemplo de um detector coerente. Um detetor não-coerente tem somente
uma entrada, que é o “port” do sinal modulado. O detector de envoltória é
um exemplo de um detector não-coerente.
Detetor de Modulação em Frequência
Um detector de modulação em frequência (FM) ideal é um componente que
produz uma saída que é proporcional à frequência instantânea da entrada.
Isto é, se a entrada passa-faixa for representada por R(t) cos [wct + q(t)], a
saída do detector de FM ideal é:
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( )[ ] ( )
úû
ù
êë
é q+w=
q+w
=
dt
td
K
dt
ttd K
)t(v c
c
out (4-80)
Usualmente o detector de FM é balanceado. Isto significa que a tensão
DC K wc não aparece na saída se o detetor for sintonizado (ou projetado)
para a frequência de portadora fc. Neste caso a saída é:
dt
)t(d
K)t(vout
q
= (4-81)
Existem muitos modos de se construir detectores de FM, mas quase todos
eles são baseados em um dos três princípios:
· Conversão FM para AM
· Detecção de deslocamento de fase ou detecção em quadratura
· Detecção de cruzamento por zero.
Um detector por inclinação é um exemplo do princípio de conversão FM
para AM. Um diagrama de bloco está apresentado na figura 4-15.
Figura 4-15 – Demodulação de frequência usando detector por inclinação.
Um limitador passa-faixa é necessário para suprimir qualquer variação de
amplitude no sinal de entrada, já que tais variações poderiam distorcer
(produzir ruído) no sinal de saída desejado.
O detector por inclinação pode ser analisado da seguinte maneira. Suponha
que a entrada seja um sinal com desvanecimento, com modulação em
frequência. A partir da tabela 4-1 este sinal FM pode ser representado por:
vin(t) = A(t) cos [wc t + q(t)] (4-82)
onde
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ò
¥-
=q
t
11f dt )t(mK)t( (4-83)
A(t) representa a envoltória que é desvanecida e m(t) é o sinal de modulação
(por exemplo, áudio). Segue que a saída do limitador é:
v1(t) = VL cos [wc t + q(t)] (4-84)
e a saída do diferenciador fica:
( )[ ]ttsen
dt
)t(d
V)t(v ccL2 q+wúû
ù
êë
é q+w-= (4-85)
A saída do detector de envoltória é o modulo da envoltória complexa para
v2(t):
( )
 
dt
td
V)t(v cLout úû
ù
êë
é q+w-=
e porque, na prática, wc >> dq/dt, esta expressão fica:
( )
úû
ù
êë
é q+w=
dt
td
V)t(v cLout
Usando-se (4-83), obtemos:
vout(t) = VL wc + VL Kf m(t) (4-86)
o que indica que a saída consiste de uma tensão DC, VL wc, mais a tensão
AC, VL Kf m(t), que é proporcional à modulação no sinal FM.
Naturalmente um capacitor pode ser colocado em série com a saída, tal que
somente a tensão AC poderá passar para a carga.
A operação de diferenciação pode ser obtida por qualquer circuito que atue
semelhante a um conversor de frequência para amplitude . Por exemplo,
um circuito ressonante com sintonia única pode ser usado como ilustrado na
figura 4-16, onde o módulo da função transferência e |H(f)| = K1 f + K2
sobre a parte linear (útil) da característica. Um detetor de FM balanceado,
que é também chamado de discriminador balanceado, está ilustrado na
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Figura 4-16 – Detecção por inclinação usando um circuito com sintonia única para conversão de
frequência para amplitude.
figura 4-17. Dois circuitos sintonizados são usados para eliminar, por
balanceamento, o DC quando a entrada tiver uma frequência portadora de fc
e para prover uma característica de conversão frequência para tensão linear
e estendida.
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Figura 4-17 – Discriminador balanceado.
Discriminadores balanceados também podem desenvolver esta função
devido às propriedades de deslocamento de fase de um circuito
transformador de RF de dupla sintonia com enrolamento primário e
secundário [Stark, Tuteur, e Anderson, 1988]. Na prática, os circuitos
discriminadores estão sendo substituídos por circuitos integrados que
operam no princípio de quadratura.
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O detetor de quadratura é descrito da seguinte forma: Um sinal em
quadratura é primeiramente obtido a partir do sinal de FM, então, usando-se
um detetor de produto, o sinal em quadratura é multiplicado pelo sinal de
FM para produzir o sinal demodulado, vout(t). O sinal em quadratura pode
ser produzido passando-se o sinal FM através de uma reatância de um
capacitor (grande) que esteja conectado em série com um circuito ressonante
paralelo sintonizado em fc. A tensão do sinal em quadratura aparece
através do circuito ressonante paralelo. A capacitância em série provê um
deslocamento de fase de 90o e o circuito ressonante provê um deslocamento
de fase adicional que é proporcional ao desvio de frequência instantâneo
(em relação a fc) do sinal FM. Usando-se (4-84) e (4-83), o sinal FM é:
vin(t) = VL cos [wc t + q(t)] (4-87)
E o sinal em quadratura é:
( ) ( )úû
ù
êë
é q+q+w=
dt
td
KttsenVK)t(v 2cL1quad (4-88)
onde K1 e K2 são constantes que dependem dos valores dos componentes
usados para o capacitor em série e no circuito ressonante paralelo. Estes
dois sinais, (4-87) e (4-88), são multiplicados juntos por um detector de
produto, por exemplo, ver figura 4-14, para produzir o sinal de saída:
úû
ù
êë
é q=
dt
)t(d
KsenVK
2
1
)t(v 2
2
L1out (4-89)
onde o termo de soma de frequência foi eliminado pelo filtro passa-baixas.
Para K2 suficientemente pequeno, sen x » x e, pelo uso de (4-83), a saída
fica.
m(t) K V K K
2
1
)t(v f
2
L21out = (4-90)