cap5 3

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mas não afetará o nível de potência média do sinal FM, que é 
2
A 2c . A medida
que Vp aumenta, as componentes espectrais irão se afastando da freqüência
portadora, e as componentes espectrais próximas à freqüência portadora
diminuirão em módulo, já que a potência total no sinal permanecerá constante
(para detalhes específicos, ver Exemplo 5-2). Esta é uma diferença em
relação à sinalização AM, onde o nível da modulação afeta a potência no sinal
AM, mas não afeta a sua largura de faixa.
De modo similar, o valor de pico do desvio de fase pode ser definido por:
Dq = max[q(t)] (5-45)
e para PM isto está relacionado ao valor de pico da tensão de modulação por
Dq = Dp Vp 5-46)
onde Vp = max[m(t)].
Definição: O índice de modulação em fase é dado por:
bp = Dq (5-47)
onde Dq é o valor de pico do desvio de fase.
O índice de modulação em frequência é dado por:
bf = (5-48)
onde DF é o valor de pico do desvio de frequência e B é a largura de faixa do
sinal de modulação, o qual para o caso de modulação senoidal é fm, a
frequência da senóide.
Para o caso de sinalização PM ou FM com modulação senoidal, os sinais PM e
FM têm o mesmo valor de pico do desvio de frequência, bp é idêntico à bf.
B
FD
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Usando-se (4-12), temos que o espectro de um sinal modulado em ângulo é
dado por:
S(f) = [G(f – fc) + G* (-f – fc)] (5-49)
Onde:
G(f) = Á[g(t)] = Á[Ac ejq(t)] (5-50)]
Quando os espectros para AM, DSB-SC e SSB foram avaliados lidamos com
expressões relativamente simples relacionando S(f) à M(f). Para sinalização do
tipo modulação em ângulo isto não é tão simples porque g(t) é uma função não
linear de m(t). Portanto, uma fórmula geral relacionando G(f) a M(f) não pode
ser obtida. Isto é uma infelicidade, mas é um fato da vida. Isto é, para se avaliar
o espectro de um sinal modulado em ângulo, (5-50) deve ser avaliada caso a
caso, para os diversos tipos de formas de onda de interesse. Além disso, já que
g(t) é uma função não-linear de m(t), a superposição não é válida e o espectro
de FM para a soma de duas formas de onda de modulação não é a mesma que a
soma dos espectros individuais.
Um exemplo de espectro obtido para um sinal modulado é apresentado no
Capítulo 2 (ver exemplo 2-18). Lá uma portadora foi modulada em fase por
uma onda quadrada onde o desvio de fase, pico a pico, era 180º. Neste exemplo
o espectro foi fácil de avaliar porque este foi um caso muito especial onde o
sinal PM se reduz a um sinal DSB-SC. Em geral a avaliação de (5-50) em uma
forma fechada não é fácil, e com frequência temos que usar técnicas numéricas
para obtermos uma aproximação da integral da transformada de Fourier. Como
um exemplo, o caso de uma forma de onda de modulação senoidal será agora
desenvolvido.
Exemplo 5-2 – Espectro de um sinal PM ou FM com modulação senoidal
Suponha que a modulação de um sinal PM seja:
mp(t) = Am senwmt (5-51)
2
1
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então:
q(t) = bsenwmt (5-52)
onde bp = DpAm = b é o índice de modulação de fase.
A mesma função fase q(t), como dado por (5-52), pode também ser obtida se
FM for usado, onde
mf(t) = Amcoswmt (5-53)
e b = bf = Df Am/wm. O valor de pico do desvio de frequência é DF = DfAm/2p.
A envoltória complexa é:
g(t) = Acejq(t) = Ac (5-54)
que é periódica com período Tm = 1/fm. Consequentemente g(t) pode ser
representada por uma série de Fourier que é válida durante todo o tempo (-¥ <
t < ¥).
g(t) = (5-55)
onde:
cn = (5-56)
que se reduz a:
cn = Ac = Ac Jn(b) (5-57)
Esta integral, conhecida como função de Bessel do primeiro tipo, de enésima
ordem, Jn(b), não pode ser avaliada em forma fechada, mas já foi avaliada
numericamente. Alguns valores tabulados para Jn(b) estão apresentados na
å
¥=
-¥=
w
n
n
tmjn
nec
ò-
w-wb2/mT
2/mT
tmjntmsenj
m
c dte)e(
T
A
úû
ù
êë
é q
p ò
p
p-
q-qb de
2
1 )nsen(j
tmsenje wb
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Tabela 5-2. Longas tabelas são disponíveis [Abramowitz e Stegun, 1964] ou
podem ser calculadas usando-se MATLAB. As funções de Bessel são funções
chamadas de modo padronizado, como sub-rotinas em vários programas de
computadores pessoais. O exame da integral mostra que (fazendo-se uma
mudança de variável):
J -n(b) = (-1)n Jn(b) (5-58)
Tabela 5-2 – Valores das funções de Bessel J n (bb)
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Uma plotagem das funções de Bessel para várias ordens, n, como uma função
de b está apresentada na figura 5-10.
Figura 5-10 – Funções de Bessel para n = 0 até n = 6.
Tomando-se a transformada de Fourier de (5-55), obtemos:
G(f) = å
¥
-¥=
-d
n
mn )nff(c (5-59)
ou
G(f) = å
¥
-¥=
-db
n
mnc )nff()(JA (5-60)
Usando este resultado em (5-49) obtemos o espectro do sinal modulado em
ângulo. O espectro do módulo para f > 0 está ilustrado na figura 5-11 para os
casos de b = 0,2; 1,0; 2,0; 5,0 e 8,0. Nota-se que o termo de portadora discreto
(em f = fc) é proporcional à |Jo(b)|; consequentemente o nível (módulo) da
portadora discreta depende do índice de modulação. O nível será zero se Jo(b)
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= 0, o que ocorre se b = 2,40, 5,52, e assim por diante, como apresentado na
Tabela 5-3.
Tabela 5-3 – Zeros das funções de Bessel: Valores para bb quando J n(bb) = 0
A figura 5-11 também ilustra que a largura de faixa do sinal modulado em
ângulo depende de b e fm. De fato, pode ser mostrado que 98% da potência
total está contida na largura de faixa:
BT = 2(b + 1) B (5-61)
onde b é ou o índice de modulação de fase ou o índice de modulação de
frequência e B é a largura de faixa do sinal de modulação (que é fm para
modulação senoidal). Esta expressão nos dá uma regra prática para a avaliação
da largura de faixa dos sinais PM e FM, é chamada de regra de Carson. Para o
caso de FM (não PM) com 2 < b < 10, a regra de Carson, (5-61), subestima
BT. Neste caso uma melhor aproximação é BT = 2(b + 2)B. Além disso, se o
sinal de modulação contiver descontinuidades, tal como uma modulação com
onda quadrada, ambas as expressões podem não ser tão precisas e BT deve ser
avaliada examinando-se o espectro do sinal modulado em ângulo. Todavia,
para se evitar confusão no cálculo de BT, assumiremos que (5-61) seja
aproximadamente correta para todos os casos.
BT está apresentado na figura 5-11 para vários valores de b. A regra de Carson,
(5-61), é muito importante porque constitui uma maneira fácil de se calcular a
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Figura 5-11 – Espectro do módulo para FM ou PM com modulação senoidal para vários índices de
modulação.
largura de faixa de sinais modulados em ângulo. O cálculo da largura de faixa
usando-se outras definições, tal como largura de faixa de 3 dB, pode ser muito
difícil já que o espectro do sinal FM ou PM deve ser primeiramente avaliado.
Esta é uma tarefa não trivial exceto para casos simples como o da modulação
com tom único (senoidal), a menos que um computador digital seja utilizado
para o cálculo do espectro aproximado.
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Devido a ser difícil de se avaliar o espectro de sinais modulados em ângulo,
fórmulas para a aproximação do espectro são extremamente úteis. Algumas
aproximações relativamente simples podem ser obtidas quando o valor de pico
do desvio de fase for pequeno e quando o índice de modulação for grande.
Este tópicos serão discutidos nas seções seguintes sobre modulação em ângulo
faixa estreita e FM faixa larga.
Modulação em Ângulo Faixa Estreita
Quando q(t) está restrita a um pequeno valor digamos |q(t)| < 0,2 rad, a
envoltória complexa g(t) = Ac ejq pode ser aproximada por uma série de Taylor
onde somente os primeiros dois termos são usados. Portanto, porque ex » 1 +
x para |x| << 1,
g(t) » Ac [1 + jq(t)] (5-62)
Usando-se esta aproximação em (4-9) ou (5-1), obtemos a expressão para um
sinal modulado em ângulo
s(t) = (5-63)
Este resultado indica que um sinal modulado em ângulo, faixa estreita, consiste
de dois termos: uma componente de portadora discreta (que não muda com o
sinal de modulação) e um termo de banda lateral. Este é similar a uma
sinalização tipo AM, exceto que o termo de banda lateral está 90o fora de fase
com o termo de portadora discreto. O sinal faixa estreita pode ser gerado
usando-se um modulador balanceado (multiplicador), como ilustrado na figura
5-12a para o caso de modulação em frequência faixa estreita (NBFM). Além
disso, a modulação em frequência faixa larga (WBFM) pode ser gerada a partir
do sinal NBFM usando-se multiplicação de frequência, como ilustrado na
figura 5-12b.
44 344 2143421
lateralbanda
depotência
cc
discretoportadora
determo
cc tsen)t(AtcosA wq-w
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Figura 5-12 – Método indireto de geração WBFM (método de Armstrong)
Circuitos limitadores são necessários para a supressão de AM incidental [que é
)t(1 2q+ como resulta da aproximação (5-62)] que está presente no sinal
NBFM. Este método de geração WBFM é chamado de método de Armstrong
ou método indireto.
A partir de (5-62) e (5-49), o espectro do sinal modulado em ângulo, faixa
estreita, é:
S(f) = 
2
A c {[d(f – fc) + d(f + fc)] + j[Q(f – fc) - Q(f + fc)]} (5-64)
onde:
Q(f) = Á[q(t)] = 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
p
FMosinalizaçãpara),f(M
f2j
D
PMosinalizaçãpara),f(MD
f
p
(5-65)
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Modulação em Frequência, Faixa Larga
Um método direto de geração de modulação em frequência faixa larga
(WBFM) é o que usa um oscilador controlado por tensão (VCO), como
ilustrado na figura 5-8b. Todavia, para os VCO´s projetados para um amplo
desvio de frequência, a estabilidade da frequência portadora fc = fo não é muito
boa, tal que o VCO deve ser incorporado em um arranjo PLL onde o PLL
esteja amarrado a uma fonte de frequência estável, tal como um oscilador a
cristal (ver figura 5-13).
Figura 5-13 – Método direto de geração de WBFM
O divisor de frequência é necessário para diminuir o índice de modulação do
sinal WBFM e produzir um sinal NBFM (b » 0,2), tal que o termo de portadora
discreto esteja sempre na frequência fc/N, batendo com o sinal do oscilador a
cristal, e produzindo a tensão de controle DC [ver figura 5-11a, (5-63) e (5-
64)]. Esta tensão de controle DC mantém o VCO na frequência projetada com
uma tolerância determinada pelo circuito oscilador à cristal.
A PSD de um sinal WBFM pode ser aproximada usando-se a função densidade
de probabilidade (PDF) do sinal de modulação. Isto é razoável, de um ponto de
vista intuitivo, já que a frequência instantânea variará diretamente com a tensão
do sinal de modulação para o caso de FM (Df/(2p) sendo a constante de
proporcionalidade]. Se o sinal de modulação gastar mais tempo em um valor de
tensão do que outro, a frequência instantânea permanecerá na frequência
correspondente, e o espectro de potência terá um pico nesta frequência. Uma
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discussão sobre a aproximação envolvida, chamada de “aproximação quase-
estática”, está bem documentada [Rowe, 1965]. Este resultado é afirmado no
seguinte teorema.
Teorema: Para sinalização WBFM, onde
s(t) = Ac cos [wct + Df ò ¥- ss
t
]d)(m
bf = 1
B2
)]t(mmax[Df >
p
e B é a largura de faixa de m(t), a PSD normalizada do sinal WBFM é
aproximada por:
r(f) = ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
--
p
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
pp
)ff(
D
2
f)fcf(
D
2
f
D2
A
c
f
m
f
m
f
2
c (5-66)
onde fm (.) é a PDF do sinal de modulação.
Exemplo 5-3 – Espectro para WBFM com modulação triangular.
O espectro para um sinal WBFM com sinal de modulação triangular (Figura 5-
14a) será avaliado. A PDF associada para modulação triangular está ilustrada
na figura 5-14b. A PDF é descrita por
fm(m) = 
ï
î
ï
í
ì <
foram,0
Vm,
V2
1
p
p (5-67)
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Figura 5-14 – Espectro aproximado de um sinal WBFM com modulação triangular
onde Vp é o valor de pico de tensão da forma de onda triangular. Substituindo-
se esta expressão em (5-66) obtemos:
P(f) = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<+
p
+
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<-
p
p
foraf,0
V)ff(
D
2
,
V2
1
foraf,0
V)ff(
D
2
,
V2
1
D2
A pc
fp
pc
fp
f
2
c 
A PSD do sinal WBFM fica
P(f)=
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
D+<<D--
D+
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
D+<<D-
D
foraf,0
)Ff(f)Ff(,
F8
A
foraf,0
)Ff(f)Ff(,
F8
A
cc
2
c
cc
2
c
(5-68)
onde o valor de pico do desvio de frequência é:
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DF = 
p2
VD pf (5-69)
Esta PSD está plotada na figura 5-14c. Deve-se esclarecer que este resultado é
uma “aproximação” à PSD real. Neste exemplo a modulação é periódica com
período Tm, tal que o espectro real é um espectro de linha com as funções delta
espaçadas de fm = 1/Tm, uma das outras (semelhante ao espaçamento mostrado
na giura 5-11, para o caso de modulação senoidal). Esta aproximação nos dá
uma “envoltória aproximada” do espectro de linha (se a modulação fosse não-
periódica, o espectro exato seria contínuo e portanto não seria um espectro de
linha).
No outro exemplo, usando modulação senoidal (periódica), sabe-se que a PSD
exata contém componentes de linha com pesos [AcJn(b)]2/2 localizadas em
frequências f = fc + nfm (ver figura 5-11). Para o caso de índice alto a envoltória
destes pesos aproxima-se da PDF de uma senóide, como apresentado no
apêndice B.
Em resumo algumas propriedades importantes dos sinais modulados em ângulo
são:
· É uma função não linear da modulação, e, consequentemente, a largura de
faixa do sinal aumenta quando o índice de modulação aumenta.
· O nível de portadora discreta varia, dependendo do sinal de modulação, e é
zero para certos tipos de formas de onda de modulação.
· A largura de faixa de um sinal modulado em ângulo, faixa estreita, é duas
vezes a largura de faixa do sinal de modulação (o mesmo que ocorre para a
sinalização AM).
· A envoltória real de um sinal modulado em ângulo, R(t) = Ac, é constante e,
consequentemente, não depende do nível do sinal de modulação.
Pre-ênfase e De-ênfase em Sistemas Modulados em Ângulo
Em sistemas modulados em ângulo a relação sinal-ruído na saída do receptor
pode ser melhorada se o nível de modulação (no transmissor) for reforçado na
parte superior do espectro, o que é chamado de“pre-ênfase”, e atenuado nas
altas frequências na saída do receptor, o que é chamado de de-ênfase. Isso
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proporciona uma resposta em frequência plana, em banda básica, enquanto
melhora a relação sinal-ruído na saída do receptor (ver figura 5-15).
Figura 5-15 – Sistema modulado em ângulo com pre-ênfase e de-ênfase.
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Na característica de pre-ênfase, a segunda frequência f2 ocorre muito acima do
espectro da banda básica do sinal modulado (digamos 25 kHz para modulação
de áudio). Em radiodifusão FM a constante de tempo t1 é usualmente 75ms, tal
que f1 ocorre em 2,12 kHz. A resposta em frequência resultante para o sistema
total, usando-se pre-ênfase no transmissor e de-ênfase no receptor é plana
através da faixa do sinal de modulação. É interessante notar que em
radiodifusão FM com 75ms de pre-ênfase, o sinal transmitido é um sinal FM
para frequências de modulação até 2,1 kHz, mas é um sinal “modulado em
fase” para frequências de áudio acima de 2,1 kHz porque a rede de pre-ênfase
atua como um diferenciador para frequências entre f1 e f2. Então, FM com pre-
ênfase é realmente uma combinação de FM e PM, e combina as vantagens de
ambos em relação ao desempenho na presença de ruído. No Capítulo 7 será
demonstrado que a pre-ênfase e de-ênfase melhora a relação sinal-ruído na
saída do receptor.