Estrutura_1_2a unidade - editado em 08/12/13.pdf

Prévia do material em texto

Notas de Aula da Disciplina FIS101 - Estrutura da Matéria
I - 2a Unidade
Trancrito por Bruno C. Credidio
8 de dezembro de 2013
Sumário
1 A Teoria de Bohr para a Estrutura Atômica 2
1.1 O Átomo de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 O Átomo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A Estabilidade do Átomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Os Espectros Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 O Espectro do Hidrogênio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Estados de Energia no Átomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 A Dualidade Onda-Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Pacotes de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
Capítulo 1
A Teoria de Bohr para a Estrutura
Atômica
1.1 O Átomo de Thomson
(13/11/2013)
Os resultados experimentais acumulados ao longo dos anos até 1910 permitiam concluir
que os átomos continham uma quantidade de cargas positivas igual ao número de elétrons,
mas não se sabia como essas cargas estavam distribuídas no átomo.
O primeiro modelo da estrutura atômica é devido a J. J. Thomson. Ele supôs que a carga
positiva estava uniformemente distribuída em uma esfera de raio aproximadamente igual a
10−10 m, valor estimado para o raio atômico na época. Os elétrons estariam espalhados no
interior dessa distribuição de cargas positivas e poderiam se movimentar.
Suponhamos um átomo de Hidrogênio. As cargas positivas tem, cada uma, valor igual
à carga do elétron, −e, e estariam distribuídas numa esfera de raio R. Consideremos que
um elétron em movimento esteja a uma distância r do centro em um determinado instante.
Pela Lei de Gauss, o campo elétrico nesta posição é dado pela carga Q interna à superfície
esférica de raio r.
E =
1
4piε0
1
r2
(1.1)
q =
e
4
3piR
3
4
3
pir3 = e
r3
R3
(1.2)
Então:
E =
1
4piε0
e r
3
R3
r2
=
1
4piε0
e
R3
r (1.3)
2
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 3
A força elétrica sobre o elétron (−e) será radial de valor:
F = − 1
4piε0
e2
R3
r (1.4)
Força do tipo F = −kx que resulta em um movimento oscilatório com frequência
angular:
ω =
√
k/m (1.5)
e
k =
1
4piε0
e2
R3
' 2, 3× 102 N/m (1.6)
E resulta em uma frequência:
ν =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
' 2, 5× 1015 Hz (1.7)
...λ =
c
ν
= 1200Å (1.8)
Ou seja, a radiação emitida por esta carga oscilante estaria na região do ultravioleta
distante e seria em uma única frequência. Contudo, a experiência mostra a existência de
diversas linhas espectrais, em desacordo com este valor único.
1.2 O Átomo de Rutherford
Enerst Rutherford, em 1911, propôs um modelo para o átomo baseado nos resultados ex-
perimentais do espalhamento de partículas α por uma fina (aproximadamente 1µm) lâmina
de ouro. Partículas α (núcleo de Hélio) emitidas por uma fonte natural eram colimadas e
incidiam em um alvo, a folha de ouro. Um detector de ZnS (Sulfeto de Zinco) cintila ao
receber a partícula espalhada em uma dada direção. O número de cintilações por unidade
de tempo é proporcional à intensidade do feixe espalhado.
A probabilidade de encontrar uma partícula espalhada em grande ângulo (θ > pi/2)
usando-se o modelo de Thomson para o átomo é extremamente baixa, praticamente zero. O
experimento realizado por Geiger e Marsden (assistentes de Rutherford), em 1909, mostrou
a presença de partículas espalhadas para trás em quantidade mensurável.
Rutherford, então, propôs um novo modelo para o átomo. A carga positiva deveria
ocupar uma pequena região no centro do átomo, sendo bastante concentrada. Uma partícula
α incidente na direção do núcleo poderia, então, ser desviada pela repulsão coulombiana
em grande ângulo.
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 4
Consideremos que as massas dos átomos do alvo sejam suficientemente grandes para que
possam ser consideradas em repouso quando interagirem com as partículas α incidentes.
Tomemos a origem do sistema de referência como sendo o centro de um núcleo atômico
do alvo. A força que age sobre a partícula α ao se aproximar do núcleo é uma força
coulombiana, uma força central e, portanto, o momento angular L da partícula em torno
do centro é constante. A região de interação é muito pequena e longe desta região podemos
considerar trajetórias retas. Considere a figura a seguir:
m é a massa da partícula, ~v é a velocidade da partícula antes da interação, ~v′ é a
velocidade após a interação (| ~v |= v), b é o parâmetro de impacto, L = mvb é o momento
angular antes da interação e L′ = mv′b é o momento angular após a interação.
A energia cinética antes da interação é igual à energia cinética após a interação:
mv2
2
=
mv′2
2
(1.9)
v′ = v (1.10)
Vale a equação:
tg(θ) =
qQ
4piε0L
( m
2E
)1/2
(1.11)
tg
(
θ
2
)
=
qQ
4piε0mvb
(
��m
2��m
v2
2
)
(1.12)
tg
(
θ
2
)
=
qQ
4piε0mbv2
(1.13)
Observe que o ângulo de espalhamento depende do parâmetro de impacto.
Em um experimento típico, um feixe de partículas incide no alvo. Consideremos que
N partículas atingem o alvo e que existem n centros espalhadores por unidade de área. O
detector detecta partículas no entre θ e θ+ dθ correspondente às partículas incidentes com
um parâmetro de impacto entre b e b+ db.
Diferenciando (1.13) com relação a b, obtemos:
1
2
1
cotg
(
θ
2
)dθ = − qQ
4piε0mv2
1
b2
db (1.14)
Observe que o aumento em b (db > 0) produz uma diminuição em θ dθ < 0.
As partículas que estiverem entre b e b + db atravessarão a área anular dσ = 2pibdb e
uma quantidade dN de partículas serão desviadas e serão detectadas entre θ e θ + dθ. A
quantidade dN pode ser calculada como segue:
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 5
Suponha que o feixe de partículas tenha uma secção A ao se chocar com o alvo. Teremos,
então, N/A partículas por unidade de área chocando-se com o alvo. Existem n centros
espalhadores por unidade de área e, portanto, n ·A centros espalhadores na secção do feixe
incidente. Cada centro espalhador contribui com uma área dσ para as dN partículas que
estarão entre θ e θ+dθ. Portanto, n·A·dσ corresponde à área apresentada pelos espalhadores
que produzirão espalhamento. O número de partículas dN que serão espalhadas será, então:
dN =
N
A
n ·Adσ︸ ︷︷ ︸
área equivalente dos centros espalhados que desviarão partículas entre θ e θ+dθ
(1.15)
dN = Nndσ (1.16)
dσ =
dN
Nn
(1.17)
Contando-se dN e N em um certo intervalo de tempo na direção de θ e θ+ dθ, teremos
a determinação experimental de dσ.
(18/11/2013)
Da equação (1.13),
b =
(
qQ
4piε0mv2
)
︸ ︷︷ ︸
k
cos (θ/2)
sen (θ/2)
(1.18)
Da equação (1.14)
db = − 1
2 cos2 (θ/2)
(
4piε0
qQ
mv2
)
︸ ︷︷ ︸
1/k
b2dθ (1.19)
Mas,
dσ = 2pibdb (1.20)
Substituindo (1.13) e (1.14) em (1.20):
dσ = 2pi
k cos (θ/2)
sen (θ/2)
(
− 1
2 cos2 (θ/2)
1
k
)
k2
cos (θ/2)
sen (θ/2)
dθ (1.21)
= −pi cos (θ/2)
sen3 (θ/2)
k2dθ (1.22)
= −pi cos (θ/2) sen (θ/2)
sen4 (θ/2)
k2dθ (1.23)
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 6
dσ =
pi
2
sen(θ)
sen4 (θ/2)
(
qQ
4piε0mv2
)2
|dθ| (1.24)
E =
qQ
4piε0rmin
(1.25)
rmin =
qQ
4piε0E0
(1.26)
A secção de choque dσ calculada por esta expressão concordava bem com o valor expe-
rimental determinado pela equação 4, mostrando a validade do modelo.
Exercício: Fazer o gráfico de dσdθ da equação (1.24).
A expressão (??) é válida enquanto a mínima distância entre a partícula α e o centro do
núcleo for maior que o raio do núcleo. Caso contrário, a partículapenetraria no núcleo. A
mínima distância (o periélio mínimo) pode ser calculada para as partículas incidentes com
uma dada energia E considerando-se a situação em que a energia cinética é convertida em
energia potencial completamente. A energia cinética Ec pode ser aumentada até a situação
em que a equação (??) produza valores de dσ que discordem dos valores experimentais,
determinados por contagem. Para esta energia, teremos uma estimativa do raio do núcleo.
O valor estimado por Rutherford foi de 10−14 m.
1.3 A Estabilidade do Átomo
As investigações de Rutherford levaram a concluir que o núcleo atômico estava confinado
em uma região cujo diâmetro era 104 vezes menor que o diâmetro atômico. Os elétrons
deveriam ocupar o espaço restante mas não se sabia como os elétrons estavam distribuídos
neste espaço. O modelo planetário para os elétrons girando ao redor do núcleo é um
modelo mecanicamente estável, onde a força centrípeta é a própria atração coulombiana. O
movimento em órbita circular ou elíptica, contudo, é um movimento acelerado e o elétron
deveria irradiar energia eletromagnética com uma frequência correspondente à frequência
da órbita. A energia eletromagnética irradiada teria de ser igual ao decréscimo da energia
mecânica e o elétron teria sua velocidade aumentada juntamente com a diminuição do raio
da órbita e acabaria por colapsar no núcleo. O tempo de vida de tal elétron foi calculado
em 10−12 s para uma órbita com raio inicial de 10−10 m.
A experiência mostra que os átomos não irradiam no estado natural e quando excitados,
por exemplo, por uma descarga elétrica irradiam em determinadas frequências bem definidas
bem características daquelas substâncias que não corresponde à frequência calculada para
a órbita do sistema planetário.
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 7
1.4 Os Espectros Atômicos
Quando aquecemos um gás a altas temperaturas ou produzimos uma descarga elétrica neste
gás, podemos observar uma luz emitida. Passando esta luz por um prisma ou por uma rede
de difração, podemos observar que esta mesma luz é composta por diversos componentes
com diferentes comprimentos de onda bem definidos constituindo o que chamamos de es-
pectro de emissão. O espectro de emissão foi primeiro observado por Thomas Melvill em
1752 com muito pouca resolução e, em 1859, Kirchhoff e Bunsen descobriram que o espectro
de emissão era característico do elemento químico.
Em 1802, William Wollaston observou algumas linhas escuras no espectro da luz do Sol
e em 1814, Fraunhofer descobre uma série de linhas escuras no espectro solar que ficaram
conhecidas como as raias de Fraunhofer.
Verificou-se experimentalmente que a mesma linha espectral que aparece no espectro
de emissão do gás aquecido ou excitado também aparece com uma linha escura quando se
faz a luz branca atravessar este gás quando este está frio. Estas linhas escuras receberam
o nome de linhas do espectro de absorção. Obs: Nem toda linha do espectro de emissão
aparece no espectro de absorção.
1.4.1 O Espectro do Hidrogênio
Foi observado que as linhas espectrais do hidrogênio atômico H aparecem formando grupos
de linhas ou séries em que o espaçamento entre as linhas vai diminuindo com a diminuição
do comprimento de onda até se tornar um contínuo. Na região do visível, tem-se o seguinte
espectro:
Em 1885, Johann Balmer encontrou uma fórmula empírica para esta série de linhas que
tem o seu nome, Série de Balmer com um erro de apenas 0,02%:
λn = c
n2
n2 − 4 (1.27)
n = 3, 4, 5, 6... (1.28)
c = 3645, 6Å (1.29)
(25/11/2013)
n
h
2pi
= p · r (1.30)
p =
L
r
=
nh/2pi
n2a0
(1.31)
O modelo atômico de Bohr pode ser "deduzido"se procedermos no sentido inverso,
postulando três itens fundamentais:
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 8
1. No átomo existem determinados estados estacionários de energia em que o átomo não
irradia. O estado natural ou estado fundamental é o estado de energia mais baixa.
Estes estados estacionários podem ser calculados classicamente usando a Mecânica
Newtoniana e a Lei de Coulomb em um sistema de órbitas circulares.
2. Os estados estacionários são aqueles que correspondem à quantização do momento
angular que limita os raios das órbitas a valores discretos:
L = n
h
2pi
= mv︸︷︷︸
p
r (1.32)
3. Quando o elétron passa de um estado estacionário de energia En para um outro Em
com Em > En é emitido um fóton
νn→m =
En − Em
h
(1.33)
A energia do estado fundamental (n = 1) para o Hidrogênio vale:
E1 =
−l2
4piε0
1
2a0
= −13, 6 eV(1 eV = 10−19 V) (1.34)
13,6 eV é a energia que devemos fornecer ao elétron no estado fundamental para separá-
lo do núcleo, ou seja, a energia de ionização. Enquanto o elétron estiver ligado ao átomo,
sua energia estará quantizada com valor En. Após absorver 13,6 eV, o elétron estará livre e
qualquer energia maior que este valor terá a diferença E−13, 6 eV transformada em energia
cinética do elétron livre.
Ao voltar para o estado fundamental (-13,6 eV), será emitido um fóton de luz corres-
pondente ao espectro discreto do elétron ligado, ou ao espectro contínuo do elétron livre.
1.5 Estados de Energia no Átomo
A ideia da quantização dos estados de energia surgiu com Planck no estudo da radiação
do corpo negro. Foi considerada por Bohr no seu modelo do átomo com um elétron e,
provavelmente, poderia ser estendida para outros átomos, pois o comportamento de emissão
de linhas espectrais é comum a todos os elementos.
Frank e Hertz demonstraram, em 1914, de modo direto, que os átomos absorvem energia
de modo seletivo - somente em determinados valores. A energia absorvida era proveniente
de elétrons em movimento, cuja energia cinética era absorvida pelo gás do átomo estudado,
apenas quando a energia era de determinados valores. O arranjo experimental é mostrado
a seguir:
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 9
O filamento aquece o cátodo que emite elétrons. Os elétrons são acelerados pela ddp
existente entre A e C. Alguns elétrons passam pelos furos do ânodo e chegam à placa
passando pelo amperímetro, onde a corrente pode ser medida.
(4/12/2013)
No mundo em que vivemos, não percebemos esses efeitos, pois λ é muito pequeno
devido ao fato de h ser pequeno e ~p ser relativamente grande para corpos macroscópicos em
movimento. A figura de difração produzida é imperceptível nestas condições. É necessário
ter uma quantidade de movimento pequena e uma estrutura difratante com espaçamento
"compatível"com o comprimento de onda (condições da Óptica Física) para se observar o
efeito. Vale notar que a difração de partículas não é um fenômeno de interação coletiva
das partículas. Foram feitas experiências de difração de elétrons onde praticamente se
podia enviar um elétron de cada vez e se observou a chegada do elétron individualmente
no anteparo que, ao longo do tempo, formaram uma distribuição idêntica à de uma figura
de difração de uma onda eletromagnética.
1.6 A Dualidade Onda-Partícula
Vimos, anteriormente, que a radiação eletromagnética pode apresentar um comportamento
ondulatório ou corpuscular a depender do experimento realizado. Da mesma forma, uma
partícula apresenta comportamento corpuscular ou ondulatório também a depender do
experimento realizado.
Somos, portanto, levados a formular um modelo dual onda-partícula em que as condições
experimentais definem o tipo de comportamento.
Vale notar, contudo, que durante a interação temos uma ou outra face da dualidade
mas não ambas simultaneamente. Este fato experimental ficou explicitado no "Princípio da
Complementaridade"de Bohr. "Os modelos corpusculares e ondulatórios são complementa-
res. Se uma medida comprova o caráter corpuscular, esta mesma medida não pode provar
o caráter ondulatório e vice-versa.
1.6.1 Pacotes de Ondas
De início acreditava-se que a onda de DeBroglie se propagava juntamentecom a partícula.
Por exemplo, uma partícula livre de momento p seria representada por uma onda senoidal
do tipo
Ψ = A sin(kx− ωt), k = 2pi
λ
, λ =
h
p
, ω = 2piν (1.35)
Contudo, dois problemas apareceram.
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 10
1. A velocidade da fase da onda vf = λν pode ser calculada pela equação de DeBroglie
e pela relação de Einsten.
E = hν...ν =
E
h
=
p2/2m
h
(1.36)
Então:
vf =
�k
�p
p�2
2m�h
=
p
2m
= �
�mv
2��m
=
v
2
(1.37)
Portanto, a onda se propagaria com metade da velocidade da partícula
2. Uma onda com amplitude A constante não poderia representar bem uma partícula
localizada no espaço, uma vez que uma onda deste tipo se estende de − inf a + inf e
é periódica no espaço e no tempo.
Estas duas dificuldades podem ser eliminadas se considerarmos uma onda com amplitude
modulada. A amplitude da onda deveria ser zero longe da partícula e ser diferente de zero
nas vizinhanças da partícula. Além disso, este "pulso"deveria se propagar com a mesma
velocidade da partícula.
Um pulso desta forma pode ser descrito por uma superposição adequada de ondas via
transformada de Fourier, e, por isso, conhecido como um "pacote de ondas".
Vejamos um exemplo simples de superposição de duas ondas ligeiramente diferentes em
frequência e em comprimento de onda.
Ψ1 = A sin(kx− ωt) (1.38)
Ψ2 = A sin((k + dk)x− (ω + dω)t) (1.39)
Ψtotal = A
sin(kx− ωt︸ ︷︷ ︸
a
) + sin ((k + dk)x− (ω + dω)t)︸ ︷︷ ︸
b
 (1.40)
(1.41)
Como sin(a) + sin(b) = 2 sin
(
a+b
2
)
cos
(
b−a
2
)
:
Ψtotal = 2A
(
sin
(
(2k + dk)x− (2ω + dω)t
2
))
cos
(
(2kx− dωt)
2
)
(1.42)
Ψtotal ≈ 2A sin(kx− ωt) cos
(
dkx− dωt)
2
)
(1.43)
Para um tempo t fixo (uma foto), temos a seguinte representação:
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 11
A velocidade com que a amplitude modulada se move (do "pacote") é conhecida como
"velocidade de grupo"vg e é dada por:
vg =
dω
dk
(1.44)
A velocidade de grupo é a velocidade da partícula.
Apesar do pacote de onda solucionar os dois problemas anteriores, ainda restam questões
a ser compreendidas:
• Qual o significado físico desta onda?
• Qual é a forma real desta onda?
• Como esta onda evolui no tempo no caso de uma partícula não-livre? Ou seja, quando
a partícula está submetida a um determinado campo de força representado pela sua
função Energia Potencial?
As primeiras respostas a estas questões começam com os trabalhos de Erwin Schrödinger
(Escola Politécnica Federal de Zurich).
Por solicitação de Debye, Schrödinger deveria apresentar um colóquio (palestra) sobre
a teoria de DeBroglie para que tivessem uma melhor compreensão da teoria. Experimen-
tos já haviam mostrado a necessidade do comportamento ondulatório, mas a teoria ainda
era insipiente. De início, Schrödinger procurou encontrar uma "Equação de Ondas"para
as Ondas de Matéria de DeBroglie, correspondente aos estados estacionários de energia,
baseando-se nas equações de ondas do eletromagnetismo clássico.
Para uma partícula livre não relativística, propagando-se no eixo OX com p = h/λ = }k
e a energia total é a própria energia cinética E = p2/2m. Sabe-se do Eletromagnetismo
que:
(∇2 + k2)Ψ(x) = 0 (1.45)
Como
∇2φ = ∂
2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
(1.46)
Temos que:
∇2Ψ = ∂
2Ψ
∂x2
(1.47)
Então, (1.45) fica:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −k2Ψ(x) (1.48)
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 12
Como k = p/}, fica:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −p
2
}2
Ψ(x) (1.49)
Já que E = p2/2m, encontramos, finalmente:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −2mE
}2
Ψ(x) (1.50)
Esta equação ficou conhecida como a Equação de Schrödinger não-relativística para
uma partícula de massa m.
A próxima situação é considerar que a partícula está submetida a um campo de força
de forma que sua energia total seja a soma da energia cinética com a potencial.
Para encontrar a equação de ondas deste caso, Schrödinger apelou para a analogia
Óptico-Mecânica descoberta por Hamilton. Pelas leis da Mecânica Clássica, a trajetória de
uma partícula em um campo de forças com um potencial V (x) é idêntica à trajetória de
um raio de luz em um meio de índice de refração variável dado por:
n(x) =
√
1− V (x)
E
(1.51)
De acordo com as leis da Óptica Geométrica.
Ora, a equação da onda eletromagnética no caso estacionário em um meio de índice
variável é dada por:
(∇2 + n2(x)K20 )Ψ(x) = 0 (1.52)
Onde K0 é o número de onda no vácuo (equivalente à partícula livre):
K20 =
(p0
}
)2
=
2mE
}2
(1.53)
Mas p0 = 2mE/}2, então:
[
∇2 +
(
1− V (x)
��E
)
2m��E
}2
]
Ψ(x) = 0[
− }
2
2m
∂2
∂x2
+ V (x)
]
Ψ(x) = E(x) (1.54)
(1.55)
Em geral:
CAPÍTULO 1. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATÔMICA 13
[
− }
2
2m
∇2 + V (x, y, z)
]
Ψ(x, y, z) = E(x, y, z) (1.56)
Esta é a equação diferencial de onda para o estado estacionário para uma partícula em
um campo de força de potencial V (x, y, z)
	A Teoria de Bohr para a Estrutura Atômica
	O Átomo de Thomson
	O Átomo de Rutherford
	A Estabilidade do Átomo
	Os Espectros Atômicos
	O Espectro do Hidrogênio
	Estados de Energia no Átomo
	A Dualidade Onda-Partícula
	Pacotes de Ondas