Método de Análise de Malhas em Circuitos

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Método de Análise de Malhas 
1. Introdução 
Além da técnica de análise nodal já abordada, a análise de circuitos pode também ser feita de 
forma simples e sistemática por meio de análise de malhas, a qual pode ser considerada como 
a dual da análise de nós, uma vez que está baseada na Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 
aplicada às malhas do circuito. Neste tipo de análise serão também empregadas variáveis 
auxiliares conhecidas como correntes de malha, das quais todas as correntes e tensões dos 
ramos podem ser obtidas. Como no caso da análise de nós, não serão, portanto, utilizadas 
diretamente as variáveis dos ramos. A vantagem da utilização de correntes de malha é a 
redução no número de equações. Deve ser lembrado que uma malha é um caminho fechado 
no circuito que não contém nenhum outro caminho dentro dele. A presente apostila apresenta 
o método de forma resumida, maior detalhes são encontradas na bibliografia da disciplina. 
2. Procedimento Básico 
A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir. 
2.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 
Inicialmente deve ser determinado o número de malhas contidas no circuito. Para um circuito 
contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais 
permitirão escrever um número de equações independentes igual a (b-n+1). Uma vez 
identificadas as malhas, deve-se numerá-las e designá-las como 1nb321 II,I,I +−K . Além disso, 
deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere 
com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e 
tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos 
ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas. 
2.2 Aplicação da LTK para as Malhas 
Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para 
cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se 
adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo 
deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão 
consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1) equações que 
representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de 
acordo com a convenção adotada. 
2.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos 
ramos e sendo as correntes de malha as incógnitas, deve-se utilizar as relações de tensão-
corrente para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. 
Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo as correntes de malha. 
Deve-se atentar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), 
existindo portanto b relações deste tipo. 
2.4 Solução do Sistema de Equações 
Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de 
sistemas lineares - por exemplo, o Método de Gauss - e determinar as (b-n+1) incógnitas. 
Num caso geral, obtém-se um sistema de equações íntegro-diferenciais, cuja solução é 
assegurada caso o circuito seja composto apenas de elementos lineares e invariantes. Caso o 
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+
kvki
yIxI kR
 
Figura 1 - Tensão e corrente de ramo 
circuito seja composto apenas de resistores, obtém-se um sistema de (b-n+1) equações 
algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito, sendo a 
solução neste caso mais fácil, uma vez que não envolvem integrais e derivadas. 
2.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 
Depois de solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de 
ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo a corrente de ramo kI , 
percorrido por um lado pela corrente de malha xI e 
por outro pela corrente de malha yI do circuito 
conforme a Figura 1, pode ser obtida pela seguinte 
equação: 
yxk IIi −= (1) 
Na equação acima, foi considerada como positiva a 
corrente de malha que circula no mesmo sentido 
que a corrente do ramo, ao passo que foi 
considerada negativa a que circula em sentido 
contrário. Deve-se também atentar que a equação 
(1) pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer 
um dos nós do ramo k. Considerando-se os 
sentidos associados, a tensão no ramo k será dada 
como: 
kyxkkk R)II(Riv ⋅−=⋅= (2) 
kR - resistência do ramo k (ohms, )Ω 
3. Exemplo de Aplicação 
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Figura 2, onde 
todos as etapas citadas serão realizadas passo a passo. 
3.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 
Para o circuito da Figura 2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de 
malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão 
todos no sentido horário, conforme mostra a Figura 2, podendo no entanto ser escolhido um 
outro sentido. Na Figura 2 também são mostrados os sentidos considerados positivos para as 
+ _
1I 2I3R
2
R1R
+
_
E malha 1 malha 2
+
_
_
+
+
_
4R
 
Figura 2 - Circuito de exemplo 
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quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes. 
3.2 Aplicação da LTK para as Malhas 
De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas 
expressões que seguem: 
3131 RRRR
vvE 0vvE +=⇔=++− (3) 
 0vvv
423 RRR
=++− (4) 
3.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas 
equações (1) e (2) da forma que segue: 
1R Ii 1 = (5) 
2R Ii 2 = (6) 
21R IIi 3 −= (7) 
2R Ii 4 = (8) 
111RR RIRiv 11 ⋅=⋅= (9) 
222RR RIRiv 22 ⋅=⋅= (10) 
( ) 3213RR RIIRiv 33 ⋅−=⋅= (11) 
424RR RIRiv 44 ⋅=⋅= (12) 
Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em 
termos das correntes de malha. 
equação da malha 1: 
31 RR
vvE += 
( ) 32111 RIIRIE ⋅−+⋅= 
( ) 32311 RIRRIE ⋅−+⋅= (13) 
equação da malha 2: 
 0vvv
223 RRR
=++− 
( ) 0RIRIRII 4222321 =⋅+⋅+⋅−− 
( ) 0RRRIRI 432231 =++⋅+⋅− (14) 
É possível também expressar as equações de forma matricial: 
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( )
( ) 




=





⋅








++−
−+
0
E
I
I
RRRR
RRR
2
1
4323
331
 (15) 
3.4 Solução do Sistema de Equações 
Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: 
E=20 volts 
Ω=Ω= 4R2R 21 
Ω=Ω= 3R6R 43 
Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma: 






=





⋅





−
−
0
20
I
I
136
68
2
1
 (16) 
Solucionando-se o sistema obtém-se a resposta: 






=





765.1
824.3
I
I
2
1
 A 
3.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 
A partir das correntes de malha, as correntes e tensões em todos os ramos podem ser 
obtidas: 
824.3Ii 1R1 == A 
765.1Ii 2R2 == A 
059.21.765824.3IIi 21R3 =−=−= A 
765.1Ii 2R4 == A 
648.72824.3RIv 111R =⋅=⋅= V 
060.74765.1RIv 22R2 =⋅=⋅= V 
( ) ( ) 354.1261.765824.3RIIv 321R3 =⋅−=⋅−= V 
295.53765.1RIv 42R4 =⋅=⋅= V 
Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos podem ser também determinadas as 
potências emcada um dos componentes, bem como a potência total dissipada no circuito. 
4. Obtenção das Equações de Malha por Inspeção 
Quando o circuito contém somente resistores lineares e fontes independentes de corrente, as 
equações de malha do circuito podem ser escritas diretamente. Deve-se observar que a matriz 
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de coeficientes do sistema de equações contém valores de resistência, sendo portanto 
denominada de matriz de resistências. Deve-se também observar que, neste caso, o sentido 
de todas as correntes de malha deve ser atribuídos como horário. Com esta convenção, a 
matriz de resistências possui a seguinte forma geral, onde N=(b-n+1): 
[ ]














+−−
−+−
−−+
=
NN2N1N
N22212
N11211
RRR
RRR
RRR
R
MMMM
L
L
 (17) 
A matriz de resistências é uma matriz do tipo simétrica com as seguintes propriedades, as 
quais permitem a sua montagem baseada apenas na topologia do circuito. 
kkR = soma das resistências da malha k 
kjjk RR = = resistência comum entre a malha j e k 
Deve-se atentar para o fato de que os elementos fora da diagonal principal são valores 
negativos na matriz de resistências O sistema de equações terá a seguinte forma geral: 














=














⋅














+−−
−+−
−−+
N
2
1
N
2
1
NNN2N1
N22212
N11211
E
E
E
I
I
I
RRR
RRR
RRR
MMMMMM
L
L
 (18) 
[ ] [ ] [ ]EIR =⋅ (19) 
[ ] [ ]TN21 IIII L= (20) 
[ ] [ ]TN21 EEEE L= (21) 
kE - somatório das fontes das fontes de tensão existentes na malha, sendo que serão 
consideradas positivas as fontes que atuam no sentido da corrente de malha e as demais 
negativas. Fontes que atuam no sentido da corrente de malha são aquelas que ao serem 
percorridas no sentido de percurso da malha são atravessadas do terminal negativo para 
o terminal positivo. 
Baseado nas propriedades acima, pode-se montar diretamente as equações de malha do 
circuito, atentando-se para o fato que o circuito contenha apenas fontes de tensão 
independentes e resistores lineares. Pode-se comprovar esta afirmação para o exemplo 
anterior obtendo-se diretamente as equações de malha do circuito. 
5. Análise de Malhas com Fontes de Corrente 
A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando 
o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes 
de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo contudo possível 
determinar a tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma 
fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. 
Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do 
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+
kvI
yIxImalha x
malha y
 
Figura 3 - Fonte de corrente entre duas malhas 
+
kvI
xImalha x
 
Figura 4 - Fonte de corrente numa única malha 
circuito. Em muitos casos a fonte de corrente em 
paralelo com um resistor pode ser transformada 
numa fonte de tensão em série com o resistor, 
conforme já abordado. Este procedimento, no 
entanto, nem sempre é possível ou óbvio. Existem 
diversas métodos de considerar o efeito das fontes 
de corrente, sendo que um deles é descrito a 
seguir. 
Considerando que a fonte de corrente está inserida 
entre os terminais x e y conforme a Figura 3, 
observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas 
equações de ambas as malhas que possuem a 
fonte de corrente em comum. Como não há uma 
relação entre a corrente da fonte e a sua tensão, 
pode-se manter a tensão kv da fonte como uma 
incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido 
à presença da fonte, as correntes das malhas x e y 
estão relacionadas pela seguinte relação: 
yx III −= (22) 
Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao 
sistema de equações ( kv ), mas também foi 
acrescentada uma equação ( yx III −= ), sendo 
ainda possível solucionar o circuito. No total 
existirá, assim (n-b+2) equações. 
Também pode-se eliminar a tensão da fonte do 
sistema de equações isolando-se a tensão kv na 
equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a 
na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a 
equação de malha x do sistema, ficando o sistema 
novamente com (n-b+1) equações. 
Caso a fonte de tensão estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, 
significa que a corrente da malha está determinada pela corrente da fonte. Neste caso pode-
se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da 
malha, conforme mostra a Figura 4: 
IIx = (23) 
O procedimento descrito corresponde ao tratamento das duas malhas que incluem a fonte 
como se fossem uma única malha e aplicando-se a LTK para esta malha composta, também 
chamada de super-malha ou malha generalizada (vide bibliografia). 
O exemplo mostrado na Figura 5 ilustra o procedimento. Para este circuito as equações de 
nós são as seguintes: 
malha 1: 
fRRfRR vvvE 0vvvE 3131 ++=⇔=+++− (24) 
malha 2: 
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+
_
1I 2I3R
2
R1R
+
_
E
malha 1 malha 2
+
_
_
+
+
_
4R
I
+
_
fv
 
Figura 5 - Análise de malha com fonte de corrente 
 0vvvv
342 RfRR
=−−+ (25) 
As relações tensão-corrente são as seguintes: 
1R Ii 1 = (26) 
2R Ii 2 = (27) 
21R IIi 3 −= (28) 
2R Ii 4 = (29) 
111RR RIRiv 11 ⋅=⋅= (30) 
222RR RIRiv 22 ⋅=⋅= (31) 
( ) 3213RR RIIRiv 33 ⋅−=⋅= (32) 
424RR RIRiv 44 ⋅=⋅= (33) 
A equação adicional considerando a fonte de corrente é: 
12 III −= (34) 
substituindo as relações (26) a (33) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se 
notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo 
também uma equação a mais (equação (34)). 
malha 1: 
fRR vvvE 31 ++= 
( ) f32111 vRIIRIE +⋅−+⋅= 
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( ) f32311 vRIRRIE +⋅−+⋅= (35) 
malha 2: 
 0vvvv
342 RfRR
=−−+ 
( ) 0RIIvRIRI 321f4222 =⋅−−−⋅+⋅ 
( ) 0RIvRRRI 32f3422 =⋅−−++⋅ (36) 
As equações (34), (35) e (36) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as 
incógnitas 1I , 2I e fv . 
De forma matricial , o sistema de equações pode ser escrito como: 
( )
( )










=










⋅










+−
−++−−
+−+
I
0
E
v
I
I
011
1RRRR
1RRR
f
2
1
4323
331
 (37) 
Considerando-se os seguintes valores: 
E=20 V 
I=6 A 
Ω=Ω= 10R6R 21 
Ω=Ω= 4R2R 43 
Obtém-se o sistema matricial que segue: 










=










⋅










+−
−−
+−
6
0
20
I
v
v
011
1162
128
f
2
1
 (38) 
Resolvendo-se o sistema, obtém-se, finalmente, a solução: 










+
+
−
=










2.51
8.2
2.3
v
I
I
f
2
1
 (39) 
6. Exercícios Propostos 
Os exercícios abaixo foram selecionados da bibliografia da disciplina. Recomenda-se que 
todos os exercícios sejam resolvidos.Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de Circuitos Elétricos. 
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 3. Problemas: 3.5, 3.8, 3.32, 3.33, 3.36, 
3.37, 3.38, 3.39, 3.43, 3.48, 3.51, 3.52, 3.53, 3.57.