06.Reta No Plano

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4. Reta no Plano
LOB 1036 - Geometria Analítica
Profa. Paula C P M Pardal
LOB 1036
� Base; Combinação Linear.
� Plano cartesiano; Sistemas de coordenadas.
� Vetores no ℜ2.
� Igualdade; Operações.
� Paralelismo entre vetores.
� Produto Escalar.
� Módulo.
� Ângulo (e ortogonalidade) entre dois vetores.
O que você deve saber
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INTRODUÇÃO: Geometria Analítica no ℜ2
� Geometria Analítica→ Rene Descartes.
Ideia:
� Dado um objeto geométrico, encontrar uma equação que descreva este
objeto → as propriedades deste objeto são obtidas da análise de tais
equações.
� Objetos a serem estudados no ℜ2:
� Retas;
� Cônicas: elipses/circunferências, parábolas, hipérboles.
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� Será considerado o sistema cartesiano Oxy:
� Definido pelo ponto O�0,0� e pela base
canônica i�, j� .
� Dois pontos A�
�, ���e B�
�, ��� determinam
um vetor AB � 
� � 
�, �� � �� →
representante a partir da origem do sistema é
o vetor OP→ mesmas coordenadas.
� Os pontos também podem representar vetores:
OA e OB são vetores com origem em O�0,0�	
e extremidades nos pontos A�
�, ��� e
B�
�, ���, repectivamente → ponto e vetor
com mesmas coordenadas.
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OP � 
� � 
�, �� � ��
B
A
0 
� 
�
��
��
y
x
origem
extremidade
P
i�
j�
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DEFINIÇÃO: Vetor Diretor
Seja r uma reta e v um vetor não nulo paralelo a r. Então, v é chamado vetor
diretor da reta r.
� Então, o que é necessário para determinar a equação de uma reta?
� Existe somente uma reta r que passa por um ponto A e tem a direção de v.
� Portanto, se A∈ r e v	// r, um ponto qualquer do plano cartesiano P ∈ r⇔ �� // vvvv.
� Desta forma: AP � 	v, ∈ℜ, portanto:
r: P � A ! 	v, 	 ∈ℜ (1)
� Equação Vetorial da Reta
� : parâmetro.
1. Equações da Reta
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vvvv
0 x
y
A
P r#vvvv
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� Na equação vetorial, AP � 	v, ∈ℜ, quando percorre os
números reais, todos os pontos da reta são determinados.
� Existem infinitas eqs. vetoriais para a mesma reta, pois A e v
podem ser escolhidos de muitas maneiras.
Observações
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2. Equações Paramétricas da Reta
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vvvv�
� Considere uma reta r e sistema de coordenadas cartesiano O, i�,	j� .
� Tomando as coordenadas, isto é, A�
$, �$� e v � �%, &�, então o ponto
P�
, �� deve satisfazer:
r : '
 � 
$ ! 	%	t� � �$!		&	t , 	∈ ℜ (2)
� Este sistema é conhecido como sistema de Equações Paramétricas da Reta
em relação ao sistema de coordenadas fixado, com v	(	0.
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� A partir das eqs. paramétricas de uma reta e considerando )* ( +.
� Das eqs. (2), tem-se:
r: 
,-,.
/ �
0-0.
1 �� � (3) 	
� Equações Simétricas ou normais da reta r que passa pelo ponto A�
$, �$� e tem
a direção de v � �%, &�.
Observação:
�
�,-2
3 �
0
� não representa as eqs. simétricas de uma reta, pois o coeficiente de 
não é 1. Ainda assim, ela representa uma reta cujas eqs. simétricas são ,-
5 6⁄
8 6⁄ �
0
�.
3. Equações Simétricas da Reta
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Sejam r1 e r2 retas cujos vetores diretores são v� � �%�, &�) e v� � �%�, &�),
respectivamente.
� Condição de Paralelismo: v� � 9	v�	, 9	 ∈	ℜ
� Condição de Ortogonalidade: v� 	 ∙ 	 v� � 0
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4. Paralelismo e Ortogonalidade
de Duas Retas
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� Sejam as retas:
� r1: passa pelo ponto A(
�, ��) e tem a direção do vetor v� � �%�, &�);
� r2: passa pelo ponto B(
�, ��) e tem a direção do vetor v� � �%�, &�).
Ângulo entre duas retas é o menor
ângulo formado entre o vetor diretor de
r1 e o vetor diretor de r2.
cos θ � v?	∙	v6v? 	 v6 			 , com	0 @ θ @ A �⁄
	
5. Ângulo entre Duas Retas
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As retas r1 e r2, no plano, podem ser:
� Paralelas: r� ∩ r� � ∅;
� Coincidentes: se as duas retas são as mesmas.
� Não coincidentes: retas distintas.
� Concorrentes: 	r�	∩ r� � I .
6. Posições Relativas de Duas Retas
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r� � r�
r� ( r�
r�
r�
I
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TEOREMA:
� Sejam r1 e r2 duas retas representadas, respectivamente, pelas equações
%�
 ! &�� ! G� � 0 e %�
 ! &�� ! G� � 0. Elas serão:
i. Coincidentes⇔ ∃ 9	 ∈	ℜ /	�%�, &�, G�) � 9�%�, &�, G�).
ii. Paralelas⇔ ∃ 9	 ∈	ℜ /	�%�, &�) � 9�%�, &�).
iii. Concorrentes se não existe 9	 ∈	ℜ /	�%�, &�) � 9�%�, &�).
� O ponto de intersecção será a solução do sistema formado pelas
equações %�
 ! &�� ! G� � 0 e %�
 ! &�� ! G� � 0.
TESTE DAS POSIÇÕES RELATIVAS
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1. Determine as eqs. da reta r que passa pelo ponto A(4, –1) e tem a direção do vetor i�� j�.
2. Represente graficamente as retas cujas equações são:
a) � � 
 � 5.
b) � � 2
.
c) 
 � 3.
d) � � �4.
3. Determine a posição relativa das retas r e s: 
r: ,M�� �
0
N ; 															s: 
, � � 0, 0 ! 1,2 , ∈ ℜ. 
4. Se houver, calcule o ponto de intersecção entre as retas: 
r:	 ,-�� �
0
3 ; 														s: '
 � 5 ! 
� � 2 � , ∈ ℜ. 
a) .
EXERCÍCIOS
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