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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
Capítulo 1: Conjuntos 
 
 
1- Definições 
 Um conjunto é uma qualquer coleção de objetos, os quais chamamos de elementos do conjunto. 
 Usualmente representamos um conjunto por letra maiúscula e seus elementos por letras 
minúsculas. 
 A relação básica entre um elemento e um conjunto é a relação de pertinência. Se x é um dos 
elementos do conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x  A. Se, porém, x não é um dos 
elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x  A. 
 Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que 
permita decidir se um elemento arbitrário x pertence ou não a A. Por exemplo, seja A o conjunto dos 
triângulos retângulos; o conjunto A está bem definido e x  A se x é um triângulo que possui um ângulo 
reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui um ângulo reto, então x  A. 
 Usa-se a notação A = {a, b, c, ... } para representar o conjunto A cujos elementos são os objetos a, 
b, c, etc (representação analítica ou por extensão). 
 Exemplos: A = {1, 2} 
  = {1, 2, 3, ... } (conjunto dos números naturais) 
  = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} (conjunto dos números inteiros) 
 A maioria dos conjuntos em Matemática não é definido especificando-se, um a um, os seus 
elementos. O método mais freqüente de se definir um conjunto é através de uma propriedade P comum e 
exclusiva dos seus elementos. Ela define um conjunto A da seguinte maneira: se um objeto x satisfaz a 
propriedade P então x  A; se x não satisfaz P então x  A. Escreve-se A = {x; x satisfaz a propriedade P} e 
lê-se: “A é o conjunto dos elementos x tais que x satisfaz a propriedade P” (representação sintética ou por 
compreensão). 
 Exemplos: A = {x; x   e x  5} ou A = {x  ; x  5} 
 B = {x; x é quadrado} 
 X = {x  ; x2 – 1 = 0} 
 Q = 






 0 , , ; qqp
q
p (conjunto dos números racionais) 
 Indicaremos pelo símbolo  o conjunto vazio. Ele pode ser definido assim: “Qualquer que seja x, 
tem-se x   ”, ou seja, o conjunto vazio é aquele que não possui elementos. 
 Exemplos: {x  ; x2 + 1 = 0} =  
 {x; x  x} =  
 Chama-se conjunto unitário todo conjunto constituído de um único elemento. 
 Exemplos: A = {1} 
 X = {x  ; x2 – 9 = 0} 
 Chama-se conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que são sempre 
considerados como elementos nessa teoria. Assim, por exemplo, em Geometria Plana, o conjunto 
universo é o conjunto dos pontos de um plano; em Aritmética, o conjunto universo é o conjunto de todos 
os números inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, ...}. O conjunto universo é também chamado conjunto 
fundamental da teoria e será indicado pela letra U. O conjunto universo U pode alterar a constituição do 
conjunto que possui certa propriedade em U. 
 Exemplo: Seja A = {x; x2 – 2 = 0}. Se U = Q então A = {x  Q; x2 – 2 = 0} = . Se U =  então 
A = {x  ; x2 – 2 = 0} = 
 2 ,2
. 
 
 2 
2- Subconjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é 
também elemento de B. Usaremos a notação A  B ou B  A. Dizemos também que A está contido em B 
ou que A é parte de B ou que B contém A. Simbolicamente, temos: 
 A  B  (x  A)(x  B). 
 A relação A  B chama-se relação de inclusão. 
Exemplo: Sejam A o conjunto dos quadrados e B o conjunto dos retângulos. Então A  B. 
 Quando se escreve A  B, não está excluída a possibilidade de vir a ser A = B. No caso em que 
A  B e A  B dizemos que A é uma parte própria ou um subconjunto próprio de B. 
 A negação de A  B indica-se pela notação A  B, que se lê: A não é subconjunto de B ou A não 
está contido em B. Observe que A  B se e somente se existe pelo menos um elemento de A que não é 
elemento de B, isto é, simbolicamente: 
 A  B  (x  A)(x  B). 
 Temos assim que   A, qualquer que seja o conjunto A, pois caso contrário existiria x   tal que 
x  A; mas isto é um absurdo já que o conjunto vazio não possui elemento algum. 
 Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. 
Assim, A = B  A  B e B  A. 
 
 Propriedades da relação de inclusão: 
1) A  A, qualquer que seja o conjunto A; 
2) A  B e B  A  A = B; 
3) A  B e B  C  A  C. 
Demonstração: 
1) É claro que (x  A)(x  A); logo A  A; 
2) Pela definição de igualdade de conjuntos; 
3) Hipótese: A  B B  C Tese: A  C 
Queremos mostrar que todo elemento de A é também elemento de C. Tomemos então um 
elemento x  A. Como A  B por hipótese, temos que x  B. Como B  C por hipótese, 
então x  C. 
 
 Observação: A fim de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria de 
Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha 
fechada qualquer não entrelaçada. Uma tal representação recebe o nome de diagrama de Venn. Num 
diagrama de Venn, os elementos do conjunto são indicados por pontos internos ao recinto e elementos 
que não pertencem ao conjunto são representados por pontos externos ao mesmo recinto. Por exemplo, 
sejam A = {2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}: 
 
 B 
 
 
 
 
 
3- Conjunto das Partes de um Conjunto 
 Dado um conjunto X, indica-se por P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. 
Em outras palavras, afirmar que A  P(X) é o mesmo que dizer que A  X. Dizemos que P(X) é o 
conjunto das partes de X. 
 Simbolicamente, P(X) = {A; A  X}. 
 Observe que P(X) nunca é vazio, pois   P(X) e X  P(X). 
 Exemplos: X = {1, 2}; P(X) = { , {1}, {2}, {1, 2} } 
 P() = {} 
 A 
 . 1 
 
 . 4 
. 2 
 . 3 
 3 
 Proposição: 
 Se o conjunto X tem n elementos então P(X) tem 2n elementos. 
 Demonstração: Se X tem n elementos então podemos formar 






1
n
 conjuntos unitários, 






2
n
 
conjuntos de dois elementos, ... , 






1n
n
 conjuntos de n – 1 elementos e 






n
n
 = 1 conjunto de n 
elementos. Mas   X e portanto equivale a 






0
n
 = 1 conjunto sem elementos. Assim, o número de 
elementos de P(X) é dado por 































n
n
n
nnnn
1
 ... 
210
 que, pela Análise Combinatória, 
sabemos que é igual a 2n. 
 
4- Álgebra dos Conjuntos 
 O estudo das propriedades algébricas das operações de reunião, interseção e complementação 
constitui a chamada “Álgebra dos Conjuntos”, que possui analogias formais notáveis com a álgebra de 
certas operações usadas na Lógica das Proposições. 
 
4.1- Reunião ou União de Conjuntos 
A reunião de dois conjuntos A e B, denotada por A  B, é o conjunto A  B = {x; x  A ou x  B}. 
 Convém observar que a palavra ou empregada na propriedade que define A  B não tem sentido 
exclusivo, pois pode acontecer que um elemento x de A  B pertença simultaneamente a A e a B. 
 
 
 
 
 
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 
 Propriedades da inclusão e da reunião 
1) A  A  B e B  A  B 
2) A  B  A  B = B 
3) A  C e B  C  A  B  C 
4) A  B  A  C  B  C 
 
Propriedadesda reunião 
1) A  A = A (idempotente) 
2) A  B = B  A (comutativa) 
3) A  (B  C) = (A  B)  C (associativa) 
4) A   = A e A  U = U 
 
 
4.2- Interseção de Conjuntos 
A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A  B, é o conjunto A  B = {x; x  A e x  B}. 
Se A  B =  então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 4 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 
Propriedades da inclusão e da interseção 
1) A  B  A e A  B  B 
2) A  B  A  B = A 
3) C  A e C  B  C  A  B 
4) A  B  A  C  B  C 
 
Propriedades da interseção 
1) A  A = A (idempotente) 
2) A  B = B  A (comutativa) 
3) A  (B  C) = (A  B)  C (associativa) 
4) A   =  e A  U = A 
 
Propriedades que envolvem reunião e interseção 
1) A  (A  B) = A (absorção) 
2) A  (A  B) = A (absorção) 
3) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributiva) 
4) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributiva) 
 
 
4.3- Diferença de Conjuntos – Complementar 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A – B formado pelos elementos de A que não 
pertençam a B, isto é, A – B = {x; x  A e x  B}. 
 
 
 
 
 
Se A  B =  então A – B = A; em qualquer caso tem-se A – B = A – (A  B). (Verifique) 
 Quando B  A, a diferença A – B chama-se complementar de B em relação a A e escreve-se 
A – B = CAB. Em relação ao conjunto universo U, a diferença U – X chama-se simplesmente 
complementar de X e indica-se por CX . Assim, x  CX  x  X. 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 Propriedades 
1) C = U 
2) CU =  
3) C(CA) = A 
4) A =   CA = U 
5) A  B  CB  CA 
6) A – B = A  CB 
7) A  CA =  e A  CA = U 
8) A  (B – C) = (A  B) – (A  C) 
9) C(AB) = CA  CB 
10) C(AB) = CA  CB 
 
 
 
 
 
 
 5 
 Exercícios 
1- Consideremos os seguintes subconjuntos de : 
 A = {x; x é múltiplo de 2} C = {x; -3 

 x < 5} 
 B = {x; x é múltiplo de 3} D = {x; x < 1} 
 Determine A  B, C – D, D – C, CD, C  D, C  D. 
 
2- Seja A = { {} ,  }. Verifique quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: 
 a) { {} }  A c) {  }  A e)   A 
 b)   A d) { {} }  A f) {}  A 
 
3- Mostre que: 
 a) os conjuntos A  B e A – B são disjuntos 
 b) A = (A  B)  (A – B) 
 c) A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 
 d) A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 
 
4- Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Demonstre as afirmativas verdadeiras e dê 
contra-exemplos para as falsas: 
 a) A – B = B – A f) A – (B – C) = (A – B) - C 
 b) A – (B – C) = A – (B  C) g) A – (B – A) = A 
 c) C(A-B) = CA  B h) A – (B – C) = (A – B)  (A  C) 
 d) A  (B – C) = (A  B) – (A  C) i) (A – C)  (B – C) = (A  B) – C 
 e) A  B = A  C  B = C j) (A – B)  C = (A  C) – (B  C) 
 
5- Seja E = {a}. Determine P(P(E)). 
 
6- Determine P(P(P())). 
 
7- Prove: A  B  P(A)  P(B). 
 
8- Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
 a) X  A e X  B b) Se Y  A e Y  B então Y  X. 
 Prove que X = A  B. 
 
9- Sejam A, B  U. Prove que: 
 a) A  B =   A  CB 
 b) A  B = U  CA  B 
 c) A  B  A  CB =  
 
10- Dê exemplo de conjuntos A, B e C tais que (A  B)  C  A  (B  C). 
 
11- Se A, X  U são tais que A  X =  e A  X = U, prove que X = CA. 
 
12- Prove que A = B se e somente se (A  CB)  (CA  B) = . 
 
13- Chama-se diferença simétrica dos conjuntos A e B e indica-se por A  B ao conjunto de todos os 
elementos que pertencem a um e somente a um dos conjuntos A e B, isto é, A  B = (A – B)  (B – A). 
Mostre que: 
 a) A  B = (A  B) – (A  B) d) A  CA = U g) C(AB) = (A  B)  (CA  CB) 
 b) A   = A e) A  A =  
 c) A  U = CA f) A  B = B  A 
 6 
 14- Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e C = {3, 6, 9, 12, 15}, 
calcular: A  B, A  C, B  C, A  (B  C), (A  B)  (A  C) e (A  B)  C. 
 
15- Mostre que: 
 a) Se A  B então B  (A  C) = (B  C)  A, para todo conjunto C. 
 b) Se existir um conjunto C tal que B  (A  C) = (B  C)  A, então A  B. 
 
16- Sejam A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Suponha que A  B 
tenha p elementos. Quantos elementos tem A  B, A – B e B – A ? 
 
17- Os sócios dos clubes A e B perfazem o total de 140. Qual é o número de sócios de A, se B tem 60 e 
há 40 que pertencem aos dois clubes? 
 
18- Numa classe de 200 estudantes, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 
Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam as três. A relação de matrículas está correta? 
 
19- Numa cidade há 1000 famílias: 470 assinam O Globo, 420 assinam Jornal do Brasil, 315 assinam 
Estado de Minas, 140 assinam Estado de Minas e Jornal do Brasil, 220 assinam Estado de Minas e O 
Globo, 110 assinam Jornal do Brasil e O Globo e 75 assinam os três. Pergunta-se: 
 a) Quantas famílias não assinam jornal? 
 b) Quantas famílias assinam um dos jornais? 
 c) Quantas famílias assinam dois jornais? 
 
20- Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, 
colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
 
Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C --- 
Número de 
consumidores 
109 203 162 25 41 28 5 115 
 
 Pede-se: 
 a) número de pessoas consultadas; 
 b) número de pessoas que só consomem a marca A; 
 c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; 
 d) número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas. 
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Capítulo 2: Relações 
 
 
1- Par Ordenado 
1.1- Definições 
Dados dois elementos a e b, chama-se par ordenado um terceiro elemento que se indica por (a, b). 
O elemento a chama-se o primeiro elemento ou a primeira coordenada ou a primeira projeção do par 
ordenado (a, b); o elemento b chama-se o segundo elemento ou a segunda coordenada ou a segunda 
projeção do par ordenado (a, b). 
Dizemos que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d. Assim, 
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d. 
Observação: 
Não se deve confundir o par ordenado (a, b) com o conjunto {a, b}. De fato, como dois conjuntos 
que possuem os mesmos elementos são iguais, temos {a, b} = {b, a}, sejam quais forem a e b. Por outro 
lado, (a, b) = (b, a) se e somente a = b. 
 
2- Produto Cartesiano 
2.1- Definição 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e indica-se por A x B ao 
conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) cuja primeira coordenada pertence a A e a segunda 
a B. Simbolicamente, escrevemos: A x B = { (a, b); a  A e b  B }. 
Por exemplo, se A = {a, b} e B = {c, d}, temos que: A x B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)} e 
B x A = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}. 
Note que, em geral, temos A x B  B x A. Temos também que A x B =  se e somente se A =  
ou B = . 
 
2.2- Propriedades do produto cartesiano 
1) A x (B  C) = (A x B)  (A x C) 
(A  B) x C = (A x C)  (B x C) 
 
2) A x (B  C) = (A x B)  (A x C) 
 (A B) x C = (A x C)  (B x C) 
 
3) A x (B - C) = (A x B) - (A x C) 
 (A - B) x C = (A x C) - (B x C) 
 
3- Relações Binárias 
3.1- Definições 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária ou relação de A em B a todo subconjunto R 
do produto cartesiano A x B. Assim, R é relação de A em B  R  A x B. 
Observação: A definição deixa claro que toda relação é um conjunto de pares ordenados. Para 
indicar que (a, b)  R usamos a notação a R b e lemos “a erre b” ou “a relaciona-se com b segundo R”. Se 
(a, b)  R escrevemos a R b e lemos “a não erre b” ou “a não relaciona-se com b segundo R”. Assim, 
(a, b)  R  a R b e (a, b)  R  a R b. 
Os conjuntos A e B são denominados, respectivamente, conjunto de partida e conjunto de chegada 
da relação R. 
 
 8 
 Exemplos: 
1) A = {0, 1, 2} e B = {-2, -1} 
A x B = {(0, -2), (0, -1), (1, -2), (1, -1), (2, -2), (2, -1)} 
 R1 = , R2 = {(0, -2)}, R3 = {(1, -2), (2, -1), (1, -1)} são relações de A em B. 
 
2) R = {(x, y)   x ; x = y} é uma relação de  em . 
 
3) R = ((x, y)   x ; y  0} é uma relação de  em . 
 
3.2- Domínio e Imagem de uma relação 
Seja R uma relação de A em B. 
Chama-se domínio de R o subconjunto de A constituído pelos elementos x para cada um dos quais 
existe algum y em B tal que x R y. Simbolicamente, temos: 
D(R) = {x  A;  y  B: x R y} = {x  A;  y  B: (x, y)  R}. 
Chama-se imagem de R o subconjunto de B constituído pelos elementos y para cada um dos quais 
existe algum x em A tal que x R y. Simbolicamente, temos: 
Im(R) = {y  B;  x  A: x R y} = {y  B;  x  A: (x, y)  R}. 
Em outros termos, D(R) é o conjunto formado pelos primeiros termos dos pares ordenados que 
constituem R e Im(R) é o conjunto formado pelos segundos termos dos pares de R. 
Exemplo: R = {(x, y)   x ; y  0}; D(R) = ; Im(R) = +. 
 
3.3- Representação de uma relação 
a) Gráfico Cartesiano 
 Grande parte das relações de que se trata em Matemática são relações em que os conjuntos de 
partida e de chegada são subconjuntos de . Nesses casos, o gráfico da relação é o conjunto dos pontos 
de um plano dotado de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujas abscissas são os 
primeiros termos e as ordenadas os segundos termos dos pares que constituem a relação. 
 Exemplos: 
1) R1 = {(0, 0), (1, -1), (1, 1)} 2) R2 = {(x, y)   x ; y  0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Esquema de flechas 
 Quando A e B são conjuntos finitos com “poucos” elementos, podemos representar uma 
relação R de A em B da seguinte forma: representamos A e B por meio de diagramas de Venn e 
indicamos cada (x, y)  R por uma flecha com origem x e extremidade y. 
 Exemplo: A = {0, 1, 2}; B = {-2, -1, 0, 1, 2}; R = {(0, 0), (1, -1), (1, 1)} 
 
 
 
 
 
 
3.4- Relação Inversa 
Seja R uma relação de A em B. Chama-se relação inversa de R, e indica-se por R-1, a seguinte 
relação de B em A: R-1 = {(y, x)  B x A; (x, y)  R}. 
Note que: D(R-1) = Im(R), Im(R-1) = D(R) e (R-1)-1 = R. 
 9 
Exemplos: 
a) A = {a, b, c}; B = {d, e} b) R = {(x, y)  2; y = 2x} 
 R = {(a, d), (b, e), (c, e)} R-1 = {(y, x)  2; y = 2x} = {(x, y)  2; x = 2y} 
 R-1 = {(d, a), (e, b), (e, c)} 
 
3.5- Relação Composta 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, R  A x B e S  B x C duas relações tais que o conjunto de 
chegada da primeira e o conjunto de partida da segunda coincidem. Podemos definir a partir de R e S uma 
relação T de A em C da seguinte maneira: T é o conjunto dos pares ordenados (x, z)  A x C e existe 
y  B tal que (x, y)  R e (y, z)  S; simbolicamente, 
T = {(x, z)  A x C/  y  B: (x, y)  R e (y, z)  S}. 
A relação T é denotada por SoR e se chama relação composta de S e R. 
Exemplos: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6- Propriedades das relações num conjunto A 
Uma relação R num conjunto A, isto é, de A em A, pode apresentar as propriedades fundamentais 
que se seguem e que devem sempre ser examinadas. Tais propriedades são: 
a) Reflexiva: (x  A) (x R x) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}  A x A é reflexiva. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (a, b)}  A x A não é reflexiva. 
 
b) Simétrica: (x  A)(y  A)(x R y  y R x) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, a)}  A x A é simétrica. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(b, b), (c, a)}  A x A não é simétrica. 
 
c) Transitiva: (x  A)(y  A)(z  A)(x R y e y R z  x R z) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c)}  A x A é transitiva. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, c)}  A x A não é transitiva. 
 
d) Anti-simétrica: (x  A)(y  A)(x R y e y R x  x = y) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (a, b), (a, c)}  A x A é anti-simétrica. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, a)}  A x A não é anti-simétrica. 
 
Exercícios 
1- Sejam A e B dois conjuntos com m e n elementos, respectivamente. Determine o número de 
elementos de A x B e o número de relações de A em B. 
2- Pode uma relação sobre um conjunto A   ser simétrica e anti-simétrica? Pode uma relação 
sobre A não ser simétrica e nem anti-simétrica? Justifique suas respostas. 
3- Quais propriedades que a relação de paralelismo definida para as retas de um plano  verifica? 
 
 10 
4- Relação de Equivalência 
 
4.1- Definição 
Uma relação R sobre um conjunto A é chamada relação de equivalência sobre A se R é reflexiva, 
simétrica e transitiva, isto é, se são verdadeiras as sentenças: 
a) (x  A)(x R x) 
b) (x  A) (y  A)(x R y  y R x) 
c) (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) 
 
4.2- Notação 
Quando R é uma relação de equivalência sobre A, para exprimirmos que (x, y)  R ou x R y 
costuma-se escrever: 
x  y (mod R) ou x  y (R) ou x  y (mod R) ou x  y (R) 
que se lê: “x é equivalente a y módulo R” ou “x é equivalente a y segundo R”. 
 Se (x, y)  R ou x R y escreve-se: 
x  y (mod R) ou x  y (R) ou x  y (mod R) ou x  y (R) 
que se lê: “x não é equivalente a y módulo R” ou “x não é equivalente a y segundo R”. 
 
4.3- Exemplos 
a) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} é uma relação de equivalência sobre A = {a, b, c}. 
b) A relação de igualdade sobre , x R y  x = y, é uma relação de equivalência. 
c) A relação de paralelismo definida para as retas de um plano , x R y  x // y, é uma relação de 
equivalência. 
 
4.4- Classes de equivalência – Conjunto Quociente 
Seja R uma relação de equivalência sobre A. 
Dado a  A chama-se classe de equivalência determinada por a módulo R o subconjunto 
a
 
( ou Cl(a) ) de A constituído pelos elementos x tais que x R a. Simbolicamente, temos: 
a
 = {x  A; x R a} = {x  A; x  a (R). 
O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por A/R e chamado conjunto 
quociente de A por R. Em símbolos, A/R = { 
a
; a  A}. 
 
 Observações: 
1) Cada classe de equivalência é um elemento de P(A), conjunto das partes de A, isto é, 
a
  P(A), a  A. 
2) A/R  P(A). 
3) 
a
  , para todo a  A. 
 
Exemplos: 
a) Na relação de equivalência R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} em A = {a, b, c} temos: 
a
 = {a, c}; 
b
= {b}; 
c
 = {c, a}; A/R = { {a, c}, {b} }. 
b) Na relação de equivalência R = {(a, b)  2; a = b} temos: 
 
a
 = {x  ; x R a} = {x  ; x = a} = { a };/R = {{a}; a  }. 
 
c) Seja A = {a, b, c, d, e, f} o conjunto das retas da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 11 
 Para a relação de equivalência R em A definida por x R y  x // y, as classes de equivalência são: 
 
 
 O conjunto quociente A/R é igual a: 
 
 
Teorema 1: 
Seja R uma relação de equivalência sobre A e sejam a, b  A. 
As seguintes proposições são equivalentes: 
 1) a R b 2) a  
b
 3) b 
a
 4) 
a
 = 
b
. 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observação: O elemento a 
a
 é chamado representante da classe 
a
. Se b 
a
 então 
b
 = 
a
 pelo 
teorema 1 e como b é representante da classe 
b
 temos que b é representante da classe 
a
. Portanto todo 
elemento de uma classe de equivalência é um representante desta classe. 
 
 
4.5- Partição de um conjunto 
Seja A um conjunto não vazio. Dizemos que o conjunto P de subconjuntos não vazios de A é uma 
partição de A se: 
1) dois elementos de P ou são iguais ou são disjuntos; 
2) a união dos elementos de P é igual a A. 
 
Exemplos: 
a) P = { {1}, {2, 3}, {4} } é uma partição do conjunto A = {1, 2, 3, 4}. 
b) Sejam X = {x  ; x é par} e Y = {x  ; x é ímpar}. Então P = {X, Y} é uma partição de . 
 
Provaremos a seguir, pelos teoremas 2 e 3, que através de uma relação de equivalência sobre um 
conjunto A fica determinada uma partição de A e vice-versa. 
 Teorema 2: 
Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto A então A/R é uma partição de A. 
 Demonstração: 
 Como A/R = {
a
; a  A}, temos que mostrar que toda classe de equivalência 
a
 é não vazia, 
a
  A, duas classes são ou iguais ou disjuntas e a união de todas as classes de equivalência é o conjunto 
A. 
a) Já sabemos que se 
a
  A/R então 
a
  e 
a
  A. 
b) Sejam 
a
, 
b
  A/R. Desejo mostrar que ou 
a
 = 
b
 ou 
a
  
b
= . 
 12 
Suponhamos que 
a
  
b
  e seja x  
a
  
b
. Então, obtemos: 
baaRb
xRbbx
aRxxRaax


 . 
c) Provaremos que 
Aa
Aa



. 
Temos: 
axax
Aa



 para algum a  A  x  A, pois 
a
  A; 
 

Aa
axxxAx


, pois 

Aa
ax


. 
Logo, 
Aa
Aa



. 
 
 Teorema 3: 
Se P é uma partição de A, então existe uma relação R de equivalência sobre A de modo que 
A/R = P. 
Demonstração: 
 Seja R a relação sobre A definida por: x R y  B  P; x  B e y  B, isto é, x está em relação 
com y quando existe um conjunto B da partição P que contém x e y. 
 Vamos mostrar que R é uma relação de equivalência sobre ª 
a) Como P é uma partição de A temos que para todo x  A, existe Bx  P tal que x  Bx. Logo x R 
x, para todo x  A, e assim R é reflexiva. 
b) Sejam x, y  A. Se x R y então B P tal que x, y  B. Assim y, x  B e y R x. Logo R é 
simétrica. 
c) Sejam x, y, z  A. Se x R y e y R z então B  P tal que x, y  B e B1  P tal que y, z  B1. 
Como y  B  B1, B  P, B1  P e P é uma partição de A temos que B = B1. Portanto 
x, z  B = B1 e, assim, x R z. Logo R é transitiva. 
 
Vamos mostrar, agora, que A/R = P. 
Seja 
a
  A/R, a  A. Como a R a, B  P tal que a  B. 
Se x 
a
 = {x  A; x R a} então B1  P tal que x, a  B1. Como B  B1   então B = B1 e 
x  B. Assim 
a
  B. 
Se y  B temos y  A e como a  B temos y R a; portanto y  
a
. Assim B  
a
. 
Sendo 
a
  B e B  
a
, então 
a
 = B e 
a
  P. Logo, A/R  P. 
Seja B  P. Como P é partição de A então B   e assim a  A tal que a  B. Analogamente 
temos B = 
a
 e, portanto, B  A/R. Logo, P  A/R. 
Como A/R  P e P  A/R concluímos que A/R = P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Exercícios 
1) Quais das relações abaixo são de equivalência sobre A = {a, b, c}? 
R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} 
R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} 
R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} 
R4 = A x A 
R5=  
 
2) Mostrar que a relação R sobre N x N definida por: (a, b) R (c, d)  a + d = b + c, é uma relação 
de equivalência. 
 
3) Quais das seguintes sentenças definem uma relação de equivalência em N = {1, 2, 3, ...}? 
a) x R y  k   tal que x – y = 3k 
b) xy  k  N tal que y = kx 
c) x 

 y 
d) mdc(x, y) = 1 
e) x + y = 10 
 14 
5- Congruências (uma introdução) 
 
5.1- Definições 
Seja m > 0 um número inteiro. Dados x, y  , dizemos que x é congruente a y módulo m se a 
diferença x – y é múltiplo de m, ou seja, m é divisor de x – y. 
Se x – y não é múltiplo de m, dizemos que x não é congruente a y módulo m. 
 
 Notações: 
 x  y (mod m), que se lê “x é congruente a y módulo m” 
 x  y (mod m), que se lê “x não é congruente a y módulo m” 
 Simbolicamente temos: x  y (mod m)  m  x – y  k   tal que x – y = km. 
 
 Exemplos: 
a) 21  1 (mod 5) pois 21 – 1 = 20 = 4 . 5 
b) 16  -4 (mod 10) pois 16 – (-4) = 20 = 2 . 10 
c) –1  1 (mod 2) pois (-1) – 1 = - 2 = (-1) . 2 
d) 20  3 (mod 7) pois 20 – 3 = 17 não é múltiplo de 7 
e) – 3  - 4 (mod 3) pois (-3) – (-4) = 1 não é múltiplo de 3 
 
Observação: A relação R = {(x, y)  Z x Z; x  y (mod m)} é chamada relação de congruência 
 módulo m sobre o conjunto Z. 
 
 Proposição 1: 
 A relação de congruência módulo m sobre o conjunto Z é uma relação de equivalência. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
5.2- Classe de Equivalência e Conjunto Quociente relativos à Congruência módulo m 
Considere a relação de equivalência R = {(x, y)  Z x Z; x  y (mod m)} sobre Z e seja a  Z. 
Então, temos: 
a
 = {x  Z; x R a} = {x  Z; x  a (mod m)} = {x  Z; x – a = km, k  Z} = 
= {a + km; k  Z}. 
 
 O conjunto quociente Z/R (conjunto das classes de equivalência da congruência módulo m) será 
indicado por Zm e seus elementos chamados classes de restos módulo m. 
 
 Proposição 2: 
 Zm tem exatamente m elementos. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
a) Z2 = { 1 ,0 }, onde 0 = {2k; k  Z} e 1 = {1 + 2k; k  Z}. 
b) Z5 = { 4,3,2,1,0 }, onde 
          kkkkkkkkkk ;544 e ;533 ,;522 ,;511 ,;50
. 
 
6- Relações de Ordem 
6.1- Definições 
a) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem parcial ou, 
simplesmente, relação de ordem se R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, se são verdadeiras as 
sentenças: 
 (x  A) (x R x) 
 (x  A) (y  A) (x R y e y R x  x = y) 
 (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) 
 
 Observações: 
 1- Quando R é uma relação de ordem parcial sobre A, para exprimirmos que (a, b)  R usamos a 
notação a 

 b (R) e lemos “a precede b na relação R”. 
 2- Se R é uma relação de ordem parcial sobre A, dizemos que A é um conjunto parcialmente 
ordenado pela ordem R. 
 
b) Seja R uma relação de ordem parcial sobre A onde dois elementos quaisquer de A são compará- 
 
 16 
veis mediante R, isto é, a 

 b (R) ou b 

 a (R), a, b  A. Neste caso, R é chamada relação de ordem 
total sobre A e o conjunto A é chamado conjunto totalmente ordenado pela ordem R. 
 
c) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem estrita se são 
verdadeiras as sentenças: 
 (x  A) ( x R x) (irreflexiva) 
 (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) (transitiva) 
 
 
Observações:1- Uma ordem estrita R num conjunto A possui a seguinte propriedade: 
 (x  A) (y  A) (x R y  y R x) (assimétrica). 
 De fato, se ocorresse x R y e y R x teríamos, pela transitividade de R, x R x e, portanto, R não 
seria irreflexiva. 
 2- Se R é uma ordem estrita sobre A, dizemos que A é um conjunto estritamente ordenado pela 
relação R. 
 
d) Uma relação de ordem estrita R num conjunto A é chamada relação de ordem estrita total em A 
se satisfaz à condição: 
(x  A) (y  A) (x  y  x R y ou y R x) 
e, neste caso, o conjunto A é chamado conjunto estrita e totalmente ordenado pela R. 
 
6.2- Exemplos 
a) A relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} é uma relação de ordem total sobre 
A = {a, b, c}. 
 
b) A relação R sobre  definida por x R y  x 

 y (menor que ou igual) é uma relação de ordem 
total sobre , pois: 
 (x  )(x 

 x) 
 (x  ) (y  ) ( x 

 y e y 

 x  x = y) 
 (x  ) (y  ) (z  ) (x 

 y e y 

 z  x 

 z) 
 (x  ) (y  ) (x 

 y ou y 

 x) 
 
c) A relação R de divisibilidade sobre N = {1, 2, 3, ...} dada por x R y  xy (x divide y) é uma 
relação de ordem parcial, pois: 
 (x N) (xx) 
 (x N) (y  N) ( xy e yx  x = y) 
 (x N) (y  N) (z  N) (xy e yz  xz) 
(Verifique estas propriedades e mostre que R não é ordem total em N.) 
 
d) A relação de divisibilidade em Z não é uma relação de ordem, pois, em Z, esta relação não 
possui a propriedade anti-simétrica. (Por exemplo: 2-2, -22 mas 2  -2) 
 
e) A relação de inclusão sobre um conjunto E de subconjuntos de um dado conjunto é uma relação 
de ordem parcial, pois: 
 (X  E)(X  X) 
 (X  E) (Y  E) (X  Y e Y  X  X = Y) 
 (X  E) (Y  E) (Z  E) (X  Y e Y  Z  X  Z) 
 
f) A relação R = {(a, b), (a, c)} é uma relação de ordem estrita (não total) sobre A = {a, b, c}. 
 
 17 
g) A relação R sobre N = {1, 2, 3, ...} definida por x R y  x < y (menor que) é uma relação de 
ordem estrita total sobre N, pois: 
 (x  N)(x < x) 
 (x  N) (y  N) (z  N) (x < y e y < z  x < z) 
 (x  N) (y  N) ( x  y  x < y ou y < x) 
 
 
 
 
 
6.3- Elementos notáveis de um conjunto ordenado 
Seja A um subconjunto não vazio do conjunto E parcialmente ordenado pela relação “

” 
(precede). 
a) Limites (ou cotas) superiores e inferiores de A: 
Um elemento L  E é um limite superior de A se for verdadeira a proposição: (x  A) (x 

 L), 
isto é, qualquer elemento de A precede L. 
Um elemento l  E é um limite inferior de A se for verdadeira a proposição: (x  A) (l 

 x), isto 
é, l precede qualquer elemento de A. 
 
b) Máximo e Mínimo de A: 
Um elemento M  A é um máximo de A quando se verifica a seguinte propriedade: 
(x  A) (x 

 M), isto é, quando M é limite superior de A e pertence a A. 
Um elemento m  A é um mínimo de A quando se verifica a seguinte propriedade: 
(x  A) (m 

 x), isto é, quando m é limite inferior de A e pertence a A. 
 
 Proposição 3: 
Se existe máximo (ou mínimo) de A, então ele é único. 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Supremo e Ínfimo de A: 
Chama-se supremo de A o mínimo (caso exista) do conjunto dos limites superiores de A. 
Chama-se ínfimo de A o máximo (caso exista) do conjunto dos limites inferiores de A. 
 
d) Elementos Maximais e Minimais de A: 
Um elemento m1  A é um elemento maximal de A quando se verifica:(x  A) (m1  x  m 1 = x), 
isto é, o único elemento de A precedido por m1 é ele próprio. 
Um elemento m0  A é um elemento minimal de A quando se verifica: (x  A) (x  m0  x = m0), 
isto é, o único elemento de A que precede m0 é ele próprio. 
 
 
 Exemplos: 
 Determine os elementos notáveis de A: 
a) E = , A = (0, 1] e a ordem é menor que ou igual; 
b) E {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, A = {2, 4, 6} e a ordem é a divisibilidade. 
 
 18 
Exercícios 
 
1- Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Demonstre as afirmativas verdadeiras e dê 
contra-exemplos para as falsas: 
a) A  (B x C) = (A  B) x (A  C) 
b) (A x B)  (C x D) = (A  C) x (B  D) 
c) (A x B)  (C x D) = (A  C) x (B  D) 
d) Para C  , A  B  A x C  B x C 
 
2- Sejam A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}. Enumerar os elementos das seguintes relações: 
 R1 = {(x, y)  A x B; y = x + 1} e R2 = {(x, y)  A x B; x  y}. 
 Dizer qual é o domínio, a imagem e a inversa de cada relação. 
 
3- A é um conjunto com 5 elementos e R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)} é uma relação sobre A. Pede-se 
obter: 
a) os elementos de A c) os elementos, domínio e imagem de R-1 
b) domínio e imagem de R d) os gráficos de R e R-1 
 
4- Um casal tem 5 filhos: Álvaro, Bruno, Cláudio, Dario e Elizabete. Enumerar os elementos da relação R 
definida no conjunto E = {a, b, c, d, e} por x R y  x é irmão de y. Que propriedades R apresenta? 
Obs.: a = Álvaro, b = Bruno, c = Cláudio, d = Dario, e = Elizabete 
 x é irmão de y quando x é homem, x  y e x e y têm os mesmos pais 
 
5- Provar que se uma relação R sobre A é transitiva então R-1 também o é. 
 
6- Sejam R e S relações no mesmo conjunto A. Provar que: 
a) R-1  S-1 = (R  S)-1 
b) R-1  S-1 = (R  S)-1 
c) R  R-1 é simétrica 
d) Se R e S são transitivas então R  S é transitiva. 
e) Se R e S são simétricas então R  S e R  S são simétricas. 
 
7- Seja R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. A relação composta de R e S é 
SoR = {(x, z)  A x C; y  B: (x, y)  R e (y, z)  S}. Mostrar que: 
a) (SoR)-1 = R-1 o S-1 
b) Se R é reflexiva sobre A então RoR-1 e R-1oR também o são. 
c) Se R é uma relação sobre A então RoR-1 e R-1oR são simétricas. 
d) Se R e S são simétricas sobre A então: SoR é simétrica  SoR = RoS. 
 
8- Mostrar que a relação R sobre  x  tal que (a, b) R (c, d)  a + b = c + d é uma relação de 
equivalência. 
 
9- Mostrar que a relação S sobre Z x Z* tal que (a, b) S (c, d)  ad = bc é uma relação de equivalência. 
 
10- Dizer se cada um dos seguintes subconjuntos de  = {1, 2, 3, ...} é ou não totalmente ordenado pela 
relação de divisibilidade: 
 a) {24, 2, 6} b) {3, 15, 5} c) {15, 5, 30} d)  
 
11- Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. 
Mostrar que R é relação de ordem parcial em C: x R y  a  c e b  d. ( = menor que ou igual) 
 
12- Seja E = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e a ordem é a divisibilidade. Determinar os elementos notáveis de A 
= {6, 10}. 
 19 
 
13- Seja E = { {a}, {b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}, {a, b, c, d, e} } e a ordem é a inclusão. 
Determinar os elementos notáveis de A = { {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c d} }. 
 
14- Em  x  define-se (a, b)  (c, d)  ac e b  d, onde  = {1, 2, 3, ...}. 
a) Mostrar que essa relação () é uma relação de ordem parcial em  x . 
b) Sendo A = { (2, 1), (1, 2) }, determinar os elementos notáveis de ª 
 
15- Mostrar que R é uma relação de ordem total no conjunto C: 
 R = { (a + bi, c + di)  C x C; a < c ou (a = c e b  d) }. 
Obs.: Esta relação é denominada ordem lexicográfica. 
 
16- Mostrar que: 
a) Se a  b (mod m) e c  d (mod m) então a + c  b + d (mod m). 
b) Se a  b (mod m) e c  d (mod m) então ac  bd (mod m). 
 
17- Seja R a relação sobre Q definida por x R y  x – y  Z. Provar que R é uma relação de 
equivalência e descrever a classe 1 . 
 
18- Seja A = {x  Q; 0  x2  2} um subconjunto de Q, onde está definida a relação de ordem habitual 
. Determinaros elementos notáveis de A. 
 
19- Provar que se R é uma relação de equivalência sobre A, então R-1 também é. 
 
20- Provar que se R é uma relação de ordem sobre A então R-1 também é. 
 
21- Mostrar que se R e S são relações de equivalência em A, então R  S é uma relação de equivalência 
em A. 
 
22- Demonstrar que se a e b são elementos minimais de um conjunto totalmente ordenado A então a = b. 
 
23- Abaixo está o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre E = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. 
Determinar os elementos notáveis de A = {d, e}. 
Obs.: No diagrama omitimos as propriedades reflexiva e transitiva. 
 
 
 h i j 
 
 
 f g 
 
 
 
 d e 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
Capítulo 3: Funções 
 
1- Conceito 
Sejam A e B conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. 
Dizemos que f é uma função (ou aplicação) de A em B se: 
a) D(f) = A; 
b) Dado a  D(f), é único o elemento b  B tal que (a, b)  f. 
 
Observações: 
1- Se f é uma função de A em B, escrevemos b = f(a) para significar que (a, b)  f e lemos b é 
imagem de a pela f. 
2- Simbolicamente escrevemos f: A  B para indicar que f é uma função de A em B. 
3- O conjunto B é chamado contradomínio de f. 
4- Se f: A  B e g: A  B são funções temos: f = g  f(x) = g(x), x  A. 
 
Exemplos e Contra-exemplos: 
1- Se A = {0, 1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, considere as seguintes relações de A em B: 
 R1 = {(0, 5), (1, 6), (2, 7)} R2 = {(0, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8)} 
 R3 = {(0, 4), (1, 5), (2, 7), (3, 8)} R4 = {(0, 5), (1, 5), (2, 6), (3, 7)} 
 
 A relação R1 não é função de A em B, pois D(R1) = {0, 1, 2}  A, isto é, 3  D(R1). 
 A relação R2 não é função de A em B, pois (1, 5)  R2 e (1, 6)  R2 e, portanto, 1 tem duas 
imagens em B. 
 As relações R3 e R4 são funções de A em B. 
 
 
 0 4 0 4 0 4 0 4 
 1 5 1 5 1 5 1 5 
 2 6 2 6 2 6 2 6 
 3 7 3 7 3 7 3 7 
 8 8 8 8 
 R1 R2 R3 R4 
 
2- Se A = B = , considere as seguintes relações de  em : 
 R1 = {(x, y)  2; x2 = y2}, R2 = {(x, y)  2; x2 + y2 = 1} e R3 = {(x, y)  2; y = x2}, 
 cujos gráficos cartesianos são, respectivamente: 
 y y y 
 
 
 
 x x x 
 
 
 
 A relação R1 não é função, pois, por exemplo, x = 1 se relaciona com y = 1 e y = -1. 
 A relação R2 não é função, pois D(R2) = [-1, 1]   ou também porque x = 0, por exemplo, se 
relaciona com y = 1 e y = -1. 
 A relação R3 é função de  em . 
 21 
2- Imagem Direta e Imagem Inversa 
Seja f: A  B uma função. 
 
Dado X  A, chama-se imagem direta de X ou imagem de X, segundo f, e indica-se por f(X), o 
seguinte subconjunto de B: f(X) = {f(x); x  X}, isto é, f(X) é o conjunto das imagens por f dos 
elementos de X. 
 
Dado Y  B, chama-se imagem inversa de Y, segundo f, e indica-se por f-1(Y), o seguinte 
subconjunto de A: f-1(Y) = {x  A; f(x)  Y}, isto é, f-1(Y) é o conjunto dos elementos de A que têm 
imagem em Y através de f. 
 
Exemplos: 
1- A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e f: A  B definida por f(x) = x + 1 
 f ( {3, 5, 7} ) = { f(3), f(5), f(7) } = {4, 6, 8} 
 f(A) = {2, 4, 6, 8, 10} 
 f() =  
 f-1( {2, 4, 10} ) = {x  A; f(x)  {2, 4, 10} = {1, 3, 9} 
 f-1(B) = A 
 f-1() =  
 f-1( {0, 1, 3} ) =  
 
2- A = B =  e f:    definida por f(x) = x2 
 f( {1, 2, 3} ) = {1, 4, 9} 
 f( [0, 2] ) = {f(x); 0  x  2} = {x2; 0  x  2} = [0, 4] 
 f( (-1, 3] ) = {x2; -1 < x  3} = [0, 9] 
 f-1( {0, 4, 16} ) = {x  ; x2  {0, 4, 16} } = {0,  2,  4} 
 f-1( [1, 9] ) = {x  ; x2  [1, 9] } = [-3, -1]  [1, 3] 
 f-1( *
-
 ) = {x  ; x2 < 0} =  
 
3- Seja f:    definida por 





 Qxse
Qxse
xf
 ,1
 ,0)(
 
 f(Q) = {f(x); x  Q} = {0} 
 f( – Q) = {f(x); x   – Q} = {1} 
 f( [0, 1] ) = {0, 1} 
 f-1( {0} ) = {x  ; f(x) = 0} = Q 
 f-1( [4, 5] ) = {x  ; 4  f(x)  5} =  
 
 Propriedades da Imagem Direta 
 Seja f: A  B uma função e sejam X e Y duas partes quaisquer de A ( X  A e Y  A ). 
1) Se X  Y então f(X)  f(Y). 
2) f(X  Y) = f(X)  f(Y). 
3) f(X  Y)  f(X)  f(Y). 
4) f(X – Y)  f(X) – f(Y). 
Demonstração: (exercício) 
 
 Propriedades da Imagem Inversa 
 Seja f: A  B uma função e sejam X e Y duas partes quaisquer de B ( X  B e Y  B ). 
1) Se X  Y então f-1(X)  f-1(Y). 
2) f-1(X  Y) = f-1(X)  f-1(Y). 
3) f-1(X  Y) = f-1(X)  f-1(Y). 
4) f-1(X – Y) = f-1(X) – f-1(Y). 
Demonstração: (exercício) 
 22 
3- Diferentes tipos de funções 
 
3.1- Função Constante 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e seja b um elemento qualquer de B. Chama-se função 
constante de A em B, determinada pelo elemento b, a função f: A  B definida por f(x) = b, x  A. 
De um modo geral, chama-se função constante toda a função f: A  B cuja imagem Im(f) é 
formada por um único elemento de B, isto é, Im(f) é um conjunto unitário. 
Exemplos: 
 a) A função f de A = {a, b, c} em B = {1, 2, 3} definida por f = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} é uma função 
constante determinada pelo elemento 2 pertencente ao conjunto B. 
 b) A função g:    definida por g(x) = 1, x  , é uma função constante determinada pelo 
elemento 1  . 
 y 
 1 
 
 0 x 
 
 
3.2- Função Idêntica 
Seja A um conjunto não vazio. Chama-se função idêntica de A a função f: A  A definida por 
f(x) = x, x  A. 
A função idêntica de A também é denominada identidade de A e representada por IdA: A  A ou 
iA: A  A. 
Observe que Im(iA) = A. 
Exemplos: 
 a) A função idêntica de A = {a, b, c} é iA = {(a, a), (b, b), (c, c)}. 
 b) A função idêntica de  é a função i:    tal que i(x) = x, x  , cujo gráfico cartesiano é 
a reta que contém a bissetriz do 1o quadrante. 
 y i 
 
 
 0 x 
 
 
3.3- Função de Inclusão 
Sejam A um conjunto não vazioe X  A, X  . Chama-se função de inclusão de X em A a 
função f: X  A definida por f(x) = x, x  X. 
Observe que se X = A, a função de inclusão de X em A coincide com a função idêntica de A. 
Exemplo: 
 A função de inclusão de X = {a, b, c} em A = {a, b, c, d, e} é a função f = {(a, a), (b, b), (c, c)}. 
 
3.4- Funções Monótonas 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, parcialmente ordenados por relações de ordem indicadas 
pelo mesmo símbolo . 
 
Dizemos que f: A  B é uma função crescente se (x  A)(y  A)(x  y  f(x)  f(y)). 
Dizemos que f: A  B é uma função decrescente se (x  A)(y  A)(x  y  f(y)  f(x)). 
Se a função f é crescente ou decrescente dizemos que f é monótona. 
 
Dizemos que f: A  B é uma função estritamente crescente se (x  A)(y  A)(x < y  f(x) < f(y)). 
Dizemos que f: A  B é uma função estritamente decrescente se (x  A) (y  A)(x < y  f(y) < f(x)). 
Se a função f é estritamente crescente ou estritamente decrescente dizemos que f é estritamente 
monótona. 
 23 
Exemplos: 
 a) A função f:    definida por f(x) = 1, x  , onde  é ordenado pela relação  (menor ou 
igual), é uma função crescente, pois se x, y  , x  y temos f(x) = 1 = f(y) e, portanto, f(x)  f(y). 
(Observe que esta função é também decrescente.) 
 b) A função f:    definida por f(x) = x, x  , onde  é ordenado pela relação  (menor ou 
igual), é uma função estritamente crescente, pois se x, y  , x  y temos f(x) = x  y = f(y) e, portanto, 
f(x)  f(y). 
 c) A função f: P(A)  P(A) definida por f(X) = A – X, X  P(A), onde A é um conjunto e P(A) é o 
conjunto das partes de A ordenado pela inclusão, é uma função estritamente decrescente, pois se X, Y  
P(A), X  Y e X  Y então A – Y  A – X e, portanto, f(Y)  f(X) e f(Y)  f(X). 
 
 
4- Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas 
 
Consideremos uma função f: A  B. 
 
Dizemos que f é uma função injetiva (ou injetora) ou uma injeção quando a seguinte condição é 
verificada: (x  A)(y  A) (x  y  f(x)  f(y)), isto é, quando elementos distintos de A têm imagens 
distintas em B. 
Notemos que a seguinte condição, equivalente à anterior, é outra forma de impor que f seja 
injetora: (x  A)(y  A) (f(x) = f(y)  x = y). 
Notemos, ainda, que uma função f: A  B não é injetora quando: (xA) (yA)(x  y e f(x) = 
f(y)), isto é, quando existem dois elementos distintos de A que têm imagens iguais em B. 
 
Dizemos que f é uma função sobrejetiva (ou sobrejetora) ou uma sobrejeção quando a seguinte 
condição é verificada: f(A) = Im(f) = B, ou seja, (y  B)(x  A) (y = f(x)), isto é, quando qualquer 
elemento de B é imagem de algum elemento de A, segundo f. 
Notemos que uma função f: A  B não é sobrejetora quando: (yB) (xA) (y  f(x)), isto é, 
quando existe um elemento de B que não é imagem de nenhum elemento de A, segundo f. 
 
 Dizemos que f é uma função bijetiva (ou bijetora) ou uma bijeção se f é injetiva e sobrejetiva. 
 
 Exemplos: 
 a) A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} de A em B é uma função injetora, mas não sobrejetora. 
 
 A B 
 a f 1 
 b 2 
 c 3 
 d 4 
 5 
 
 
 b) A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3} 
 f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} de A em B é uma função sobrejetora, mas não injetora. 
 
 A B 
 a f 1 
 b 2 
 
 c 
 d 3 
 24 
 c) A função f:    dada pela lei f(x) = 3x + 1 é bijetora. De fato: 
1) Se x, y   e f(x) = f(y) então 3x + 1 = 3y + 1; assim 3x = 3y e obtemos x = y. 
Portanto f é injetora. 
2) Se y  , vamos mostrar que existe x   tal que y = f(x). 
Como y  , tome 
3
1

y
x
. Assim x   e 
yyxf 




 
 1
3
13)(
. 
Portanto f é sobrejetora. 
 
 d) A função f:    dada pela lei f(x) = x2 não é bijetora, pois 2  –2 e f(2) = 4 = f(–2), e não é 
sobrejetora, pois –1   e –1  Im(f) = +. 
 
 
5- Função Inversa de uma Função Bijetiva 
 
Considere a função f: A  B. Sabemos que f é uma relação de A em B com certas 
particularidades, a saber: D(f) = A e todo x  A tem imagem única f(x) em B. 
Seja f-1 a relação inversa de f. Pode ocorrer que f-1 não seja uma função de B em A, como os 
seguintes exemplos: 
 a) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} é função de A = {a, b, c, d} em B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 f-1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} não é função de B em A, pois D(f-1)  B. 
 
 b) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} é função de A = {a, b, c, d} em B = {1, 2, 3} 
 f-1 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)} não é função de B em A, pois (2, b)  f-1, (2, c)  f-1 e b  c. 
 
 O teorema seguinte estabelece a condição para que f-1 seja uma função. 
 
 Teorema 1 
 Seja f: A  B uma função. 
A relação f-1 é uma função se, e somente se, f é uma bijeção. 
Demonstração: 
() 1) Sejam x, y  A tais que f(x) = f(y). Então (x, f(x))  f e (y, f(x))  f, isto é, (f(x), x)  f-1 e 
(f(x), y)  f-1. Como f-1 é uma função temos que x = y. Portanto f é injetora. 
 2) Seja y  B. Como f-1 é uma função de B em A então existe x  A tal que (y, x)  f-1. Assim 
(x, y)  (f-1)-1 = f; logo y = f(x) e, portanto, f é sobrejetora. 
 De 1) e 2) concluímos que f é uma bijeção. 
 
() 1) Vamos mostrar que D(f-1) = B. 
 Como o conjunto de partida da relação f-1 é B temos que D(f-1)  B. 
 Seja y  B. Como f é sobrejetora, existe x  A tal que y = f(x). Assim (x, y)  f e (y, x)  f-1. 
Portanto y  D(f-1) e temos que B  D(f-1). 
 Logo, D(f-1) = B. 
 2) Vamos mostrar que dado y  D(f-1), é único o elemento x  A tal que (y, x)  f-1. 
 Suponha que existam x1, x2  A tais que (y, x1)  f-1 e (y, x2)  f-1. Assim (x1, y)  f e 
(x2, y)  f, o que implica y = f(x1) = f(x2). Como f é injetora, temos que x1 = x2. 
 De 1) e 2) concluímos que f-1 é uma função. 
 
 Exemplo: 
f:    tal que f(x) = 3x + 1 é bijetora. 
f-1 = {(y, x)  2; (x, y)  f} = {(y, x)  2; y = 3x + 1} = {(x, y)  2; x = 3y + 1} = 
=
 





 

3
1
;, 2
xyyx
. Logo, f-1:    é definida por 
3
1)(1  xxf
. 
 
 25 
 Observações: 
1) Se f é uma bijeção, f-1 é chamada função inversa de f. 
2) Se f é uma bijeção então f-1 também é uma bijeção. (Provar!) 
Sendo f-1 bijetora, a relação inversa de f-1 também é uma função. Como (f-1)-1 = f, temos que f e f-1 
são funções inversas entre si. 
 
 Exercício: 
Sejam f: A  B uma função, X  A e Y  B. 
Mostre que: 
a) f(f-1(Y))  Y 
b) f(f-1(Y)) = Y  f é sobrejetora 
c) X  f-1(f(X)) 
d) X = f-1(f(X))  f é injetora 
 
 
6- Composição de Funções 
 
Sejam A, B e C três conjuntos não vazios. Consideremos as funções f: A  B e g: B  C tais que 
o contradomínio da primeira e o domínio da segunda coincidem. 
 
 Teorema 2 
A relação composta gof = {(x, z)  A x C; yB: (x, y)  f e (y, z)  g} de A em C é uma 
função de A em C. 
Demonstração: 
Devemos mostrar que D(gof) = A e dado xD(gof), é único o elemento y  C tal que (x, y)  gof. 
1) É claro que D(gof)  A. Seja, então, xA. Como f e g são funções temos f(x) B e g(f(x))  C. 
Assim (x, f(x))  f e (f(x), g(f(x))  g, e, portanto, (x, g(f(x))  gof. Logox  D(gof) e A  D(gof). 
Portanto D(gof) = A. 
2) Seja x  D(gof). Suponha que existam y1, y2  C tais que (x, y1)  gof e (x, y2)  gof. Por ser 
gof a relação composta de g e f, existem b1, b2  B tais que (x, b1)  f, (b1, y1)  g, (x, b2)  f e 
(b2, y2)g. Como f é função e (x, b1), (x, b2)  f temos que b1 = b2. Como g é função e (b1, y1), (b1, y2) g 
temos que y1 = y2. Portanto, dado x  D(gof), é único o elemento y  C tal que (x, y)  gof. 
 
 Observações: 
1) A função gof: A  C definida por gof(x) = g(f(x)) é chamada função composta de g e f. 
(x, gof(x))  gof  yB tal que (x, y)  f e (y, gof(x))  g  y = f(x) e (f(x), gof(x))  g 
 gof(x) = g(f(x)) 
2) Esta operação, que a todo par de funções f: A  B e g: B  C associa uma determinada função 
gof: A  C, chama-se composição de funções. 
 
Exemplos: 
 a) Sejam A = {a, b, c}, B = {x, y, z} e C = {r, s, t}. Sejam as funções f: A  B e g: B  C definidas 
por f = {(a, y), (b, z), (c, y)} e g = {(x, r), (y, t), (z, r)}. 
 Então gof: A  C é definida por gof = {(a, t), (b, r), (c, t)}. 
 b) Sendo f:    tal que f(x) = 3x e g:    tal que g(x) = x2 então gof:    é definida por 
gof(x) = g(f(x)) = g(3x) = (3x)2 = 9x2 e fog:    é definida por fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = 3x2. 
 
 Propriedades da composição de funções: 
1) Sejam f: A  B e g: B  C duas funções e gof: A  C a função composta de g e f. Quaisquer 
que sejam X  A e Z  C tem-se: 
a) (gof)(X) = g(f(X)) 
b) (gof)-1(Z) = f-1(g-1(Z)) 
 26 
Demonstração: 
a) Seja z  (gof)(X). Então existe x  X tal que z = (gof)(x) = g(f(x)). Como x  X temos 
f(x)  f(X) e, assim, z = g(f(x))  g(f(X)). Logo (gof)(X)  g(f(X)). 
 Seja z  g(f(X)). Então existe y  f(X) tal que z = g(y). Como y  f(X) temos que existe x  X 
tal que y = f(x). Assim, z = g(y) = g(f(x)) = (gof)(x)  gof(X). Logo g(f(X))  gof(X). 
 Portanto (gof)(X) = g(f(X)). 
 
 b) Temos: x  (gof)-1(Z)  (gof)(x)  Z  g(f(x))  Z  f(x)  g-1(Z)  x  f-1(g-1(Z)). 
Logo (gof)-1(Z) = f-1(g-1(Z)). 
 
2) Qualquer que seja a função f: A  B, as funções compostas foiA: A  B e iBof: A  B são 
iguais à função f, isto é, foiA = f e iBof = f . 
Demonstração: 
Temos: f: A  B, iA: A  A, iB: B  B, foiA: A  B, iBof: A  B 
 (foiA)(x) = f(iA(x)) = f(x), x  A 
 (iBof)(x) = iB(f(x)) = f(x),  x  A 
 Logo, foiA = f e iBof = f. 
 
3) Quaisquer que sejam as funções f: A  B, g: B  C e h: C  D, as funções ho(gof): A  D 
e (hog)of: A  D são iguais. 
Demonstração: 
Seja x  A. Temos: 
        )()())()(())(())(()()( xofhogxfhogxfghxgofhxgofho 
. 
Logo, ho(gof) = (hog)of. 
 
4) Se as funções f: A  B e g: B  C são sobrejetoras, então a função composta gof: A  C 
também é sobrejetora. 
 Demonstração: 
 Seja z  C. Como g: B  C é sobrejetora então existe y  B tal que g(y) = z. Como y  B e 
f: A  B é sobrejetora então existe x  A tal que f(x) = y. Assim, z = g(y) = g(f(x)) = gof(x) e x  A. 
Logo gof: A  C é sobrejetora. 
 
5) Se as funções f: A  B e g: B  C são injetoras, então a função composta gof: A  C também 
é injetora. 
Demonstração: 
 Sejam x, y  A tais que gof(x) = gof(y). Então g(f(x)) = g(f(y)). Como g: B  C é injetora 
obtemos f(x) = f(y). Sendo f é injetora segue que x = y. 
 Logo gof: A  C é injetora. 
 
6) Se as funções f: A  B e g: B  C são bijetoras, então a função composta gof: A  C também 
é bijetora. 
Demonstração: 
 Segue de 4) e 5). 
 
7) Sejam f: A  B e g: B  C duas funções e gof: A  C a função composta de g e f. Então: 
a) Se gof é sobrejetora, g também é sobrejetora. 
b) Se gof é injetora, f também é injetora. 
Demonstração: 
a) Seja z  C. Como gof: A  C é sobrejetora então existe x  A tal que gof(x) = z. Assim g(f(x)) = 
z e f(x)  B. Logo g: B  C é sobrejetora. 
 
b) Sejam x, y  A tais que f(x) = f(y). Então g(f(x)) = g(f(y)), isto é, gof(x) = gof(y). Como gof é 
injetora temos x = y. Logo f: A  B é injetora. 
 27 
8) Se f: A  B é bijetora então f-1of = iA e fof-1 = iB. 
Demonstração: 
 Temos: f: A  B, f-1: B  A, f-1of: A  A, fof-1: B  B 
 (x, y)  f  (y, x)  f-1 , isto é, y = f(x)  x = f-1(y) 
Logo, f-1of(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x = iA(x), xA, e fof-1(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y = iB(y), yB. 
 Portanto, f-1of = iA e fof-1 = iB. 
 
9) Se f: A  B e g: B A são duas funções tais que gof = iA e fog = iB, então: 
a) f e g são bijetoras; 
b) f = g-1 e g = f-1. 
Demonstração: 
a) Temos: 
 iA é bijetora  gof é bijetora  g é sobrejetora e f é injetora, por 7) 
 iB é bijetora  fog é bijetora  f é sobrejetora e g é injetora, por 7) 
 Logo, f e g são bijetoras. 
 
b) Temos: 
f = foiA = fo(gog-1) = (fog)og-1 = iBog-1 = g-1; 
g = goiB = go(fof-1) = (gof)of-1 = iAof-1 = f-1 . 
 
10) Se as funções f: A  B e g: B C são bijetoras, então a função inversa de gof: A C existe e 
(gof)-1 = f-1og-1. 
Demonstração: 
Se f: A  B e g: B C são bijetoras então gof: A C é bijetora por 6); logo a função inversa de 
gof existe e temos: 
x = (gof)-1(z)  (gof)(x) = z  g(f(x)) = z  f(x) = g-1(z)  x = f-1(g-1(z))  x = f-1og-1(z) 
 Portanto, (gof)-1 = f-1og-1. 
 
 
7- Restrição e Prolongamento 
 
Sejam f: A  B e X  A, X  . A aplicação fX: X  B definida por fX(x) = f(x), xX, é 
chamada restrição de f ao subconjunto X.Considerando-se a inclusão i: X  A temos que fX = foi: X 
B. 
 
Sejam f: A  B, A’  A e B’  B. Toda aplicação g: A’  B’ tal que g(x) = f(x), xA, é 
chamada prolongamento de f ao conjunto A’. 
 
Exemplos: 
a) Seja f: *   definida por f(x) = 1/x, x*. 
 
Se X = {2, 4, 6, 8, ... } então fX = {(2, 1/2), (4, 1/4), (6, 1/6), ...} é a restrição de f ao conjunto dos 
inteiros pares maiores que zero. 
 
A função g:    dada por g(0) = 0 e g(x) = f(x), x*, é um prolongamento de f ao 
conjunto . 
 
b) Seja f: C  + dada por f(x + yi) = 22 yx  . 
Seja g:   + dada por g(x) = x. Neste caso, g = f pois f(x) = f(x + 0i) = 22 0x = 
= 2x = x = g(x), x. 
 
 28 
8- Famílias e Operações com Famílias 
 
Definições e Exemplos: 
Seja L um conjunto não vazio, cujos elementos chamaremos de índices e representaremos 
genericamente por . 
Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com índices em L é uma função 
x: L  X. O valor da função x no ponto   L será indicado com o símbolo x, em vez da notação usual 
x(). A família x é representada pela notação (x)L. 
 
 Exemplos: 
1) Seja L = {1, 2}. Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com índices 
em L é uma função x: {1, 2} X. Os valores desta função nos pontos 1 e 2 são representados por x1 e x2. 
Obtém-se, assim, um par ordenado (x1, x2) de elementos de X. Reciprocamente, todo par ordenado 
(x1, x2) de elementos de X é uma família (função) x: {1, 2} X. Resumindo, os pares ordenados de 
elementos de X são as famílias de elementos de X com índices no conjunto L = {1, 2}, ou seja, o produto 
cartesiano X2 = X x X é o conjunto das funções (famílias) x: {1, 2} X. Mais geralmente, dados os 
conjuntos X1 e X2, o produto cartesiano X1 x X2 é o conjunto das famílias x: {1, 2} X1  X2 tais que 
x1 X1 e x2  X2. 
 
2) Seja L = {1, 2, ... , n}. Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com 
índices em L é uma função x: L  X. Os valores desta função nos pontos 1, 2, ... , n são representados 
por x1, x2, ... , xn. Obtém-se, assim, uma n-upla (x1, x2, ... , xn) de elementos de X e, simbolicamente, 
x = (xi)iL = (x1, x2, ... , xn). O elemento xi é chamado a i-ésima coordenada da n-upla x = (xi)iL == (x1, x2, ... , xn). O produto cartesiano Xn = X x X x ... x X é o conjunto das funções x: {1, 2, ... , n} X. 
 
 3) Uma família com índices no conjunto  = {1, 2, 3, ... } chama-se uma seqüência. Assim, uma 
seqüência x = (xn)n = (x1, x2, ... , xn, ... ) de elementos de um conjunto X não vazio é uma função 
x:   X, onde o valor x(n) é indicado pelo símbolo xn e chama-se o n-ésimo termo da seqüência. 
 
 
Seja (A)L uma família de conjuntos com índices em L; isto quer dizer que a cada   L 
fazemos corresponder um conjunto A. 
A reunião dessa família é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos 
conjuntos A. Simbolicamente, 
 

  AxLxA
L


: ;
. 
A interseção dessa família é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a todos os 
A. Simbolicamente, 
 LAxxA
L




 , ;
. 
 
Observações: 
1) Se L = {1, 2, 3, ... , n} escreve-se 
n
n
i
i
Li
i AAAAA  ...21
1


 e 
n
n
i
i
Li
i AAAAA  ...21
1


. 
2) Se L =  = {1, 2, 3, ... } escreve-se 
......21
1
 n
n
n
Nn
n AAAAA 


 e 
 
......21
1
 n
n
n
Nn
n AAAAA 


 . 
 
Exemplo: 
Para cada n= {1, 2, 3, ... }, consideremos o conjunto An = {-n, -n + 1, ... ,-1, 0, 1, ... , n – 1, n}. 
Então 
ZA
n
n 



1
 e 
 1,0,1
1




n
nA
. 
 29 
Proposição 1 
Dada uma família (A)L de subconjuntos de um conjunto universo U, tem-se: 
 a) 

LL
ACAC










 
; 
 
 b) 

LL
ACAC










 
. 
 
 Demonstração: (exercício) 
 
 Proposição 2 
Dada uma função f: A  B, consideremos uma família (A)L de subconjuntos não vazios de A e 
uma família (B)M de subconjuntos não vazios de B. Então: 
 a) 

LL
AfAf










 )(
; c) 

MM
BfBf



 








 )(11
; 
 b) 

LL
AfAf










 )(
; d) 

MM
BfBf



 








 )(11
. 
 
 Demonstração: (exercício) 
 
 
 A noção de família permite considerar produtos cartesianos de uma quantidade arbitrária de 
conjuntos. 
 Dados os conjuntos A1, A2, ... , An, seu produto cartesiano A = A1 x A2 x ... x An = 


n
i
iA
1
 é o 
conjunto formado por todas as n-uplas a = (a1, a2, ... , an) tais que a1  A1, a2  A2, ... , an  An. Em outras 
palavras, A1 x A2 x ... x An é o conjunto de todas as funções a: {1, 2, ... , n}  A1  A2  ...  An tais 
que a(i) = ai  Ai para i = 1, 2, ... , n. 
 Quando A1 = A2 = ... = An = A, o produto cartesiano A x A x ... x A de n cópias de A é indicado 
por An. Ele consiste em todas as funções a: {1, 2, ... , n}  A, ou seja, de todas as n-uplas de elementos 
de A. 
 Dada uma família de conjuntos (A)L, seu produto cartesiano A = 

L
A


é o conjunto das 
famílias (a)L tais que, para cada   L tem-se a  A. Em outras palavras, A é o conjunto de todas as 
funções a: L  

L
A


 tais que a() = a  A para cada   L. 
 No caso particular em que todos os conjuntos A são iguais ao mesmo conjunto A, escreve-se AL 
em vez de 

L
A


. Temos que AL é o conjunto de todas as funções de L em A. 
 Destaca-se, em especial, o produto cartesiano de uma seqüência de conjuntos A1, A2, ... , An, ... , o 
qual é representado pelas notações 


 1n
n
Nn
n AA
 A1 x A2 x ... x An x ... . Os elementos deste conjunto 
são as seqüências a = (a1, a2, ... , an, ... ) sujeitas à condição de ser an  An, para todo n  N. 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
Exercícios 
 
1- Sendo A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, decida quais das relações abaixo são funções de A em B. 
a) R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} 
b) R2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 
c) R3 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 
d) R4 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)} 
 
2- Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas são as funções de A em 
B? 
 
3- Ao lado está o diagrama representativo de uma função f: A  B. Determinar: 
a) f({0, 1}) 
b) f({3, 4}) A 0 6 B 
c) f({1, 2, 5}) 1 7 
d) f(A) 2 8 
e) f-1({7, 8}) 3 
f) f-1({9, 10}) 4 10 
 5 
 9 
 
4- Seja f:    dada por f(x) = x. Determinar: f(1), f(-3), f(1 -
2
), f([-1, 1]), f((-1, 2]), f(), 
f-1([-1, 3]) e f-1(*
-
). 
 
5- Seja f:    dada por f(x) = cosx. Determinar: f([0, /2]), f([0, ]), f(), f-1({1/2}), f-1([1/2, 1]) e 
f-1(
-
). 
 
6- Quais das seguintes funções de A = {a, b, c, d} em B = {0, 1, 2, 3, 4} são injetoras? 
a) f1 = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 4)} 
b) f2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)} 
c) f3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 3), (d, 0)} 
d) f4 = {(a, 3), (b, 0), (c, 0), (d, 4)} 
 
7- Quais das seguintes funções de A = {a, b, c} em B = {0, 1} são sobrejetoras? 
a) f1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)} 
b) f2 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1)} 
c) f3 = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 
d) f4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} 
 
8- Mostrar que f:    definida por f(x) = ax + b, com a e b constantes reais, a  0, é uma bijeção. 
Obter f-1. 
9- Provar que a função f: (-1, 1)   definida pela lei 
x
x
xf


1
)(
 é bijetora. Definir sua inversa. 
 
10- Considere a aplicação f: ZxZ  ZxZ tal que f(x, y) = (2x + 3, 4y + 5). Prove que f é injetora. 
Verifique se f é bijetora. 
 
11- Sejam A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {8, 9, 0}. Seja f: A  B dada por f(1) = 4, f(2) = 5 e 
f(3) = 6. Seja g: B  C dada por g(4) = 8, g(5) = 8, g(6) = 9 e g(7) = 0. Quais são os pares ordenados de 
gof? A função gof é injetora ou sobrejetora? 
 
12- Sejam f, g, h funções reais dadas por f(x) = x – 1, g(x) = x2 + 2 e h(x) = x + 1. Determinar fog, foh, 
goh, gof, hof, hog. Verificar que (fog)oh = fo(goh). 
 31 
13- Dê exemplos de funções f:    e g:    tais que fog  gof. 
 
14- Seja Xi = [i, i + 1], onde i  Z. Determinar: 
a) X1  X2 
b) X3  X4 
c) 

18
7i
iX
 
d) 

i
iX
 
 
 
15- Considere a seguinte família de subconjuntos de : (Ai)iN, onde 







i
Ai
11 ,0
 e  = {1, 2, 3, ... }. 
Determine: 

Ni
iA

 e 

Ni
iA

. 
 
16- Considere a família de retas (Ak)k, onde 
  kxyyxAk  ;, 2
. Determine: 

k
kA
 e 

k
kA
. 
 
17- A aplicação f:    é tal que 









1 ,5
11 ,1
1 ,52
)( 2
xsex
xsex
xsex
xf . Determinar f(0), f(5/3), f(-7/2), 
f(
2
) e f(-2/5). 
 
18- Seja a função f:    dada pela seguinte lei: 







0 ,
0 ,)(
3
2
xsex
xsex
xf
. Determinar f([-1, 8]), f(
-
), 
f(+), f-1({1, 16}), f-1([-1, 16]) e f-1(*-). 
 
19- Sejam f:    e g:    as aplicações assim definidas: 






0 ,1
0 ,1)(
xsex
xsex
xf
 eg(x) = 3x – 2. Determinar as compostas fog e gof. 
 
20- Sejam as funções reais f(x) = 2x + 7 e (fog)(x) = 4x2 –2x + 3. Determinar a lei da função g. 
21- Determinar fog e gof quando f: *   - {1} é tal que 
x
x
xf 2)( 
 e g:  - {1}  * é tal que 
1
2)(


x
xg
. Que se conclui daí? 
22- Sejam f: E  F, g: E  F, h: F  G. Supondo h injetora e hog = hof, provar que g = f. 
 
23- Mostrar que a função f:   + definida por f(x) = x + x é sobrejetora. 
 
24- Dadas as funções bijetoras f e g de  em  definidas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = 2x + 5, determine a 
função inversa de gof. 
 
25- Seja f: 2   dada por f(x, y) = xy. 
a) f é injetora? Justifique. 
b) f é sobrejetora? Justifique. 
c) Obter f-1({0}). 
d) Obter f([0, 1] x [0, 1]). 
e) Obter f(A), onde A = {(x, y)  2; x = y} 
 32 
26- Considere a família de conjuntos (Ak)k, onde Ak = {(x, y)  2; x2 + y2 = k2}. Descrever os 
conjuntos 

k
kA
 e 

k
kA
. 
 
27- Seja f: A  B é uma função injetiva. Mostre que f(X  Y) = f(X)  f(Y), para quaisquer conjuntos X 
e Y contidos em A. 
 
28- Seja f: A  B é uma função injetiva. Mostre que f(X – Y) = f(X) – f(Y), para quaisquer conjuntos X 
e Y contidos em A. 
 
29- Mostre que a função f: A  B é injetiva se, e somente se, f(A – X) = f(A) – f(X) para todo X  A. 
 
30- Dada uma família de conjuntos (A)L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
a) Para todo   L, tem-se X  A; 
b) Se Y  A, para todo   L, então Y  X. 
 Prove que, nestas condições, tem-se X = 

L
A


. 
 
 
 
 
 33 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
 
Capítulo 4: Números Racionais 
 
1- Definição 
Um número racional (ou fração ordinária) é um número que pode ser colocado na forma 
b
a
, onde 
a e b são inteiros e b é diferente de zero. 
Denotamos o conjunto dos números racionais por Q. Assim, simbolicamente: 






 0 e , ; bZba
b
aQ
. 
 
Observações: 
 
1. Exigimos que b seja diferente de zero. Esta exigência é necessária, pois b é um divisor no sentido do 
algoritmo da divisão euclidiana para dois inteiros. 
 
2. Enquanto os termos número racional e fração ordinária são usados como sinônimos, a palavra fração é 
usada para designar qualquer expressão algébrica com um numerador e um denominador, como por 
exemplo: 
22
22
 ,
17
 ,
2
3
yx
yx
x 

. 
3. A definição de número racional contém as palavras “um número que pode ser colocado na forma 
b
a
, 
onde a e b são inteiros e b é diferente de zero”. Por que não dizemos simplesmente “um número da forma 
b
a
, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero”? O motivo é o seguinte: existem infinitos modos de 
descrever um dado número racional (por exemplo, 2/3 pode ser escrito como 4/6, 6/9, 2/3 ou 
3332
, etc.) e a definição de número racional não pode depender da maneira particular escolhida para 
representá-lo. Assim, por exemplo: 
1
2
3
32
3
3.4
3
12

 é um número racional. Ele não teria se 
qualificado como número racional, se a definição exigisse estar o número na forma certa desde o início. 
 
4. Todo número inteiro z é racional, pois poderá ser escrito na forma 
1
z
. 
 
2- Representações decimais finitas e infinitas 
 
Definição: Uma representação decimal (ou expressão decimal) é um símbolo da forma 
...,..., 3210 naaaaa
 onde a0  Z e a1, a2, a3, ..., an, são dígitos, isto é, números inteiros tais que 
0  ai  9, i  {1, 2, 3, ..., n, ...}. Para cada n  N, tem-se um dígito an, chamado o n-ésimo dígito da 
representação decimal . 
 
As representações decimais dos números racionais podem ser finitas, isto é, terminam, ou infinitas, ou 
seja, não terminam. Por exemplo: 
 34 
infinitas) decimais ações(represent ...454545,0
11
5
 ...;16666,0
6
1
 ...;33333,0
3
1
finitas) decimais ações(represent 0125,0
8
1
 ;4,0
5
2
 ;5,0
2
1


 
 
 
Observações: 
 
1. As representações decimais finitas ou infinitas de números racionais podem ser obtidas a partir das 
frações, dividindo-se o numerador pelo denominador. Assim, todo número racional admite uma 
representação decimal. 
 
2. A representação decimal finita (ou infinita) de um número racional é chamada fração decimal finita (ou 
infinita). 
 
 
Teorema 1 
 Um número racional, na forma irredutível 
b
a
, isto é, mdc(a, b) = 1, tem uma representação 
decimal finita se, e somente se, b não tiver outros fatores primos diferentes de 2 e de 5. 
 
Demonstração: 
() Se o número racional 
b
a
 tem uma representação decimal finita 
naaaaa ..., 3210
, onde ai  Z, 
0  ai  9 para i  {1, 2, 3, ..., n}, então obtemos: 
 
 1 ),mdc( pois ,10| 10| )....(.10 
10
...
..., 210
3210
3210  bababaaaaba
aaaaa
aaaaa
b
a nn
n
n
n
n
n
. 
Logo, os fatores primos de b só podem ser 2 ou 5, se existirem, pois os fatores primos de 10n são 2 e 5. 
 
() Agora, vamos supor que b tenha, no máximo, os fatores primos 2 e 5, ou seja, b é da forma 2m.5n, 
onde m e n são inteiros positivos ou nulos. Então, n  m ou n > m. 
Se n  m, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 
b
a
 por 5m-n: 
.0 pois Z,5. onde ,
1010
5.
5.2
5.
5.5.2
5.
5.2
 



nmac
caaaa
b
a nm
mm
nm
mm
nm
nmnm
nm
nm
 
 
Como a divisão do inteiro c por 10m requer apenas que coloquemos a vírgula no lugar correto, 
obteremos para 
b
a
 uma representação decimal finita. 
Se n > m, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 
b
a
 por 2n-m: 
. pois Z,2. onde ,
1010
2.
5.2
2.
2.5.2
2.
5.2
mnaddaaaa
b
a mn
nn
mn
nn
mn
mnnm
mn
nm
 


 
 
Assim, novamente teremos, para 
b
a
, uma representação decimal finita. 
 
Exemplos: 
Os números racionais 
2500
3149
,
200
3
,
4
1 apresentam representações decimais finitas e os números racionais 
 35 
143
195
,
44
226
,
35
4 apresentam representações decimais infinitas. 
 
 
3- Dízimas Periódicas 
 
3.1. Definição 
 
Uma representação decimal 
...,..., 3210 naaaaa
 chama-se uma dízima periódica simples, de 
período 
paaaa ...321
, quando os primeiros p dígitos após a vírgula se repetem indefinidamente na mesma 
ordem. Por exemplo: 0,777... ; 1,353535... . 
 As dízimas periódicas compostas são aquelas que depois da vírgula têm uma parte que não se 
repete, seguida por uma parte periódica. Por exemplo: 0,35172172... ; 11,4323232... . 
 Para indicar uma dízima periódica usaremos uma barra sobre a parte que se repete. Por exemplo: 
324,11 ;17235,0 ;35,1 ;7,0
. 
 
Teorema 2 
 Todo número racional 
b
a
 possui uma representação decimal finita ou uma representação decimal 
infinita periódica; reciprocamente, toda representação decimal, finita ou infinita periódica, representa um 
número racional. 
 
Demonstração: 
Dado o número racional 
b
a
, dividindo-se o numerador a pelo denominador b obtemos sua 
representação decimal, que pode ser finita ou infinita. 
Caso a representação decimal obtida seja infinita, é claro que ela possui um grupo de algarismos 
que se repetem indefinidamente, ou seja, é uma dízima periódica, tendo em vista que na divisão de a por 
b, os únicos restos possíveis serão: 1, 2, 3, ..., b-2, b-1 (o resto zero está fora decogitação, pois não 
estamos examinando números com representação decimal finita) e, portanto, podemos ter certeza de que 
haverá repetição no desenrolar da divisão. 
 
 
A recíproca trata de dois tipos de representações decimais: as finitas e as infinitas periódicas(ou 
dízimas periódicas). 
Já vimos que as representações decimais finitas representam números racionais, pois se 
naaaaa ..., 3210
 é uma representação decimal finita então 
n
naaaa
10
...210
, que é um número racional. 
Examinaremos, agora, as dízimas periódicas. 
Seja 
ts bbbaaaaa ......, 213210
 uma dízima periódica, onde a1, a2, ..., as representam os s 
algarismos consecutivos da parte não periódica e b1, b2, ... , bt representam os t algarismos do período, 
ou seja, a parte que se repete. 
Multiplicando-se , inicialmente, por 10s+t, depois por 10s, e subtraindo-se os resultados, 
obtemos: 
  ..........1010
;...,...10
;...,......10
21021210
21210
2121210
sts
sts
ts
s
tts
ts
aaaabbbaaaa
bbbaaaa
bbbbbbaaaa








 
Assim, 
sts
sts aaaabbbaaaa
1010
......... 21021210





, que está na forma “inteiro sobre inteiro não nulo”. 
Portanto  é um número racional. 
 36 
Observação: Toda dízima periódica representa um número racional, que se chama sua fração geratriz ou, 
simplesmente, sua geratriz. 
 A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o número formado pela 
parte inteira, seguida do período menos a parte inteira e cujo denominador é o número formado por tantos 
noves quantos são os algarismos do período. 
 A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o número formado pela 
parte inteira, seguida da parte não periódica, seguida do período menos a parte inteira, seguida da parte 
não periódica e cujo denominador é o número formado por tantos noves quantos são os algarismos do 
período, seguidos de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. 
 
Exemplos: 
.
99900
1433737
99900
1435143517217235,14 ;
99900
35137
99900
353517217235,0
 ;
999
2519
999
22521521,2 ;
999
521521,0








 
 
3.2. Representações decimais finitas na forma de dízimas periódicas 
 
Ficou já estabelecido que alguns números racionais têm representação decimal finita, enquanto 
que outros têm representação decimal infinita. É um fato curioso que todo número racional que possui 
representação decimal finita (exceto zero) também possua uma representação decimal infinita. Claro que 
isto pode ser feito de uma maneira óbvia, ao escrevermos 6,8 como 6,80000..., com uma infinidade de 
zeros. Mas, além deste processo óbvio de transformar uma representação decimal finita em uma infinita, 
acrescentando uma fila de zeros, existe uma outra maneira um pouco surpreendente. 
Observemos a expansão decimal de 1/3: 
....333,0
3
1

 
Se multiplicarmos ambos os membros desta igualdade por 3, obteremos um resultado de aparência 
estranha: 1 = 0,999.... (I) 
Temos uma igualdade entre números, um com representação decimal finita: 1 ou 1,0; e outro, com 
representação decimal infinita: 0,999.... 
 Demonstraremos a igualdade (I) de outra maneira. 
 
 
1 99 ...9999,0...9999,0910
...9999,09...9999,910 ...9999,0


xxxx
xx
 
 
 Dividindo-se a equação (I) por 10, 100, 1000, 10000, etc., obtém-se uma série de resultados: 
 
etc. ...,00009999,00001,0
...0009999,0001,0
...009999,001,0
...09999,01,0




 (II) 
 
 Estes resultados podem ser usados para transformar qualquer representação decimal finita em uma 
dízima e, reciprocamente, qualquer dízima, com uma infinita sucessão de noves, em uma representação 
decimal finita. Por exemplo: 
 
1,181,018...09999,018...09999,18
47,001,046,0...009999,046,0...469999,0
...809999,6...009999,08,601,08,681,6
...7579999,0...0009999,0757,0001,0757,0758,0
...429999,0...009999,042,001,042,043,0
...79999,6...09999,07,61,07,68,6






 
 37 
Observação: Decidir quantas representações decimais existem para um dado número é uma questão de 
interpretação. Pois, além de escrevermos 0,43 como 0,429999..., podemos também escrever este número 
nas formas 0,430; 0,4300; 0,43000; ... Estas, no entanto, são variações tão triviais de 0,43, que não as 
contamos como representações distintas. Quando falamos da representação decimal infinita de um 
número, como 0,43, queremos sempre dizer 0,429999... e não, 0,43000.... 
 
 
4- Enumerabilidade do conjunto dos números racionais 
 
Definições: 
 
Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção 
XNf :
. No 
segundo caso, X diz-se infinito enumerável e pondo-se 
)( , ... ),2( ),1( 21 nfxfxfx n 
, ... , tem-se 
X = {x1, x2, ... , xn, ... }. Cada bijeção 
XNf :
 chama-se uma enumeração dos elementos de X. 
 
 Dois conjuntos são equivalentes, ou seja, têm a mesma cardinalidade quando é possível 
estabelecer uma bijeção entre eles. 
 
Exemplos: 
 
1. A bijeção 
PNf :
 tal que f(n) = 2n, mostra que o conjunto P dos números naturais pares é infinito 
enumerável. 
 
2. A bijeção 
INg :
 tal que g(n) = 2n – 1, mostra que o conjunto I dos números naturais ímpares é 
infinito enumerável. 
 
3. A função 
NZh :
 definida por h(n) = 2n, se n > 0, e h(n) = -2n + 1, se n  0, é uma bijeção; logo 
ZNh  :1
 é uma enumeração de Z. 
 
4. Os conjuntos P, I , Z e N têm a mesma cardinalidade. 
 
 
Teorema 3 
 
O conjunto Q dos números racionais é enumerável , ou seja, Q e N têm a mesma cardinalidade. 
 
Demonstração: 
Para mostrar que Q é enumerável é suficiente trabalhar com o conjunto 
*
Q
dos racionais 
positivos, pois sendo este conjunto enumerável, ele poderá ser posto em bijeção com o conjunto P dos 
naturais pares através de uma bijeção
PQf *:
, enquanto o conjunto Q
-
 dos racionais não positivos 
poderá ser posto em bijeção com o conjunto I dos naturais ímpares através da bijeção
IQg :
, 
definida por g(0) = 1 e g(r) = f(-r) + 1, se r < 0onjunto Q fique em bijeção com N. 
Para estabelecer a desejada bijeção, reunimos as frações em grupos, cada grupo contendo 
aquelas que são irredutíveis e cuja soma do numerador com o denominador seja constante. Por exemplo, 
1
6
,
2
5
,
3
4
,
4
3
,
5
2
,
6
1 é o grupo das frações com numerador e denominador somando 7, enquanto 
1
7
,
3
5
,
5
3
,
7
1 é 
o grupo correspondente à soma 8. Observe que cada grupo desses tem um número finito de elementos. 
Basta então escrever todos os grupos, um após outro, na ordem crescente das somas correspondentes e 
enumerar as frações na ordem em que aparecem. É claro que todos os números racionais aparecerão 
nessa lista: 
... ,
1
5
,
5
1
,
1
4
,
2
3
,
3
2
,
4
1
,
1
3
,
3
1
,
1
2
,
2
1
,
1
1 . 
 38 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
 
Capítulo 5: Números Reais 
 
1- A reta real (o ponto de vista geométrico) 
 
Quando introduzimos coordenadas em Geometria, escolhemos uma reta para ser o eixo dos x e 
este eixo é graduado de modo que haja uma correspondência entre pontos e números. Isto é feito 
escolhendo-se dois pontos arbitrários e distintos como as posições do 0 e do 1, e a distância entre estes 
dois pontos como unidade de comprimento ou unidade.Convenciona-se escolher o ponto 1 à direita do 
ponto 0, de modo que, pontos à esquerda do ponto 0 fiquem associados a números negativos. O ponto 0 é 
chamado origem. O ponto correspondente a 7, por exemplo, fica à direita da origem e a 7 unidades desta. 
O ponto correspondente a –7 fica à esquerda da origem e a 7 unidades desta. Assim, a cada ponto fica 
associado um número, distância do ponto à origem, juntamente com um sinal “mais”, se o ponto estiver à 
direita da origem e um sinal “menos”, se estiver à esquerda. Os números racionais como – 4/3, 1/2 e 2,3 
são facilmente localizados, dada sua relação com a unidade de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
O símbolo 
2
 designa um número que, multiplicado por si mesmo, dá 2, isto é, 
22.2 
. Para 
ver o significado geométrico de 
2
, consideremos um quadrado de lado unitário 1. O Teorema de 
Pitágoras nos diz que o quadrado do comprimento de sua diagonal é 2. Portanto, representamos o 
comprimento da diagonal por 
2
 e associamos o número 
2
ao ponto da reta cuja distância à origem é 
igual ao comprimento da diagonal desse quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como cada ponto do eixo está a alguma distância da origem, fica intuitivamente claro que existe 
um número associado a cada um destes pontos. Por números reais entendemos a coleção de todos os 
números associados a todos os pontos. Todo número racional está incluído, porque existe um ponto, a 
uma distância apropriada da origem, para cada número racional. Podemos, então, dizer que os números 
racionais formam um subconjunto dos números reais. 
No entanto, existem números reais que não são racionais. O número 
2
 não é racional, como 
provaremos mais adiante. Qualquer número real, como 
2
, que não é racional, diz-se irracional. De 
acordo com esta definição, todo número real ou é racional, ou é irracional. A reta, ou eixo, com um 
número associado a cada um de seus pontos, na maneira descrita acima, é chamada reta real. Os pontos 
desta reta se dizem racionais ou irracionais conforme os números a eles associados sejam racionais ou 
irracionais. 
 39 
Observe que a definição de número irracional resume-se no seguinte: qualquer número real que 
não possa ser expresso como razão a/b de dois inteiros diz-se irracional. 
A palavra comensurável tem sido usada para descrever dois comprimentos cuja razão é um 
número racional. Duas grandezas comensuráveis são tais que uma delas pode ser “medida” por 
intermédio da outra, no seguinte sentido: Existe um inteiro k tal que, se dividirmos o primeiro segmento 
em k partes iguais, cada uma de comprimento l, o segundo segmento também poderá ser dividido em um 
número inteiro, digamos m, de partes iguais, cada uma de comprimento l. Neste caso, a razão dos 
comprimentos dos dois segmentos será 
m
k
ml
kl

, que é um número racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Porém, se os segmentos forem tais que a razão de seus comprimentos é irracional, então a 
construção acima nunca poderá ser feita. Neste caso, os segmentos dados se dizem incomensuráveis. 
 
 
2- Representações decimais 
 
Podemos separar os números reais em racionais e irracionais. 
Os números racionais são aqueles que possuem representação decimal finita ou representação 
decimal infinita periódica (dízima periódica). Como toda representação decimal finita não nula pode ser 
escrita na forma de dízima periódica com período 9 (exemplo: 
942,043,0 
), então podemos dizer que os 
números racionais não nulos são aqueles que possuem representação decimal infinita periódica. 
Os números irracionais são aqueles que não possuem representação decimal infinita periódica. 
Será que os números irracionais possuem representação decimal? 
 
Teorema 1 
Todo número real não nulo possui uma única representação decimal infinita. 
 
Demonstração: 
Seja 

um número real não nulo. 
Se 

é racional então 

possui uma representação decimal infinita periódica. 
Vamos supor

irracional e considere 
0
, pois, para números negativos, simplesmente se 
acrescenta o sinal menos. Então, obtemos a representação decimal de 

 tomando sucessivamente: 
 00 que tal0 inteiromaior o aa 
 101 , que taldígitomaior o aaa
 
 2102 , que taldígitomaior o aaaa 
e assim por diante. 
Temos: 
  00 a
 
  101 ,aa
 
  2102 , aaa
 
... 
etc ,..., 210   nn aaaa
 
 40 
Assim, obtemos uma sequência não decrescente de números racionais 
... ... 210  n
 que são valores cada vez mais aproximados do número real 

. O número 
real 

 é o limite desta sequência de números racionais. 
 
Por exemplo: 
415,314,3
12,31,3
343
2
1
0



a
a
a



 
 
Recentemente, com auxílio de algoritmos especialmente concebidos e computadores rápidos, foi 
possível determinar os primeiros 56 bilhões de dígitos de 

 (medida da circunferência quando se toma o 
diâmetro como unidade). 
 
Vamos mostrar, agora, que a representação decimal infinita de um número real não nulo é única. 
Considere dois números reais 
... ... , 210 naaaa
 e 
... ... , 210 nbbbb
 com representações 
decimais infinitas distintas. Sendo as representações diferentes, existe pelo menos um algarismo onde esta 
diferença pode ser observada, ou seja, existe 
   1, ... ,2,1,0 , e que tal... ,2,1,0  nibaban iinn
. 
Podemos supor 
nn ba 
. A sucessão infinita de algarismos após 
na
, na representação do número 

, pode 
ser qualquer uma, exceto uma infinidade de zeros, pois não estamos considerando este tipo de 
representação decimal infinita. Uma observação análoga vale para o número 

. O fato de excluirmos a 
possibilidade de uma sucessão infinita de zeros após 
na
nos garante que 
naaaa ... , 210
. Por outro lado, 
naaaa ... , 210
, pois só teremos 
naaaa ... , 210
 se 
 9 1 ... , 210  naaaa
 
 
 
Assim, 
  naaaa ... , 210
 e, segue que, 
 
, ou seja, 

 e 

 são distintos. 
 Portanto, se 

 e 

 são iguais então suas representações decimais infinitas são iguais, isto é, a 
representação decimal infinita de um número real não nulo é única. 
 
 
3- A irracionalidade de 
32 ,6 ,3 ,2 
 
 
3.1. A irracionalidade de 
2
 
 Vamos supor que 
2
seja um número racional, isto é, 
 inteiros, são e onde ,2 ba
b
a

 
1),( e ,0  bamdcb
. 
Assim obtemos: 
22
2
2
222 ba
b
a
b
a

. 
O termo 22b é um inteiro par, de modo que 2a é um inteiro par e, portanto, a é um inteiro par, 
digamos, 
ca 2
, onde c é um inteiro. 
Substituindo a por 
c2
 na equação 22 2ba  , obtemos:   222222 22422 bcbcbc  . 
O termo 22c é um inteiro par, de modo que 2b é um inteiro par e, portanto, b é um inteiro par. 
Mas isto é uma contradição, pois sendo a e b pares temos 
2),( bamdc
. 
Portanto, 
2
é irracional. 
 
 
3.2. A irracionalidade de 
3
 
 Observemos, inicialmente, que um inteiro divisível por 3 é da forma 3q, enquanto que um inteiro 
não divisível por 3 é da forma 3q +1 ou 3q +2. 
 dígito ésimonbn
 
 41 
 Então, as equações: 
   
   
    11433412923
123316913
3393
222
222
222



qqqqq
qqqqq
qqq
 
confirmam que o quadrado de um inteiro é divisível por 3 se, e somente se, o inteiro é divisível por 3. 
 Suponhamos, agora, que 
3
seja um número racional, digamos, 
b
a
3
, onde a e b são inteiros, 
1),( e ,0  bamdcb
. 
 Assim, obtemos: 
22
2
2
333 ba
b
a
b
a

.O inteiro 23b é divisível por 3, de modo que 2a é divisível por 3. Logo, a é divisível por 3, 
digamos, 
ca 3
, onde c é um inteiro. 
Substituindo a por 
c3
 na equação 22 3ba  , obtemos:   222222 33933 bcbcbc  . 
O inteiro 23c é divisível por 3, de modo que 2b é divisível por 3. Logo, b é divisível por 3. Mas 
isto é um absurdo, pois se a e b são divisíveis por 3 temos
3),( bamdc
. 
Portanto, 
3
é irracional. 
 
3.3. A irracionalidade de 
32 e 6 
 
 Vamos supor que 
6
seja um número racional, isto é, 
 inteiros, são e onde ,6 ba
b
a

 
1),( e ,0  bamdcb
. 
Assim obtemos: 
22
2
2
666 ba
b
a
b
a

. 
Mas 26b é um inteiro par, assim 2a é um inteiro par e, segue que, a é um inteiro par, digamos, 
ca 2
, onde c é um inteiro. 
Podemos, então, escrever: 
  22222222 3264626 bcbcbcba 
. 
O inteiro 22c é par; assim 23b é um inteiro par, de modo que 2b é um inteiro par. Portanto, b é par. 
Mas isto é um absurdo, pois sendo a e b pares temos
2),( bamdc
. 
Concluímos que 
6
é irracional. 
 
Suponhamos que 
32 
seja um número racional, digamos r, isto é, 
r 32 
. Elevando 
ao quadrado e simplificando, obtemos: 
 
2
56562362232
2
2222 
r
rrr
. 
Mas isto é um absurdo, pois 
2
52 r é um número racional e 6 é irracional. 
Portanto, 
32 
é irracional. 
 
 
4- A não enumerabilidade do conjunto dos números reais 
 
Vamos mostrar que o conjunto dos números reais não é enumerável, ou seja, não existe bijeção 
entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números naturais. Para isso trabalharemos com os 
números do intervalo aberto 
 1 ,0
, que tem a mesma cardinalidade da reta toda. Isto é conseqüência de 
que existe uma bijeção do intervalo 
 1 ,0
 na reta toda 
  ,
. 
 42 
Por exemplo: as funções 
  






2
,
2
1 ,0: f
 definida por 
2
)(   xxf
 e 
 





 ,
2
,
2
:
g
 definida por 
tgxxg )(
 são bijeções; logo a função 
    












22
))(()()(por dada ,1 ,0:  xtgxgxfgxgofxhgofh é uma bijeção. 
Para cada número do intervalo 
 1 ,0
 existe uma única representação decimal infinita (vide 
Teorema 1). 
Suponhamos que fosse possível estabelecer uma bijeção do intervalo 
 1 ,0
 com o conjunto dos 
números naturais. Isto é o mesmo que supor que os números desse intervalo sejam os elementos de uma 
sequência 
... , , , 321 xxx
 (enumeração de 
 1 ,0
). Escritos em suas representações decimais infinitas, esses 
números seriam, digamos, 
...
... ... ,0
...
... ... ,0
... ... ,0
... ... ,0
321
33332313
2n2322212
11312111
nnnnnn
n
n
aaaax
aaaax
aaaax
aaaax




 , onde os 
ija
são algarismos de zero a 9. 
 O último passo, que nos levará a uma contradição, consiste em produzir um número do intervalo 
 1 ,0
 que não esteja nessa lista. Isto é feito pelo chamado processo diagonal de Cantor. 
 Construímos um número que seja diferente de x1 na primeira casa decimal, diferente de x2 na 
segunda casa, diferente de x3 na terceira casa, e assim por diante; então esse número não coincidirá com 
nenhum dos números da lista. Para termos uma regra específica, seja 
... ... ,0 321 naaaax 
 esse número, 
onde 
5 se 5 e 5 se 6  iiiiii aaaa
. Como esse número x não está na lista e pertence a 
 1 ,0
, 
chegamos a um absurdo. 
 Portanto, o conjunto dos números reais não é enumerável. 
 
 
Exercícios 
 
1- Sabendo que o inteiro 
abn 
 é tal que 
abn 
é irracional, provar que 
ba 
é irracional (n, a e 
b são inteiros positivos). 
 
2- Demonstrar que 
p
é irracional, sendo p um número primo. 
 
3- Demonstrar que 
15
 é irracional. 
 
4- Dado que 

é um número irracional, provar que 


11 
 é também irracional. 
43 
 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
 
Capítulo 6: Números Irracionais 
 
 
 No decorrer deste capítulo, vamos aprender que os números reais podem ser classificados não 
apenas em racionais e irracionais, mas também em duas outras categorias. Uma categoria contem os 
chamados números algébricos, isto é, números que são soluções de equações algébricas com coeficientes 
inteiros, e uma outra contem todos os demais números, sendo estes chamados números transcendentes. 
 Alguns números algébricos são racionais e outros irracionais, mas todos os números 
transcendentes são irracionais. 
 A finalidade deste capítulo é chegar a um método sistemático que permite determinar se um dado 
número algébrico é ou não racional. 
 
 
1- Propriedades de fechamento 
 
Em contraste com os números racionais, que são fechados em relação à adição, subtração, 
multiplicação e divisão (exceto por zero), vamos mostrar que os números irracionais não possuem 
nenhuma destas propriedades. 
Inicialmente, vamos demonstrar um teorema que nos permitirá produzir uma infinidade de 
números irracionais a partir de um número irracional dado. 
 
Teorema 1 
Sejam 

um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então, a 
adição, subtração, multiplicação e divisão de r e 

 resultarão em números irracionais. Em particular, 
– 

 e 1 são irracionais. 
 
Demonstração: 
O teorema afirma que 
1
 e , , , , , ,  
 r
r
rrrr
 são irracionais. Observe que 
1
 e  
 são casos particulares de
,1 com , e ,1 com ,  rrrr 
 respectivamente. 
 Vamos supor que uma ou mais das expressões 

 r
r
rrrr e , , , , 
 fossem racionais. 
Então teríamos uma ou mais das seguintes equações: 
654321 e , , , , r
r
r
r
rrrrrrrr  
 , 
onde 
654321 , , , ,r , rrrrr
 representam números racionais. Resolvendo estas equações em 

, obteríamos: 
6
5
4
321 e . , , , ,
r
r
rr
r
r
rrrrrr  
. Os segundos membros destas equações são números 
racionais por causa das propriedades de fechamento dos números racionais. Mas nenhuma destas 
igualdades é verdadeira, pois 

 é irracional. Portanto, os números 

 r
r
rrrr e , , , , 
, e 
em particular, 1
 e  
 são irracionais. 
 
44 
 
Observação: Usando o teorema 1 podemos construir muitos números irracionais a partir de um só 
número irracional. Por exemplo, a partir de 
2
 temos que 
2
4
 ,
7
2
 ,22 ,23 ,52 ,
2
1
 ,2 
 
são irracionais. Como uma infinidade de números racionais pode ser usada em cada afirmação do teorema 
1, fica claro que podemos produzir uma infinidade de números irracionais. Além disso, qualquer um dos 
números produzidos, como por exemplo, 
52 
, pode agora ser usado como um novo número irracional 

 no teorema 1 e, assim, uma nova infinidade de números irracionais poderá ser gerada a partir deste 
número. 
 
Proposição 1 
Os números irracionais não são fechados em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão. 
 
Demonstração: 
Basta exibirmos números irracionais cuja soma, diferença, produto e quociente não sejam números 
irracionais, ou seja, sejam números racionais. 
Temos que 
2
é irracional e, assim, 
2
é irracional, pelo teorema 1. Mas a soma 
  022 
, a diferença 
022 
, o produto 
22.2 
 e o quociente 
1
2
2

 são números 
racionais.2- Equações Polinomiais e Raízes Racionais 
 
Um polinômio de grau n, onde n é um inteiro positivo, é uma expressão da forma 
n
n
n
n
n ccccxcxcxc , ... , , onde , ... 1001
1
1 


 são constantes chamadas coeficientes, com 
0nc
. 
Uma equação polinomial é uma igualdade da forma 
0 ... 01
1
1 

 cxcxcxc
n
n
n
n
. 
Uma raiz de uma equação 
0)( xf
, em x, é um número 

 que, substituindo no lugar de x, 
satisfaz a equação, isto é, 
0)( f
. 
 
Observação: Se os coeficientes da equação polinomial 
0 ... 01
1
1 

 cxcxcxc
n
n
n
n
 são racionais, ou 
seja, 
, , , ... ,
0
0
0
1
1
1 b
a
c
b
a
c
b
a
c
n
n
n 
 onde os 
sisi ba '' os e 
são inteiros, 
0 
'
sib
, então podemos multiplicar 
ambos os membros da equação pelo produto 
nbbb ... 10
 e obter, assim, uma nova equação com coeficientes 
inteiros e equivalente à primeira, no sentido de que as duas equações possuem as mesmas raízes. 
 
 
Teorema 2 
Consideremos uma equação polinomial qualquer com coeficientes inteiros: 
 
0 ... 01
1
1 

 cxcxcxc
n
n
n
n
. (1) 
Se esta equação tiver uma raiz racional 
b
a
b
a
 onde ,
 é uma fração irredutível, então a será um 
divisor de c0 e b é um divisor de cn. 
 
Demonstração: 
Sendo 
b
a
 uma raiz racional da equação (1) então, 
0 ... 01
1
1 


















 cb
a
c
b
a
c
b
a
c
n
n
n
n
. (2) 
Multiplicando ambos os membros da equação (2) por bn, obtemos: 
 
0 ... 0
1
1
1
1 


nnn
n
n
n bcabcbacac
. (3) 
45 
 
A equação (3) pode ser reescrita como: 
1
1
1
10 ... 

 
nn
n
n
n
n abcbacacbc
 ou 
 112110 ...   nnnnnn bcbacacabc
. 
Isto mostra que a é um divisor de 
nbc0
. Como 
1),( bamdc
 temos 
1),( nbamdc
; assim a é um 
divisor de c0. 
A equação (3) pode também ser reescrita como: 
 
nnn
n
n
n bcabcbacac 0
1
1
1
1 ... 


 ou 
 102111 ...   nnnnnn bcabcacbac
. 
Isto mostra que b é um divisor cnan. Como 
1),( abmdc
 temos 
1),( nabmdc
; logo b é um 
divisor de cn. 
 
 
Corolário 
Consideremos uma equação da forma 
0 ... 01
1
1 

 cxcxcx
n
n
n
 com coeficientes inteiros, 
sendo cn = 1. Se esta equação possui uma raiz racional, ela será um inteiro; além disso, esta raiz inteira 
será um divisor de c0. 
 
Demonstração: 
Sendo 
b
a
 uma raiz racional da equação, onde a e b são inteiros, b ≠ 0 e 
1),( bamdc
. 
Podemos supor que b seja um inteiro positivo, porque se b fosse negativo poderíamos absorver o 
sinal menos em a. 
De acordo com o teorema 2, b é um divisor de cn, isto é, b é um divisor de 1 e, sendo b > 0, temos 
b = 1. Assim a raiz racional 
b
a
 é da forma 
1
a
 e, portanto, é o inteiro a. 
Ainda, pelo teorema 2, temos que a é divisor de c0, o que completa a demonstração. 
 
Observação: O teorema 2 e seu corolário nos possibilita encontrar todas as raízes racionais de uma dada 
equação polinomial com coeficientes inteiros. Somos, assim, capazes de separar as raízes racionais das 
irracionais de uma equação e estabelecer a irracionalidade de um amplo conjunto de números. 
 
 
3- Estudo da irracionalidade de alguns números 
 
3.1. Demonstre que 
7
é irracional. 
 
7
é raiz da equação 
072 x
. 
 Se 
072 x
 tiver uma raiz racional 
b
a
, então esta raiz terá que ser um inteiro. Temos que 
7
não é um inteiro, pois, como 4 < 7 < 9, então 2 < 
7
< 3, e 2 e 3 são inteiros consecutivos. Logo, 
7
 não é uma raiz racional de 
072 x
. Portanto, 
7
é uma raiz irracional de 
072 x
. 
 
 Um outro caminho faz uso completo do corolário, dizendo que qualquer raiz racional de 
072 x
 é um inteiro divisor de – 7. Os únicos divisores de – 7 são 1, – 1, 7 e – 7. Mas nenhum destes é 
uma raiz de 
072 x
. Portanto, 
072 x
 não tem raiz inteira; logo não tem raiz racional, de modo que 
7
, por ser raiz de 
072 x
, é um número irracional. 
 
 
3.2. Demonstre que 
3 5
 é irracional. 
 
3 5
é uma raiz da equação 
053 x
. 
46 
 
 Se 
053 x
 tiver uma raiz racional, então esta raiz terá que ser um inteiro divisor de 5. Os 
divisores de 5 são 1, – 1, 5 e – 5. Mas nenhum destes números é uma raiz de 
053 x
. Portanto, 
053 x
 não possui raízes racionais e, assim, 
3 5
 é um número irracional. 
 
 
3.3. Demonstre que um número da forma 
n a
, onde a e n são inteiros positivos, ou é irracional ou 
é um inteiro; no segundo caso, a é uma n-ésima potência de um inteiro. 
 
n a
é uma raiz da equação 
0 axn
. 
 Se esta equação tiver uma raiz racional, então esta raiz terá que ser um inteiro. Assim, 
n a
 é 
irracional ou inteiro e, neste último caso, temos 
Zkan 
 o que implica 
nka 
. 
 
 
3.4. Demonstre que 
32 
 é um número irracional. 
Fazendo 
32 x
 temos 
32 x
. 
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: 
32222  xx
 e rearranjando os termos, 
temos: 
2212 xx 
. 
Elevando novamente ao quadrado, obtemos: 224 812 xxx  , ou seja, 0110 24  xx . 
A maneira como esta última equação foi construída mostra que 
32 
é uma de suas raízes. 
Se 
0110 24  xx
 tiver raiz racional, ela será um inteiro divisor de 1. Mas os únicos divisores 
de 1 são 1 e – 1, nenhum dos quais é uma raiz de 
0110 24  xx
. Concluímos que a equação 
0110 24  xx
 não possui raízes racionais e que 
32 
é irracional. 
 
 
Exercícios 
 
1- Exiba dois números irracionais cuja diferença seja irracional. 
 
2- Exiba dois números irracionais cujo produto seja irracional. 
 
3- Exiba dois números irracionais cujo quociente seja irracional. 
 
4- Demonstre que 
 363 
 é irracional. 
 
5- Seja 

um número irracional positivo. Demonstre que 

é irracional. 
 
6- Dado que 

 e 

 são irracionais, mas 
 
 é racional, demonstre que 
 2 e 
 são 
irracionais. 
 
7- Demonstre que 
6
3134  é irracional. 
 
8- Demonstre que 
3 6
 é irracional. 
 
9- Demonstre que 
 762
3
1 3 
 é irracional. 
 
10- Demonstre que 
23 
 é irracional. 
47 
 
11- Demonstre que 
233 
 é irracional. 
 
12- Demonstre que o teorema 2 se transforma numa proposição falsa se omitirmos as palavras “onde a/b é 
uma fração irredutível”. 
 
 
4- Números Trigonométricos e Logarítmicos 
 
4.1. Valores Irracionais das Funções Trigonométricas 
 
Usando o método das raízes racionais de uma equação polinomial com coeficientes inteiros e 
algumas identidades trigonométricas, mostraremos que, para muitos ângulos

, os valores 
correspondentes das funções trigonométricas são irracionais. 
 
 
Identidades Trigonométricas: 
 
 
 
asensenaasen
aaa
asenaasen
asena
aa
asenaa
asenbbsenabasen
senasenbbaba
3
3
2
2
22
433
cos3cos43cos
cos22
212cos
1cos22cos
cos2cos
coscos
coscoscos








 
 
 
Exemplos: 
 
1- 
o20cos
 é um número irracional. 
 
Fazendo 
oooo aaaa 20cos320cos460cos temoscos3cos43cos em 20 33 
. Se escrevermos 
ox 20cos
 e usarmos o fato de que 
2
160cos o
, obtemos: 
0168 seja,ou ,34
2
1 33  xxxx
. 
Pela construção dessa última equação, sabemos queuma de suas raízes é 
o20cos
. As únicas possíveis 
raízes racionais dessa equação são 
8
1
 e 
4
1
 ,
2
1
 ,1 
. Mas nenhum destes oito números é uma raiz da 
equação, como pode ser verificado por substituição. Concluímos, assim, que a equação 
0168 3  xx
 
não possui raízes racionais e, portanto, 
o20cos
 é um número irracional. 
 
Pode-se chegar a esta conclusão sem testar se 
8
1
 e 
4
1
 ,
2
1
 ,1 
 são raízes de 
0168 3  xx
. 
Observamos que 
o20cos
está entre 
o0cos
 e 
o30cos
, sendo o cosseno uma função decrescente para estes 
ângulos. Vemos, assim, que 
o20cos
está entre 1 e 
2
3 , isto é, entre 1 e 0,86. Segue que o20cos não pode 
ser igual a nenhuma das possíveis raízes racionais da equação 
0168 3  xx
 e, portanto, 
o20cos
 é um 
número irracional. 
 
48 
 
2- 
osen10 
 é um número irracional. 
Fazendo 
asensenaasena o 3433 em 10 
 e usando o fato de 
2
130 osen
 obtemos: 
oo sensen 10410 3
2
1 3
. Fazendo 
0168 seja,ou ,43
2
1
 : vem,10 33  xxxxsenx o
. 
Pela construção dessa equação temos que 
osen10 
é uma de suas raízes. As possíveis raízes racionais dessa 
equação são: 
8
1
 e 
4
1
 ,
2
1
 ,1 
; mas nenhum desses números é raiz de 
0168 3  xx
. Logo, essa 
equação não possui raízes racionais e, portanto, 
osen10 
é um número irracional. 
 
Uma outra solução seria usar a identidade 
asena 2212cos 
. 
Fazendo 
ooo sena 102120cos temos,10 2
. Supondo 
osen10 
 racional então 
osen 1021 2
 seria 
racional. Assim, 
o20cos
seria racional, o que é uma contradição, pois 
o20cos
é irracional. 
 
Exercícios 
 
1- Prove que os seguintes números são irracionais: 
a) 
o40cos
 b) 
osen20
 c) 
o10cos
 d) 
osen50
 
 
2- a) Demonstre a identidade: 
aaaa cos5cos20cos165cos 35 
 
 
 b) Prove que 
o12cos
é irracional. 
 
 
 
Proposição 2 
Se 

 for um ângulo tal que 
2cos
é irracional, então 
 tgsen e ,cos
 são irracionais. 
 
Demonstração: 
 
Usando a identidade 
1cos22cos 2   temos que se cos é racional então 1cos2 2  é 
racional. Mas 
1cos2 2 
 é 
2cos
, que é irracional. Logo, 
cos
é irracional. 
 
Analogamente, usando a identidade  2212cos sen , temos que sen é irracional. 
 
Finalmente, suponhamos que 
tg
 seja racional. Então, 
2tg
é racional e, segue que, 
21 tg
 é 
racional. Assim, 
 2
22
cos
1
sec1  tg
 é racional. Logo, 
2cos
 é racional e 
1cos22cos 2   
também é racional, o que é um absurdo. Portanto, 
tg
é irracional. 
 
Observação: Com repetidas aplicações da proposição que acabamos de demonstrar, podemos provar que 
uma infinidade de números trigonométricos são irracionais. Por exemplo, como 
o20cos
 é irracional, 
podemos concluir que os números abaixo também são irracionais: 
o10cos
, 
o5cos
, 
'302cos o
, 
'151cos o
, 
"30'37cos
, ... 
osen10
, 
osen5
, 
'302osen
, 
'151osen
, 
"30'37sen
, ... 
otg10
, 
otg5
, 
'302otg
, 
'151otg
, 
"30'37tg
, ... 
 
 
 
49 
 
Exercícios 
 
1- Demonstre que os seguintes números são irracionais: 
a) 
'3022 '3022 '3022cos ooo tgsen
 
b) 
ooo tgsen 35 35 35cos
 
c) 
ooo tgsen 25 25 25cos
 
 
2- Prove que se 
3sen
 for irracional, então 
sen
 será irracional. 
 
 
4.2. Valores Irracionais dos Logaritmos Decimais 
 
Exemplos: 
 
1- 
2log
 é um número irracional. 
Vamos supor que 
2log
 seja racional, ou seja, 
0 e inteiros são e onde ,2log  bba
b
a
. Podemos supor 
a e b positivos, pois 
2log
é positivo. Assim, obtemos: 
 
baab
b
b
a
b
a
b
a 25.22102102log 









. 
Esta última igualdade contraria o Teorema Fundamental da Aritmética. Portanto, 
2log
é irracional. 
 
 
2- 
21log
 é um número irracional. 
Vamos supor que 
21log
 seja racional, ou seja, 
0 e inteiros são e onde ,21log  bba
b
a
. Podemos 
supor a e b positivos, pois 
21log
é positivo. Assim, obtemos: 
 
bbaab
b
b
a
b
a
b
a 7.35.22110211021log 









. 
Esta última igualdade contraria o Teorema Fundamental da Aritmética. Portanto, 
21log
é irracional. 
 
 
3- Sejam c e d dois inteiros não negativos distintos. Demonstre que 
 dc 5.2log
 é um número 
irracional. 
 
Sendo c e d inteiros não negativos distintos, então 2c.5d é maior que 1, de modo que 
 dc 5.2log
 é positivo. 
Vamos supor que 
 dc 5.2log
 seja racional, ou seja, 
  0 e inteiros são e onde ,5.2log  bba
b
adc
. 
Podemos supor a e b positivos, pois 
 dc 5.2log
 é positivo. Assim, obtemos: 
 
    bdbcaabdc
b
b
a
dcb
a
dc
b
a 5.25.25.2105.2105.2log 









. 
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética tem-se que 
bdbcbdabca  é, isto , e 
. Sendo b ≠ 0, 
então c = d, o que é uma contradição. Portanto, 
 dc 5.2log
 é irracional. 
 
 
50 
 
Exercícios 
 
1- Demonstre que 
2
3log
 é irracional. 
 
2- Demonstre que 
15log
 é irracional. 
 
3- Demonstre que 
3log5log 
 é irracional. 
 
4- Demonstre que os inteiros 1, 2, 3, ... , 1000 podem ser divididos em três classes distintas e disjuntas: 
 
Classe A: os inteiros 1, 10, 100, 1000; 
Classe B: os inteiros da forma 2c.5d, com c e d inteiros não negativos e distintos; 
Classe C: os inteiros divisíveis por um primo ímpar p, com p diferente de 5. 
Além disso, para 
 1000, ... ,3,2,1n
, prove que: 
nlog
é racional se, e somente se, n estiver na classe A. 
 
 
5- A não enumerabilidade do conjunto dos números irracionais 
 
Teorema 3 
Dados os conjuntos 
... , , , 321 AAA
, todos eles enumeráveis, então sua união 
 ... 321
1



AAAAA
i
i
 
também é enumerável. 
 
Demonstração: 
Como os conjuntos 
... , , , 321 AAA
 são enumeráveis, vamos escrevê-los na forma: 
 ... ,, ... ,,, 11312111 naaaaA 
 
 ... ,, ... ,,, 22322212 naaaaA 
 
 ... ,, ... ,,, 33332313 naaaaA 
 (I) 
 ... 
 ... ,, ... ,,, 321 nnnnnn aaaaA 
 
 ... 
 
 Observe que podemos escrever os elementos da união A da seguinte maneira: começamos com a11, 
depois a12 e a21, depois a13, a22 e a31, etc. Isto equivale a tomar os elementos dos conjuntos Ai’s segundo as 
diagonais secundárias do quadro (I) desses conjuntos. Dito de outra maneira, A é a união dos conjuntos 
        etc ,,,, ,,, ,, , 41322314312213211211 aaaaaaaaaa
. Como todos estes conjuntos são finitos, a 
enumerabilidade de A segue em enumerar estes elementos na ordem em que aparecem. 
 
 
Teorema 4 
O conjunto dos números irracionais não é enumerável. 
 
Demonstração: 
Tem-se que 
 QRQR 
. Sabemos que Q é enumerável. Se R – Q também fosse enumerável, 
então R seria enumerável, como união de dois conjuntos enumeráveis. Portanto, R – Q, conjunto dos 
números irracionais, não é enumerável. 
 
 
 
51 
 
6- Aproximação de números irracionais por números racionais 
 
6.1. Aproximação por inteiros 
 
Se arredondarmos qualquer número real, substituindo-o pelo inteiro mais próximo, o erro 
cometido seria no máximoigual a ½. Por exemplo, se substituirmos 6,3 por 6, ou 9,7 por 10, ou 7,5 por 7 
ou 8, o erro não será, em cada caso, maior do que ½. Se substituirmos um número irracional pelo inteiro 
mais próximo, o erro será menor do que ½ e começamos a teoria das aproximações com este caso 
simples. 
 
Teorema 5 
Para cada número irracional 

, existe um único inteiro m tal que 
2
1
2
1
 m
. 
Demonstração: 
 
Seja m o inteiro mais próximo de 

, que poderá ser maior do que 

 ou menor do que 

. É claro 
que um deles estará mais próximo de 

 do que o outro, pois, caso contrário, 

 estaria bem no meio, 
entre dois inteiros consecutivos, digamos n e n + 1, e, assim, 
2
1
 n
 que é racional, contrariando a 
hipótese. 
Se o inteiro m for maior do que 

, então 
2
10  m
 e, assim, 
2
1
2
1
 m
; segue que 
2
1
2
1
 m
. 
Se o inteiro m for menor do que 

, então 
2
10  m
 e, assim, 
2
1
2
1
 m
. 
 
 Podemos dizer isso de outra maneira. Qualquer segmento AB, de comprimento unitário, marcado 
na reta real, conterá exatamente um inteiro, a não ser que A e B sejam pontos inteiros. Chamemos de A o 
ponto correspondente ao número 
2
1

 e de B, o ponto correspondente ao número 
2
1

. Como 
2
1

 e 
2
1

 não são inteiros (nem sequer racionais), então A e B não podem ser pontos inteiros. Chamando de 
m o único inteiro no segmento AB, vemos que 
2
1
2
1
  m
. Subtraindo 

, obtemos 
2
1
2
1
 m
 e, segue que 
2
1
2
1
 m
. 
O inteiro m é único, pois se existisse outro inteiro n satisfazendo 
2
1
2
1
 n
, então n 
também satisfaria 
2
1
2
1
 n
. Somando 

 vemos que n satisfaria 
2
1
2
1
  n
. Mas o 
segmento AB contem apenas um inteiro, de modo que n = m. 
 
 
Exercícios 
 
1- Sabendo-se que 
... 41421,12 
, 
... 73205,13 
, 
... 14159,3
, encontre os inteiros mais próximos 
de: 
a) 
2
 b) 
22
 c) 
23
 d) 
24
 e) 
33
 f) 
34
 g) 

 h) 
10
 i) 
3
 j) 
7
 
52 
 
2- Dado um número irracional 

 qualquer, demonstre que existe um único inteiro q tal que 
10  q
. 
 
 
6.2. Aproximação por números racionais 
 
Um modo de se obter valores aproximados de um número irracional, como 
2
, é usar a forma 
decimal 
... 41421,12 
. Os números 1; 1,4; 1,414; 1,4142; 1,41421; ... formam uma sequência de 
aproximações, cada vez mais precisas, de 
2
. Os números da sequência são todos racionais e temos, 
assim, uma sequência infinita de aproximações racionais de 
2
: 
... ,
100000
141421
 ,
10000
14142
 ,
1000
1414
 ,
100
141
 ,
10
14
 ,
1
1 . 
À medida que avançamos na sequência, estes números se aproximam cada vez mais de 
2
. Além do 
mais, podemos escrever as desigualdades: 
 
 
etc ;
100000
1414222
100000
141421
;
10000
141432
10000
14142
;
1000
14152
1000
1414
;
100
1422
100
141
;
10
152
10
14
;
1
22
1
1






 
 
Estas desigualdades mostram que uma infinidade de termos da sequência estão tão próximos de 
2
quanto se deseje especificar. Suponhamos, por exemplo, que desejamos nos certificar que existem 
infinitos números racionais diferindo de 
2
por menos de 0, 0001. Podemos obter estes números, 
escolhendo todos os termos da sequência, salvo os quatro primeiros. No entanto, os números racionais 
desta sequência apresentam uma particularidade: seus denominadores são potências de 10 e é possível 
que existam, entre os números racionais em geral, melhores aproximações de 
2
, sem qualquer restrição 
quanto a seus denominadores. 
 
 Um outro exemplo é o número irracional 
... 14159,3
 cuja sequência infinita de aproximações 
racionais é 
... ,
100000
314159
 ,
10000
31415
 ,
1000
3141
 ,
100
314
 ,
10
31
 ,
1
3 . No entanto, 142857,3
7
22

 está mais próximo de 

do que 
10
31 e mais próximo de  do que 
100
314 , mas não está mais próximo de  do que os outros termos 
subsequentes da sequencia. 
 
 Para não dependermos dos denominadores 10, 102, 103, etc., mostraremos, inicialmente, que todo 
número irracional pode ser aproximado por um número racional de denominador arbitrário. 
 
 
 
 
53 
 
Teorema 6 
Sejam 

um número irracional qualquer e n um inteiro positivo qualquer. Então existe um número 
racional de denominador n, digamos, 
n
m
, tal que 
nn
m
n 2
1
2
1
 
. 
Demonstração: 
 
Sendo 

irracional e n inteiro positivo então 
n
 é irracional. Seja m o inteiro mais próximo de 
n
 e, assim, pelo teorema 5, 
2
1
2
1
 mn
. Dividindo-se estas desigualdades pelo inteiro positivo n 
obtemos 
nn
m
n 2
1
2
1
 
. 
 
 
Exercícios 
 
1- Ache números racionais 
n
m
, como no teorema 6, para os casos em que 
 ... 41421,12 
e 
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. 
 
2- Idem para 
 ... 7320508,13 
. 
 
3- Idem para 
... 14159,3 
 . 
 
4- Quaisquer que sejam o número irracional 

 e o inteiro positivo n, demonstre que existe um inteiro m 
tal que 
nn
m
n
11
 
. 
 
5- Para um número irracional 

 fixo e um inteiro positivo n fixo, demonstre que existe somente um 
inteiro m satisfazendo as desigualdades do teorema 6. 
 
 
 
 6.3. Aproximações melhores 
 
O teorema 6 afirma que qualquer número irracional 

 pode ser aproximado por um número 
racional 
"
2
1
 de menos a" 
nn
m
, isto é, com um erro menor do que 
n2
1 . Será que esta aproximação pode ser 
feita a menos de 
nn 4
1
ou 
3
1 ou, talvez, com um erro menor ainda? A resposta é sim. Veremos que  
pode ser aproximado por 
knn
m 1
 de menos a ,
, para qualquer k inteiro positivo. Mas, enquanto que no 
teorema 6 a aproximação a menos de 
n2
1 pode ser conseguida para qualquer inteiro positivo n, a 
aproximação com erro menor do que 
kn
1 , com dado k não poderá ser obtida para todos os inteiros n (será 
obtida para algum inteiro 
kn 
). 
 
 
 
 
54 
 
Teorema 7 
Quaisquer que sejam o número irracional 

e o inteiro positivo k, existe um número racional 
n
m
, 
cujo denominador não excede k, tal que 
nkn
m
nk
11
 
. 
Demonstração: 
 
Dado um número irracional 

 e um inteiro positivo k, consideremos os k números 
 k, ... ,3 ,2 ,
 e escrevemos cada um destes números como um inteiro mais uma parte decimal: 
 
1111  
 
2222 2 2  
 
3333 3 3  
 
 ... 
kkkk kk   
 
 
Os símbolos 
k , ... , , , 321
 representam inteiros, enquanto que os símbolos 
k , ... , , , 321
 
representam números entre 0 e 1. Em seguida, dividamos o intervalo de 0 a 1 em k partes 
kIIII , ... , , , 321
, 
cada uma de comprimento 
k
1 . 
 
 
 
 
 
 
Assim, o intervalo I1 conterá os números entre 0 e 
k
1 ; I2, os números entre 
k
1 e 
k
2 ; I3, os números 
entre 
k
2 e 
k
3 , etc. A palavra “entre” está sendo usada no sentido estrito, pois cada um dos números 
k , ... , , , 321
 é irracional e não pode ser igual a qualquer um dos números racionais 
k
k
k
k
kk
 ,
1
, ... , 
2
, 
1
 ,0 
. Portanto, cada 
i
 está exatamenteem um dos intervalos 
kIIII , ... , , , 321
. 
Existem duas possibilidades quanto a I1: ou I1 contem um ou mais 
si '
 ou I1 não contem nenhum 
dos 
si '
. 
 
1º caso: O intervalo I1 contem um ou mais 
si '
. 
Logo, existe 
n
no intervalo I1, onde 
 kn ,...,3,2,1
. O número 
n
é igual a 
nn  
 e, portanto, temos 
que 
k
n n
10  
. Segue que 
k
n
k n
11
 
 e, dividindo por n, obtemos 
knnkn
n 11  
. 
Definindo m como o inteiro 
n
, então 
knn
m
kn
11
 
. 
 
2º caso: O intervalo I1 não contem nenhum dos 
si '
. 
Neste caso, os k números 
k , ... , , , 321
 estão nos (k – 1) intervalos 
kIII , ... , , 32
. Logo, terá que 
existir, pelo menos, um intervalo contendo dois ou mais 
si '
. Suponhamos que 
sr  e 
 estejam no 
55 
 
mesmo intervalo, sendo r e s números distintos dentre 1, 2, 3, ... , k. Suponhamos, ainda, que r < s, de 
modo que 
krs 0
. 
Por estarem 
sr  e 
 no interior de um intervalo de comprimento 
k
1 então 
kk rs
11
 
. Mas 
ss s  
 e 
rr r  
, de modo que 
   
k
rs
k rs
11
 
, ou seja, 
   
k
rs
k rs
11
 
. Chamando 
mnrs rs de e de  
 temos 
k
mn
k
11
 
. 
Sendo n > 0, então 
knn
m
kn
11
 
 e, como n < k, completamos a demonstração. 
 
Observação: Note que a fração 
n
m
 não é, necessariamente, irredutível. Se 
rsrs   e 
 não tiverem 
fatores comuns, 
n
m
 será irredutível; caso contrário, não. 
 
Exercício 
 
Aplique o método dado na demonstração do teorema 7 em cada um dos seguintes casos e obtenha, assim, 
valores de m e n satisfazendo as desigualdades do teorema 7. 
a) 
2 e 3  k
. 
 
b) 
4 e 2  k . 
 
c) 
6 e  k
. 
 
d) 
8 e  k
. 
 
 
6.4. Aproximações a menos de 1/n2 
 
Nosso interesse é buscar aproximações melhores para qualquer número irracional 

. Das 
aproximações de 

 por 
n
m
 com erro inferior a 
n2
1 , n qualquer, no teorema 6, passamos para 
aproximações com erro inferior a 
kn
1 , para algum kn  , no teorema 7. Vamos obter agora aproximações 
com erros menores do que 
2
1
n
. 
 
Teorema 8 
Para todo número irracional 

, existem infinitos números racionais 
n
m
, em forma irredutível, tais 
que 
22
11
nn
m
n
 
. 
 
Demonstração: 
 
56 
 
Observemos, inicialmente, que qualquer número racional 
n
m
 satisfazendo a desigualdade do 
teorema 7, automaticamente satisfará a do teorema 8, pois, como 
kn 
, então 
2
11
 e 
11
nknnk

; assim 
qualquer número que esteja entre 
knkn
1
 e 
1

 deverá estar entre 
22
1
 e 
1
nn

. 
A seguir, mostraremos que, se um número racional 
n
m
, não em forma irredutível, satisfizer as 
desigualdades do teorema 8, então o mesmo número racional, em forma irredutível, satisfará as 
desigualdades apropriadas. 
Denotemos por 
N
M a forma irredutível de 
n
m
. Podemos supor que n e N sejam positivos, 
deixando qualquer sinal negativo ser absorvido pelo numerador. Temos, então, 
N
M
n
m

, com 
nN 0
, 
pois simplificar uma fração até torná-la irredutível não altera o valor da fração, mas reduz o tamanho do 
denominador. Assim, 
22
11
 e 
11
NnNn

 e, portanto, se 

 satisfizer 
22
11
nn
m
n
 
, 
automaticamente satisfará 
22
11
NN
M
N
 
. 
 
Para completar a demonstração do teorema 8, precisamos demonstrar que existe uma infinidade de 
números racionais, em forma irredutível, satisfazendo as desigualdades. 
Suponhamos que exista apenas um número finito destas frações, digamos, 
i
i
n
m
n
m
n
m
n
m
, ... , , ,
3
3
2
2
1
1
. 
Consideremos, então, os i números 
i
i
n
m
n
m
n
m
n
m
  , ... , , ,
3
3
2
2
1
1
. Estes números são irracionais e, 
portanto, nenhum deles é zero. Alguns podem ser positivos, outros negativos; vamos escolher um inteiro 
k, tão grande, que 
k
1 esteja entre 0 e todos os números positivos e 
k
1

 esteja entre 0 e todos os números 
negativos. Logo, são falsas as desigualdades: 
 
 
kn
m
k
11
1
1  
; 
kn
m
k
11
2
12  
; ... ; 
kn
m
k i
i 11  
. (I) 
Para este valor de k, vamos aplicar o teorema 7 e obter um número racional 
n
m
 tal que 
knn
m
kn
11
 
. Mas 
kn
m
kkkn
11
 logo, ;11  
. 
Como todas as desigualdades (I) são falsas, concluímos que 
n
m
 é diferente de cada um dos i 
números 
i
i
n
m
n
m
n
m
n
m
, ... , , ,
3
3
2
2
1
1
. Portanto, obtivemos mais um número racional satisfazendo as 
desigualdades do teorema 8. 
 
 
Exemplo: Determine quatro aproximações racionais (em forma irredutível) do número 

, 
suficientemente próximas de 

 para satisfazer as desigualdades do teorema 8. 
Observemos, inicialmente, que sendo 
... 14159,3
 temos 
22 1
1
1
3
1
1
 
 e 
22 1
1
1
4
1
1
 
. 
57 
 
Para achar duas outras aproximações, podemos usar o método do teorema 6 para obter os números 
racionais mais próximos de 

, com denominadores 2, 3, etc.: 
 
,
7
22
 ,
6
19
 ,
5
16
 ,
4
13
 ,
3
9
 ,
2
6 ... (vide exercício 3 página 53) 
Rejeitamos 6/2 e 9/3 por não serem frações irredutíveis e testamos as demais para ver se satisfazem as 
desigualdades do teorema 8. 
Por exemplo, 
16
1
4
13
16
1
 
 e 
25
1
5
16
25
1
 
 são desigualdades falsas, mas 
 
36
1
6
19
36
1
 
 e 
49
1
7
22
49
1
 
 são desigualdades verdadeiras. 
Portanto, um conjunto de respostas ao problema seria 
7
22
 e 
6
19
 ,
1
4
 ,
1
3 . 
 
Observação: O número racional 22/7 é uma aproximação muito boa de 

. Não existe número racional 
com denominador entre 1 e 56 que esteja mais próximo de 

. O número 179/57 está um pouco mais 
próximo de 

 do que 22/7, mas não satisfaz as desigualdades do teorema 8. O número racional 355/113 
satisfaz as desigualdades do teorema 8 e está bem mais próximo de 

 do que 22/7, pois suas seis 
primeiras casas decimais coincidem com as de 

. 
 
 
Exercício 
 
Ache dois números racionais, não inteiros, que satisfaçam as desigualdades do teorema 8 para: 
a) 
2
. 
 
b) 
 3
. 
 
c) 
5
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
Capítulo 7: Números Transcendentes 
 
1- Definições 
 
Além da classificação dos números reais em racionais e irracionais, existe uma outra separação: 
em algébricos e transcendentes. 
Se um número real satisfizer alguma equação da forma (I) 
0 ... 01
1
1 

 cxcxcxc
n
n
n
n
, de 
grau n, com coeficientes inteiros, dizemos que ele é um número algébrico. 
Se um número real não satisfizer nenhuma equação da forma (I), dizemos que ele é um número 
transcendente. 
 
Observações: 
1- Note que todo número racional 
b
a
 satisfaza equação 
0 abx
 e, portanto, é um número algébrico. 
Concluímos que todo número transcendente. 
 
2- Esquemas: 
 









 ,2log ,2 exemplopor ntes,Transcende
7 ,2 exemplopor ,Algébricos
 sIrracionai
)algébricos são estes (todos Racionais
 Reais Números
2
3

 
 








s)irracionai são estes (todos ntesTranscende
 
sIrracionai
Racionais
 Algébricos
 Reais Números 
 
3- O teorema de Gelfond-Schneider diz que se 
 e 
 são números algébricos, 
 e 1 ,0 
irracional, então 

 é transcendente. Assim, 
2log e 2 2
 são transcendentes. 
(Se log2 fosse algébrico e, como é irracional, então 10log2 =2 seria transcendente, um absurdo; logo log2 é 
transcendente.) 
 
 
2- A existência de números transcendentes 
 
Teorema 1 
O conjunto de todos os números algébricos é enumerável. 
 
Demonstração: 
Dado um polinômio não identicamente nulo com coeficientes inteiros 
01
1
1 ... )( axaxaxaxP nnnn  
, definimos sua “altura” ou “índice” como sendo o número natural 
naaaaP nn   011 ...
. 
59 
 
 O Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que P(x) possui exatamente n raízes complexas, ou 
seja, P(x) pode ter, no máximo, n raízes reais. 
 Observe que o número de polinômios não identicamente nulos com coeficientes inteiros com uma 
dada altura é um número finito. Portanto, as raízes reais de todos os polinômios não identicamente nulos 
com coeficientes inteiros com uma dada altura formam um conjunto finito. Segue que o conjunto de todas 
as raízes reais (números algébricos) de todos os polinômios não identicamente nulos com coeficientes 
inteiros de todas as alturas forma um conjunto enumerável, pois é a união enumerável de conjuntos 
finitos. 
 
Teorema 2 
Existem números transcendentes. 
 
Demonstração: 
Sejam A o conjunto dos números algébricos e T o conjunto dos números transcendentes. Se T 
fosse o conjunto vazio então 
AATAR  
 e R seria enumerável. Mas R não é enumerável; 
portanto 
T
, ou seja, existem números transcendentes e este conjunto não é enumerável. 
 
 
3- Exemplos de números transcendentes 
 
... 1100010000,0
 , onde os “uns” ocorrem nas casas decimais 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, ... (número de 
Liouville) 
(vide demonstração em Números: Racionais e Irracionais de Ivan Niven) 
 
... 1415927,3 e ... 718281,2  e 
(vide demonstração em Números Irracionais e Transcendentes de Djairo Guedes de Figueiredo) 
 
 
 
 
 
60 
 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
Capítulo 8: O Infinito 
 
1- Cardinalidade de Conjuntos Infinitos 
 
Definições: 
 
Dois conjuntos A e B tem o mesmo número cardinal, ou seja, a mesma cardinalidade, e 
escrevemos 
)()( BcardAcard 
, se existe uma bijeção 
BAf :
. 
 
 Diremos que 
)()( BcardAcard 
, quando existir uma função injetiva 
BAf :
. 
 
 Diremos que 
)()( BcardAcard 
, quando 
)()( BcardAcard 
 e 
)()( BcardAcard 
, ou seja, 
quando existir uma função injetiva 
BAf :
, mas não existir uma função sobrejetiva 
BAf :
. 
 
 Exemplos: 
 
1- Dois conjuntos finitos tem o mesmo número cardinal se, e somente se, possuem o mesmo número de 
elementos. 
 
2- Se A é um conjunto infinito enumerável tem-se 
)()( NcardAcard 
. 
 
3- Temos que 
)()( RcardNcard 
, pois 
)()( e RcardNcardRN 
. 
 
4- Um subconjunto infinito X de um conjunto enumerável A é enumerável (Mostrar!). Logo, 
)()()( AcardNcardXcard 
. 
 
5- Todo conjunto infinito A contem um subconjunto X infinito enumerável (Mostrar!). Logo, 
)()()( AcardXcardNcard 
 e, segue que, 
)()( AcardNcard 
. 
Assim, o número cardinal de um conjunto infinito enumerável é o menor dos números cardinais dos 
conjuntos infinitos. 
 
 
2- Os diferentes tipos de infinito 
 
Os números cardinais infinitos que temos visto são 
)( e )( RcardNcard
. É natural perguntar se 
existem outros. A resposta é sim. De fato, o teorema de Cantor nos mostra que para qualquer número 
cardinal 

 existe um número cardinal que é maior que 

. 
 
 
Teorema 1 
Sejam X um conjunto qualquer não vazio, Y um conjunto contendo pelo menos dois elementos e 
F(X;Y) o conjunto de todas as funções de X em Y. 
Nenhuma função 
);(: YXFX 
 é sobrejetiva. 
 
61 
 
Demonstração: 
 
Dado 
);(: YXFX 
, indicaremos com 
x
 o valor de 
Xx ponto no 
. Assim, 
x
 é uma 
função de X em Y. 
Construiremos, agora, uma função 
XxfYXFf x  todopara , que tal);( . Isto é feito 
escolhendo, para cada
Xx 
, um elemento
Yxf )(
, diferente de 
)(xx
. Como Y contem pelo menos 
dois elementos, isto é possível. A função 
YXf :
assim obtida é tal que 
)()( xxf x
 e, portanto, 
Xxf x  todopara ,
. Logo, 
)Im(f
 e, por conseguinte, 

 não é sobrejetiva. 
 Observe que 
 );()( YXFcardXcard 
, pois a função 

 descrita abaixo é injetiva: 
 
 
2121
2
1
 , , onde , 
 se , 
 se , )( ;: 
);(:
yyYyy
xzy
xzy
zYXx
YXFX
xx 










 
 
Teorema 2 (Teorema de Cantor) 
Seja A um conjunto qualquer. 
Então 
 )()( APcardAcard 
, sendo P(A) o conjunto das partes de A. 
 
Demonstração: 
Se A é o conjunto vazio, é claro que 
 )()( APcardAcard 
. 
Seja 
A
. Considere o conjunto de dois elementos 
 1 ,0
. Vamos mostrar que existe uma bijeção 
g entre P(A) e 
  1 ,0;AF
. 
A cada 
)(APX 
, isto é, a cada subconjunto 
AX 
, associamos a função 
 1 ,0: AfX
, 
chamada função característica do conjunto X: 
XxxfXxxf XX  se 0)( e se 1)(
. 
A função 
   XfXgAFAPg  )(por definida 1 ,0;)(:
 é uma bijeção. Sua inversa associa cada 
função 
 1 ,0: Af
 o conjunto X dos pontos 
1)( que tais  xfAx
. 
Como 
 1 ,0
 tem dois elementos, segue do teorema 1 que nenhuma função 
 )1 ,0;(: AFA
 é 
sobrejetiva. Consequentemente, nenhuma função 
)(: APAh 
 é sobrejetiva, pois, se fosse, então 
 )1 ,0;(: AFAgoh  também seria sobrejetiva. 
Mas existe uma função 
)(: APAh 
 injetiva, definida por 
 xxh )(
. 
Concluímos que 
 )()( APcardAcard 
, para todo conjunto A. 
 
 
Teorema 3 (Teorema de Schroder – Bernstein) 
Dados os conjuntos A e B, se existem funções injetivas 
BAf :
 e 
ABg :
, então existe 
uma bijeção 
BAh :
, ou seja, se 
)()( BcardAcard 
 e 
)()( AcardBcard 
 então 
)()( BcardAcard 
. 
 
Ou equivalentemente, 
Sejam 
)()( e 11 XcardXcadXYX 
. Então 
)()( YcardXcard 
. 
 
Demonstração: 
Como 
 1)( XcardXcard 
, existe uma função bijetiva 
1: XXf 
. Além disso, como 
YX 
, 
a restrição de f a Y, 
1: XYfg Y 
, é injetiva; assim existe bijeção entre 
11 )Im( e XgYY 
, isto 
é, 
)()( 1YcardYcard 
, onde 
11 YXYX 
. 
Mas 
YX 1
; pelas mesmas razões temos 
)()( 21 XcardXcard 
, onde 
211 XYXYX 
. 
62 
 
Consequentemente, existem conjuntos 
... , , , e ... , , , 2121 YYYXXX
 tais que 
 iXcardXcard )(
, 
 1)( YcardYcard 
 e 
... 2211  YXYXYX
. 
Seja 
... 2211  YXYXYXB
 . 
Daí 
      BYXXYYXX  ... 111
 e 
    BYXXYY  ... 111
. 
Além disso, 
 ... )()()( 2211  YXcardYXcardYXcad
 e, assim, existem funções 
 ... ,3,2,1,0, : 11   nYXYXf nnnnn
, bijetivas, sendo 
YYXX  00 e 
. 
Considere a função 
YXh :
 definida por: 
 
  
 





 BxnXYxx
nYXxxf
xh
nn
nnn
ou , ,...3,2,1 para , se , 
,...2,1,0 para , se ,)()(
1
 
 
Temos que h é uma bijeção. Logo, 
)()( YcardXcard 
. 
 
 
Teorema 4 
  )()( RcardNPcard 
. 
 
Demonstração: 
Seja 
 axQxafQPRf  ;)(por defnida )(:
. 
Vamos mostrar que f é injetiva. 
Sejam 
babaRba  digamos, , com ,
. Existe um número racional r tal que 
bra  
. 
Então 
)( e )( afrbfr 
; assim 
)()( bfaf 
 e, desse modo, f é injetiva. 
Logo, 
   )()()( NPcardQPcardRcard 
. 
 
Como vimos na demonstração do teorema 2, existe uma bijeção entre P(N) e 
  1 ,0;NF
, ou seja, 
    1 ,0;()( NFcardNPcard 
. 
Considere a função 
    1 ,01 ,0;: NFF
 definida por 
... )3( )2( )1( 1 ,0)( ffffF 
 um 
decimal composto de zeros e uns. Se 
  1 ,0;, NFgf 
 e 
)()( então , gFfFgf 
, pois os decimais 
serão diferentes. Assim, F é injetiva e, segue que, 
      1 ,01 ,0; cardNFcard 
. 
Como 
    1 ,0;()( NFcardNPcard 
 e 
   )(1 ,0 Rcardcard 
 temos 
  )()( RcardNPcard 
. 
Portanto, 
  )()( RcardNPcard 
. 
 
 
 
Observação: 
É natural perguntar se existe um número cardinal 

 que se situe “entre” 
)(Ncard
 e 
)(Rcard
. Responder 
pela negativa constitui a Hipótese do Contínuo, que Cantor formulou pela primeira vez em 1878 e que 
tentou em vão demonstrar até o fim da vida: 
Hipótese do Contínuo: Não existe nenhum número cardinal 

 tal que 
)()( RcardNcard  
. 
Hilbert inscreveu essa conjectura como o primeiro problema da sua famosa lista de problemas em aberto 
proposta ao Congresso Internacional de Matemática de 1900. 
Foi demonstrado, pelos resultados dos trabalhos de Gödel (1938) e por Paul Cohen (1963) que a Hipótese 
do Contínuo é indecidível, ou seja, que não pode ser nem demonstrada nem refutada, usando apenas os 
axiomas habituais da teoria dos conjuntos. 
 
 
 
 
63 
 
Exercícios 
 
1- Mostre que um subconjunto infinito X, de um conjunto enumerável A, é enumerável. 
 
2- Mostre que todo conjunto infinito A contem um subconjunto X infinito enumerável. 
 
3- Mostre que o conjunto N x N é enumerável. 
 
4- Mostre que se X e Y são conjuntos enumeráveis (finitos ou infinitos), então X x Y é enumerável. 
 
5- Sejam A e B dois conjuntos. 
 Definimos: 
).().()(
disjuntos; e para ,)()()(
BcardAcardAxBcard
BABcardAcardBAcard


 
 Mostre que: 
a) 
)()()( NcardNcardNcard 
 
b) 
)().()( NcardNcardNcard 
 
 
6- a) Seja A um conjunto infinito qualquer. Mostre que 
)()()( AcardNcardAcard 
. 
 b) Mostre que a cardinalidade do conjunto I dos números irracionais é a mesma de R. 
 c) Mostre que a cardinalidade do conjunto T dos números transcendentes é a mesma de R. 
 
7- Mostre que 
)()( RcardRxRcard 
. 
	1 - Conjuntos
	2 - Relações
	3 - Funções
	4 - Números Racionais
	5 - Números Reais
	6 - Números Irracionais
	7 - Números Transcendentes
	8 - O Infinito