Atividade Extra 1 Turma Extra Resolução

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Atividade Extra 1
Curso: Turma Extra
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
2◦ Semestre de 2016 - UDESC
Nome:
% de Acerto
Instruc¸o˜es para realizac¸a˜o da Atividade
(1) Ler com muita atenc¸a˜o o enunciado da questa˜o.
(2) Escrever seu nome.
(3) Justificar todas as suas respostas com ca´lculos e argumentac¸o˜es baseados na teoria.
(4) Apresentar uma resposta clara e organizada.
Questa˜o 1 Calcule o limite lim
x→1
2x2 + x− 3
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x
PRECISEI DE UMA DICA: ( ) SIM ( ) NA˜O
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es Iniciais
Temos que,
• lim
x→1
2x2 + x− 3 = 2(1)2 + 1− 3 = 0
• lim
x→1
(
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x
)
= 3
√
lim
x→1
(x2 + 4x− 4)− 3
√
lim
x→1
(6− 5x) =
3
√
(1)2 + 4(1)− 4− 3
√
6− 5(1) = 3
√
1− 3
√
1 = 0
Portanto, o Limite lim
x→1
2x2 + x− 3
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0.
Como a expressa˜o do Limite envolve uma raiz cu´bica, se faz necessa´rio utilizar uma ‘fo´rmula’ para
elevado ao cubo, como a seguir (Esta fo´rmula foi desenvolvida em sala de aula)
a− b = ( 3√a− 3
√
b)(a2/3 + a1/3b1/3 + b2/3).
No caso do Limite em questa˜o, temos que a = x2 + 4x− 4 e b = 6− 5x.
Enta˜o, o passo inicial na soluc¸a˜o deste tipo de Limite e´ ‘multiplicar e dividir’ por
A =
[
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3].
Temos que,
lim
x→1
2x2 + x− 3
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x
multp. e dividir por A
==========
= lim
x→1
2x2 + x− 3
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x
[
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3]
[(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3] =
‘Fazer a conta’ no denominador, olhando para a fo´rmula, a fim de eliminar a raiz cu´bica
=====================================
= lim
x→1
2x2 + x− 3
(x2 + 4x− 4)− (6− 5x)
[
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3] =
= lim
x→1
[
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10
(
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3)] =
Considerac¸o˜es Intermediarias e Finais
Vamos analisar o Limite lim
x→1
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10
Temos que
• lim
x→1
2x2 + x− 3 = 2(1)2 + 1− 3 = 0 e lim
x→1
x2 + 9x− 10 = (1)2 + 9(1)− 10 = 0
Portanto, o Limite lim
x→1
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10 gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0.
Como a expressa˜o do Limite e´ o quociente de dois polinoˆmios, p(x) = 2x2 + x− 3 e q(x) = x2 + 9x− 10,
e p(1) = 0, q(1) = 0, enta˜o podemos decompor os polioˆmios em fatores, como a seguir
• p(x) = 2x2 + x− 3 = (x− 1)(2x + 3) e q(x) = x2 + 9x− 10 = (x− 1)(x + 10).
Logo,
lim
x→1
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10 = limx→1
(x− 1)(2x + 3)
(x− 1)(x + 10)
Cancelar x−1
====== lim
x→1
2x + 3
x + 10
Fazer x = 1 e finalizar as contas
==============
=
2 + 3
1 + 10
=
5
11
⇒ lim
x→1
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10 =
5
11
E mais, lim
x→1
[
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3] =
=
[
((1)2 + 4(1)− 4)2/3 + ((1)2 + 4(1)− 4)1/3(6− 5(1))1/3 + (6− 5(1))2/3] =[
(1)2/3 + (1)1/3(1)1/3 + (1)2/3
]
= 3
=
[
lim
x→1
2x2 + x− 3
x2 + 9x− 10
] [
lim
x→1
(
(x2 + 4x− 4)2/3 + (x2 + 4x− 4)1/3(6− 5x)1/3 + (6− 5x)2/3)] =
=
(
5
11
)
(3) =
15
11
Portanto, lim
x→1
2x2 + x− 3
3
√
x2 + 4x− 4− 3√6− 5x =
15
11
Sucesso!