Lista - Q2 - Prof Rodrigo Cardoso - UFRJ - limites - Resolvida

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Lista - Q2 - Prof. Rodrigo Cardoso - UFRJ - limites - Resolvida
 
2) Calcule os seguintes limites:
 
a) lim
x 4→ -
5x+ 4
x- 4
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =
5 ⋅ 4 + 4
4 - 4
( ) 20 + 4
4 - 4
24
0
 
Como apenas o denonador deu zero, o que não existe matematicamente, é preciso estudar 
o limite pela esquerda e pela direita da função de equação , quando x tende a 4 pela 
1
x- 4
esquerda;
= -∞lim
x 4→ -
5x + 4
x - 4
 
b) lim
x 1→ +
5x- 2
x- 1( )3
 
Resolução:
 
 
 
Subtituindo o limite; = =
5 ⋅ 1 - 2
1 - 1
( )
( )3
5 - 2
0( )3
3
0
 
Como apenas o denonador deu zero, o que não existe matematicamente, é preciso estudar 
o limite pela direita da função de equação , quando x tende a 1 pela direita;
1
x- 1( )3
= +∞lim
x 1→ +
5x - 2
x - 1( )3
 
 
c) lim
x 3→ +
4x - 81
x - 6x+ 9
4
2
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =
4 3 - 81
3 - 6 3 + 9
( )4
( )2 ( )
324 - 81
9 - 18 + 9
243
0
 
Como apenas o denonador deu zero, o que não existe matematicamente, é preciso estudar 
 
 
o limite pela direita da função de equação quando x tende a 3;
1
x - 6x+ 92
 
Vamos encontrar o zeros da equação do denominador: 
x - 6x + 9 = 02
 
x = x' = = = = = 3
- -6 ±
2 ⋅ 1
( ) -6 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9( )2 ( )
→
6 +
2
36 - 36 6 +
2
0 6 + 0
2
6
2
 
 x" = = = = = 3
6 -
2
36 - 36 6 -
2
0 6 - 0
2
6
2
 
Assim, podemos fatorar a equação com: x - 6x + 9 = x - 32 ( )2
 
A equação da função para análise fica; =
1
x - 6x+ 92
1
x- 3( )2
 
 
= +∞lim
x 3→ +
4x - 81
x - 6x + 9
4
2
 
 
d) lim
x 3→ +
x + 2x - 16x+ 3
x- 3
3 2
( )2
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =
3 + 2 3 - 16 3 + 3
3 - 3
( )3 ( )2 ( )
( )2
27 + 18 - 48 + 3
3 - 3( )2
0
0
 
Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, mas isso mostra que 3 é raíz da equação 
do numerador e do denominador, assim, há um fator comum que pode ser simplificado. 
Devemos fatorar a equação do numerador; Devemos fatorar a equação do numerador; 
dividindo-a pelo binômio ;x - 3 
 
 
A equação do denominador fica:
x + 2x - 16x + 3 = x + 5x - 1 x - 33 2 2 ( )
 
Assim, o limite fica:
 
= =lim
x 3→ +
x + 2x - 16x + 3
x - 3
3 2
( )2
lim
x 3→ +
x + 5x - 1 x - 3
x - 3
2 ( )
( )2
lim
x 3→ +
x + 5x - 1
x - 3
2
 
Perceba que ao substituir o limite o denominador continua resultando em zero, com isso, é 
preciso estudar o limite pela direita da função de equação quando x tende a 3;
1
x - 3
 
 
x + 2x - 16x + 33 2 x - 3
x + 5x - 12
0 + 5x - 16x + 32
0 - 5x + 15x + 02
0 - 1x + 3
1x - 3
-x + 3x + 0x + 03 2
0 + 0
= +∞lim
x 3→ +
x + 2x - 16x + 3
x - 3
3 2
( )2
 
 
e) x - xlim
x +∞→
x + 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
+∞ - +∞ = +∞ -∞ = +∞ +∞-∞( ) +∞ + 1( )2 ( ) ( ) +∞+ 1 ( )( )
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
x - x ⋅ =lim
x +∞→
x + 12
+ x
+ x
x + 12
x + 12
lim
x +∞→
x - x + x
+ x
x + 12 x + 12
x + 12
 
 
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= x ⋅ = x ⋅ = xlim
x +∞→
x + 1 - x
+ x
2
⋅ 2
1
2 2
x + 12
lim
x +∞→
x + 1 - x
+ x
2 2
x + 12
lim
 
x +∞ →
1
+ xx + 12
 
= x = x =lim
 
x +∞ →
1
x + x1 +
1
x2
lim
 
x +∞ →
1
x + 11 +
1
x2
lim
 
x +∞ →
1
+ 11 +
1
x2
 
= = = = =
1
+ 11 +
1
+∞( )2
1
+ 11 + 0
1
+ 11
1
1 + 1
1
2
 
 
f) lim
x a→ +
x - a
x- a
4 2
( )4
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =
a - a
a - a
4 2
( )4
a - a
0
4 2
( )4
a - a
0
4 2
 
Como apenas o denonador deu zero, o que não existe matematicamente, é preciso estudar 
o limite pela direita da função de equação quando x tende a a;
1
x- a( )4
 
 
= +∞lim
x a→ +
x - a
x - a
4 2
( )4
 
 
 
g) -lim
x +∞→
x + 22 x + 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
- = -+∞ + 2( )2 +∞ + 1( )2 +∞+ 2 +∞+ 1
 
- = +∞- +∞ = +∞-∞+∞ +∞ ( )
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- ⋅lim
x +∞→
x + 22 x + 12
+
+
x + 22 x + 12
x + 22 x + 12
 
 
 
= lim
x +∞→
- +
+
x + 22 x + 12 x + 22 x + 12
x + 22 x + 12
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= =lim
x +∞→
-
+
x + 22
2
x + 12
2
x + 22 x + 12
lim
x +∞→
x + 2 - x + 1
+
2
⋅ 2
1
2 2
⋅ 2
1
2
x + 22 x + 12
 
= = =lim
x +∞→
x + 2 - x + 1
+
2 2
x + 22 x + 12
lim
x +∞→
x + 2 - x - 1
+
2 2
x + 22 x + 12
lim
 
x +∞ →
1
+x + 22 x + 12
 
= = =
1
++∞ + 2( )2 +∞ + 1( )2
1
++∞+ 2 +∞+ 1
1
++∞ +∞
 
= = = 0
1
+∞+∞
1
+∞
 
 
h) -lim
x +∞→
x+ 1 x- 1
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; - = - = +∞-∞+∞+ 1 +∞- 1 +∞ +∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica de +∞-∞
racionalização de raíz cúbica para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- ⋅lim
x +∞→
x + 1 x - 1
+ ⋅ +
+ ⋅ +
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )
 
Aplicar a regra da diferença da diferença de dois cubos ao contrário :
 
 a + b . a - ab + b = a - b , com a = e b =( ) 2 2 3 3 x + 1 x - 1
 
 
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
= lim
x +∞→
-
+ ⋅ +
x + 1
3
x - 1
3
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )
 
= lim
x +∞→
x + 1 - x - 1
+ ⋅ +
( )
⋅3
1
3 ( )
⋅3
1
3
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )2
 
= lim
x +∞→
x + 1 - x - 1
+ ⋅ +
( )
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )2
 
= lim
x +∞→
x + 1 - x + 1
+ ⋅ +
)
x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )2
 
= lim
x +∞→
2
+ ⋅ +x + 1( )2 x + 1 x - 1 x - 1( )2
 
=
2
+ ⋅ ++∞+ 1( )2 +∞+ 1 +∞- 1 +∞- 1( )2
 
=
2
+ ⋅ ++∞( )2 +∞ +∞ +∞( )2
 
=
2
+∞ ⋅+∞++∞ +∞
 
= = = 0
2
+∞+∞+∞
2
+∞
 
 
i) lim
x -∞→
1000x
x - 12
 
Resolução:
 
 
 
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
Subtituindo o limite; = =
1000-∞
-∞ - 1( )2
-∞
+∞- 1
-∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação rescrevemos a integral como:
-∞
+∞
 
= = = = = 0lim
x -∞→
x 1000
x 1 -
2 1
x
2 1
x2
lim
x -∞→
1000
1 -
1
x
1
x2
1000
1 -
1
-∞
1
-∞( )2
0
1 - 0
0
1
 
 
j) -lim
x +∞→
5x - x
x - x
2
2
3x - 4
x - x
3
3
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; - = -
5 +∞ - +∞
+∞ - +∞
( )2 ( )
( )2 ( )
3 +∞ - 4
+∞ - +∞
( )3
( )3 ( )
+∞-∞
+∞-∞
+∞
+∞-∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação rescrevemos a integral como:+∞-∞
 
- = - = -lim
x +∞→
x 5 -
x 1 -
2 1
x
2 1
x
x 3 -
x 1 -
3 4
x3
3 1
x2
lim
x +∞→
5 -
1 -
1
x
1
x
3 -
1 -
4
x3
1
x2
5 -
1 -
1
+∞
1
+∞
3 -
1 -
4
+∞( )3
1
+∞( )2
 
= - = - = 5 - 3 = 2
5 - 0
1 - 0
3 - 0
1 - 0
5
1
3
1
 
 
k) -lim
x -∞→
x
3x - 4
3
2
x
3x+ 2
2
 
Resolução:
Subtituindo o limite; - = - = -
+∞
3 +∞ - 4
( )3
( )2
+∞
3 +∞ + 2
( )2
( )
+∞
+∞- 4
+∞
+∞+ 2
+∞
+∞
+∞
+∞
 
 
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos fatorar a expressão 
+∞
+∞
:3x - 42
 
3x - 4 = x + 2 x - 22 3 3
 
Assim, o limite fica:
 
-lim
x -∞→
x
x + 2 x - 2
3
3 3
x
3x + 2
2
 
Fazendo o mmc dos denominadores para subtrauir as 2 expressões:
 
- =lim
x -∞→
x
x + 2 x - 2
3
3 3
x
3x + 2
2
lim
x -∞→
x 3x + 2 - x x + 2 x - 2
x + 2 x - 2 3x + 2
3( ) 2 3 3
3 3 ( )
 
Distribuindo x e Aplicando a regra da diferença de quadrados : a + b a - b = a - b3 ( )( ) 2 2
 
= =lim
x -∞→
3x + 2x - x 3x - 4
x + 2 x - 2 3x + 2
4 3 2 2
3 3 ( )
lim
x -∞→
3x + 2x - 3x + 4x
x + 2 x - 2 3x + 2
4 3 4 2
3 3 ( )
 
= =lim
 
x -∞ →
2x + 4x
3x + 2 x + 2 x - 2
3 2
( ) 3 3
lim
 
x -∞ →
x 2 +
x 3 + x + x -
3 4
x
2
x
3
2
x
3
2
x
 
= =lim
 
x -∞ →
x + 2
x + 3 + - +
3 4
x
3 2
x
2
x
3
2
x
3
lim
 
x -∞ →
+ 2
+ 3 + - +
4
x
2
x
2
x
3
2
x
3
 
= = =
+ 2
+ 3 + - +
4
-∞
2-∞
2
-∞
3
2
-∞
3
0 + 2
0 + 3 0 + 0 +
( )
( ) 3 3
2
3( ) 3 3
 
 
 
= = =
2
3( ) 3
2
2
3 ⋅ 3
2
9
 
 
l) lim
x +∞→
x-
x -
x + 12
2 x + 14
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite;
= =
+∞-
+∞ -
+∞ + 1( )2
( )2 +∞ + 1( )4
+∞-
+∞-
+∞+ 1
+∞+ 1
+∞-
+∞-
+∞
+∞
 
=
+∞-∞
+∞-∞
 
 é uma indeterminação, para tentar retirar a indeterminção, vamos reescrever o +∞-∞
limite como:
-lim
x +∞→
x
x -2 x + 14
lim
x +∞→ x -
x + 12
2 x + 14
 
Vamos resolver cada limite separadamente;
 
1 - lim
x +∞→
x
x -2 x + 14
 
como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do conjugado para simplificar a 
expressão;
 
⋅ =lim
x +∞→
x
x -2 x + 14
x +
x +
2 x + 14
2 x + 14
lim
x +∞→
x ⋅ x +
x - x +
2 x + 14
2 x + 14 2 x + 14
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
 
 
= =lim
x +∞→
x + x
x -
3 x + 14
2
2
x + 14
2
lim
x +∞→
x + x
x - x + 1
3 x + 14
4 4
1
2
2
lim
x +∞→
x + x
x - x + 1
3 x + 14
4 4
 
= = = - x + xlim
x +∞→
x + x
x - x - 1
3 x + 14
4 4
lim
x +∞→
x + x
-1
3 x + 14
lim
x +∞→
3 x + 14
 
= - +∞ + +∞ = - +∞+∞ ⋅ = - +∞+∞ ⋅( )3 ( ) +∞ + 1( )4 +∞+ 1 +∞
 
= - +∞+∞ = - +∞ = -∞( ) ( )
 
2 - lim
x +∞→ x -
x + 12
2 x + 14
 
como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do conjugado para simplificar a 
expressão;
 
⋅ =lim
x +∞→ x -
x + 12
2 x + 14
x +
x +
2 x + 14
2 x + 14
lim
x +∞→
x +
x - x +
x + 12 2 x + 14
2 x + 14 2 x + 14
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= =lim
x +∞→
x +
x -
x + 12 2 x + 14
2 2 x + 14
2
lim
x +∞→
x +
x - x + 1
x + 12 2 x + 14
4 4
⋅ 2
1
2
 
= =lim
x +∞→
x +
x - x + 1
x + 12 2 x + 14
4 4
lim
x +∞→
x +
x - x + 1
x + 12 2 x + 14
4 4
 
= =lim
x +∞→
x +
x - x - 1
x + 12 2 x + 14
4 4
lim
x +∞→
x +
-1
x + 12 2 x + 14
 
= - x + = - +∞ +lim
x +∞→
x + 12 2 x + 14 +∞ + 1( )2 ( )2 +∞ + 1( )4
 
 
 
= - +∞+ = - +∞ ⋅ +∞++∞+ 1 +∞+ 1 +∞
 
= - +∞ ⋅ +∞+∞ = - +∞ ⋅ +∞ = - +∞ = -∞( ( )) ( ( )) ( )
 
O limite fica:
 
= - = -∞- -∞lim
x +∞→
x -
x -
x + 12
2 x + 14
lim
x +∞→
x
x -2 x + 14
lim
x +∞→ x -
x + 12
2 x + 14
( )
 
= -∞+∞
 
Com essa indeterminação, concluímos que o limite não existe.
 
m) lim
x +∞→
x
x+ x+ x
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite;
= =
+∞
+∞+ +∞+ +∞
+∞
+∞+ +∞+∞
+∞
+∞+ +∞
 
= = =
+∞
+∞+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" essa indeterminação é necessário uma serie de 
+∞
+∞
modificação na integral:
 
= =lim
x +∞→
x
x + x +
x
x
2
lim
x +∞→
x
x + x + x
1
x
lim
x +∞→
x
x + x +2
1
x
1
x
1
x
 
 
 
= = =lim
x +∞→
x
x + x +
1
x
1
x
1
x
lim
x +∞→
x
x 1 + +
1
x
1
x
1
x
lim
x +∞→
⋅
x
x 1 + +
1
x
1
x
1
x
 
= = =lim
x +∞→
1
1 + +
1
x
1
x
1
x
1
1 + +
1
+∞
1
+∞
1
+∞
1
1 + 0 + 0 0
 
= = = = 1
1
1 + 0
1
1
1
1
 
 
n) -lim
x +∞→
x + 4x2 x + 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite;
 
- = - = -+∞ + 4 +∞( )2 ( ) +∞ + 1( )2 +∞+∞ +∞+ 1 +∞+∞ +∞+ 1
 
= - = +∞- +∞ = +∞-∞+∞ +∞ ( )
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica de +∞-∞
racionalização de raíz cúbica para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
o)o)o)o)
- ⋅lim
x +∞→
x + 4x2 x + 12
+
+
x + 4x2 x + 12
x + 4x2 x + 12
 
= lim
x +∞→
- +
+
x + 4x2 x + 12 x + 4x2 x + 12
x + 4x2 x + 12
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
 
 
= =lim
x +∞→
-
+
x + 4x2
2
x + 12
2
x + 4x2 x + 12
lim
x +∞→
x + 4x - x + 1
+
2
⋅ 2
1
2 2
⋅ 2
1
2
x + 4x2 x + 12
 
= = =lim
x +∞→
x + 4x - x + 1
+
2 2
x + 4x2 x + 12
lim
x +∞→
x + 4x - x + 1
+
2 2
x + 4x2 x + 12
lim
x +∞→
x + 4x - x - 1
+
2 2
x + 4x2 x + 12
 
= =lim
 
x +∞ →
4x - 1
+x + 4x2 x + 12
lim
 
x +∞ →
x ⋅ 4 -
+
1
x
x 1 +2
4
x
x 1 +2
1
x2
 
= =lim
 
x +∞ →
x ⋅ 4 -
x + x
1
x
1 +
4
x
1 +
1
x2
lim
 
x +∞ →
x ⋅ 4 -
x ⋅ +
1
x
1 +
4
x
1 +
1
x2
 
= = =lim
 
x +∞ →
4 -
+
1
x
1 +
4
x
1 +
1
x2
4 -
+
1
+∞ 
1 +
4
+∞ 
1 +
1
+∞( )2
4 - 0
+1 + 0 1 + 0
 
= = = = 2
4
+1 1
4
1 + 1
4
2
 
 
o) lim
x +∞→
x
x + 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = = =
+∞
+∞ + 1( )2
+∞
+∞+ 1
+∞
+∞
+∞
+∞
 
 
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos reescrever a integral:
+∞
+∞
 
= = = =lim
x +∞→
x
x 1 +2
1
x2
lim
x +∞→
x
x ⋅ 1 +
1
x2
lim
x +∞→
1
1 +
1
x2
1
1 +
1
+∞( )2
1
1 + 0
 
= = = 1
1
1
1
1
 
 
p) - xlim
x +∞→
x + x2
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; - +∞ = -∞ = -∞ = +∞-∞+∞ +∞( )2 ( ) ∞+∞ +∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- x ⋅ =lim
x +∞→
x + x2
+ x
+ x
x + x2
x + x2
lim
x +∞→
- x + x
+ x
x + x2 x + x2
x + x2
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= = =lim
x +∞→
- x
+ x
x + x2
2
2
x + x2
lim
x +∞→
x + x - x
+ x
2
⋅ 2
1
2 2
x + x2
lim
x +∞→
x + x - x
+ x
2 2
x + x2
 
= = =lim
x +∞→
x
+ xx + x2
lim
x +∞→
x
x + x1 +
1
x
lim
x +∞→
x
x ⋅ + 11 +
1
x
 
= = = = = =lim
x +∞→
1
+ 11 +
1
x
1
+ 11 +
1
+∞
1
+ 11 + 0
1
+ 11
1
1 + 1
1
2
 
 
 
 
q) lim
x +∞→ x+ 1
x + 12
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = =
+∞+ 1
+∞ + 1( )2
+∞+ 1
+∞+ 1
+∞
+∞ +∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos reescrever a integral:
+∞
+∞
 
= = =lim
x +∞→
x 1 +
x 1 +2
1
x2
1
x
lim
x +∞→
±x ⋅
x 1 +
1 +
1
x2
1
x
lim
x +∞→
±
1 +
1 +
1
x2
1
x
±
1 +
1 +
1
+∞( )2
1
+∞
 
= ± = ± = ± 1
1 + 0
1 + 0
( ) 1
1
 
Para saber qual valor da função quando x tende a vamos analisar seu gráfico:+∞
 
 
 
= 1lim
x +∞→ x + 1
x + 12
 
 
r) lim
x -∞→ x+ 1
x + 12
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = =
+∞+ 1
+∞ + 1( )2
+∞+ 1
+∞+ 1
-∞
+∞ +∞
-∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos reescrever a integral:
+∞
-∞
 
lim
x -∞→
x 1 +
x 1 +2
1
x2
1
x
 
 
 
Observe que quando x -∞, = - x→ x2
 
= = =lim
x +∞→
-x ⋅
x 1 +
1 +
1
x2
1
x
lim
x -∞→
-
1 +
1 +
1
x2
1
x
-
1 +
1 +
1
-∞( )2
1
-∞
 
= - = - = - 1
1 + 0
1 + 0
( ) 1
1
 
 
s) -lim
x +∞→
x + 12 x - 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
- = - = - = +∞- +∞+∞ + 1( )2 +∞ - 1( )2 +∞+ 1 +∞- 1 +∞ +∞ ( )
 
= +∞-∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- ⋅lim
x +∞→
x + 12 x - 12
+
+
x + 12 x - 12
x + 12 x - 12
 
= lim
x +∞→
- +
+
x + 12 x - 12 x + 12 x - 12
x + 12 x - 12
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= =lim
x +∞→
-
+
x + 12
2
x - 12
2
x + 12 x - 12
lim
x +∞→
x + 1 - x - 1
+
2
⋅ 2
1
2 2
⋅ 2
1
2
x + 12 x - 12
 
 
 
= =lim
x +∞→
x + 1 - x - 1
+
2 2
x + 12 x - 12
lim
x +∞→
x + 1 - x + 1
+
2 2
x + 12 x - 12
 
= = =lim
x +∞→
x - x + 1 + 1
+
2 2
x + 12 x - 12
lim
x +∞→
2
+x + 12 x - 12
2
++∞ + 1( )2 +∞ - 1( )2
 
= = =
2
++∞+ 1 +∞- 1
2
++∞ +∞
2
+∞+∞
 
= = 0
2
+∞
 
 
t) -lim
x -∞→
x + 12 x - 12
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
- = - = - = +∞- +∞-∞ + 1( )2 -∞ - 1( )2 +∞+ 1 +∞- 1 +∞ +∞ ( )
 
= +∞-∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- ⋅lim
x -∞→
x + 12 x - 12
+
+
x + 12 x - 12
x + 12 x - 12
 
= lim
x -∞→
- +
+
x + 12 x - 12 x + 12 x - 12
x + 12 x - 12
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
 
 
= =lim
x -∞→
-
+
x + 12
2
x - 12
2
x + 12 x - 12
lim
x -∞→
x + 1 - x - 1
+
2
⋅ 2
1
2 2
⋅ 2
1
2
x + 12 x - 12
 
= =lim
x -∞→
x + 1 - x - 1
+
2 2
x + 12 x - 12
lim
x -∞→
x + 1 - x + 1
+
2 2
x + 12 x - 12
 
= = =lim
x -∞→
x - x + 1 + 1
+
2 2x + 12 x - 12
lim
x -∞→
2
+x + 12 x - 12
2
+-∞ + 1( )2 -∞ - 1( )2
 
= = =
2
++∞+ 1 +∞- 1
2
++∞ +∞
2
+∞+∞
 
= = 0
2
+∞
 
 
Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas