Calculo I - professor BETO ROBER

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CalculoI
Beto Rober Bautista Saavedra
03-08-2009
”Ama e faz o que quiseres. Se calares, ca-
lara´s com amor; se gritares gritara´s com
amor; se corrigires, corrigira´s com amor; se
perdoares, perdoara´s com amor. Se teveres o
amor enraizado em ti, nenhuma coisa sena˜o
o amor sera˜o os teus frutos ”
(Santo Agostinho)
1
”Por mais esforc¸o que fac¸a para ser dida´tico, quem tem
que aprender e´ voc¸eˆ, e isto demanda trabalho individual,
que inclui:
• Dedicac¸a˜o diaria fora da sala de aula, nem que
seja de pouca durac¸a˜o , resolvendo exerc´ıcios e
lendo a mate´ria dada e, se poss´ıvel, se na˜o for
sonhar demais, a que sera´ dada.
• Atenc¸a˜o em sala de aula, procurando absorver ao
ma´ximo o ensinamento do seu professor. Deixe o
mı´nimo de du´vidas para depois.”
2
.
1. Noc¸o˜es de Lo´gica
.
• Proposic¸a˜o .
• Negac¸a˜o .
• Proposic¸a˜o Composta - Conectivos.
• Condicionais.
• Sentenc¸as Abertas, Quantificadores.
• Como negar proposic¸o˜es .
• Proposic¸o˜es .
.
1.1 Definic¸a˜o .
Chama-se proposic¸a˜o ou sentenc¸a toda orac¸a˜o declarativa que pode ser classificada
de verdadeira ou de falsa.
.
.
1.2 Exerc´ıcio.
Determinar quais das expresso˜es seguintes sa˜o proposic¸o˜es .
1. 9 6= 5
2. 7 > 3
3. 2 ∈ Q
4. 2 + 5− 3
5.
√
2 ∈ Q?
.
3
• Negac¸a˜o .
.
1.3 Definic¸a˜o .
A partir de uma proposic¸a˜o p qualquer sempre podemos construir outra, denomi-
nada negac¸a˜o de p e indicada com o s´ımbolo ∼ p.
A proposic¸a˜o ∼ p tem sempre o valor oposto de p, isto e´, ∼ p e´ verdadeira
quando p e´ falsa e ∼ p e´ falsa quando p e´ verdadeira. Este criterio esta´
resumido na seguinte tabela.
p ∼ p
V F
F V
.
.
1.4 Exerc´ıcio.
Qual e´ a negac¸a˜o de cada uma das seguintes proposic¸o˜es ? Que´ negac¸o˜es sa˜o verda-
deiras ?
1. 3× 7 = 21
2. 5× 7− 2 ≤ 5× 6
3. (1
2
)7 < (1
2
)3
4. −(−4) ≥ 7
5. 3 divide 7.
.
4
• Proposic¸a˜o Composta - Conectivos
.
1.5 Definic¸a˜o .
A partir de proposic¸o˜es dadas podemos construir novas proposic¸o˜es mediante o em-
prego de dois simbolos lo´gicos chamados conectivos: conectivo da conjunc¸a˜o ∧ (leˆ-
se: e) e o conectivo disjunc¸a˜o ∨ (leˆ-se: ou ).Esses conectivos sa˜o definidos mediante
a seguinte tabela.
p q p ∧ q p ∨ q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
.
.
1.6 Exerc´ıcio.
Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposic¸o˜es compostas:
1. 3 > 1 e 4 > 2.
2. 3 > 1 ou 3 = 1.
3. 1
2
< 3
4
ou 5 divide 11.
4.
√
16 = 6 ou MCD(4,7) = 2.
.
5
.
1.7 Definic¸a˜o .
Ainda a partir de proposic¸o˜es dadas podemos construir novas proposic¸o˜es mediante
o emprego de dois simbolos lo´gicos chamados condicionais: o condicional se . . . enta˜o
. . . (⇒) e o condicional ... se e somente se ... (⇔) .Esses condicionais sa˜o definidos
mediante a seguinte tabela.
p q p ⇒ q p ⇔ q
V V V V
V F F F
F V V F
F F V V
.
.
1.8 Exerc´ıcios.
• Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es abaixo:
1. 2− 1 = 1 ⇒ 5 + 7 = 3× 4.
2. 22 = 4 ⇔ (−2)2 = 4
3. 3
5
< 2
7
⇒ 3× 7 = 2× 5
4. Eu sou brasileiro se e somente se meu pai e´ brasileiro
5. Eu sou pernambucano se e somente se sou brasileiro
• Admitindo que p e q sa˜o verdadeiras e r e´ falsa, determine o valor (V ou F)
de cada proposic¸a˜o abaixo.
1. (p ∨ r) ⇔ q
2. p ⇒ (q ⇒ r)
3. ∼ p ⇔∼ q
.
6
• Sentenc¸as Abertas, Quantificadores
.
1.9 Definic¸a˜o .
Sentenc¸as que conte´m varia´veis sa˜o chamadas func¸o˜es Proposicionais ou Sentenc¸as
Abertas. Tais sentenc¸as na˜o sa˜o proposic¸o˜es pois seu valor lo´gico (V ou F) e´ dis-
cut´ıvel, dependem do valor dado a´s varia´veis.
Ha´, entretanto, duas maneiras de transformar sentenc¸as em proposic¸o˜es :
1a atribuir valor a`s varia´veis
2a utilizar quantificadores.
.
.
1.10 Exemplos.
1. A sentenc¸a aberta x + 1 = 7 e´ verdadeira se trocarmos x por 6 e e´ falsa
para qualquer outro valor dado a x;
2. A sentenc¸a aberta x > 2 e´ verdadeira se trocarmos x por nu´meros maiores
que 2 e e´ falsa para qualquer outro valor dado a x.
3. A sentenc¸a aberta x3 = 2x2 e´ verdadeira se trocarmos x por 0 ou 2 e e´
falsa para qualquer outro valor dado a x.
.
.
1.11 Definic¸a˜o (quantificador universal).
O quantificador universal, usado para transformar sentenc¸as abertas em proposi-
c¸o˜es , e´ indicado pelo s´ımbolo ∀ que se leˆ: qualquer que seja , para todo, para
cada.
.
7
.
1.12 Exemplos.
1. (∀x)( x + 1 = 7) que se leˆ: qualquer que seja o nu´mero x, temos x + 1 = 7.
2. (∀x)(x > 2) que se leˆ: para todo nu´mero x, x > 2.
3. (∀x)(x3 = 2x2) que se leˆ: para cada nu´mero x, temos (x3 = 2x2).
4. (∀y)(y2 + 1 > 0) que se leˆ: para cada nu´mero y, temos (y2 + 1 > 0).
.
.
1.13 Definic¸a˜o (quantificador existencial).
O quantificador existencial, usado para transformar sentenc¸as abertas em proposi-
c¸o˜es , e´ indicado pelo s´ımbolo ∃ que se leˆ: existe, existe pelo menos um, existe
um.
.
.
1.14 Exemplos.
1. (∃x)( x + 1 = 7) que se leˆ: existe um nu´mero x, tal que x + 1 = 7.
2. (∃x)(x > 2) que se leˆ: existe um nu´mero x, tal que x > 2.
3. (∃x)(x3 = 2x2) que se leˆ: existe um nu´mero x, tal que (x3 = 2x2).
4. (∃x)(y2 + 1 > 0) que se leˆ: existe um nu´mero y, tal que (y2 + 1 > 0).
.
8
.
1.15 Exerc´ıcio.
Transforme as seguintes sentenc¸as abertas em proposic¸o˜es verdadeiras usando quan-
tificadores:
1. x2 − 5x + 4 = 0
2. y
3
+ y
4
6= y
7
3. −(−x) = x
4. 5a + 4 ≤ 11
5. a
2−a
a
= a− 1
.
• Como negar proposic¸o˜es
.
1.16 Negac¸a˜o de uma conjunc¸a˜o .
A negac¸a˜o de p ∧ q e´ a proposic¸a˜o ∼ p∨ ∼ q. Por exemplo:
1. p: a 6= 0
q: b 6= 0
p ∧ q : a 6= 0 e b 6= 0.
∼ (p ∧ q) : a = 0 ou b = 0.
2. p: 2 divide a 4.
q: 3 na˜o divide 5.
p ∧ q : 2 divide 4 e 3 na˜o divide 5.
∼ (p ∧ q) : 2 na˜o divide 4 ou 3 divide 5.
.
9
.
1.17 Negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o .
A negac¸a˜o de p ∨ q e´ a proposic¸a˜o ∼ p∧ ∼ q. Por exemplo:
1. p: a 6= 0
q: b 6= 0
p ∨ q : a 6= 0 ou b 6= 0.
∼ (p ∨ q) : a = 0 e b = 0.
2. p: 2 divide a 4.
q: 3 na˜o divide 5.
p ∨ q : 2 divide 4 ou 3 na˜o divide 5.
∼ (p ∨ q) : 2 na˜o divide 4 e 3 divide 5.
.
.
1.18 Negac¸a˜o de um condicional simples.
A negac¸a˜o de p ⇒ q e´ a proposic¸a˜o p∧ ∼ q. Por exemplo:
1. p: 2 ∈ Z
q: 2 ∈ Q
p ⇒ q : 2 ∈ Z ⇒ 2 ∈ Q.
∼ (p ∨ q) : 2 ∈ Z e 2 /∈ Q
2. p: 52 = (−5)2
q: 5 = −5.
p ∨ q : 52 = (−5)2 ⇒ 5 = −5.
∼ (p ∨ q) : 52 = (−5)2 e 5 6= −5.
.
10
.
1.19 Negac¸a˜o de proposic¸o˜es quantificadas.
A negac¸a˜o de uma sentenc¸a aberta (∀x)(p(x)) e´ a proposic¸a˜o (∃x)(∼ p(x)) e a
negac¸a˜o de uma sentenc¸a aberta (∃x)(p(x)) e´ a proposic¸a˜o (∀x)(∼ p(x)). Por
exemplo:
1. p(x): x + 3 = 5
(∀x)(p(x)) : Para qualquer que seja o nu´mero x, temos x + 3 = 5.
negac¸a˜o : existe um nu´mero x, tal que x + 3 6= 5.
2. p(x) : a + 1
2
≥ 1
3
(∃x)(p(x)) : existe um nu´mero real x tal que a + 1
2
≥ 1
3
.
negac¸a˜o : Para qualquer que seja o nu´mero x, temos a + 1
2
< 1
3
.
.
.
1.20 Exerc´ıcios.
Dizer qual e´ a negac¸a˜o de cada proposic¸a˜o abaixo.
1. 3
5
= 6
10
ou 3× 10 6= 6× 5.
2. 3
7
≥ 1 e −3 > −7.;
3. 22 = 4 ⇒ √4 = 2.
4. 2 ≤ 5 ⇒ 32 ≤ 52.
5. (∀x)(x > 2 ⇒ 3x > 32)
6. (∃x)(√x) < 0.
7. Todo triaˆngulo iso´sceles e´ equila´tero.
8. Existe um losango que na˜o e´ quadrado.
9. Existe um nu´mero cuja raiz quadrada e´ zero.
11
.
2. Nu´meros Reais
.
• Axiomas para o Sistema dos Nu´meros Reais.
• Propriedades Ba´sicas.
• A Reta Real.
O conjunto dos nu´meros reais sera´ indicado por R. R conte´m Q, isto e´, todo
nu´mero racional e´ um nu´mero real. Os nu´merosreais que na˜o sa˜o racionais denominam-
se irracionais.Esse conjunto sera´ denotado por I.
.
2.1 Axiomas para o Sistema dos Nu´meros Reais.
Ha´ duas operac¸o˜es fundamentais, adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o , que apresentam as se-
guintes propriedades ( a, b, c sa˜o nu´meros reais arbitra´rios):
Leis de Fechamento: A soma a + b e o produto a.b ou ab sa˜o nu´meros reais
u´nicos.
Leis de Comutatividade :
• a + b = b + a : a ordem e´ irrelevante na adic¸a˜o .
• a.b = b.a : a ordem e´ irrelevante na multipicac¸a˜o .
Leis Associativas :
• a + (b + c) = (a + b) + c : o agrupamento e´ irrelevante em adic¸o˜es
repetidas.
• a(bc) = (ab)c : o agrupamento e´ irrelevante em multiplicac¸o˜es repetidas.
.
12
.
Leis Distributivas: a(b + c) = ab + ac : multiplicac¸a˜o e´ distributiva em relac¸a˜o a`
adic¸a˜o .
Leis de Identidade :
• Existe um u´nico nu´mero 0 com a propriedade de que 0+a = a+0 = a.
• Existe um u´nico nu´mero 1 com a propriedade de que 1.a = a.1 = a.
Leis de Inverso :
• Para qualquer nu´mero real a existe um nu´mero real −a, tal que a +
(−a) = (−a) + a = 0.
• Para qualquer real a diferente de zero existe um nu´mero real a−1, tal
que a−1a = aa−1 = 1
−a e´ chamado de inverso aditivo ou negativo de a. a−1e´ chamado de inverso
multiplicativo ou rec´ıproco de a.
.
13
.
2.2 Propriedades Ba´sicas.
Leis de Fator Zero :
• Para cada nu´mero real a, a.0 = 0.
• Se a.b = 0, enta˜o a = 0 ou b = 0.
Leis para os Negativos :
• −(−a) = a
• (−a)(−b) = ab
• −(ab) = (−a)b = a(−b) = −(−a)(−b)
• (−1)a = −a
Subtrac¸a˜o e Divisa˜o :
• Definic¸a˜o de Subtrac¸a˜o : a− b = a + (−b)
• Definic¸a˜o de Divisa˜o : a
b
= a ÷ b = a.b−1. .Desse modo, b−1 = 1.b−1 =
1÷ b = 1
b
.
Leis para Quocientes :
• −a
b
=
−a
b
=
a
−b = −
−a
−b
• −a−b =
a
b
• a
b
=
c
d
se, e somente se, ad = bc
• ka
kb
=
a
b
, para qualquer k real na˜o nulo.( Pr´ıncipio Fundamental de
Frac¸o˜es )
.
14
.
Propriedades de Ordem :
Os nu´meros reais positivos, denotados por R+, sa˜o um subconjunto dos
nu´meros reais e apresentam as seguintes propriedades:
1. Se a e b esta˜o em R+, enta˜o a + b e ab tambe´m esta˜o .
2. Para cada nu´mero real a, ou a ∈ R+, ou a = 0, ou −a ∈ R+.
(�) Se a esta´ em R+, a e´ dito positivo;
(�) se −a e´ elemento de R+, a e´ chamado negativo.
(�) O nu´mero a e´ menor que b e escrevemos a < b, se b − a e´
positivo.Logo, b e´ maior que a e escrevemos b > a.
(�) Se a e´ menor ou igual a b, isso e´ representado por a ≤ b. Logo, b e´
maior ou igual a a, e escrevemos isso como b ≥ a.
O que segue pode ser deduzido conforme as definic¸o˜es acima:
1. a > 0 se, e somente se, a e´ positivo.
2. Se a 6= 0, enta˜o a2 > 0.
3. Se a < b, enta˜o a + c < b + c.
4. se a < b, enta˜o


ac < bc, se c > 0;
ac > bc, se c < 0.
5. Para qualquer nu´mero real a, ou a > 0, ou a = 0, ou a < 0.
6. Se a < b e b < c, enta˜o a < c.
.
15
.
2.3 A Reta Real.
Nu´meros reais podem ser representados por pontos em uma reta r, tal que a cada
nu´mero real a corresponde exatamente um ponto sobre l, e reciprocamente (Ver
figura 2.1).
Valor Absoluto de um Nu´mero :
O valor absoluto de um nu´mero real a, representado por |a|, e´ definido
como:
|a| =


a, se a ≥ 0;
−a, se a < 0.
.
Figura 2.1 : A Reta Real
.
2.4 Exerc´ıcios.
1. Provar a(b + c + d) = ab + ac + ad.
2. Reescreva o que se segue sem usar o s´ımbolo para valor absoluto e simplifique:
(a) |3− 5| (b) |3| − |5| (c) |x− 5| se x > 5 (d) |x + 6| se x < −6.
.
16
.
3. Revisa˜o de A´lgebra Elementar
.
• Polinoˆmios.
• Expoentes.
• Expresso˜es Racionais e Radicais.
.
• Polinoˆmios
.
3.1 Revisa˜o de Conceitos.
Um Polinoˆmio e´ uma expressa˜o que pode ser escrita como um termo ou
uma soma de termos da forma axn11 x
n2
2 . . . x
nm
m , sendo a uma
constante, n1, n2, . . . , . . . , nm nu´meros naturais, inclu´ındo o zero, e
x1, x2, . . . , xm varia´veis. Um polinoˆmio de um termo e´ chamado de
monoˆmio.Um polinoˆmio de dois termos e´ dito binoˆmio; e, um polinoˆmio de treˆs
termos e´ dito trinoˆmio.
O Grau de um Termo em um polinoˆmio e´ o expoente da varia´vel ou, se houver
mais de uma varia´vel, a soma dos expoentes das varia´veis.
O Grau de um Polinoˆmio com mais de um termo e´ o maior dos graus dos termos
individuais.
Termos Semelhantes e Dissemelhantes: Dois termos sa˜o chamados de Semel-
hantes se sa˜o constantes ou se conteˆm as mesmas varia´veis elevadas aos mes-
mos expoentes, diferindo apenas, se for ocaso, em seus coeficientes constan-
tes.Termos que na˜o sa˜o semelhantes sa˜o ditos dissemelhantes.
(z) Assumindo que as varia´veis de um polinoˆmio representam nu´meros reais,
podemos definir adic¸a˜o , subtrac¸a˜o e multiplicac¸a˜o de polinoˆmios mediante as
propriedades dos nu´meros reais e a lei dos expoentes.
.
17
.
Produtos Nota´veis: .
• Diferenc¸a de dois Quadrados, a2 − b2 = (a + b)(a− b)
• Quadrado de uma soma, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
• Quadrado de uma diferenc¸a, (a− b)2 = a2 + b2 − 2ab
• Diferenc¸a de dois cubos, a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
• Soma de dois cubos, a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
• Cubo de uma soma, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
• Cubo de uma diferenc¸a, (a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
.
.
3.2 Exerc´ıcios.
1. Encontre o grau de (a)8; (b)8x7; (c)5pi2 − 5pi + 5.
2. Sejam P um polinoˆmio de grau m e Q um polinoˆmio de grau n. Prove que
(a) PQ e´ um polinoˆmio de grau m+n; (b) o grau de P + Q e´ menor ou igual
ao maior valor entre m e n.
3. Sejam A = x2 − xy + 2y2, B = x3 − y3, C = 2x2 − 5x + 4. Calcule
(a)BC; (b)B − Cx; (c)AC −B2.
4. Fac¸a as operac¸o˜es indicadas: (a)− (x− 5)2; (b)2x− (x− 3)2;
(c)− (4x + 1)3 − 2(4x + 1)2.
5. Fatore: (a)t2 + 6t− 27; (b)4x3 − 20x2 − 24; (c)3x2 − x− 14;
(d)x2 − 6xy + 9y2; (e)x4 − 5x2 + 4.
.
18
• Expoentes
.
3.3 Revisa˜o de Conceitos.
Expoentes Naturais sa˜o definidos por:
xn = x . . . x (n fatores de x)
Expoente Zero: x0 = 1 para qualquer nu´mero real x diferente de zero. 00 na˜o
e´ definido.
Expoentes Inteiros Negativos sa˜o definidos por:
• x−n = 1
xn
para qualquer real na˜o -nulo x.
• 0−n na˜o e´ definido para qualquer inteiro positivo n.
Expoentes Racionais: x
1
n , a raiz n-e´sima de x, e´ definida, sendo n um inteiro
maior que 1, como se segue:
• Se n e´ ı´mpar, x 1n e´ o u´nico nu´mero real y que elevado a` poteˆncia n e´
igual a x.
• Se n e´ par, enta˜o ,
– se x > 0, x
1
n e´ o nu´mero real positivo y que elevado a` poteˆncia
n e´ igual a x;
– se x = 0, x
1
n = 0;
– se x < 0, x
1
n na˜o e´ um nu´mero real.
Assim, para os inteiros m, 0 6= n, temos xmn = (x 1n )m, desde que x 1n seja
real.
.
19
.
Leis para Expoentes: Para a e b nu´meros racionais e x e y nu´meros reais
( evitando ra´ızes pares de nu´meros negativos e divisa˜o por zero):
xaxb = xa+b (xy)a = xaya (xa)b = xab
xa
xb
= xa−b
xa
xb
=
1
xb−a
(
x
y
)a =
xa
ya
(
x
y
)−m = (
y
x
)m
x−m
y−m
=
ym
xm
Notac¸a˜o Cient´ıfica: Um nu´mero e´ escrito em notac¸a˜o cient´ıfica quando e´ expresso
na forma de um nu´mero entre 1 e 10 multiplicado por uma poteˆncia de 10.
Por exemplo:
(a)51.000.000 = 5, 1× 107 (b)0, 000000000352 = 3, 52× 10−10
.
.
3.4 Exerc´ıcios.
1. Calcule:
(a)25
−1
2 − 16−12 (b)(25− 16)−12 (c)16 34 + 16−34
2. Simplifique:
(a)x0 + y0 + (x + y)0; (b)(
8x0y5
3x5y−3
)−2; (c)(
32x2y−4
x7y6
)
3
5
3. Fac¸a as operac¸o˜es indicadas:
(a)(x
1
2 + y
1
2 )(x
1
2 − y 12 ); (b)(x 13 + y 13 )(x 13 − y 13 );
4. Coloque em evideˆncia os fatores comuns:
(a)x−8y−7 + x−7y−8; (b)4(x2 + 4)
3
2 (3x + 5)
13 + (3x + 5)
4
3 (x2 + 4)
1
2 3x
.
20
.
5. Simplifique e escreva em notac¸a˜o cient´ıfica:
(a)(7, 2× 10−3)(5× 1012); (b)(7, 2× 10−3)÷ (5× 1012).
6. Ha´ aproxidamente 6, 01× 1023 a´tomos de Hidrogeˆnio em uma grama. Calcule
a massa aproximada, em grama, de um a´tomo de Hidrogeˆnio.
Resposta. 1, 67× 10−24 grama.
.
• Expresso˜es Racionais e Radicais
.
3.5 Revisa˜o de Conceitos.
Uma Expressa˜o Racional e´ aquela que pode ser escrita como o quociente de dois
polinoˆmios( portanto, qualquer polinoˆmio e´ tambe´m uma expressa˜o racional).
Expresso˜es racionais sa˜o definidas para todos os valores reais das varia´veis,
exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero.
Pr´ıncipio Fundamental das Frac¸o˜es : Para quaisquer nu´meros reais
a, b, k (b, k 6= 0)
a
b
=
ka
kb
=
a
b
Operac¸o˜es sobre Expresso˜es Racionais (todos os denominadores sa˜o consi-
derados diferentes de 0 ):
(
a
b
)−1 =
b
a
a
b
.
c
d
=
ac
bd
a
b
÷ c
d
=
a
b
.(
d
c
) =
ad
bc
a
c
+− b
c
=
a
+− b
c
a
b
+− c
d
=
ad
bd
+− bc
bd
=
ad
+− bc
bd
.
21
.
♠ Para a adic¸a˜o de expresso˜es com denominadores distintos,usando o Principio
Fundamental das Frac¸~oes , simplificamos cada expressa˜o e, logo, transfor-
mamos as expresso˜es com denominador comun que pode ser o mı´nimo mu´ltiplo
comun (MMC).
♣ As expresso˜es racionais sa˜o frequ¨entemente escritas em termos de expoentes
negativos.
Expresso˜es Radicais: Para um nu´mero natural n ≥ 1 e um nu´mero real x, a
raiz n−e´sima e´ definida como:
n
√
x = x
1
n
Se n = 2, escreva
√
x no lugar de 2
√
x. O s´ımbolo
√
e´ chamado de
radical, n e´ o ı´ndice e x e´ o radicando.
Propriedades de Radicais: .
( n
√
x)n = x, se n
√
x e´ definida ( n
√
xn) = x, se x ≥ 0
( n
√
xn) = x, se x < 0, n ı´mpar ( n
√
xn) = |x|, se x < 0, n par
n
√
ab = n
√
a n
√
b n
√
m
√
x = nm
√
x
n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A Notac¸a˜o Mais Simples para Forma Radical em expresso˜es radicais:
1. Nenhum fator radicando pode conter um fator com um expoente maior
ou igual ao ı´ndice do radical.
2. O expoente de um fator radicando e o ı´ndice do radical jamais podem ter
em comun um fator diferente de 1.
3. Nehum radical aparece no denominador.
4. Nenhuma frac¸a˜o aparece em um radical.
.
22
.
Conversa˜o de Expresso˜es Radicais para a forma exponencial: Para
m e n inteiros positivos (n > 1) e x ≥ 0 quando n for par,
n
√
xm = x
m
n = ( n
√
x)m
Reciprocamente, x
m
n = ( n
√
x)m = n
√
xm.
.
.
3.6 Exerc´ıcios.
1. Reduza a termos de menor grau:
(a) x
4−y4
x4−2x2y2+y4 (b)
(x+h)3−x3
h
2. Fac¸a as operac¸o˜es indicadas: 1
(x+1)(x+2)
− 3
(x−1)(x+2) +
3
(x−1)(x+1) .
3. Escreva como frac¸a˜o simples com termos de menor grau:
1
t−1− 1t+1
1
t
− 1
t2
4. Escreva na notac¸a˜o mais simples para forma radical:
(a) 4
√
48x6y7z8 (b) 4
√
15x2
8y7z
.
5. Racionalize o denominador: (a) 1√
a−
√
b
(b)
√
x+2√
x−1
6. Racionalize o numerador :
(a)
√
x+1−√a+1
x−a (b)
1√
x+h
− 1√
x
h
7. Escreva como frac¸a˜o simples de termos de menor grau. Na˜o racionalize os
denominadores.
2x
√
4− x2 + 2x3√
4−x2
4− x2
.
23
.
4. Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es
.
• Equac¸o˜es Lineares e Na˜o -Lineares.
• Inequac¸o˜es Lineares e Na˜o -Lineares.
• Valor Absoluto em Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es .
• Equac¸o˜es Lineares e Na˜o -Lineares
.
4.1 Revisa˜o de Conceitos.
Uma equac¸a˜o e´ uma declarac¸a˜o de que duas expreso˜es sa˜o iguais. Uma equac¸a˜o
contendo varia´veis, em geral, na˜o e´ verdadeira nem falsa; a questa˜o de ser
verdadeira depende do(s) valor(es)da(s)varia´vel(eis). Para equac¸o˜es de uma
varia´vel, o valor da variv´el que torna a equac¸a˜o verdadeira e´ dito soluc¸a˜o da
equac¸a˜o . O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ chamado de conjunto soluc¸a˜o
da equac¸a˜o . Uma equac¸a˜o que e´ verdadeira para todos os valores das varia´veis,
de tal modo que esses valores fac¸am sentido quando associados a`s varia´veis,
chama-se identidade.
As Equac¸o˜es sa˜o Equivalentes se admiten o mesmo conjunto soluc¸a˜o . Por
exemplo, as equac¸o˜es 2x + 10 = 20, x + 5 = 10 e x = 5 sa˜o equivalentes,
pois, teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o {5}. As equac¸o˜es x = 5 e x2 =
25 na˜o sa˜o equivalentes, pois, a primeira tem o conjunto soluc¸a˜o {5} e a
segunda tem o conjunto soluc¸a˜o {5,−5}.
(♣) O processo de resolver uma equac¸a˜o consiste em transformar-la em uma
equac¸a˜o equivalente cuja soluc¸a˜o e´ obvia, usando operac¸o˜es alge´bricos ou ou-
tros meios.
Uma Equac¸a˜o Linear e´ aquela que esta´ na forma ax + b = 0, a 6= 0. Essa
equac¸a˜o e´ equivalente a x = −b
a
. Isto e´, uma equac¸a˜o linear tem uma u´nica
soluc¸a˜o linear {−b
a
}. Uma equac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o -linear.
.
24
.
Uma Equac¸a˜o Quadra´tica e´ aquela equac¸a˜o na˜o -linear da forma ax2+bx+c =
0, a 6= 0 (forma padra˜o ), ou que pode ser transformada nessa forma.
Existem dois me´todos importantes para resolver equac¸o˜es quadraticas:
Completando o Quadrado. A equac¸a˜o quadra´tica passa pelas seguintes
transformac¸o˜es equivalentes.
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x2 + px = q ⇔ (x + p
2
)2 = q +
p2
4
A u´ltima equac¸a˜o equivalente e´ fa´cil de resolver e nos da´ a seguinte
fo´rmula.
Fo´rmula Quadra´tica ou Fo´rmula Bhaskara As soluc¸o˜es de ax2 + bx +
c = 0, a 6= 0, podem ser escritas como:
x =
−b +− √b2 − 4ac
2a
♣ Se r1 e r2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o quadra´tica x2 + px + q = 0 enta˜o
x2 + px + q = (x− r1)(x− r2)
Equac¸o˜es contendo Radicais exigem um cuidado especial em sua resoluc¸a˜o .
Se n e´ impar, a equac¸a˜o a = b e´ equivalente a` equac¸a˜o an = bn. Se
n e´ par, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o an = bn e´ igual a unia˜o dos
conjuntos soluc¸o˜es de cada uma das equac¸o˜es a = b e a = −b.
.
25
.
4.2 Exerc´ıcios.
1. Resolva: 3− x
8
= 5x
2
− 2
3
(x− 4) + 5
2. Resolva: 5
x
− 4
x(x−2) =
x−4
x−2
3. Resolva: x4 − 5x2 − 36 = 0
4. Resolva: (a) 3
√
5x + 9 = −6 (b) √5x + 9 = −6
5. Resolva: x
2
3 − x 13 − 6 = 0
6. Resolva
√
2x =
√
x + 1 + 1
.
26
• Inequac¸o˜es Lineares e Na˜o -Lineares
.
4.3 Revisa˜o de Conceitos.
Relac¸o˜es de Desigualdade: O nu´mero a e´ menor que b, escrito como
a < b, se b − a e´ positivo. Logo, b e´ maior que a, o que se escreve como
b > a. Se a e´ menor ou igual a b, escreve-se a ≤ b. Desse modo, b e´
maior ou igual a` a e se escreve b ≥ a. Por exemplo, na reta real dada na
figura 4.1, observamos que, como a < b, a esta´ a` esquerda de b. Assim
mesmo,como b > c e c > d enta˜o b esta´ a` direita de c e c esta´ a` direita
de d.
.
Figura 4.1 : a < d, b > c, a < c e b > d
.
Desigualdades Combinadas e Intervalos: Se a < x e x < b, as duas
afirmac¸o˜es sa˜o frequ¨entementes combinadas para se escrever: a < x < b. O
conjunto de todos os nu´meros x que satisfazem a < x < b e´ dito intervalo
aberto e representado por (a, b). Analogamente, o conjunto de todos os
nu´meros reais x que satisfazem a desigualdade combinada a ≤ x ≤ b e´
chamado de intervalo fechado e e´ escrito como [a, b]. A tabela a seguir exibe
va´rias desigualdades comuns e suas representac¸o˜es como intervalos.
.
27
Figura 4.2 : Tabela de va´rias desigualdades comuns e suas representac¸o˜es como
intervalos.
.
Uma Inequac¸a˜o : e´ uma declarac¸a˜o , envolvendo varia´veis, de que uma expressa˜o
e´ menor (ou menor igual ) que outra expressa˜o . Como no caso de uma
equac¸a˜o , uma inequac¸a˜o na˜o e´ verdadeira e nem falsa em geral; esse tipo de
decisa˜o dependedo(s) valor(es) da(s) varia´vel(eis). Para desigualdades com
uma varia´vel, um valor da varia´vel que torne a inequac¸a˜o verdadeira e´ uma
soluc¸a˜o para a mesma. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ chamado de Conjunto
Soluc¸a˜o da inequac¸a˜o .
Inequac¸o˜es sa˜o equivalentes: se admitem os mesmos conjuntos soluc¸a˜o . Por
exemplo, as inequac¸o˜es x < −5 e x + 5 < 0 sa˜o equivalentes. Cada uma
tem o conjunto soluc¸a˜o de todos os nu´meros reais menores que −5, isto
e´, (−∞,−5).
.
28
.
♣ O processo de resolver uma inequac¸a˜o consiste em transforma´-la em uma ine-
quac¸a˜o equivalente, cuja soluc¸a˜o e´ obvia.Operac¸o˜es de transformac¸a˜o de uma
inequac¸a˜o em outra equivalente incluem:
1. Somar ou Substrair: As inequac¸o˜es a < b, a + c < b + c, a − c <
b− c sa˜o equivalentes para qualquer nu´mero real c.
2. Multiplicar ou Dividir Por Um Nu´mero Positivo: As inequac¸o˜es
a < b, ac < bc e a�c < b�c sa˜o equivalentes para qualquer nu´mero
real positivo c.
3. Multiplicar ou Dividir Por Um Nu´mero Negativo: As inequac¸o˜es
a < b, ac > bc e a�c > b�c sa˜o equivalentes para qualquer
nu´mero real negativo c.
4. Simplificar: expresso˜es em um dos lados de uma inequac¸a˜o .
Regras semelhantes se aplicam para desigualdades da forma a > b e assim
por diante.
Uma Inequac¸a˜o Linear: e´ aquela que esta´ na forma ax + b < 0, ax + b >
0, ax + b ≤ 0 ou ax + b ≥ 0, ou que pode ser transformada em
uma inequac¸a˜o equivalente a esta forma. Inequac¸o˜es lineares sa˜o resolvidas
isolando-se a varia´vel de um modo semelhante ao empregado em equac¸o˜es
; mas com o cuidado ao dividir o multiplicar por nu´meros negativos como
explicarmos no item anterior.
Uma inequac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o -linear.
.
29
.
Resolvendo Inequac¸o˜es Na˜o -Lineares: Uma inequac¸a˜o na qual o lado es-
querdo pode ser escrito como produto ou quociente de fatores lineares (ou
fatores quadra´ticos primos, isto e´, o discriminante e´ menor que zero) pode ser
resolvida via um diagrama de sinais. Se um tal fator jamais e´ zero em um
intervalo, enta˜o e´ positivo ou negativo em todo o intervalo. Logo:
1. Determine os pontos nos quais cada fator e´ 0. Esses sa˜o chamados de
pontos cr´ıticos.
2. Desenhe uma reta numerada e exiba os pontos cr´ıticos.
3. Determine o sinal de cada fator em cada intervalo; enta˜o , usando leis de
multiplicac¸a˜o ou divisa˜o , verifique o sinal de toda a expressa˜o do lado
esquerdo da inequac¸a˜o .
4. Escreva o conjunto soluc¸a˜o .
.
30
.
4.4 Exerc´ıcios.
1. Resolva: 3(y − 5)− 4(y + 6) ≤ 7
2. Resolva: 2x−3
3
− 5x+4
6
> 5− 3x
8
3. Resolva: −8 < 2x− 7 ≤ 5
4. Resolva: 0 < 3− 5x ≤ 10
5. Resolva: 2x2 + 2 ≥ 5x
6. Resolva: x3 < x2 + 6x
7. Resolva: x+5
x−3 ≤ 0
8. Resolva: 2x
x−3 ≥ 3
9. Resolva
(x− 2) 13 (2x + 3)2
(x + 5)3(x2 + 4)
≥ 0
10. Para quais valores de x a expressa˜o
√
x
(2−x)(5+x) representa um nu´mero real ?
.
31
• Valor Absoluto em Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es
.
4.5 Revisa˜o de Conceitos.
Valor Absoluto de um Nu´mero: O valor absoluto de um nu´mero real
a, representado por |a|, e´ definido como segue:
|a| =


a, se a ≥ 0;
−a, se a < 0.
Geometricamente, o valor absoluto de um nu´mero real e´ a distaˆncia deste nu´mero
a` origem. Ver Figura 4.1.
Analogamente, a distaˆncia entre dois nu´meros reais a e b e´ o valor absoluto de
sua diferenc¸a: |a− b| ou |b− a|.
Figura 4.3 : Valores absolutos de −5 e 4. A distaˆncia entre os pontos 4 e −5 e´ 9.
32
.
Propriedades do Valor Absoluto:
| − a| = |a|; |a| =
√
a2; |ab| = |a||b|; |a + b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdade Triangular)
Valor Absoluto em equac¸o˜es : Observar as seguintes regras
1. A equac¸a˜o |a| = b e´ equivalente a`s duas equac¸o˜es a = b ou a = −b, para
b > 0. ( A distaˆncia de a a` origem igualara´ b precisamente quando
a igualar b ou −b.)
2. A equac¸a˜o |a| = |b| e´ equivalente a`s equac¸o˜es a = b ou a = −b
Valor Absoluto em desigualdades: Para b > 0,
1. A desigualdade |a| < b e´ equivalente a` dupla desigualdade −b < a < b (
Uma vez que a distaˆncia de a a` origem e´ menor que b, a esta´ mais pro´ximo
da origem que b ou −b; ver Figura 4.2)
2. A desigualdade |a| > b e´ equivalente a` dupla desigualdade a > b ou a <
−b ( Uma vez que a distaˆncia de a a` origem e´ maior que b, a esta´ mais
afastado da origem que b ou −b; ver Figura 4.3 )
.
Figura 4.4 : Representac¸a˜o Geome´trica de |a| < b
Figura 4.5 : Representac¸a˜o Geome´trica de |a| > b
33
.
4.6 Exerc´ıcios.
1. Resolva: |x− 7| = 2
2. Resolva: |x + 5| = 0, 01
3. Resolva: 3|5− 2x|+ 4 = 9
4. Resolva: |2x− 5| = |8x + 3|
5. Resolva: |x + 5| > 3
6. Resolva: |3− 5x| ≥ 9
7. Resolva: |3x + 4|+ 5 < 1
8. Resolva: |5x− 3| > −1
9. Resolva: |x2 − 4x + 1| > −5
10. Provar que se 0 < x < 2 enta˜o |x2 − 1| < 3.
11. Provar que se 1 < x < 2 enta˜o |x2 + x + 1||x− 1| < 7|x− 1|.
12. Provar que se 1 < x < 3 enta˜o |x2 + x + 1||x− 1| < 14.
.
34
.
5. Func¸o˜es reais de uma varia´vel real
.
• Introduc¸a˜o .
• Func¸o˜es .
• Gra´ficos.
.
• Operac¸o˜es sobre Gra´ficos.
• A´lgebra Func¸o˜es .
• Func¸o˜es Especiais.
Introduc¸a˜o . O conceito de func¸a˜o refere-se essencialmente a` correspondeˆncia entre
conjuntos. Em Ca´lculo, os conjuntos envolvidos sempre sera˜o subconjuntos de R. As
func¸o˜es neles definidas sa˜o chamadas func¸o˜es reais de uma varia´vel real. Neste cap´ıtulo
discutiremos as ide´as ba´sicas concernentes destes tipos de func¸o˜es e seus gra´ficos, bem
como as formas de combina´-los e transforma´-los. Enfatizamos que uma func¸a˜o pode ser
representada de va´rias maneiras : por uma equac¸a˜o , por uma tabela, por um gra´fico ou
mesmo por meio de palavras.Vamos observar os principais tipos de func¸o˜es que ocorrem
no Ca´lculo e descrever como usa´-las como modelos matema´ticos de fenoˆmenos do mundo
real.
Func¸o˜es .
.
5.1 Definic¸a˜o . Sejam A e B subconjuntos de R. Uma func¸a˜o f : A −→ B e´
uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um u´nico elemento de
B. O conjunto de A e´ chamado Domı´nio de f e e´ denotado por D(f). B e´ chamado
Contradomı´nio ou Campo de valores de f. Escrevemos:
f : A −→ B
x 7−→ f(x)
ou
A
f−→ B
x 7−→ y = f(x).
35
5.2 Exemplos. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5} .
i. A relac¸a˜o f : A −→ B, dada pelo diagrama abaixo, e´ uma func¸a˜o de A em B.
ii. A relac¸a˜o g : A −→ B, dada por x 7−→ x + 1, e´ uma func¸a˜o de A em
B. Podemos representar g, no diagrama, como segue.
36
5.3 Contra-exemplos. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
i. A relac¸a˜o f : A → B, dada pelo diagrama a seguir, na˜o e´ uma func¸a˜o de A em
B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B.
ii. A relac¸a˜o g : A −→ B, dada por x 7−→ x− 3, na˜o e´ uma func¸a˜o de A em
B, pois o elemento 3 ∈ A na˜o tem correspondente em B. Podemos ver isto
facilmente representando g no diagrama.
Mas, o que podemos fazer para que seja uma func¸a˜o ?
37
.
5.4 Definic¸a˜o . Seja f : A −→ B.
i. Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B e´ chamado o valor da func¸a˜o f no ponto
x ou imagem de x por f.
ii. O conjunto de todos os valores assumidos pela func¸a˜o e´ chamado conjunto
imagem de f e e´ denotado por Im(f).
(z) Quando trabalhamos com subconjuntos de R, e´ usual caracterizar a func¸a˜o apenas
pela fo´rmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domı´nio de f e´
o conjunto de todos os nu´meros reais para os quais a func¸a˜o esta´ definida. Vejamos
os seguintes exemplos:
.
5.5 Exemplos. Determinar o domı´nio e a imagem das func¸o˜es abaixo:
i. f(x) = 1
x
. Esta func¸a˜o so´ na˜o e´ definida para x = 0. Logo, D(f) = R − {0} e
Im(f) = R− {0}.
ii. f(x) =
√
x. Para x < 0, f(x) na˜o esta´ definida.Enta˜o , D(f) = [0, +∞) e
Im(f) = [0,∞).
iii. f(x) = −√x− 1. f(x) na˜o esta´ definida para x < 1. D(f) = [1, +∞) e
Im(f) = (−∞, 0].
38
Gra´ficos
.
5.6 Definic¸a˜o . Seja f uma func¸a˜o . O gra´fico de f e´ o conjunto
de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao
domı´nio de f.
(z) Se conhecemos o gra´fico de uma func¸a˜o , podemos determinar o Domı´nio e a Imagem
de uma func¸a˜o como segue:
• O domı´nio e´ o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais
conduzidas por esses pontos interceptam o gra´fico de f, isto e´, e´ o conjunto
formado por todas as abscissas dos pontos do gra´fico de f.
• A Imagem e´ o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas hori-
zontais conduzidas por esses pontos interceptam o gra´fico de f, isto e´, e´ o
conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gra´fico de f.
(z) Observar que as retas verticais interceptam o gra´fico de f, ao mais num ponto.
(z) Por enquanto determinaremos o gra´fico de uma func¸a˜o assinalando uma se´rie de
pontos, fazendo uma tabela que nos da´ as coordenadas. Logo, desenvolveremos
te´cnicas mais eficazes para o trac¸ado de gra´ficos.
(z) Simetria. Essa condic¸a˜o nos ajuda no esboc¸o do gra´fico.
• Se uma func¸a˜o f satisfazer f(x) = f(−x) para todo x em seu domı´nio,
enta˜o f e´ chamada de uma func¸a˜o par. Por exemplo, a func¸a˜o f(x) =
x2 e´ par. O significado geome´trico de uma func¸a˜o ser par e´ que seu gra´fico e´
sime´trico em relac¸a˜o ao eixo das ordenadas ( ver figura abaixo). Isso significa
que se fizermos o gra´fico de f para x ≥ 0, enta˜o , para obter o gra´fico
inteiro, basta refletir o que temos em torno do eixo y.
• Se f satisfazer f(−x) = −f(x) para todo nu´mero x em seu domı´nio,
dizemos que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar.Por exemplo, a func¸a˜o f(x) =
x3 e´ impar.O gra´fico de uma func¸a˜o impar e´ sime´trico em relac¸a˜o a origem.Se
tivermos o gra´fico de f para x ≥ 0, poderemos obter o restante do gra´fico
girando de 180 graus o que ja´ temos em torno da origem.
39
5.7 Exemplos. .
i. O gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) ∈ R2 tais que
y = x2. Em outras palavras, e´ a colec¸a˜o de todos os pares (x, x2) do plano
XY. A Figura 5.1 nos mostra o gra´fico desta func¸a˜o , onde salientamos alguns
pontos, de acordo com a tabela.
Figura 5.1
40
ii. Seja f : R −→ R definida por
f(x) =


−2, se x ≤ −1
x, se −1 < x < 1
2, se 1 ≤ x
O gra´fico de f pode ser visto na seguinte Figura 5.2.
Figura 5.2
41
5.8 Exercicios.
1. Se f(x) = x
2−4
x−1 , achar:
(a) f(0) (b) f( 1
t
) (c) f(−2) (d) f(x− 2) (e) f(t2) (f) f(1
2
)
2. Se f(x) = 3x−1
x−7 , determine:
(a) 5f(−1)−2f(0)+3f(5)
7
(b) [f(−1
2
)]2 (c) f(t) + f( 4
t
) (d) f(h)−f(0)
h
3. Exprimir como func¸a˜o de x:
a. A a´rea de uma esfera de raio x.
b. A a´rea de um cubo de aresta x.
4. Determinar o domı´nio das seguintes func¸o˜es :
(a) y = x2 (b) y =
√
4− x2
(c) y = 1
x−4 (d) y =
√
x
x+1
(e) y = x− 1
x
(f) y =
√
3 + x + 4
√
7− x
(g) y = 1
1+
√
x
(h) y = 3
√
x + 7− 5√x + 8
(i) f(x) =


x, x ≤ 0 ;
x + 1, x > 0.
(j) f(x) =


2x + 3, x < −1 ;
3− x, x ≥ −1.
(k) f(x) =


−1, x ≤ −1 ;
3x + 2, |x| < 1;
7− 2x, x ≥ 1.
(l) f(x) =


x + 2, se x < −1 ;
x2, se x ≥ −1.
5. Construir o gra´fico das seguintes func¸o˜es :
(a) f(x) = (x− 2)2 (b) f(x) = −(x− 2)2
(c) f(x) = x + 1 (d) f(x) = x3
(e) f(x) = x3 + 1 (f) f(x) = |x|, −3 ≤ x ≤ 3
42
6. Um bala˜o esfe´rico com raio de r polegadas tem o volume V (r) = 4
3
pir3. Encontre
uma func¸a˜o que represente a quantidade de ar necessa´ria para inflar o bala˜o de um
raio r ate´ um raio r + 1 polegadas.
7. Encontre f(h + 2), f(x + h) e f(x+h)−f(x)
h
, onde h 6= 0.
(a) f(x) = x− x2 (b) f(x) = x
x + 1
8. Um retaˆngulo tem um per´ımetro de 20 metros. Expresse a a´rea do retaˆngulo como
uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados.
9. Um retaˆngulo tem uma a´rea de 16 metros. Expresse o per´ımetro do retaˆngulo como
uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados.
10. Uma caixa sem tampa deve ser constru´ıda de um pedac¸o retangular de papela˜o com
dimenso˜es 12 por 20 polegadas. Deve-se cortar quadrados de lados x de cada
canto e depois dobrar. Expresse o volume V da caixa como uma func¸a˜o de x.
11. Determine se a func¸a˜o e´ par, ı´mpar ou nehum destes dois.
(a) f(x) = x5 + x (b) g(x) = 1−x
4
1+x6
(c) h(x) = 2x− x2
43
Operac¸o˜es sobre Gra´ficos .
Neste para´grafo mostraremos como obter gra´ficos de func¸o˜es por deslocamento e reflexo
dos gra´ficos conhecidos de outras func¸o˜es .
.
5.9 Deslocamentos Verticais e Horizontais. Assumimos o nu´mero real
c > 0.Para obter o gra´fico de
• y = f(x) + c, desloque o gra´fico de y = f(x) em c unidades para
cima.
• y = f(x) − c, desloque o gra´fico de y = f(x) em c unidades para
baixo.
• y = f(x − c), desloque o gra´fico de y = f(x) em c unidades para a
direita.
• y = f(x + c), desloque o gra´fico de y = f(x) em c unidades para a
esquerda.
Figura 5.3
44
.
5.10 Reflexo˜es . Para obter o gra´fico de
• y = −f(x), reflita o gra´fico de y = f(x) em torno do eixo X.
• y = f(−x), reflita o gra´fico de y = f(x) em torno do eixo Y.
.
5.11 Exerc´ıcios.
1. Esboc¸e o gra´fico de
(a) f(x) = x2 + 6x + 10 (b) y = 1− sen(x)
2. Como o gra´fico de y = f(|x|) esta´ relacionado com o gra´fico de f ?
3. Esboce o gra´fico de y = sen(|x|).
4. Esboce o gra´fico de y =
√|x|.
45
A´lgebra de Func¸o˜es .
.
5.12 A´lgebra Aritme´tica de Func¸o˜es . Sejam f e g func¸o˜es com domı´nios
A e B. Enta˜o as func¸o˜es f + g, f − g, fg, e f
g
esta˜o definidas da seguinte
forma:
• (f + g)(x) = f(x) + g(x) com domı´nio : A ⋂ B.
• (f − g)(x) = f(x)− g(x) com domı´nio : A ⋂ B.
• (fg)(x) = f(x)g(x) com domı´nio : A ⋂ B.
•
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
com domı´nio : {x ∈ A ⋂ B/ g(x) 6= 0} .
.
5.13 Exerc´ıcios. Se f(x) =
√
x e g(x) =
√
4− x2, encontre as func¸o˜es
seguintes f + g, f − g, fg, e f
g
.
Existe um outro procedimento para combinar duas func¸o˜es a fim de obter uma nova.
O procedimento denomina-se Composic¸a˜o de Func¸o˜es .
.
5.14 Definic¸a˜o (Composic¸a˜o de Func¸o˜es ). Dadas duas func¸o˜es f e g, a
func¸a˜o composta f ◦g (tambe´m chamada de composic¸a˜o de f e g ) e´ definida
por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
com domı´nio
Dom(f ◦ g) = {x ∈ Dom(g)/g(x) ∈ Dom(f)}
46
.
5.15 Definic¸a˜o (Func¸a˜o Inversa). Seja a func¸a˜o f : A −→ B. Se, para cada
y ∈ B, existir exatamente um valor x ∈ A tal que y = f(x), isto e´, se a func¸a˜o
e´ bijetora enta˜o podemos definir uma func¸a˜o g : B −→ A tal que x = g(y). A
func¸a˜o g definida desta maneira e´ chamada func¸a˜o inversa de f e denotada
por f−1.
(z) Graficamente, podemos determinar se uma func¸a˜o admite inversa. Passando uma
reta paralela ao eixo dos X, esta deve cortar o gra´fico em apenas um ponto.Por
exemplo, analisando o gra´fico da func¸a˜o y = x2, observamos que no possui inversa.
(z) O gra´fico de f−1 e´ obtido refletindo-se o gra´fico de f em torno da reta y = x.
(z) Observar que
(a) f ◦ f−1(y) = y, ∀y ∈ B (b) f−1 ◦ f(x) = x, ∀x ∈ A
(z) Na˜o confunda o −1 do f−1 com um expoente. Assim
f−1(x) na˜o significa
1
f(x)
5.16 Exerc´ıcios. .
1. Seja a func¸a˜o
f(x) =


x se x ≤ 0
x + 1 se x > 0
Fac¸a o gra´fico das seguintes func¸o˜es
(a) y = f(x− 4) (b) y = f(x) + 3 (c) y = −f(x + 4)
2. Fac¸a o gra´fico das seguintes func¸o˜es
(a) y = x2 + 2x + 2 (b) y = −x2 − 2x + 3 (c) y = x + 2
.
3. Encontre f + g, f − g, fg, e f
g
e estabelec¸a os domı´nios.
47
(a) f(x) = 2x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1.
(b) f(x) =
√
1 +x, g(x) =
√
1− x
4. Encontre as func¸o˜es f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g e seus domı´nios
(a) f(x) = 2x2 − x, g(x) = 3x + 2
(b) f(x) = 1
x−1 , g(x) = x
3 + 2x
(c) f(x) =
√
x2 − 1, g(x) = √1− x
5. Encontre f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x4 − 1, g(x) = √x, h(x) = x− 1
(b) f(x) =
√
x, g(x) = x
x−1 , h(x) =
3
√
x
(c) f(x) = 1
x
, g(x) = x3, h(x) = x2 + 2
6. Expresse na forma f ◦ g as func¸o˜es
(a) F (x) = (x− 9)5
(b) F (x) = sen(
√
x)
(c) G(x) = x
2
x2+4
(d) u(t) = tg(pit)
7. A func¸a˜o de Heaviside H e´ definida por
H(t) =


0 se t < 0
1 se t ≥ 0
Essa func¸a˜o e´ usada no estudo de circuitos ele´tricos para representar o surgi-
mento repentino de corrente ele´trica, ou voltagem, quando uma chave e´ instan-
taneamente ligada.
(a) Esboce o gra´ fico da func¸a˜o Heaviside
48
(b) Esboce o gra´ fico da voltagem V(t) no circuito se uma chave for ligada no
instante t = 0 e 120 volts forem aplicados instantaneamente no circuito.
Escreva uma fo´rmula para V (t) em termos de H(t).
c) Esboce o gra´ fico da voltagem V(t) no circuito se uma chave for ligada no
instante t = 5 segundos e 240 volts forem aplicados instantaneamente no
circuito. Escreva uma fo´rmula para V (t) em termos de H(t).
. .
8. Encontre a func¸a˜o inversa da
(a) func¸a˜o f : R −→ R definida por y = 2x− 5.
(b) func¸a˜o f : R− {3} −→ R− {−1} definida por x−1
3−x .
(c) func¸a˜o f : [0, +∞) −→ [0, +∞), definida por f(x) = x2.
9. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 1+3x
5−2x
(b) f(x) = 5− 4x3
(c) f(x) =
√
2 + 5x
F Para responder as seguintes perguntas, ler as paginas de 56 ate´
63 e de 64 ate´ 72 o livro Ca´lculo (vol I, 4ta edic¸a˜o ) de James
Stewart.
10. .
(a) Escreva uma equac¸a˜o que defina a func¸a˜o exponencial com base a > 0.
(b) Qual e´ o domı´nio dessa func¸a˜o ?
(c) Se a 6= 1, qual a variac¸a˜o dessa func¸a˜o ?
(d) Esboce a forma geral do gra´fico da func¸a˜o exponencial nos seguintes casos.
(i) a > 1
(ii) a = 1
(iii) 0 < a < 1
(e) Como e´ definido o nu´mero e?
(f) Qual e´ um valor aproximado de e?
(g) Qual e´ a func¸a˜o exponencial natural ?
49
11. Fac¸a num mesmo sistema de coordenadas os gra´ficos das func¸o˜es dadas. Como
esta˜o relacionados esses gra´ficos ?
1. y = 2x, y = ex, y = 20x.
2. y = ex, y = e−x, y = 8x, y = 8−x.
3. y = 3x, y = 10x, y =
(
1
3
)
, y =
(
1
10
)
.
4. y = 0, 9x, y = 0, 6x, y = 0, 3x, y = 0, 1x.
12. Comenc¸ando com o gra´fico de y = ex, escreva as equac¸o˜es correspondentes
aos gra´ficos que resultam de
1. deslocar 2 unidades para baixo.
2. deslocar 2 unidades para a direita.
3. refletir em torno do eixo x.
4. refletir em torno do eixo y.
5. refletir em torno do eixo x e depois em torno do eixo y. Dica: Aqui
temos um exemplo de uma composic¸a˜o de func¸o˜es .
6. refletir em torno da reta y = 4.
7. refletir em torno da reta x = 2.
13. .
1. O que e´ uma func¸a˜o um a um ?
2. A partir do gra´fico, como dizer se uma func¸a˜o um a um ?
3. Seja f uma func¸a˜o um a um com domı´nio A e variac¸a˜o B. Como
e´ definida a func¸a˜o inversa f−1? Qual o domı´nio de f−1 Qual a
variac¸a˜o de f−1?
4. Se for dada a fo´rmula para f
50
Func¸o˜es Especiais .
.
5.17 Func¸a˜o Linear. E´ toda func¸a˜o que associa a cada nu´mero real x, o
nu´mero real y = ax + b, a 6= 0. Os nu´meros reais a e b sa˜o chamados,
respectivamente, de coeficiente angular e linear. O domı´nio de f(x) = ax + b
e´ Dom(f) = R. O conjunto imagem e´ Im(f) = R. O gra´fico de f e´ uma reta.
.
5.18 Exemplo. No movimento ret´ılineo uniforme, o espac¸o percorrido
e´ uma func¸a˜o linear do tempo, expresso pela fo´rmula s = s0 + vt, onde
s0 e v sa˜o constantes e v 6= 0.
.
5.19 Func¸a˜o Mo´dulo. A func¸a˜o definida por y = |x| chama-se func¸a˜o
mo´dulo. O seu domı´nio e´ o conjunto Dom(f) = R e o conjunto imagem e´
Im(f) = [0, +∞). O gra´fico desta func¸a˜o esta´ ilustrado abaixo.
1
1
2
2
1-2-
Figura 5.3 : Gra´fico da func¸a˜o Mo´dulo y = |x|.
51
.
5.20 Func¸a˜o Quadra´tica. A func¸a˜o f : R −→ R definida por
f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, e´ chamada func¸a˜o do 20 grau ou func¸a˜o
quadra´tica. Seu domı´nio e´ Dom(f) = R. O gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica
e´ uma para´bola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos Y. Se o coeficiente
de x2 for positivo (a > 0), a para´bola tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a para´bola tem a concavidade voltada para baixo. A intersecc¸a˜o do
eixo de simetria com a para´bola e´ um ponto chamado ve´rtice. A intersecc¸a˜o
da para´bola com o eixo dos X define os zeros da func¸a˜o . A figura 5.4 ilustra
o gra´fico desta func¸a˜o .
Figura 5.4 : Gra´fico da Func¸a˜o Quadra´tica y = x2.
52
.
6. Limite e Continuidade
.
• Definic¸a˜o de Limite.
• Propriedades dos Limites.
• Limites Laterais.
• Definic¸a˜o de uma Func¸a˜o Con-
tinua.
.
• Propriedades de Continuidade.
• Continuidade das func¸o˜es trigo-
nome´tricas.
• O Limite Fundamental
limx→0
sen(x)
x
.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ dar uma definic¸a˜o de Limite de uma maneira intuitiva e
tambe´m de uma maneira convencional. Definiremos a Continuidade das func¸o˜es usando
Limites. Finalmente, estudaremos e registraremos propriedades e teoremas referentes a
limites assim como a continuidade das func¸o˜es trigonome´tricas.
Definic¸a˜o de Limite
Sejam f uma func¸a˜o e p um ponto do domı´nio de f ou extremidade de um dos
intervalos que compo˜em o domı´nio. Intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando
x tende a p, e´ igual a L que simbolicamente, se escreve
lim
x→p
f(x) = L
significa que quando x tende a p, f(x) tende a L. Consideremos as situac¸o˜es a
seguir:
53
Figura 6.1
.
6.1 Exerc´ıcio. O que outras situac¸o˜es de limites sa˜o omitidas ?
.
Na situac¸a˜o (a), f na˜o esta definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade:
(1)
.
Para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f),
p− δ < x < p + δ, x 6= p ⇒ L− � < f(x) < L + �.
.
Na situac¸a˜o (b), f esta´ definida em p, mas existe um salto em p, entretanto existe
L satisfazendo (1). Pois, em (1) nos interesa o comportamento de x 6= p. Na situac¸a˜o
(c), temos L = f(p) satisfaz (1).Finalmente, na situac¸a˜o (d), na˜o existe L satisfazendo
(1) em p.
A propriedade (1) e´ equivalente a
54
(2)
.
Para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f),
0 < |x− p| < δ ⇒ 0 < |f(x)− L| < �.
.
Vamos provar a seguir que existe no ma´ximo um nu´mero L satisfazendo a propriedade
(1). De fato, suponhamos que L1 e L2 satisfac¸am, em p, a propriedade (1); enta˜o ,
para todo � > 0 dado, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < |x− p| < δ1 ⇒ |f(x)− L1| < �
e
0 < |x− p| < δ2 ⇒ 0 < |f(x)− L2| < �;
tomando-se δ = min{δ1, δ2}
0 < |x− p| < δ ⇒ 0 < |f(x)− L1| < � e 0 < |f(x)− L2| < � ;
Assim, podemos assumir um x0 ∈ Dom(f) com 0 < |x0 − p| < δ tal que
|L1 − L2| = |L1 − f(x0) + f(x0)− L2| ≤ |L1 − f(x0)|+ |f(x0)− L2| < 2�
Isto implica que
|L1 − L2| < 2�, ∀� > 0
0u seja, L1 = L2.
Agora, podemos dar a definic¸a˜o a seguir:
55
.
6.2 Definic¸a˜o . Sejam f uma func¸a˜o e p um ponto do domı´nio de f ou
extremidade de um dos intervalos que compo˜em o domı´nio de f. Dizemos que f tem
limite L, em p, se para todo � > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo
x ∈ Dom(f),
0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
Tal nu´mero L, que quando existe e´ u´nico, sera´ indicado por limx→pf(x).
Assim, em s´ımbolos, temos
limx→pf(x) = L ⇔


∀� > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f)
0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
.
.
6.3 Observac¸o˜es .
1. Na figura 6.1, observamos que na situac¸a˜o (a) temos limx→pf(x) = L;
na situac¸a˜o (b) vemos quelimx→pf(x) = L e f(p) 6= L; na situac¸a˜o
(c), limx→pf(x) = f(p); e na situac¸a˜o (d), a func¸a˜o f na˜o tem limite em
p.
2. Assim, o limite de f em p na˜o depende do valor (caso f esteja definida
em p ) que f assume em p, mas sim dos valores que f assume nos pontos
pro´ximos de p. Quando estivermos interessados no limite de f em p, basta
olharmos para os valores que f assume num pequeno intervalo aberto contendo
p.
3. Sejam f e g duas func¸o˜es . Se existir r > 0 tal que f(x) = g(x) para
p − r < x < p + r, x 6= p, e se limx→pg(x) existir, enta˜o limx→pf(x)
tambe´m existira´ e
limx→pf(x) = limx→pg(x). (Por queˆ)
.
.
56
.
6.4 Exerc´ıcios.
1. Por meio de um gra´fico (intuitivamente) calcule limx→pk ( k e´ uma constante).
Logo, verificar por meio da definic¸a˜o de limite.
2. Calcule limx→2(3x− 2). Logo, verificar por meio da definic¸a˜o de limite.
3. Calcule limx→1 x
2−1
x−1 . Logo, verificar por meio da definic¸a˜o de limite.
4. Calcule limx→1f(x) onde f(x) =


x2−1
x−1 , se x 6= 1 ;
3, se x = 1.
.
.
57
Propriedades dos Limites
.
6.5 Propriedades Ba´sicas dos Limites. A seguir introduziremos propriedades que
podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa do nu´mero
δ que aparece na anterior definic¸a˜o de Limite.
Se a,m e n sa˜o nu´meros reais, enta˜o
lim
x−→a
(mx + n) = ma + n
Se limx−→a f(x) e limx−→a g(x) existem, e c e´ um nu´mero real qualquer, enta˜o :
a. limx→a[f(x)
−
+ g(x)] = limx→a f(x)
−
+ limx→a g(x).
b. limx→a c.f(x) = c. limx→a f(x).
c. limx→a f(x).g(x) = limx→a f(x). limx→a g(x).
d. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
limx→a f(x)
limx→a g(x)
, desde que limx→a g(x) 6= 0.
e. limx→a[f(x)]n = [limx→a f(x)]n para qualquer inteiro positivo n.
f. limx→a n
√
f(x) = n
√
limx→a f(x), se limx→a f(x) ≥ 0 e n inteiro positivo par, ou se
limx→a f(x) ≤ 0 e n e´ um inteiro positivo ı´mpar.
g. limx−→a ln[f(x)] = ln[limx−→a f(x)], se limx−→a f(x) > 0.
h. limx−→a cos[f(x)] = cos[limx−→a f(x)].
i. limx−→a sen[f(x)] = sen[limx−→a f(x)].
j. limx−→a ef(x) = elimx−→a f(x).
.
58
.
6.6 Teorema (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h treˆs func¸o˜es e suponhamos
que exista r > 0 tal que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para 0 < |x− p| < r. Nestas condic¸o˜es , se
lim
x→p
f(x) = L = lim
x→p
h(x)
enta˜o existe limx→p g(x) e
lim
x→p
g(x) = L.
.
59
.
6.7 Exerc´ıcios.
1. Calcule limx→2(5x3 − 8)
2. Calcule limx→3
√
x−√3
x−3 .
3. Prove que
limx→pf(x) = 0 ⇔ limx→p|f(x)| = 0.
4. Prove que
limx→pf(x) = L ⇔ limh→0f(p + h) = L.
5. (Conservac¸a˜o do sinal.) Suponha que limx→p f(x) = L, com L > 0. Prove
que existe δ > 0 tal que, ∀x ∈ Dom(f),
p− δ < x < p + δ, x 6= p ⇒ f(x) > 0.
6. Provar que se limx→p f1(x) = L1 . . . limx→p fn(x) = Ln, enta˜o
lim
x→p
[f1(x) + · · ·+ fn(x)] = L1 + · · ·+ Ln
e
lim
x→p
[f1(x) . . . fn(x)] = L1 . . . Ln.
7. Seja f uma func¸a˜o e suponha que para todo x
|f(x)| ≤ x2
Provar que existe o limx→0 f(x) e limx→0 f(x) = 0.
8. Calcule limx→0 x2g(x) onde g(x) =


1, se x ∈ Q;
−1, se x /∈ Q.
.
60
Limites Laterais
a) Quando x tende a p, pela direita, f(x) tende a L : limx→p+ f(x) = L.
b) Quando x tende a p, pela esquerda, f(x) tende a L : limx→p− f(x) = L.
Figura 6.2
.
6.8 Definic¸o˜es .
6.8.a Sejam f uma func¸a˜o , p um nu´mero real e suponhamos que existe b tal que
]p, b[⊂ Dom(f). Definimos:
limx→p+f(x) = L ⇔


∀� > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f)
p < x < δ + p ⇒ |f(x)− L| < �.
O nu´mero L, quando existe, denomina-se limite lateral a` direita de f, em p.
6.8.b Sejam f uma func¸a˜o , p um nu´mero real e suponhamos que existe a tal que
]a, p[⊂ Dom(f). Definimos:
limx→p−f(x) = L ⇔


∀� > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f)
p− δ < x < p ⇒ |f(x)− L| < �.
O nu´mero L, quando existe, denomina-se limite lateral a` esquerda de f, em
p.
.
61
.
6.9 Teorema. Sejam f uma func¸a˜o , p um nu´mero real e suponhamos que existam
a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[ estejam contidos em Dom(f). Enta˜o ,
limx→pf(x) = L ⇔


f admite limites laterais a` direita e a` esquerda em p
e limx→p+f(x) = limx→p−f(x) = L.
.
.
6.10 Exerc´ıcio.
1. limx→0
|x|
x
existe ? Por queˆ ?
2. O Teorema do confronto continua va´lido para o caso de limites laterais ? Justificar
resposta.
.
.
62
Definic¸a˜o de uma Func¸a˜o Continua.
Vejamos as situac¸o˜es apresentadas a seguir.
Figura 6.3
Na figura 6.3, observamos que a func¸a˜o f satisfaz em p a propriedade
.
Para todo � > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de �), tal que
f(x) permanece entre f(p) − � e f(p) + � quando x percorre o
intervalo ]p− δ, p + δ[, com x no domı´nio de f.
.
Ou de forma equivalente
(A)
.
Para todo � > 0 dado, existe δ > 0 ( δ dependendo de �) tal que,
para todo x ∈ Dom(f),
p− δ < x < p + δ ⇒ f(p)− � < f(x) < f(p) + �.
.
Entretanto, a func¸a˜o g na˜o satisfaz em p tal propriedade:
63
Figura 6.4
para � > 0 acima, na˜o existe δ > 0 que torne verdadeira a afirmac¸a˜o
∀x ∈ Dom(f), p− δ < x < p + δ ⇒ g(p)− � < g(x) < g(p) + �
Isto e´, qualquer que seja o δ > 0 que se tome, quando x percorre o intervalo
]p− δ, p + δ[, g(x) na˜o permanece entre g(p)− � e g(p) + �.
Adotaremos a propriedade (A) como definic¸a˜o de uma func¸a˜o cont´ınua em p.
.
6.11 Definic¸a˜o . Sejam f uma func¸a˜o e p um ponto de seu domı´nio. Definimos
f cont´ınua em p ⇔


Para todo � > 0 dado, existe δ > 0 ( δ dependendo de �)
tal que, para todo x ∈ Dom(f),
|x− p| < δ ⇒ |f(x)− f(p)| < �
Dizemos que f e´ cont´ınua em A ⊂ Dom(f) se f for cont´ınua em todo
p ∈ A. Dizemos, simplesmente, que f e´ uma func¸a˜o continua se f for cont´ınua em
todo p do seu domı´nio. Quando p ∈ Dom(f) na˜o e´ um ponto isolado dos demais
pontos do domı´nio enta˜o podemos escrever
f e´ cont´ınua em p ⇔ lim
x→p
f(x) = f(p).
.
64
.
6.12 Definic¸a˜o . Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua a` direita de um nu´mero a se
lim
x→a+
f(x) = f(a)
e f e´ cont´ınua a` esquerda de a se
lim
x→a−
f(x) = f(a)
.
.
6.13 Definic¸a˜o . Uma func¸a˜o f e´ continua em um intervalo se for cont´ınua
em todos os nu´meros do intervalo.(Se f for definida somente de um lado do extremo
do intervalo, entendemos continuidade no extremo como continuidade a` direita ou a`
esquerda.) .
65
.
6.14 Exerc´ıcios..
1. Prove que f(x) = 2x + 1 e´ cont´ınua em p = 1.
2. Prove que a func¸a˜o constante f(x) = k e´ cont´ınua em todo p real.
3. Provar que a func¸a˜o Valor Absoluto f(x) = |x| e´ cont´ınua.
4. Provar que a func¸a˜o f(x) = ax + b ( a e b constantes)e´ cont´ınua.
5. Mostre que f(x) = x3 e´ cont´ınua em 1.
6. Prove que f(x) = x2 e´ cont´ınua.
7. Se f(x) =


2, se x ≥ 1;
1, se x < 1.
e´ cont´ınua em p = 1? Justifique.
8. (Conservac¸a˜o do sinal positivo) Seja f cont´ınua em p e f(p) > 0. Prove que
existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f),
p− δ < x < p + δ ⇒ f(x) > 0.
9. (Conservac¸a˜o do sinal negativo) Seja f cont´ınua em p e f(p) < 0. Prove que
existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom(f),
p− δ < x < p + δ ⇒ f(x) < 0.
10. Mostre que a func¸a˜o f(x) = 1−√1− x2 e´ cont´ınua no intervalo [−1, 1].
66
Propriedades de Continuidade.
.
6.15 Teorema. Se f e g forem cont´ınuas em a e se c for uma constante, enta˜o
as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas, tambe´m, em a :
1. f + g 2. f − g 3. cf
4. fg 5.
f
g
se g(a) 6= 0
.
.
6.16 Teorema. Os seguintes tipos de func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em todo nu´mero de seus
domı´nios:
polinoˆmios func¸o˜es racionais func¸o˜es ra´ızes
func¸o˜es trigonome´tricas func¸o˜es trigonome´tricas inversas
func¸o˜es exponenciais (ax, 0 < a 6= 1) func¸o˜es logar´ıtmicas(loga(x), 0 < a 6= 1)
.
.
6.17 Teorema. (Limite de uma Func¸a˜o Composta) Sejam f e g duas func¸o˜es
tais que Im(g) ⊂ Dom(f) onde Im(g) e´ a imagem de g, ou seja, Im(g) = {g(x)|x ∈
Dom(g)}. Se f e´ cont´ınua em b e limx→a g(x) = b, enta˜o limx→af(g(x)) =
f(b). Em outras palavras,
limx→af(g(x)) = f(b)
.
Uma consequ¨eˆncia desse teorema e´ o seguinte
67
.
6.18 Teorema. Sejam f e g duas func¸o˜es tais que Im(g) ⊂ Dom(f) onde Im(g) e´
a imagem de g, ou seja, Im(g) = {g(x)|x ∈ Dom(g)}. Se limx→ag(x) = g(a) e f
continua em g(a), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x))
e´ cont´ı nua em a. Em outras palavras, como a na˜o e´ um ponto isolado do
Dom(f ◦ g), temos
limx→af(g(x)) = f(g(a))
.
.
6.19 Observac¸a˜o . Existe outra alternativa do Teorema 6.17. Se f na˜o e´ continua
em b, mas existe o limite limu→b f(u). enta˜o
limx→af(g(x)) = limu→bf(u)
.
6.20 Teorema do Valor Intermediario. Suponha que f seja cont´ınua em um
intervalo fechado [a, b] e seja N um nu´mero qualquer entre f(a) e f(b). Enta˜o
existe um nu´mero c em [a, b] tal que f(c) = N.
68
.
6.21 Exerc´ıcios.
1. Provar que toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua.
2. Provar que toda func¸a˜o racional e´ cont´ınua.
3. Dada a func¸a˜o f(x) = x
2−3x+2
x−1 , verifique que limx→1+f(x) = limx→1−f(x).
Pergunta-se: f e´ cont´ınua em 1? Porqueˆ ?
4. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o definida em R, que na˜o seja cont´ınua em 2, mas
que limx→2+ f(x) = limx→2− f(x).
5. Calcule
lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x + 1
6. Calcule limx→1
3
√
x+7−2
x−1
7. Seja f definida em R e suponha que limx→0
f(x)
x
= 1. Calcule
lim
x→0
f(x2)
x
8. Mostre que existe uma raiz da equac¸a˜o
4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0
9. Use o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que existe uma raiz da equac¸a˜o
dada no intervalo especificado.
cos(x) = x, (0, 1)
69
Continuidade das Func¸o˜es Trigonome´tricas.
Pode-se verificar geome´tricamente que se −pi
4
< x < pi
4
( |x| < pi
4
) temos
(I) |sen(x)| ≤ |x|
Usando (I) e as identidades trigonome´tricas, mostra-se que se |x− p| < pi
2
(II) |sen(x)− sen(p)| ≤ |x− p| ; |cos(x)− cos(p)| ≤ |x− p|
As desigualdades em (II) e o Teorema do Confronto implicam seguinte teorema
.
6.22 Teorema . As func¸o˜es sen e cos sa˜o cont´ınuas.
.
O Limite Fundamental limx→0
sen(x)
x
.
Pode-se verificar geome´tricamente que se 0 < x < pi
4
temos
0 < sen(x) < x < tg(x)
Dividindo por sen(x)
1 <
x
sen(x)
<
1
cos(x)
e, portanto, para 0 < x < pi
4
,
cos(x) <
sen(x)
x
< 1
Por outro lado,
−pi
4
< x < 0 ⇒ 0 < −x < pi
4
⇒ cos(−x) < sen(−x)−x < 1
Como cos(−x) = cos(x) e sen(−x)−x = sen(x)x ,
−pi
4
< x < 0 ⇒ cos(x) < sen(x)
x
< 1.
Assim, se 0 < |x| < pi
4
,
cos(x) <
sen(x)
x
< 1.
Como limx→0 cos(x) = 1 = limx→0 1, pelo teorema do confronto,
70
.
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
.
A partir dessa igualdade podemos dizer que, para mo´dulo de x suficientemente pequeno,
sen(x)
x
∼= 1 ou x ∼= sen(x). Interprete geometricamente.
.
6.23 Exerc´ıcios. .
1. Calcule
(a) limx→0
tg(x)
x
(b) limx→0
sen(3x)
x
(c) limx→p
tg(x)−tg(p)
x−p
71
.
7. Extenso˜es do Conceito de Limite
.
• Limite no Infinito.
• Limites Infinitos.
Limites no Infinito
.
7.1 Definic¸a˜o . Seja f uma func¸a˜o e suponhamos que existe a tal que ]a, +∞[⊂
Dom(f). Definimos
limx→+∞f(x) = L ⇔


∀� > 0,∃δ > a, tal que
x > δ ⇒ L− � < f(x) < L + �.
.
Figura 7.1
.
7.2 Definic¸a˜o . Seja f uma func¸a˜o e suponhamos que existe a tal que ]−∞, a[⊂
Dom(f). Definimos
limx→−∞f(x) = L ⇔


∀� > 0,∃δ > 0, com −δ < a, tal que
x < −δ ⇒ L− � < f(x) < L + �.
.
72
Figura 7.2
.
7.3 Exerc´ıcio. Calcule limx→+∞ 1x e justifique.
.
7.4 Teorema. Sejam f e g duas func¸o˜es tais que Im(f) ⊂
Dom(g) e limx→+∞ f(x) = a
(a) Se g for cont´ınua em a, enta˜o
limx→+∞g(f(x)) = g(a).
(b) Se g na˜o e´ cont´ınua em a mas existe o limite limu→a g(u), enta˜o
limx→+∞g(f(x)) = lim
u→a
g(u)
73
.
7.5 Teorema. Seja k uma constante e suponhamos que limx→+∞ f(x) =
L e limx→+∞ g(x) = L1. Enta˜o
(a) limx→+∞[f(x) + g(x)] = L + L1.
(b) limx→+∞ kf(x) = k limx→+∞ f(x) = kL.
(c) limx→+∞ f(x)g(x) = LL1.
(d) limx→+∞
f(x)
g(x)
= L
L1
, desde que L1 6= 0.
z Observamos que os teoremas acima continuam va´lidos se substituirmos << x →
+∞ >> por << x → −∞ >> .
z Assim mesmo, o teorema do confronto continua va´lido no caso de limites no infinito.
Isto e´, quando x → +−∞.
.
.
7.6 Exerc´ıcios..
1. Calcule limx→+∞ 1xn , onde n > 0 e´ um nu´mero natural dado.
2. Calcule lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x + 1
.
3. Calcule lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x + 1
4. Sejam f e g definidas em [a, +∞[ e tais que limx→+∞ f(x)g(x) =
0, limx→+∞g(x) = 0 e g(x) 6= 0 para todo x ≥ a. Calcule, caso
exista, limx→+∞ f(x).
.
74
Limites Infinitos
.
7.7 Definic¸a˜o . Suponhamos que exista a tal que ]a, +∞[⊂ Dom(f). definimos
(a) limx→+∞ f(x) = +∞⇔


∀� > 0, ∃δ > 0, com δ > a, tal que
x > δ ⇒ f(x) > �.
(b) limx→+∞ f(x) = −∞⇔


∀� > 0, ∃δ > 0, com δ > a, tal que
x > δ ⇒ f(x) < −�.
.
7.8 Definic¸a˜o . Sejam f uma func¸a˜o , p um nu´mero real e suponhamos que exista
b tal que ]p, b[⊂ Dom(f). Definimos
lim
x→p+
f(x) = +∞⇔


∀� > 0,∃δ > 0, com p + δ < b, tal que
p < x < p + δ ⇒ f(x) > �.
.
Figura 7.3
.
7.9 Observac¸a˜o . Na˜o e´ dif´ıcil concluir as definic¸o˜es dos seguintes limites
lim
x→p+
f(x) = −∞; lim
x→−∞
f(x) = +∞; lim
x→−∞
f(x) = −∞; lim
x→p−
f(x) = +∞;
lim
x→p−
f(x) = −∞; lim
x→p
f(x) = +∞; e lim
x→p
f(x) = −∞
75
.
7.10 Exerc´ıcios.
1. Calcule limx→0+ 1x e justifique.
2. Calcule limx→+∞ x e justifique.
.
7.11 Teorema.
(a)


limx→+∞ f(x) = +∞
limx→+∞ g(x) = +∞
⇒


limx→+∞[f(x) + g(x)] = +∞
limx→+∞ f(x)g(x) = +∞
(b)


limx→+∞ f(x) = L, L real,
limx→+∞ g(x) = +∞
⇒


limx→+∞ f(x)g(x) = +∞, se L > 0
limx→+∞ f(x)g(x) = −∞, se L < 0
(c)


limx→+∞ f(x) = −∞
limx→+∞ g(x) = +∞
⇒ limx→+∞ f(x)g(x) = −∞
(d)


limx→+∞ f(x) = L, L real,
limx→+∞ g(x) = +∞
⇒ limx→+∞[f(x) + g(x)] = +∞
(e)


limx→+∞ f(x) = L, L real,
limx→+∞ g(x) = −∞
⇒ limx→+∞[f(x) + g(x)] = −∞
(f)


limx→+∞ f(x) = −∞
limx→+∞ g(x) = −∞
⇒


limx→+∞[f(x) + g(x)] = −∞
limx→+∞ f(x)g(x) = +∞
(g)


limx→+∞ f(x) = L, L real,
limx→+∞ g(x) = −∞
⇒


limx→+∞ f(x)g(x) = −∞, se L > 0
limx→+∞ f(x)g(x) = +∞, se L < 0
76
.
7.12 Observac¸o˜es .
(a) O teorema anterior continua va´lido se substituirmos << x → +∞ >> por << x →
−∞ >> ou por << x → p+ >> ou por << x → p− >> ou por << x → p >> .
(b) O teorema anterior sugere-nos como operar com os s´ımbolos +∞ e −∞ :
+∞+ (+∞) = +∞; −∞+ (−∞) = −∞; L.(+∞) = +∞ se L > 0;
L.(+∞) = −∞ se L < 0; L.(−∞) = −∞ se L > 0; L.(−∞) = +∞ se L < 0;
L + (+∞) = +∞ se L ∈ R; L + (−∞) = −∞ se L ∈ R; +∞(+∞) = +∞;
(−∞)(−∞) = +∞; e +∞.(−∞) = −∞.
(c) Mas, mostraremos futuramente que existe indeterminac¸o˜es , ou seja, na˜o podemos
afirmar nada :
+∞− (+∞); −∞− (−∞); 0.∞; ∞∞ ;
0
0
; 1∞; 00 e ∞0.
.
7.13 Exerc´ıcios.
1. Calcule lim
x→+∞
x3 + 3x− 1
2x2 + x + 1
2. Suponha que limx→p+ f(x) = 0 e que existe r > 0 tal que f(x) > 0 para
p < x < p + r. Prove que
lim
x→p+
1
f(x)
= +∞.
3. Calcule limx→+∞(x4 − 3x + 2)
4. Calcule limx→+∞ x+1x2−2
77
.
8. A Derivada
• A Reta Tangente.
• A Derivada de uma Func¸a˜o .
• Continuidade das Func¸o˜es
Deriva´veis.
• Derivadas Laterais.
A Reta Tangente.
>
>
Q
)F(a)P (?a+h,F(a+h))(a,
Figura 8.1
Seja F uma func¸a˜ocont´ınua e P (a, F (a)) um ponto sobre a curva. Analisaremos
agora, o ca´lculo da inclinac¸a˜o (coeficiente angular) da reta tangente a` curva trac¸ada por F
no ponto P. Para analisarmos esta questa˜o , escolhemos um nu´mero pequeno, h, diferente
de zero. Sobre o gra´fico, marcamos o ponto Q(a+h,F(a+h)). Trac¸amos uma reta secante
que passa pelos pontos P and Q. A inclinac¸a˜o desta reta e´ dada por:
mPQ =
F (a + h)− F (a)
h
Vamos fixar o ponto P, e mover Q ao longo da curva, aproximando-se de P, i.e., h → 0
(dizemos que h tende a 0). Note que a reta secante se aproxima a um posic¸a˜o limite.
Desejamos que essa posic¸a˜o limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente a`
curva trac¸ada por F no ponto P exista, mPQ tambe´m se aproxima do coeficiente angular
dessa reta tangente:
m = lim
h→0
F (a + h)− F (a)
h
Denotaremos este coeficiente angular da reta tangente a` curva y = F (x) que passa
pelo ponto (a, F (a)) por
m = F
′
(a).
78
No caso que exista F
′
(a), a equac¸a˜o da reta tangente e´ :
y − F (a) = F ′(a)(x− a)
No caso em que
lim
h→0
F (a + h)− F (a)
h
= ∞
Enta˜o a reta tangente e´ x = a.
A Derivada de uma Func¸a˜o .
.
8.1 Definic¸a˜o . A Derivada de uma func¸a˜o F e´ a func¸a˜o F
′
cujo valor em
x e´
F
′
(x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
sempre que o limite exista. O limite F
′
(x) ( leˆ-se F linha de x ) e´ chamado
a Derivada de F em x. Dizemos que F e´ uma func¸a˜o diferencia´vel ou deriva´vel
se for diferencia´vel para todo x ∈ Dom(F ).
.
.
8.2 Notac¸o˜es . Outras notac¸o˜es podem ser usadas no lugar de y = F
′
(x) :
• DxF (x) (leˆ-se derivada de F (x) em relac¸a˜o a x ).
• Dxy (leˆ-se derivada de y em relac¸a˜o a x ).
• ∂F
∂x
(leˆ-se derivada de F em relac¸a˜o a x ).
.
Continuidade de Func¸o˜es Deriva´veis.
Observamos que se uma func¸a˜o e´ cont´ınua em a na˜o necessa´riamente e´ deriva´vel em
a. Por exemplo, a func¸a˜o F (x) = |x| e´ cont´ınua em x = 0, mas na˜o e´ deriva´vel em
x = 0. A rec´ıproca pore´m e´ verdadeira, como mostra o seguinte teorema.
.
8.3 Teorema. Toda func¸a˜o deriva´vel num ponto a e´ cont´ınua nesse ponto.
.
79
Derivadas Laterais.
Se a func¸a˜o y = F (x) esta´ definida em a, enta˜o :
• A Derivada a` direita de F em x = a, denotada por F ′+(a), e´ definida por
F
′
+(a) = lim
h→0+
F (a + h)− F (a)
h
= lim
x→a+
F (x)− F (a)
x− a
• A Derivada a` esquerda de F em a, denotada por F ′−(a), e´ definida por
F
′
−(a) = lim
h→0−
F (a + h)− F (a)
h
= lim
x→a−
F (x)− F (a)
x− a
80
.
9. A Derivada como Taxa de Variac¸a˜o
.
• Acre´scimos.
• Taxa de variac¸a˜o Me´dia.
• Taxa de variac¸a˜o Instanta´nea.
• Diferencial.
Acre´scimos. Seja a func¸a˜o y = f(x), onde x e´ uma varia´vel independente e y e´
a varia´vel dependente.Se x varia de x1 a x2, definimos o Acre´scimo de x, denotado
por 4x, como
4x = x2 − x1
? Observamos que 4x pode ser positiva, negativa, ou zero.
A variac¸a˜o de x origina uma correspondente variac¸a˜o ou acre´scimo de y, denotada
por 4 y, dada por
4 y = f(x2)− f(x1) = f(x1 +4x)− f(x1)
Ver figura abaixo.
>
>
X
1
X
2
X
1
)(f
X )( 2f
4Y
4 X
Figura 9.1
81
Taxa Me´dia de Variac¸a˜o . A Taxa me´dia de variac¸~ao y = f(x), em relac¸a˜o
a x no intervalo [x1, x2] e´
4 y
4x =
f(x2)−f(x1)
x2−x1 =
f(x1+4x)−f(x1)
4x , 4x 6= 0
? Geome´tricamente, uma taxa me´dia de variac¸~ao e´ o coeficiente angular da reta
secante que passa pelos pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) .
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea. A Taxa de variac¸~ao Instanta^nea ou Taxa
de Variac¸~ao de y = f(x) em relac¸a˜o a x e´ a derivada de f no ponto x.
f
′
(x) = lim4x→0
f(x+4x)−f(x)
4x
? Geome´tricamente, uma taxa de variac¸~ao e´ o coeficiente angular de uma reta
tangente.
Diferencial. Sejam y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel e ∆ x um acre´scimo de
x. Definimos
a. A diferencial a varia´vel independente x, denotada por dx, como dx = ∆ x;
b. A diferencial a varia´vel dependente y, denotada por dy, como
dy = f
′
(x)∆ x = f
′
(x)d x
De acordo com a definic¸a˜o anterior, podemos escrever dy
dx
= f
′
(x).
? Observamos que, quando ∆ x torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a
diferenc¸a ∆ y − dy. Em outras palavras, ∆ y e´ aproximadamente igual a
dy, desde que o ∆ x seja um valor suficientemente pequeno. Isto denotamos
por ∆ y ∼= d y.
9.1 Exemplos.
1. Se y = 6x2 − 4, calcule ∆ y e dy para x = 2 e ∆ x = 0, 001.
Usando a definic¸a˜o de ∆ y, temos
∆ y = f(x1 + ∆ x)− f(x1)
= f(2 + 0, 001)− f(2)
= 20, 024006− 20
= 0, 024006.
82
Usando a definic¸a˜o de d y, temos
d y = f
′
(x).∆ x
= 12x.∆ x
= 12.2.0, 001
= 0, 024.
Observamos que a diferenc¸a ∆ y − d y = 0, 000006 seria menor caso usa´ssemos um
valor menor que 0, 001 para ∆ x.
2. Calcule um valor aproximado para
√
65, 5 usando diferenciais.
3. Uma corrente existe sempre que a carga ele´trica se move. A Figura 9.2 ilustra a parte
de um fio e eletrons movimentando-se atrave´s de uma superf´ıcie plana sombreada.
Se 4Q for a quantidade de carga l´ıquida que passa atrave´s dessa superf´ıcie durante
um per´ıodo de tempo 4t, enta˜o a corrente me´dia durante esse intervalo de tempo
e´ definida como
corrente me´dia =
4Q
4t =
Q2 −Q1
t2 − t1
Se fizermos o limite dessa corrente me´dia sobre intervalos de tempo cada vez meno-
res, obteremos o que chamamos de corrente I em um dado instante t1 :
I = lim
4t→0
4Q
4t =
∂Q
∂t
Assim, a corrente e´ a taxa na qual o fluxo de carga atravessa uma superf´ıcie, medida
em unidades de carga por unidade de tempo (frequ¨entemente coulombs por segundo,
chamado de ampe`res).
Figura 9.2
83
9.2 Observac¸a˜o . A velocidade, a densidade, a corrente, a poteˆncia e o gradiente
da temperatura na f´ısica; a taxa de reac¸a˜o e a compressibilidade na quimica; a taxa
de crescimento e o gradiente da velocidade do sangue na biologia; o custo e o lucro
marginal na economia; a taxa do fluxo do calor na biologia; o custo e o lucro marginal na
economia; a taxa do fluxo do calor na geologia; a taxa do desenvolvimento do desempenho
na psicologia; a taxa de espalhamento de um boato na sociologia - todos esses sa˜o casos
especiais de um u´nico conceito matema´tico, a derivada.
Isto e´ uma ilustrac¸a˜o do fato de que parte do poder da matema´tica esta´ em sua
abstrac¸a˜o . Um u´nico conceito matema´tico abstrato (tal como derivada) pode ter inter-
pretac¸o˜es diferentes em cada uma das cieˆncias. Quando desenvolvemos as propriedades do
conceito matema´tico de uma vez por todas, podemos voltar e aplicar esses resultados para
todas as cieˆncias. Isso e´ muito mais eficiente do que desenvolver propriedades de conceitos
especiais separadas para cada cieˆncia. O matema´tico franceˆs Joseph Fourier(1768 - 1830)
coloco isso sucintamente: ´´ Os matema´ticos comparam os mais diversos fenoˆmenos e
descobrem as analogias secretas que nos unem ´´.
84
.
9.3 Exerc´ıcios.
1. Mede-se a aresta de um cubo, encontrando-se 12 cm como resultado.
Conclui-se, dai, que o volume e´ de 123 = 1728 cm3. Se a medic¸a˜o da
aresta tiver sido feita com precisa˜o de 2%, qual sera´, aproximadamente,
a precisa˜o no ca´lculo do volume ?
2. Suponhamos que o custo total, em reais, da produc¸a˜o de q unidades de
determinado produto seja C(q) = 3q2 + 5q + 10. Se o n´ıvel atual de
produc¸a˜o for de 40 unidades, fac¸a uma estimativa de como o custo total
variara´ caso se produzam 40,5 unidades.
3. Avalie o maior erro percentual admiss´ıvel na medic¸a˜o do raio de uma es-
fera, se se desejar que o erro cometido no ca´lculo de seu volume, calculado
pela fo´rmula V = 4pir
3
3
, na˜o exceda 8%.
4. Uma bola, confecionada emcouro de 1
8
cm de espessura, possui diaˆmetro
interno de 81
2
cm. Avalie o volume da camada de couro dessa bola.
5. No estudo de ecossistemas, o modelo PREDADOR - PRESA e´ muitas
vezes usado para estudar a interac¸a˜o entre as espe´cies.Considere uma
populac¸a˜o de lobos da tundra, dada por W (t), e caribus, dada por
C(t) no norte do Canada´.A interac¸a˜o tem sido modelada pelas equac¸o˜es
:
dC
dt
= aC − bCW dW
dt
= −cW + dCW
(a) Que valores de dC
dt
e dW
dt
correspondem a populac¸o˜es esta´veis ?
(b) Como representar matematicamente a afirmativa << O caribu
esta´ se extinguindo >> ?
(c) Suponha que a = 0, 05, b = 0, 001, c = 0, 05 e d = 0, 0001.
Encontre todos pares (C,W ) que levam populac¸o˜es esta´veis. Se-
gundo esse modelo,e´ poss´ıvel para as espe´cies viverem em harmonia,
ou uma ou as duas espe´cies acabam por se extinguir ?
.
85
.
10. Regras de Derivac¸a˜o
• Tabela Geral de Derivadas.
• Derivada da Func¸a˜o Composta ( Regra da Cadeia ).
• Derivada da Func¸a˜o Inversa.
• Derivao Impl´ıcita.
• Derivada de uma Func¸a˜o na Forma Parame´trica.
Tabela Geral de Derivadas. Nesta tabela u e v s~ao func¸~oes deriva´veis
de x e c, α, e a s~ao constantes.
.
• y = c ⇒ y′ = 0
• y = xα, α 6= 0 ⇒ y′ = α.xα−1
• y = ex ⇒ y′ = ex
• y = loga(x) ⇒ y′ = 1x . logae,∀x > 0
• y = ln(|x|) ⇒ y′ = 1
x
, ∀x 6= 0
• y = c.u ⇒ y′ = c.u′
• y = u + v ⇒ y′ = u′ + v′
• y = u.v ⇒ y′ = u′ .v + u.v′
• y = u
v
=
u
′
.v − u.v′
v2
, v 6= 0
• y = uα, α 6= 0 ⇒ y′ = α.uα−1.u′
• y = au(1 6= a > 0) ⇒ y′ = au.ln(a).u′
• y = eu ⇒ y′ = eu.u′
• y = loga(u) ⇒ y′ = u
′
u
. logae
.
86
.
• y = ln(u) ⇒ y′ = u′
u
• y = uv, u > 0 ⇒ y′ = v.uv−1u′ + uv.ln(u).v′
• y = sen(u) ⇒ y′ = cos(u).u′
• y = cos(u) ⇒ y′ = −sen(u).u′
• y = tg(u) ⇒ y′ = sec2(u).u′
• y = cotg(u) ⇒ y′ = −cosec2(u)u′
• y = sec(u) ⇒ y′ = sec(u).tg(u).u′
• y = cosec(u) ⇒ y′ = −cosec(u).cotg(u).u′
• y = arcsen(u) ⇒ y′ = u
′
√
1− u2
• y = arccos(u) ⇒ y′ = −u
′
√
1− u2
• y = arctg(u) ⇒ y′ = u
′
1 + u2
• y = arccotg(u) ⇒ y′ = −u
′
1 + u2
• y = arcsec(u), |u| ≥ 1 ⇒ y′ = u
′
|u|√u2 − 1 , |u| > 1
• y = arccosec(u), |u| ≥ 1 ⇒ y′ = −u
′
|u|√u2 − 1 , |u| > 1
.
87
Regra da Cadeia.
Em muitas situac¸o˜es pra´ticas, a quantidade em estudo e´ dada como func¸a˜o de uma varia´vel
que,por sua vez, e´ func¸a˜o de outra varia´vel.Nesse caso, a taxa de variac¸a˜o da quantidade
em relac¸a˜o a` segunda varia´vel e´ igual a` taxa de variac¸a˜o da quantidade em relac¸a˜o a`
primeira varia´vel multiplicada pela taxa de variac¸a˜o da primeira em relac¸a˜o a` segunda.
Suponhamos que, por exemplo, o custo total de produc¸a˜o de uma certa fa´brica seja
func¸a˜o do nu´mero de unidades produzidas que, por sua vez, e´ func¸a˜o do nu´mero de horas
de funcionamiento da fa´brica. Sejam C, q e t o custo, o nu´mero de unidades e o nu´meros
de horas, respectivamente. Enta˜o ,
dC
dq
= taxa de variac¸a˜o do custo (reais por unidade) em relac¸a˜o a` produc¸a˜o
e
dq
dt
= taxa de variac¸a˜o das unidades produzidas (unidades por hora) em relac¸a˜o ao tempo.
O produto destas duas taxas e´ a taxa de variac¸a˜o do custo em relac¸a˜o ao tempo:
dC
dq
dq
dt
= taxa de variac¸a˜o do custo ( reais por hora ) em relac¸a˜o ao tempo.
Como a taxa de variac¸a˜o do custo em relac¸a˜o ao tempo tambe´m e´ dada pela derivada
dC
dt
, segue-se que
dC
dt
=
dC
dq
dq
dt
.
Esta fo´rmula constitui um caso particular de uma regra importante denominada Regra da
Cadeia.
.
10.1 Teorema . Derivada da Func¸a˜o Composta (Regra da Cadeia)
Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas dy
du
e du
dx
existem, enta˜o a func¸a˜o
composta y = g[f(x)] tem derivada que e´ dada por
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
ou y
′
(x) = g
′
(u).f
′
(x)
.
88
z Note que uma forma de lembrar da regra da cadeia consiste em imaginar que as
derivadas dy
dx
e du
dx
sa˜o quocientes. Assim sendo, podemos cancelar du, reduzindo
a expressa˜o dy
du
.du
dx
, no segundo membro, a` expressa˜o dy
dx
do primeiro membro.
.
10.2 Exerc´ıcios.
1. Calcule dy
dx
, sendo y = u3 − 3u2 + 1 e u = x2 + 2.
2. Calcule dy
dx
para x = 1, sendo y = u
u+1
e u = 3x2 − 1.
3. y = tg(cos(x))
4. y = e5sen(θ)
5. y = 23
x
2
6. y = sen
2(x)
cos(x)
7. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
√
x2 + 3x + 2.
8. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = (3x + 1)4(2x− 1)5
e simplifique a resposta encontrada.
.
10.3 Teorema. Derivada da Func¸a˜o Inversa
Seja y = f(x) uma func¸a˜o definida num intervalo aberto (a, b). Suponhamos
que f(x) admita uma func¸a˜o inversa x = f−1(y) cont´ınua.Se f
′
(x) existe e e´
diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), enta˜o f−1 e´ deriva´vel e vale
[f−1]
′
(y) =
1
f ′ [f−1(y)]
.
89
.
10.4 Exerc´ıcios.
1. Determine as derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas inversas.
2. Determine a derivada da func¸a˜o Logar´ıtmica.
3. Calcule d
dx
ln(sen(x)).
4. Diferencie f(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
5. Diferencie y = x
3
4
√
x2+1
(3x+2)5
. usando logar´ıtmos.
6. Provar que
lim
x→0
(1 + x)
1
x = e
7. Determine as derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas e das respectivas inver-
sas.
Derivac¸a˜o Impl´ıcita.
Consideremos a equac¸a˜o
F (x, y) = 0 (?)
Dizemos que a func¸a˜o y = f(x) e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o (?), se ao substi-
tuirmos y por f(x) em (?), esta equac¸a˜o se transforma numa identidade.
.
10.5 Exemplos.
1. A equac¸a˜o x2+ 1
2
y−1 = 0 define implicitamente a func¸a˜o y = 2(1−x2).
2. A equac¸a˜o x2 + y2 = 4 define, implicitamente,uma infinidade de func¸o˜es
?
3. A equac¸a˜o x2 + 1
2
y − 1 = 0 define implicitamente a funca˜o
h(x) =


√
4− x2, para −2 ≤ x ≤ 0 ;
−√4− x2, para 0 < x < 1 ?
.
90
.
10.6 Observac¸a˜o .
• Nem sempre e´ poss´ıvel encontrar a forma expl´ıcita de uma func¸a˜o de-
finida implicitamente. Por exemplo, como explicitar uma func¸a˜o y =
f(x) definida pela equac¸a˜o
y4 + 3xy + 2lny = 0?
• Mas, se a func¸a˜o definida implicitamente e´ deriva´vel, usando a Regra da
Cadeia podemos encontrar a derivada desta func¸a˜o , sem necessidade de
explicita´-la. Podemos derivar a func¸a˜o h(x) do exemplo 3 ?
.
Derivac¸a˜o de uma Func¸a˜o na Forma Parame´trica.
Sejam 

x = x(t)
(I)
y = y(t)
duas func¸o˜es da mesma varia´vel real t ∈ [a, b]. Se as func¸o˜es x = x(t) e y = y(t) sa˜o
cont´ınuas, quando t varia de a ate´ b, o ponto P (x(t), y(t)) descreve uma curva no plano.
Ver figura abaixo. As equac¸o˜es (I) sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas da curva e t e´
chamado paraˆmetro.
Figura 10.1
91
Vamos supor agora, que a func¸a˜o x = x(t) admite uma func¸a˜o inversa t = t(x). Neste
caso, podemos escrever y = y[t(x)] e dizemos que as equac¸o˜es (I) definem y como uma
Func¸a˜o de x na Forma Parame´trica.
Por outro lado, aplicando a Regra da Cadeia e o Teorema da Func¸a˜o Inversa, obtemos
a Derivada da Func¸a˜o y = y(x) dada na Forma Parame´trica (I).
dy
dx
=
y
′
(t)
x′(t)
.
10.7 Exercicios.
1. Graficar a func¸a˜o dada na forma parame´trica:


x = 2cos(t)
y = 2sen(t), t ∈ [0, pi]
2. Calcular a derivada
dy
dx
=
y
′
(t)
x′(t)
da func¸a˜o y(x) definida na forma
parame´trica pelas equac¸o˜es :


x = 3t− 1
y = 9t2 − 6t
.
92
.
10.8 Exerc´ıcios de Revisa˜o .
1. Usando a definic¸a˜o , provar que se n for um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1
2. Usando logar´ıtmos, provar que se n for um nu´mero real, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1
3. Diferencie a func¸a˜o
f(x) = x
√
x +
1
x2
√
x
+
x2 + 4x + 3√