4-Turbulencia- DescricaoEstatistica

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Descrição Estatística Do ç
Escoamento Turbulento
 Evento certo: evento sempre ocorre. 
 Evento impossível: evento nunca ocorre.
 Evento aleatório: evento pode ocorrer ou Evento aleatório: evento pode ocorrer ou 
talvez possa ocorrer, mas não é necessário 
que ocorra. un
 Uma variável aleatória não possui um valor 
único. Ex: un (n=1, 2, ….) medidas de um 
experimentoexperimento
 Num escoamento turbulento, o campo de 
velocidade u(x t) é aleatório
n
1
velocidade u(x,t) é aleatório.
 Porque um escoamento turbulento é randômico (aleatório) se as 
equações de movimento são determinísticas?
 Em todo escoamento turbulento ocorrem perturbações nas 
condições iniciais, condições de contorno e propriedades materiaisç , ç p p
 O escoamento turbulento apresenta alta sensibilidade à estas 
perturbaçõesperturbações
 As equações de Lorentz (1963) podem demonstrar esta alta 
sensibilidade as condições de contornosensibilidade as condições de contorno
zxyxy
xyx





 )(
com  = 10 = 8/3 e  = 28
yxzz
zxyxy





2
com  = 10, = 8/3 e  = 28.
Solução com condição inicial (em t=0) [x, y, z] =[0,1; 0,1; 0,1]
Solução com condição inicial (em t=0) [x, y, z] =[0,100 001; 0,1;0,1]
Diferença entre as soluções
3
 O comportamento do sistema de Lorentz depende dos 
coeficientes Dependendo dos coeficientes o sistema tendecoeficientes. Dependendo dos coeficientes o sistema tende 
a um ponto fixo, isto é, as variáveis [x, y, z] tendem 
assintoticamente à valores fixos. No entanto, para outros 
coeficientes apresenta um comportamento caótico.
 As equações de Navier Stokes apresentam As equações de Navier-Stokes apresentam 
comportamento similar. Isto é, para certas condições 
(escoamento laminar e regime permanente) apresentam 
solução única, mas para outras condições (altos número de 
Reynolds, escoamento turbulento) apresentam 
comportamento caótico.co po a e o caó co
4
Caracterização de Variáveis Aleatórias (randômicas)
 Para escoamento laminar, a solução das Equações de 
Navier-Stokes fornece um campo de velocidade e pressão 
que apresenta alto grau de confiabilidade quandoque apresenta alto grau de confiabilidade quando 
comparado com dados experimentais
 Apesar das Equações de Navier-Stokes serem aplicáveisApesar das Equações de Navier Stokes serem aplicáveis 
para escoamento turbulento, o objetivo da teoria deve ser 
diferente. 
 Escoamento turbulento é aleatório, logo a velocidade u é 
inerentemente imprevisível. Uma teoria que prevê um 
determinado valor para u certamente será errada Podedeterminado valor para u certamente será errada. Pode-
se, no entanto, determinar a probabilidade dos eventos, por 
exemplo tal que A { u < 10 m/s }
5
 Uma variável randômica u é completamente caracterizada 
pela sua função densidade de probabilidade PDFpela sua função densidade de probabilidade, PDF.
 A caracterização do campo de velocidade randômico u(x, t)
é bem mais complexaé bem mais complexa.
 Vamos introduzir algumas definições para caracterizar um 
campo randômicocampo randômico
6
 Espaço de Amostragem V, correspondente a variável u
As figuras a seguir, ilustram diferentes eventos, 
 bVuB  e   baba VVparaVuVC  
os quais correspondem a diferentes regiões do espaço de 
amostragem.
7
g
 Probabilidade
A probabilidade de um evento B, pode ser escrita como 
p = P(B)  P {u < Vb} sendo p um número real (0 ≤ p ≤ 1 )
 Evento impossível: p=0 Evento impossível: p 0
 Evento certo, garantido: p =1
 Função distribuição cumulativa
A probabilidade de um evento pode ser determinada 
l f ã di t ib i ã l ti CDF d fi idpela função distribuição cumulativa CDF, definida por 
F(V)  P {u < V}
No exemplo considerado 
  )()( bb VFVuPBP  e 
      )()()( VFVFVPVPVVPCP 
8
      )()()( ababba VFVFVuPVuPVuVPCP 
 A CDF possui três propriedades básicas:
(i) F (- ∞) = 0 pois { u < - ∞) é impossível
(ii) F ( ) 1 pois { < ) é certo garantido(ii) F ( ∞) = 1 pois { u < ∞) é certo, garantido
(iii) F (Vb) ≥ F (V ) para Vb > V(iii) F (Vb) ≥ F (Va) para Vb > Va , 
pois a probabilidade de todo evento é não negativa, logo p p g g
F (Vb) - F (Va) = P {Va < u < Vb} ≥ 0
Logo, CDF é uma função não decrescente
9
 Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade PDF é definida 
como a derivada da CDF
VdF )(
dV
VdFf )(
Pelas propriedades da CDF pode-se concluir que a PDF é 
não negativa 
0)(Vf
e que satisfaz a condição de normalização
0)(Vf
1


dVVf )( 0 )()( ff
10
Tem-se ainda que a probabilidade uma variável
randômica encontrar se em um determinado intervalo é
bV
randômica encontrar-se em um determinado intervalo é
igual a integral da PDF sobre aquele intervalo
  dVVfVFVFVuVP b
a
V
V
abba  )()()(
Probabilidade do evento 
C  {Va < u < Vb}
PDF correspondente. 
A área sombreada é a 
probabilidade de C
11
probabilidade de C
Para um intervalo infinitesimal
  dVVfVFdVVFdVVuVP )()()( 
logo a PDF f(V) é a probabilidade por unidade de 
distância no espaço de amostragem – logo o termo 
função densidade de probabilidade.
Deve-se enfatizar que a PDF f(V) (ou igualmente a CDF)
caracterizam completamente uma variável randômica U. 
Duas ou mais variáveis randômicas que possuem a 
mesma PDF são identicamente distribuídas ou 
estatisticamente idênticas
12
estatisticamente idênticas.
Médias e Momentos
O it d édi d j t ( bl ) éO conceito de média de conjunto (ensemble average) é 
baseado no conceito de eventos estatísticos 
independentes. Considere un como um evento 
independente
Médi it éti U 1Média aritmética:
Média de conjunto: u n-ésima realização do evento u
 nN uNU
Média de conjunto: un n-ésima realização do evento u
 N nuuU 1 lim
Média aritmética é uma estimativa da média verdadeira ou 

 n nNN 1
média do conjunto
13
A quantidade U pode ser referenciada como o valor 
d d iá l dô i i l tesperado da variável randômica u, ou simplesmente sua
média
A média (ou expectância) de uma variável aleatória u é 
definida por 
dVVfVu )(

é a probabilidade média ponderada de todos os

é a probabilidade média ponderada de todos os 
possíveis valores de u. 
14
Generalizando, se Q(u) é uma função de u, a média de 
Q(u) é Q( )
dVVfVQuQ )()()( 


A média acima só existe se a integral convergir de forma 
absoluta.
As regras para se determinar médias são simples. Se 
Q(u) e R(u) são funções de u, e se a e b são constantes, Q( ) ( ) ç
então
L d é li d ( ) ( )
  )()()()( uRbuQauRbuQa 
Logo, o operador é linear e apesar de u, Q(u) e R(u) 
serem aleatórios, suas médias não 
são, logo uu 
)(;)(; uRuQu
, g
15
uu 
Flutuações em relação à média
 É importante conhecer como as variáveis randômicas se distribuem 
com relação à média. 
 As figuras ilustram funções randômicas com o tempo, que possuem 
a mesma média, mas pertencem a conjuntos diferentes, uma vez 
que as amplitudes das flutuações não se distribuem igualmente. 
Para diferenciar os conjuntos, pode-se examinar as propriedades 
í f à é (estatísticas das flutuações em relação à média ( ou simplesmente 
flutuações), definidas por:
u’= u U = u <u > onde < u’> = 0
16
u = u – U = u - <u > onde < u > = 0
mas, a média de conjunto do quadrado da flutuação não é 
zero, sendo chamada de variânciazero, sendo chamada de variância
  
N
n
N
Uu
N
Uuuu
1
222 1 ][lim][']var[
Pode-se facilmente mostrar que nN N 1
22 Uuu ]var[
Portanto, a variância é o segundo momento menos o 
quadrado do primeiro momento (média) implicando que aquadrado do primeiro momento (média), implicando que a 
média é o primeiro momento.
17
Para uma variável randômica, a variância é definida como 
 


dVVfuVuu )()(')var( 22

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância (também 
chamada de norma rms de u).
212sdev
/
')var(|'|)( uuuu u  
)var(uu 2
18
Momentos de Alta Ordem
ou 
Note que nas duas figuras acima, que as duas variáveis 
dô i édi iâ irandômicas possuem a mesma média e variância, mas 
claramente são diferentes. Logo, nota-se que é útil definir 
momentos de ordem mais elevada da distribuição para 
distinguir essas diferenças.
O momento de ordem m de uma variável randômica é

N
m
nN
m u
N
u ][1lim  dVVfVu mm )(
19
 nN N 1 
O momento central fornece diretamente informação como 
iá l dô i di t ib i l ã édia variável randômica se distribui em relação a sua média. 
O m-ésimo momento central é definido como
 


dVVfuVu mmm )()('
Evidentemente temos que =0 2u q    u
20
Normalização
 É conveniente trabalhar com variáveis randômicas normalizadas, as 
quais por definição, possuem média zero e variância unitária. A 
variável aleatória normalizada correspondente a u é
 e sua PDF normalizada é
uuuU /)(ˆ 
)ˆ()ˆ(ˆ VufVf   e sua PDF normalizada é )()( VufVf uu  
 Os momentos normalizados de são 


VdVfV
u
n
n
n
n
n
n ˆ)ˆ(ˆ
'
ˆ 

 uu 
101 21   ˆ;ˆ;ˆo
ˆ ˆ
21
Obliquidade: Curtose: 3ˆ 4ˆ
 Função característica de uma variável randômica u é



dVeVfes iVssui )()(
 A integral acima é a transforma inversa de Fourier: s) 
e f(V) formam o par da transformada de Fourier, e 
conseqüentemente eles contem a mesma informação.
A f ã t í ti é f t t áti A função característica é uma ferramenta matemática 
que facilita algumas derivações e provas. 
22
Exemplos de distribuições de probabilidade
Distribuição uniforme: se U é distribuído uniformemente no intervalo bVa  , então a 
 1
PDF de U é 





bVeaVpara
bVapara
abVf
;
;
)(
0
1
 
f(V)F(V) f(V)
 
ab 
1
F(V) 
 
1 
 a b V a b V
23
Distribuição exponencial: Se U é distribuído exponencialmente com parâmetro , então 
1
sua PDF é





00
0
1
Vpara
VparaV
Vf
;
;)/exp(
)(

 
 
f(V) 
1F(V) 

1
 
( )
 
1 
 
 
e
1
 
 
 
 V  V 
24
Distribuição Normal ou Distribuição Gaussiana: 
se U possui distribuição normal com média  e desvio padrão , então a 
PDF de U é
  

  222 /
2
1exp
2
1),;()(  VVΝVf
indica distribuição normal com média  e variância 2.),;( 2VΝ
F(V)
f(V) 
 
(2)-1/2 
F(V)
V 2 1
0,159 
 
0,023 
V
25
V -2 -1 V
Se U possui a distribuição normal apresentada, então 
ˆ  /)(ˆ  UU
é a variável randômica Gaussiana normalizada com PDF 
2 22
2
110 /),;()(ˆ VeVVf  
A CDF correspondente é p
 )2/(erf1
2
1
2
1)(ˆ 2/
2
VdxeVF
V
x   
26
22 
Distribuição Log-normal:
CConsidere U com distribuição normal, com média  e 
variância 2. Então a variável randômica positiva
Y= eU
é possui por definição distribuição log-normalé, possui por definição distribuição log normal.
A CFD F (y) e a PDF f (y) de Y podem ser derivada dasA CFD FY(y) e a PDF fY(y) de Y podem ser derivada das 
CFD e PDF de U, i.e., F(V) e f(V), como vimos dadas por
  

  222 /
2
1exp
2
1),;()(  VVΝVf
27
Uma vez que Y é positiva, o espaço de amostragem pode 
assumir toda a linha de valores reais positivos (y ≥0)assumir toda a linha de valores reais positivos (y ≥0)
}(ln}ln{}{}{)( yFyUPyePyYPyF UY CDF
]/)(lnexp[)(ln)()( 22
2
1
2
111   yyyfydy
ydFyf YYPDF
<Y> 1<Y>=1
Altos valores de 2  PDF com cauda longa, com CDF lentamente 
28
g ,
tendendo a 1
Distribuição Gamma:
A variável randômica positiva U, com média  e variância 2 possui p ,  p
uma distribuição gamma se sua PDF é
   
 VVyf exp)( 11
2


   Vyf exp)()( 

 
0
1 dxex x )(
Para  =1, o valor da PDF na origem é f(0) = 1/
Para grande valores de  , a PDF é zero na origem, enquanto que para 
pequenos valores de , a PDF é infinito na origem.
29
 
Distribuição de função-delta:
Suponha que a variável randômica U assume o valor a com p q
probabilidade p, e o valor b (b > a) com probabilidade 1-p. A CDF 
de U é
  aVpara0
 







bVpara
bVaparap
aVpara
VUPVF
1
0
)(
Esta expressão pode ser escrita utilizando as funções Heaviside
H( )H(x) como
)()1()()( bVHpaVHpVF 
Obs: A derivada de H(x) é (x) e H(x) é a integral 
30
A PDF correspondente (obtida diferenciando F) é
)()1()()( bVVVf   )()1()()( bVpaVpVf  
f(V) 
F(V)
p 1- p 
F(V) 
 
1 
 
 
 
a b V a b V 
 
p 
Uma variável randômica que pode assumir somente um número finito de 
valores é uma variável discreta randômica. Apesar das ferramentas 
apresentadas terem sido desenvolvidas para variáveis contínuas, com o 
uso da função Heavside e delta dirac variáveis randômicas discretasuso da função Heavside e delta dirac, variáveis randômicas discretas 
também podem ser tratadas.
Adicionalmente, se U é uma variável certa, com probabilidade um de ter 
31
o valor a, sua CDF e PDF são F(V)= H(V-a) f(V)=  (V-a)
Obliquidade e Curtose
Uma vez que é importante caracterizar o formato de uma PDF, é útil definir momentos
centrais de terceira e quarta ordem o skewness S e kurtosis Kcentrais de terceira e quarta ordem, o skewness S e kurtosis K
 3Uu
S
  
4Uu
K
  2/32UuS    22UuK 
O skewness S (obliqüidade) é medida da assimetria e kurtosis K (curtose) é uma medida deO skewness S (obliqüidade) é medida da assimetria e kurtosis K (curtose) é uma medida de
dispersão que caracteriza o "achatamento" da curva da função. 
32
As PDF abaixo podem ser distinguidas pelo skewness S e kurtosis K
O caso (a) possui menor kurtosis K que o caso (b). Alta kurtosis K indica que 
maiores afastamentos da média são mais prováveis. O kurtosis K é uma 
medida do comportamento das pontas das PDF. Ambos os casos (a) e (b) 
possuem skewness S zero, enquanto que os casos das figuras (c) e (d) que 
não possuem simetria apresentam S diferente de zeronão possuem simetria apresentam S diferente de zero.
A PDF Gaussiana possui skewness S = 0 e kurtosis K = 3.
33
Variáveis Conjuntas Randômicas 
 Com freqüência é importante considerar mais de uma variável 
randômica em um instante de tempo. O vetor velocidade possui 3 
componentes que são inter-relacionados e devem ser considerados 
em conjunto. Por exemplo, se u e v são variáveis randômicas, 
existem 3 momentos de segunda ordem que podem ser definidos 
com <u2> , <v2> e < u v>. O produto < u v> é chamado de 
l ã d iâ i d ( i l tcorrelação cruzada ou covariância cruzada (ocasionalmente, 
simplesmente correlação). Os momentos <u2>e <v2> são 
referenciados como covariâncias ou simplesmente variâncias. 
 Considere os componentes do vetor velocidade (U1, U2, U3) em uma 
posição e tempo particular de um escoamento turbulento. 
 O espaço de amostragem das variáveis correspondentes as O espaço de amostragem das variáveis correspondentes as 
variáveis randômicas (U1, U2, U3) é denotado por V=(V1, V2, V3).
34
A figura ilustra um espalhamento 
de N=100 pontos de onde nn UU ede N=100 pontos de , onde 
são os valores de U1 e U2 da n-
ésima experiência. Neste exemplo 
UU 21 e
U1 e U2 são um conjunto normal 
com <U1>=2, <U2>=1, ; 
.A CDF das variáveis conjuntas randômicas
121 u 16/522 u
A CDF das variáveis conjuntas randômicas 
(U1, U2)  22112112 VUVUPVVF  ,),(
é a probabilidade de um ponto encontrar-se dentro da área 
sombreada da Figura. 
é uma função não decrescente de cada um de 
seus argumentos:
),( 2112 VVF
)()( VVFVVVVF  00  VV 
35
),(),( 2112221112 VVFVVVVF   00 21  VV  ;
A CDF F2(V2) de uma única variável randômica U2 é 
chamada de CDF marginal, onde
Analogamente, a CDF marginal de U1 é
    )(,),( 2222221212 VFVUPVUUPVF 
),()(  11211 VFVFAnalogamente, a CDF marginal de U1 é
.
A PDF conjunta de U1, U2 é 
),()( 11211 VFVF
),(),( 2112
21
2
2112 VVFVV
VVf 

Sua propriedade fundamental é
21
b bV V1 2
O t i d d
    b
a
b
a
V
V
V
V
baba dVdVVVfVUVVUVP
1
1
2
2
212112222111 ),(;
Outras propriedades:
onde f (V ) é a PDF marginal de U
0),( 2112 VVf
)(),( 2212112 VfdVVVf

 1),( 212112  



dVdVVVf
36
onde f2(V2) é a PDF marginal de U2.
A covariância de U1 e U2 é o segundo momento misto 
 
 
  
  21211222112121
dVdVVVfUVUVuuUU ),())((),cov(
 
e o coeficiente de correlação é 
212
2
2
1
21
12 /




uu
uu 

 
De acordo com a figura de espalhamento apresentada, um coeficiente de correlação
positivo ocorre quando distribuições positivas a partir da média de uma variável (u1 >0) for
preferencialmente associada com distribuição positiva para a outra variável (u2>0). 
37
Se o coeficiente de correlação é zero, então as variáveis U1 e U2 não sãoSe o coeficiente de correlação é zero, então as variáveis U1 e U2 não são 
correlacionadas. Já se  é igual à unidade, então U1 e U2 são perfeitamente 
correlacionadas. 
 
A desigualdade de Cauchy-Schwartz é -1 = = 1 -1 ≤ ≤ 1 
 
Se a PDF conjunta é conhecida, o momento conjunto de todas as ordens pode ser 
determinado. Para o momento conjunto de ordem m e n , tem-se 
 



 2121122211 ),()()( dVdVVVfUVUVvu nmnm 
38
Para o gráfico de espalhamento a seguir é claro que amostras com U1 ˜ V1a e as amostras 
com U1 ˜ V1b apresentaram valores de U2 significativamente diferentes. O que pode serco U1 V1b ap ese ta a va o es de U2 s g cat va e te d e e tes. O que pode se
confirmado no gráfico da PDF conjunta f12 (V1, V2) para V1 = V1a e V1 = V1b. Para V1a 
fixo, f12 (V1a, V2) indica como U2 é distribuído nas amostras (U1, U2) com U1 = V1a . 
39
PDF condicional: 
A PDF condicional de U em U =V éA PDF condicional de U2 em U1=V1 é 
)(/),()|(/ 1121121212 VfVVfVVf  
 
Isto é simplesmente a PDF conjunta de f12
normalizada para satisfazer a condição 
 

121212 dVVVf )|(| 
121212 dVVVf )|(|
 
Para a função Q(U1, U2), a média condicional
(condicional em V1) Q|V1 é definida como
40
( 1) Q|


 21212211121
dVVVfUUQVUUUQ )|(),(|),( | 
O conceito de independência é muito importante: Se 
U U ã i d d t h i t dU1 ou U2 são independentes, o conhecimento de um
dos valores não fornece informações sobre o outro.
Logo, as PDF condicionais ou marginais são iguais 
)()|(/ 221212 VfVVf  para U1 e U2 independientes)()|(/ 221212 VfVVf  para U1 e U2 independientes
logo, a PDF conjunta é o produto das PDF marginais 
)()(),( 22112112 VfVfVVf  para U1 e U2 independentes
 
Variáveis randômicas independentes não são
correlacionadas porém em geral o inverso não é
41
correlacionadas, porém, em geral, o inverso não é
verdadeiro. 
Distribuição Normal e Normal-conjunta
Como a distribuição normal ou distribuição Gaussiana
possui um papel fundamental na teoria dap p p
probabilidade, as propriedades da distribuição normal
j t ã t d iconjunto são apresentadas a seguir. 
 
Vimos que se U possui a distribuição normal, então
 /)(ˆ  UU é a variável randômica Gaussiana
normalizada com PDF 22
2
1 /)(ˆ VeVf   
42
A distribuição normal conjunto é muito importante
tanto para a teoria da probabilidade como para
escoamentos turbulentos. 
 
Considere um vetor velocidade U={U1, U2, U3} (porConsidere um vetor velocidade U {U1, U2, U3} (por 
exemplo, componentes da velocidade). Sua média e
fl t ã ã < U > U <U>sua flutuação são =< U > u = U - <U>
 
A matriz co-variante é 
 C = < u uT> i.e. Cij = < ui uj> 
43
j j
Se U={U1, U2, ..., UD} é uma distribuição normal 
conjunta, então a PDF conjunta é 
μ)](VCμ)(Vexp[(C)))( 1T   1]det[(2π 1/2DVf μ)](VCμ)(Vexp[(C)))( 
2
]det[(2πVf 
Considere o par U={U1, U2} de uma distribuição
normal conjunta (D=2). A figura ilustra um mapa de
espalhamento com linhas de densidade de p
probabilidade constante para escolhas particulares de
C
44
 e C. 
A PDF normal conjunta pode ser escrita em função 
das variâncias  21u ,  22u e coeficiente de correlação
12 como 12

   221212222122112 12
1
14 uuVVf
)(
exp)]([),( / 








 
2
2
22
2122
221112
2
2
11
12
2
12
u
UV
uu
UVUV
u
UV )(
)(
))(()(
)(
/


 
  2211 uuuu )(
Pode-se mostrar que: 
(i) A PDF marginal de U1 e U2 [f1(V1) e f2(V2) ] 
são Gaussianas
45
são Gaussianas.
(ii) Se U1 e U2 não são correlacionadas (i.e.
12=0), então são independentes [já que
f (V V ) f (V ) f (V ) ]f12(V1,V2 )= f1(V1) f2(V2) ]
(iii) A média condicional de U1 é 
)(| 
 222
2
21
1221 UVu
uuUVUU 
2
(iv) A variância condicional de U1 é 
)(|)|( 212
2
12
2
2211 1  uVVUUU 
(v) A PDF condicional de f1/2 V1|V2) é Gaussiana
46
(v) A PDF condicional de f1/2 V1|V2) é Gaussiana
Processo Randômico
Considere uma variável randômica, como por
exemplo, um componente de velocidade U em um 
repetido experimento de escoamento turbulento, em
um determinada posição e tempo (relativo ao início doum determinada posição e tempo (relativo ao início do
experimento). A variável randômica U é 
l t t t i d l PDF f(V)completamente caracterizada pela sua PDF, f(V).
 
Considere agora, a mesma velocidade, mas agora
como função do tempo, isto é U(t). 
47
A figura ilustra os caminhos de 
amostragem, isto é, valores de U(t)a ost age , sto é, a o es de U(t)
obtidos com diferentes repetições 
de um mesmo experimento.
Esta variável randômica 
dependente do tempo é chamada 
de um processo randômico.
A cada instante de tempo, a 
iá l U(t) é t i d l
 VtUPtVF )()(
variável U(t) é caracterizada pela 
sua CDF de um tempo
 VtUPtVF  )(),(
ou, de forma equivalente pela a PDF de um tempo
V
tVFtVf 
 ),();(
48
Contudo, estas quantidades não 
contem nenhuma informação 
conjunta relacionada a U(t) em dois 
ou mais instantes de tempo. 
A fi i il tA figura a seguir ilustra 
amostragem de caminhos de 
diferentes processosrandômicos, 
cada um com a mesma PDF de umcada um com a mesma PDF de um 
tempo. Comportamentos 
radicalmente diferentes podem ser 
obtidos mas não sãoobtidos, mas não são 
representados pela PDF de um 
tempo. 
49
A CDF conjunto do tempo-N de um processo U(t) éA CDF conjunto do tempo N de um processo U(t) é
 ,)(.....,,)(,)(),.....;,;,( NNNNN VtUVtUVtUPtVtVtVF  22112211 
d { } i donde {t1, t2, ...., tN} representam instantes de tempo
específicos e ),.....;,;,( NNN tVtVtVf 2211 é a correspondente
PDF conjunto do tempo-N. 
Para caracterizar completamente o processoPara caracterizar completamente o processo
randômico, é necessário conhecer esta PDF conjunta
d i d lpara todos os instantes de tempo, o que em geral não é
possível. 
50
Um processo é estatisticamente estacionário se todas 
as estatísticas multi-temporais são invariantes com umas estatísticas multi temporais são invariantes com um
deslocamento no tempo, isto é, se para todos os
intervalos de tempo positivos T, e todas as escolhas de
{ t1, t2, ...., tN}, tem-se{ t1, t2, ...., tN}, tem se
,.....;,;,(),.....;,;,( NNNNNN tVtVtVfTtVTtVTtVf 22112211 
 
51
O exemplo mostrado atinge um regime
t ti ti t t Ob l fiestatisticamente permanente. Observe pela figura a
seguir que a média )(tU e a variância 2)(tu deste 
processo tornam-se independentes do tempo, pata t>5. 
Apesar de U(t) variar significativamente com o tempo, 
suas estatísticas são independentes do tempo. 
52
Para um processo estatisticamente estacionário, a
estatística multi-temporal mais simples que pode ser
considerada é a autocovariância
)()()( stutusR  
ou, na forma normalizada, a função de autocorrelação
)()(
)(
stutu
s

2)(
)(
tu
s 
d é flonde )()()( tUtUtu  é a flutuação. 
53
Para um processo estatisticamente estacionário, a
édi iâ i t iâ i f ã dmédia, a variância, a autocovariância e a função de 
autocorrelação são independentes do tempo. 
 
A função de autocorrelação é o coeficiente deç ç
correlação entre os processos dos instantes t e t+s. 
C ü t t i i t i d dConseqüentemente, possui as seguintes propriedades:
10 )( ; 1)(s 
Adicionalmente, tem-se que (s) é uma função par, 
pois para t’=t+ s
54
pois, para t t+ s
)(/)'()'(/)()()( sutustuustutus   22
 Se U(t) é periódico com período T , isto é, U(t+T)=U(t), então 
(s+T)=(s). Contudo, para processo provenientes de ( ) ( ) , p p p
escoamentos turbulentos, espera-se que a correlação diminua 
quando o deslocamento de tempo s cresce. Normalmente, 
(s) diminui suficientemente rápido tal que a integral  dss)((s) diminui suficientemente rápido tal que a integral
converge: então é a escala de tempo integral do processo.

0
dss)(

 As figuras a seguir apresentam as funções de autocorrelação
dos cinco processos apresentados anteriormente (Fig. 3.20). 
Note que o processo de alta freqüência (b) possui uma 
autocorrelação mais estreita, e portanto menor , que o 
processo da baixa freqüência (a). Por construção, o processo 
(c) possui a mesma autocorrelação que o processo (a). 

( ) p ç q p ( )
Ambos os processos (d) e (e) possuem a função de 
autocorrelação , com a mesma escala 
de tempo integral que o processo (a). Com exceção do 
)/||exp()(  ss 
p g q p ( ) ç
processo (b), todos possuem a mesma escala de tempo 
integral. 55
56
 A autocovariância e o 
d b d t d i E( ) f d t f d d
)()()()()( stustutusR 2
dobro do espectro de energia E() formam um par da transformada de 
Fourier  
 
0
21 dsssRdsesRE si )cos()()()( 

 0
 

 02
1   dsEdeEsR si )cos()()()(
 R(s) e E() contém a mesma informação, em formas diferentes. Como 
 0
R(s) é real e par, então E() também é.
 Pode-se mostrar que a flutuação da velocidade u(t) possui uma 
representação espectral como a soma ponderada de modos de Fourier
de diferentes freqüências ; i.e., eit= cos ( t)+ i sen ( t)
57
 A propriedade fundamental do espectro de freqüências é que para 
i t l a < b, a integral 
b
a
dE


)(
é a contribuição de todos os modos na faixa de freqüência a <  < b.
2para a variância 
 Tem-se então que variância é 
2)(tu


0
20  dEtuR )()()(
 Uma conexão adicional entre o espectro e as autocorrelações é a 
0
escala integral de tempo dada por 
22
0
u
E )( 
58
 A figura mostra o espectro do 
processo randômico p ocesso a dô co
estacionário dos exemplos 
dados (Fig. 3.20). O processo 
(b) de alta freqüência possui 
uma escala de tempo integral 
menor que o processo (a), e 
tem um valor correspondente 
d t imenor do espectro na origem, 
mas seu espectro se estende 
às altas freqüências.
Na prática, a função de autocorrelação ou o espectro são 
normalmente as únicas quantidades usadas para caracterizar as 
propriedades de múltiplos tempos de um processo randômico
59
propriedades de múltiplos tempos de um processo randômico
 Porém, deve-se ressaltar que a PDF de tempo único e a função de 
autocorrelação fornecem somente uma caracterização parcial do 
E t t é l t d t d lprocesso. Este aspecto é claramente demonstrado pelos processos 
(d) e (e), pois são quantitativamente bem diferentes e ainda assim 
possuem a mesma PDF de tempo único (Gaussiana) e a mesma 
função de autocorrelaçãofunção de autocorrelação
)/||exp()(  ss 
 O processo Gaussiano é importante, mas é um caso bem especial. 
Se o processo é Gaussiano, então, por definição, a PDF geral do 
tempo-N é normal conjunta, sendo completamente caracterizada pela 
édi <U(t )> iâ i < (t ) (t )>sua média <U(tn)> e suas co-variâncias <u(tn) u(tm)>. 
Para um processo Gaussiano estatisticamente estacionário
<u(tn) u(tm)>= R(tn - tm)= <u(t)2>= (tn - tm)
então um processo Gaussiano estatisticamente estacionário é 
complemente caracterizado pela sua média <U(t)> e sua variância 
<u(t)2> e sua função de auto-correlação (s)[ou de forma equivalente, 
60
pelo espectro E()]
 Na Figura 3.20, o processo (c) é definido por um processo Gaussiano 
com o mesmo espectro que o processo (a). Os processos possuem 
dif t E t d ( ) é G i t t idiferentes. Enquanto do processo (c) é Gaussiano, e portanto possui 
kurtoisis = 3, o processo (a) não é Gaussiano, sendo que não é 
Gaussiano, possuindo kurtoisis = 11.
Processos randômicos típicos de escoamento turbulento, são 
semelhantes ao processo (a). 
São diferenciáveis, sendo que a média e tUdtdU )()(
a derivada temporal comutam
O processo (d) é não diferenciável, é um processo difusivo típico, 
chamado de processo de Ornstein-Uhlembeck. O processo decai 
dtdt
)( 
61
p p
com E() ≈-2 nas altas freqüências e sua auto-correlação 
é não diferencial na origem.)/||exp()(  ss 
 Em um escoamento turbulento U(x t) é um campo vetorial aleatório
Campos Randômicos
 Em um escoamento turbulento, U(x, t) é um campo vetorial aleatório 
dependente do tempo. Pode ser descrito (ou parcialmente 
caracterizado) com extensões das ferramentas apresentadas.
 Estatísticas de um Ponto
A CDF conjunto de um ponto da velocidade é 
e a PDF conjunta é 
3
 321 ,,,),()x,(V,  iVtxUPtF ii
 Na notação utilizada o ponto-vírgula de indica que f é
321
3
VVV
tFtf 
 )x,(V,)x,(V;
)x,(V; tf Na notação utilizada, o ponto-vírgula de indica que f é 
uma densidade com respeito a espaço de amostragem das variáveis 
que aparecem a direta do ponto-vírgula, enquanto f é uma função
com relação ao resto das variáveis.
)x,(V; tf
62
ç
 Em cada ponto e instante de tempo, estaPDF caracteriza 
completamente a velocidade randômica, mas não contém nenhuma co p eta e te a e oc dade a dô ca, as ão co té e u a
informação conjunta de duas ou mais instantes de tempo e posições. 
Com relação a esta PDF, o campo de velocidade média é

O campo de flutuação de velocidade é
  

V)x,(V;V)x,(V;V)x,U dtfdVdVdVtft( 321
)xU)xU)xu t(t(t(  O campo de flutuação de velocidade é
 A covariância de um ponto e um tempo da velocidade 
)x,U)x,U)x,u t(t(t( 
é chamada de tensões de Reynolds
 Como os campos de velocidade são diferenciais, a derivada espacial 
)x,)x, t(ut(u ji
p , p
e média comutam 
j
i
j
i
dx
Ud
dx
dU 
63
Estacionaridade estatística e homogeneidade
O campo U(x t) é estatisticamente estacionário se todas as estatísticasO campo U(x, t) é estatisticamente estacionário se todas as estatísticas 
são invariantes com relação a um deslocamento do tempo. 
Similarmente um campo é estatisticamente homogêneo se todas asSimilarmente, um campo é estatisticamente homogêneo se todas as 
estatísticas são invariantes com relação a um deslocamento de 
posição. 
Turbulência homogênea
quando a flutuação da velocidade é estatisticamente homogênea
Turbulência isotrópica
Um campo estatisticamente homogêneo U(x, t) é por definição p g ( , ) p ç
estatisticamente invariante com relação a translações. Se o campo 
também é estatisticamente invariante com relação à rotação e 
reflexões do sistema de coordenadas, então o mesmo é 
64
(estatisticamente) isotrópico.
Correlação de Dois Pontos
A estatística mais simples contendo informações sobre a estruturaA estatística mais simples contendo informações sobre a estrutura 
espacial randômica de um campo é a autocovariância de um tempo e 
dois pontos, também chamada de correlação de dois pontos
Diversos comprimentos de escalas podem ser definidos, como por 
exemplo
)r,x)x,)x,(r, t(ut(utR jiij 
exemplo
onde e1 é o vetor unitário na direção x1.
drtrR
tR
tL 

0
111
11
11 0
1 )x,,(e
)x,,(
)(x,
onde e1 é o vetor unitário na direção x1.
Espectro do número de Onda
Para a turbulência homogênea a correlação de dois pontos é)(r tRPara a turbulência homogênea, a correlação de dois pontos é 
independente de x, e a informação contida na mesma pode ser re-
expressa em termos do espectro de número de onda. 
)(r,tRij
65
O modo espacial de Fourier x)(kx)(kxk  sincos ie i
é a função que varia de forma senoidal (com comprimento de onda 
na direção do vetor comprimento de onda k, e que é 
constante nos planos normais a k O tensor espectral de velocidade
k/2
constante nos planos normais a k. O tensor espectral de velocidade 
é a transformada de Fourier da correlação de dois pontos)(k,t
)(R)(k rk dtt i 

 1
e a transformada inversa é 
r)(r,R
)(
)(k, rk dtet ij
i
ij  
 32
k)(k)(rR rk dtt i  

 
Arbitrando r=0 essa equação torna se
k)(k,)(r,R rk dtet ij
i
ij   

Arbitrando r=0, essa equação torna-se 
k)(k,),(R dtuut ijjiij  

0
66
jjj 
onde representa a contribuição do covariante)(k, tij ji uu
dos modos de velocidade com número de onda k. A dependência de
em r e de em k, fornece informação sobre a )(r,R tij )(k, tij
dependência direcional da correlação; enquanto os componentes de
e nos fornecem informações sobre as direções das ijRij
velocidades.
 1
A função espectro de energia é k)k()(k,)(k, dkttE ii    

2
1
a qual pode ser interpretada como sem todas as informações 
de direção.
)(k,tij
67
Integrando a função espectro de energia sobre todos os números de 
onda escalares k, tem-se
iiii uutRdktE 2
10
2
1
0


),()(k,
logo representa a contribuição para a energia cinética )(k,tE
turbulenta de todos os modos com na faixa deii uu2
1
k
dkkk  k
68
Probabilidade e Média
O valor médio da velocidade pode ser avaliado baseado naO valor médio da velocidade pode ser avaliado, baseado na 
probabilidade da velocidade encontrar-se no espaço de amostragem


dVtVfVtU );()(
Outras médias podem ser avaliadas, como a média temporal, 


f

Tt
dttUU ')'(1
Média de um conjunto de experimentos, sendo a medida da 
n-ésima experiência

t
dttU
T
U )(
)()( tU n
N
Para turbulência homogênea em um domínio cúbico de lado a


N
n
n
N tUN
tU
1
1 )()( )(
Para turbulência homogênea em um domínio cúbico de lado , a 
média espacial de U(x, t) é

  
  
 3213
1 dxdxdxtUtU ),()( x
69
 0 0 03