12 Limites Infinitos e Limites no Infinito

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1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CAMPUS IV-CCAE 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho 
 
Limites Infinitos e Limites no Infinito 
I-Limites Infinitos 
 Inicialmente, considere a função 
2
1
( )f x
x

. Note que, 
( ) {0}Dom f IR 
. 
 Vamos ver o que acontece com os valores de 
2
1
( )f x
x

, quando 
0x 
. Para isso, observe a 
tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que se 
x
 estiver suficientemente próximo de zero, ou seja, se 
0x 
, então os valores de 
2
1
( )f x
x

 cresce indefinidamente, ou seja, 
2
1
( )f x
x
  
. Assim, 
2
0 0
1
lim ( ) lim .
x x
f x
x 
  
 
 Veja o gráfico da função 
2
1
( )f x
x

 para visualizar o limite 
2
0 0
1
lim ( ) lim .
x x
f x
x 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 Veja agora o gráfico da função 
1
( )g x
x

, onde 
( ) {0}Dom g IR 
. 
 
Observe que se 
0x 
, os valores de 1
( )g x
x

 cresce 
indefinidamente, ou seja, 
0
lim ( )
x
g x

 
. 
Analogamente, observe que quando 
0x 
, os valores 
de 1
( )g x
x

 decresce indefinidamente, ou seja, 
0
lim ( )
x
g x

 
. 
Note que não podemos concluir que 
0
lim ( )
x
g x

 
 
nem que 
0
lim ( )
x
g x

 
. 
 
 De ponto de vista mais informal, as expressões 
lim ( )
x a
f x

 
 e 
lim ( )
x a
f x

 
 significam 
que 
( )f x
 cresce indefinidamente, sem cota superior quando 
x a
 pela esquerda ou pela direita, 
respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos 
lim ( )
x a
f x

 
. 
 De forma análoga, as expressões 
lim ( )
x a
f x

 
 e 
lim ( )
x a
f x

 
 significam que 
( )f x
 
decresce indefinidamente, sem cota inferior quando 
x a
 pela esquerda ou pela direita, respectivamente. 
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos 
lim ( )
x a
f x

 
. 
-Dicas Importantes para Você 
 Considere 
n IN
 e 
, 0C IR com C 
. Podemos ter assim, os seguintes limites infinitos. 
0
0 0
)
0
) . .
0 0
lim
lim lim
n
x
n n
x x
C C
I
x
C C C C
II se n for PAR ou se n for IMPAR
x x

 


 
 
  
     
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Calcule os seguintes limites, caso existam: 
1
3
)
2
12
)
1
3
)
2
)
2
121
3
0
limlimlimlim


   x
d
x
x
c
x
b
x
a
xxxx
 
 
Resolução: 
 
a) Temos que, 
0
3 3
0 0
0.
2 2 2
0
lim lim
x
3
x x
Valor Próximo de 0
mas positivo, pois,
x
x x 


 

   . 
 3 
b) Temos que, 
1
1
1 0
3 3
1 0
lim
x
x então
x
x





 
  

. 
 
c) Temos que, 
2 ,
2 1 5
2
2
2 0
2 1 5
2 0
lim
x então
x
x
x então
x
x
x





 



 

  
 . 
 
d) Inicialmente note que se 
1x 
, então 2 1 0x   e se 1x  , então 2 1 0x   . 
Assim, devemos calcular os seguintes limites laterais, 
2
1
3
1
lim
x x 
 e 
2
1
3
1
lim
x x 
, antes de tirar alguma 
conclusão sobre o limite 
2
1
3
1
lim
x x 
. 
 Note que, 
2
1
3 3
1 0
lim
x x


  

 e que 
2
1
3 3
1 0
lim
x x


  

. 
 Portanto, como os limites laterais são diferentes, então 
2
1
3
1
lim
x x 
 não existe. 
-Assíntotas Verticais 
 Observe o gráfico da função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



, onde 
( ) {2, 2}Dom f IR  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica para Você: Baixe o Arquivo “Limite Assíntotas Verticais.ggb” para visualizar o gráfico desta função no 
Geogebra. 
 
 4 
 Note que existem duas retas verticais, a saber, a reta 
2x 
 e a reta 
2x  
dividem o gráfico da 
função em três partes. 
Observe que quando 
2x 
 ou 
2x 
 o gráfico da função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



 estará cada vez 
mais próximo da reta 
2x 
. Desta forma, a reta 
2x 
 é denominada assíntota vertical da função 
( )f x
. 
Analogamente, quando 
2x 
 ou 
2x 
 o gráfico da função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



 estará cada 
vez mais próximo da reta 
2x  
. Desta forma, a reta 
2x  
 também é denominada assíntota vertical da 
função 
( )f x
. 
De uma forma geral, quando temos 
lim ( )
x a
Assíntoa
Vertical
x a
f x



 
 ou 
lim ( )
x a
Assíntoa
Vertical
x a
f x



 
, então a função 
( )f x
 possui uma assíntota vertical que é a reta 
x a
. 
-Exercícios Propostos: 
1) Considere o gráfico da função 
( )f x
 representado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os seguintes limites, caso existam: 
 
3 2 2
30 1 2
2 3 1 2 2 1 4
) ) ) )
2 91
lim lim lim lim
xx x x
x x x
a b c d
xx xx     
  
 
 
 
3) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Que assíntotas verticais os 
gráficos possuem? Por que as assíntotas verticais estão localizadas onde estão? 
2 3 2
3
2
4 3 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
1 1
x x x
a f x b g x x c h x d k x sen x
x x xx
  
     
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função 
( )f x
 ao lado 
obtenha: 
2 2
1 1
3 3
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
x x
x x
x x
a f x b f x
c f x d f x
e f x f f x
 
 
 
 
 
 
 
)g
as assíntotas verticais da função. Justifique 
cada uma delas. 
 5 
II- Limites no Infinito 
 Considere a função 
1
( )f x
x

, onde 
( ) {0}Dom f IR 
. Vejamos agora, o que acontece com 
os valores de 1
( )f x
x

, quando os valores da variável 
x
 crescem indefinidamente, ou seja, quando 
x 
, como também, iremos verificar o que acontece com os valores de 1
( )f x
x

, quando os valores 
da variável 
x
 decrescem indefinidamente, ou seja, quando 
x 
. Para isso, observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com base na tabela acima, observamos que quando os valores de 
x
 cresce indefinidamente, ou 
seja, quando 
x 
, os valores da função 1
( )f x
x

 estão cada vez mais próximos de zero, isto é, 
1
lim ( ) lim 0
x x
f x
x 
 
. Analogamente, quando os valores de 
x
 decresce indefinidamente, ou seja, 
quando 
x 
, os valores da função 1
( )f x
x

 estão cada vez mais próximos de zero, isto é, 
1
lim ( ) lim 0
x x
f x
x 
 
. 
 De um ponto de vista mais informal, se os valores de uma função 
( )f x
 ficam cada vez mais 
próximos de um número 
L
 à medida que 
x
 cresce sem parar, então escrevemos: 
lim ( )
x
f x L


, ou seja, 
( )f x L
 quando 
x 
. 
 Analogamente, se os valores de uma função 
( )f x
 ficam cada vez mais próximos de um número 
L
 
à medida que 
x
 decresce sem parar, então escrevemos: 
lim ( )
x
f x L


, ou seja, 
( )f x L
 quando 
x 
. 
 Abaixo veremos uma ilustração gráfica dos limitesno infinito. 
 
 
 6 
- Dicas Importantes para você 
 Se 
C IR
 é uma constante qualquer então: 
) 0 ) 0lim limn n
x x
Isso significa que x Isso significa que x 
crece ou decresce crece ou decresce
indefinidamente indefinidamente
C C C C
I II
x x 
   
 
 
-Exercícios Resolvidos 
1) Calcule os seguintes limites: 
 12)
1
3
)
2
4
) 2
2 limlimlim  
xxc
x
b
xx
a
xxx
 
Resolução: 
(a) Temos que, note que se 
x 
 então 2 2x x   . Assim, 
2
4 4
0
2
lim
x x x
 

. 
(b) Temos que, 
3 3
0
1
lim
x x
 
 
. 
(c) Observe que 2 2 1x x   quando x  . Assim, 
 2 2 1lim
x
x x

   
. 
Abaixo você terá uma ilustração do gráfico de cada uma dessas funções. 
 
 
 
 
 
 
 7 
- Dica Importante para Você: 
Limites de polinômios quando 
x 
 
 O comportamento de um polinômio qualquer 
1 2
1 2 1 0( )
n n
n nP x a x a x a x a x a

     
, 
com 
0na 
, coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau 
n
na x
. 
 Resumindo, se 
1 2
1 2 1 0( )
n n
n nP x a x a x a x a x a

     
, com 
0na 
, então 
1 2
1 2 1 0lim ( ) lim
n n n
n n n
x x
a x a x a x a x a a x
 
     
 
e 
1 2
1 2 1 0lim ( ) lim
n n n
n n n
x x
a x a x a x a x a a x
 
     
 
 
 
-Exercícios Resolvidos 
1)Calcule os seguintes limites, caso existam. 
2 3 2
3
3
3 5 4 5 2 1 3 5
( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim
6 8 1 3 6 82 5x x x x
x x x x x x
a b c d
x x xx   
    
  
 
Resolução: 
(a) Pela dica acima, temos que 
lim (3 5) lim 3
x x
x x
 
 
 e que 
lim (6 8) lim 6
x x
x x
 
 
. 
Assim, 3 5 3 3 3
lim lim lim
6 8 6 6 6x x x
x x
x x  

  

. 
 
(b) Temos que, 2 2
3 3
4 4 4 4
lim lim lim 0
22 5 2x x x
x x x
xx x  

   

. 
 
(c) Temos que, 3 2 3 25 2 1 5 5
lim lim lim
1 3 3 3 3x x x
x x x x
x x  
  
    
   
. 
 
(d) Temos que, 
33 3 3 3 3
3 5 3 5 3 3 3 1
lim lim lim lim
6 8 6 8 6 6 6 2x x x x
x x x
x x x   
 
    
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
-Assíntotas Horizontais 
 Sabemos que função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



, onde 
( ) {2, 2}Dom f IR  
, apresenta duas 
assíntotas verticais, que são as retas 
2x 
 e a reta 
2x  
. Um dos argumentos para afirmar que a reta 
2x 
é uma assíntota vertical da função é o fato de que 
2
lim ( )
x
f x

 
, e para afirmarmos que a reta 
2x  
 é uma assíntota vertical da função é pelo fato de que 
2
lim ( )
x
f x

 
. 
 Observe o gráfico da função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



 e verifique que a reta 
0y 
 limita o gráfico da 
função quando 
x 
, ou quando 
x 
. Essa limitação é devido ao fato de que 
lim ( ) 0
x
f x


 e 
de que 
lim ( ) 0
x
f x


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, diremos que a reta 
0y 
 é uma assíntota horizontal da função 
2
8
( )
( 4)
f x
x



, pois 
0
lim ( ) 0
x
y
Assíntota
Horizontal
f x



. De uma forma geral, quando temos 
lim ( )
x
y L
Assíntota
Horizontal
f x L



 ou 
lim ( )
x
y L
Assíntota
Horizontal
f x L



, 
então a função 
( )f x
 possui uma assíntota horizontal que é a reta 
y L
. 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
-Exercícios Resolvidos: 
1) Considere a função 2
2
2 4 4
( )
2
x x
f x
x x
 


. Determinar se a função possui assíntotas horizontais. 
Resolução: 
Para verificarmos se a função possui assíntotas horizontais é necessário calcularmos os limites 
lim ( )
x
f x

 e 
lim ( )
x
f x

. 
Assim, 
(I) 2 2
2 2
2 4 4 2
lim ( ) lim lim lim 2 2
2x x x x
x x x
f x
x x x   
 
   

. 
(II) 2 2
2 2
2 4 4 2
lim ( ) lim lim lim 2 2
2x x x x
x x x
f x
x x x   
 
   

. 
 Pelos resultados acima, verificamos que a função 2
2
2 4 4
( )
2
x x
f x
x x
 


 possui apenas uma 
assíntota horizontal que é a reta 
2.y 
 Veja o gráfico da função abaixo e constate esse fato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que a função 2
2
2 4 4
( )
2
x x
f x
x x
 


 também possui assíntotas verticais que são as retas 
2x  
 e 
0x 
. Observe que x=2 e x=0 são as raízes da equação 
2 2
Denominador
x x
. Mostre que 
2
lim ( )
x
f x

 
, 
2
lim ( )
x
f x

 
, 
0
lim ( )
x
f x

 
 e 
0
lim ( )
x
f x

 
 e assim você estará 
provando que as retas 
2x  
 e 
0x 
 são as assíntotas verticais da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
- Exercícios Propostos 
4) Determine o limite de cada uma das funções quando (a) 
x 
 e (b) 
x 
. 
3 3
2 2 3 2
2 5 3
2 3 2
2 3 1 1 12 7
) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
5 7 3 4 12 3 6
3 6 2 3 2 2 3
) ( ) ) ( ) ) ( )
4 8 3 3 5
x x x x
a f x b f x c f x d f x
x x x x x x
x x x x x
e f x f f x g f x
x x x x x x
  
   
    
    
  
    
 
 
5) Para cada uma das funções do exercício (4), determinar as assíntotas horizontais da função. 
6) Com base no gráfico da função ( )
( ) 2
sen x
g x
x
 
 abaixo, determinar as assíntotas horizontais da 
função justificando cada uma delas. 
 
7) Esboce o gráfico de uma função 
( )y f x
 que satisfaça as condições dadas. Nenhuma fórmula é 
necessária, simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada. 
1 1 1 1
( ) (0) 0, (1) 2, ( 1) 2, lim ( ) 1 lim ( ) 1.
( ) (0) 0, lim ( ) 0, lim ( ) lim ( ) , lim ( ) lim ( ) .
x x
x x x x x
a f f f f x e f x
b f f x f x f x f x e f x
   
 
    
       
        
 
 
8) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Em cada caso, determine o que 
se pede com base no gráfico da função. 
( ) ( )
sen x
a f x
x

; Calcule, caso exista, 
0
lim ( )
x
f x

 e 
lim ( )
x
f x

. 
1
( ) ( )b g x sen
x
 
  
 
; Calcule, caso exista, 
0
lim ( )
x
g x

 . 
( )c
 No mesmo plano cartesiano represente 
1( ) , ( ) ( ) . ( )
x
f x x g x x e h x x sen   
. Verifique 
que 
( ) ( ) ( )f x h x g x 
 e com isso estime o valor do limite 
0
lim ( )
x
h x

. 
(c) Represente graficamente a função 22
( )
3 6
x
g x
x


. A reta x=-2 é uma assíntota vertical da função? 
Essa função possui assíntota horizontal? Com base no gráfico, é possível afirmar que a função possui uma 
reta com inclinação positiva que representa uma assíntota da função de forma inclinada?