APX1 METODOS DETERMINISTICOS2 2021-1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 - Métodos Determinísticos II (2021-2)
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1 [2 pts]: Em uma indústria de automóveis, a função contínua f : [0,4) → R relaciona o número
de automóveis produzidos f (x) com o número x de dias de produção. A função f não está definida para
x > 4, pois a principal máquina de finalização está programada para interromper o serviço até que se faça
a manutenção do equipamento. Considerando que quanto mais o número de dias se aproxima de 4 dias,
mais a produção f (x) se aproxima de 200 automóveis (ficando arbitrariamente próxima de 200), julgue os
itens a seguir entre verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta:
a) [1 pts] Podemos afirmar que f (4) = 200.
b) [0,5 pt] Podemos afirmar que lim
x→4− f (x) = 200.
c) [0,5 pt] Podemos afirmar que lim
x→4+
f (x) = 200.
Solução:
a) A função f não está definida para x = 4, portanto não faz sentido falar em f (4). (F)
b) Podemos afirmar que lim
x→4− f (x) = 200, pois o enunciado afirma que conforme x se aproxima de 4, o
valor f(x) se aproxima arbitrariamente de 200 e, observamos também, x < 4 pela restrição do domínio
da função. (V)
c) A função não possui valores de x > 4 e portanto não podemos falar em lim
x→4+
f (x). (F)
Questão 2 [2 pts]: Calcule os limites abaixo:
a) [1,0 pt] lim
x→−4
x3 −16x
x2 +4x .
b) [1,0 pt] lim
x→−2
4− | x |2
2+x .
Solução:
a) lim
x→−4
x3 −16x
x2 +4x = limx→−4
x(x −4)(x +4)
x(x +4) = limx→−4 x −4 =−8.
b) lim
x→−2
4− | x |2
2+x = limx→−2
4− (−x)2
2+x = limx→−2
4−x2
2+x = limx→−2
(2−x)(2+x)
2+x = limx→−2 2−x = 4.
Questão 3 [3,0 pts]: Considere a função
f (x) = 3
x2 −2x +1
e faça os seguintes itens:
a) [1,0 pt] Determine as assíntotas verticais.
b) [1,0 pt] Determine as assíntotas horizontais.
c) [1,0 pt] Esboce o gráfico da função.
Solução:
a) Para determinar as candidatas a assíntotas verticais do gráfico de f(x), precisamos encontrar números
b tais que os limites
lim
x→b+
f (x) ou lim
x→b−
f (x)
sejam iguais a +∞ ou −∞. Para que isso ocorra, buscamos primeiramente que o número b torne o
denominador de f (x) nulo ( tais valores não estarão no domínio de f (x)). No caso da função f (x) =
3
x2−2x+1 , precisamos que x
2 −2x +1 = 0. Logo, x = 1.
Esse valor de x = 1 é apenas um candidato. Precisamos calcular os limites
lim
x→1+
f (x), lim
x→1− f (x).
Observamos que x2 −2x +1 = (x −1)2 é sempre positiva ou zero. Logo, x2 −2x +1 só pode tender a
zero por valores positivos e escrevemos x2 −2x +1 → 0+, quando x → 1+ e quando x →−1−. Donde
concluímos que o primeiro limite
lim
x→1+
3
x2 −2x +1 =+∞.
Analogamente,
lim
x→1−
3
x2 −2x +1 =+∞.
De todo exposto acima, concluímos que a reta x = 1 é assíntota vertical com a função crescendo
arbitrariamente.
b) Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites
lim
x→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x).
Observe que lim
x→+∞
3
x2 −2x +1 = limx→+∞
3
x2
x2
x2 − 2xx2 + 1x2
= 0
1
= 0.
Analogamente, lim
x→−∞
3
x2 −2x +1 = limx→−∞
3
x2
x2
x2 − 2xx2 + 1x2
= 0
1
= 0.
Logo, a reta y = 0 é assíntota horizontal tanto para x →+∞, quanto para x →−∞.
c) O gráfico da função é
2
Questão 4 [3 pts]: Sejam f e g funções de números reais. Se lim
x→a[ f (x)+ g (x)] = 3 e limx→a[ f (x)− g (x)] =
7, encontre lim
x→a[( f (x))
2g (x)+ f (x)(g (x))2], apresentando cada etapa do desenvolvimento com os cálculos
necessários.
Solução:
2 lim
x→a f (x) = limx→a[2 f (x)] = limx→a[ f (x)+g (x)+ f (x)−g (x)] = limx→a[ f (x)+g (x)]+ limx→a[ f (x)−g (x)] = 3+7 = 10.
Donde concluímos que lim
x→a f (x) = 5.
Semelhantemente,
2 lim
x→a g (x) = limx→a[2g (x)] = limx→a[ f (x)+g (x)−( f (x)−g (x))] = limx→a[ f (x)+g (x)]− limx→a[ f (x)−g (x)] = 3−7 =−4.
Donde concluímos que lim
x→a g (x) =−2.
Agora podemos calcular o limite
lim
x→a[( f (x))
2g (x)+ f (x)(g (x))2] = ( lim
x→a f (x))
2 lim
x→a g (x)+ limx→a f (x)( limx→a g (x))
2 = 52.(−2)+ 5.(−2)2 = −50+
20 =−30.
3