Conservação de Momento Angular e Giroscópios

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Conservação de 
Momento Angular e 
Giroscópios 
 
 
 
 
 
Jonathan Tejeda Quartuccio 
Unicamp 
 
Conservação de Momento Angular e Giroscópios 
Chegamos agora a parte menos intuitiva de nosso curso. Essa talvez seja a parte mais 
difícil de toda a física, e por essa razão será necessário ter muita atenção. Iremos tratar a 
respeito de giroscópios. 
Imagine que estejamos no espaço, sem gravidade e sem nenhuma força externa. 
Suponha que temos uma roda de bicicleta. 
 
No ponto D está a minha mão direita e no ponto E está a minha mão esquerda. Eu 
seguro a roda pelo seu eixo de rotação. Eu darei um torque com minha mão direita, ou seja, 
empurrarei o eixo de rotação para frente. Ao empurrar o eixo para frente, minha mão 
esquerda irá para trás. 
Após fornecer o torque à roda, eu irei soltá-la, então a mesma permanecerá girando. 
 
 
A roda continuará girando para sempre. Se eu aplicasse o torque em qualquer outro 
sentido, a roda iria girar nesse sentido eternamente. Isso não é tão difícil de perceber. É 
bastante intuitivo. Agora, vamos para uma parte nada intuitiva. Eu vou girar a roda da bicicleta 
em sua direção (até então a roda não estava girando sobre seu eixo de rotação). 
 
Novamente, eu darei um torque com a minha mão direita. A questão é: o que vai 
acontecer agora? 
Nossa intuição poderia nos dizer que a roda ficaria rodando e girando eternamente. 
Mas isso não pode ocorrer. Perceba que se a roda gira em torno do seu eixo, então existe um 
momento angular, dado na seguinte direção: 
 
Se aplicarmos um torque e depois soltarmos a roda, então ela ficaria girando da 
seguinte maneira: 
 
Ou seja, o momento angular continuaria sempre mudando. Mas temos de lembrar que 
o momento angular só muda quando está sobre a ação de algum torque. Acontece que eu 
apliquei um torque apenas no começo, e depois deixei de aplicar o torque. Como a natureza 
reage, então, em uma situação como essa? 
Vamos analisar um pouco melhor esse caso: 
 
Esse é o caso geral de uma roda girando em sua direção. Em A eu tenho minha mão 
direita e em B eu tenho minha mão esquerda. A distância de A até B eu chamo de b. Então, o 
torque que estou aplicando é dado por . O sentido do momento angular está dado em 
L. A força que eu aplico, eu aplico por um determinado tempo, bem curto, . Quando eu fizer 
isso, um momento ângular será dado na seguinte direção: 
 
Eu aplico a força por um curto período de tempo e então eu paro. Isso quer dizer que, 
após eu parar de aplicar o torque, o momento angular como um todo deixa de mudar. 
Portanto, para resolver nosso problema a natureza inclina a roda. 
 
A roda está girando em seu sentido. 
Com isso, o momento angular está direcionado para sua direita (para a esquerda do 
professor Lewin). Ao aplicar o torque com a mão direita, ou seja, a mão do professor está indo 
em sua direção enquanto que a mão esquerda está indo na direção contrário, ocorrerá o 
seguinte: 
 
Caso nós apliquemos um torque com a mão esquerda, ocorrerá o seguinte: 
 
O momento angular (spin) sempre se move na direção do torque externo. Agora, 
vamos tomar a mesma roda, mas ao invés de aplicar o torque para frente ou para trás, vamos 
aplicar o torque para cima ou para baixo, da seguinte maneira: 
 
Nós vamos colocar a roda da bicicleta em rotação, de maneira que ela gire bem rápido. 
Depois, sentarei num banquinho (o que gira sobre sua base) e irei aplicar um torque sobre a 
roda de acordo com a seguinte figura: 
 
 
Quando sentar sobre o banquinho e o torque for aplicado, o banquinho começará a 
girar: 
 
Quando estamos sentados apenas segurando a roda, não há torque algum, portanto 
temos que nosso momento angular é zero (não estamos girando). Quando aplicamos um 
torque sobre a roda de modo que o vetor momento angular da roda aponte para cima, nosso 
corpo começa a girar de modo que nosso vetor momento angular aponte para baixo: 
 
Quando invertemos o sentido do vetor momento angular da roda, o sentido de nosso 
momento angular também muda: 
 
Isso ocorre devido á conservação total do momento angular do sistema. Chamamos 
esse tipo de movimento de precessão. 
Vamos estudar outro tipo de precessão, um pouco mais intrigante. Temos uma corda, 
e iremos prender em sua ponta a roda da bicicleta. 
Devido à gravidade, a roda irá permanecer na seguinte posição: 
 
Mas nós iremos girar essa roda antes de soltá-la. O eixo de rotação preso à corda 
possui um tamanho dado por r. A roda possui um raio R. O centro da roda é dado por Q. Nós 
daremos um giro sobre a roda, denotado por . Assim, com a regra da mão direita, podemos 
determinar o sentido do momento angular. Ao girar a roda, teremos: 
 
Temos uma força agindo sobre a roda, dado por , onde M é a massa da roda e g é a 
aceleração da gravidade. 
 
Em relação ao ponto P, existe um torque, dado por: 
 
Utilizando a regra da mão direita nós podemos determinar o sentido do torque, pois 
temos : 
 
Em outras palavras, o torque é entrando no plano. Dessa maneira o torque é 
perpendicular ao momento angular. A natureza fará com que o momento angular sempre “vá 
atrás” do torque: 
 
Assim, o torque também começará a mudar. Dessa maneira, a roda começará a girar 
em torno da corda. 
Mas você pode pensar que é impossível a roda permanecer nessa posição, pois existe 
uma força agindo sobre a roda dada por , então a roda tem de ir na direção da 
aceleração. Acontece que não existe uma única força sobre a roda, temos a tensão aplicada na 
corda, e a tensão é exatamente igual a Ma, assim: . 
 
Então, temos: 
 
É importante conhecer a chamada frequência angular de precessão, que é dado 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
O período de precessão é: 
 
 
 
 
Analisando a roda da bicicleta: 
 
 
 
 
 
 
 
Girando nossa roda: 
 
Quando calculamos o período de precessão, estamos calculando o tempo no qual a 
roda demora para dar uma volta completa em torno da corda. Se prendermos um peso à 
nossa roda veremos que o período diminui. 
Giroscópios, ou objetos que giram, possuem um efeito estabilizador. Se subirmos 
em uma bicicleta e não fizermos nada (não pedalarmos) então iremos cair da bicicleta. 
Mas, se a roda da bicicleta estiver rodando, devido ao momento angular, ela não irá cair. 
Da mesma maneira, podemos fazer uma moeda girar por um bom tempo sem cair. O 
momento angular possui uma propriedade de estabilizar as coisas. 
Giroscópios são utilizados em aviões, navios e até mesmo alguns mísseis. Por mais 
que um avião, por exemplo, mude sua direção seu giroscópio permanecerá sempre 
apontando para o mesmo sentido.