Apostila Matrizes

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Faculdade Pitágoras Betim 
 
16 
Matrizes 
Prof ª Aparecida de Cássia O. Lima 
e-mail: aparecidal@pitagoras.com.br 
 
 
2 
Matrizes 
 
Introdução 
 
As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as 
aplicações dessas "tabelas" nos auxiliam por exemplo no ensino da matemática aplicada a informática. As usuais 
transformações de tabelas que usamos como instrumento de estudo das matrizes podem ser feitas através de estudos 
realizados nos campos da economia, engenharia, matemática, física, informática,.... 
 
Na economia por exemplo as matrizes auxiliam como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também 
podem ser originados de tabelas que usamos as matrizes. Junto com a economia temos as organizações comerciais que 
fazem uso da tabela, ou seja trabalham com matrizes 
 
Engenheiros civis fazem constantemente o uso das matrizes, que são de extrema importância para a divisão dos metros 
e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação (laje). Na Física é feito o uso das matrizes a 
partir de tabelas relacionando o deslocamento e o tempo. Entre tantos outros exemplos, esse é o uso da matemática no 
dia a dia relacionando ao estudo de matrizes. 
 
 
Conceito de matriz 
 
A tabela a seguir mostra o consumo mensal, em quilogramas, de uma família durante um trimestre. 
 Abril Maio Junho 
Arroz 10 8 9 
Feijão 4 5 6 
Carne 5 7 10 
 
Representando a tabela usando um par de parênteses, temos: 
Em nosso dia a dia lidamos com elementos dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas 
verticais), formando uma tabela retangular. Em linguagem matemática, uma tabela retangular de 
números é denominada matriz. 
Representamos uma matriz colocando os dados da tabela entre parênteses ou entre colchetes ou, 
ainda, ladeados por barras verticais. 
Matriz do tipo mxn (lê-se matriz m por n) é toda tabela retangular de m.n números reais dispostos em m linhas e em n 
colunas. 
Indicamos uma matriz por letra maiúscula e um elemento dela qualquer por letra minúscula acompanhada por dois 
índices: o primeiro denota a linha e o segundo , a coluna à qual o elemento pertence. 
 
Exemplos: 
a) A=














28711
9401
510320
é uma matriz 3x4, ou seja, possui 3 linhas e 4 colunas. 
b) B=
 642
 é uma matriz 1x3, ou seja, 1 linha e 3 colunas. Também chamada matriz linha. 
c) C=
5
0
3
 é uma matriz 3x1, ou seja, 3 linhas e uma coluna. Também chamada matriz coluna. 
1075
654
9810
 
 
3 
d) D= 










000
000
000 a é uma matriz 3x3, ou seja, 3 linhas e 3 coluna, como todos os seus elementos são iguais a zero ela 
também denominada matriz nula. 
Representação Genérica de uma matriz 
De modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (mxn) pode ser indicada assim: 
*
21
22221
11211
...













nemcom
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n



 
Em uma matriz, a23, representa o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna da matriz Amxn. 
Abreviadamente, a matriz A pode ser representada assim: A = (aij)mxn 
Nessa expressão, i assume valores no conjunto 1,2,3,...,me j assume valores no conjunto 1,2,3,...,n. 
 
Exemplos: 
1-Dada a matriz abaixo, identifique: 
a) O tipo ou a ordem da matriz. 
b) os elementos b22; b43; b3,1; b44. 
 
 
 
 
2- Considerando a matriz A dada anteriormente, efetue: 
a ) a44 + a14 = 
b ) a45 + a11 = 
c ) a24 + a54 = 
d ) a34 - a23 = 
 
3- Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j 
4-O diagrama representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1,2,3,4. A matriz A=(aij)4x4 
associada a esse mapa é definida da seguinte forma: 
aij=



 j a direta ligação tem não i ou ji se 0,
 j a ediretament ligada está i se ,1
 
 
 
Sabendo-se que i e j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1,2,3,4}, construa a matriz A. 
5-(FGV-2005) As meninas 1 = Adriana; 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. 
A matriz M mostra cada elemento aij representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro: 
 
 
 
Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações? 
 
1 2 
4 
3 

















68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
B
 
 
4 
6-Representar explicitamente a matriz A = (aij), com1 ≤· i ≤· 3 e 1 ≤· j ≤· 2, tal que aij = 3i- 2j + 4. 
7- Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 
22 jiaij 
. 
 
Matriz Quadrada 
Uma matriz mxn é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Como m=n, dizemos que a 
matriz é do tipo nxn ou que é quadrada de ordem n. 
22
01
43
x







matriz quadrada de ordem 2 
33
987
654
321
x










matriz quadrada de ordem 3 
Numa matriz quadrada, os elementos aij, para os quais i=j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A 
outra diagonal secundária. 
A=
















5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
 
Matriz Identidade (Unidade) 
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n, na qual aij=0 para i≠j e aij=1 para i=j 
(elementos da diagonal principal). 
 Indica-se matriz identidade de ordem n por In 
Observe que todos os elementos dessa matriz que não estão na diagonal principal são 
iguais a zero. E todos os elementos dessa matriz que estão na diagonal principal são iguais 
a 1. 
I2=






10
01 É uma matriz identidade de ordem 2. 
I3=










100
010
001
 É uma matriz identidade de ordem 3 
A matriz identidade também é o elemento neutro . 
Matriz Triangular Superior 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m=n e aij=o, para todo i>j. 









 
500
240
013
 






30
21 
In=
 
















1...000
0.........
0...100
0...010
0...001
 
Diagonal principal 
Diagonal secundária 
Diagonal principal 
 
5 
Matriz Triangular Inferior 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, ou seja, m=n e aij=0, para todo i<j. 










530
046
000
 






37
01 
Igualdade de matrizes 
Duas matrizes A e B de mesmo tipo são consideradas iguais se os elementos correspondentes forem iguais, ou seja, 
A=(aij)mxn e B=(bij)pxq são iguais se m=p, n=q e aij=bij para i=1,...., m e j=1,....,n. 
 
 
mxnij
aA 
 
 
pxqij
bB 
 
32232221
131211
x
aaa
aaa
A 






 
32232221
131211
x
bbb
bbb
B 






 
ijij baBA 
 
Exemplo: Dadas as matrizes















13
5
110
52
yx
yx
BeA
, calcular x e y para que A =B. 
 
 
 
Exercício: 
Determine x e y de modo que se tenha A=B. 
a) A=








23
12
y
x , B=





 
13
122 x 
b) A=





 
32
1yx , B=








12
11
y
 
Operações com Matrizes 
Adição 
 
Ao utilizarmos matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. Por exemplo, 
consideremos as tabelas: 
 
MatrizOposta 
 
De acordo com as informações dadas, faça: 
a) Escreva as matrizes A para o Rio de Janeiro e B para Belo Horizonte. 
b) A partir dessas duas matrizes podemos obter uma única matriz ,C, que corresponde a soma de A e B. 
 
População Economicamente Ativa (1000) do Rio de 
Janeiro 
Sexo Agosto de 
2009 
Setembro de 
2009 
Homens 2985 2988 
Mulheres 2455 2426 
 
População Economicamente Ativa (1000) de Belo 
Horizonte 
Sexo Agosto de 
2009 
Setembro de 
2009 
Homens 1366 1360 
Mulheres 1207 1206 
 
 
6 
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A=(aij)mxn e B=(bij)mxn é definida como sendo a matriz mxn 
C=A+B 
Obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja, 
Cij=aij+bij 
Para i=1,..., m e j=1, ..., n.escrevemos também |A+b|ij=aij+bij. 
 
Dadas as matrizes 













04
31
,
00
00
BA
, calcule C= A+B. 
 
Dadas as matrizes 











 








16
03
52
10
,
43
12
CeBA
, calcule 
BA 
, B+C. 
Dada as matrizes 
 
A=






 052
310
 , B=








543
211
 e C=










111
123
321 calcule: 
a) A+B 
b) B+A 
c) A+C 
d) C+A 
 
 
Matriz oposta 
 
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A, cujos elementos são simétricos dos elementos 
correspondentes de A. 
A=








76
52
 -A= 








76
52
 logo: 
 
A+(-A)= 








76
52
+








76
52
=






00
00
 
 
Propriedades da adição de matrizes 
 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, valem as seguintes propriedades para a adição: 
 
A=






24
32
 B=





 
92
65
 e C=





 
10
38
 
 
 Propriedade associativa 
A+(B+C)=(A+B)+C é válida para qualquer que seja o tipo A, B, C do tipo mxn. 
 Propriedade comutativa 
A+B=B+A 
 Elemento neutro 
A+0=A nesse caso, 0 representa a matriz nula de mesma ordem de A. 
 Elemento oposto 
A+(-A)=0 nesse caso, -A é a matriz oposta de A e 0 é a matriz nula de mesma ordem de A. 
 
Exercícios 
1-Considere as seguintes matrizes 
 
7 
A=





 
92
65
, B= 










693
543
081 , C=






 12
43
, D= 










3
2
1 , F=










270
102
321 
a) Identifique a ordem de cada matriz 
b) Se for possível calcule: 
 A+B; B+D; A+C; B+F; C+D; D+(-D); B+0 
 
2- Determine, para cada item, os valores de x, y,z. 
a) 




 54
3 x
+ 



 
52
31
y = 




106
0z
 b) 










z
y
x +










1
y
x =










3
2
3 
Subtração 
 
Uma escola de idiomas possui duas unidades de estudos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos obter uma única tabela que represente a diferença entre o número de alunos das duas unidades 
 
 
Dadas as matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, a diferença entre elas, representada por A-B, é a matriz C=(cij)mxn, em que cij=aij-
bij, com 1  i  m e 1 j  n. 
A diferença entre as matrizes A e B também pode ser obtida por meio da adição de A com a oposta de B, A-B= A+(-B). 
 
 
Matriz Transposta e Matriz Simétrica 
Dada uma matriz A do tipo mxn denominamos transposta de A (indicamos como At ou A’) a matriz do tipo nxm obtida 
trocando ordenadamente as linhas de A pelas colunas de A. 
 
Exemplos: 
A=
23
02
53
21
x











, então sua transposta é At 
B=
32
975
864
x






, então sua transposta é Bt 
Unidade 1 
Turno Idioma 
inglês Francês Espanhol 
Matutino 21 18 15 
Vespertino 15 9 8 
Noturno 24 4 18 
 
Unidade 2 
Turno Idioma 
inglês Francês Espanhol 
Matutino 20 15 35 
Vespertino 15 8 8 
Noturno 24 4 18 
 
 
8 
C=
33
910
642
751
x

, então sua transposta é C´ 
Propriedades da transposta: 
 A=B 

At=Bt 
 (At)t=A 
 (k.A)t= k.At (k é número real) 
 (A+B)t=At+Bt 
 (A.B)t= Bt.At 
Uma matriz quadrada é denominada simétrica quando A= At .Podemos observar uma “reflexão” da parte superior com a 
parte inferior, tomando como referência a diagonal principal. 
Exemplo: 












985
843
532
A
 












985
843
532
tA
 
Exercício 
Dadas as matrizes 











 








16
03
52
10
,
43
12
CeBA
, calcule
CBA t 
. 
Matriz anti-simétrica 
Quando A = - At dizemos que A é matriz anti-simétrica. 
Exemplo: 




























085
804
540
085
804
540
tAA
 
 
Propriedades 
Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambas mxn, a matriz C, nxp e o número α, temos: 
I) (At)t=A 
II) (A+B)t=At+Bt 
III) (αA)t= α.At 
IV) (AC)t= At.Ct cuidado! 
 
 
Multiplicação 
 
Multiplicação por um número real (por Escalar) 
 
 
9 
Quando estamos trabalhando com matrizes, é usual chamarmos as quantidades numéricas de escalares. A menos de 
menção explícita em contrário, escalares são números reais. 
 
Na tabela abaixo temos as notas de três alunos em português e matemática no 1º bimestre. Suponha que o peso desse 
bimestre seja 3. 
 
 
Sejam a matriz A=(aij) de ordem mxn e um número real K. Ao 
multiplicarmos K pela matriz A, obtemos a matriz B=(bij) de ordem 
mxn, tal que B=K.A e bij=Kaij, com 1 i m e 1 j n 
 
Exercício: 
Dada a matriz A=









05
2
1
6
, vamos obter as matrizes 2A e -
4
3

A. 
 
Propriedades 
A multiplicação de um número real por matriz apresenta propriedades, onde r e s são números reais e A e B, matrizes 
de mesmo tipo. 
 K(A + B)= KA+KB 
 (k1 +k2)A=K1A+K2A 
 0.A=0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula. 
 K1(K2A)=(K1K2)A 
 
Multiplicação de matriz por matriz 
 
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vejamos a 
seguinte situação. 
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e 
Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3. 
Então: 













0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A 
 
 
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1 
Então: 











0
1
3
B 
 
 
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser 
registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a classificação: 
 Álgebra Calculo 
A 3 6 
B 7 5 
C 9 4 
 
País Vitória Empate Derrota 
Brasil 2 0 1 
Escócia 0 1 2 
Marrocos 1 1 1 
Noruega 1 2 0 
 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
 
 
10 
:
:cos
:
:
Noruega
Marro
Escócia
Brasil
 
Um restaurante oferece três opções de refeiçõespara viagem; pequena, média e grande. Veja nas tabelas a quantidade 
de refeições vendida nesse restaurante durante dois dias e o preço de cada uma delas. 
 
Temos as 
matrizes: 
A=






184730
153521
 B=










6
5
3 
Para saber quanto esse restaurante arrecadou com a venda das refeições na sexta-feira e no sábado, efetuaremos os 
seguintes cálculos: 
 
 
 
 
 
Suponhamos que a seguinte tabela forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos 
alimentos I e II. 
 
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II,quanto 
consumiremos de cada tipo de vitamina? 
 
Exemplos: 
1-Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois orfanatos. Para o 1º orfanato são doados 25 kg de arroz, 20 Kg 
de feijão, 30 kg de carne e 32 kg de batata. Para o 2º orfanato são doados 28 Kg de arroz, 24 Kg de feijão, 35 Kg de carne 
e 38 Kg de batata. 
O empresário faz a cotação de preços em dois supermercados. Veja a cotação atual em reais: 
 
Em qual supermercado será gasto menos? 
 
 
 
 
 
2-Um laboratório fabrica , dentre outros, os remédios a e b. Para a produção de 7g do ingrediente y e 10g do 
ingrediente z. Com relação ao remédio b são necessários 2g de x, 4g de y e 5g de z. E para o remédio C precisamos de 5g 
de x, 1g de y e 6g de z. 
Dispondo esses dados em forma de tabela, temos: 
 
 
 
 
Admitamos que o consumo dos três remédios, nos meses de junho e julho seja: 
Junho: 80 unidades de a, 100 de b e 150 de c; 
Julho: 50 unidades de a, 120 de b e 90 de c. 
Dispondo esses dados em forma de tabela temos: 
 
 Pequena Média Grande 
Sexta-feira 21 35 15 
Sábado 30 47 18 
 
 Preço das 
refeições 
Pequena 3 
Média 5 
Grande 6 
 
Note que, para existir o produto de uma 
linha por uma coluna, ambas devem ter o 
mesmo número de elementos 
Produto (1Kg) Supermercado 1 Supermercado 2 
Arroz 2 2 
Feijão 3 2,40 
Carne 12 14 
Batata 1,60 1,20 
 
 A B c 
X 3 2 5 
Y 7 4 1 
z 10 5 6 
 
 Junho Julho 
a 80 50 
B 100 120 
c 150 90 
 
 A B C 
Alimento I 4 3 0 
Alimento II 5 0 1 
 
 
11 
 
 
Com base nesses dados, queremos saber: 
Quantos gramas de x, y e z precisamos para produzir o que será consumido em cada mês? 
 
3-Dadas as matrizes A=






2221
1211
aa
aa
 e B=






232221
311211
bbb
bbb
 escreva genericamente a operação A.B. 
 
4-Resolva a equação matricial: 




















95
75
22
13
dc
ba
 
5-Sendo A=






21
41
 e B=






28
414
, determine X de modo que A.X=B. 
Observações: 
1) Para efetuar a multiplicação de duas matrizes sempre multiplicamos as linhas da 1ª matriz pelas colunas da 2ª. 
2) Só definimos o produto de Ad.B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
3) O número de linhas da matriz C é igual ao número de linhas de A e, o número de colunas de C é igual ao número 
de colunas de B 
 
 Amxn Bnxp = Cmxp 
 
 
Responda, pensando na definição: 
a) Dada duas matrizes quaisquer, é sempre possível determinar seu produto? 
b) Pela definição, se A é uma matriz mxn e B é uma matriz nxp, existe o produto AB? Se existe, de que tipo é a 
matriz AB? 
c) Se A é uma matriz 2x3 e B é uma matriz 3x4, existe o produto A.B? Existindo o produto, de que tipo é a matriz 
AB? 
d) Dadas duas matrizes quadradas de ordem n, seu produto sempre existe? Se existir, de que tipo é a matriz 
produto? 
Exercícios: 
1-Dada as matrizes: 







12
01
A
 







10
12
B
 







20
02
C
 







10
01
D
 
2-Calcule: 
Devem ser iguais 
O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B 
para que seja possível realizar a multiplicação das matrizes. 
Se as matrizes são quadradas 
devem ter a mesma ordem. 
 
12 
a)A.B b)B.A c)A.C d)C.A e) A.I f)B.I g)C.I 
 
3- Sejam as matrizes 







11
11
A
e 








11
11
B
, calcule A.B. 
 
 
 
 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
Sendo A, B e C matrizes e K um número real, e admitindo-se que as operações abaixo sejam possíveis, são válidas as 
seguintes propriedades: 
 A(BC)=(AB)C associativa 
 A(B+C)=AB+AC distributiva à esquerda, em relação à adição 
 (A +B)C=AC+BC distributiva à direita, em relação à adição 
 (KA)B=A(KB)=K(AB) 
 (AB)t=Bt.At 
Observações: 
1) A multiplicação de matrizes não é comutativa. De modo geral, AB ≠BA. 
2) Quando duas matrizes, A e B, são tais que AB=BA, dizemos que A e B comutam ou que são comutáveis. 
Por exemplo, A = 





 
20
11
 e B=






20
13
 comutam pois: 
A.B= 





 
40
13
 e B.A=





 
40
13
 
3) O produto de duas matrizes não nulas pode ser uma matriz nula. 
4) Por exemplo, se A=






01
01
 e B=






11
00
, então A.B=






00
00
 
5) A lei do cancelamento não tem validade, ou seja, pode ocorrer A.B=A.C mesmo com A≠0 e B≠0. 
 
O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, 
A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e definido pela matriz m × n 
C = AB 
obtida da seguinte forma: 
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj, (1.1) 
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos também [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj. 
A equação (1.1) está dizendo que o elemento i, j do produto é igual `a soma dos produtos dos elementos da i-´esima 
linha de A pelos elementos correspondentes da j-´esima coluna de B. 
 
13 
 
 Cmn = Amp . Bpn 
A equação (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notação de somatório. 
  


p
k
kjiKpjipjijiIJ babababaAB
1
2211 ...
 
e dizemos “somatório de k variando de 1 a p de aikbkj”. O símbolo 


p
k 1
significa que estamos fazendo uma soma em 
que o índice k está variando de K=1 até k=p. 
 
Sejam A=(aij)mxn e B=(bij)mxn. Faça: 
a) Suponhamos que seja possível realizar a multiplicação de A por B, sendo assim, qual seria a ordem da 
matriz C? 
b) Sendo a A3x2 e B 2x1: é possível realizar a multiplicação entre elas? Caso positivo, qual é a da resultante 
de A.B? Escreva algebricamente os elementos dessa matriz. 
 
Elemento Neutro da multiplicação 
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I). 
 
 
Exercício: 
1-Qual é o valor de c23 na multiplicação das matrizes abaixo? 
















21
44
25
21








2252
4515
=












44434241
34333231
24232221
14131211
cccc
cccc
cccc
cccc
 
 
Matriz inversa ou não singular de uma matriz dada 
Qual é o inverso de 3? É o número 
3
1
. E o inverso do número 
4
5
? É o número 
5
4
. 
Observe que 3. 
3
1
=
3
1
.3=1 
4
5
.
5
4
=
5
4
.
4
5
=1 
 
14 
De modo geral, o inverso de um número real a, a≠0, é o número 
a
1
, que também é indicado como a-1 . Assim, temos: 
a.a1= a-1.a=1 
 
Vamos usar um raciocínio análogo para verificar essa propriedade no caso de matrizes quadradas de mesma ordem. 
Se existeuma matriz B, quadrada de ordem n, tal que A. B=B.A=In, dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A. 
Costumamos indicar a matriz inversa por A-1 . Assim, B=A-1. 
Portanto, A.A-1=A-1.A=In 
A matriz I é a matriz identidade da mesma ordem que as matrizes A e A-1. 
Se a matriz quadrada A é invertível, então a sua inversa é única. 
Quando uma matriz quadrada não possui inversa, dizemos que ela é uma matriz singular ou não inversível. 
 
*A inversa existe se suas linhas e colunas são linearmente independentes. 
 
Observações: 
1) Uma matriz nula não admite inversa. 
2) Toda matriz unidade (matriz identidade) é inversível e igual à sua inversa (In=In
-1). 
 
Propriedades 
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, são válidas as seguintes propriedades: 
 
 Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal são todos não-nulos. 
 A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior. 
 A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior. 
 (A-1)-1=A (uma matriz inversível é igual à inversa de sua inversa). 
 (A-1)t=(At)-1 ( a transposta da inversa é igual à inversa da transposta). 
 (AB)-1=B-1.A-1 (observe a ordem) 
 
........)( 11111   
fatores n
nn AAAAAA  
 
 Se A é uma matriz simétrica inversível, então A-1 é simétrica. 
 AA inversa de uma matriz se existir é única. 
 Se A é uma matriz inversível, então A. At e At.A são também inversível 
 
 
Exemplo: 
1-Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A, se possível: 
a) 






32
85
. b) 





 
11
13
 c) 






12
36
 
 
2-Verifique se a matriz A= 








32
11
 é invertível e a matriz A-1=








12
13
 é a sua inversa. 
 
 
3-Determine as inversas das matrizes 






51
42
 e 






42
21
. 
 
4- Seja A= 






21
74
, calcule: 
a)A³ b)A-³ c)A²-2.A+I, onde I é a matriz identidade. 
 
 
Exercícios 
1- Determine a inversa das matrizes: 
 
15 
 a)D=






00
21
 b) B=










021
131
001 
 
c) 







01
43
A
 
 
2- Sendo A=






13
12
 
e B= 






62
52
 
, calcule: 
a) A Bt b)(AB)t c)AtBt d) BtAt e)B.A 
3- Sendo A= 



 
201
132
, obtenha A. At 
4-Dadas as matrizes: G=
1 0 2
2 1 3
1 0 3
 
  
 
  
 e K =
3 0 2
9 1 7
1 0 1
 
 
 
  
 
Determine: 
a)A = G + K 
b)B = G – K 
c)C = 4 K – 3 G 
d)D = G . K 
e) Verifique se G é a matriz inversa de K para que seja verdade o produto de G . K = I3. 
 
Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversível. 
Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A-1B. 
 
 
BAX
BAIX
BAXAA
BAAXA
BAX
1
1
11
11









 
O mesmo também é válido para 
1 BAXBXA
 
1) Sabendo que 















13
52
01
01
BeA
 
 
16 
a) verifique se 







11
01
1A
 
b) determine X tal que AX = B 
 
 
Exercícios 
1- Escreva a matriz correspondente à tabela de notas de três alunos: 
 Matemática Física Química 
Ana 6 4 5 
Antônio 5 7 5 
Beatriz 5 6 7 
2- Para controlar a alimentação, de uma pessoa fez uma pesquisa sobre a quantidade de energia e de proteínas 
presentes em 100 gramas de alguns tipos de carne.Constatou que o filé de frango grelhado tem 159 Kcal de 
energia e 32 g de proteína; a sardinha assada tem 164 Kcal e 32,2 g de proteína; e o contrafilé grelhado tem 278 
Kcal e 32,4 g de proteína. 
a) Organize esses dados em uma tabela. 
b) Escreva a matriz correspondente a essa tabela. 
c) Qual é o tipo dessa matriz 
3- Uma rede comercial é formada por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela abaixo mostra o faturamento, em 
real, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro: 
Cada elemento aij da matriz é o faturamento da loja i no dia j. 
a)Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? 
b) Qual foi o faturamento dessa rede de lojas no dia 3? 
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos quatro dias? 
 
4- A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 5 dias. Cada 
elemento aij da matriz a seguir corresponde à temperatura obtida no instante i do dia j. 
Determine: 
a)O instante e o dia em que o paciente apresentou a maior 
temperatura. 
b) a temperatura média do paciente no 3º dia de observação. 
 
 
5- Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes: 
a) A=






51
64 b) B=














 6
5
2
1
 c) C=



















100
3110
145
262
031
 
6- a) Dentre as matrizes do exercício anterior, qual é a matriz coluna? 
b) Identifique quais são os elementos C32, B21, A22. 
















1950204020201800
2680230024202500
3050270028003010
1680174018201500
1950180020301950
 










2,39371,367,355,35
4,405,402,37371,36
36386,384,366,35
 
 
17 
7- Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: 








jij
ji
aij
 se 1i
 se 2
2
ji 
8- Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por  







jise
jise
a
ji
ij
,0
,1 
9- Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 






jiseji
jiseji
aij
,
,
 
10- Sejam 























ca
Be
a
A
b
3
3
2
92
81
1
log27
16
1
calcule a, b e c para que A=B. 
11- ) Determine x e y, sabendo que 














16
7
3
32
yx
yx
 
12- Determine a, b, x e y, sabendo que 





 








70
13
2
2
bayx
bayx
 
13- Sendo 












534
201
321
M
, 











100
010
001
N
 e 














023
102
110
P
, calcule: 
a) N – P + M 
b) 2M – 3N – P 
c) N – 2(M – P) 
 
14- Seja C=(cij)3x3 a soma das matrizes A=(aij)3x3 e B=(bij)3x3 tais que aij=i²+j² e bij=2ij 
15- Seja C=(cij)2x3 a soma das matrizes A=






543
210
 e B=






11109
876
. Calcule a soma c21+c22+c23. 
16- Determine x ey de modo que se tenha: 

























110
15
22
11
2
²
4
3
22
3
xy
xy
xy
xy
 
17- Sabendo que A=










1
0
1 e B=










0
1
2 , resolva o sistema





BAyx
BAyx
23
2
 
18- Suponha que A, B e C são matrizes dos tamanhos A3x4, B4x7, C7x3 
Determine os tamanhos das matrizes definidas pelos produtos: 
a) A.B b) B.C c) A.C d)C.B e)B.A 
 
19- Calcular os seguintes produtos, quando for possível: 
a)











32
74
01
10
 b) 










3
2
1
 2113
 c)






 741
251
 












03
32
11 
d)



















 
11
13
12
11
1732
0511
 e)









 
43
22
11 






 154
321
 f) 










430
022
110










021
100
740 
 
18 
g) 










3
2
1






 154
321
 
 
20- Calcular o produto ABC, sendo dadas: 
A=






15
20
, B=






123
111
 e C=










12
01
13 
21- Dadas as matrizes A=






 31
21
 e B=





 
01
11
, calcule (A+B)², e A²+2(AB)+B². 
22- Dadas as matrizes





 

30
21
A
 e 





 

02
31
B
. Calcule: 
a) A² 
b) A³ 
c) A²B 
d) A² + 3B 
23- É valida a igualdade (A+B)(A-B)=A²-B² quando A=






45
32
 e B=






 21
21
? 
 
24- Resolva as equações matriciais: 
a) 


















1
2
10
21
y
x
 b) x. 






32
01
=






30
62
 C)










 111
032
010 . X=










0
5
5 
25- Dada as matrizes 









 












z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que B = At. 
26-Dadas as matrizes 







13
21
A
 e 





 

34
12
B
, calcule AB + tB 
27- Dada a matriz 
 
22xij
aA 
, tal que 
 
 
 se 
 se 
2











 

 ji jcos
 ji isen
aij
, determine: 
 
a) tA 
b) A² 
c) 1A 
 
28-Para um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. 
Primeiramente associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada: 
A B C D E F G H I H 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
L M N O P Q R S T U 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
V W X Y Z 
21 22 23 24 25 
 
Desta forma, supondo-se que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-se tomar uma matriz 
2x2, da forma: 
 
19 






Z
AP
,a qual, usando-se a tabela acima, será dada por : M=






025
115
. 
Tomando-se a matriz-chave C como o código, isto é: 
C=






21
32
, transmite-se a mensagem “PAZ” através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 
M.C=






025
115
.






21
32
=






7550
4731
 ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma utilizando-se a 
mesma matriz chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a 
transmissão da palavra: 
a) LUTE c) AMOR e) FUGA 
b) FOGO d) VIDA 
 
29-Lembrando que, a notação de somatório é utilizado quando temos a multiplicação de duas matrizes e desejamos 
saber um elemento específico sem a necessidade de realizar a operação. Imagine uma matriz gigantesca com outra 
também nas mesmas proporções, seria muito trabalhoso. 
A=(aij) mxn e B= (bij)nxp A.B=(cij)mxp onde
njinjiji
n
K
kjikij babababac 

....... 2211
1
 
Observem que k varia de 1 até n 
Dadas as matrizes abaixo, encontre os elementos solicitados se possível utilizando a notação de somatório, escreva ela 
genericamente depois o valor do elemento: 











35
24
12
A
, 





 

40
11
B
, 







103
102
C
, 
 12 D
,
 1H
, 











113
654
321
L
 
a) E=A.B, encontre os elementos E22, E31. 
b) F=B.B, encontre os elementos F11, F12 
c) G=D.C, encontre os elementos G12 e G13 
d) M= H.D , encontre os elementos M11 e M12 
e) N=L.L, encontre os elementos N23, N32, N12. 
 
30-Dadas as matrizes do exercício 29. Verifique se é possível realizar as seguintes operações: 
a) A² b) B² c) C² d) D² e)H² f) L² 
O que você observou? 
 
 
 
20 
Respostas: 
 
1-










765
575
546 
 
2- a) 
 
 
 
 
b) 










4,32278
2,32164
32159
 
c) Matriz do tipo 3x2 
 
3- a 2800 
b) 10580 
c) 7730 
 
4 a) no instante i=2 j=4 e temperatura igual a 40,5 
 b)37,3 
 
5- a) 2x2 b)3x1 c)5x3 
 
6- a) B 
 b)4, 5, 5 
 
7-










789
3234
1681
 
8-













011
101
110
 
9-












2
1
4
3
3
2
1
2
 
10- a = - 3 , b =- 4, c = - 4 
11- x = 5 e y = -1 
12- x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5 
13- a) 










65-7
3-11
232 b) 










78-11
5-3-0
551-
 c) 










9-10-14-
612-
4-6-1-
 
 
14- A=










181310
1385
1052 B=










18126
1284
642 C=










362516
25169
1694 
15- 12+14+16=42 
Tipo de carne Energia (Kcal) proteína 
Filé de frango grelhado 159 32 
Sardinha assada 164 32,2 
Contra-filé grelhado 278 32,4 
 
 
21 
16-y=2 x=-1 ou x=-3 
17-x=

















2
5
2
3
2
1
 y=


















2
1
2
1
2
1
 
 
18- a) 3x7 b)4x3 c)não é possível realizar a multiplicação d) não é possível realizar a multiplicação 
d)não é possível realizar a multiplicação 
 
19- a) (
 
 
) b) (
 
 
 
) c) (
 
 
) d) (
 
 
) e) (
 
 
) 
 f) (
 
 
 
) g)Não é possível realizar a multiplicação. 
 
20-(
 
 
) 
21-(A+B)²= (
 
 
) A²+2.AB+B²=






39
118
 
 
22- a) 






90
8-1
 b) 






270
26-1
 c) 






018
3-15
 d) 






96
17-4
 
 
23-não, pois: 
(A+B).(A-B)= (
 
 
). (
 
 
)=(
 
 
) 
 
A²-B²=(
 
 
) ((
 
 
))=(
 
 
) 
 
24-a) x=0, y=1 b)X=(
 
 
) c) (
 
 
 
) 
 
25-x = 
2
 , y = 8 e z = 2 
 
26-






39
118
 
27- a) 





 
01
11
 b) 






 11
10
 c) 





 
11
10
 
28-d 
 
29- a) 
4.. 22221221
2
1
22 

bababaE
K
kjik
 
5.. 21321131
2
1
31 

bababaE
K
kjik
 
 
 
 
22 
b) 
1.. 21121111
2
1
11 

bbbbbbF
K
kjik
 
 
5.. 22121211
2
1
12 

bbbbbbF
K
kjikc) 
0.. 22121211
2
1
12 

cdcdcdG
K
kjik
 
 
1.. 23121311
2
1
13 

cdcdcdG
K
kjik
 
 
d) 
2. 1111
1
1
11 

dhdhM
K
kjik
 
 
1. 1211
1
1
12 

dhdhM
K
kjik
 
 
e) 
48... 322323221321
3
1
23 

llllllllN
K
kjik
 
 
12... 323322321231
3
1
32 

llllllllN
K
kjik
 
 
15... 321322121211
3
1
12 

llllllllN
K
kjik
 
30- a) não é possível b) 





 
160
51
 c) não é possível d) não é possível e)1 
 
 f)
 (
 
 
 
)
 
 
 
23