eulerianas

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3 Integrais Eulerianas
3.1 Função Gama
A função gama, representada por Γ(x), é de�nida por
Γ(x) =
∫
∞
0
tx−1e−tdx
e 
onverge quando x > 0.
3.1.1 Fórmula de Re
orrên
ia
Γ(x+ 1) = xΓ(x)
De fato,
Γ(x+ 1) =
∫
∞
0
t(x+1)−1e−tdt
Γ(x+ 1) =
∫
∞
0
txe−tdt
Γ(x+ 1) = lim
b→∞
∫ b
0
txe−tdt
Usando a integração por partes, temos:
Γ(x+ 1) = lim
b→∞
(
−t
x
et
+ x
∫ b
0
tx−1e−tdt
)
Γ(x+ 1) = x lim
b→∞
∫ b
0
tx−1e−tdt
Γ(x+ 1) = xΓ(x)
Em parti
ular, se x é um número inteiro positivo, então
Γ(x+ 1) = xΓ(x) = x!
De fato:
Γ(1) = 1
2
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1 · 1 = 1
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2Γ(2) = 2 · 1 = 2
.
.
.
Γ(x+ 1) = xΓ(x) = x(x− 1) · · ·2 · 1 = x!
3.1.2 Função Gama para 0 < x < 1
Para 0 < n < 1, utilizamos a relação dos 
omplementos dada por
Γ(x)Γ(x− 1) = pi
sen(npi)
Exemplos: Fazendo x = 1
2
, temos
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1− 1
2
)
=
pi
sen
(
1
2
pi
)
[
Γ
(
1
2
)]2
= pi
Γ
(
1
2
)
=
√
pi
Fazendo x = 3
2
, temos
Γ
(
3
2
)
= Γ
(
1
2
+ 1
)
=
1
2
Γ
(
1
2
)
=
√
pi
2
3.1.3 Fução Gama para x < 0
Da relação de re
orrên
ia Γ(x + 1) = xΓ(x), podemos generalizar a função gama
para x < 0 isolando Γ(x):
Γ(x) =
Γ(x+ 1)
x
Assim, para x = −1
2
temos
Γ
(
−1
2
)
=
Γ
(
(−1
2
+ 1
)
−1
2
= −2Γ
(
1
2
)
= −2√pi
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Determine os valores de: Γ
(
5
2
)
, Γ
(
7
2
)
e Γ
(
13
2
)
.
2. Determine os valores de: Γ
(
−3
2
)
, Γ
(
−5
2
)
e Γ
(
−13
2
)
.
3.2 Função Beta
A função beta, representada por β(x, y), é de�nida por
β(x, y) =
∫ 1
0
tx−1(1− t)y−1dt
Se x ≤ 1 e y ≤ 1, esta é uma integral própria. Se x > 0, y > 0 e x < 1 ou y < 1,
a integral é imprópria mas 
onvergente. Sendo assim, β(x, y) é uma função 
onvergente
quando x > 0 e y > 0.
De
orrem da de�nição as seguintes propriedades:
3
• β(x, y) = β(y, x)
• β(x, y) = (y − 1)!∏n−1
i=0 (x+ i)
• β(x, y) = Γ(x)Γ(y)
Γ(x+ y)
Exer
í
io Resolvido: Determine:
a) β(3, 5)
b) β(6, 3)
Referên
ias
WREDE, R.; SPIEGEL, M. Advan
ed Cal
ulus. 2. ed. M
Graw-Hill.