Interpolação Polinomial para Estimar Despejo de Poluentes

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Professor: Fernando 
Interpolação 
 
Forma de Diferenças Divididas de Newton 
(Interpolação parabólica progressiva) 
A tabela para a Interpolação parabólica progressiva pode ser dada como: 
x
 
)(xf
 
),( xxf
 
),,( xxxf
 
),,,( xxxxf
 
 0 63 
 D1 
5 89 D2 
 D1´ D3 
15 173 D2’ 
 D1’’ 
30 429 
Pelo processo das Diferenças Divididas, temos exatamente  
D1 = 
50
8963
2,5



 , D’’1 = 17,07 = 
 
 
 , D’1 = 8,4 = 
 
 
 
 
D2 = 
150
4,82,5
213,0



 , D’2 = 0,347 = 
 
 
 e D3 = 
300
347,0213,0
0045,0



 
 
x
 
)(xf
 
),( xxf
 
),,( xxxf
 
),,,( xxxxf
 
0 63 
 5,2 
5 89 0,213 
 8,4 0,0045 
15 173 0,347 
 17,07 
30 429 
 
A Interpolação será dada pela equação: 
 
 
Dada a tabela, determine uma aproximação para f(1.5), pelo processo das Diferenças Divididas 
x
 
)(xf
 
),( xxf
 
),,( xxxf
 
),,,( xxxxf
 
1 4 
 11/1 = 11 
2 15 14/2 = 7 
 25/1 = 25 -3/-3 = 1 
3 40 20/2 =10 
 45/1 = 45 
4 85 
P3(x) = 4+11(x-1)+7(x-1)(x-2)+1(x-1)(x-2)(x-3) 
P3(x) = x3 + x2 + x + 1 
P3(1,5) = 4+11(1,5-1)+7(1,5-1)(1,5-2)+1(1,5-1)(1,5-2)(1,5-3) = 8,125 
 
 
Exércicio Extra 
 situação: uma fábrica despeja dejetos no leito de um rio; 
 objetivo: determinar a função(quantidade de dejetos expelidos x tempo) e estimar as 11h; 
 metodologia idealizada: fazer a coleta de amostra a cada hora; 
 realizado: após muitas tentativas, apenas 4 tiveram sucesso: 
 
Como estimar o que se deseja dos dados observados? 
 Tentar extrair dos dados coletados alguma indicação sobre a função que descreve a taxa de mudança na 
quantidade de poluição ao longo do dia; 
 reescrevendo os dados de outra maneira, com o tempo medido a partir do horário de início de 
funcionamento da fábrica. 
 
 
Para preencher as lacunas nos dados, admite-se que os valores de uma medida são constantes até a seguinte: 
 
 
E se supormos que o despejo ocorre de forma 
contínua e suave? 
 
 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
 Exemplo: despejo de poluentes com 4 dados: n =4 
 
 
Como n =4 temos n-1 =3 
Polinômio interpolador: grau ≤ 3 : P3(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0 
assim temos que para calcular a3, a2, a1, a0: 
 P3(x0) = a3 x0
3 + a2 x0
2 + a1 x0 + a0 
 P3(x1) = a3 x1
3 + a2 x1
2 + a1 x1 + a0 
 P3(x2) = a3 x2
3 + a2 x2
2 + a1 x2 + a0 
 P3(x3) = a3 x3
3 + a2 x3
2 + a1 x3 + a0 
 
 2 = a3 0
3 + a2 0
2 + a1 0 + a0 → a0 = 2 
 3 = a3 2
3 + a2 2
2 + a1 2 + 2 → 1 = 8a3 + 4a2 + 2 a1 
 4 = a3 5
3 + a2 5
2 + a1 5 + 2 → 2 = 125a3 + 25a2 + 5 a1 
 1 = a3 9
3 + a2 9
2 + a1 9 + 2 → -1 = 729a3 + 81a2 + 9 a1 
 
 P3(x) = -0,013 x
3
 + 0,061 x2 + 0,43 x + 2 e P3(3) = -0,013. 3
3
 + 0,061. 3
2 + 0,43. 3 + 2 = 3, 488 kg 
 
Interpolação Lagrange 
 Considerando n = 4, teremos 04 polinômios de grau n - 1 = 4 - 1 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpolação Newton 
 
 
 
 
x
 
)(xf
 
),( xxf
 
),,( xxxf
 
),,,( xxxxf
 
0 2 
 1/2 = 0,5 
2 3 -0,17/5 = -0,034 
 1/3 = 0,33 -0,120/9 = -0,133 
5 4 -1,08/7 =-0,154 
 -3/4 = -0,75 
9 1 
P3(x) = 2+0,5(x-0)- 0,034(x-0)(x-2)- 0,133(x-0)(x-2)(x-5) 
P3(x) = -0,133x3 + 0,897x2 -0,762x + 2 
P3(3) = -0,133. 33 + 0,897. 32 -0,762. 3 + 2= 4,196 kg