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IST - 1o Semestre de 2011/12
LEGM, MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 2 - Espaços Vectoriais
1
1 Combinações lineares de vectores de Rn
Por Rn entenderemos o conjunto de todas as sequências ordenadas de n números reais
x = (x1, ..., xn) ,
às quais chamaremos de vectores. Os valores reais x1, ..., xn, tomam o nome de componentes
do vector x.
Dois vectores x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) dizem-se iguais se as suas componentes
homólogas forem iguais. Isto é x = y ⇔ x1 = y1, ..., xn = yn.
Em Rn introduzimos duas operações. Uma de soma de vectores e outra de multiplicação
ou produto de um escalar por um vector. Para isso sejam u = (u1, ..., un) , v = (v1, ..., vn)
e w = (w1, ..., wn) vectores de Rn e α, β números reais.
• Soma em Rn:
u + v = (u1 + v1, ..., un + vn) .
• Produto escalar em Rn:
αu = (αu1, ..., αun) .
• Estas operações gozam das seguintes propriedades, características da estrutura algé-
brica de Rn:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade).
ii) u + v = v + u (comutatividade).
iii) u + 0 = u, onde 0 = (0, ..., 0) é o vector nulo (existência de elemento neutro).
iv) u + (−u) = 0, onde −u = (−u1, ...,−un) (existência de elemento simétrico).
v) α (u + v) = αu + αv (distributividade).
vi) (α + β) u = αu + βu (distributividade).
vii) α (βu) = (αβ) u (associatividade).
viii) 1u = u.
1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
Sejam v1, v2, ..., vn, vectores de Rm. Um vector v ∈ Rm diz-se uma combinação linear
de v1, v2, ..., vn, se existirem números reais x1, ..., xn, tais que
x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = v.
Os valores x1, x2, ..., xn, tomam o nome de coeficientes da combinação linear.
O conjunto de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn, designa-se por
L ({v1, v2, ..., vn}) ,
e é chamado de conjunto gerado por {v1, v2, ..., vn} , o qual toma o nome de conjunto
gerador.
Se L ({v1, v2, ..., vn}) = Rm, diremos que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto gerador de Rm.
Em termos de componentes, v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn =
(v1n, v2n, ..., vmn) formam um conjunto gerador de Rm se e só se a matriz

v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn

 ,
pode ser transformada por operações elementares de linhas numa matriz em escada de linhas
com um pivô em cada linha (ie. sem linhas nulas).
1.1 Exercícios
Exercício 1 Considere em R2 o conjunto G = {(1, 1) , (2, 2)} .
a) Mostre que o vector (−5,−5) é combinação linear dos vectores de G.
b) É também o vector (1, 0) combinação linear dos vectores de G?
c) O conjunto G gera R2?
d) Determine a forma geral dos vectores (a, b) ∈ L(G).
Exercício 2 Considere em R3 o conjunto G = {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1, 2, 2)} .
a) Mostre que o vector (2, 3, 3) é combinação linear dos vectores de G.
b) Mostre que o vector (0, 0, 1) não é combinação linear dos vectores de G.
c) O conjunto G gera R3?
d) Determine a forma geral dos vectores (a, b, c) ∈ L(G).
Exercício 3 Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores geram R3:
a) {(1, 3, 3) , (4, 6, 4) , (−2, 0, 2) , (3, 3, 1)} .
b) {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} .
c) {(1, 4, 2) , (0, 0, 0) , (−1,−3,−1) , (0, 1, 1)} .
d) {(26, 47, 29) , (123, 0, 498)} .
2
Exercício 4 Quais dos conjuntos indicados a seguir geram R4?
a) {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 1, 0) , (0, 1, 1,−1)} .
b) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)} .
c) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1)} .
d) {(11,−12, 1, 1) , (45, 17, 1, 20) , (21, 3, 41, 122)} .
Exercício 5 Determine o único valor de a que faz com que
G = {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (0, 2, 0) , (3, 2, a)}
não seja um conjunto gerador de R3.
Exercício 6 Considere em R3 o conjunto G = {(1, 0, 1) , (0, 1, a) , (1, 1, b) , (1, 1, 1)} . Qual o
único par (a, b) ∈ R2 que faz com que G não gere R3?
Exercício 7 Considere em R4 o conjuntoG = {(1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, a)}.
Calcule o único valor de a que faz com que G não gere R4.
2 Dependência e independência linear
Os vectores de Rm, v1, v2, ..., vn, dizem-se linearmente dependentes sempre que um
deles é combinação linear dos restantes. Ou seja, os vectores v1, v2, ..., vn, são linearmente
dependentes se existir j ∈ {1, ..., n} tal que
vj ∈ L ({v1, ..., vj−1, vj+1, ..., vn}) ,
o que sucede se e só se existirem números reais c1, ..., cj−1, cj+1, ..., cn, tais que
vj = c1v1 + ... + ci−1vj−1 + cj+1vi+1 + ... + cnvn.
Em caso contrário diremos que os vectores v1, v2, ..., vn, são linearmente independentes.
São válidos os seguintes critérios para aferir se um conjunto de n vectores é linearmente
dependente ou independente:
i) No caso n = 2, v1, v2, são vectores linearmente dependentes se e só se um deles é
múltiplo do outro.
ii) Se existe j ∈ {1, ..., n} tal que vj = 0, então v1, ..., vj, ..., vn, são vectores linearmente
dependentes.
iii) v1, v2, ..., vn, são linearmente independentes se e só se o sistema homogéneo na forma
vectorial
x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = 0
nas variáveis x1, x2, ..., xn, só tem a solução nula.
3
Em termos de componentes, v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn =
(v1n, v2n, ..., vmn) , são linearmente independentes se e só se o sistema homogéneo

v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn




x1
x2
...
xn

 =


0
0
...
0

 ,
nas variáveis x1, x2, ..., xn, só tem a solução nula.
iv) v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn = (v1n, v2n, ..., vmn) , são linear-
mente independentes se e só se a matriz

v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn


pode ser transformada através de operações elementares de linhas numa matriz em
escada de linhas com n pivôs.
vi) Se n > m, v1, v2, ..., vn, são vectores linearmente dependentes.
2.1 Exercícios
Exercício 8 Em cada um dos seguintes casos, mostre que os vectores indicados são linear-
mente dependentes:
a) Em R3, v1 = (1, 1, 2), v2 = (2, 2, 4) .
b) Em R3, v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 3, 3), v3 = (0, 1, 1) .
c) Em R4, v1 = (0, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 3, 2, 3) .
d) Em R4, v1 = (0, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, 3), v4 = (0, 0, 0, 0) .
Exercício 9 Em cada um dos seguintes casos, analise se vectores indicados são linearmente
independentes:
a) Em R4, v1 = (1, 1, 0, 0) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (0, 0, 1, 1) , v4 = (0, 1, 0, 1) .
b) Em R3, v1 = (1, 1, 2) , v2 = (1, 2, 1) , v3 = (3, 1, 1) .
Exercício 10 Quais dos seguintes conjuntos são constituídos por vectores linearmente in-
dependentes?
a) {(1, 1, 1) , (1, 2, 1)} ⊂ R3.
b) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 1)} ⊂ R3.
c) {(1, 1, 1) , (2, 2, 0) , (0, 0, 1)} ⊂ R3.
d) {(2, 46, 6) , (23, 2,−123) , (1, 23, 1) , (1, 10, 1)} ⊂ R3.
e) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1) , (2, 0,−1, 1)} ⊂ R4.
f) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1) , (2, 1,−1, 1)} ⊂ R4.
g) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)} ⊂ R4.
h) {(1, 23, 1, 14) , (1, 12, 1, 0) , (24,−1, 0, 0) , (11, 19, 17,−123) , (101, 119, 1, 1)} ⊂ R4.
4
Exercício 11 Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de R4
v1 = (1, 0, 0, 2) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (2, 0, 1, a)
sejam linearmente dependentes.
3 Bases de Rn
B = {v1, v2, ..., vn} diz-se uma base de Rm se L (B) = Rm e se v1, v2, ..., vn forem
vectores linearmente independentes.
As bases de Rm possuem as seguintes características:
• Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de Rm então n = m. Isto é, todas as bases de Rm
possuem m vectores.
• Se v1, v2, ..., vn, são vectores linearmente independentes então B = {v1, v2, ..., vn} é
uma base de Rn.
• Se {v1, v2, ..., vn} é um conjunto gerador de Rn então B = {v1, v2, ...,vn} é uma base
de Rn.
3.1 Mudanças de base
Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base ordenada de Rn, qualquer vector x ∈ Rn pode ser
escrito de um único modo como combinação linear dos vectores v1, v2, ..., vn. Isto é, existem
escalares únicos α1, α2, ..., αm tais que
x = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn.
Dizemos então que (α1, α2, ..., αn) são as coordenadas de x na base ordenada B:
[x]
B
=


α1
α2
...
αn

 .
Designando por En = {e1, e2, ..., en} a base canónica de Rn e considerando as habituais
coordenadas do vector x na base En,
[x]
En
=


x1
x2
...
xn

 ,
passamos de [x]
B
para [x]
En
através da multiplicação de uma matriz que representamos por
MEn←B e a que chamamos matriz de mudança de base:
[x]
En
= MEn←B [x]B .
5
Concretamente, se v1 = (v11, v21, ..., vn1) , v2 = (v12, v22, ..., vn2) , ..., vn = (v1n, v2n, ..., vnn) ,
então
MEn←B =


v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vn1 vn2 ... vnn

 .
A passagem da base En para a base B será feita mediante a matriz
MB←En = M
−1
En←B
.
Dadas duas bases arbitrárias de Rn, B1 e B2 a matriz de mudança de base de B1 para
B2, MB2←B1 , pode ser obtida por intermédio da base canónica, En, através do diagrama
B1
MEn←B1−→ En
MB2←B1 ↓ ↙MB2←En
B2
,
a partir do qual facilmente se conclui que
M
B2←B1
= MB2←EnMEn←B1 .
3.2 Exercícios
Exercício 12 Mostre que qualquer base de Rn tem n vectores.
Exercício 13 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R2:
a) {(1, 0) , (0, 1)} .
b) {(1, 1) , (0, 3)} .
c) {(1, 0) , (0, 3) , (2, 5)} .
d) {(1, 2)} .
e) {(1, 1) , (0, 0)}.
Exercício 14 Quais dos conjuntos indicados a seguir constituem bases de R3?
a) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0)} .
b) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 2, 1)} .
c) {(3, 0, 0) , (1, 1, 0) , (2, 2, 2) , (1, 3, 5)} .
d) {(1, 1, 1) , (2, 2, 0)} .
Exercício 15 Indique quais dos conjuntos seguintes são bases de R4:
a) {(1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (2, 1,−1, 0)} .
b) {(1, 3, 0, 0) , (1, 1, 3, 1) , (2, 2, 3, 2) , (2, 3, 3, 2) , (2, 4, 1, 2)} .
c) {(2, 0, 0, 2) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 2, 3) , (1, 2, 1, 2)} .
d) {(2, 0, 0, 2) , (1, 1, 0, 0) , (1, 2, 1, 2)} .
6
Exercício 16 Seja B = {v1, v2} a base de R2 constituída pelos vectores
v1 = (1, 0) e v2 = (1, 1).
a) Qual é o vector de R2 que na base B tem componentes (2, 2)?
b) Calcule as componentes do vector (3, 5) na base B.
c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector
(a, b) ∈ R2 nesta base.
Exercício 17 Seja B = {v1, v2, v3} a base de R3 constituída pelos vectores
v1 = (2, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 1, 1).
a) Qual é o vector de R3 que na base B tem componentes (0, 3, 5)?
b) Calcule as componentes do vector (2, 0, 1) na base B.
c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector
(a, b, c) ∈ R3 nesta base.
Exercício 18 A é matriz de mudança de base se e só se A é invertível. Justifique.
Exercício 19 Quais das matrizes indicadas a seguir podem ser matrizes de mudança da
base canónica, E2, para uma outra base B de R2? Nos casos afirmativos indique a respectiva
base B.
A =
[
5 0
0 4
]
. B =
[
2 1
3 1
]
. C =
[
−1 4
2 −8
]
. D =
[
1 −1
1 1
]
.
Exercício 20 Os vectores u = (−1, 2) e v = (2, 3) constituem uma base de R2.
a) Qual a matriz, MB1←−E2, de mudança da base canónica, E2, para B1 = {u, v}?
b) Se B2 = {x, y} for uma outra base de R2 cuja matriz de mudança da base canónica, E2,
para B2 é
MB2←E2 =
[
−2 4
−5 1
]
,
determine x e y.
c) Qual a matriz, MB2←−B1, de mudança da base B1 para B2?
Exercício 21 Dois vectores u e v de R2 têm nas bases B1 e B2, respectivamente, as seguintes
coordenadas:
uB1 = (1,−1) , uB2 = (0, 2) , vB1 = (1, 2) , vB2 = (3, 6) .
Quais as matrizes de mudança de base: MB2←B1 e MB1←B2?
7
4 Subespaços de Rn
Um subconjunto S ⊂ Rn é dito um subespaço de Rn se satisfizer as seguintes condições:
1) 0 ∈ S.
2) x + y ∈ S, ∀x ∈ S,∀y ∈ S.
3) αx ∈ S, ∀x ∈ S, ∀α ∈ R.
4.1 Bases e dimensão de subespaços
À semelhança do que sucede com Rn, relativamente a um qualquer subespaço S de Rn,
podemos analogamente formular o conceito de base de S. Assim, B = {b1, ...,bp} ⊂ S diz-se
uma base de S, se b1, ..., bp forem vectores linearmente independentes e L (B) = S.
Mantêm-se as seguintes características das bases de Rn:
• Todas as bases de S possuem o mesmo número de elementos. Esse número é chamado
de dimensão de S e representado por dimS.
• Se dimS = p, qualquer conjunto de p vectores de S que sejam linearmente indepen-
dentes constitui uma base de S.
• Se dimS = p, qualquer conjunto de p vectores de S que sejam geradores de S, constitui
uma base de S.
4.2 Exemplos
1. S = {0} constitui um subespaço de Rn, chamado de subespaço nulo. Adoptaremos a
convenção de que este subespaço é gerado pelo conjunto vazio. Isto é, convenciona-se
que L (∅) = {0} . Assim, como o vector nulo é linearmente dependente, a única base
do subespaço nulo é o conjunto ∅ e por conseguinte, a sua dimensão é zero.
2. Se v1, v2, ..., vp, são vectores de Rn, L ({v1, v2, ..., vp}) é um subespaço de Rn, dito
agora subespaço gerado por {v1, v2, ..., vp} .
3. Se U e V são dois subespaços de Rn, o conjunto U ∩ V também é um subespaço de
R
n, dito subespaço intersecção de U com V. O conjunto U ∪ V pode não ser um
subespaço de Rn. Por essa razão, considera-se o conjunto
U + V = {x + y : x ∈ U e y ∈ V } ,
o qual constitui um subespaço de Rn, dito subespaço soma de U com V. É ele o
menor subespaço de Rn que contém U ∪ V. As dimensões destes espaços relacionam-se
através da fórmula
dim (U + V ) + dim (U ∩ V ) = dimU + dimV.
8
4. Associados a uma matriz m× n,
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn


são considerados os seguintes subespaços:
(a) Se
a1 = (a11, a21, ..., am1) , a2 = (a12, a22, ..., am2) , ..., an = (a1n, a2n, ..., amn) ,
são as colunas de A, L ({a1, a2, ..., an}) é um subespaço de Rm, chamado de su-
bespaço das colunas da matriz A e representado por ColA. Observemos que
y ∈ ColA se e só se existe x ∈ Rn tal que Ax = y.
(b) NulA = {x ∈ Rn : Ax = 0} é um subespaço de Rn, designado por subespaço
nulo da matriz A.
4.3 Característica e nulidade de uma matriz
Dada uma matriz A (m× n) , à dimensão do subespaço ColA chama-se característica
de A, que designaremos por c (A):
c (A) = dim (ColA) .
A dimensão do espaço nulo de A toma o nome de nulidade de A e será designada por n (A):
n (A) = dim (NulA) .
Característica e nulidade satisfazem as seguinte relação fundamental:
c (A) + n (A) = n.
4.4 Teorema da matriz inversa
Estes novos conceitos permitem-nos actualizar o teorema da matriz inversa do seguinte
modo:
Seja A uma matriz n× n. Então são equivalentes as seguintes afirmações:
(1) A é invertível.
(2) Para qualquer d ∈ Rn, o sistema Ax = d é possível e determinado.
(3) O sistema homogéneo Ax = 0 só tem a solução nula.
(4) ColA = Rn.
(5) NulA = {0} .
(6) c (A) = n.
(7) n (A) = 0.
9
4.5 Exercícios
Exercício 22 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, iden-
tificando os que são subespaços de R2:
a) S = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} .
b) S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} .
c) S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0 e x− y = 0} .
d) S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 1} .
e) S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Exercício 23 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, iden-
tificando os que são subespaços de R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1} .
c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0 e x− y + 2z = 0 } .
d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 1 e x− y + 2z = 0} .
e)S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} .
f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0} .
Exercício 24 Considere as matrizes
A =
[
1 1
1 1
]
e B =

 1 3 12 0 4
1 −3 −3

 .
a) (1, 3) ∈ ColA?
b) (1, 0, 0) ∈ ColB?
c) Qual a nulidade de A? E de B?
d) Represente geometricamente ColA.
Exercício 25 Determine a característica de cada uma das matrizes indicadas a seguir. Que
conclui sobre a sua invertibilidade?
a)

 2 1 31 −1 2
1 0 3

 . b)

 1 −1 23 −3 6
−2 2 4

 . c)

 1 3 25 1 1
6 4 3

 .
Exercício 26 Para cada uma das matrizes indicadas a seguir, determine bases para o espaço
das colunas e para o espaço nulo. Indique ainda a característica e a nulidade de cada uma
10
delas.
a) A =
[
1 0
]
. b) A =
[
1 1
1 1
]
. c) A =
[
1 2 1
1 1 2
]
.
d) A =

 1 12 1
1 2

 . e) A =

 1 0 01 1 0
1 1 1

 . f) A =

 1 −1 11 1 3
0 1 1

 .
g) A =

 1 4 −2 33 6 0 3
3 4 2 1

 . h) A =


1 4 2
0 0 0
−1 −3 −1
0 1 1

 . i) A =


1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 0 1

 .
Exercício 27 Para a, b, c ∈ R\ {0} quaisquer, que valores deve assumir d para que a matriz[
a b
c d
]
tenha característica 1?
Exercício 28 Com h ∈ R seja
A =

 1 3 −2 1−1 1 2 3
2 −1 −4 h


a) Para que valores de h tem A característica máxima?
b) Se h = −5 qual a nulidade de A?
Exercício 29 Seja A uma matriz 5× 5. É verdadeiro ou falso que:
a) Se NulA = {0}, então A x = b tem uma e uma só solução, qualquer que seja b ∈ R5.
b) Se dim(ColA) = 4, então A x = b é um sistema possível, qualquer que seja b ∈ R5.
c) Se c (A) = 3, então A x = 0 é um sistema possível com 3 variáveis livres.
d) Se c (A) = 3, então c
(
AT
)
= 2.
e) Se c (A) = 5, então a matriz A não é invertível.
Exercício 30 Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
a) S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0 } .
c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 e x + y + 2z = 0 } .
d) S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0 e x + y + 2z = 0 } .
e) S = L{(1, 1) , (2, 1) , (1, 2)} .
f) S = L{(1,−1, 1) , (1, 1, 3) , (0, 1, 1)} .
g) S = L{(1, 4,−2, 3) , (3, 6, 0, 3) , (3, 4, 2, 1)} .
11
5 Espaços e subespaços vectoriais
Um conjunto E �= ∅ diz-se um espaço vectorial sobre K = R ou C, se estiver munido
de duas operações, uma entre elementos deE a que chamaremos soma e outra entre elementos
de E e elementos de K a que chamaremos produto escalar,
+ : u, v ∈ E → u + v, · : α ∈ K, v ∈ E → α · v,
verificando os seguintes axiomas:
i) Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u, v,w ∈ E.
ii) Comutatividade da soma: u + v = v + u, ∀u, v ∈ E.
iii) Existência de elemento neutro ou zero: u + 0 = u, ∀u ∈ E.
iv) Existência de elemento simétrico : u + (−u) = 0, ∀u ∈ E.
v) Distributividade do produto por escalares em relação à soma em E: α (u + v) = αu +
αv, ∀u, v ∈ E, ∀α ∈ K.
vi) Distributividade do produto por escalar em relação à adição emK: (α + β) u = αu+βu,
∀u ∈ E, ∀α, β ∈ K.
vii) Associatividade entre o produto por escalar e a multiplicação emK: α (β · u) = (αβ)·u,
∀u ∈ E, ∀α, β ∈ K.
viii) A unidade de K como elemento neutro do produto por escalares: 1 · u = u, ∀u ∈ E.
O primeiro exemplo de espaço vectorial (sobre R) que nos pode ocorrer é o de Rn.
Podemos mesmo observar ser um espaço vectorial algo com uma estrutura algébrica idêntica
à de Rn. Daí que os diversos conceitos apresentados relativamente a Rn possam analogamente
ser formulados num qualquer espaço vectorial E sobre K. Muito brevemente recordamo-los
seguidamente:
• Um subconjunto S ⊂ E é dito um subespaço de E se satisfizer as seguintes condições:
1) 0 ∈ S.
2) x + y ∈ S, ∀x ∈ S, ∀y ∈ S.
3) αx ∈ S, ∀x ∈ S, ∀α ∈ K.
Nestas condições, S verifica todos os axiomas i)-viii), constituindo ele próprio um espaço
vectorial sobre K.
• Dados v1, v2, ..., vn, elementos de E, v ∈ E diz-se uma combinação linear de v1, v2, ...,
vn, se existirem escalares x1, ..., xn ∈ K tais que
x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = v.
O conjunto de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn designa-se por
L ({v1, v2, ..., vn}) e forma o subespaço de E gerado por {v1, v2, ..., vn} .
12
• Os elementos de E, v1, v2, ..., vn, dizem-se linearmente dependentes sempre que um
deles é combinação linear dos restantes. Em caso contrário diremos que v1, v2, ..., vn,
são linearmente independentes; v1, v2, ..., vn são linearmente independentes se e só se
x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = 0 ⇔ x1 = x2 = ... = xn = 0.
• B = {v1, v2, ..., vn} diz-se uma base de E se L (B) = E e se v1, v2, ..., vn forem vectores
linearmente independentes.
• Teorema de Steinitz. Dado um espaço vectorial E sobre K:
a) Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de E então todas as bases de E possuem n
elementos; n diz-se a dimensão de E (dimE = n) .
b) Se dim = n e v1, v2, ..., vn, são vectores linearmente independentes então B =
{v1, v2, ..., vn} é uma base de E.
c) Se dimS = n, e L ({v1, v2, ..., vn}) = E então B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de
E.
5.1 Exemplos
Vejamos alguns exemplos significativos de espaços vectoriais.
1. Cn = {(z1, ..., zn) : z1, ..., zn ∈ C} munido de soma e de produto escalar análogos aos
definidos para Rn, constitui um espaço vectorial sobre R. Facilmente se verifica que
B = {(1, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, 1) , (i, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, i)}
é uma base de Cn enquanto espaço vectorial real. A sua dimensão será pois 2n.
2. Mas do mesmo modo Cn também constitui um espaço vectorial sobre C, tendo como
base
B = {(1, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, 1)} .
A sua dimensão será pois igual a n.
3. Designemos por Mm×n (R) o conjunto de todas as matrizes reais m × n. Munido da
soma de matrizes e do produto de um escalar real por uma matriz, obtemos um espaço
vectorial sobre R de dimensão mn: dimMm×n (R) = mn.
Por exemplo M2×2 (R) tem como base{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e dimM2×2 (R) = 4.
4. Mm×n (C) , conjunto das matrizes complexas m×n, munido das mesmas operações de
soma de matrizes e de produto de um escalar complexo por uma matriz, forma um
espaço vectorial sobre C, cuja dimensão é igualmente mn.
13
5. Seja F (R) o conjunto de todas as funções reais tendo como domínio R. Consideremos
a soma de duas funções f1 e f2 como sendo a função f1 + f2 dada por
(f1 + f2) (t) = f1 (t) + f2 (t) , ∀t ∈ R,
e o produto de um escalar real α por uma função f como sendo a função αf tal que
(αf) (t) = αf (t) , ∀t ∈ R.
Munido destas operações F (R) constitui um espaço vectorial sobre R. Contudo, F (R)
não admite nenhuma base finita, dizendo-se por isso de um espaço de dimensão
infinita.
6. Facilmente se observa que o conjunto dos polinómios de coeficientes reais com grau
não superior a n,
Pn (R) = {a0 + a1t + ... + ant
n : a0, a1, ..., an ∈ R}
é um subespaço vectorial de F (R) . Ao contrário de F (R) , Pn (R) tem dimensão finita,
pois
Pn = {1, t, ..., t
n}
constitui uma base de Pn (R) , sendo portanto dimPn (R) = n + 1.
7. Também o conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais, independentemente
do seu grau,
P (R) = {a0 + a1t + ... + ant
n : n ∈ N, a0, a1, ..., an ∈ R} ,
constitui um subespaço vectorial de F (R) , igualmente de dimensão infinita.
5.2 Exercícios
Exercício 31 Indique se os seguintes subconjuntos do espaço vectorial P3 (polinómios com
grau menor ou igual a 3) constituem subespaços de P3:
U = {p (t) ∈ P3 : p (0) = p (1)} .
V = {p (t) ∈ P3 : p (−1) = p (0) = p (1) = 0} .
W =
{
a + bt + ct2 + dt3 : a, b, c, d ∈ Z
}
.
Exercício 32 O subconjunto do espaço vectorial P2 (dos polinómios com grau ≤ 2),
U = {p (t) ∈ P2 : p (0) = a} ,
é um subespaço de P2 para qualquervalor de a ∈ R?
Exercício 33 Relativamente ao espaço vectorial, F, das funções f : R → R, indique quais
dos seguintes conjuntos são subespaços de F:
U = {f ∈ F : f (t) + f (−t) = 0, ∀t ∈ R} .
V = {f ∈ F : f (t) = cos (pit) , ∀t ∈ Z} .
W = {f ∈ F : f (t) = sin (pit) , ∀t ∈ Z} .
X = {f ∈ F : f é diferenciável e f ′ (t) = f (t) , ∀t ∈ R} .
14
Exercício 34 SejaMn×n (R) o espaço vectorial das matrizes reais n×n. Quais dos seguintes
subconjuntos de Mn×n (R) são subespaços de Mn×n (R)?
U = {A ∈Mn×n (R) : A é invertível} .
V = {A ∈Mn×n (R) : A não é invertível} .
W = {A ∈Mn×n (R) : trA = 0} .
X = {A ∈Mn×n (R) : A é simétrica} .
Y = {A ∈Mn×n (R) : A é de Markov} .
Exercício 35 Considere em P2 o conjunto de polinómios G = {1 + t, 1− t2} .
a) Mostre que o polinómio t + t2 é combinação linear dos elementos de G.
b) Mostre que o polinómio t não é combinação linear dos elementos de G.
c) G gera P2?
d) Determine a forma geral dos polinómios p(t) ∈ L(G).
Exercício 36 Mostre que os polinómios
p1 (t) = 1 + 2t− t
2, p2 (t) = 3 + t
2, p3 (t) = 5 + 4t− t
2, p4 (t) = −2 + 2t− t
2
geram P2.
Exercício 37 Mostre que no espaço vectorial, F, das funções reais de variável real, cada um
dos seguintes conjuntos é constituído por funções linearmente dependentes.
a)
{
2, sin2(t), cos2(t)
}
b)
{
cos(2t), sin2(t), cos2(t)
}
c) {et, e−t, cosh(t)} d)
{
1, t, t2, (t + 1)2
}
.
Exercício 38 Dadas n funções f1 : R→ R, f2 : R→ R, ..., fn : R→ R, do espaço vectorial,
F, das funções reais de variável real, mostre que se existirem números t1, t2, ..., tn ∈ R tais
que a matriz 

f1 (t1) f2 (t1) ... fn (t1)
f1 (t2) f2 (t2) ... fn (t2)
...
...
...
...
f1 (tn) f2 (tn) ... fn (tn)


é invertível, então f1, f2,..., fn são linearmente independentes.
Exercício 39 Aplicando o exercício anterior, mostre que os conjuntos
{
1, t, et
}
e {sin(t), cos(t), t cos(t)}
são constituídos por funções linearmente independentes. (Sugestão: no primeiro caso faça
t1 = 0, t2 = 1, t3 = −1; no segundo faça t1 = 0, t2 = pi/2, t3 = pi).
15
Exercício 40 Seja B = {p1, p2, p3} o subconjunto de P2 constituído pelos polinómios
p1 (t) = 1 + t, p2 (t) = 1 + 2t e p3 (t) = t2.
a) Mostre que B é uma base de P2.
b) Qual é o polinómio que nesta base tem coordenadas (1, 3,−2)?
c) Determine as coordenadas do polinómio 2 + 2t− t2 na base B.
d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um
polinómio a + bt + ct2 na base B.
Exercício 41 Considere o espaço vectorial P3 e a sua base canónica P3 = {1, t, t2, t3} .
a) Mostre que B = {1 + t, 1− t− t2, t2, t3} é também uma base de P3.
b) Qual a matriz de mudança de base de P3 para B?
c) Quais as coordenadas do polinómio 1− 2t + t3 na base B?
Exercício 42 Sejam U e V subespaços de um mesmo espaço vectorial E.
a) Mostre que intersecção U ∩ V é um subespaço de E.
b) Dê exemplos em que:
i) A união U ∪ V é um subespaço de E.
ii) A união U ∪ V não é um subespaço de E.
Exercício 43 Sejam U e V subespaços de um espaço vectorial E e considere-se o subcon-
junto soma
U + V
def
= {u + v : u ∈ U e v ∈ V } .
Mostre que:
a) O conjunto U ∪ V está contido no conjunto U + V.
b) A soma U + V é um subespaço de E.
c) Se W for um subespaço de E que contém U ∪ V, então W também contém U + V .
d) A soma U + V é o menor subespaço de E que contém U ∪ V.
Exercício 44 Relativamente aos subespaços de R3 descritos a seguir, determine uma base
e a sua dimensão.
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 3z = 0 } .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 } ∩ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
c) S = L ({(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}) ∩ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
d) S = L ({(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}) + L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}+ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 }+ {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 3z = 0} .
16
Exercício 45 Considere os seguintes subespaços U e V de R3 e determine uma base do
subespaço soma U + V e uma base do subespaço intersecção U ∩ V .
a) U = {(0, 0, 0)} e V = {(0, 0, 0)} .
b) U = {(0, 0, 0)} e V = L{(1, 1, 1)}..
c) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0)}.
d) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(1, 0, 0)}.
e) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
f) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0) , (1, 1, 0)}.
Exercício 46 Considere os seguintes subespaços U e V de R4 e determine uma base do
subespaço soma U + V e uma base do subespaço intersecção U ∩ V .
a) U = L{(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0)}.
b) U = L{(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (1, 2,−1, 1)}.
c) U = L{(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(1, 1, 1, 0) , (1, 1,−1, 0) , (0, 0, 0, 1)}.
d) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1) , (1, 1, 1, 1)}.
e) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1)}.
f) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 1) , (0, 1, 0,−2)}.
g) U = L{(1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0, 1, 0) , (2, 1, 2, 1)}.
Exercício 47 Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de P3:
a) S = {p(t) ∈ P3 : p(0) = 0} .
b) S = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 0} .
c) S = {p(t) ∈ P3 : p(1) = p (0)} .
Exercício 48 Considere o espaço vectorial Mm×n (R) ,das matrizes reais m× n.
a) Mostre que S =
{
A ∈M2×3 (R) :
[
1 1
]
A = 0
}
é um subespaço de M2×3 (R) . Determine
uma base deste subespaço.
b) Mostre que o conjunto S =
{
A ∈ M2×2 (R) : A = A
T
}
(das matrizes que são simétricas)
é um subespaço de M2×2 (R) e determine uma sua base.
c) Mostre que o conjunto S = {A = [aij] ∈M3×3 (R) : aij = 0 se i + j é par} é um subespaço
de M3×3 (R) . Encontre uma base para este subespaço.
Exercício 49 No espaço vectorial C2 (R) das funções reais de variável real que são duas
vezes diferenciáveis, considere o subconjunto
S =
{
f ∈ C2 (R) : f ′′ − 2f ′ + f = 0
}
.
a) Mostre que S é um subespaço de C2 (R) .
b) Mostre que o conjunto {et, tet} é uma base de S. (Sugestão: mostre que se f ∈ S, então
f(t)e−t é um polinómio com grau ≤ 1).
c) Tendo em conta a alínea anterior mostre que, dados a e b ∈ R, existe uma e uma só
função f ∈ S tal que f(0) = a e f ′(0) = b.
17
6 Soluções
1) b) Não. c) Não. d) L (G) = {(a, b) ∈ R2 : a = b} .
2) c) G não gera R3. d) L(G) = {(a, b, c) ∈ R3 : b = c}.
3) a) Não. b) Sim c) Não. d) Não.
4) a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não.
5) a = 3.
6) (a, b) = (0, 1).
7) a = 1.
9) a) L.D. b) L. I.
10)a) L. I. b) L. I. c) L.D. d) L.D. e) L.D. f) L. I. g) L. I. h) L.D.
11) a = 2.
13) a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não. e) Não.
14) a) É base de R3. b) Não é base de R3. c) Não é base de R3. d) Não é base de R3.
15) a) Não é base de R4. b) Não é base de R4. c) É base de R4. d) Não é base de R4.
16) a) (4, 2) . b) (−2, 5) . c) (a− b, b).
17) a) (8, 8, 5) . b) (1,−1, 1). c)
(
1
2
a− 1
2
b, b− c, c
)
.
19) A, B = {(1/5, 0) , (0, 1/4)} . B, B = {(−1, 3) , (1,−2)} . D, B = {(1/2,−1/2) , (1/2, 1/2)} .
C não é matriz de mudança de base.
20) a) MB1←E2 =
[
−3/7 2/7
2/7 1/7
]
.
b) x = (1/18, 5/18) , y = (−2/9,−1/9) .
c) MB2←B1 =
[
10 8
7 −7
]
.
21) MB2←B1 =
[
1 1
10/3 4/3
]
e MB1←B2 =
[
−2/3 1/2
5/3 −1/2
]
.
22) a) É subespaço de R2. b) É subespaço de R2. c) É subespaço de R2.
d) Não é subespaço de R2. e) Não é subespaço de R2.
23) a) É subespaço de R3. b) Não é subespaço de R3. c) É subespaço de R3.
d) Não é subespaço de R3. e) Não é subespaço de R3. f) Não é subespaço de R3.
24) a) Não. b) Sim. c) 1 e 0. d) Recta y = x.
25) a) 3; invertível. b) 2; não invertível.c) 2; não invertível.
26) a) {1} é base de ColA, c (A) = 1, {(0, 1)} é base de NulA, n(A) = 1.
b) {(1, 1)} é base de ColA, c (A) = 1, {(−1, 1)} é base de NulA, n(A) = 1.
c) {(1, 1) , (2, 1)} é base de ColA, c (A) = 2,
18
{(−3, 1, 1)} é base de NulA, n(A) = 1.
d) {(1, 2, 1) , (1, 1, 2)} é base de ColA =, c (A) = 2,
∅ é base de NulA, n(A) = 0.
e) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 1)} é base de ColA, c (A) = 3,
∅ é base de NulA, n(A) = 0.
f) {(1, 1, 0) , (−1, 1, 1)} é base de ColA =, c (A) = 2,
{(−2,−1, 1)} é base de NulA, n(A) = 1.
g) {(1, 3, 3) , (4, 6, 4)} é base de ColA =, c (A) = 2,
{(−2, 1, 1, 0) , (1,−1, 0, 1)} é base de NulA, n(A) = 2.
h) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1)} é base de ColA, c (A) = 2,
{(2,−1, 1)} é base de NulA, n(A) = 1.
i) {(1, 2, 3, 4) , (2, 1, 2, 3) , (3, 2, 1, 0)} é base de ColA, c (A) = 3,
{(−1, 0,−5, 4)} é base de NulA =, n(A) = 1.
27) d = bc/a.
28) a) h �= −5. b) n(A) = 2.
29) a) V. b) F. c) F. d) F. e) F.
30) a) {(−1, 1)} é uma base de S, dimS = 1.
b) {(−1, 1, 0) , (−2, 0, 1)} é uma base de S, dimS = 2.
c) {(−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
d) {(−1, 1, 0, 0) , (−1,−1, 1, 1)} é uma base de S, dimS = 2.
e) {(1, 1) , (1, 2)} é uma base de S, dimS = 2.
f) {(1,−1, 1) , (1, 1, 3)} é uma base de S, dimS = 2.
g) {(1, 4,−2, 3) , (3, 6, 0, 3)} é uma base de S, dimS = 2.
31) U e V são subespaços de P3. W não.
32) U é subespaço de P3 se e só se a = 0.
33) U, W e X são subespaços de F. V não.
34) W e X são subespaços de Mn×n (R) . U, V e Y não.
35) c) G não gera P2. d) L(G) = {b− c + bt + ct2 : b, c ∈ R} .
40) b) 4 + 7t− 2t2; c) (2, 0,−1) ; d) (2a− b, b− a, c) .
41) b) MP3→B =


1/2 1/2 0 0
1/2 −1/2 0 0
1/2 −1/2 1 0
0 0 0 1

 .
19
c) (−1/2, 3/2, 3/2, 1) .
44) a) {(−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
b) {(−2, 1, 1)} é uma base de S, dimS = 1.
c) {(1, 0, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
d) {(1, 0, 0) , (0, 0, 1) , (1, 1, 1)} é uma base de S, dim(S) = 3.
e) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 3.
f) {(−1, 1, 0) , (−1, 0, 1) , (3, 0, 1)} é uma base de S, dimS = 3.
45) a) A base de U ∩ V e de U + V é o conjunto vazio.
b) A base de U ∩ V é o conjunto vazio. Uma base de U + V é {(1, 1, 1)}.
c) A base de U ∩ V é o conjunto vazio. Uma base de U + V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.
d) Uma base de U ∩ V e de U + V é {(1, 0, 0)}.
e) A base de U ∩ V é o conjunto vazio. Uma base de U +V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
f) A base de U ∩ V é {(1, 0, 0)}. Uma base de U + V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.
46) a) A base de U ∩ V é o conjunto vazio.
Uma base de U + V é {(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}.
b) Uma base de U ∩ V é {(0,−1, 1,−1)} .
Uma base de U + V é {(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}.
c) Uma base de U ∩ V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 1)}.
Uma base de U + V é {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1) , (1, 1, 1, 0)}.
d) Uma base de U ∩ V é {(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1) , (1, 1, 1, 1)} = U = V .
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)}.
e) Uma base de U ∩ V é {(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)}.
f) Uma base de U ∩ V é {(1, 1,−1,−1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0,−1, 1)}.
g) Uma base de U ∩ V é {(1, 1, 1, 1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) , (1, 0, 1, 0)}.
47) a) {t, t2, t3} é uma base de S. b) {t− 1, t2 − 1, t3 − 1} é uma base de S.
c) {1, t2 − t, t3 − t} é uma base de S.
48) a)
{[
1 0 0
−1 0 0
]
,
[
0 1 0
0 −1 0
]
,
[
0 0 1
0 0 −1
]}
.
b)
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
,
[
0 1
1 0
]}
.
c)



0 0 01 0 0
0 0 0

 ,

0 1 00 0 0
0 0 0

 ,

0 0 00 0 0
0 1 0

 ,

0 0 00 0 1
0 0 0



 .
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