Apostila_AlgebraLinear

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UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas
ÁLGEBRA LINEAR
Liliana A. L. Mescua †
Rigoberto G. S. Castro
Agosto 2019
.
Liliana A. L. Mescua
*27/03/1970 +06/02/2019
Embora o tempo não perdoe,
a memória é o nosso livro,
e não há ausência para apagar,
o que nós já escrevemos juntos.
Tu me darás algo de magia,
algo do Céu, algo da alma,
e nada de esquecer,
porque eu sempre
te levarei comigo.
A saudade te trará de volta,
lembraremos do teu sorriso,
do teu dom de ensinar,
da tua empatia para com o próximo...
será inevitável sentir algo na alma,
saberemos que aqui tu estarás.
‘‘Dai-lhe Senhor,
em felicidade
no Céu
o que ela nos deu
em ternura
na Terra’’
Sumário
1 Matrizes 1
1.1 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Multiplicação de um número real por uma Matriz . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Método de Gauss Jordam para o Cálculo de Inversa . . . . . . . . . . 7
1.4 Determinante de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Cálculo por Redução de Linhas ou Colunas-Triangulação . . . . . . . 11
1.5 A Matriz Adjunta e a Inversibilidade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Sistemas de Equações Lineares Algébricas 16
2.1 Classificação de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Método de Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Resolução de Sistemas pela Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ii
3 Vetores 24
3.1 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Adição de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Multiplicação de um Número Real por um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Ângulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Interpretação Algébrica em R𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.1 Interpretação Algébrica no Plano (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.2 Interpretação Algébrica no Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1 Interpretação Geométrica do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.2 Ângulo entre dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.3 Projeção de um Vetor sobre Outro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.2 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Espaço Vetorial 40
4.1 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.1 Propriedades dos Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Independência e Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 Componentes de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Espaço Vetorial Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
iii
4.6.1 Complementos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.2 Uma Relação Geométrica Entre Espaço Nulo e Espaço Linha . . . . . 55
4.6.3 Conjuntos Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.4 Processo de Gram - Schimidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Transformações Lineares 65
5.1 Propriedades das Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Núcleo de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Imagem de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Propriedades do Núcleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Operações com Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.1 Adição ou Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.2 Multiplicação por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6.3 Composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Autovalores e Autovetores 84
6.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7 Diagonalização de Matrizes 89
7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Matrizes Simétricas e autovetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
iv
8 Aplicações 93
8.1 Método de Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Ajuste de Mínimos Quadrados a Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Rotação de Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A Números Complexos 102
v
Capítulo 1
Matrizes
Definição 1.1. Uma matriz de ordem 𝑚 × 𝑛 é uma tabela de números chamados de ele-
mentos ou termos da matriz. Esta tabela possui 𝑚𝑛 elementos escalares (números reais
ou complexos) dispostos em 𝑚 linhas (número de filas horizontais) e 𝑛 colunas (número de
filas verticais). Por convenção usaremos sempre as letras maiúsculas 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, . . . para
nomeá-las
𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
...
...
...
...
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
...
...
...
...
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛. (1.1)
Exemplo:
𝐴 =
⎛⎝2 2 0
1 −3 5
⎞⎠
2×3
𝐵 =
⎡⎣1 4
0 7
⎤⎦
2×2
(1.2)
Exercício: Escreva a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2 , onde seus elementos 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗.
Observação 1.1. De acordo com o número de linhas e colunas da matriz, podemos destacar
os seguintes casos particulares
• Quando 𝑚 = 1, matriz linha
• Quando 𝑛 = 1, matriz coluna
• Quando 𝑚 = 𝑛, matriz quadrada
Definição 1.2. (Igualdade de Matrizes:) Duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 são
ditas iguais, se todos seus elementos correspondentes são iguais, isto é, se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗.
1
Exercício: Determine 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 de modo que:
⎡⎢⎢⎢⎣
𝑎 1
1 𝑏 + 1
𝑐− 2 𝑑2
⎤⎥⎥⎥⎦=
⎡⎢⎢⎢⎣
2 1
1 1
6 3
⎤⎥⎥⎥⎦.
1.1 Tipos de Matrizes
Matriz Nula: É uma matriz cujos elementos são todos nulos, isto é 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖, 𝑗.
Denotamos por O ou O𝑚×𝑛
Matriz Diagonal Uma matriz quadrada 𝐷 = (𝑑𝑖𝑗)𝑛×𝑛 é dita diagonal quando 𝑑𝑖𝑗 = 0,
∀ 𝑖 ̸= 𝑗.
Exemplo: 𝐷 =
⎛⎝ 2 0
0 4
⎞⎠
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde 𝑎𝑖𝑖 = 1 para todo 𝑖, e 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo
𝑖 ̸= 𝑗.
Exemplo: 𝐼 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
...
0 0 . . . 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Matriz Triangular Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é dita triangular superior, se 𝑎𝑖𝑗 = 0
para 𝑖 > 𝑗. Uma matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é dita triangular inferior quando 𝑏𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 < 𝑗.
Exemplo: 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
5 4 4 5
0 1 9 6
0 0 3 8
0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
5 0 0 0
2 1 0 0
9 7 3 0
8 6 5 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada, onde 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Exemplo:
⎛⎜⎜⎜⎝
4 3 1
3 2 0
1 0 5
⎞⎟⎟⎟⎠ e
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑏 𝑒 𝑓 𝑔
𝑐 𝑓 ℎ 𝑖
𝑑 𝑔 𝑖 𝑘
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão"da parte
inferior, em relação à diagonal.
Matriz Transposta A transposta de uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, é uma outra matriz 𝐴𝑇 =
2
(𝑏𝑖𝑗)𝑛×𝑚, cujas linhas são as colunas de 𝐴, isto é, 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Exemplo: A transposta de 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
3 −1
4 −2
5 −3
⎞⎟⎟⎟⎠
3×2
é 𝐴𝑇 =
⎛⎝ 3 4 5
−1 −2 −3
⎞⎠
2×3
É simples verificar que:
1. A transposta da transposta de uma matriz é ela mesma, isto é (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴.
2. Uma matriz é simétrica se somente se ela for igual à sua transposta, isto é, 𝐴 = 𝐴𝑇 .
1.2 Operações com Matrizes
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações.
Veremos algumas delas e suas propriedades a seguir:
1.2.1 Adição
A soma de duas matrizes da mesma ordem, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛, é uma matriz
𝑚× 𝑛, definida por 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛.
Exemplo:
⎛⎜⎜⎜⎝
1 4
2 5
3 6
⎞⎟⎟⎟⎠+
⎛⎜⎜⎜⎝
−1 1
−3 0
4
√
2
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
1− 1 4 + 1
2− 3 5 + 0
3 + 4 6 +
√
2
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 5
−1 5
7 6 +
√
2
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Propriedades da Adição
Se as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 possuem a mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (comutativa).
2. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 (associativa).
3. 𝐴 + O = 𝐴, quando O é uma matriz nula (elemento neutro).
4. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛. Chama-se matriz oposta de 𝐴, a matriz 𝑚 × 𝑛 representada por
−𝐴 = (−𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, tal que 𝐴 + (−𝐴) = O (−𝐴 é o elemento oposto).
3
5. (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 , a transposta de uma soma é igual a somas das transpostas.
Exemplo: A matriz oposta de 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −4
2 0
7 3
⎞⎟⎟⎟⎠ é − 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
−1 4
−2 0
−7 −3
⎞⎟⎟⎟⎠ .
1.2.2 Subtração
A diferença de duas matrizes da mesma ordem, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛, é uma matriz
𝑚× 𝑛, que denota-se por 𝐴−𝐵, que é a soma de 𝐴 com a oposta de 𝐵; isto é:
𝐴−𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 + (−𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 = (𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 (1.3)
Exemplo:
⎛⎜⎜⎜⎝
1 4
2 5
3 6
⎞⎟⎟⎟⎠−
⎛⎜⎜⎜⎝
−1 1
−3 0
4 2
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 + 1 4− 1
2 + 3 5− 0
3− 4 6− 2
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3
5 5
−1 4
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Exercício:
1. Sejam 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 = 1 + 𝑖− 𝑗.
(a) Determine as matrizes 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 e 𝐷 = 𝐴−𝐵.
(b) Determine uma fórmula para os elementos 𝑐𝑖𝑗 de 𝐶 e 𝑑𝑖𝑗 de 𝐷.
2. Encontre as matrizes 2× 2, 𝐴 e 𝐵, sabendo que:
𝐴 + 𝐵 +
⎛⎝ 1 1
1 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 4 0
1/2 −1
⎞⎠+
⎛⎝ 0 2
3/2 4
⎞⎠
𝐴−𝐵 =
⎛⎝ 6 −3
4 0
⎞⎠−
⎛⎝ 2 −2
2 1
⎞⎠ .
1.2.3 Multiplicação de um número real por uma Matriz
Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝑘 um número escalar. Definimos o múltiplo escalar 𝐵 = 𝑘𝐴 =
(𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛, a matriz 𝑚× 𝑛 onde 𝑏𝑖𝑗 = 𝑘𝑎𝑖𝑗.
Exemplo Se 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
3 −1
1 0
6 4
⎞⎟⎟⎟⎠, então 2𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
6 −2
2 0
12 8
⎞⎟⎟⎟⎠ e 13 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1/3
1/3 0
2 4/3
⎞⎟⎟⎟⎠
4
1.2.4 Multiplicação de Matrizes
Sejam as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑝 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑝×𝑛. Definimos 𝐶 = 𝐴 ·𝐵 = (𝑐𝑢𝑣)𝑚×𝑛, tal que
𝑐𝑢𝑣 =
𝑝∑︁
𝑘=1
𝑎𝑢𝑘𝑏𝑘𝑣 para todo 1 ≤ 𝑢 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑣 ≤ 𝑛 (1.4)
Observação 1.2. Só se pode efetuar o produto de duas matrizes 𝐴𝑚×𝑝 e 𝐵𝑝×𝑛, se o número
de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, sendo assim
o resultado da multiplicação de 𝐴 por 𝐵 será uma matriz de ordem 𝑚 × 𝑛. Note que o
elemento 𝑐𝑖𝑗 é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos
elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando este produtos.
Exemplo:
a)
⎛⎝ −1
2
⎞⎠
2×1
(︁
−3 4
)︁
1×2
=
⎛⎝ −1.(−3) −1.(4)
2.(−3) 2.(4)
⎞⎠ =
⎛⎝ 3 −4
−6 8
⎞⎠
2×2
b)
⎛⎝ 1 0
3 −2
⎞⎠
2×2
⎛⎝ −1 1
5 3
⎞⎠
2×2
=
⎛⎝ 1.(−1) + 0.(5) 1.(1) + 0.(3)
3.(−1) +−2.(5) 3.(1) +−2.(3)
⎞⎠ =
⎛⎝ −1 1
−13 −3
⎞⎠
2×2
Observação 1.3. A propriedade comutativa em matrizes nem sempre é válida, isto é 𝐴𝐵 e
𝐵𝐴 não necessariamente são iguais. No item b) do exemplo anterior verifique se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.
Se 𝐴 é uma matriz quadrada 𝑛× 𝑛 e 𝐼 a matriz identidade 𝑛× 𝑛, então
𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴.
Propriedades da Multiplicação
Supondo que a ordem das matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 estejam definidas de modo que cada uma
das operações abaixo indicadas possam ser efetuadas, então as propriedades seguintes serão
válidas.
1. (𝐴.𝐵).𝐶 = 𝐴.(𝐵.𝐶) (associatividade).
2. (𝐴±𝐵).𝐶 = 𝐴.𝐶 ±𝐵.𝐶 (distributividade à direita).
3. 𝐴.(𝐵 ± 𝐶) = 𝐴.𝐵 ± 𝐴.𝐶 (distributividade à esquerda).
4. 𝑘(𝐵 ± 𝐶) = 𝑘𝐵 ± 𝑘𝐶, 𝑘, 𝑠 ∈ R
5. (𝑘 ± 𝑠)𝐴 = 𝑘𝐴± 𝑠𝐴, 𝑘, 𝑠 ∈ R
5
6. 𝑘(𝑠𝐴) = (𝑘𝑠)𝐴, 𝑘, 𝑠 ∈ R
7. (𝛼.𝐴)𝑇 = 𝛼.𝐴𝑇 , onde 𝛼 é qualquer escalar.
8. (𝐴.𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 .𝐴𝑇 (deve-se observar a ordem).
Matriz Anti-simétrica: É uma matriz quadrada, onde 𝐴𝑇 = −𝐴.
Exemplo: 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 3 4
−3 0 −6
−4 6 0
⎞⎟⎟⎟⎠ é anti-simétrica.
1.3 Matriz Inversa
Uma matriz quadrada 𝐴 é dita inversível ou não singular, se existir uma outra matriz
𝐵 (inversa multiplicativa), da mesma ordem, tal que 𝐴.𝐵 = 𝐼 e 𝐵.𝐴 = 𝐼. Denotaremos
𝐵 = 𝐴−1, sendo que
𝐴.𝐴−1 = 𝐴−1.𝐴 = 𝐼.
Definição 1.3. Uma matriz 𝐴 é dita não inversível ou singular se ela não tem uma
inversa multiplicativa.
Propriedades
1. Uma matriz inversível tem uma única inversa multiplicativa.
2. Se A e B são matrizes de mesma ordem, ambas inversíveis, então A e B é inversível e
(𝐴.𝐵)−1 = 𝐵−1 . 𝐴−1.
3. Nem toda matriz tem inversa.
Exemplo: As matrizes 𝐴 =
⎛⎝2 1
0 4
⎞⎠ e 𝐵 =
⎛⎝1/2 −1/8
0 1/4
⎞⎠ são inversas uma da outra ja
que 𝐴.𝐵 = 𝐵.𝐴 = 𝐼
Exercício: Encontre a inversa da matriz 𝐴 =
⎛⎝1 1
0 1
⎞⎠.
6
1.3.1 Método de Gauss Jordam para o Cálculo de Inversa
Uma forma para achar a inversa de uma matriz quadrada 𝐴, e que envolve substancialmente
menos contas do que aplicando a definição diretamente, é usando as operações elementares
sobre as linhas da matriz aumentada associada (𝐴|𝐼) de modo que esta se transforme numa
matriz aumentada da forma (𝐼|𝐵). Diremos que 𝐵 = 𝐴−1.
As operações elementares permitidas são:
1. Permutar linhas 𝐿𝑖 ←→ 𝐿𝑗
2. Multiplicar uma linha por um número real 𝛼 não nulo, 𝐿𝑖 ←→ 𝛼𝐿𝑖.
3. Somar a uma linha um múltiplo de uma outra, 𝐿𝑖 ←→ 𝐿𝑖 + 𝛼𝐿𝑗.
Exemplo: Ache a inversa da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 0
1 −2 −1
2 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎠ se existir.
Solução: A partir da matriz aumentada (𝐴|𝐼), usando as operações por linhas temos:
(𝐴|𝐼) =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 0 | 1 0 0
1 −2 −1 | 0 1 0
2 0 −1 | 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿2
𝐿2 ←→ 𝐿1
𝐿3 ←→ 𝐿3
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −2 −1 | 0 1 0
2 3 0 | 1 0 0
2 0 −1 | 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 ←→ 𝐿3 − 2𝐿1
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −2 −1 | 0 1 0
0 7 2 | 1 −2 0
0 4 1 | 0 −2 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2/7
𝐿3 ←→ 𝐿3
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −2 −1 | 0 1 0
0 1 2/7 | 1/7 −2/7 0
0 4 1 | 0 −2 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1 + 2𝐿2
𝐿2 ←→ 𝐿2
𝐿3 ←→ 𝐿3 − 4𝐿2
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 0 −3/7 | 2/7 3/7 0
0 1 2/7 | 1/7 −2/7 0
0 0 −1/7 | −4/7 −6/7 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1 − 3𝐿3
𝐿2 ←→ 𝐿2 + 2𝐿3
𝐿3 ←→ −7𝐿3
7
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 0 0 | 2 3 −3
0 1 0 | −1 −2 2
0 0 1 | 4 6 −7
⎞⎟⎟⎟⎠= (𝐼|𝐴−1)
Portanto, a inversa da matriz 𝐴 existe e é dada por 𝐴−1 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 −3
−1 −2 2
4 6 −7
⎞⎟⎟⎟⎠
Exemplo: Encontre a inversa da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 1 −4
−4 −1 6
−2 2 −2
⎞⎟⎟⎟⎠ se existir.
Solução: A partir da matriz aumentada (𝐴|𝐼), usando as operações por linhas temos:
(𝐴|𝐼) =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 1 −4 | 1 0 0
−4 −1 6 | 0 1 0
−2 2 −2 | 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2 + 2𝐿1
𝐿3 ←→ 𝐿3 + 𝐿1
=
⎛⎜⎜⎜⎝
2 1 −4 | 1 0 0
0 1 −2 | 2 1 0
0 3 −6 | 1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2
𝐿3 ←→ 𝐿3 − 3𝐿2
=
⎛⎜⎜⎜⎝
2 1 −4 | 1 0 0
0 1 −2 | 2 1 0
0 0 0 | −5 −3 1
⎞⎟⎟⎟⎠
Nesse ponto vemos que não é possível reduzir 𝐴 a 𝐼, ja que encontramos uma linha de zeros
do lado esquerdo da matriz completa. Consequentemente 𝐴 não é inversível.
Exemplo Seja a matriz 𝐴 =
⎛⎝ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
⎞⎠. Usando o método de Gauss Jordam, prove que a
matriz inversa dela é
𝐴−1 =
1
𝑎𝑑− 𝑏𝑐
⎛⎝ 𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
⎞⎠ (1.5)
Solução:
(𝐴|𝐼) =
⎛⎝𝑎 𝑏 | 1 0
𝑐 𝑑 | 0 1
⎞⎠ 𝐿1 ←→ 𝐿1𝑎
𝐿2 ←→ 𝐿2𝑑
=
⎛⎝1 𝑏𝑎 | 1/𝑎 0
𝑐
𝑑
1 | 0 1/𝑑
⎞⎠ 𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2 − 𝑐𝑑𝐿1
8
=
⎛⎝1 𝑏𝑎 | 1𝑎 0
0 1− 𝑏𝑐
𝑎𝑑
| −𝑐
𝑎𝑑
1
𝑑
⎞⎠ 𝐿1 ←→ 𝐿1 − 𝑏𝑎 1(1− 𝑏𝑐𝑎𝑑 )𝐿2
𝐿2 ←→ 11− 𝑏𝑐
𝑎𝑑
𝐿2
=
⎛⎝1 0 | 1𝑎 + 𝑏𝑎 1(1− 𝑏𝑐𝑎𝑑 ) 𝑐𝑎𝑑 − 𝑏𝑎𝑑 1(1− 𝑏𝑐𝑎𝑑 )
0 1 | −𝑐
𝑎𝑑
1
(1− 𝑏𝑐
𝑎𝑑
)
1
𝑑
1
(1− 𝑏𝑐
𝑎𝑑
)
⎞⎠ =
⎛⎝1 0 | 𝑑(𝑎𝑑−𝑏𝑐) −𝑏𝑎𝑑−𝑏𝑐
0 1 | −𝑐
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑−𝑏𝑐 .
⎞⎠
Nesta última matriz, colocando em evidência o fator 1
𝑎𝑑−𝑏𝑐 segue o resultado (1.5).
1.4 Determinante de uma Matriz
É possível associar a cada matriz 𝐴 de ordem 𝑛× 𝑛, um escalar (número real ou complexo),
que denotaremos por det𝐴, cujo valor vai nos dizer se a matriz é ou não invertível. Antes
de dar a definição geral vamos a considerar alguns casos particulares.
Caso 1. Se 𝐴 = (𝑎) é uma matriz 1× 1, definimos o determinante de 𝐴 por:
det𝐴 = 𝑎.
Diremos que 𝐴 tem inversa multiplicativa (𝐴 é invertível) se e só se det𝐴 ̸= 0.
Caso 2. Se 𝐴 =
⎛⎝ 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⎞⎠ é uma matriz 2 × 2, definimos o determinante de 𝐴 pelo
fator inverso que aparece em (1.5), neste caso será:
det𝐴 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.
Caso 3. Se 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⎞⎟⎟⎟⎠ é uma matriz 3×3, definimos o determinante de 𝐴 por:
det𝐴 = 𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎32𝑎23 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎12𝑎31𝑎23 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎31𝑎22.
Note que o det𝐴 é o fator inverso que se obtém ao calcular a matriz inversa de 𝐴 usando
o método de Gauss Jordam.
Podemos reescrever a equação anterior na forma
det𝐴 = 𝑎11(𝑎22𝑎33 − 𝑎32𝑎23)− 𝑎12(𝑎21𝑎33 − 𝑎31𝑎23) + 𝑎13(𝑎21𝑎32 − 𝑎31𝑎22) (1.6)
Para 𝑗 = 1, 2, 3, vamos denotar por 𝑀1𝑗 a submatriz 2× 2 de 𝐴 formada retirando-se a
primeira linha e a 𝑗-ésima coluna de 𝐴. O determinante de 𝐴 (1.6) pode ser, então, colocado
9
na forma
det𝐴 = 𝑎11 det𝑀11 − 𝑎12 det𝑀12 + 𝑎13 det𝑀13 (1.7)
Para ver como generalizar (1.7) para o caso 𝑛 > 3, vamos a dar a seguinte definição.
Definição 1.4. (Menores e Cofatores): Seja A = (𝑎𝑖𝑗) uma matriz 𝑛 × 𝑛. O ij-ésimo
menor de 𝐴 é o determinante da submatriz 𝑀𝑖𝑗, de ordem (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1), que sobra
quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O ij-ésimo Cofator 𝐴𝑖𝑗 de A
(ou o cofator de 𝑎𝑖𝑗) é definido como
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det𝑀𝑖𝑗.
Definição 1.5. (Desenvolvimento de Laplace) O determinante de uma matriz 𝑛 × 𝑛 é
o número real det𝐴, definido por
det𝐴 = 𝑎𝑖1.𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2.𝐴𝑖2 + ... + 𝑎1𝑛.𝐴𝑖𝑛 (1.8)
ou
det𝐴 = 𝑎1𝑗.𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗.𝐴2𝑗 + ... + 𝑎𝑛𝑗.𝐴𝑛𝑗, (1.9)
onde 𝐴𝑖𝑗 é ij-ésimo cofator de 𝐴.
Exemplo: Ache o determinante da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 1 5
3 −6 9
2 6 1
⎞⎟⎟⎟⎠.
Solução.: Calculando a matriz de cofatores temos:
𝑐𝑜𝑓(𝐴) =
⎛⎜⎜⎜⎝
−60 15 30
29 −10 2
39 15 −3
⎞⎟⎟⎟⎠
Logo, o determinante de 𝐴 pode-se obter por exemplo das seguintes formas:
1. Em relação a primeira linha, det𝐴 = 0(−60) + 1(15) + 5(30) = 165.
2. Em relação a terceira linha, det𝐴 = 2(39) + 6(15) + 1(−3) = 165.
3. Em relação a segunda coluna, det𝐴 = 1(15)− 6(−10) + 6(15) = 165.
10
1.4.1 Propriedades do Determinante
Seja 𝐴 uma matriz de ordem 𝑛× 𝑛.
1. Se 𝐴 tem uma linha o uma coluna de zeros, então det𝐴 = 0.
2. Se duas linhas ou colunas de 𝐴 são iguais, então det𝐴 = 0.
3. det𝐴 = det𝐴𝑇 .
4. Se 𝐴 é uma matriz, triangular superior ou triangular inferior ou diagonal, então o det𝐴
é igual ao produto de seus elementos da diagonal.
5. Se 𝐵 é uma matriz de ordem 𝑛× 𝑛, então: det(𝐴+𝐵) ̸= det𝐴+ det𝐵 e det(𝐴𝐵) =
det𝐴 det𝐵
6. Seja 𝐵 a matriz obtida ao multiplicar uma única linha ou coluna de 𝐴 por 𝑘, então:
det𝐵 = 𝑘 det𝐴 (det𝐴 =
1
𝑘
det𝐵).
7. Seja 𝐵 a matriz obtida ao permutar duas linhas (ou duas colunas) de 𝐴, então det𝐵 =
− det𝐴.
8. Seja 𝐵 a matriz obtida ao somar um múltiplo de uma linha (ou colunas) de 𝐴 a uma
outra linha (ou coluna), então det𝐵 = det𝐴.
1.4.2 Cálculo por Redução de Linhas ou Colunas-Triangulação
A seguir apresentamos um método para calcular determinantes que envolve substancialmente
menos contas que aplicando a definição diretamente.
Assim, tendo em mente as propriedades 6, 7 e 8, a idéia será reduzir a matriz 𝐴 ao
formato triangular.
Exemplo: Ache o determinante da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 1 5
3 −6 9
2 6 1
⎞⎟⎟⎟⎠.
11
Solução: Usando as propriedades 6, 7 e 8, obtemos que
det𝐴 =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
0 1 5
3 −6 9
2 6 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ = −
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
3 −6 9
0 1 5
2 6 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ (linhas 2 e 3 foram permutadas)
= −3
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
1 −2 3
0 1 5
2 6 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ (o fator comun 3 da linha 1 foi retirado)
= −3
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
1 −2 3
0 1 5
0 10 −5
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ (linha 3 + (-2) (linha 1))
= −3
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
1 −2 3
0 1 5
0 0 −55
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ (linha 3 + (-10) (linha 2))
= −3(1)(1)(−55) = 165
Exemplo: Ache o determinante da matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 −5
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Solução: Reduzindo a matriz a uma triangular inferior usando operações por coluna, obte-
mos que
det𝐴 =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 −5
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
1 0 0 0
2 7 0 0
0 6 3 0
7 3 1 −26
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒ (coluna 4 + (-3)(coluna 1))
= (1)(7)(3)(−26) = −546
1.5 A Matriz Adjunta e a Inversibilidade de Matrizes
Suponhamos que 𝐴𝑛×𝑛 tenha inversa, isto é, existe 𝐴−1 tal que 𝐴 · 𝐴−1 = 𝐼. Usando o
determinante obtém-se
det (𝐴 · 𝐴−1) = det 𝐴 · det 𝐴−1 e det 𝐼 = 1
12
Então:
det𝐴−1 =
1
det𝐴
Definição 1.6. Seja a matriz 𝐴 ∈𝑀𝑛×𝑛(R). Chamaremos Adjunta de 𝐴, a matriz 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
que é a transposta da matriz de cofatores. Simbolicamente,
𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (𝑐𝑜𝑓(𝐴))𝑇 .
Teorema 1.1. Se 𝐴 é uma matriz inversível, então:
𝐴−1 =
1
det𝐴
𝐴𝑑𝑗 (𝐴).
Uma condição necessária para que 𝐴 tenha inversa é que o det𝐴 ̸= 0.
Ex.: Ache a inversa de 𝐴 =
⎛⎝ 1 2
−1 3
⎞⎠ .
Solução: Calculando temos que det𝐴 = 5, a matriz de cofatores 𝑐𝑜𝑓(𝐴) =
⎛⎝ 3 1
−2 1
⎞⎠ e a
adjunta 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (𝑐𝑜𝑓(𝐴))𝑇 =
⎛⎝3 −2
1 1
⎞⎠, logo pelo Teorema 1.1
𝐴−1 =
1
5
·
⎛⎝3 −2
1 1
⎞⎠ . (1.10)
Teorema 1.2. Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛× 𝑛 é não inversível se e somente se
det(𝐴) = 0
13
1.6 Exercícios
Para conferir seus resultados recomenda-se usar um calculador online
Dica: http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/algebra_combinatorics/
1. Sejam 𝐴 =
⎛⎝ 3 0
−1 5
⎞⎠, 𝐵 =
⎛⎝4 −2 1
0 2 3
⎞⎠, 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2
3 4
5 6
⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐷 =
⎛⎝ 0 −3
−2 1
⎞⎠.
Calcular 𝐴 + 2𝐷, 𝐵 − 𝐶𝑇 , 𝐵𝑇𝐶𝑇 − 𝐶𝐵, 𝐴3, 𝐷𝐴− 𝐴𝐷.
2. Seja 𝐴 =
⎛⎝√2 𝑥2
4𝑥 1
⎞⎠. Calcule os possíveis valores de 𝑥, para que 𝐴𝑇 = 𝐴.
3. (𝑖) Se 𝐴 é uma matriz simétrica 𝑛× 𝑛, calcule 𝐴𝑇 − 𝐴.
(𝑖𝑖) Se 𝐴 é uma matriz triangular inferior, 𝐴𝑇 é uma matriz triangular . . . . . . .
(𝑖𝑖𝑖) 𝐴 é uma matriz diagonal, calcule 𝐴𝑇 .
4. Seja a matriz 𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 −4
0 −4 2
1 −1 5
⎞⎟⎟⎟⎠. Usando cofatores,
(𝑖) Calcule det𝐴 desenvolvendo em relação à primeira linha.
(𝑖𝑖) Calcule det𝐴 desenvolvendo em relação à primeira coluna.
(𝑖𝑖𝑖) Calcule det𝐴 desenvolvendo em relaçãoà segunda coluna.
5. Usando cofatores e fazendo o menor número de operações, calcule o determinante de
𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 3 0
3 0 0 1
0 2 3 0
2 0 1 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
4 0 2 1
5 0 4 2
2 0 3 4
1 1 2 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 0 1
0 1 0 0
1 6 2 0
1 1 −2 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
6. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes (use as operações elemen-
tares por linhas para reduzir as matrizes abaixo à sua forma triangular).
𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 0 −1
3 0 2
4 −3 7
⎞⎟⎟⎟⎠, 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑡 + 3 −1 1
5 𝑡− 3 1
6 −6 𝑡 + 4
⎞⎟⎟⎟⎠ e 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 4 −5
0 0 1
−1 8 7
⎞⎟⎟⎟⎠.
14
7. Encontre todos os valores possíveis de 𝑐 que tornem a matriz inversível
⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 1
1 9 𝑐
1 𝑐 3
⎞⎟⎟⎟⎠.
8. Sejam as matrizes
𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎝
−1 3 −4
2 4 1
−4 2 −9
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 0 0
1 3 0
1 3 5
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐶 =
⎛⎜⎜⎜⎝
cos 𝜃 sen 𝜃 0
− sen 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐷 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 5 5
−1 −1 0
2 4 3
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐸 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 0 3
0 3 2
−2 0 −4
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐹 =
⎛⎜⎜⎜⎝
2 0 0
8 1 0
−5 3 6
⎞⎟⎟⎟⎠ e
𝐺 =
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑎 𝑏 𝑐
𝑐 𝑎 𝑏
𝑏 𝑐 𝑎
⎞⎟⎟⎟⎠.
(𝑖) Calcule os cofatores das matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 e 𝐺.
(𝑖𝑖) Determine a inversa das matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 usando o Teorema 1.1.
9. Encontre a inversa das matrizes dadas usando operações por linha⎛⎜⎜⎜⎝
2 3 0
1 −2 −1
2 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎠,
⎛⎜⎜⎜⎝
1 1 0
1 0 1
0 1 1
⎞⎟⎟⎟⎠,
⎛⎜⎜⎜⎝
0 𝑎 0
𝑏 0 𝑐
0 𝑑 0
⎞⎟⎟⎟⎠,
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
√
2 0 2
√
2 0
−4
√
2
√
2 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
10. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes 3×3 com det𝐴 = 4 e det𝐵 = 5. Encontre o valor de det(𝐴𝐵),
det(3𝐴), det(2𝐴𝐵), det(𝐴−1𝐵)
11. Uma matriz 𝐴 é ortogonal se sua inversa é igual a sua transposta, ou seja, 𝐴−1 = 𝐴𝑇 .
Provar que a matriz 𝐴 =
⎛⎝cos 𝜃 − sen 𝜃
sen 𝜃 cos 𝜃
⎞⎠ é ortogonal.
15
Capítulo 2
Sistemas de Equações Lineares
Algébricas
Uma equação linear de 𝑛 incógnitas é uma equação da forma
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + · · ·+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 (2.1)
Um sistema linear de 𝑚 equações algébricas lineares de 𝑛 variáveis (incógnitas) é um
conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente, por exemplo:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + · · ·+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + · · ·+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
...
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + · · ·+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(2.2)
onde os 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖 são números reais.
Em 1858, o matemático inglês Artur Cayley introduz uma notação abreviada para ex-
pressar o sistema linear (2.2), na forma matricial:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛
...
... . . .
...
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝑚×𝑛
.
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑥1
𝑥2
...
𝑥𝑛
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝑛×1
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑏1
𝑏2
...
𝑏𝑚
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝑚×1
. (2.3)
Assim a forma matricial (2.3) escreve-se abreviadamente por:
𝐴x = b, (2.4)
onde 𝐴 é uma matriz 𝑚× 𝑛, b um vetor 𝑚× 1 e x é um vetor 𝑛× 1.
“Se b = 0, o sistema é dito homogêneo, caso contrário ele é não-homogêneo".
16
2.1 Classificação de um Sistema Linear
O sistema linear (2.2) pode ter ou não solução. Assim, classificaremos os sistemas lineares
em dois tipos:
1. Compatível (ou possível)
⎧⎨⎩ 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜, uma única solução𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 mais de uma solução.
2. Incompatível (ou impossível) quando não possui solução.
Se o sistema linear (2.2) tem o número de equações igual ao número de incognitas (𝑚 = 𝑛),
então a matriz 𝐴 associada a forma matricial equivalente (2.4) será uma matriz quadrada
𝑛× 𝑛. Logo,
• Se a matriz 𝐴 é inversível, isto é, o det 𝐴 ̸= 0, então o sistema tem uma única solução,
ou seja, x = 𝐴−1b.
• Se a matriz 𝐴 não é inversível, isto é det 𝐴 = 0, então o sistema não tem solução, ou
existe solução mas não é única.
(Um sistema homogêneo: 𝐴x = 0, onde det 𝐴 = 0, possui infinitas soluções)
Observação 2.1. Um sistema linear homogêneo 𝐴x = 0 admite sempre a solução nula,
chamada solução trivial. Logo, um sistema linear homogêneo é sempre compatível.
Exemplo: É simples verificar que a solução nula x = (0, 0, 0)𝑇 é solução do sistema linear
homogêneo,
⎧⎨⎩ 3𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 = 0𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0. ⇐⇒
⎛⎝3 −1 7
1 −2 3
⎞⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
0
0
0
⎞⎟⎟⎟⎠ ⇐⇒ 𝐴𝑥 = 0
Uma interpretação geométrica das soluções de um sistema linear, pode ser observada
para sistemas de ordem 2× 2. Por exemplo, sejam os sistemas:
𝐼)
⎧⎨⎩ 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1 − 𝑥2 = 2 𝐼𝐼)
⎧⎨⎩ 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1 + 𝑥2 = 1 𝐼𝐼𝐼)
⎧⎨⎩ 𝑥1 + 𝑥2 = 2−𝑥1 − 𝑥2 = −2.
A solução dos respectivos sistemas podem ser visualizados nos seguintes gráficos da Figura
2.1
17
(a) Caso I (b) Caso II (c) Caso III
Figura 2.1: Solução de sistemas de equações lineares de ordem 2× 2
2.2 Método de Eliminação de Gauss
Consiste na resolução de Sistemas por Escalonamento onde o objetivo é migrar de um
sistema linear 𝐴x = b para outro que lhe seja equivalente, e de resolução mais simples. A
ideia então é, usar as operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada (𝐴 |b) de
modo que esta se transforme à forma (𝐴′ |b′) onde 𝐴′ é uma matriz escalonada (Defini-
ção 2.1). Assim, o sistema final equivalente 𝐴′x = b ′ será resolvido usando substituições
regressivas.
Definição 2.1. Uma matriz esta escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes pro-
priedades:
1. Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado elemento líder) está
em uma coluna à esquerda de qualquer outro elemento líder abaixo dele.
Observação 2.2. A forma escalonada de uma matriz não é única. Logo, dependendo de
sua escolha na hora de fazer as operações elementares você poderá obter várias matrizes
equivalentes, porém sempre uma mesma solução.
Exemplo: Ache a solução do sistema linear⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −1
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 4.
⇐⇒
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1
3 −1 −3
2 3 1
⎞⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
3
−1
4
⎞⎟⎟⎟⎠ ⇐⇒ 𝐴x = b
18
Sol.: Apartir da matriz aumentada, usando as operações por linhas temos:
(𝐴|𝑏) =
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1 | 3
3 −1 −3 | −1
2 3 1 | 4
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐿2 ←→ 𝐿2 − 3𝐿1
𝐿3 ←→ 𝐿3 − 2𝐿1
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1 | 3
0 −7 −6 | −10
0 −1 −1 | −2
⎞⎟⎟⎟⎠ 𝐿2 ←→ 𝐿3
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1 | 3
0 −1 −1 | −2
0 −7 −6 | −10
⎞⎟⎟⎟⎠
𝐿3 ←→ 𝐿3 − 7𝐿2
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1 | 3
0 −1 −1 | −2
0 0 1 | 4
⎞⎟⎟⎟⎠ = (𝐴′|𝑏′)
O sistema equivalente resultante é⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥1 +2𝑥2 + 𝑥3 = 3
−𝑥2 − 𝑥3 = −2
𝑥3 = 4.
A solução deste último sistema obtém-se resolvendo a última equação e substituindo a res-
pectiva solução na equação anterior, até chegar na primeira. Neste caso temos que 𝑥3 = 4,
𝑥2 = −2 e 𝑥1 = 3
Exemplo: Resolva o sistema⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 3
Sol.: A matriz aumentada (𝐴|𝑏) associada ao sistema é
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 1 1 1
1 3 −1 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Logo, fazendo 𝐿2 ←→ 𝐿2 − 𝐿1, a forma escalonada torna-se
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 1 1 1
0 1 −2 0 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
19
Observemos que o número de variáveis livres ( que não dependem de outras variáveis)
é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada. No exemplo dado, 𝑧 e 𝑡 são
as variáveis livres .
Assim , para 𝑧 = 𝜆1 e 𝑡 = 𝜆2 obtemos mediante substituições regressivas:
𝑦 = 2 + 2𝜆1, 𝑥 = 1− 2(2 + 2𝜆1)− 𝜆1 − 𝜆2 = −3− 5𝜆1 − 𝜆2.
Definição 2.2. O posto de uma matriz, posto(A), é o número de linhas não nulas de
qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas.
Teorema 2.1. (O Teorema do Posto) Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes de um sistema de
equações lineares com 𝑛 variáveis. Se o sistema for possível, então o
número de variáveis livres = n − posto(A)
No último exemplo, como o sistema tem solução, pelo Teorema do Posto temos 4−2 = 2
variáveis livres, neste caso 𝑧 e 𝑡.
Exemplo Resolva o sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
2𝑦 − 2𝑧 = 1
Sol.: A matriz aumentada (𝐴|𝑏) associada ao sistema é
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
⎞⎟⎟⎟⎠.
Logo, fazendo 𝐿2 ←→ 𝐿2 − 𝐿1, a forma escalonada torna-se
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 2 −2 1
⎞⎟⎟⎟⎠.Finalmente, fazendo 𝐿3 ←→ 3𝐿3 − 2𝐿2, temos
⎛⎜⎜⎜⎝
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 15
⎞⎟⎟⎟⎠ levando à equação
impossível, 0 = 15.
Assim, o sistema não tem solução, ele é impossível.
20
2.3 Resolução de Sistemas pela Regra de Cramer
O método de Cramer nos permitirá escrever a solução de um sistema de equações lineares
𝑛× 𝑛 em função de determinantes. Entretanto, devemos salientar que este método envolve
o cálculo de 𝑛 + 1 determinantes de ordem 𝑛 o que equivale a resolver mais operações que
no método de Gauss.
Seja 𝐴 uma matriz inversível 𝑛×𝑛 e seja b ∈ R𝑛. Seja 𝐴𝑖 a matriz obtida substituindo-se
a i-ésima coluna de 𝐴 por b. Se x = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)𝑇 for a única solução de 𝐴x = b, então:
𝑥𝑖 =
det (𝐴𝑖)
det 𝐴
para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛.
Exemplo: Ache a solução do sistema linear⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = −1
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 4.
⇐⇒
⎛⎜⎜⎜⎝
1 2 1
3 −1 −3
2 3 1
⎞⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
3
−1
4
⎞⎟⎟⎟⎠ ⇐⇒ 𝐴x = b
Sol.: Usando o método de Cramer e sabendo que
det𝐴 = 1(−1 + 9)− 2(3 + 6) + 1(9 + 2) = 8− 18 + 11 = 1
temos que:
𝑥1 =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
3 2 1
−1 −1 −3
4 3 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ = (3(−1 + 9)− 2(−1 + 12) + 1(−3 + 4)) = 24− 22 + 1 = 3
𝑥2 =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
1 3 1
3 −1 −3
2 4 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ = (1(−1 + 12)− 3(3 + 6) + 1(12 + 2)) = 11− 27 + 14 = −2
𝑥3 =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
1 2 3
3 −1 −1
2 3 4
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ = (1(−4 + 3)− 2(12 + 2) + 3(9 + 2)) = −1− 28 + 33 = 4
2.4 Exercícios
1. Resolva os seguintes sistemas pelo método de Gauss-Jordan.
21
(𝑖)
⎧⎪⎨⎪⎩ 3𝑥 − 𝑦 = 42𝑥 − 1
2
𝑦 = 1
(𝑖𝑖)
⎧⎪⎨⎪⎩ 2𝑥 − 3𝑦 = 4𝑥 − 3𝑦 = 1
(𝑖𝑖𝑖)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 0
(𝑖𝑣)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 4𝑤 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 𝑤 = 1
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 2
(𝑣)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
√
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
√
2𝑦 − 3𝑧 = −
√
2
− 𝑦 +
√
2𝑧 = 1
(𝑣𝑖)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 𝑧 − 2𝑤 = −3
𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 8𝑤 = 2
(𝑣𝑖𝑖)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1
2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 6𝑤 = 2
1
6
𝑥 + 1
2
𝑦 − 3𝑤 +𝑡 = −1
1
3
𝑥 − 2𝑧 −4𝑡 = 8
(𝑣𝑖𝑖𝑖)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2𝑥 + 𝑦 = 3
4𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 + 5𝑦 = −1
𝑖𝑥)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 4
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑤 = 10
𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 + 10𝑤 = 20
𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 + 20𝑤 = 35
𝑥)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 + 𝑦 + 𝑤 = 2
2. O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de 𝑎?. Exatamente uma solu-
ção?. Infinitas soluções.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 4
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2
4𝑥 + 𝑦 + (𝑎2 − 14)𝑧 = 𝑎 + 2
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 1
𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
3. Determine 𝑘 para que o sistema admita solução⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−4𝑥 + 3𝑦 = 2
5𝑥 − 4𝑦 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 𝑘
4. Resolva o sistema⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 3
22
5. Estabeleça a condição que deve ser satisfeita 𝑎 e 𝑏 para que o sistema seja compatível.
𝑎)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑥− 2𝑦 − 𝑧 = 𝑎
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑏
4𝑥− 3𝑦 + 𝑧 = 1
𝑏)
⎧⎪⎨⎪⎩𝑎𝑥 + 𝑦 = −12𝑥 + 𝑦 = 𝑏 𝑐)
⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥 + 𝑎𝑦 = 1𝑏𝑥 + 2𝑦 = 5
6. Encontre os coeficientes do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 cujo gráfico passa
pelos pontos (0,−3), (2,−5), (3, 0) e (−1,−8).
7. Encontre a reta interseção de cada par de planos dados
𝑎) 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1 e 2𝑥− 𝑦 + 4𝑧 = 5
𝑏) 4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 e 2𝑥− 𝑦 + 3𝑧 = 4
8. Mentiras que meu Computador me Contou (David Poole) Existem sistemas
chamados Mal condicionados que são extremadamente sensíveis a arredondamentos,
a seguir um exemplo deste para você pensar.
a) Resolva o seguinte sistema exatamente (trabalhe apenas com frações)⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥 + 𝑦 = 0𝑥 + 801
800
𝑦 = 1.
b) Sabendo que a forma decimal de 801
800
= 1, 00125 use uma calculadora online e resolva
o sistema: ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥 + 𝑦 = 0𝑥 + 1, 00125𝑦 = 1.
Dica: http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/
c) Resolva o sistema dado em 𝑎) arredondando 801
800
= 1, 0012 e 801
800
= 1, 001.
d) Conclua que mesmo um pequeno erro de arredondamento pode levar a grandes erros
de resultado. Explique geometricamente.
23
Capítulo 3
Vetores
Com o intuito de esclarecer melhor o conceito de vetor, uma abordagem geométrica e algé-
brica serão apresentadas.
3.1 Interpretação Geométrica
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que
ficam definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Por
exemplo, comprimento, área, volume, massa, densidade e temperatura. As grandezas vetori-
ais, são o caso contrario, isto é, não basta saber seu módulo e unidade correspondente, para
serem perfeitamente caracterizadas precisamos sua direção e seu sentido. Por exemplo,
força, velocidade e aceleração.
Definição 3.1. Um vetor �⃗� é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma
direção, mesmo sentido e mesmo módulo, sendo:
- A direção, a da reta colinear que contém o segmento ou reta paralela.
- O sentido, dado pela orientação do movimento.
- O módulo, o comprimento do segmento.
Um vetor que vai do ponto 𝐴 (origem) até o ponto 𝐵 (extremidade) é denotado por
−→
𝐴𝐵.
Na seguinte figura todos os segmentos orientados paralelos ou colineares, de mesmo sen-
tido e mesmo comprimento, representam um único vetor.
24
Figura 3.1:
3.2 Adição de Vetores
Consideremos dois vetores �⃗� e �⃗�, cuja soma �⃗� + �⃗� pretendemos encontrar. Tomemos um
ponto 𝐴 qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado
−→
𝐴𝐵 representante do
vetor �⃗� e um segmento orientado
−−→
𝐵𝐶 representante do vetor �⃗�. O vetor representado pelo
segmento orientado
−→
𝐴𝐶 será o representante do vetor soma �⃗� + �⃗�, isto é,
�⃗� + �⃗� =
−→
𝐴𝐶
ou
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐵𝐶 =
−→
𝐴𝐶
Sendo �⃗�, �⃗� e �⃗� vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades
1. Comutativa: �⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗�.
2. Associativa: (�⃗� + �⃗�) + �⃗� = �⃗� + (�⃗� + �⃗�).
3. Elemento Neutro: �⃗� + 0⃗ = �⃗�
4. Elemento Oposto: �⃗� + (−�⃗�) = 0⃗
Observação 3.1. O vetor �⃗� + (−�⃗�) escreve-se �⃗� − �⃗�,é chamado diferença entre �⃗� e �⃗�. Ver
Figura 3.2.
25
Figura 3.2: Soma de vetores.
3.3 Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Dado um vetor �⃗� ̸= 0 e um número real 𝛼 ̸= 0, chama-se produto do número real 𝛼 pelo
vetor �⃗�, o vetor 𝛼�⃗� tal que:
1. Módulo ou comprimento: |𝛼�⃗�| = |𝛼||�⃗�|
2. Direção: 𝛼�⃗� é paralelo a �⃗�
3. Sentido: 𝛼�⃗� e �⃗� tem o mesmo sentido se 𝛼 > 0, e contrário se 𝛼 < 0. Ver Figura 3.3.
Figura 3.3: Multiplicação de um Número Real por um Vetor
26
3.4 Ângulo entre dois vetores
O ângulo entre os vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 é o ângulo 𝜃 formado por duas semi-retas
−→
𝑂𝐴 e
−−→
𝑂𝐵 de mesma origem 𝑂, onde �⃗� =
−→
𝑂𝐴, �⃗� =
−−→
𝑂𝐵 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.
• Se �⃗�//�⃗� e �⃗� e �⃗� têm o mesmo sentido, então 𝜃 = 0. Na figura acima, o ângulo entre
�⃗� e 2�⃗� é zero.
• Se �⃗�//�⃗� e �⃗� e �⃗� têm sentidos contrários, então 𝜃 = 𝜋. Na figura acima, o ângulo entre
�⃗� e −3�⃗� é 𝜋.
3.5 Interpretação Algébrica em R𝑛
O representante de um vetor �⃗� =
−→
𝐴𝐵, está na posição padrão se seu ponto inicial 𝐴
coincidir com a origem 𝑂 do sistema de coordenadas (Figura 3.4). Então �⃗� =
−→
𝑂𝑃 , onde
o ponto 𝑃 = 𝐵 − 𝐴 é extremidade do vetor. Dessa forma, todo vetor �⃗� é vetor posição
de algum ponto 𝑃 (unicamente determinado) e as coordenadas de 𝑃 são as mesmas que as
componentes de �⃗�.
Figura 3.4: Interpretação Algébrica de Vetores
Observação 3.2. Todo vetor �⃗� em R𝑛 pode-se representar matricialmente por: �⃗� =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑥1
𝑥2
...
𝑥𝑛
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ou �⃗� = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛), em ambos casos �⃗� é o vetor posição de 𝑃 .
27
Exemplo: Se um vetor tem origem em (1, 2) e extremidade em (7, 12), ele é representado
por −→𝑣 = (6, 10), pois:
−→𝑣 = (7, 12)− (1, 2) = (6, 10)
3.5.1 Interpretação Algébrica no Plano (R2)
Consideremos dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 não paralelos, representados com a origem no mesmo ponto
𝑂, e sejam 𝑟1 e 𝑟2 retas contendo estes representantes,respectivamente.
Os vetores �⃗�, �⃗�, �⃗�, �⃗� e �⃗�, representados na figura podem ser escritos em função de 𝑣1 e
𝑣2 por
�⃗� = 3�⃗�1 + 4�⃗�2 �⃗� = −2�⃗�1 + 3�⃗�2 �⃗� = −3�⃗�1 − �⃗�2
�⃗� = 2�⃗�1 + 0�⃗�2 �⃗� = 0�⃗�1 + 3�⃗�2
De modo geral dados dois vetores quaisquer 𝑣1 e 𝑣2, existe uma só dupla de números reais
𝑎1 e 𝑎2, tal que
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2.
O vetor �⃗� é chamado combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2. O conjunto 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2} é chamado
de base no plano.
“Qualquer conjunto de dois vetores não paralelos forma uma base no plano"
28
Observação 3.3. Dentre as infinitas bases que existem no plano a mais importante é aquela
que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal 𝑥𝑂𝑦. Esta base é chamada de base
canônica e esta determinada pelos vetores ortogonais e unitários �⃗� = (1, 0) e �⃗� = (0, 1).
Assim, qualquer vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦) do plano pode-se escrever da forma
𝑣 = 𝑥 �⃗� + 𝑦 �⃗�.
Igualdade de Vetores. Dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se,
𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2.
Neste caso, escrevemos �⃗� = �⃗�.
Definição 3.2. Sejam dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) e 𝛼 ∈ R. Define-se
1. �⃗� + �⃗� = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
2. 𝛼�⃗� = (𝛼 𝑥1, 𝛼 𝑦1)
3. −�⃗� = (−1)�⃗� = (−𝑥1,−𝑦1)
4. �⃗�− �⃗� = �⃗� + (−�⃗�) = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2).
As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar
as propriedades seguintes:
1. �⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗�
2. �⃗� + 0⃗ = �⃗�
3. (�⃗� + �⃗�) + �⃗� = �⃗� + (�⃗� + �⃗�)
4. �⃗� + (−�⃗�) = 0⃗
5. 𝛼(𝛽�⃗�) = (𝛼𝛽)�⃗�
6. 𝛼(�⃗� + �⃗�) = 𝛼�⃗� + 𝛼�⃗�
7. (𝛼 + 𝛽)�⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗�
8. 1�⃗� = �⃗�.
29
Observação 3.4. É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os
segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os
infinitos representantes de
−→
𝐴𝐵 (𝐴 = (𝑥1, 𝑦1), 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2)), o que “melhor o caracteriza" é
aquele que tem origem em 𝑂 = (0, 0) e extremidade no ponto 𝑃 = (𝑥2−𝑥1, 𝑦2− 𝑦1). O vetor
�⃗� =
−→
𝑂𝑃 é também chamado vetor posição, vetor diretor ou representante natural de
−→
𝐴𝐵.
Módulo de um vetor Seja o vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦). Pelo Teorema de Pitágoras, vem
|𝑢| =
√︀
𝑥2 + 𝑦2. (3.1)
3.5.2 Interpretação Algébrica no Espaço (R3)
No plano vimos que dado qualquer vetor �⃗�, este pode ser escrito como uma combinação da
base canônica {⃗𝑖, �⃗�}, isto é, �⃗� = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 �⃗�+ 𝑦 �⃗�. Analogamente, no espaço, consideraremos
a base canônica {⃗𝑖, �⃗�, �⃗�}, como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal
𝑂𝑥𝑦𝑧, neste caso
�⃗� = (1, 0, 0), �⃗� = (0, 1, 0), �⃗� = (0, 0, 1).
Assim, dado um vetor qualquer �⃗� ∈ R3 este pode-se expressar da forma
�⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 �⃗� + 𝑦 �⃗� + 𝑧 �⃗�. (3.2)
As definições e conclusões no espaço são análogas às do plano.
Definição 3.3. Sejam os vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 𝛼 ∈ R. Define-se
1. �⃗� = �⃗� se e somente se 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2.
2. �⃗� + �⃗� = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2)
3. 𝛼�⃗� = (𝛼 𝑥1, 𝛼 𝑦1, 𝛼 𝑧1)
4. −�⃗� = (−1)�⃗� = (−𝑥1,−𝑦1,−𝑧1)
5. �⃗�− �⃗� = �⃗� + (−�⃗�) = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2).
Além disso,
1. �⃗� + �⃗� = �⃗� + �⃗�
30
2. �⃗� + 0⃗ = �⃗�
3. (�⃗� + �⃗�) + �⃗� = �⃗� + (�⃗� + �⃗�)
4. �⃗� + (−�⃗�) = 0⃗
5. 𝛼(𝛽�⃗�) = (𝛼𝛽)�⃗�
6. 𝛼(�⃗� + �⃗�) = 𝛼�⃗� + 𝛼�⃗�
7. (𝛼 + 𝛽)�⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗�
8. 1�⃗� = �⃗�.
Módulo de um vetor Seja o vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧),
|𝑢| =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. (3.3)
3.6 Produto Escalar
Chama-se produto escalar de dois vetores �⃗� e �⃗� ao número real �⃗� · �⃗�, o qual é a soma dos
produtos de suas componentes correspondentes de �⃗� e �⃗�.
Quando �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) =⇒ �⃗� · �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2. (3.4)
Quando 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) =⇒ �⃗� · �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2. (3.5)
Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤 e o número real 𝛼, é fácil
verificar que: Além disso,
1. �⃗� · �⃗� = �⃗� · �⃗�
2. �⃗� · (�⃗� + �⃗�) = �⃗� · �⃗� + �⃗� · �⃗�
3. (�⃗� + �⃗�) · �⃗� = �⃗� · �⃗� + �⃗� · �⃗�
4. 𝛼 · (�⃗� · �⃗�) = (𝛼�⃗�) · �⃗� = �⃗� · (𝛼�⃗�)
5. �⃗� · �⃗� > 0 se �⃗� ̸= 0⃗ e �⃗� · �⃗� = 0 se �⃗� = 0⃗.
6. �⃗� · �⃗� = |�⃗�|2.
31
3.6.1 Interpretação Geométrica do Produto Escalar
Se �⃗� e �⃗� são dois vetores não nulos e 𝜃 é o ângulo entre eles, então:
�⃗� · �⃗� = |�⃗�| |�⃗�| cos 𝜃. (3.6)
De fato, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo 𝐴𝐵𝐶, temos:
|�⃗�− �⃗�|2 = |�⃗�|2 + |�⃗�|2 − 2|�⃗�||�⃗�| cos 𝜃.
Por outro lado, como |�⃗� − �⃗�|2 = (�⃗� − �⃗�) · (�⃗� − �⃗�) = |�⃗�|2 − 2�⃗� · �⃗� + |�⃗�|2, então a igualdade
segue-se.
Exemplo 3.1. Sejam |�⃗�| = 2, |�⃗�| = 3 e 120𝑜 o ângulo entre �⃗� 𝑒 �⃗�. Calcular
𝑖) �⃗� · �⃗� 𝑖𝑖) |�⃗� + �⃗�| 𝑖𝑖𝑖) |�⃗�− �⃗�|.
Sol.
𝑖) �⃗� · �⃗� = |�⃗�||�⃗�| cos 120𝑜 = (2)(3) −1
2
= −3 (3.7)
𝑖𝑖) |�⃗� + �⃗�| =
√︀
|�⃗�|2 + |�⃗�|2 + 2�⃗� · �⃗� =
√︀
22 + 32 + 2(−3) =
√
7 (3.8)
𝑖𝑖) |�⃗�− �⃗�| =
√︀
|�⃗�|2 + |�⃗�|2 − 2�⃗� · �⃗� =
√︀
22 + 32 − 2(−3) =
√
19. (3.9)
3.6.2 Ângulo entre dois Vetores
Seja 𝜃 o ângulo entre �⃗� e �⃗�, então:
cos 𝜃 =
�⃗� · �⃗�
|�⃗�||�⃗�|
.
32
Exemplo 3.2. Sejam �⃗� = (4,−2), �⃗� = (3, 1)
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
(4,−2) · (3, 1)
|(4,−2)||(3, 1)|
=
4.3 + (−2).1√︀
42 + (−2)2
√
32 + 1
=
10√
20
√
10
=
√
2
2
Logo, 𝜃 = arccos
√
2
2
⇒ 𝜃 = 45𝑜.
Exemplo 3.3. Um vetor �⃗� do espaço forma com os vetores �⃗� e �⃗� ângulos de 60𝑜 e 120𝑜,
respectivamente. Determinar o vetor �⃗�, sabendo que |�⃗�| = 2.
Solução Das hipôteses temos para 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) que:
𝑐𝑜𝑠 60𝑜 =
�⃗� · �⃗�
|�⃗�||⃗𝑖|
=
�⃗� · �⃗�
(2)(1)
⇒ 𝑥 = �⃗� · �⃗� = 2 cos 60𝑜 = 1
e
𝑐𝑜𝑠 120𝑜 =
�⃗� · �⃗�
|�⃗�||⃗𝑗|
=
�⃗� · �⃗�
(2)(1)
⇒ 𝑦 = �⃗� · �⃗� = 2 cos 120𝑜 = −1
Por outro lado, ja que |�⃗�| =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2, tem-se 𝑧 = ±
√
2. Portanto, �⃗� = (1,−1,
√
2)
ou �⃗� = (1,−1,−
√
2).
Observação 3.5. Note que dois vetores �⃗� e �⃗� diferentes de zero, são ortogonais (�⃗�⊥�⃗�), se
e somente se �⃗� · �⃗� = 0.
Exemplo. Os vetores �⃗� = (10,
√
2) e �⃗� = (−1
5
,
√
2) formam um ângulo de 90𝑜, pois �⃗� · �⃗� =
10(−1
5
) +
√
2(
√
2) = 0
Observação 3.6. Sejam dois vetores �⃗� e �⃗� quaisquer,
1. |�⃗� · �⃗�| ≤ |�⃗�||�⃗�| (Desigualdade de Schwartz)
2. |�⃗� + �⃗�| ≤ |�⃗�|+ |�⃗�| (Desigualdade Triangular).
3.6.3 Projeção de um Vetor sobre Outro
Sejam os vetores �⃗� e �⃗� não nulos e 𝜃 o ângulo entre eles. O objetivo será decompor um
dos vetores, digamos �⃗�, da forma
�⃗� = �⃗�1 + �⃗�2
33
sendo �⃗�1‖�⃗� e �⃗�2 ⊥ �⃗�.
O vetor �⃗�1 é chamado projeção ortogonal de �⃗� sobre �⃗�, e denotado por:
�⃗�1 = Proj �⃗� �⃗�.
Com efeito, ja que: �⃗�1‖�⃗� ⇒ �⃗�1 = 𝛼�⃗� e dado que �⃗�2 = �⃗�− �⃗�1 = �⃗�− 𝛼�⃗� então
�⃗�2 ⊥ �⃗� ⇒ (�⃗�− 𝛼�⃗�) ⊥ �⃗� ⇒ (�⃗�− 𝛼�⃗�) · �⃗� = 0 ⇒ 𝛼 =
�⃗� · �⃗�
|�⃗�|2
Portanto,
Proj �⃗� �⃗� = �⃗�1 =
(︂
�⃗� · �⃗�
|�⃗�|2
)︂
�⃗�.
Chamamos de componente de 𝑢 sobre 𝑣 ao vetor
𝐶𝑜𝑚𝑝 �⃗� �⃗� = �⃗�2 = �⃗�− 𝛼�⃗� = �⃗�− Proj �⃗� �⃗�.
3.7 Produto Vetorial
Chama-se produto vetorial de dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) de R3, tomados
nessa ordem, e reprentados por �⃗�× �⃗�, ao vetor:
�⃗�× �⃗� =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗�−
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗� +
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗�.
Pela facilidade para memorizar denotaremos a definição anterior da forma:
�⃗�× �⃗� =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
�⃗� �⃗� �⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ .
34
Exemplo 3.4. Calcular �⃗�× �⃗� para �⃗� = (5, 4, 3) e �⃗� = (1, 0, 1).
Solução
�⃗�× �⃗� =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒
�⃗� �⃗� �⃗�
5 4 3
1 0 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒⃒
⃒ =
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒4 3
0 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗�−
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒5 3
1 1
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗� +
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒5 4
1 0
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ �⃗� = 4⃗𝑖− 2⃗𝑗 − 4�⃗�.
Observação 3.7. Uma forma prática para o cálculo de �⃗�× �⃗� é dispondo os dois vetores em
linha, e repetindo pela ordem, as duas primeras colunas, As três componentes de �⃗� × �⃗� são
dadas pelos três determinantes, conforme a seguir.
O sentido do vetor �⃗�× �⃗� poderá ser determinado pela regra da mão direita,isto é, se os
dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção de rotação, então o polegar estendido
indicará o sentido de �⃗�× �⃗�.
3.7.1 Propriedades
As demonstrações das seguintes propriedades são uma consequência direta da definição de
produto vetorial e das propriedades de determinante.
35
1. �⃗� × �⃗� = −�⃗�× �⃗�.
2. �⃗�× �⃗� = 0⃗, se e somente se, �⃗� ‖ �⃗�.
3. O vetor �⃗�× �⃗� é simultaneamente perpendicular a �⃗� e �⃗�, isto é
(�⃗�× �⃗�) · �⃗� = 0⃗ e (�⃗�× �⃗�) · �⃗� = 0⃗.
4. �⃗�× (�⃗� + �⃗�) = �⃗�× �⃗� + �⃗�× �⃗� e (�⃗� + �⃗�)× �⃗� = �⃗�× �⃗� + �⃗� × �⃗�.
5. 𝛼 (�⃗�× �⃗�) = (𝛼 �⃗�)× �⃗� = �⃗�× (𝛼 �⃗�).
6. �⃗� · (�⃗� × �⃗�) = (�⃗�× �⃗�) · �⃗�.
7. |�⃗�× �⃗�|2 = |�⃗�|2 |�⃗�|2 − (�⃗� · �⃗�)2, (chamada identidade de Lagrange).
Observação 3.8. Como uma consequência da identidade de Lagrange e tendo em conta que
�⃗� · �⃗� = |�⃗�| |�⃗�| cos 𝜃, temos que:
|�⃗�× �⃗�| = |�⃗�| |�⃗�| sen 𝜃
3.7.2 Interpretação Geométrica
• A área 𝐴 de um paralelogramo determinado pelos vetores �⃗� e �⃗� , onde a medida da
base é �⃗� e a altura é |�⃗�| sen 𝜃, é
𝐴 = (base)x(altura) = |�⃗�| |�⃗�| sen 𝜃 = ‖𝑢× 𝑣‖
• O volume 𝑉 do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares
�⃗�, �⃗� e �⃗� (os três vetores não se encontram num mesmo plano) é:
𝑉 = |�⃗� · (�⃗� × �⃗�)| = |𝑑𝑒𝑡[𝑢 𝑣 𝑤]|.
36
3.8 Retas e Planos
Definição 3.4. Em R2 ou R3, a equação vetorial de uma Reta ℒ, com direção �⃗� ̸= 0
que passa pelo ponto 𝑃0 cujo vetor posição é 𝑃0 =
−→
𝑂𝑃 0, é:
𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 �⃗�
O ponto 𝑃 com vetor posição 𝑃 =
−→
𝑂𝑃 está sobre a reta ℒ, ∀ 𝑡 ∈ 𝑅.
Definição 3.5. A equação normal de um Plano 𝒫 com vetor normal �⃗� ̸= 0 que contém
o ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) é:
�⃗�.(𝑃 − 𝑃0) = 0.
O ponto 𝑃 com vetor posição 𝑃 =
−→
𝑂𝑃 está sobre o plano 𝒫, ∀ 𝑡 ∈ 𝑅.
3.9 Exercícios
1. Sejam 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (0, 1), 𝐶 = (−1,−1) e 𝐷 = (2, 3) pontos de R2. Calcule e
grafique os vetores posição (na posição padrão) de modo que sejam o resultado de:
𝑎)
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐵𝐶 𝑏)
−−→
𝐶𝐷 + 2
−→
𝐴𝐵 𝑐)
−→
𝐴𝐵 −
−−→
𝐶𝐷 𝑑)
−−→
𝐶𝐷 −
−→
𝐴𝐵 𝑒) −1
2
−−→
𝐷𝐶
2. Sejam 𝐴 = (1, 0, 2), 𝐵 = (0, 1, 1), 𝐶 = (1, 1, 2) e 𝐷 = (2, 1, 0) pontos de R3. Calcule e
grafique os vetores posição de modo que sejam o resultado de:
𝑎)
−→
𝐴𝐵 𝑏)
−−→
𝐶𝐷 +
−→
𝐴𝐵 𝑐)
−→
𝐴𝐵 ×
−−→
𝐶𝐷 𝑑) (
−−→
𝐶𝐷 −
−→
𝐴𝐵)×
−−→
𝐶𝐷
3. Encontre um vetor não-nulo �⃗� com ponto inicial 𝑃 = (−1, 3,−1) tal que
𝑎) �⃗� tenha a mesma direção e sentido que �⃗� = (2, 1,−1).
𝑏) �⃗� tenha a mesma direção mas sentido oposto que �⃗� = (1,−1, 1).
37
4. Um excursionista anda 4 na direção norte e depois 5 na direção nordeste. Desenhe
os vetores deslocamento que representam o passeio do excursionista e o vetor que
representa o deslocamento a partir do ponto inicial.
5. Sejam �⃗� = (1,
√
3), �⃗� = (0, 1) e �⃗� = (1, 1) vetores de R2.
(𝑖) Calcular 𝑎) |2�⃗�| 𝑏) 1/|�⃗�| 𝑐) |�⃗� + �⃗�| 𝑑) (�⃗�− �⃗�) · �⃗� 𝑒) �⃗� · �⃗��⃗�.
(𝑖𝑖) Calcular 𝑎) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑏) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑐) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑑) ](�⃗�, �⃗�) 𝑒) ](�⃗�, �⃗�).
(𝑖𝑖𝑖) Calcule a área do paralelogramo determinado por: 𝑎) �⃗� e �⃗� 𝑏) �⃗� e �⃗�.
6. Ache as componentes dos vetores 𝑢, 𝑣, 𝑢+ 𝑣 e 𝑢− 𝑣 onde 𝑢 e 𝑣 aparecem na figura
7. Encontre todos os possíveis valores de 𝑘 para os quais os vetores são ortogonais
𝑖) �⃗� = (2, 3), �⃗� = (𝑘 + 1, 𝑘 − 1) 𝑖𝑖) �⃗� = (1,−1, 2), �⃗� = (𝑘2, 𝑘,−3).
8. Sejam �⃗� = (2, 1,−1), �⃗� = (0, 1, 2) e �⃗� = (−1, 1, 3) vetores de R3.
(𝑖) Calcular 𝑎) �⃗�× �⃗� 𝑏) �⃗�/|�⃗�| 𝑐) |�⃗�.(�⃗� × �⃗�)| 𝑑) −2�⃗� × �⃗� 𝑒) |�⃗�× �⃗� × �⃗�|.
(𝑖𝑖) Calcular 𝑎) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑏) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑐) 𝑃𝑟�⃗��⃗� 𝑑) ](�⃗�, �⃗�) 𝑒) ](�⃗�, �⃗�).
9. Calcule o valor de 𝑚 para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores
�⃗� = (𝑚,−3, 1) e �⃗� = (1,−2, 2) seja igual a
√
26.
10. Calcule a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e a altura relativa ao lado 𝐵𝐶, sendo dados 𝐴 =
(−4, 1, 1), 𝐵 = (1, 0, 1), 𝐶 = (0,−1, 3).
11. Sejam os pontos 𝐴 = (1, 1,−1), 𝐵 = (−3, 2,−2), 𝐶 = (2, 2,−4). Prove que o
triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo.
38
12. Encontre o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos 𝐴 = (3, 0, 0), 𝐵 =
(0, 3, 0), 𝐶 = (0, 0, 2). Calcule a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶.
13. Prove que ‖𝑢 − 𝑣‖ ≥ ‖𝑢‖ − ‖𝑣‖ para todo vetor 𝑢 e 𝑣 em 𝑅𝑛 (Dica: Substitua 𝑢 por
𝑢− 𝑣 na desigualdade triangular).
14. Suponha conhecido que 𝑢.𝑣 = 𝑢.𝑤. Pode-se concluir que 𝑢 = 𝑤?. Em caso afirmativo
dê uma prova válida em 𝑅𝑛, caso contrário dê um contra-exemplo específico de vetores
𝑢, 𝑣, 𝑤 para os quais a igualdade é falsa.
15. Prove que:
(a) (𝑢 + 𝑣) · (𝑢− 𝑣) = ‖𝑢‖2 − ‖𝑣‖2
(b) ‖𝑢 + 𝑣‖2 + ‖𝑢− 𝑣‖2 = 2‖𝑢‖2 + 2‖𝑣‖2
(c) 𝑢 · 𝑣 = 1
4
‖𝑢 + 𝑣‖2 − 1
4
‖𝑢− 𝑣‖2
(d) ‖𝑢 + 𝑣‖ = ‖𝑢− 𝑣‖ se, e somente se 𝑢 ⊥ 𝑣
(e) 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢(𝑣 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢(𝑣)) = 0⃗.
16. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores �⃗� = (3,−1, 4), �⃗� = (2, 0, 1) e �⃗� =
(−2, 1, 5). Calcule seu volume, e a altura relativa à base definida pelos vetores �⃗� e �⃗�.
17. Encontre as equações vetoriais para as retas que passam por:
(a) 𝑃0 = (4,−3, 5) e é paralela a �⃗� = (0,−1, 3).
(b) 𝑃 = (5,−7, 2) e 𝑄 = (0, 0, 4)
(c) 𝑃 = (2,−5, 7) e é perpendicular ao plano 3𝑥− 2𝑦 + 5𝑧 = 7.
18. Encontre uma equação para o plano que passa por:
(a) 𝑃0 = (3,−7, 5) e é paralelo ao plano de equação 3𝑥− 𝑦 + 2𝑧 = 5.
(b) 𝑃 = (3, 1, 2), 𝑄 = (5,−1, 3) e (−4, 2, 0).
(c) 𝑃 = (2,−3, 0) e é perpendicular à reta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,−5, 3) + 𝑡(6,−6, 5).
19. Determine a distância do ponto 𝑄 = (1, 0, 2) à reta 𝑟 que passa por 𝑃0 = (3, 1, 1) e é
paralela a �⃗� = (−1, 1, 0)
39
Capítulo 4
Espaço Vetorial
Nos capítulos anteriores vimos que a álgebra de matrizes e vetores são similares em
muitos aspectos. Em particular podemos fazer a adição de matrizes e vetores, e podemos
multiplicar ambos por um escalar. As propriedades resultantes de essas duas operações são
idênticas para as matrizes e vetores. O que se pretende agora é usar essas propriedades para
definir “vetores"de forma geral.
Um espaço vetorial é um conjunto V de elementos chamados vetores, onde estão
definidas duas operações:
1. Axioma da Adição: Para todo 𝑢, 𝑣 ∈ V, a soma 𝑢⊕ 𝑣 ∈ V.
2. Axioma do Produto por um escalar 𝛼: Seja 𝛼 ∈ R (ou 𝛼 ∈ C) e 𝑣 ∈ V, então
𝛼⊙ 𝑣 ∈ V.
Além disso, para todo 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ V e 𝛼, 𝛽 ∈ R (ou C), os seguintes axiomas são satisfeitos:
Em relação à adição:
𝐴𝑥.3. (𝑢⊕ 𝑣)⊕ 𝑤 = 𝑢⊕ (𝑣 ⊕ 𝑤)
𝐴𝑥.4. 𝑢⊕ 𝑣 = 𝑣 ⊕ 𝑢
𝐴𝑥.5. ∃ 0 ∈ V, 𝑢⊕ 0 = 𝑢
𝐴𝑥.6. ∃ (−u) ∈ V, 𝑢⊕ (−u) = 0
Em relação ao produto por um escalar:
𝐴𝑥.7. (𝛼𝛽)⊙ 𝑢 = 𝛼⊙ (𝛽 ⊙ 𝑢)
𝐴𝑥.8. (𝛼 + 𝛽)⊙ 𝑢 = (𝛼⊙ 𝑢)⊕ (𝛽 ⊙ 𝑢)
𝐴𝑥.9. 𝛼⊙ (𝑢⊕ 𝑣) = (𝛼⊙ 𝑢)⊕ (𝛼⊙ 𝑣)
𝐴𝑥.10. 1⊙ 𝑢 = 𝑢
Observação 4.1. Quando os escalares considerados são números reais, diremos que V é um
espaço vetorial real. No caso dos escalares serem complexos, V será chamado espaço
vetorial complexo.
40
Em diante, nos trabalharemos só com espaços vetoriais reais.
Exemplo 4.1. V = R𝑛 = {(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)/𝑥𝑖 ∈ R} é um espaço vetorial real com as opera-
ções
(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)⊕ (𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, . . . , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) (4.1)
𝛼⊙ (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, . . . , 𝛼𝑥𝑛) (4.2)
Solução A prova é simplesmente a generalização das propriedades vistas para vetores no
plano e no espaço. Assim, pelas próprias definições de adição de vetores (4.1) e multiplicação
de um vetor por um escalar real (4.2), é simples verificar todos os axiomas de espaço vetorial.
Exemplo 4.2. O conjunto V =ℳ𝑚×𝑛(R) de todas as matrizes reais de ordem 𝑚× 𝑛 é um
espaço vetorial real com as operações de adição de matrizes e multiplicação por um escalar.
Assim, para 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛, 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]𝑚×𝑛 e 𝛼 ∈ R, definimos:
𝐴⊕𝐵 = [𝑐𝑖𝑗]𝑚×𝑛 onde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 (4.3)
𝛼⊙ 𝐴 = [𝑑𝑖𝑗]𝑚×𝑛 onde 𝑑𝑖𝑗 = 𝛼 𝑎𝑖𝑗 (4.4)
Exemplo 4.3. O conjunto V = 𝑃𝑛(R), de todos os polinômios de grau menorou igual de que
𝑛 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + · · · + 𝑎𝑛𝑡𝑛 com coeficientes 𝑎𝑖 ∈ R é um espaço vetorial real com as operações
usuais de adição de polinômios e multiplicação por um escalar.
De fato, para 𝑝(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1𝑡+ · · ·+ 𝑎𝑛𝑡𝑛 ∈ 𝑃𝑛(R) e 𝑞(𝑡) = 𝑏0 + 𝑏1𝑡+ · · ·+ 𝑏𝑛𝑡𝑛 ∈ 𝑃𝑛(R),
basta definir
(𝑝⊕ 𝑞)(𝑡) = 𝑝(𝑡) + 𝑞(𝑡) = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑡 + · · ·+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑡𝑛
(𝛼⊙ 𝑝)(𝑡) = 𝛼 𝑝(𝑡) = 𝛼 𝑎0 + (𝛼 𝑎1)𝑡 + · · ·+ (𝛼 𝑎𝑛)𝑡𝑛.
Exemplo 4.4. O conjunto V de todas as funções reais definidas sobre o intervalo [𝑎, 𝑏], é um
espaço vetorial. Para isso, basta definirmos para 𝑓 = 𝑓(𝑥) e 𝑔 = 𝑔(𝑥) ∈ V, as operações
usuais:
(𝑓 ⊕ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝛼⊙ 𝑓)(𝑥) = 𝛼 𝑓(𝑥)
Exemplo 4.5. Nenhum dos conjuntos N, Z, Q é espaço vetorial real, pois em todos eles
o produto de um de seus elementos por um escalar, é um número real, o que contraria o
Axioma 2 de espaço vetorial.
41
4.1 Subespaços Vetoriais
Seja 𝑊 , (𝑊 ̸= ∅) um subconjunto do espaço vetorial V. Dizemos que 𝑊 é um subespaço
vetorial em relação às operações de V, se:
𝑖) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑢⊕ 𝑣 ∈ 𝑊
𝑖𝑖) 𝛼 ∈ R e 𝑢 ∈ 𝑊 ⇒ 𝛼⊙ 𝑢 ∈ 𝑊.
Exemplo 4.6. Seja V =ℳ2×2(R) e
𝑊 = {𝐴 ∈𝑀2×2(R)/todos os elementos da diagonal de 𝐴 são zeros}.
Prove que 𝑊 é um subespaço vetorial de V, com as operações usuais de matrizes.
Solução: Sejam 𝐴 =
⎡⎣ 0 𝑎12
𝑎21 0
⎤⎦ e 𝐵 =
⎡⎣ 0 𝑏12
𝑏21 0
⎤⎦ matrizes quaisquer de 𝑊 , então
𝐴 + 𝐵 =
⎡⎣ 0 𝑎12 + 𝑏12
𝑎21 + 𝑏21 0
⎤⎦ ∈ 𝑊.
Se 𝛼 ∈ R 𝑒 𝐴 ∈ 𝑊 , então
𝛼𝐴 =
⎡⎣ 𝛼.0 𝛼.𝑎12
𝛼.𝑎21 𝛼.0
⎤⎦ =
⎡⎣ 0 𝛼.𝑎12
𝛼.𝑎21 0
⎤⎦ ∈ 𝑊
Exemplo 4.7. Considere o subconjunto 𝑊 = {(𝑥, 1) ∈ R2/𝑥 ∈ R} com as operações usuais
de R2. Prove que 𝑊 não é um subespaço vetorial.
Solução:Basta notar que a soma de dois elementos de 𝑊 não pertence a 𝑊 . Os elementos
(3, 1) ∈ 𝑊 e (5, 1) ∈ 𝑊 , mas a soma
(3, 1) + (5, 1) = (8, 2) /∈ 𝑊
4.1.1 Propriedades dos Subespaços
Soma.
Sejam 𝑊1 e 𝑊2 subespaços de um espaço vetorial V. Então, o conjunto
𝑊1 + 𝑊2 = {𝑣 ∈ V / 𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2, 𝑤1 ∈ 𝑊1 e 𝑤2 ∈ 𝑊2} (4.5)
é um subespaço de V.
42
Exemplo 4.8. Sejam 𝑊1 e 𝑊2 duas retas de R3 que passam pela origem, então 𝑊1 + 𝑊2
é o plano em R3 que contém as duas retas.
Interseção.
Sejam 𝑊1 e 𝑊2 subspaços de um espaço vetorial V. A interseção 𝑊1 ∩𝑊2 é um subespaço
de V.
Exemplo 4.9. Sejam 𝑊1 e 𝑊2 dois planos de R3 que passam pela origem, de modo que
𝑊1 ∩𝑊2 é uma reta em R3 que contém o (0, 0, 0). A interseção 𝑊1 ∩𝑊2 é um subespaço
de R3.
Quando 𝑊1 ∩𝑊2 = {0}, então 𝑊1 + 𝑊2 é chamada soma direta de 𝑊1 com 𝑊2, e será
denotada por 𝑊1 ⊕𝑊2.
43
4.2 Combinação Linear
Dizemos que um vetor 𝑤 é uma combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 do espaço
vetorial real V, (V,+, .), se existem 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 ∈ R tal que
𝑤 = 𝛼1 · 𝑣1 + 𝛼2 · 𝑣2 + . . . + 𝛼𝑛 · 𝑣𝑛.
Exemplo 4.10. Considere os vetores �⃗� = (1, 2,−1), �⃗� = (6, 4, 2) ∈ R3. Mostre que �⃗� =
(9, 2, 7) é uma combinação linear de �⃗� e �⃗�
Solução: Suponhamos que existem 𝛼, 𝛽 ∈ R de modo que
(9, 2, 7) = 𝛼(1, 2,−1) + 𝛽(6, 4, 2).
Então,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝛼 + 6𝛽 = 9
2𝛼 + 4𝛽 = 2
−𝛼 + 2𝛽 = 7
implica que 𝛼 = −3, 𝛽 = 2
Portanto, (9, 2, 7) = −3(1, 2,−1) + 2(6, 4, 2), consequentemente �⃗� é uma combinação
linear de �⃗� e �⃗�.
Exemplo 4.11. Considere os polinômios 𝑝(𝑥) = 1, 𝑞(𝑥) = 1 + 𝑥 e 𝑟(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2.
Mostre que qualquer polinômio de ordem 2 pode-se escrever como uma combinação linear de
𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥).
Solução: Suponhamos que existem 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ R de modo que
𝑎0 + 𝑏0𝑥 + 𝑐0𝑥
2 = 𝛼(1) + 𝛽(1 + 𝑥) + 𝛾(1 + 𝑥 + 𝑥2).
Então,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝑎0
𝛽 + 𝛾 = 𝑏0
𝛾 = 𝑐0
, logo 𝛾 = 𝑐0, 𝛽 = 𝑏0 − 𝑐0, 𝛼 = 𝑎0 − 𝑏0 − 𝑐0.
Portanto, 𝑎0 + 𝑏0𝑥 + 𝑐0𝑥2 = (𝑎0 − 𝑏0 − 𝑐0) 𝑝(𝑥) + (𝑏0 − 𝑐0) 𝑞(𝑥) + 𝑐0 𝑟(𝑥).
4.3 Espaço Gerado
O subconjunto 𝑆 de todos os vetores do espaço vetorial real V (V,+, .), que são com-
binações lineares dos vetores 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛, é chamado de subespaço vetorial gerado por
44
𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 e será denotado por
𝑆 = ger{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} = [𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛]
Para verificar que 𝑆 é subespaço vetorial de V, basta notar que para qualquer 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆
e 𝛼 ∈ R verifica-se que
𝑢 + 𝑣 = (𝛼1 · 𝑣1 + 𝛼2 · 𝑣2 + · · ·+ 𝛼𝑛 · 𝑣𝑛) + (𝛽1 · 𝑣1 + 𝛽2 · 𝑣2 + · · ·+ 𝛽𝑛 · 𝑣𝑛)
= (𝛼1 + 𝛽1) · 𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2) · 𝑣2 + · · ·+ (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛) · 𝑣𝑛 ∈ 𝑆
𝛼 · 𝑢 = 𝛼 · (𝛼1 · 𝑣1 + 𝛼2 · 𝑣2 + · · ·+ 𝛼𝑛 · 𝑣𝑛)
= (𝛼𝛼1) · 𝑣1 + (𝛼𝛼2) · 𝑣2 + · · ·+ (𝛼𝛼𝑛) · 𝑣𝑛 ∈ 𝑆.
Exemplo 4.12. Calcule o conjunto de geradores do subespaço vetorial 𝑆 deℳ2×2(R), quando
𝑆 =
{︃⎡⎣ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
⎤⎦ ∈ℳ2×2(R) ⧸︂ 𝑎 = −𝑑 e 𝑐 = 2𝑏}︃. (4.6)
Solução Usando a definição de 𝑆 temos
𝑆 =
{︃⎡⎣ −𝑑 𝑏
2𝑏 𝑑
⎤⎦ ⧸︂ 𝑏 e 𝑑 ∈ R}︃. (4.7)
Logo,
𝑆 =
{︃
𝑑
⎡⎣ −1 0
0 1
⎤⎦+ 𝑏
⎡⎣ 0 1
2 0
⎤⎦ ⧸︂ 𝑏 e 𝑑 ∈ R}︃ = ger{︃
⎡⎣ −1 0
0 1
⎤⎦ ,
⎡⎣ 0 1
2 0
⎤⎦}︃.
Exemplo 4.13. Mostre que o conjunto de polinômios {𝑡2 + 𝑡, 𝑡, 1} gera o espaço vetorial,
𝑃2(R), dos polinômios de grau ≤ 2.
Solução Consideremos 𝑝(𝑡) = 𝑎2𝑡2 + 𝑎1𝑡 + 𝑎0 ∈ 𝑃2(R). Suponhamos 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ R tais que:
𝑝(𝑡) = 𝛼(𝑡2 + 𝑡) + 𝛽𝑡 + 𝛾1 ⇒ 𝑎2𝑡2 + 𝑎1𝑡 + 𝑎0 = 𝛼𝑡2 + (𝛼 + 𝛽)𝑡 + 𝛾.
Comparando o primeiro e último polinômio obtemos 𝛼 = 𝑎2, 𝛼 + 𝛽 = 𝑎1 e 𝛾 = 𝑎0, logo
𝛼 = 𝑎2, 𝛽 = 𝑎1 − 𝑎2, 𝛾 = 𝑎0.
45
4.4 Independência e Dependência Linear
Seja V um espaço vetorial real, (V,+, ·), e 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 ∈ V. Dizemos que o conjunto
{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} é linearmente independente (L.I.), se:
𝛼1 · 𝑣1 + 𝛼2 · 𝑣2 + . . . + 𝛼𝑛 · 𝑣𝑛 = 0 =⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼𝑛 = 0. (4.8)
No caso em que exista algum 𝛼𝑖 ̸= 0, diremos que o conjunto {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} é linearmente
dependentes (L.D.).
Teorema 4.1. {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} é linearmente dependente, se e somente se, um destes vetores
for combinação linear dos outros.
Prova:
{𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} é L.D ⇐⇒ ∃ 𝛼𝑖 ̸= 0 / 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + . . . + 𝛼𝑖𝑣𝑖 + . . . + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0
⇐⇒ 𝛼𝑖𝑣𝑖 = −𝛼1𝑣1 − . . .− 𝛼𝑖−1𝑣𝑖−1 − 𝛼𝑖+1𝑣𝑖+1 − . . .− 𝛼𝑛𝑣𝑛
⇐⇒ 𝑣𝑖 = −
𝛼1
𝛼𝑖
𝑣1 − . . .−
𝛼𝑖−1
𝛼𝑖
𝑣𝑖−1 −
𝛼𝑖+1
𝛼𝑖
𝑣𝑖+1 − . . .−
𝛼𝑛
𝛼𝑖
𝑣𝑛
⇐⇒ 𝑣𝑖 ∈ ger{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖+1 . . . , 𝑣𝑛} (4.9)
Exemplo 4.14. Os vetores canônicos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) são L.I.?
Solução Suponhamos que
𝛼1(1, 0, 0) + 𝛼2(0, 1, 0) + 𝛼3(0, 0, 1) = (0, 0, 0).
Somando temos que (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) = (0, 0, 0). Logo, 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0, consequentemente os
vetores canônicos são linearmente independentes.
Exemplo 4.15. As matrizes 𝐴 =
⎛⎝1 −2 4
3 0 −1
⎞⎠ e 𝐵 =
⎛⎝2 −4 8
6 0 −2
⎞⎠ são L.D.
Solução De fato,
𝛼1𝐴 + 𝛼2𝐵 =
⎛⎝0 0 0
0 0 0
⎞⎠ ⇔ 𝛼1 = −2𝛼2.
Corolário 4.1. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é L.D.
Exemplo 4.16. Os vetores �⃗� = (1,−2, 3), �⃗� = (2,−4, 6) e �⃗� = (1, 1, 1) são L.D. pois
2�⃗�− �⃗� + 0�⃗� = 0⃗.
46
Corolário 4.2. Todo subconjunto de um conjunto de vetores L.I. é L.I.
Exemplo 4.17. É sabido que o conjunto 𝑆 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L.I, logo qualquer
subconjunto de 𝑆 também é L.I.
Observação 4.2. Se �⃗�1 = (𝑥11, . . . , 𝑥1𝑛), �⃗�2 = (𝑥21, . . . , 𝑥2𝑛), . . . , �⃗�𝑛 = (𝑥𝑛1, . . . , 𝑥𝑛𝑛) são
n-vetores L.I. em R𝑛,
𝛼1�⃗�1 + 𝛼2�⃗�2 + · · ·+ 𝛼𝑛�⃗�𝑛 = 0⃗ =⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = · · · = 𝛼𝑛 = 0.
Da afirmação anterior deduzimos que⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥11 𝑥21 . . . 𝑥𝑛1
... . . . . . .
...
𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 . . . 𝑥𝑛𝑛
⎞⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎝
𝛼1
...
𝛼𝑛
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝
0
...
0
⎞⎟⎟⎟⎠ =⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = · · · = 𝛼𝑛 = 0.
sempre que
𝑑𝑒𝑡
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑥11 𝑥21 . . . 𝑥𝑛1
... . . . . . .
...
𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 . . . 𝑥𝑛𝑛
⎞⎟⎟⎟⎠ ̸= 0
Exemplo 4.18. Os vetores �⃗�1 = (1,−2, 7,
√
2), �⃗�2 = (0, 4,−6, 1), �⃗�3 = (0, 0, 1, 𝜋), �⃗�4 =
(0, 0, 0, sen 1) são L.I. em R4
Solução Segundo a observação anterior eles são L.I. pois o determinante da matriz (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4)
é diferente de zero. De fato,
𝑑𝑒𝑡
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
−2 4 0 0
7 −6 10
√
2 1 𝜋 sen 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 4 sen 1
Exemplo 4.19. Seja 𝑟 > 𝑛. Qualquer conjunto com 𝑟 vetores no espaço vetorial R𝑛 é line-
armente dependente pois todo sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas
do que equações admite uma solução não trivial (diferente de zero).
Observação 4.3. Geometricamente, a dependência de dois vetores no plano R2 acontece se
e somente se eles se encontram sobre a mesma reta passando pela origem. No espaço 𝑅3,
três vetores são L. D. se eles estão contidos no mesmo plano passando pela origem.
47
Às vezes é possível deduzir a dependência linear de funções apartir de identidades conhe-
cidas, por exemplo ao provar que: {sen2𝑥, cos2 𝑥, 5} é um conjunto L.D no espaço vetorial
das funções reais de variável real, ℱ(R,R), basta notar que
𝛼 sen2𝑥 + 𝛽 cos2 𝑥 + 𝛾 5 = 0 ⇐⇒ 𝛼 = 𝛽 = 5, 𝛾 = −1.
De modo geral, não existe um método para provar a dependência ou independência linear de
conjuntos em ℱ(R,R), pois existem casos onde estas idêntidades não podem ser aplicadas.
Um teorema útil para determinar se um conjunto particular de funções é L.I é enunciado a
seguir.
Teorema 4.2. Sejam as funcões reais 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛 ∈ 𝐶𝑛−1([𝑎, 𝑏]) (contínuas e com deri-
vadas contínuas até a ordem 𝑛 − 1 em todo [𝑎, 𝑏]). Se existe um ponto 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que o
wronskiano 𝑊 [𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛](𝑥0),
𝑊 [𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛](𝑥0) = 𝑑𝑒𝑡
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑓1(𝑥0) 𝑓2(𝑥0) . . . 𝑓𝑛(𝑥0)
𝑓 ′1(𝑥0) 𝑓
′
2(𝑥0) . . . 𝑓
′
𝑛(𝑥0)
...
... · · · ...
𝑓𝑛−11 (𝑥0) 𝑓
𝑛−1
2 (𝑥0) . . . 𝑓
𝑛−1
𝑛 (𝑥0)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ̸= 0, (4.10)
então 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛 são L.I. em 𝐶𝑛−1([𝑎, 𝑏]). Mais ainda, são L.I em 𝐶([𝑎, 𝑏]).
Exemplo 4.20. As funções 𝑒𝑥, 𝑒−𝑥 são L.I. em 𝐶(R)?.
Solução Segundo o teorema anterior eles são L.I. em 𝐶2(R), pois o Wronskiano
𝑊 [𝑒𝑥, 𝑒−𝑥](𝑥0) = 𝑑𝑒𝑡
⎛⎝𝑒𝑥0 𝑒−𝑥0
𝑒𝑥0 −𝑒−𝑥0
⎞⎠ = −2 ̸= 0, ∀𝑥0 ∈ R. (4.11)
Por outro lado, ja que 𝐶2(R) ⊆ 𝐶(R) o resultado segue-se.
Exemplo 4.21. As funções 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 são L.I. em 𝐶(R)?.
Solução Segundo o teorema anterior eles são L.I. em 𝐶3(R), pois o Wronskiano
𝑊 [1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3](𝑥0) = 𝑑𝑒𝑡
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 𝑥0 𝑥
2
0 𝑥
3
0
0 1 2𝑥0 3𝑥
2
0
0 0 2 6𝑥0
0 0 0 6
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 12 ̸= 0, ∀𝑥0 ∈ R. (4.12)
Por outro lado, ja que 𝐶3(R) ⊆ 𝐶(R) o resultado segue-se.
48
Exemplo 4.22. As funções 𝑥2 e 𝑥|𝑥| são L.I. em 𝐶([−1, 1])?.
Solução Ja que 𝑥2, 𝑥|𝑥| ∈ 𝐶1([−1, 1]), calculando o Wronskiano temos
𝑊 [𝑥2, 𝑥|𝑥|](𝑥0) = 𝑑𝑒𝑡
⎛⎝ 𝑥20 𝑥0|𝑥0|
2𝑥0 2|𝑥0|
⎞⎠ ≡ 0, (4.13)
o que não nos dá a informação sobre se as funções são L.I ou não. Logo, para responder a
pergunta, suponha que:
𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥|𝑥| = 0, 𝑥 ∈ [−1, 1].
Em particular, para 𝑥 = 1 e para 𝑥 = −1, temos o sistema
𝛼 + 𝛽 = 0
𝛼− 𝛽 = 0,
para o qual a única solução é 𝛼 = 𝛽 = 0. Portanto, as funções 𝑥2, 𝑥|𝑥| são L.I em 𝐶([−1, 1]).
4.5 Base e Dimensão
Os vetores 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 formam uma base do espaço vetorial V se, e somente se,
1. {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} é um conjunto linearmente independente.
2. V = ger{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛}.
(i.e: ∀ 𝑣 ∈ V, ∃ 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 ∈ R / 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + . . . + 𝛼𝑛𝑣𝑛).
Exemplo 4.23. O conjunto 𝐵 = {(1, 1), (0, 1)} é uma base de R2.
Solução: De fato, 𝐵 é L.I pois
𝛼(1, 1) + 𝛽(0, 1) = (0, 0)⇒ (𝛼, 𝛼 + 𝛽) = (0, 0)⇒ 𝛼 = 0 e 𝛽 = 0.
Por outro lado, para (𝑥, 𝑦) ∈ R2 suponhamos que ∃ 𝛼1, 𝛼2 ∈ R tal que
(𝑥, 𝑦) = 𝛼1(1, 1) + 𝛼2(0, 1) = (𝛼1, 𝛼1 + 𝛼2)⇒ 𝛼1 = 𝑥 ∈ R e 𝛼2 = 𝑦 − 𝑥 ∈ R
Logo,
(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 1) + (𝑦 − 𝑥)(0, 1), isto é, (𝑥, 𝑦) ∈ ger{(1, 1), (0, 1)}.
Portanto, R2 ⊆ ger{(1, 1), (0, 1)} e desde que R2 é um espaço vetorial a igualdade entre estes
dois conjuntos segue-se.
49
Exemplo 4.24. O conjunto 𝐵 =
{︃⎛⎝1 0
0 0
⎞⎠ ,
⎛⎝0 1
0 0
⎞⎠ ,
⎛⎝0 0
1 0
⎞⎠ ,
⎛⎝0 0
0 1
⎞⎠}︃ é uma base de
ℳ2×2(R)
Exemplo 4.25. Os conjuntos {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e {(1, 2, 1), (1, 0,−1), (1,−2, 1)}
constituem bases distintas para R3. Podemos encontrar mais de uma base para um espaço
vetorial dado, entretanto, o número de vetores de cada base não varia.
Definição 4.1. Se uma base de um espaço vetorial real V tem n-vetores, dizemos que V tem
dimensão finita 𝑛. Denotaremos
𝑑𝑖𝑚 V = 𝑛.
Conveniremos que o espaço vetorial V = {0} tem dimensão zero.
Exemplo 4.26. Pelo visto nos exemplos anteriores, temos que:
1. 𝑑𝑖𝑚 R 2 = 2.
2. 𝑑𝑖𝑚 R𝑛 = 𝑛.
3. 𝑑𝑖𝑚 𝑃𝑛(R) = 𝑛 + 1.
4. 𝑑𝑖𝑚ℳ𝑚×𝑛(R) = 𝑚𝑛.
Teorema 4.3. Se 𝑈 e 𝑊 são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita,
então:
𝑑𝑖𝑚 (𝑈 + 𝑊 ) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − 𝑑𝑖𝑚 (𝑈 ∩𝑊 ), (4.14)
sendo que 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚V e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚V.
Exemplo 4.27. Considere 𝑈 um plano que passa pela origem em V = R3, e W uma reta
contida em 𝑈 que passa pela origem, então:
𝑑𝑖𝑚 (𝑈 + 𝑊 ) = 2 + 1− 1 = 2.
Teorema 4.4. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑛. Qualquer conjunto de
vetores L.I. em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de
V.
Exemplo 4.28. Sejam os vetores 𝑣1 = (1,−1, 1, 2) e 𝑣2 = (−1, 1,−1, 0) completar o
conjunto {𝑣1, 𝑣2} de modo a formar uma base de R4.
50
Solução: Como 𝑑𝑖𝑚 R4 = 4 uma base terá 4 vetores L.I. Portanto, faltam dois. Escolhemos
um vetor 𝑣3 que não é combinação linear de 𝑣1 = (1,−1, 1, 2) e 𝑣2 = (−1, 1,−1, 0), isto é,
𝑣3 ̸= 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 para todo 𝑎1, 𝑎2 ∈ R. Dentre os infinitos vetores existentes, um deles é o
vetor 𝑣3 = (1, 1, 0, 0), e o conjunto {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} é L.I.
Para completar, escolhemos um vetor 𝑣4 que não seja uma combinação linear de 𝑣1, 𝑣2
e 𝑣3. Um deles é o vetor 𝑣4 = (1, 0, 0, 0), e o conjunto {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} é L.I. Logo,
𝑣1 = (1,−1, 1, 2) 𝑣2 = (−1, 1,−1, 0), 𝑣3 = (1, 1, 0, 0), 𝑣4 = (1, 0, 0, 0).
Observação 4.4. Muitas vezes será necessário saber calcular a dimensão de um subespaço
vetorial de forma rápida, pois uma vez que esta é conhecida, obtém-se facilmente uma base
desse subespaço. Uma forma prática para determinar a dimensão de um subespaço vetorial
é verificar o número de variáveis livres de seu vetor genérico. Este número é a dimensão do
subespaço.
Exemplo 4.29. Determinar a dimensão e a base do subespaço vetorial
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3/2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}
Solução: Isolando 𝑧 temos que: 𝑧 = −2𝑥− 𝑦, onde 𝑥, 𝑦 são variáveis livres. Isto é,
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3/2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}
= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3/𝑧 = −2𝑥− 𝑦}
= {(𝑥, 𝑦,−2𝑥− 𝑦)/𝑥 ∈ R, 𝑦 ∈ R}
= {(𝑥, 0,−2𝑥) + (0, 𝑦,−𝑦)/𝑥 ∈ R, 𝑦 ∈ R}
= {𝑥 (1, 0,−2) + 𝑦 (0, 1,−1)/𝑥 ∈ R, 𝑦 ∈ R},
isto é, todo vetor de 𝑆 é combinação linear dos vetores {(1, 0,−2), (0, 1,−1)}. Como esses
dois vetores geradores de 𝑆 são L.I, o conjunto é uma base de 𝑆 e, consequentemente,
𝑑𝑖𝑚 𝑆 = 2.
Exemplo 4.30. Obtenha uma base do subespaço vetorial
𝑈 = ger{(1, 1, 0,−2), (2, 0,−1,−1), (0, 1,−2, 1), (1, 1, 1,−3)} ⊆ R4.
Determine a dimensão de 𝑈 .
Solução: Bastará saber quais vetores em 𝑈 são L.I.
51
Suponhamos que,
𝛼(1, 1, 0,−2) + 𝛽(2, 0,−1,−1) + 𝛾(0, 1,−2, 1) + 𝛿(1, 1, 1,−3) = (0, 0, 0, 0)
ou ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
1 0 1 1
0 −1 −2 1
−2 −1 1 −3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝛼
𝛽
𝛾
𝛿
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0
0
0
0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Para achar a solução deste sistema homogêneo 𝐴𝑥 = 0 será suficiente reduzir a matriz 𝐴 a
uma de tipo escalonado (método de operações por linha).
𝐴 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
1 0 1 1
0 −1 −2 1
−2 −1 1 −3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2 − 𝐿1
𝐿3 ←→ −𝐿3
𝐿4 ←→ 𝐿4 + 2𝐿1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
0 −2 1 0
0 1 2 −1
0 3 1 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿3
𝐿4 ←→ 𝐿4
≈
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
0 1 2 −1
0 −2 1 0
0 3 1 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2
𝐿3 ←→ 𝐿3 + 2𝐿2
𝐿4 ←→ 𝐿4 − 3𝐿2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
0 1 2 −1
0 0 5 −2
0 0 −5 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝐿1 ←→ 𝐿1
𝐿2 ←→ 𝐿2
𝐿3 ←→ 𝐿3
𝐿4 ←→ 𝐿4 + 𝐿3
≈
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1
0 1 2 −1
0 0 5 −2
0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = 𝐴
′.
Logo, o sistema equivalente, 𝐴′𝑥 = 0 tem infinitas soluções, pois 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 0. Mais ainda,
𝛼 + 2𝛽 + 𝛿 = 0
𝛽 + 2𝛾 − 𝛿 =0
5𝛾 − 2𝛿 = 0,
o que implica que, para cada 𝛾 ∈ R,
𝛿 =
5𝛾
2
, 𝛽 =
𝛾
2
, 𝛼 =
−7𝛾
2
.
Em outras palavras, 𝛼 = 𝛽 = 𝛿 = 0 se e somente se 𝛾 = 0. Portanto, só os vetores
𝐵 = {(1, 1, 0,−2), (2, 0,−1,−1), (1, 1, 1,−3)} são L.I. Como esses três vetores são geradores
de 𝑈 , o conjunto é uma base de 𝑈 e consequentemente, 𝑑𝑖𝑚 𝑈 = 3.
52
4.5.1 Componentes de um Vetor
Seja 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} uma base de V. Tomemos 𝑣 ∈ V sendo
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + . . . + 𝑎𝑛 𝑣𝑛,
os números 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛 são chamados componentes do vetor 𝑣 em relação à base 𝐵 (vetor
coordenada de 𝑣 em relação à base 𝐵) e se representa por
𝑣𝐵 = (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛)
ou com a notação matricial (matriz-coordenada de 𝑣 em relação à base 𝐵)
𝑣𝐵 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝑎1
𝑎2
...
𝑎𝑛
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Exemplo 4.31. Em R2 consideremos as bases
𝐴 = {(1, 0), (0, 1)}, 𝐵 = {(2, 0), (1, 3)} e 𝐶 = {(1,−3), (2, 4)}
Achar o vetor coordenada de 𝑣 = (8, 6) em relação as base 𝐴, 𝐵 e 𝐶.
Solução: Desde que:
(8, 6) = 8(1, 0) + 6(0, 1)
(8, 6) = 3(2, 0) + 2(1, 3)
(8, 6) = 2(1,−3) + 3(2, 4),
então,
𝑣𝐴 = (8, 6), 𝑣𝐵 = (3, 2), 𝑣𝐶 = (2, 3).
4.6 Espaço Vetorial Euclideano
No capítulo 3, foi definido o produto escalar de dois vetores no R2 ou R3 e foram estabelecidas
por meio desse produto, algumas propriedades geométricas daqueles vetores. Nesta seção,
nosso objetivo será generalizar este conceito de produto e definir os conceitos de comprimento,
distância e ângulo em espaços vetoriais mais genéricos.
53
Definição 4.2. Chama-se produto interno no espaço vetorial V, a uma função de V×V em
R que a todo par de vetores (𝑢, 𝑣) ∈ V × V associa um número real, indicado por 𝑢.𝑣 ou
⟨𝑢, 𝑣⟩, tal que os seguintes axiomas sejam verificados:
1. ⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑣, 𝑢⟩
2. ⟨𝑢, 𝑣 + 𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩+ ⟨𝑢,𝑤⟩
3. ⟨𝛼𝑢, 𝑣⟩ = 𝛼⟨𝑢, 𝑣⟩, para todo 𝛼
4. ⟨𝑢, 𝑢⟩ ≥ 0 e ⟨𝑢, 𝑢⟩ = 0 se, e somente se, 𝑢 = 0.
Exemplo 4.32. Em V = R2, para 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 3𝑥1 𝑥2 + 4𝑦1 𝑦2,
é um produto interno.
Exemplo 4.33. Em V = 𝐶([𝑎, 𝑏]), para 𝑓 e 𝑔
⟨𝑓, 𝑔⟩ =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥,
é um produto interno.
Definição 4.3. Um espaço vetorial real V, de dimensão finita, no qual está definido um
produto interno, é um espaço vetorial euclideano.
Definição 4.4. Seja o produto interno ⟨ , ⟩ no espaço euclideano V. O comprimento ou
norma do vetor 𝑢, em relação a esse produto interno, é definido por
‖𝑢‖ =
√︀
⟨𝑢, 𝑢⟩.
Definimos a norma euclidiana (ou comprimento euclidiano) de um vetor 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛)
em R𝑛 por
‖𝑢‖ =
√
𝑢 · 𝑢 =
√︁
𝑢21 + 𝑢
2
2 + · · ·+ 𝑢2𝑛.
Definição 4.5. Chama-se distância entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 o número real representado
por 𝑑(𝑢, 𝑣) e definido por
𝑑(𝑢, 𝑣) = ‖𝑢− 𝑣‖.
Definição 4.6. O ângulo entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 é determinado por
cos 𝜃 =
⟨𝑢, 𝑣⟩
‖𝑢‖‖𝑣‖
.
Definição 4.7. Dois vetores 𝑢 e 𝑣 de um espaço com produto interno são ortogonais se
< 𝑢, 𝑣 >= 0.
54
4.6.1 Complementos Ortogonais
Definição 4.8. Seja 𝑊 um subespaço de um espaço com produto interno V. Um vetor 𝑢 ∈ V
é dito ortogonal a 𝑊 se é ortogonal a cada vetor de 𝑊 , e o conjunto de todos os vetores
que são ortogonais a 𝑊 é chamado complemento ortogonal de 𝑊 , denotaremos por 𝑊⊥.
Figura 4.1: Cada vetor em 𝑊 é ortogonal a V, V = 𝑊⊥.
Teorema 4.5. Se 𝑊 é um subespaço de um espaço com produto interno V de dimensão
finita, então:
a) 𝑊⊥ é um subespaço de V
b) O único vetor comum a 𝑊 e 𝑊⊥ é 0.
c) O complemento ortogonal de 𝑊⊥ é 𝑊 , ou seja, (𝑊⊥)⊥ = 𝑊
Teorema 4.6. (Da Projeção) Se 𝑊 é um subespaço de dimensão finita de um espaço com
produto interno V, então cada vetor 𝑢 ∈ V pode-se expressar de forma única por:
𝑢 = 𝑤1 + 𝑤2
onde 𝑤1 = Proj𝑊𝑢 ∈ 𝑊 e 𝑤2 = 𝑢− Proj𝑊𝑢 ∈ 𝑊
⊥.
4.6.2 Uma Relação Geométrica Entre Espaço Nulo e Espaço Linha
O seguinte teorema fundamental fornece uma relação geométrica entre o espaço-nulo e o
espaço linha de uma matriz.
55
Teorema 4.7. Se A é uma matriz 𝑚× 𝑛, então
a) O espaço nulo de 𝐴, 𝒩 (𝐴) = {𝑣 ∈ R𝑛×1/𝐴𝑣 = 0}, e o espaço linha de 𝐴 são comple-
mentos ortogonais em R𝑛 com relação ao produto interno euclideano.
b) O espaço nulo de 𝐴𝑇 e o espaço coluna de 𝐴 são complementos ortogonais em R𝑚 com
relação ao produto interno euclideano.
Demonstração: A prova do item (a) encontra-se em Howard and Rorres (2000), pagina
211.
(b) Sejam os vetores coluna 𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛 da matriz 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛. Logo, a matriz 𝐴
pode-se escrever da forma
𝐴 =
[︁
𝑟1 𝑟2 . . . 𝑟𝑛
]︁
, onde 𝑟𝑖 ∈ 𝑅𝑚×1
Por outro lado, ja que 𝒩 (𝐴𝑇 ) = {𝑣 ∈ R𝑚×1/𝐴𝑇 𝑣 = 0}, então:
𝐴𝑇 𝑣 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑟𝑇1
𝑟𝑇2
...
𝑟𝑇𝑛
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 𝑣 = 0 ⇐⇒ < 𝑟
𝑇
𝑖 , 𝑣 >= 0, ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛.
4.6.3 Conjuntos Ortogonais e Ortonormais
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um subconjunto 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} ⊂ V é:
1. Ortogonal, se seus elementos são ortogonais dois a dois, isto é:
⟨𝑣𝑖, 𝑣𝑗⟩ = 0 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗.
2. Ortonormal, se 𝑆 é ortogonal e ‖𝑣𝑖‖ = 1 ∀ 𝑖, isto é:
⟨𝑣𝑖, 𝑣𝑗⟩ =
⎧⎪⎨⎪⎩0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ̸= 𝑗1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗 . (4.15)
A base gerada por um conjunto de vetores ortogonais é dita uma base orto-
gonal e uma base gerada por um conjunto de vetores ortonormais é dita uma
base ortonormal.
56
Proposição 4.1. Um conjunto ortonormal é L.I.
Demonstração: Seja 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} um conjunto ortonormal e 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛 ∈ R, tal
que
𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + . . . + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0.
Por demonstrar: 𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼𝑛 = 0.
Multiplicando 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + . . . + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0 por 𝑣𝑖, temos
0 =⟨0, 𝑣𝑖⟩ = ⟨𝛼1𝑣1 + · · ·+ 𝛼𝑛𝑣𝑛, 𝑣𝑖⟩
=⟨𝛼1𝑣1, 𝑣𝑖⟩+ ⟨𝛼2𝑣2, 𝑣𝑖⟩+ . . . + ⟨𝛼𝑖𝑣𝑖, 𝑣𝑖⟩+ . . . + ⟨𝛼𝑛𝑣𝑛, 𝑣𝑖⟩
=𝛼1⟨𝑣1, 𝑣𝑖⟩+ 𝛼2⟨𝑣2, 𝑣𝑖⟩+ . . . + 𝛼𝑖⟨𝑣𝑖, 𝑣𝑖⟩+ . . . + 𝛼𝑛⟨𝑣𝑛, 𝑣𝑖⟩ (4.16)
Ja que 𝑆 ortogonal,
0 = 𝛼𝑖⟨𝑣𝑖, 𝑣𝑖⟩ = 𝛼𝑖||𝑣𝑖||2 ⇒ 0 = 𝛼𝑖 ∀𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛.
Definição 4.9. Seja V um espaço vetorial euclidiano, 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} ⊂ V ortonormal
e 𝑢 ∈ V. A projeção ortogonal de 𝑢 sobre o subespaço gerado por 𝑆 é o vetor Proj [𝑆]𝑢 dado
por:
Proj [𝑆]𝑢 = ⟨𝑢, 𝑣1⟩𝑣1 + ⟨𝑢, 𝑣2⟩𝑣2 + . . . + ⟨𝑢, 𝑣𝑛⟩𝑣𝑛.
Exemplo 4.34. Projetar o vetor 𝑢 = (5, 2,−3) ∈ R3 sobre o plano [𝑆], onde
[𝑆] = ger{(1, 0, 0), (0,−1, 0)}.
Solução:
Proj [𝑆]𝑢 = ⟨(5, 2,−3), (1, 0, 0)⟩ (1, 0, 0) + ⟨(5, 2,−3), (0,−1, 0)⟩ (0,−1, 0)
= 5(1, 0, 0)− 2(0,−1, 0)
= (5, 2, 0).
4.6.4 Processo de Gram - Schimidt
O objetivo do processo de Gram-Schimidt é encontrar uma base ortonormal para um
espaço vetorial euclidiano V.
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Teorema 4.8. Cada espaço vetorial não-nulo de dimensão finita possui uma base ortonor-
mal.
Demonstração: Seja V um espaço vetorial não-nulo de dimensão finita com produto
interno. Suponha que {𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛} é uma base de V. É suficiente mostrar que V tem
uma base ortogonal, pois os vetores da base ortogonal podem ser normalizados para produzir
uma base ortonormal de V, para isto bastará dividir eles entre suas respectivas normas.
A seguir, mostramos como achar uma base ortogonal {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} de V.
1) Seja 𝑣1 = 𝑢1.
2) Para obter um vetor 𝑣2 que é ortogonal a 𝑣1 tomamos o componente de 𝑢2 que é ortogonal
ao espaço 𝑊1 = ger{𝑣1}. Para isso nós usamos a fórmula:
𝑣2 = 𝑢2 − Proj𝑊1 𝑢2 = 𝑢2 −
⟨𝑢2, 𝑣1⟩
||𝑣1||2
𝑣1
3) Para construir um vetor 𝑣3 que é ortogonal a ambos 𝑣1 𝑒 𝑣2, calculamos o componente
𝑢3 que é ortogonal ao espaço 𝑊2 = ger{𝑣1, 𝑣2}, isto é,
𝑣3 = 𝑢3 − Proj𝑊2 𝑢3 = 𝑢3 −
⟨𝑢3, 𝑣1⟩
||𝑣1||2
𝑣1 −
⟨𝑢3, 𝑣2⟩
||𝑣2||2
𝑣2
4) Para determinar um vetor 𝑣4 que é ortogonal a 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3, calculamos o componente de
𝑢4 que é ortogonal ao espaço 𝑊3 = ger{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}.
𝑣4 = 𝑢4 − Proj𝑊3 𝑢4 = 𝑢4 −
⟨𝑢4, 𝑣1⟩
||𝑣1||2
𝑣1 −
⟨𝑢4, 𝑣2⟩
||𝑣2||2
𝑣2 −
⟨𝑢4, 𝑣3⟩
||𝑣3||2
𝑣3
Continuando desta maneira, nós iremos obter, depois de 𝑛 passos, um conjunto ortogonal
de vetores {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛}. O processo