Lista 4 Base e Dimensão

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Instituto Federal de Santa Catarina – Campus Florianópolis
Unidade Curricular: Álgebra Linear
Professor: Luiz Arthur Dornelles Jr
Semestre: 2019/2
Lista 4 - Base e Dimensão
1. Verifique se os elementos
𝑢1 = (1, 1, 1, 1) 𝑢2 = (0, 1, 1, 1) 𝑢3 = (0, 0, 1, 1) e 𝑢4 = (0, 0, 0, 1)
formam uma base para o espaço vetorial real R4
2. Encontre uma base para o subespaço 𝑊 de 𝑀3×3(R) definido por:
𝑊 =
{︁
𝐴 ∈ 𝑀3×3(R) | 𝐴𝑡 = 𝐴
}︁
3. Mostre que o conjunto 𝑈 = {1, 1 − 𝑥, (1 − 𝑥)2, (1 − 𝑥)3} é uma base para o espaço vetorial real 𝑃3(R)
4. Determine uma base para o subespaço vetorial de 𝑀2(R) dado por:
𝑈 =
{︃[︃
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
]︃
| 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
}︃
5. Considere os seguintes subespaços vetoriais de 𝑃2(R)
𝑈 =
{︁
𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 ∈ 𝑃2(R) | 𝑎 − 2𝑐 = 0
}︁
𝑊 = [1 − 𝑥, 1 − 𝑥2]
responda:
5.1. Determine um conjunto gerador para o subespaço 𝑈 + 𝑊 (já resolvido na lista 3 exercício 4).
5.2. Determine uma base para o subespaço 𝑈 + 𝑊 .
5.3. Determine uma base para o subespaço 𝑈 ∩ 𝑊 .
6. Para quais valores de 𝛼 ∈ R o conjunto
𝐵 = {(𝛼, 1, 0), (1, 𝛼, 1), (0, 1, 𝛼)}
é uma base para o espaço vetorial real R3
7. Mostre que uma base para o espaço vetorial 𝑈 definido por:
𝑈 = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑃3(R) | 𝑝(−1) = 𝑝(1) = 0}
é dada pelo conjunto 𝐵 = {1 − 𝑥2, 𝑥 − 𝑥3}
8. Encontre uma base para o subespaço 𝑊 de 𝑀3(R) definido por:
𝑊 =
{︁
𝐴 ∈ 𝑀3(R) | 𝐴𝑡 = −𝐴
}︁
9. Determine uma base para o espaço solução do sistema linear{︃
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2𝑡 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 𝑡 = 0
que é um subespaço vetorial do R4
10. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
10.1. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑦 = 3𝑥}.
10.2. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑦 = 5𝑥 e 𝑧 = 0}.
10.3. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑥 + 𝑦 = 0}.
10.4. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑥 = 3𝑦 e 𝑧 = −𝑦}.
10.5. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0}.
11. Sejam 𝑉 = R3 e 𝐵 = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)}.
11.1. Mostre que 𝐵 não é uma base de R3.
11.2. Determine uma base de R3 que possua dois elementos de 𝐵.
12. Considere os vetores 𝑣1 = (1, −1, 1), 𝑣2 = (1, 2, 0), 𝑣3 = (0, 1, 1) e 𝑣4 = (2, 1, 2). Determine uma base
para [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4].
13. Seja 𝑊 o subespaço vetorial de R4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −2, 5, −3), 𝑣2 = (2, 3, 1, −4) e
𝑣3 = (3, 8, −3, −5).
13.1. Encontre uma base para 𝑊 .
13.2. Estenda a base de 𝑊 a uma base de R4.
14. Verificar, em cada item, se o subconjunto 𝐵 é uma base para o espaço vetorial 𝑉 .
14.1. 𝐵 = {1, 1 + 𝑡, 1 − 𝑡2, 1 − 𝑡 − 𝑡2 − 𝑡3} e 𝑉 = 𝑃3(R).
14.2. 𝐵 =
{︃[︃
1 1
0 0
]︃
,
[︃
2 1
0 0
]︃
,
[︃
0 1
1 0
]︃
,
[︃
0 0
0 2
]︃}︃
e 𝑉 = 𝑀2(R).
14.3. 𝐵 = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} e 𝑉 = R4.
15. Determine a dimensão e uma base do espaço solução 𝑊 do sistema linear⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3𝑡 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 0
3𝑥 + 6𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 0
16. Sejam 𝑊1 = 𝑔𝑒𝑟((1, 0, −1), (1, 2, 1)) e 𝑊2 = 𝑔𝑒𝑟((1, 1, 1), (1, 0, 0)).
16.1. Determine 𝑊1 + 𝑊2 (Já resolvido na lista 3 exercício 8).
2
16.2. Determine uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2.
17. Dados os subespaços 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ R4 | 𝑦 +𝑧 = 𝑡} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ R4 | 𝑥−𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 =
0}, determine as dimensões de 𝑈 + 𝑊 e 𝑈 ∩ 𝑊 .
18. Sejam 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão 7, 𝑈 e 𝑊 subespaços vetoriais de 𝑉 = 𝑈 + 𝑊 e
𝑑𝑖𝑚(𝑈) = 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ). Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
18.1. 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) é ímpar
18.2. 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) é par
18.3. 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ) = 5
18.4. 𝑈 ∩ 𝑊 = {0}
19. Sejam 𝑈 e 𝑊 subespaços de 𝑉 e suponha que 𝑑𝑖𝑚(𝑈) = 4, 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ) = 5 e 𝑑𝑖𝑚(𝑉 ) = 7. Quais as
dimensões possíveis de 𝑈 ∩ 𝑊?
20. Dados os subespaços vetoriais 𝑈1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}, 𝑈2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑥 = 𝑧} e
𝑈3 = {(0, 0, 𝑧) | 𝑧 ∈ R}, mostre que:
20.1. R3 = 𝑈1 + 𝑈2
20.2. R3 = 𝑈2 + 𝑈3
20.3. R3 = 𝑈1 + 𝑈3
Quais dessas somas é soma direta?
21. Seja 𝑆 o subespaço de 𝑃2(R) consistindo de todos os polinômios da forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2𝑎+3𝑏. Encontre
uma base para 𝑆.
22. Seja 𝑆 o subespaço vetorial de 𝑃2(R) consistindo de todos os polinômios 𝑝(𝑥) tais que 𝑝(0) = 0 e seja
𝑇 o subespaço vetorial de 𝑃2(R) consistindo de todos os polinômios 𝑞(𝑥) tais que 𝑞(1) = 0. Encontre
uma base para:
22.1. 𝑆
22.2. 𝑇
22.3. 𝑆 ∩ 𝑇
23. Sejam 𝛽 = {(1, 0), (0, 1)}, 𝛽1 = {(−1, 1), (1, 1)}, 𝛽2 = {(
√
3, 1), (
√
3, −1)} e 𝛽3 = {(2, 0), (0, 2)} bases
ordenadas de R2.
23.1. Determine as matrizes de mudança de base [𝑃 ]𝛽1𝛽 , [𝑃 ]
𝛽
𝛽1 e [𝑃 ]
𝛽
𝛽2 e [𝑃 ]
𝛽
𝛽3 ;
23.2. Determine as coordenadas do vetor 𝑣 = (3, −2) em relação à base 𝛽, 𝛽1, 𝛽2 e 𝛽3;
23.3. As coordenadas do vetor 𝑢 em relação a base 𝛽1 são dadas por 𝑢 =
[︃
4
0
]︃
. Quais são as
coordenadas de 𝑢 nas bases 𝛽, 𝛽2 e 𝛽3;
24. Se [𝑃 ]𝛼1𝛼 =
⎡⎢⎣ 1 1 00 −1 1
1 0 −1
⎤⎥⎦, determine:
3
24.1. [𝑣]𝛼 onde [𝑣]𝛼1 =
⎡⎢⎣ −12
3
⎤⎥⎦
24.2. [𝑣]𝛼1 onde [𝑣]𝛼 =
⎡⎢⎣ −12
3
⎤⎥⎦
25. Sejam 𝛽1 = {(1, 0), (0, 2)}, 𝛽2 = {(−1, 0), (1, 1)} e 𝛽3 = {(−1, −1), (0, −1)} bases ordenadas de R2.
25.1. Determine as matrizes de mudança de base [𝑃 ]𝛽2𝛽1 , [𝑃 ]
𝛽3
𝛽2 e [𝑃 ]
𝛽3
𝛽1 e [𝑃 ]
𝛽2
𝛽1 · [𝑃 ]
𝛽3
𝛽2 ;
25.2. Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.
26. Seja 𝑉 o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam
𝛽 =
{︃[︃
1 0
0 0
]︃
,
[︃
0 1
0 0
]︃
,
[︃
0 0
0 1
]︃}︃
e 𝛽1 =
{︃[︃
1 0
0 0
]︃
,
[︃
1 1
0 0
]︃
,
[︃
1 1
0 1
]︃}︃
,
duas bases de 𝑉 . Determine [𝑃 ]𝛽1𝛽 .
27. Se 𝛼 é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝑃 ]𝛼𝛼?
Lista 4 - Resultados
OBSERVAÇÃO: OS RESULTADOS AQUI APRESENTADOS
ESTÃO MUITO RESUMIDOS. A RESOLUÇÃO DOS EXER-
CÍCIOS DEVE SEGUIR AS ORIENTAÇÕES DADAS EM AULA,
CITANDO AS DEFINIÇÕES, TEOREMAS, COROLÁRIOS,
ETC. ESTUDADOS DURANTE O SEMESTRE.
1. O conjunto é LI:
Na matriz 𝐴 os vetores em linha, temos de 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢2 + 𝑐𝑢3 + 𝑑𝑢4 = 0, a matriz abaixo:
𝐴 =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
⎤⎥⎥⎥⎦
cujo 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 indicando que o conjunto é LI (ao ainda, sistema homogêneo adimite somente a
solução trivial.
O conjunto gera R4, pois, para 𝑣 ∈ R4, temos 𝑣 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢2 + 𝑐𝑢3 + 𝑑𝑢4, ou seja:⎡⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 𝑥
1 1 0 0 𝑦
1 1 1 0 𝑧
1 1 1 1 𝑡
⎤⎥⎥⎥⎦
O que resulta em: ⎡⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 𝑥
0 1 0 0 𝑦 − 𝑥
0 0 1 0 𝑧 − 𝑦
0 0 0 1 𝑡 − 𝑧
⎤⎥⎥⎥⎦ ,
ou seja, gera R4.
4
2. ⎧⎪⎨⎪⎩
⎡⎢⎣ 1 0 00 0 0
0 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 1 01 0 0
0 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 10 0 0
1 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 00 1 0
0 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 00 0 1
0 1 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 00 0 0
0 0 1
⎤⎥⎦
⎫⎪⎬⎪⎭
3. Usar o Teorema 1.8 ou o Teorema 1.9. DICA: Testar se o conjunto é LI ou LD, ou seja,
𝑎 + 𝑏(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)2 + 𝑑(1 − 𝑥)3 = 0.
Desta equação obtemos um sistema homogêneo. Analise o tipo de solução que ele tem.
4.
{︃ [︃
1 0
1 0
]︃
,
[︃
0 1
1 0
]︃
,
[︃
0 0
0 1
]︃ }︃
5.
5.1. 𝑈 + 𝑊 = [𝑥, 1 − 𝑥, 1 − 𝑥2, 2 + 𝑥2]
5.2. Base de 𝑈 + 𝑊 é o conjunto {𝑥, 1 − 𝑥, 1 − 𝑥2}
5.3. Base de 𝑈 ∩ 𝑊 é o conjunto {2 − 3𝑥 + 𝑥2}.
6. Para todo 𝛼 ∈ R | 𝛼 ̸= 0 e 𝛼 ̸= ±
√
2 .
7. Use 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3. Para 𝑥 = 1 temos 𝑝(1) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0. Para 𝑥 = −1 temos
𝑝(−1) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 = 0. Como resultado deste sistema obtemos 𝑐 = −𝑎 e 𝑑 = −𝑏. Disto temos
𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥3 = 𝑎(1 − 𝑥2) + 𝑏(𝑥 − 𝑥3).
8.
⎧⎪⎨⎪⎩
⎡⎢⎣ 0 −1 01 0 0
0 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 −10 0 0
1 0 0
⎤⎥⎦ ,
⎡⎢⎣ 0 0 00 0 −1
0 1 0
⎤⎥⎦
⎫⎪⎬⎪⎭
9. {(1, −4, 3, 0), (−1, −5, 0, 3)}
10.
10.1. Dimensão 2. Existem diversas bases(resposta individual).
10.2. Dimensão 1. Existem diversas bases(resposta individual).
10.3. Dimensão 2. Existem diversas bases(resposta individual).
10.4. Dimensão 1. Existem diversas bases(resposta individual).
10.5. Dimensão 2. Existem diversas bases(resposta individual).
11.
11.1. Basta mostrar que B é LD.
11.2. Existem diversas bases(resposta individual).
12. {(1, −1, 1), (1, 2, 0), (0, 1, 1)}
13.
13.1. {(1, −2, 5, −3), (2,3, 1, −4)}
13.2. {(1, −2, 5, −3), (2, 3, 1, −4), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
14.
14.1. Sim
5
14.2. Sim
14.3. Sim
15. 𝑑𝑖𝑚(𝑊 ) = 2 e uma base possível para W pode ser o conjunto {(−2, 1, 0, 0), (11, 0, −5, 2)}.
16.
16.1. R3
16.2. {(0, 1, 1)}
17. 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ) = 4 e 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ⋂︀ 𝑊 ) = 1
18.
18.1. V
18.2. F
18.3. F
18.4. F
19. 2, 3 ou 4
20. Exercício teórico.
21. {𝑥2 + 2, 𝑥 + 3}
22.
22.1. {𝑥2, 𝑥}
22.2. {𝑥2 − 1, 𝑥 − 1}
22.3. {−𝑥2 + 𝑥}
23.
23.1. [𝑃 ]𝛽1𝛽 =
[︃
−1 1
1 1
]︃
, [𝑃 ]𝛽𝛽1 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−12
1
2
1
2
1
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦,[𝑃 ]𝛽𝛽2 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
3
6
1
2
√
3
6 −
1
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,[𝑃 ]𝛽𝛽3 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1
2 0
0 12
⎤⎥⎥⎥⎥⎦,
23.2. [𝑣]𝛽 =
[︃
3
−2
]︃
, [𝑣]𝛽1 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−52
1
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦, [𝑣]𝛽2 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
3
2 − 1
√
3
2 + 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦, [𝑣]𝛽3 =
⎡⎢⎢⎣
3
2
−1
⎤⎥⎥⎦
23.3. [𝑢]𝛽 =
[︃
−4
4
]︃
, [𝑢]𝛽2 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−2
√
3
3 + 2
−2
√
3
3 − 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦, [𝑢]𝛽3 =
⎡⎢⎣ −2
2
⎤⎥⎦
24.
24.1. [𝑣]𝛼 =
⎡⎢⎣ 11
−4
⎤⎥⎦
6
24.2. [𝑣]𝛼1 =
⎡⎢⎣ 2−3
−1
⎤⎥⎦
25.
25.1. [𝑃 ]𝛽2𝛽1 =
⎡⎢⎢⎣
−1 1
0 12
⎤⎥⎥⎦, [𝑃 ]𝛽3𝛽2 =
⎡⎢⎣ 0 −1
−1 −1
⎤⎥⎦, [𝑃 ]𝛽3𝛽1 =
⎡⎢⎢⎣
−1 0
−12 −
1
2
⎤⎥⎥⎦, [𝑃 ]𝛽2𝛽1 .[𝑃 ]𝛽3𝛽2 =
⎡⎢⎢⎣
−1 0
−12 −
1
2
⎤⎥⎥⎦
25.2. [𝑃 ]𝛽2𝛽1 .[𝑃 ]
𝛽3
𝛽2 = [𝑃 ]
𝛽3
𝛽1
26. [𝑃 ]𝛽3𝛽1 =
⎡⎢⎣ 1 1 10 1 1
0 0 1
⎤⎥⎦
27. É a matriz identidade.
7