Efeito da Saturação na corrente de Magnetização

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG 
CENTRO DE CIÊNCIAS COMPUTACIONAIS 
 
 
 
Guilherme Moura de Souza - 78826 
Julio Cezar Oliveira Mendonça - 70927 
Mario Ricardo Nascimento Marques Junior - 71452 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito da Saturação na corrente de Magnetização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio Grande, 2016 
 
 
Guilherme Moura de Souza 
Julio Cezar Oliveira Mendonça 
Mario Ricardo Nascimento Marques Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito da Saturação na corrente de magnetização 
 
Trabalho apresentado como parte da 
avaliação da disciplina de Conversão de 
Energia e Acionamentos, no Curso de 
Engenharia de Automação, na 
Universidade Federal do Rio Grande. 
 
Prof. Msc. Cláudio Dornelles Mello Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio Grande, 2016 
 
 
RESUMO 
 
 
Este trabalho tem como objetivo demonstrar os efeitos que ocorrem em um 
transformador devido a saturação na corrente de magnetização. 
 
 
Palavras-chave: Conversão de energia. Transformador. Corrente de Magnetização. 
Efeito da Saturação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ..........................................................................................5 
2 TRANSFORMADOR EM CARGA ............................................................6 
3 DIAGRAMA FASORIAL ...........................................................................7 
4 TRANSFORMADOR IDEAL .....................................................................8 
5 TRANSFORMADOR REAL .....................................................................10 
5.1 A Corrente de Magnetização de um Transformador Real...................12 
5.2 Circuito Equivalente de um Transformador.........................................13 
6 ASPECTOS CONSTRUTIVOS ................................................................14 
7 TRANSFORMADOR SATURADO ...........................................................16 
8 EFEITO DA SATURAÇÃO NA CORRENTE DE MAGNETIZAÇÃO .......18 
9 SATURAÇÃO NO TRANSFORMADOR DE CORRENTE .......................21 
9.1 Efeito de Saturação no Transformador de Corrente utilizados em 
Sistemas de Transmissão de Energia Elétrica...............................................21 
10 CONCLUSÃO ...........................................................................................23 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Ao estudar transformadores, principalmente para a conversão de potência 
elétrica entre diferentes níveis de tensão, depara-se com o efeito da saturação 
ferromagnética na corrente de magnetização quando o transformador está 
trabalhando com núcleo saturado, devido a operação deste em uma região não 
linear. 
Ao longo desse trabalho será discutido aspectos construtivos de um 
transformador, com objetivo de conhecer o que é esse efeito de saturação, 
transformadores ideais e reais e como a corrente de magnetização se comporta 
nesses tipos de transformadores. 
Ao final, buscamos trazer brevemente algumas aplicações de 
transformadores como exemplos do comportamento da saturação em tais casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2 TRANSFORMADOR EM CARGA 
 
Considerando um transformador de dois enrolamentos, fazemos algumas 
considerações para que seja feito o estudo do transformador em carga: 
 Para efeitos de simplificação, a carga será considerada puramente resistiva 
 O fluxo tem direção indicada pelo crescimento do fluxo. 
 Lei de Lenz: A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o 
campo magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que 
induz a corrente. 
A figura abaixo retrata o transformador de duas espiras em carga. De acordo 
com a lei de Lenz, há força eletromotriz induzida no enrolamento do secundário que 
torna o terminal c positivo instantaneamente em relação ao terminal d. Quando a 
chave S é fechada, uma corrente 𝐼2̅ circula de imediato, saindo de c, passando 
através da carga até d. �̅�2 determina a tensão da carga do secundário, além de 
responder por outras quedas de tensão existentes no circuito secundário. 
 
 
 
Figura 1: Transformador de dois enrolamentos em carga. Chave S fechada. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
3 DIAGRAMA FASORIAL 
 
Quando é estabelecido o equilíbrio no transformador em carga após a chave 
ser fechada o diagrama fasorial ilustrado na figura abaixo mostra �̅�2 e 𝐼2̅ em fase. 
Existe um fluxo produzido pela corrente do secundário que não enlaça o enrolamento 
do primário, e isto é chamado de fluxo de dispersão do secundário. Devido a isso a 
tensão 𝐸12 induzida por esse fluxo, está adiantada em relação a Φ12de 90º. 
Por conveniência, a tensão devida ao fluxo de dispersão é substituída por uma 
queda de tensão na reatância de dispersão do secundário. Ou seja 
𝐸12=𝐼2𝑥2 
onde 𝑥2 é a reatância de dispersão do secundário que representa os efeitos do fluxo 
de dispersão do secundário. 
Sendo a equação acima linear, se a corrente for dobrada, o fluxo de dispersão 
irá dobrar também. 
 
 
Figura 2: Diagrama Fasorial completo de um transformador em carga, para o caso onde 
a=N1 e N2>1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
4 TRANSFORMADOR IDEAL 
 
 Um transformador é dito ideal quando não possui perdas no enrolamento de 
entrada e no enrolamento de saída. As relações entre tensão de entrada e tensão 
de saída, corrente de entrada e corrente de saída são dadas por equações simples. 
 
Figura 3- Desenho esquemático de um transformador ideal. 
 
 O transformador da figura 3 possui Np espiras no enrolamento primário e Ns 
espiras no enrolamento secundário. A relação entre a tensão Vp aplicada a ao 
primário e a tensão Vs produzida no secundário é dada por: 
𝑉𝑝(𝑡)
𝑉𝑠(𝑡)
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
= 𝑎 
onde “a” é a relação transformação do transformador, onde se a>1 transformador 
abaixador e se a<1 transformador elevador. 
 A relação da corrente Ip que entra no primário e a corrente que sai no 
secundário é dada por: 
𝐼𝑝(𝑡)
𝐼𝑠(𝑡)
=
𝑁𝑠
𝑁𝑝
=
1
𝑎
 
 Em fasores, temos: 
𝑉�̅�
𝑉�̅�
= 𝑎 
𝐼�̅�
𝐼�̅�
=
1
𝑎
 
 
 Nota-se que os ângulos dos fasores de tensão e corrente não se alteram, 
apenas as magnitudes desses. 
 A partir disso pode-se definir as expressões para a potência de entrada e 
saída de um transformador ideal. 
9 
 
 Da figura 3, tem-se que a potência ativa entregue ao transformador pelo 
circuito primário é dada por: 
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅� cos(Ɵ𝑉𝑝̅̅̅̅ − Ɵ𝐼�̅�) 
 Para o secundário obtém-se: 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅� cos(Ɵ𝑉�̅� − Ɵ𝐼�̅�) 
 Porém como foi dito anteriormente, os ângulos se mantem os mesmos. Logo 
é correto afirmar que: 
Ɵ = (Ɵ𝑉𝑝̅̅̅̅ − Ɵ𝐼�̅�) = (Ɵ𝑉�̅� − Ɵ𝐼�̅�) 
 Reescrevendo as equações encontradas para a relação de transformação: 
𝑉�̅� =
𝑉�̅�
𝑎
 
𝐼�̅� = 𝑎𝐼�̅� 
 E consequentemente substituindo na da equação potência ativa para o 
secundário: 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅� cos(Ɵ) 
 Comparando com a equação da potência ativa para o primário, conclui-se 
que: 
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅� cos(Ɵ) = 𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 
 Para a potência reativa Q e aparenteS, usando as mesmas relações 
utilizadas para as equações de potência ativa, obtêm-se: 
𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅�𝑠𝑒𝑛(Ɵ) = 𝑄𝑠𝑎í𝑑𝑎 
 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉�̅�𝐼�̅� = 𝑆𝑠𝑎í𝑑𝑎 
 Portanto, em um transformador ideal toda a potência fornecida pelo primário 
é disponibilizada no secundário, sem nenhuma perda. 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
5 TRANSFORMADOR REAL 
 
 Transformadores ideais como descrito no capítulo anterior infelizmente não 
poderão ser construídos na realidade. O que pode ser construído são 
transformadores reais, que podem ter características construtivas semelhantes aos 
ideais, porém até um certo ponto. 
 Na figura 4, tem-se o diagrama esquemático de um transformador real 
constituído de duas bobinas enroladas em torno de um núcleo ferromagnético. 
 
 
Figura 4- Diagrama esquemático de um transformador real. 
 
 O princípio de funcionamento do transformador pode ser obtido a partir da lei 
de Faraday: 
𝑒𝑖𝑛𝑑 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
 
onde λ é o fluxo total que percorre a bobina. O fluxo total λ é o somatório do fluxo 
que passa através de cada espira da bobina: 
𝜆 = ∑ 𝜙𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 Porém λ não é simplesmente NΦ, pois o fluxo é ligeiramente diferente de 
espira para espira. Entretanto é possível definir um fluxo médio por espira em uma 
bobina: 
�̅� =
𝜆
𝑁
 
 
11 
 
 
 Então a lei de Faraday poderá ser escrita como: 
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑁
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 De acordo com a figura 4, se for aplicada uma tensão Vp a bobina do 
primário: 
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑁
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
Isolando o fluxo: 
�̅�𝑝 =
1
𝑁𝑝
∫ 𝑉𝑝(𝑡) 
 Com isso, a tensão induzida na bobina do secundário dependerá de quanto o 
fluxo do primário irá atingi-la. Nem todo o fluxo produzido na bobina passara na 
bobina do secundário como mostra a figura 5, uma parte passa no núcleo Φm e 
concatena as duas bobinas, enquanto outra passara por fora do núcleo Φdp. 
 
Figura 5- Diagrama esquemático de um transformador real. 
 
Essa componente do fluxo que não passa pelo núcleo é chamada de fluxo de 
dispersão Φdp. Assim o fluxo primário total Φp pode ser divido em duas 
componentes: 
�̅�𝑝 = 𝜙𝑀 + 𝜙𝐷𝑃 
12 
 
Aplicando essa equação na tensão aplicada do primário: 
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑁𝑃
𝑑𝜙𝑃̅̅ ̅̅
𝑑𝑡
= 𝑁𝑃
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
+ 𝑁𝑃
𝑑𝜙𝐷𝑃
𝑑𝑡
 
𝑉𝑝(𝑡) = 𝑒𝑃(𝑡) + 𝑒𝐷𝑃(𝑡) 
Aplicando para o secundário, obtém-se: 
𝑉𝑆(𝑡) = 𝑁𝑆
𝑑𝜙𝑆̅̅̅̅
𝑑𝑡
= 𝑁𝑆
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
+ 𝑁𝑃
𝑑𝜙𝐷𝑆
𝑑𝑡
 
𝑉𝑆(𝑡) = 𝑒𝑆(𝑡) + 𝑒𝐷𝑆(𝑡) 
Comparando as tensões em relação ao fluxo mutuo: 
𝑒𝑃(𝑡) = 𝑁𝑃
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
 
𝑒𝑆(𝑡) = 𝑁𝑆
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
 
Logo: 
𝑒𝑃(𝑡)
𝑒𝑠(𝑡)
=
𝑑𝜙𝑀
𝑑𝑡
=
𝑁𝑃
𝑁𝑆
= 𝑎 
Em um transformador bem projetado, onde Φm>> Φdp e Φm>> Φds, pode-
se dizer que a relação entre as tensões do primário e a tensão do secundário é: 
𝑉𝑃(𝑡)
𝑉𝑠(𝑡)
=
𝑁𝑃
𝑁𝑆
= 𝑎 
Quanto menor for o fluxo de dispersão Φdp mais próximo estará um 
transformador real de um transformador ideal. 
 
 
5.1 A Corrente de Magnetização de um Transformador Real 
 
 Quando o transformador da figura 5 é energizado uma corrente flui no 
primário, mesmo com o circuito aberto. Essa corrente é necessária para suprir as 
perdas do núcleo (histerese e corrente parasitas) e prover a magnetização. 
13 
 
 
Figura 6- Circuito de um transformador considerando o núcleo. 
 
Esta é a corrente de magnetização Im dada por: 
𝐼�̅̅̅� = 𝐼𝑐 + 𝑗𝐼𝑗 
onde Ic são as perdas no núcleo e Ij a componente indutiva. 
 
5.2 Circuito Equivalente de um Transformador 
 
 Considerando a corrente de magnetização Im,as perdas nos enrolamentos e 
o fluxo de dispersão, pode-se construir um circuito equivalente de um transformador 
real. 
 
Figura 7- Circuito equivalente de um transformador real. 
 
Onde: 
Rp,Rs: Resistência dos enrolamentos. 
jXp, jXs: Reatância de dispersão. 
Rc: Perdas no ferro. 
jXm: Reatância de magnetização. 
14 
 
6 ASPECTOS CONSTRUTIVOS 
 
 Para reduzir o fluxo por dispersão, um transformador pode ser construído 
intercalando as espiras do primário e secundário, mantendo o fluxo de dispersão 
dentro de um pequeno percentual do fluxo mútuo. Os principais tipos de construção 
usados são o tipo núcleo envolvido e o tipo núcleo envolvente. 
No tipo núcleo envolvido, os enrolamentos envolvem o ferro do núcleo, com 
as espiras da bobina cilíndrica de baixa tensão na parte mais próxima do ferro, 
divididas nos ramos e separadas das espiras de alta tensão por camadas de 
isolante. Esta configuração facilita a solução do problema de isolamento, e, 
portanto, é a preferida nos transformadores de alta tensão. 
 
Figura 8: Aspectos da construção do transformador do tipo núcleo envolvido. H representa o 
número de espiras da bobina de alta tensão; L representa o número de espiras da bobina de baixa 
tensão. 
 
Figura 9: Transformador trifásico a seco - 30kVA-31500kVA - Dongguan Kang De Wei 
Transformer Co. Ltd. 
15 
 
No tipo núcleo envolvente, o ferro é que fica ao redor das bobinas que 
geralmente são planas. As bobinas de baixa tensão são divididas em três seções de 
acordo com a figura, com metade do enrolamento entre os enrolamentos de alta 
tensão. Esse tipo de construção permite que o núcleo sirva de proteção para os 
enrolamentos, e é preferida para os transformadores de potência, nos quais 
circulam grandes correntes. 
 
 
 
Figura 10: Aspectos da construção do transformador do tipo núcleo envolvente. H representa 
o número de espiras da bobina de alta tensão; L representa o número de espiras da bobina de baixa 
tensão. 
 
 
 
Figura 11: Transformador a seco monofásico - single-end - Altana Tubes 
 
 
16 
 
7 TRANSFORMADOR SATURADO 
 
 À medida que o campo magnético externo cresce, todos os domínios 
magnéticos do núcleo do transformador tendem a se alinhar com o sentido do 
campo e assim aumentam o fluxo magnético no ferro, até um certo ponto em que o 
ferro se torna saturado. 
 
Figura 12: (a) Domínios magnéticos orientados aleatoriamente. (b) Domínios magnéticos 
alinhados na presença de um campo magnético externo. 
 
A partir deste ponto, chamado de joelho de saturação, o transformador 
apresenta um comportamento não-linear devido às características do seu circuito 
magnético, conforme pode ser observado na seguinte figura: 
 
 
Figura 13: Curva de magnetização típica de um transformador. 
 
17 
 
Sendo a tensão proporcional à variação do fluxo, as não-linearidades do 
transformador operando com núcleo saturado afetam as características de corrente 
e tensão nos seus terminais, conforme observado a seguir. 
 
 
Figura 14: Corrente de magnetização causada pelo fluxo no núcleo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
8 EFEITO DA SATURAÇÃO NA CORRENTE MAGNETIZAÇÃO 
 
Todas as grandezas que aparecem em um diagrama fasorial (como na figura 
2, tópico 3), devem necessariamente estar na mesma frequência. Portanto, a 
corrente de magnetização Im que compõe a corrente I1 deve ser tratada como uma 
grandeza de forma senoidal. Mas isso não ocorre, principalmente por influência do 
núcleo magnético em termos de saturação e perdas. 
Na figura abaixo é representada uma situação transitória, sem histerese, na 
qual podemos perceber que os transformadores funcionam com variações no tempo 
de fluxo operando logo acima do joelho da curva de saturação. 
 
Figura 15: Ilustração do efeito de uma corrente de magnetização senoidal. 
 
Supondo que a tensão aplicada no primário seja puramente senoidal, a 
correntede magnetização fornecida por essa fonte deve ser inicialmente senoidal. 
Abaixo da curva de magnetização está desenhada esta corrente, representada por 
iф1 na figura a seguir. 
À direita, é mostrada a onda de fluxo Ф com topo arredondado que é dado 
pela projeção dos gráficos à direita, ou seja, pela composição da corrente de 
19 
 
magnetização senoidal com a curva de magnetização do núcleo. Esta onda de fluxo 
é composta por duas componentes harmônicas: 
Ф1 – Uma grande componente de fluxo fundamental que induz na bobina do 
primário uma tensão e1 oposta à tensão v1 aplicada no primário. 
Ф3 – Uma componente negativa de terceiro harmônico que também induz no 
primário uma tensão, e3. Mas, por ser uma grandeza senoidal pura, esta não 
encontra uma tensão igual e oposta na fonte do primário e fica livre para produzir 
uma corrente de terceiro harmônico negativa. 
A corrente de magnetização resultante dessas duas componentes possui 
picos característicos, como ilustrado a seguir, pelo fato de que a componente de 
terceiro harmônico circula na direção oposta à da componente fundamental, por se 
originar da bobina do primário. 
 
Figura 16: Forma de onda da corrente de magnetização iф1 do transformador, desprezando a 
histerese e perdas no núcleo. 
 
 Pode-se observar a ação da corrente de terceira harmônica negativa também 
como sendo fonte de uma fmm na bobina do primário que, por sua vez, produz um 
fluxo de mesma natureza que acaba cancelando a componente de fluxo de terceiro 
harmônico original da onda de fluxo de topo abaulado. Por fim, pela lei de Kirchhoff 
das tensões o fluxo resultante no núcleo deve ser senoidal, para poder produzir uma 
tensão induzida na bobina que equilibra a tensão aplicada da fonte senoidal. 
A presença de um fluxo senoidal no núcleo é suficiente para equilibrar a 
tensão senoidal da fonte, o que também conduz às características de picos da 
corrente de magnetização resultante. Assim é possível obter a resultante da onda 
com picos da corrente de magnetização com a projeção desta variação de fluxo 
senoidal sobre a curva de magnetização saturada, embora não fique indicado a 
fonte da componente de terceiro harmônico que não é diretamente a fonte de 
tensão senoidal. 
20 
 
A forma de onda final da corrente de magnetização é obtida com a soma da 
curva com picos da figura 16 com a componente senoidal fundamental para 
considerar as perdas por histerese e por correntes parasitas. 
 
 
Figura 17: Forma de onda final da corrente de magnetização im, resultante da soma de uma 
componente senoidal fundamental (em fase com a fonte de tensão) e da corrente iф. A componente 
em fase inclui as perdas por histerese e por correntes parasitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
9 EFEITO DE SATURAÇÃO EM APLICAÇÕES 
 
Para efeitos de exemplificação será tratado abaixo alguns exemplos de como 
o efeito de saturação se comporta em aplicações reais: 
 
9.1 Efeito de Saturação no Transformador de Corrente utilizados em Sistemas 
de Transmissão de Energia Elétrica 
 
As transmissões elétricas dependem da confiabilidade do sistema, e vários 
fatores são levados em conta para isso. No caso do transformador de corrente 
presente nas transmissões elétricas, é feito o ensaio da saturação. 
A saturação em transformadores de corrente é um fato característico das 
propriedades de um equipamento que opera com indução ferromagnética. Sua 
ocorrência é inevitável caso o transformador de corrente opere em condições 
superiores as suas condições nominais. 
Os transformadores de corrente para serviço de medição possuem núcleo 
feito de material de elevada permeabilidade magnética. Sabendo isso é possível 
definir que os transformadores de corrente possuem pequena corrente de excitação, 
pequenas perdas e baixa relutância. 
Eles entram em saturação logo que a indução magnética quando há um 
crescimento da corrente primária de cerca de quatro vezes o seu valor nominal. 
 
Figura 18: Corrente limite a partir da qual o transformador de corrente entra em saturação. 
 
Um transformador de corrente deve saturar em altos níveis de corrente para 
permitir a medição de correntes de curto-circuito. Para isso tem seu limite de 
funcionamento muito elevado. 
22 
 
Um transformador de corrente para proteção deve retratar com fidelidade as 
correntes de curto-circuito sem sofrer os efeitos da saturação 
A curva de saturação do transformador de corrente define uma região para 
operação de suas características nominais de acordo com as especificações do 
projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
10 CONCLUSÃO 
 
Com o estudo da teoria de transformador, em específico do efeito de 
saturação, percebe-se que esse efeito está ligado à aspectos intrínsecos do 
transformador, como a qualidade do material magnético em resistir a fatores 
elétricos como interferências eletromagnéticas. Estas interferências se originam de 
distorções causadas nas ondas de tensão e corrente por componentes harmônicos. 
Isto influencia na qualidade da energia gerada, pelo aumento das perdas 
envolvendo fluxos de dispersão e, portanto, reduz a eficiência através de perdas 
elétricas e inclusive de perdas mecânicas com o sobreaquecimento e redução da 
vida útil do equipamento. 
Como o efeito da saturação na corrente de magnetização é relacionado com 
as correntes de magnetização e fluxo de dispersão ele fica mais evidente por 
exemplo, nos transformadores de potência, pois apresentam altas correntes. Para 
evitar os transtornos, um transformador de potência deve ser projetado para a 
corrente de magnetização ser muito menor que a corrente a plena carga do 
transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
TEORIA E CIRCUITOS MAGNÉTICOS. del Toro, Vicent. 
FUNDAMENTOS DE MÁQUINAS ELÉTRICAS, Stephen J. Chapman – 5.ed. 
 
SBA Controle & Automação v.19 n.2 Natal abr./jun. 2008 
<http://dx.doi.org/10.1590/S0103-17592008000200007> 
 
MINIMIZING OF THIRD HARMONIC […] TRANSFORMERS TO ACHIEVE THE 
FERROMAGNETIC SATURATION - Maria Cecília Ferreira; Marcus Vinícius Ferraz 
do Amaral. 
<http://revistas.unibh.br/index.php/dcet/article/viewFile/722/434> 
 
Ilustrações: 
TEORIA E CIRCUITOS MAGNÉTICOS. del Toro, Vicent. 
FUNDAMENTOS DE MÁQUINAS ELÉTRICAS, Stephen J. Chapman – 5.ed.