CONCRETO 1 ROTEIRO AS SIMPLES R00 (1)

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Prof.º Eder Sabino 
revisado em: 03/02/2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de Vigas de Seção Retangular a Flexão Simples 
com Armadura Simples 
 
Roteiro de Dimensionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.º Éder M. P. Sabino 
 
 
 
Jundiaí, março 2015 
 
 
 
 
 
Prof.º Eder Sabino 
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Sumário 
1 Dados de entrada .................................................................................................................................................. 3 
1.1 Materiais: ...................................................................................................................................................... 3 
1.2 Dados geométricos ....................................................................................................................................... 3 
1.3 Esforço característico ................................................................................................................................... 3 
2 Valores de Cálculo ................................................................................................................................................ 3 
2.1 Resistências .................................................................................................................................................. 3 
2.1.1 Concreto ................................................................................................................................................ 3 
2.1.2 Aço........................................................................................................................................................ 3 
2.2 Esforços ........................................................................................................................................................ 3 
3 Valores de Referência ........................................................................................................................................... 3 
3.1 Deformação do aço no início do patamar de escoamento ............................................................................ 3 
3.2 Intervalos dos domínios de deformação ....................................................................................................... 3 
3.2.1 Domínio 2 ............................................................................................................................................. 3 
3.2.2 Domínio 3 ............................................................................................................................................. 4 
3.2.3 Domínio 4 ............................................................................................................................................. 4 
3.2.4 Limite entre Domínio 2 e Domínio3 .................................................................................................... 4 
3.2.5 Limite entre Domínio 3 e Domínio 4 ................................................................................................... 5 
4 Cálculo da Profundidade da Linha Neutra (x) ...................................................................................................... 6 
4.1 Resultante no concreto Rc ............................................................................................................................ 6 
4.2 Equilíbrio de Forças (Equação 1) ................................................................................................................. 6 
4.3 Equilíbrio de Momento (Equação 2) ............................................................................................................ 6 
4.4 Cálculo de x .................................................................................................................................................. 6 
5 Verificação do domínio ........................................................................................................................................ 7 
6 Cálculo da tensão no aço 𝝈𝒔 ................................................................................................................................. 7 
6.1 Cálculo de 𝜺𝒔 ................................................................................................................................................ 7 
7 Cálculo de As ........................................................................................................................................................ 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Dados de entrada 
1.1 Materiais: 
𝐴ç𝑜 𝐶𝐴 − 50 → 𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝐴 → ÷ 10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
1.2 Dados geométricos 
𝑏𝑤 − 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎; 
ℎ − 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎; 
𝑑 − 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎; 
1.3 Esforço característico 
 
𝑀𝑘 − 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜; 
2 Valores de Cálculo 
 
2.1 Resistências 
Utilizar as unidades 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
2.1.1 Concreto 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
 
2.1.2 Aço 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
 
2.2 Esforços 
Utilizar a unidade 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,4 × 𝑀𝑘 
3 Valores de Referência 
3.1 Deformação do aço no início do patamar de escoamento 
𝜀𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
𝑓𝑦𝑑
21000
 
 
 
3.2 Intervalos dos domínios de deformação 
 
3.2.1 Domínio 2 
𝜀𝑠 = 1% 
0 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 0,35% 
0 ≤ 𝑥 < 𝑥2 𝑙𝑖𝑚 
 
 
 
 
 
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3.2.2 Domínio 3 
𝜀𝑐 = 0,35% 
𝜀𝑦𝑑 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 1% 
𝑥2 𝑙𝑖𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥3 𝑙𝑖𝑚 
3.2.3 Domínio 4 
𝜀𝑐 = 0,35% 
 0 ≤ 𝜀𝑠 < 𝜀𝑦𝑑 
𝑥3 𝑙𝑖𝑚 < 𝑥 ≤ 𝑑 
 
3.2.4 Limite entre Domínio 2 e Domínio3 
 
Equação de compatibilidade de deformação: 
 
 
𝜀𝑐
𝑥2𝑙𝑖𝑚
=
𝜀𝑠
(𝑑 − 𝑥2𝑙𝑖𝑚)
 
 
 
(𝑥2lim ) 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐(𝑑 − 𝑥2𝑙𝑖𝑚) 
 
(𝑥2lim ) 𝜀𝑠 + (𝑥2𝑙𝑖𝑚)𝜀𝑐 = 𝜀𝑐(𝑑) 
 
𝑥2𝑙𝑖𝑚(𝜀𝑠 + 𝜀𝑐) = 𝜀𝑐(𝑑) 
 
𝑥2𝑙𝑖𝑚 = (
𝜀𝑐
(𝜀𝑠 + 𝜀𝑐)
) 𝑑 
 
𝑥2𝑙𝑖𝑚 = 0,259 𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.5 Limite entre Domínio 3 e Domínio 4 
 
Equação de compatibilidade de deformação: 
 
 
𝜀𝑐
𝑥3𝑙𝑖𝑚
=
𝜀𝑠
(𝑑 − 𝑥3𝑙𝑖𝑚)
 
 
(𝑥3lim ) 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐(𝑑 − 𝑥3𝑙𝑖𝑚) 
 
(𝑥3lim ) 𝜀𝑠 + (𝑥3𝑙𝑖𝑚)𝜀𝑐 = 𝜀𝑐(𝑑) 
 
𝑥3𝑙𝑖𝑚(𝜀𝑠 + 𝜀𝑐) = 𝜀𝑐(𝑑) 
 
𝑥3𝑙𝑖𝑚 = (
𝜀𝑐
(𝜀𝑠 + 𝜀𝑐)
) 𝑑 
 
𝑥3𝑙𝑖𝑚 = (
0,35%
0,35% + 𝜀𝑦𝑑
) 𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 Cálculo da Profundidade da Linha Neutra (x) 
 
 
𝑦 = 0,8𝑥 
 
4.1 Resultante no concreto Rc 
𝑅𝑐 = 𝐴𝑐𝜎𝑐 
𝜎𝑐 = 0,85 𝑓𝑐𝑑 
𝐴𝑐 = 𝑏𝑤𝑦 = 0,8𝑥 𝑏𝑤 
𝑅𝑐 = 0,8𝑥 𝑏𝑤(0,85 𝑓𝑐𝑑) 
 
𝑅𝑐 = 0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑𝑥 
4.2 Equilíbrio de Forças (Equação 1) 
 
Equilíbrio de forças horizontais. 
𝑅𝑐 = 𝑅𝑠 
4.3 Equilíbrio de Momento (Equação 2) 
 
Em relação a um ponto sobre a linha da resultante das armaduras. 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑧𝑐 
𝑧𝑐 = 𝑑 −
𝑦
2
= 𝑑 −
0,8𝑥
2
 
𝑧𝑐 = 𝑑 − 0,4𝑥 
4.4 Cálculo de x 
 
Substituindo Rc e zc na equação 2: 
(0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑𝑥)(𝑑 − 0,4𝑥) = 𝑀𝑑 
𝑥(𝑑 − 0,4𝑥) =
𝑀𝑑
0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑
 
𝑥𝑑 − 0,4𝑥² =
𝑀𝑑
0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑
 
0,4𝑥2 − 𝑑𝑥 +
𝑀𝑑
0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑
= 0 
Dividindo toda a equação por 0,4: 
 
 
 
 
 
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𝑥2 − 2,5𝑑𝑥 +
𝑀𝑑
0,272𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑
= 0 
 
∆= (−2,5𝑑)2 − 4 (
𝑀𝑑
0,272𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑
) 
𝑥 =
2,5𝑑 − √∆
2
 
5 Verificação do domínio 
 
Se 0 ≤ 𝑥 < 𝑥2 𝑙𝑖𝑚 → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 2 
Se 𝑥2𝑙𝑖𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥3 𝑙𝑖𝑚 → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 3 
Se 𝑥3𝑙𝑖𝑚 < 𝑥 ≤ 𝑑 → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 4 
6 Cálculo da tensão no aço 𝝈𝒔 
 
Se Domínio 2 ou Domínio 3: 
𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 
Se Domínio 4: 
𝜎𝑠 = 𝜺𝒔21000 
6.1 Cálculo de 𝜺𝒔 
 
Essa etapa deve ser realizada quando a peça está no domínio 4. 
 
𝜀𝑐
𝑥
=
𝜀𝑠
(𝑑 − 𝑥)
 
(𝑥) 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐(𝑑 − 𝑥) 
𝜀𝑠 =
(𝑑 − 𝑥)
(𝑥)
𝜀𝑐 
𝜀𝑠 =
(𝑑 − 𝑥)
(𝑥)
0,35% 
 
 
 
 
 
 
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7 Cálculo de As 
𝑅𝑠 = 𝐴𝑠𝜎𝑠 
Da equação de equilíbrio 1: 
𝑅𝑠 = 𝑅𝑐 
Então: 
𝐴𝑠𝜎𝑠 = 𝑅𝑐 
𝐴𝑠 =
𝑅𝑐
𝜎𝑠