Dimensionamento de concreto armado à flexão

Prévia do material em texto

Dimensionamento de concreto armado à �exão
Profª. Larissa Camporez Araújo
Descrição
Dimensionamento de estruturas em concreto armado: conhecimento das regiões de colapso, ou seja, os estádios, bem como dos domínios de
deformação dos elementos componentes do sistema para a obtenção de um bom dimensionamento das armaduras das peças estruturais.
Propósito
As construções, sejam elas de pequeno, médio ou grande porte, demandam cálculos estruturais específicos para o dimensionamento dos
elementos estruturais em concreto armado que devem ser realizados por engenheiros estruturais; portanto, faz-se necessário o conhecimento dos
estádios e dos domínios de deformação, bem como a compreensão das equações e das tabelas utilizadas com o objetivo de dimensionamento dos
elementos.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
Objetivos
Módulo 1
Os estádios das estruturas em concreto armado
Identificar os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
Módulo 2
Os domínios de deformação da estrutura
Reconhecer os domínios de deformação e suas classificações.
Módulo 3
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Aplicar cálculos para o dimensionamento da armadura longitudinal.
Módulo 4
Análise de uso de tabelas adimensionais
Interpretar as tabelas adimensionais para o dimensionamento do elemento estrutural.
Introdução
Bem-vindo aos estudos de dimensionamento de estruturas de concreto armado à flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medidas
rientações sobre unidades de medidas
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro
estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você
devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
1 - Os estádios das estruturas em concreto armado
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
Os estádios das estruturas em concreto armado


Processo de colapso: estádios
Para o correto dimensionamento dos elementos estruturais submetidos à flexão, é importante que o engenheiro calculista tenha o domínio sobre o
tipo de flexão que atua sobre o elemento e os níveis de deformação que a flexão pode provocar. Tais deformações são conhecidas como estádios e
determinam o comportamento da peça até o seu colapso.
Dizemos que o elemento estrutural está submetido à flexão quando nele atua o momento fletor, e é com o objetivo de resistir a esse momento que o
engenheiro dimensiona as armaduras longitudinais. Esse dimensionamento é realizado tendo em vista o Estado Limite Último a Momento Fletor
(ELU-M) e considera que, na seção mais solicitada (com o maior valor de momento), seja alcançada a deformação específica limite do material
(concreto ou aço), isto é, a ruptura pode ocorrer no concreto comprimido ou no aço tracionado.
Vale lembrar que, para o dimensionamento de elementos em concreto armado no Estado Limite Último (ELU), devemos considerar as:
omento �etor
Momento total gerado por aplicação de cargas perpendiculares à viga que causam tensões normais de tração e compressão simultaneamente na
estrutura, ou seja, causam flexão.
Solicitações de cálculo
São majoradas.
Resistências características de cálculo
São minoradas.
Se as solicitações de cálculo alcançarem as resistências de cálculo, consideraremos que a estrutura entrou em
colapso, ou seja, o dimensionamento ocorreu para o estado limite último.
As vigas são exemplos clássicos de elementos submetidos à flexão simples. Com o objetivo de apresentar um exemplo de projeto para armadura
longitudinal de uma peça estrutural proveniente de esforços de flexão dimensionada pelo ELU-M, está ilustrado na imagem a seguir o projeto de uma
viga chamada de V1 com dimensão da seção transversal, base de 14cm com 30cm de altura e comprimento de face a face dos pilares P1 e P2
(apoios para a viga) de 410cm. À direita da viga, o corte A-A está demonstrado com o intuito de apresentar a seção transversal da peça.
Imagem 1 - Projeto estrutural de uma viga.

Para a viga em questão (biapoiada), a Armadura Longitudinal Inferior (ALI) é a armadura utilizada para combater os esforços de tração devido ao
momento fletor positivo que atua no elemento. Vamos ver a principal diferença entre a ALI e a Armadura Longitudinal Superior. Ambas serão
dimensionadas e explicadas no módulo 3.
Armadura Longitudinal Inferior (ALI)
Podemos afirmar que ela é uma armadura passiva utilizada para combater o esforço tração na flexão.
Armadura Longitudinal Superior (ALS)
Já a ALS pode tanto ser uma armadura de flexão para auxiliar o concreto no combate às tensões de compressão devido ao momento fletor
como ser apenas uma armadura de porta estribo.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão que podem atuar no elemento estrutural e os estádios em que o elemento pode ser classificado.
Tipos de �exão
As tensões que surgem no elemento estrutural devido aos esforços de flexão provocados pelo momento fletor (M) são tensões normais de tração
ou compressão. Essas tensões surgem na seção transversal do elemento, e o que separa a tração da compressão é a Linha Neutra (LN), que passa
pelo centroide da seção transversal. Nela, as tensões e as deformações são nulas.
A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a seção transversal de uma viga submetida a esforços de flexão devido à ação do momento fletor
positivo, com tensão normal de compressão acima da linha neutra e tensão normal de tração abaixo dessa linha. Na linha neutra, a tensão é nula.
Imagem 2 - Esquema de viga submetida a tensão de flexão.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão comuns que ocorrem em elementos estruturais.
Como as armaduras de flexão são dimensionadas para o Estado Limite Último, ou seja, considerando o limite de resistência do elemento estrutural,

Flexão normal simples 
Flexão normal composta 
Flexão obliqua simples e composta 
Flexão pura 
além de conhecer a tensão de flexão ao qual o elemento está submetido, é necessário identificar o estádio em que o elemento será dimensionado.
Vamos apresentar os estádios a seguir.
Estádios
Os conceitos apresentados aqui são referentes ao processo de colapso de vigas sob tensões normais. São adotadas as vigas por serem elas
elementos com cálculos de dimensionamento mais simples, o que facilita a compreensão dos conceitos relacionados aos estádios.
Os estádios podem ser definidos como os vários estágios de tensão pelo qual um elemento fletido passa, desde o carregamento inicial até a sua
ruptura. Experimentalmente, a viga é instrumentada e submetida a um carregamento crescente, de forma que seja possível a medição das
deformações que ocorrem na parte central ao longo da sua altura, conforme ilustra a imagem a seguir.
Imagem 7 - Parte central da viga onde são realizadas as medições de deformação.
Para a viga de concreto armado, são definidos três estádios de deformação: estádio I, estádio II e estádio III. Eles serão descritos a seguir.
Estádio I
O estádio I corresponde ao início do carregamento; logo, as tensões normais que surgem são de baixa magnitude e dessa forma o concreto
consegue resistir às tensões de tração. Nesse estádio, o diagrama de tensões é linear ao longo da seção transversal da peça, a lei de Hooke é válida
e a peça se encontra no estado elástico.
A imagem a seguir apresenta o estádio I de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MI) na viga devido ao carregamento externo,
surgem internamente as forças de compressão na parte superior e de tração na parte inferior a fim de obter o equilibrio das ações.
Essas forças internas provocam a tensão de compressão com a consequente deformação de encurtamento e a tensão de tração 
com o consequente alongamento .Imagem 8 - Forma esquemática do estádio I.
A linha neutra (LN) encontra-se a uma profundidade x I. A distância d é chamada de altura útil da seção e é medida da extremidade da viga mais
distante das barras de aço até o centroide dessas barras, já a altura h é a altura total da viga. Neste estádio, a tensão de tração do concreto não
(Fco) (Ftr)
(σco) (εco) (σtr)
(εtr)
ultrapassa sua resistência característica à tração, logo não ocorrem fissuras de tração na peça. O estádio I encerra quando surgem as primeiras
fissuras.
Estádio II
No estádio II, a tensão de tração no concreto supera sua resistência característica à tração, ou seja, o concreto não resiste mais à tração. Com isso,
a seção se encontra fissurada na região de tração. Mesmo com o aparecimento de fissuras, o diagrama de tensões se mantém linear,
permanecendo válida a lei de Hooke. Nesse estádio, conhecido como estádio de fissuração, se deve realizar a verificação da viga em serviço (ELS).
A imagem a seguir apresenta o estádio II de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MII) na viga devido ao carregamento externo
surgem internamente, as forças de compressão na parte superior e de tração na parte inferior a fim de obter o equilíbrio das ações,
como no estádio I. Porém o M II apresenta intensidade superior ao M I, e a tensão de tração passa ser maior que a resistência característica à
tração; por isso, surgem as fissuras. As fissuras caminham no sentido da borda comprimida, assim como a linha neutra. Com isso, x II passa a ser
menor do que x I.
Imagem 9 - Forma esquemática do estádio II.
Nesse estádio, consideramos que apenas o aço resista aos esforços de tração por conta das fissuras que surgem no concreto. A tensão na
armadura cresce, podendo atingir o escoamento ou não. O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido. Admite-se que a
tensão de compressão no concreto continue linear.
Estádio III
No estádio III, aumenta-se o momento fletor até um valor próximo de colapso, isto é, o concreto na zona comprimida está na iminência de ruptura e
encontra-se plastificado. O diagrama de tensões, também conhecido como diagrama parábola retângulo, passa a ser da forma parabólico
retangular. No entanto, a norma brasileira permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama retangular equivalente.
Na forma esquemática do estádio III representada na imagem a seguir, verifica-se que a fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a
partir da deformação específica de , chegando a atingir na extremidade, sem variação de tensão, a deformação específica última
$. No esquema, é possivel observar que a peça está com muitas fissuras e que a profundidade da linha neutra diminui.
Por consequência, há uma redução da região de concreto comprimida. O estádio 3 é a situação extrema que corresponde ao dimensionamento pelo
ELU.
(Fco) (Ftr)
0, 2%
$ (εcu = 0, 35%) (xIII)
Imagem 10 - Forma esquemática do estádio III.
O dimensionamento dos sistemas em concreto armado será realizado no estádio III, já que este se refere ao Estado Limite Último, quando o
elemento está na iminência de ruptura. O objetivo principal do engenheiro estrutural é projetar estruturas que resistam, de forma econômica, aos
esforços sem entrar em colapso. O item a seguir apresenta algumas hipóteses básicas de dimensionamento que serão de extrema relevância para
os módulos seguintes.
Hipóteses básicas de dimensionamento
Vamos conhecer as hipóteses de cálculo de elementos estruturais lineares sob solicitações normais que são apresentadas na ABNT NBR
6118:2014. As hipóteses são:
As seções transversais permanecem planas após a deformação. Ou seja, as deformações são, em cada fibra de concreto, proporcionais à sua
distância até a linha neutra da seção;
A deformação das barras de aço passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras de aço ativas (para concreto protendido)
aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno. Isto é, a deformação no aço é igual à deformação no
concreto;
As tensões de tração no concreto, normais na seção transversal, devem ser desprezadas no ELU;
O colapso da seção transversal submetida a qualquer tipo de flexão no estado limite último é caracterizado pelas deformações específicas de
cálculo do concreto para as fibras mais comprimidas e do aço próximo da borda mais tracionada. Os valores últimos das deformações vão definir
os domínios de deformação a serem apresentados no próximo módulo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um engenheiro calculista dimensionará algumas peças estruturais de uma pequena residência. Para tanto, ele decidiu voltar às anotações que
fez durante o curso de Concreto Armado I para relembrar alguns conceitos. Ao verificar suas anotações, percebeu que, em uma delas, se
equivocou e anotou o conceito errado. Marque a opção que apresenta a anotação equivocada que estava em seu caderno.
A
Os elementos estruturais do tipo pilares são elementos caracterizados por suportar apenas tensão normal devido às forças
normais, não sendo necessário o estudo de tensões de flexão.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20pilares%20s%C3%A3o%20elementos%20submetidos%20a%20esfor%C3%A7os%20normais%20e%20a%20momentos%20fletore
B
Os elementos estruturais do tipo pilares são submetidos à flexão obliqua composta, em que ocorre a excentricidade da
resultante dos esforços normais, gerando momento em duas direções.
C
As vigas, assim como as lajes, são, na maioria dos casos, submetidas à flexão simples, ou seja, o carregamento das peças é
perpendicular à seção transversal do elemento.
D
Em elementos estruturais do tipo vigas protendidas, atuam esforços normais na seção transversal da viga. Esses esforços
não podem ser desprezados no cálculo das tensões.
E
A flexão pura é um caso específico de flexão em que se atua no elemento estrutural, ou em parte dele, apenas o momento
fletor, sendo todos os demais esforços nulos.
Questão 2
Para uma boa compreensão do dimensionamento de elementos estruturais, é necessária a identificação dos domínios de deformação de peças
de concreto armado. A seguir são apresentadas afirmações a respeito dos estádios.
1. Os estádios de deformação são estudados experimentalmente por meio de um carregamento inicial até a ruptura do elemento estrutural. 
2. O estádio I é o primeiro e corresponde ao início do carregamento. As tensões são pequenas, e o concreto resiste aos esforços de tração, não
ocorrendo fissuração do elemento. 
3. No estádio II, o elemento ainda se comporta segundo a lei de Hooke e se encontra fissurado. A profundida da linha neutra nesse estádio é
menor que no estádio I.
4. No estádio III, ocorre o momento fletor com valor próximo de colapso, ou seja, o concreto na zona comprimida está na iminência de ruptura e
encontra-se plastificado. O diagrama de tensões passa a ser da forma parabólico retangular.
São corretas:
A Apenas I e III.
B Apenas II e IV.
C Apenas I e II.
2 - Os domínios de deformação da estrutura
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os domínios de deformação e suas classi�cações.
Os domínios de deformação da estrutura
Domínios de deformação
Os domínios de deformação são situações em que pelo menos um dos materiais, aço ou concreto, atinge o seu estado limite último, ou seja,
corresponde à ruína de uma seção transversal por ruptura do concreto ou deformação excessiva da armadura (aço).
Para a melhor compreensão deste módulo, primeiramente serão apresentadas as situações de deformações últimas dos materiais, os diagramas de
tensões do concreto no estado limite último, para então serem abordados os domínios de deformação. Inicialmente, vamos conhecer as classes.
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20est%C3%A1dios%20s%C3%A3o%20est%C3%A1gios%20de%20deforma%C3%A7%C3%A3o%20verificados%20em%20estudo%20D Apenas II, III e IV.
E I, II, III e IV.

Concretos de classes até C50
; ocorre nas seções totalmente comprimidas.
; ocorre nas seções sob flexão.
Concretos de classes C50 até C90
ocorre nas seções totalmente comprimidas.
ocorre nas seções sob flexão.
Para o alongamento último da armadura, que é o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada, é dado por:
para prevenir deformação plástica excessiva.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão de cálculo na armadura é obtida a partir do diagrama de tensão deformação do aço e é dada pela divisão da resistência última do
aço pelo seu coeficiente de ponderação , obtendo-se a seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição das tensões dos concretos até a classe C50 é realizada de acordo com o diagrama parábola-retângulo para o qual é permitida (pela
ABNT NBR 6118:2004) a transformação para o diagrama tensão-deformação simplificado do concreto. A tensão máxima do concreto no diagrama
parábola-retângulo é: . Esse diagrama é formado por uma parábola do grau com vértice na fibra correspondente à deformação de
compressão de e um trecho reto entre as deformações e .
Como citado anteriormente, a norma permite a utilização do diagrama simplificado em substituição ao diagrama parábola-retângulo esquematizado
na imagem 11. Nesse caso, considera-se a profundidade da linha neutra igual , e as seguintes tensões são consideradas:
 para zonas comprimidas de largura constante ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas a partir da linha
neutra;
 para zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas a partir da linha neutra.
εc2 = 2, 0 ⋅ 10
−3 = 2, 0%∘
εcu = 3, 5 ⋅ 10
−3 = 3, 5%∘
εc2 = 2%0 + 0, 085% ⋅ (fck − 50)
0,53;
εcu = 2, 6%0 + 35% ⋅ [(90 − fck)/100]
4;
(εcu)
εcu = 10, 0 ⋅ 10
−3 = 10, 0%0
(fyd) x
(fyk) (γs)
fyd =
fyk
γs
0, 85 ⋅ fcd 2
∘
2% 2% 3, 5%
(y) a : 0, 8 ⋅ x;
0, 85 ⋅ fcd =
0,85⋅fck
γc
:
0, 80 ⋅ fcd =
0,80⋅fck
γc
:
Imagem 11 - Diagramas de tensões no concreto no estado limite último para concretos até a classe C50.
Na imagem 11, é a área de aço na zona comprimida; , a área de aço na zona tracionada; , a distância entre o centro de gravidade da
armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural; e , o alongamento do aço.
Já a distribuição das tensões para concretos das classes C50 a C90 se faz de acordo com um diagrama curvo e retangular com tensão de pico igual
a: . Esse diagrama, conforme a ABNT NBR 6118:2014, pode ser substituído por um retângulo com profundidade da linha neutra dada
pela seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta equação:
A tensão pode ser admitida constante até a profundidade da linha neutra, sendo igual a:
 quando a largura da seção, medida paralelamente em relação à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;
 Quando ocorre o contrário.
Em que:
Para concretos de classes até
C50.
Para classes C 50 até C90.
Entendidas as deformações e as tensões últimas, seguiremos para o próximo item com o objetivo de compreender os domínios de deformação dos
sistemas de concreto armado.
Domínios de deformação na seção transversal
Os domínios de deformação representam diversas possibilidades de ruína da seção do elemento estrutural. Podemos ter deformação excessiva da
armadura, esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas ou esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas.
A′s As d
′
εs
0, 85 ⋅ fcd (y)
y = λ ⋅ x
λ = 0, 8 :  para fck ≤ 50MPa
λ = 0, 8 − (fck − 50)/400 : para fck > 50MPa (fckemMPa)
αc ⋅ fcd :
0, 9 ⋅ αc ⋅ fcd :
αc = 0, 85
αc = 0, 85 ⋅ [1 −
fck−50
200 ]
Para um bom dimensionamento e desempenho da estrutura, é essencial que o engenheiro calculista identifique em
qual domínio o elemento estrutural está trabalhando.
Vejamos a representação gráfica dos domínios de deformação.
Imagem 12 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos até C50.
Tem-se seis domínios de deformação para os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo da seção transversal
retangular com armadura apenas na região de tração em elementos submetidos a esforços normais, conforme ilustra a Imagem 12 para
concretos de classe até C50.
Imagem 13 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos de todas as classes.
Já a imagem 13 apresenta os domínios de deformação para uma situação genérica com concretos de todas as classes.
Cada trecho do diagrama apresentado nas Imagens 12 e 13 será descrito e explicado nas seções seguintes.
Com objetivo esclarcer melhor esse tópico, as dimensões altura de seção transversal , distância do centro de gravidade da armadura
longitudinal tracionada até a fibra mais comprimida de concreto, também chamada de altura útil da seção , e a distância entre o centro de
gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural comprimido são apresentadas na imagem 14,
assim como a largura da seção transversal de vigas de seção retangular. Vale citar que é comum no pré-projeto utilizar .
Imagem 14 - Representação das dimensões em uma viga com seção retangular.
É preciso saber em qual domínio está situado o diagrama de deformações ( imagem 12 e imagem 13) do elemento a ser dimensionado com a
finalidade de determinar a resistência de cálculo de uma dada seção transversal. O engenheiro calculista deve buscar o dimensionamento das vigas
e lajes nos domínios 2 e 3 e, para o dimensionamento de pilares, os domínios 4, 4a e 5. Essa busca é importante para evitar rupturas. Vejamos:
(h)
(d)
(d′)
d = 0, 9.h
Imagem 12 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos até C50.
Imagem 13 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos de todas as classes.
Domínio 2
Em elementos estruturais, subarmados e dimensionados no domínio 2, a ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura, uma ruptura
convencional, sem haver o esmagamento do concreto. Nesta situação, consideramos a ruptura como dúctil.
Limite do domínio 3 e 4
Em peças normalmente armadas, a ruptura ocorre no limite do domínio 3 e 4, havendo o esmagamento do concreto e o escoamento da armadura.
Domínio 4
Já em elementos superarmados, dimensionados no domínio 4, o aço não escoa e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto. Nesse caso,
temos a ruptura frágil, que ocorre de forma brusca, ou seja, sem aviso prévio.
úctil
Tem aviso prévio identificado pela presença de intensa fissuração na peça.
Essas situações devem ser evitadas. Para isso, fazemos o emprego de armadura dupla.
Com o objetivo de explicar cada um desses domínios, nos itens seguintes eles serão abordados de forma individualizada. Vale ressaltar que, neste
conteúdo, serão considerados apenas concretos para classes até C50.
Domínio 1
O domínio 1 tem início com e , na reta "a", com a profundidade da linha neutra . Nessa situação, a seção
encontra-se sob tração uniforme. Para , a deformação no concreto devido à tração diminui, enquanto a deformação no aço permanece .
O término ocorre com e . A linha neutra se encontra no limite superior da seção transversal; com isso, temos .
Nesse domínio, a reta de deformação gira em torno do ponto A, a linha neutra fica fora da seção transversal e a seção resistente é composta pelo
aço, não havendo participação do concreto, pois ele se encontra totalmente fissurado devido às tensões de tração. Todas as situações descritas
acima são ilustradas de forma esquemática na imagem 15, sendo que o último desenho do esquema mostra o giro em torna do ponto A e a faixa do
domínio 1 (para uma melhor compreensão, vale ver novamente a Imagem 12. Não há ocorrência de compressão na seção transversal doelemento.
εs = 10% εc = 10%0 x = −∞
x < 0 10%
εs = 10% εc = 0 x1 = 0
Imagem 15 - Características do domínio 1.
Domínio 2
O domínio 2 tem início no término do domínio 1, ou seja, com e , e . O término ocorre com , ,
e , com a linha neutra cortando a seção transversal. Com isso, temos a parte superior comprimida e a parte inferior tracionada,
conforme representa a imagem 16. A reta também gira em torno do ponto A. A determinação de é realizada pela semelhança de triângulos:
O concreto não alcança a ruptura, pois: . Já o aço está no limite último caracterizado por , com grandes deformações. A
seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido, e apenas o aço atinge o seu limite máximo. colapso ocorre com aviso
prévio, grande de formação e intensa fissuração, acontecendo em peças com flexão simples ou composta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem 16 - Características do domínio 2.
Domínio 3
O domínio 3 tem início no término do domínio 2, ou seja, com e O término ocorre com 
(deformação específica de escoamento do aço), (deformação de ruptura do concreto) e , que varia com o tipo de aço
empregado e a linha neutra cortando a seção transversal. Com isso, temos tração e compressão na seção transversal. As características do
domínio 3 são ilustradas na Imagem 17. Nesse domínio, a reta gira em torno do ponto B. A semelhança de triângulos, realizada para determinar ,
é a seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido. Ocorre uma grande deformação no aço e ruptura do concreto, que se dá
εs = 10%0 εc = 0 x1 = 0 εs = 10% εc = −3, 5%
x2 = 0, 259. d
x2
εc < −3, 5% εs = 10%
O
0,0035
x2
=
0,01
d−x2
→ x2 = 0, 259 ⋅ d
εs = 10%0 εc = −3, 5%∘, e x2 = 0, 259. d. εs = εyd
εc = −3, 5% x = x3
x3
0,0035
x3
=
εyd
d−x3
→ x3 =
0,0035⋅d
εyd+0,0035
com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso se dá com aviso prévio. Até o domínio 3, as peças estruturais sãosub armadas. O ideal, com
peças normalmente armadas, ocorre em dimensionamentos no domínio 3 perto do domínio 4.
Imagem 17 - Características do domínio 3.
Domínio 4
O domínio 4 tem início no término do domínio 3, ou seja, com , e e . Já o término ocorre com ,
, e . Com a linha neutra cortando a seção transversal, temos uma seção resistente com aço tracionado e concreto
comprimido. As características do domínio 4 são ilustradas na imagem 18: nesse domínio, a reta gira em torno do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . A ruptura é frágil, pois o concreto rompe sem que a armadura atinja seu valor máximo. Com
isso, o colapso ocorre sem aviso prévio. Os elementos estruturais dimensionados nesse domínio são superarmados, sendo, portanto,
antieconômicos.
Imagem 18 - Características do domínio 4.
Domínio 4a
O domínio 4a tem início no término do domínio 4, ou seja, com , , e O término ocorre com 
(compressão), e . Com a linha neutra no limite inferior da seção transversal, temos uma seção resistente com aço e
concreto comprimidos. As características do domínio 4a estão ilustradas na imagem 19. Nesse domínio, a reta também gira em torno do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . As armaduras se encontram comprimidas. O colapso ocorre com ruptura frágil, sem aviso
prévio, ou seja, sem a ocorrência de fissuração. Os pilares normalmente são dimensionados nesse domínio.
Imagem 19 - Características do domínio 4a.
Domínio 5
O domínio 5 tem início no término do domínio 4a, ou seja, com , e . O término ocorre com: ,
 e , ou seja, na reta "b" com compressão uniforme. A reta gira em torno do ponto C e apenas o concreto alcança a
ruptura: (na flexocompressão). Dessa forma, a ruptura é frágil e o colapso ocorre sem aviso prévio, ou seja, sem fissuração. A linha
neutra não corta a seção transversal, sendo essa seção composta de aço e concreto comprimidos. As características desse domínio são ilustradas
na imagem 20. A semelhança de triângulos para determinar a distância do ponto C é:
εs = εyd εc = −3, 5%0 x = x3 εs = 0
εc = −3, 5% x = x4 = d
εc = −3, 5%
εs = 0 εc = −3, 5%0 x = x4 = d. εs < 0
εc = −3, 5% x = x4a = h
εc = −3, 5%
εs < 0 εc = −3, 5%0 x = x4a = h εs = −2%0
εc = −2%0 x = x5 = +∞
εc = −3, 5%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem 20 - Características do domínio 5.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
0,0035−0,0020
a
=
0,0020
h−a
→ a =
3
7
⋅ h
Questão 1
O engenheiro estrutural, ao fazer o cálculo do elemento de concreto armado dentro dos domínios de deformação, precisa considerar quais tipos
de deformações e tensões?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20classifica%C3%A7%C3%A3o%20do%20dom%C3%ADnio%20de%20deforma%C3%A7%C3%A3o%20para%20pe%C3%A7as%20de%2
A Específicas; de flexão.
B Últimas; últimas.
C Características; específicas.
D Características; características.
E Últimas; características.
Questão 2
3 - Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para o dimensionamento da armadura longitudinal.
Os domínios de deformação classificam as diversas possibilidades de colapso da seção do elemento estrutural, que podem ser por
deformação excessiva da armadura, por esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas ou por esmagamento dele em
seções totalmente comprimidas. A seguir é apresentada uma frase que caracteriza um desses domínios:
Nesse domínio, a linha neutra corta a seção transversal; logo, a seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido, e a reta
gira em torno do ponto B. Ocorre grande deformação no aço e ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o
colapso ocorre com aviso prévio.
Marque a opção que apresenta o domínio correspondente à frase descrita acima.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENo%20dom%C3%ADnio%203%2C%20h%C3%A1%20grande%20deforma%C3%A7%C3%A3o%20no%20a%C3%A7o%2C%20al%C3%A9m%
se%20uma%20fratura%20fr%C3%A1gil.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
A Domínio 1
B Domínio 2
C Domínio 3
D Domínio 4
E Domínio 5
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Cálculo da armadura longitudinal
O cálculo da armadura longitudinal é utilizado para a determinação da área de aço em elementos submetidos à flexão normal, como as vigas. No
dimensionamento da quantidade de armadura longitudinal para seções transversais retangulares, são conhecidos a resistência do concreto , a
largura da seção , a altura útil e o tipo de aço (sua tensão e sua deformação específica ). Ele é realizado a partir do equilíbrio de
forças e momentos na seção transversal.
A ABNT NBR 61118:2014, a fim de garantir a ductilidade do elemento estrutural (no caso de vigas e lajes), afirma que a posição da linha neutra no
ELU deve ser limitada aos valores:
 para concretos com 
 para concretos com 
Portanto, para o estudo do dimensionamento da armadura longitudinal, este módulo será subdividido em: equações para concretos de classes até
C50 e equações para concretos de classes entre C50 e C90, além de dimensionamentos específicos para o máximo momento resistente na seção, a
altura mínima de uma seção com armadura simples e o cálculo de armadura dupla.
Equacionamento para concretos de classe até C50
Em um elemento de seção retangular, os diagramas de deformações e tensões na seção solicitada para flexão simples para concretos até C50, sem
considerar a ductilidade , são apresentados na imagem a seguir. Nesse caso, depende da deformação específica de cálculo do
aço Para considerar o aumento de ductilidade proposto pela ABNT NBR 6118: 2014, basta substituir o por (deformação específicalimite), que corresponde ao valor de .
Imagem 21 - Elemento de seção retangular e diagramas na seção solicitada para flexão simples em concretos até C50 sem considerar a ductilidade.
As equações para o cálculo da armadura longitudinal são obtidas por meio do equilibrio de forças e momentos na seção transversal do elemento.
Com o objetivo de obter equaçốes padronizadas, vamos adotar como conhecidos os parâmetros: e Além disso, consideraremos o
momento de cálculo igual a:

(fck)
(b) (d) −fyd− −εyd
x
d
≤ 0, 45 → fck ≤ 50MPa;
x
d
≤ 0, 35 → 50MPa < fck < 90MPa
(
x
d
≤ 0, 45)
x
d
(εyd). εyd εlim
x
d
= 0, 45
fck, b, d, fyd εyd.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o momento atuante na seção devido aos esforços solicitantes. A seguir, será apresentado o passo a passo para o dimensionamento da
armadura longitudinal tracionada .
Equilíbrio da seção
O equilíbrio de esforços na seção transversal, forças e momentos, será realizado considerando o esquema apresentado na imagem a seguir.
Como não há força externa, o equilibrio de forças é realizado levando-se em consideração apenas as forças internas. Logo, o somatório de forças
considerará a resultante da força atuante no concreto e a resultante da força atuante no aço , como mostra esta equação:
Imagem 22 - Ações externas e internas na seção transversal para o cálculo de equilíbrio de esforços.
As resultantes das forças do concreto e do aço são obtidas graças à relação entre força, tensão e área . Vamos
considerar que a peça esteja trabalhando no domínio 2 ou 3 (caso de vigas); por isso, e Assim chegamos às seguintes
equaçốes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o equilíbrio de momentos no ponto (indicado na imagem 22), temos:
É importante conhecer a posição da linha neutra para poder identificar o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante de
força no concreto e o braço de alavanca dado pela equação:
Md = γc ⋅ M = 1, 4 ⋅ M
M
(As)
(Fc) (Fs)
∑F→+ = 0 : Fc − Fs = 0 → Fc = Fs
(Força = Tensão × Área)
εs = εyd fs = fyd.
Fs = fyd ⋅ As
Fc = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ Ac = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x
c
(∑Mc) = 0 : Md − Fc ⋅ z = 0 → Md = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ z
(x)
(z)
z = d −
0,8
2
⋅ x = d − 0, 4 ⋅ x
Substituindo a equação do braço de alavanca na equação do momento de cálculo, temos:
Imagem 22 - Ações externas e internas na seção transversal para o cálculo de equilíbrio de esforços.
Resolvendo a equação acima, obtém-se o valor de , que é fundamental para o dimensionamento da armadura longitudinal. Verifica-se que não
varia de forma linear com o , mas segue um polinômio de segundo grau, como mostra esta equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar a área de aço da armadura longitudinal, é feito o somatório de momento no ponto a (veja a imagem 22), como mostra a
seguinte equação:
Logo:
Após calcular a profundidade da linha neutra, é possível determinar qual o domínio a peça atingirá no seu estado limite último. Na flexão simples,
que está sendo considerada neste tópico, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. Sendo a melhor opção que a peça trabalhe no domínio 3, o 2 é
aceitável, enquanto o 4 tem de ser evitado devido à ruptura frágil, entre outros motivos.
Como as seções permanecem planas após a deformação, podemos relacionar a profundidade da linha neutra com a altura útil, utilizando, para tal, a
semelhança de triângulos ABC e ADE apresentada a seguir. A relação entre x e d é dada pela equação:
Md = 0, 85fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ (d − 0, 4x)
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd
x x
Md
x =
0, 68 ⋅ d ± √(0, 68 ⋅ d)2 − 4.0, 272 ⋅ ( Md
b⋅fcd
)
0, 544
(As)
(∑Mb) = 0 : Md − Fs ⋅ z = 0 → Md = fyd ⋅ As ⋅ z
As =
Md
fyd⋅z
x
εc
=
d
εc+εs
∴
x
d
=
εc
εc+εs
Imagem 23 - Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil.
No término do domínio 2 e em todo o domínio 3 , a deformação específica do concreto é dada por: Substituindo na
equação acima, temos a posição da linha neutra dada por esta equação:
Portanto, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra no domínio 3 dependerá apenas da deformação específica do aço. De acordo com a
ABNT NBR 6118:2014, não devemos usar valores do domínio 3 que sejam superiores a ; sendo assim, também não cabe o estudo
para o limite entre o domínio 3 e o 4.
Exemplo de aplicação da teoria
Para a resolução de exercícios, vale lembrar que o limite entre os domínios 2 e 3 é dado pelos valores e , com
, e que o limite de utilização do domínio 3 é .
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor solicitante de ,
determine a área de aço necessária.
Dados:
Aço CA .
Veja a solução em três etapas:
Equacionamento para concretos de qualquer classe
O equacionamento para o cálculo da armadura longitudinal é realizado da mesma forma que para concretos de classes até , porém aparecem
os termos e . As equaçőes a serem utilizadas para o dimensionamento são:
εc = 3, 5%0 = 0, 0035.
x
d
=
0,0035
0,0035+εs
x = 0, 45 ⋅ d
εs = 10%0 εc = −3, 5%0
x = 0, 259 ⋅ d; x = 0, 45 ⋅ d
b = 14 cm d = 36 cm (M) 20kN. m;
(As)
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa)
Determinar a profundidade da linha neutra x 
Verificar o domínio de trabalho da viga 
Cálculo de As 
C50
αc λ
Fc = Fs
Md = Fc∗z = Fs′z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo que e devem ser empregados em função da classe do concreto e das condiçốes de ductilidade. As equações para e foram
apresentadas no módulo 2.
Cálculo do máximo momento resistente na seção
Conhecidas a armadura longitudinal, a seção e as propriedades do material, o cálculo do momento máximo resistente na seção se torna uma
situação comum na prática. Para o cálculo, consideramos que a seção trabalhará entre o início do domínio 2 até o limite do domínio
3 e que o aço tracionado estará escoando, ou seja, e , assim como o concreto com classe até . Sabendo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o momento máximo resistido na seção, conhecida , é dado por:
Fc = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x
z = d −
1
2
⋅ λ ⋅ x
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x ⋅ (d − 0, 5 ⋅ λ ⋅ x)
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ (λ ⋅ x, d − 0, 5 ⋅ λ2 ⋅ x2)
x =
d ± √d2 − 2 ⋅ ( Md
b⋅αc⋅fcd
)
λ
As =
Md
fyd ⋅ z
x
d
=
εcu
εcu + εs
εcu,αc λ αc λ
x = 0, 45 ⋅ d
fs = fyd εs = εyd 50MPa
Fs = As′fyd;Md = Fs ⋅ z; z = d − 0, 4 ⋅ xex =
As ⋅ fyd
0, 68 ⋅ b ⋅ fcd
As
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale lembrar que a profundidade da linha neutra deve atender ao limite e que, caso isso não ocorra, deve-se aumentar a altura útil da
viga ou utilizar uma armadura de compressão (armadura dupla). Contudo, esse assunto não será abordado em nosso estudo.
Exemplo prático
Obtenha o momento máximo resistente que pode ser aplicado a uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura e altura
útil , para uma área de aço .
Dados:
Veja a solução em três etapas:
Cálculo do máximo momento resistente da seção com armadura simples
Quando a viga apresenta armadura longitudinal apenas na região tracionada, não sendo necessária uma armadura na região comprimida, dizemos
que se trata de uma viga com armadura simples. Para uma viga com essa armadura, determinada seção e submetida à ação de um momento fletor,
podemos determinar a menor altura útil necessária a partir destas equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, temos que:
Md = As′fyd⋅(d − 0, 4 ⋅ x)
x = 0, 45 ⋅ d.
b = 14 cm
d = 36 cm As = 1, 5 cm
2
fck = 25MPa;
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Calcular a profundidade da linha neutra e verificar o domínio de trabalho 
Calcular o momento resistente de cálculo 
Calcular o momento máximo resistido pela viga 
(dmin)Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd,
e
ξ =
x
d
=
εc
εc + εs
Impondo o limite de , a altura última mínima ocorre quando ; logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor solicitante de determinar
a altura útil mínima e a área de aço necessária.
Dados:
Veja a solução em duas etapas:
Cálculo de seções com armadura dupla
O engenheiro estrutural poderá encontrar situações em que, por imposição de projeto, seja ele arquitetônico ou até mesmo estrutural, será
necessário dimensionar uma viga para uma altura menor do que a mínima determinada por e exigida pelo momento fletor atuante de cálculo
.
Para essas situações, será necessário determinar o momento de cálculo máximo suportado pela seção transversal da viga utilizando a armadura
simples Esse momento será limitado pela profundidade limite da linha neutra (domínio 3). A diferença entre o
momento de cálculo aplicado à estrutura e o momento limite, é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já será resistida por uma armadura longitudinal posicionada na região de compressão da seccão transversal , a qual, para essa
situação, chamamos de armadura dupla. Em busca do equilíbrio de forças no elemento estrutural, a área de armadura longitudinal comprimida
deverá ser somada à armadura longitudinal tracionada. Dessa forma, será dado por:
Md = (0, 68 ⋅ ξ ⋅ d2 − 0, 272 ⋅ ξ2 ⋅ d2) ⋅ b ⋅ fcd
ξ = x/d ≤ 0, 45 ξ = 0, 45
dmin = 2, 0 ⋅ √
Md
b ⋅ fcd
b = 14cm (M) 20 kN ⋅ m;
(dmin) (As)
fck = 25MPa
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Determinar dmin 
Calcular a armadura necessária para dmin = 21, 17 cm 
dmin
(Md)
(Md,lim). xlim = 0, 45 ⋅ d
ΔM,
ΔM = Md − Md,lim
ΔM (A′s)
As
As = As,lim + A′s
Em que corresponde à armadura longitudinal tracionada que resiste ao momento fletor .
Imagem 24 - Seção transversal e esquema de cálculo para seção transversal com armadura dupla.
A imagem 24 apresenta uma seção transversal com armadura dupla para um momento fletor positivo e o esquema de cálculo utilizado para obter
as equações do dimensionamento de vigas em que se faz necessária a armadura dupla. O dimensionamento é separado em duas partes.
Primeiramente, calcula-se o momento fletor limite para a armadura simples e a área de aço para essa armadura Em seguida, calcula-se a
armadura necessária para resistir ao momento .
Nesse caso, não se considera a resistência do concreto, pois ela já foi considerada no primeiro cálculo. Resolvendo de forma análoga ao
procedimento para determinar a armadura longitudinal simples (equacionamento para concretos de classe até C50), chega-se às seguintes
equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta equação:
É a distância do centro da armadura comprimida à borda comprimida da seção transversal.
É a tensão de compressão na armadura longitudinal.
Para peças trabalhando até o limite no domínio 3 estabelecido pela ABNT NBR 6118:2014.
Portanto:
As,lim Md,lim
(As,lim).
ΔM
Md,lim = 0, 25092 ⋅ b ⋅ d
2 ⋅ fcd
As,lim = 0, 306 ⋅ b ⋅ d ⋅
fcd
fyd
A′s =
Md − Md,lim
σ′
sd
(d − d′)
d′
σ′
sd
σ′
sd
= fyd
As = As,lim +
Md−Md,lim
fyd(d−d′)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O engenheiro estrutural da obra de uma casa unifamiliar, ao verificar seu projeto, ficou em dúvida sobre a área de aço adotada em
determinada viga. Ele retirou do projeto da viga as seguintes informações:
Concreto: 
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
Momento fletor atuante de cálculo: 
Em seguida, ele refez o cálculo. Marque a opção que apresenta o valor que mais se aproxima da encontrada pelo engenheiro ao recalcular a
viga.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text--medium%20u-
centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B0%2C68%5Ccdot0%2C27%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B(0%2C68%5
4%5Ccdot0%2C272%20%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7B1%2C4%5Ccdot12%7D%7B0%2C12%5Ccdot20000%20%2F%201%2C4%7D%5Cright)%7D%7D%7
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B0%2C1836%20%5Cpm%200%2C1518%7D%7B0%2C544%7D%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20limite%20do%20valor%20dex%20%C3%A9%20dado%20por%3A%20%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24x%20%3D0%2C45%5Ccdot0%2C27%3D12%2C15%20%5Cmathrm%7B~cm%7D.%24%24%24%3C%2Fspan
paragraph%20u-text--
medium'%3ELogo%2C%20ser%C3%A1%20adotado%20%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%20x%3D%5C%3B%7B%5Cmathrm%20x%7D_2%3D5%2C8%5C%3B%5Cmathrm%7Bcm%7D.%
(As)
fck = 20MPa
b = 12 cm
d = 27 cm
M = 12kN ⋅ m
As
A 0,57cm²
B 1,57cm²
C 2,57cm²
D 3,57cm²
E 4,57cm²
paragraph%20u-text--
medium'%3EComo%20a%20viga%20est%C3%A1%20trabalhando%20no%20dom%C3%ADnio%202%20ou%203%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24A_%7Bs%7D%3D%5Cfrac%7BM_%7Bd%7D%7D%7Bf_%7By%20d%7D%20%5Ccdot%20z%7D%3D%5Cfrac%
0%2C4%5Ccdot0%2C058)%7D%3D1%2C57%20%5Cmathrm%7B~cm%7D%5E%7B2%7D%24%24%24%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 2
Dois anos após a conclusão da obra de uma residência, os proprietários chamaram o engenheiro calculista para saber se poderiam acrescentar
um carregamento em uma viga na garagem. O engenheiro, de posse dos projetos, obteve as seguintes informações:
Concreto: 
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Área de aço da armadura longitudinal: 
Armadura simples
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
A partir dessas informações, ele calculou o momento máximo que poderia ser aplicado na viga em questão. Indique a opção que apresenta o
valor mais próximo do obtido pelo engenheiro.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text--medium%20u-
centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24x%3D%5Cfrac%7BA_%7Bs%7D%20%5Ccdot%20f_%7By%20d%7D%7D%7B0%2C68%20%5Ccdot%20b%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3EO%20limite%20do%20valor%20de%20%24%24%24%5Cmathrm%7Bx%7D%24%24%24%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7Bx%7D%3D0%2C45%5Ccdot36%3D16%2C20%20%5Cmathrm%7B~cm%7D.%24%24%24%3
paragraph%20u-text--
medium'%3ELogo%2C%20a%20viga%20est%C3%A1%20trabalhando%20no%20dom%C3%ADnio%202%20ou%203.%3C%2Fp%3E%20%0A%0A%20%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3ESendo%20assim%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7BM%7D_%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%3D%5Cmathrm%7BA%7D_%7B%5Cmathrm%7Bs
0%2C4%20%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Bx%7D)%3D3%2C0%20%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7B50%7D%7B1%2C15%7D%5Cright)%20%5Ccdot(0%2C36-
0%2C4%5Ccdot0%2C0767)%3D42%2C95%20%5Cmathrm%7BkN%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Bm%7D%24%24%24%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp
paragraph%20u-text--
medium'%3EJ%C3%A1%20o%20momento%20m%C3%A1ximo%20que%20pode%20ser%20aplicado%20%C3%A0%20viga%20%C3%A9%3A%3C%2Fp%3
fck = 25MPa
3, 0 cm2
b = 14 cm
d = 36 cm
A 16,4kN.m
B 22,3kN.m
C 30,7kN.m
D 42,9kN.m
E 54,6kN.m
4 - Análise de uso de tabelas adimensionais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de interpretar as tabelas adimensionais para o dimensionamento do elemento estrutural.
Como buscaros valores para o dimensionamento nas tabelas adimensionais
Uso de tabelas adimensionais
As tabelas adimensionais são utilizadas como facilitadoras para o dimensionamento de estruturas de concreto armado. Elas permitem o emprego
de diversos sistemas de unidades e a utilização de quadros e gráficos. Como consequência, essas tabelas simplificam os cálculos de
dimensionamento dos elementos.
As equações que utilizam tabelas adimensionais para concretos de classe até C50 serão apresentadas a seguir.
Equações de dimensionamento utilizando as tabelas adimensionais
Neste item, serão apresentadas as equações de dimensionamento nos casos em que são utilizadas as tabelas adimensionais para o cálculo de
elementos estruturais.
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7BM%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7BM%7D_%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7D%7B%

Equação para obter o Md 
As tabelas adimensionais
Como só admite valores de 0 a 1, constitui-se uma tabela variando o valor de dentro dessa intervalo. Cada valor arbitrário de 
corresponde a um valor de e outro de , ambos calculados pelas equações apresentadas no item anterior. Conhecendo , é possível
determinar e, como par das deformações, identificar o domínio no qual a peça está trabalhando.
A tabela 1 é uma tabela adimensional com valores de , além da indicação do domínio de deformação para aço CA 50 e
concretos de classe até C50 (apenas para os domínios de deformação 2 e 3).
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025
0,07 0,015 0,022 0,030 0,037
0,997 0,994 0,991 0,988 0,985
0,07 0,15 0,23 0,31 0,39
10,00 10,00 10,00 10,00 10,00
Domínio 2 2 2 2 2
Tabela 1 - Tabela adimensional para o dimensionamento de armadura longitudinal para aço CA 50 e concreto até C50. 
Elaborado por Larissa Camporez Araújo.
Exemplos de aplicação
Agora veremos alguns exemplos de dimensionamento utilizando a tabela unidimensional.
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e altura útil sob a ação de um momento fletor solicitante de 
, determine a área de aço longitudinal necessária. Utilize a tabela adimensional.
Dados:
Aço CA 
Veja a solução em três etapas:
Equação para obter z 
Equação para o cálculo de As 
Equação para determinar x 
KX KX KX
KMD KZ εc
oεs
KMD,KX,KZ, εc, εs
KMD
KX
KZ
ε
c
εs
b = 14 cm d = 36 cm (M)
20kN ⋅ m (As)
fck = 25MPa;
50 (fyk = 500MPa)
Calcular KMD 
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor solicitante de determine a área
de aço longitudinal necessária considerando Utilize a tabela adimensional.
Dados:
Aço CA 
Solução:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Determinar a área de aço As 
b = 14cm (M) 20kN ⋅ m
(As) dmin.
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa).
Determinar dmin 
Calcular KMD 
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
Determinar a área de aço As 
Questão 1
Um jovem, com o intuito de ampliar sua residência, contratou um engenheiro estrutural para elaborar o projeto de expansão. O engenheiro
concluiu que, nessa expansão, será necessária uma viga para suportar um momento atuante de cuja seção transversal tem 
 e altura útil Para o dimensionamento, ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais e optou por usar
concreto de e aço . Sendo assim, ele obteve a área de aço de armadura longitudinal, , igual a:
30kN ⋅ m
largura = 14 cm d = 36 cm.
fck = 30MPa CA50 As
A 0,88cm²
B 1,22cm²
C 1,88cm²
D 2,22cm²
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text--
medium'%3EC%C3%A1lculo%20de%20KMD%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20u-centered%20mb-5'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7BKMD%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7BM%7D_%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7D%7
paragraph%20u-text--
medium'%3EInterpolando%20a%20tabela%201%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%2
paragraph%20u-text--
medium'%3E%24%24%24%5Cmathrm%7BKX%7D%3D0%2C170%2C%24%24%24%20%24%24%24%5Cmathrm%7BKZ%7D%3D0%2C932%2C%24%24%2
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20viga%20est%C3%A1%20trabalhando%20no%20dom%C3%ADnio%202.%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
items-center%20justify-content-center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22pt-4%20d-flex%20justify-
content-
around%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctable%20class%3D%22c-
table%20c-table--
border%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cthead%2
table__thead%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__trow%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24KMD%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3E%24%24KX%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24KZ%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24%24%5Cvarepsilon_%7Bc%7D%24%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3E%24%24%24%5Cvarepsilon_%7Bs%7D%24%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3EDom%C3%ADnio%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__tbody%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__trow%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C105%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C165%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C934%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E1%2C98%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
table__tdata%22%3E10%2C00%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E2%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__trow%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C110%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C174%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C930%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E2%2C10%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
table__tdata%22%3E10%2C00%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E2%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
legenda%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-
paragraph%20u-
text%22%3ETabela%3A%20Larissa%20Camporez%20Ara%C3%BAjo%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20%C3%A1rea%20de%20a%C3%A7o%20%24%24%5Cmathrm%7BA%7D_%7B%5Cmathrm%7Bs%7D%7D%3A%24%24%3C%2Fp%3E%0A
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7BA%7D_%7B%5Cmathrm%7Bs%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7BM%7D_%7B%5Cmparagraph%20u-text--medium%20u-
centered'%3E%24%24A_%7Bs%7D%3D2%2C88%20%5Cmathrm%7B~cm%7D%5E%7B2%7D%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%2
E 2,88cm²
Questão 2
Durante a fase de armação dos elementos estruturais de uma obra, o cliente decidiu paralisá-la para solicitar o aumento de esforços em
determinada região do projeto. O engenheiro calculista, responsável pelo projeto da obra, concluiu que o aumento dos esforços resultaria em
um momento atuante de em uma viga. A fim de obter a menor altura para essa viga, o engenheiro fez o cálculo da armadura
longitudinal utilizando a altura útil mínima e mantendo a largura da viga Sabendo que a resistência característica de
projeto do concreto para essa obra é e que o aço utilizado é o CA 50, a obtida nos cálculos do engenheiro, sabendo que
ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais, foi de:
35kN ⋅ m
(As) (dmin) b = 16 cm.
fck = 25MPa As
A 2,26cm²
B 3,52cm²
Considerações �nais
Como vimos neste conteúdo, o dimensionamento da área de aço necessária para armaduras longitudinais submetidas à flexão faz parte do
cotidiano do engenheiro estrutural. Saber não apenas dimensionar a partir de um projeto novo, mas também proporcionar soluções para projetos já
realizados ou em andamento, faz parte do escopo do engenheiro calculista.
Estabelecemos também a compreensão dos tipos de flexão e a identificação do estádio e de como ocorre o colapso de elementos submetidos à
momento fletor são indispensáveis para a elaboração do dimensionamento de um projeto estrutural que atenda aos requisitos de norma.
Conhecemos ainda as formas de classificar o domínio de trabalho ao qual a peça está submetida e o comportamento dela nesse domínio, como,
por exemplo, se o elemento está sendo dimensionado para um colapso dúctil com aviso prévio, ocorrência de fissuras e deformação excessiva do
aço, ou para uma ruptura frágil, sem aviso prévio e colapso do concreto, o que também é extremamente relevante para a correta elaboração do
dimensionamento à flexão.
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-text--medium%20u-
centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24%5Cmathrm%7Bd%7D_%7B%5Cmin%20%7D%3D2%2C0%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cma
paragraph%20u-text--
medium'%3EC%C3%A1lculo%20de%20KMD%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20u-centered%20mb-5'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24K%20M%20D%3D%5Cfrac%7BM_%7Bd%7D%7D%7Bb%20%5Ccdot%20d%5E%7B2%7D%20%5Ccdot%20f_
paragraph%20u-text--
medium'%3EUtilizando%20a%20tabela%201%2C%20temos%3A%20%24%24%24KX%3D0%2C448%2C%24%24%24%20%24%24%24KZ%3D0%2C821%2
items-center%20justify-content-center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22pt-4%20d-flex%20justify-
content-
around%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctable%20class%3D%22c-
table%20c-table--
border%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cthead%2
table__thead%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__trow%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24KMD%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3E%24%24KX%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24KZ%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__theader%22%3E%24%24%24%5Cvarepsilon_%7Bc%7D%24%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3E%24%24%24%5Cvarepsilon_%7Bs%7D%24%24%24%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__theader%22%3EDom%C3%ADnio%3C%2Fth%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__tbody%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table__trow%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C250%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C448%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E0%2C821%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table__tdata%22%3E3%2C50%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
table__tdata%22%3E4%2C32%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
table__tdata%22%3E3%3C%2Ftd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20u-text--
medium'%3EA%20%C3%A1rea%20de%20a%C3%A7o%20%24%24%24A_%7Bs%7D%24%24%24%20%C3%A9%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%2
paragraph%20u-text--medium%20u-centered'%3E%3Cspan%20class%3D%22c-
table%20formula_scroll%22%3E%24%24%24A_%7Bs%7D%3D%5Cfrac%7BM_%7Bd%7D%7D%7BK%20Z%20%5Ccdot%20d%20%5Ccdot%20f_%7Bs%7D
paragraph%20u-text--medium%20u-
centered'%3E%24%24A_%7Bs%7D%3D5%2C74%20%5Cmathrm%7B~cm%7D%5E%7B2%7D%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%2
C 4,68cm²
D 5,74cm²
E 6,23cm²
O principal objetivo do estudo do dimensionamento das estruturas de concreto armado submetidas à flexão é proporcionar ao engenheiro civil
conhecimentos básicos de uso rotineiro para apresentar soluções estruturais às peças submetidas a um esforço de momento fletor.
Podcast
Agora a especialista Larissa Camporez Araújo fará um resumo do conteúdo abordado.

Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118: projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro: ABNT,
2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8953: Concreto para fins estruturais. Rio de Janeiro: ABNT, 2015.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR ISO 6892-2: materiais metálicos – ensaio de tração. Rio de Janeiro: ABNT, 2013.
CARVALHO, R. C., FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos:
EdUFSCar, 2014. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
PARIZOTTO, L. Concreto armado [recurso eletrônico]. Porto Alegre: SAGAH, 2017.
Explore +
Pesquise o artigo Novo modelo de projeto de vigas de concreto armado na flexão considerando o fator de ductilidade e veja como os autores Caio
G. Nogueira e Isabela D. Rodrigues apresentam um novo roteiro de dimensionamento de peças submetidas à flexão simples considerando o fator de
ductilidade, que quantifica a capacidade da estrutura de suportar deslocamentos antes de se romper. 
Pesquise a dissertação de mestrado Instabilidade e dimensionamento de pilares de concreto armado de seção poligonal submetidos à flexão
composta oblíqua e veja como o autor Lucas Peres de Souza aborda a flexão composta obliqua em pilares.