Transformação Sistema para Volume de Controle

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Aula 12
Transformação Sistema 
para Volume de Controle
Conservação de MassaConservação de Massa
Transformação Sistema para Volume de 
Controle
VdAnˆdA de através fluxo ⋅ηρ=
Superfície de controle s.c.
O sistema e o volume de controle fixo 
∫ ⋅ηρ=
c.s
Vdanˆepropriedad da líquido fluxo
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN sissist
0t
sis
∆
−∆+
=
→∆
)t(N)t(N)tt(N)tt(NlimDN 1223sis −−∆++∆+=
t
lim
Dt
1223
0t
sis
∆
=
→∆
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 13
0t
1212
0t ∆
∆+−∆+
+
∆
−−∆++∆+
=
→∆→∆
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN 13
0t
C.VC.v
0t
sis
∆
∆+−∆+
+
∆
−∆+
=
→∆→∆
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN 13
0t
C.VC.v
0t
sis
∆
∆+−∆+
+
∆
−∆+
=
→∆→∆
t
)tt(N)tt(Nlim
dt
dN
Dt
DN 13
0t
c.vsis
∆
∆+−∆+
+=
→∆
∫ ∆⋅ηρ=∆+
3A
33 tdAVnˆ)tt(N ∫ ∆⋅ηρ−=∆+
1A
11 tdAVnˆ)tt(N
∫ ∆⋅ηρ=∆+−∆+
c.s
13 tdAVnˆ)tt(N)tt(N
t
)tt(N)tt(Nlim
dt
dN
Dt
DN 13
0t
c.vsis
∆
∆+−∆+
+=
→∆
∫ ⋅ηρ+= c.vsis VdAnˆ
dNDN
∫ ⋅ηρ+=
c.s
c.vsis VdAnˆ
dt
dN
Dt
DN
∫∫ ⋅ηρ+ηρ=
c.sc.v
sis VdAnˆVd
dt
d
Dt
DN
Teorema de Transporte de Reynolds => Transformação 
sistema para volume de controle.
∫∫ ⋅ηρ+ηρ=
c.sc.v
sis VdAnˆVd
dt
d
Dt
DN
Taxa de variação da 
propriedade 
Fluxo da propriedade 
extensiva através da propriedade 
extensiva no V.C
extensiva através da 
superfície de controle 
≠ 0 somente aonde o 
fluido atravessa a 
superfície de controle
( ) ∫∫ ⋅ηρ+ρη∂
∂
=
c.sc.v
sis VdAnˆVd
tDt
DN
Sistema permanente
0)( =ηρ∂ ∫ ⋅ηρ=sis VdAnˆ
DN
Simplificação da Transformação Sistema =>V.C
0)(
t
=ηρ
∂ ∫ ⋅ηρ=
c.s
VdAnˆ
Dt
11 VVnˆ −= 22 VVnˆ =
∫∫ ρη−ρη=
12 A
111
A
222
sis dAVdAV
Dt
DN
11112222
sis AVAV
Dt
DN ρη−ρη=
Conservação de Massa
0Vd
Dt
D
Dt
Dm
sis
sis
=ρ= ∫
∫ηρ=
sis
sis VdN Representa a massa do sistema
dDN 1=η∫∫ ⋅ηρ+ηρ=
c.sc.v
sis VdAnˆVd
dt
d
Dt
DN
∫∫ ⋅ρ+ρ=
c.sc.v
VdAnˆVd
dt
d0 ∫∫ ⋅ρ+∂
ρ∂
=
c.sc.v
VdAnˆVd
t
0
Conservação de Massa
0VdAnˆ
c.s
=⋅ρ∫
Se o escoamento é permanente, resulta que:
escoamento uniforme com entrada e saída:
∫∫ ⋅ρ+∂
ρ∂
=
c.sc.v
VdAnˆVd
t
0
111222 VAVA ρ=ρ
2211 VAVA =Se tetancons=ρ
Suponha os perfis na entrada e na 
saída não uniformes e a massa 
específica uniforme
dAVdAV
2A
22
A
11
1
∫∫ ρ=ρ
222111 AVAV ρ=ρ
Onde são as velocidades médias21 V e V
dAVm
A
n∫ρ=& VAm ρ=&
Considerando 
velocidade média
dAVQ
A
n∫= VAQ =
Problemas
4.10- Suponha que V1 = V2 = V3 = 10m/s no volume de 
controle. Escreva em termos de 
e calcule a componente normal do vetor velocidade em cada 
uma das três áreas planas. O volume tem profundidade 
uniforme nas direção z. 
321 nˆ ,nˆ ,nˆ kˆ ,jˆ ,iˆ
m/s
m/s
4.22- A água escoa em uma tubulação de 5 cm de diâmetro,
com uma velocidade média de 10m/s. Ela vira em um ângulo
de 900 e escoa radialmente entre duas placas paralelas. Qual
a velocidade em um raio de 60cm? Qual a vazão em massa e
a descarga?
60cm
4.46- A montagem experimental mostrada é usada para
fornecer líquido para o tecido. Obtenha uma expressão para a
taxa de acúmulo do líquido no tecido em termos das
informações relevantes.
Desenhe um volume de controle ao redor de todo o 
sistema então
1122
tecido AVAVdm0 ρ−ρ+=
22
tecido
11 AVdt
dmAV ρ+=ρ
1122 AVAVdt
0 ρ−ρ+=
1
2
12
22
2 )tan(
4
0 hhhddmtecido &&& φρpiρpi −





−
+=