Formulacao Integral

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Introdução à Mecânica dos 
Fluidos
Capítulo 4
Equações básicas na 
forma integral para um 
volume de controle
Tópicos principais
Leis básicas para um sistema
Relação entre formulação para sistema e 
para volume de controle
Conservação da massa
Conservação da quantidade de movimento 
para volume de controle inercial
Leis básicas para um sistema
Conservação da massa
Leis básicas para um sistema
Conservação da quantidade de movimento
linear para um volume de controle inercial
A soma de todas as forças externas agindo no sistema é igual a
taxa de variação da quantidade de movimento do sistema.
Leis básicas para um sistema
O princípio da quantidade de movimento
angular
1a Lei da Termodinâmica
2a Lei da Termodinâmica
Relação da formulação para 
sistema e a formulação de 
volume de controle
Propriedades extensivas e intensivas
Conservação da massa
Conservação da QML
Teorema de transporte de Reynolds
Relação da formulação para 
sistema e a formulação de 
volume de controle
Interpretando o produto escalar
Relação da formulação para 
sistema e a formulação de 
volume de controle
Conservação da massa
A massa de um sistema se matém constante.
Aplicando o teorema de transporte de Reynolds.
Conservação da Massa
Taxa de aumento
da massa no CV
Entrada líquida 
de massa no CV=
Conservação da Massa
Fluidos incompressíveis
Escoamento Permanente e 
compressível
Exemplo 1 (Fox et al., 2014)
A1 = 0,2 m2
A2 = 0,2 m2
A3 = 0,15 m2
V1 = 5 m/s
V3 = 12 m/s
ρ = 999 kg/m3
Q4 = 0,1 m3/s
Baseado no esquema do escoamento na derivação, mostrado
na figura. Determine a velocidade V2.
Exemplo 2 (Fox et al., 2014)
Um tanque com volume de 0,05 m3 contém ar a 800 kPa
(absoluta) e 15ºC. Em t=0, o ar começa a escapar do tanque
por meio de uma válvula com área de escoamento de 65
mm2. O ar passando pela válvula tem velocidade de 300 m/s
e massa específica de 6 kg/m3. Determine a taxa instantânea
de variação da massa específica do ar no tanque em t=0.
Exemplo 3 (Fox et al., 2014)
Exercício 1 (Fox et al., 2014)
Resp. 1,5m/s
Um fluido com massa específica de 1.040 kg/m3, flui em
regime permanente através de uma caixa retangular,
mostrada na figura. Determine a velocidade V3.
A1 = 0,046 m2
A2 = 0,009 m2
A3 = 0,056 m2
V1 = 3i m/s
V2 = 6j m/s
(Resp. 3,8 m/s)
Exercício 2 (Fox et al., 2014)
Uma curva redutora bidimensional tem um perfil de
velocidade linear na seção 1. O escoamento é uniforme nas
seções 2 e 3. O fluido é incompressível e o escoamento é
permanente. Determine o módulo e o sentido da velocidade
uniforme na seção 1.
Exercício 3 (Fox et al., 2014)
Um acumulador hidráulico é projetado para reduzir as
pulsações de pressão do sistema hidráulico de uma máquina
operatriz. Para o instante mostrado, determine a taxa à qual o
acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.
Conservação da quantidade
de movimento linear (QML) 
para volume de controle
inercial
Lei básica e teorema de transporte
de Reynolds
Conservação da QML para 
volume de controle inercial
Em muitas aplicações a força de superfície é devido à pressão, e a força de 
corpo à gravidade.
Exemplo 4 (Fox et al., 2014)
Água, escoando em regime permanente, sai a 15 m/s de um
bocal estacionário, e atinge uma placa plana, como mostra a
figura. A área da seção transversal na saída do bocal é de
0,01 m2. Considerando que a água é dirigida normalmente à
placa e depois escoa totalmente ao longo da placa, determine
a força horizontal necessária para manter a placa parada.
Exemplo 5 (Fox et al., 2014)
Um recipiente de metal, com 0,61 m de altura e de seção reta
interna de 0,09 m2, pesa 22,2 N quando vazio. O recipiente é
colocado sobre uma balança e a água escoa para o interior do
recipiente por uma abertura no topo, e escoa para fora por
meio de duas aberturas iguais nas laterais do recipiente,
conforme mostra a figura. Sob condições de escoamento em
regime permanente, a altura de água no tanque é de h=0,58
m. Pergunta-se: o peso medido pela balança será do
recipiente e da água?
A1 = 0,009 m2
V1= 3 m/s
A2=A3=0,009 m2
Exemplo 6 (Fox et al., 2014)
Água escoa em regime permanente através do cotovelo
redutor de 90º mostrando na figura. Na entrada do cotovelo a
pressão absoluta é de 220 kPa e a área da seção transversal
de 0,01 m2. Na saída, a área de seção transversal é de 0,0025
m2 e a velocidade média é de 16 m/s. O cotovelo descarrega
para a atmosfera. Determine a força necessária para manter o
cotovelo estático.
Exemplo 7 (Fox et al., 2014)
A água de um canal aberto escoa sob uma comporta.
Compare a força horizontal da água sobre a comporta em
dois momentos: a) com a coporta fechada; b) quando está
aberta e o escoamento em regime permanente. Considere
escoamento incopressível e uniforme nas seções, e que as
distribuições de pressão são hidrostáticas.
Exemplo 8 (Fox et al., 2014)
Uma correia transportadora horizontal, movendo-se a 0,9
m/s, recebe areia de um carregador. A areia cai verticalmente
sobre a correia com velocidade de 1,5 m/s e vazão mássica
de 225 kg/s. A massa específica da areia é de 1580 kg/m3. A
correia transportadora inicialmente está vazia e vai enchendo
de areia de forma gradual. Se o atrito no sistema de
acionamento e roletes for desprezível, determine a força de
tração necessária para puxa a correia enquanto é carregada.
Na figura a seguir uma balança com um peso são
suportados por um jato de água em regime permanente.
Qual é a velocidade do jato para manter o sistema em
equilíbrio? O peso da balança mais a massa é de 700 N.
Exercício 4
O motor a jato da figura admite ar a 20ºC e 1 atm pela
seção 1, onde A1=0,5m2 e V1=250 m/s. A razão ar-
combustível é de 1:30. O ar deixa a seção 2 a 1 atm,
V2=900 m/s e A2=0,4 m2. Calcule o esforço no suporte
necessário para deixar a turbina parada.
Exercício 5
Exercício 6
Para a tubulação apresentada, onde D1=8 cm,
D2=5 cm e p2= 1 atm. Todos os fluidos estão a
20ºC. Se V1=5 m/s e o manômetro lê 58 cm,
estime a força horizontal total nos parafusos.
Exercício 7
Água a 20ºC passa por um bocal dividido, entrando em 1 e
saindo em 2 e 3 para a atmosfera. As áreas são A1=0.02
m2, A2=A3=0.008m2. Se p1=135kPa (absoluta) e a taxa de
escoamento é Q2=Q3=275 m3/h, calcule a força nos
parafusos do flange em 1.
Referências Bibliográficas
Slides adaptados na apresentação disponibilizada pela
editora LTC, baseado no livro “Introdução à mecânica
dos fluidos”, dos autores Fox, McDonald e Pritchard.
Fox, R.W.; McDonald, A.T.; Pritchard, P.J. Introdução à
mecânica dos fluidos. Ed. LTC, 2014.
White, F. Mecânica dos Fluidos. Ed.McGraw Hill. 7e Ed.
USA: Ed. John Wiley & Sons, 2013.
Munson, B.R.; Okiishi, T.H.; Huebsch, W.W. and
Rothmayer, A.P. Fluid Mecnics