Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

A´lgebra Linear
Aula 01
Francisco Mu¨ller
12 de marc¸o de 2015
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 1 / 50
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares (1.1)
3 Eliminac¸a˜o de Linhas e Formas Escalonadas (1.2)
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 2 / 50
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares (1.1)
3 Eliminac¸a˜o de Linhas e Formas Escalonadas (1.2)
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 3 / 50
Informac¸o˜es sobre o curso
Professor: Francisco Mu¨ller
email: fmuller@ufpa.br, fcfmuller@gmail.com
Livro-texto: Lay, David C. A´lgebra linear e suas aplicac¸o˜es. 2.ed.
Rio de Janeiro : LTC, 2012.
Avaliac¸a˜o: 3 provas. Projetos podem constituir parte da avaliac¸a˜o e
sera˜o definidos ao longo do curso.
Cronograma sera´ mostrado na pro´xima aula.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 4 / 50
Ementa:
Vetores, Operac¸o˜es com Vetores; Sistemas de Equac¸o˜es Lineares; Regra de
Cramer; Matrizes; Transformac¸o˜es Lineares; Autovalores e Autovetores;
Espac¸os Vetoriais. Aplicac¸o˜es de A´lgebra Linear.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 5 / 50
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares (1.1)
3 Eliminac¸a˜o de Linhas e Formas Escalonadas (1.2)
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 6 / 50
Definic¸a˜o de equac¸a˜o linear
Uma equac¸a˜o linear:
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
EXEMPLO:
4x1 − 5x2 + 2 = x1 e x2 = 2(
√
6− x1) + x3
↓ ↓
arrumando arrumando
↓ ↓
3x1 − 5x2 = −2 2x1 + x2 − x3 = 2
√
6
Na˜o linear:
4x1 − 6x2 = x1x2 e x2 = 2√x1 − 7
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 7 / 50
A soluc¸a˜o de um sistema linear
Uma lista (s1, s2, ..., sn) de nu´meros que tornam cada equac¸a˜o do sistema
verdadeira quando os valores s1, s2, ..., sn sa˜o substitu´ıdos por x1, x2, ..., xn,
respectivamente.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 8 / 50
Duas equac¸o˜es em duas varia´veis (Uma soluc¸a˜o)
x1 + x2 = 10
−x1 + x2 = 0
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 9 / 50
Duas equac¸o˜es em duas varia´veis (nenhuma soluc¸a˜o)
x1 − 2x2 = −3
2x1 − 4x2 = 8
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 10 / 50
Duas equac¸o˜es em duas varia´veis (infinitas soluc¸o˜es)
x1 + x2 = 3
−2x1 − 2x2 = −6
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 11 / 50
Treˆs equac¸o˜es em treˆs varia´veis. Cada equac¸a˜o define um
plano no espac¸o tridimensional.
Os planos se interceptam em um ponto (uma soluc¸a˜o).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 12 / 50
Treˆs equac¸o˜es em treˆs varia´veis. Cada equac¸a˜o define um
plano no espac¸o tridimensional.
Os planos se interceptam em uma linha (infinitas soluc¸o˜es).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 13 / 50
Treˆs equac¸o˜es em treˆs varia´veis. Cada equac¸a˜o define um
plano no espac¸o tridimensional.
Na˜o ha´ ponto comum entre os planos (nenhuma soluc¸a˜o).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 14 / 50
Conjunto soluc¸a˜o
O conjunto de todas as poss´ıveis soluc¸o˜es de um sistema linear.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares com o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Estrate´gia para resolver um sistema
Substitua o sistema por um sistema equivalente mais simples de resolver.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 15 / 50
Conjunto soluc¸a˜o
O conjunto de todas as poss´ıveis soluc¸o˜es de um sistema linear.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares com o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Estrate´gia para resolver um sistema
Substitua o sistema por um sistema equivalente mais simples de resolver.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 15 / 50
Conjunto soluc¸a˜o
O conjunto de todas as poss´ıveis soluc¸o˜es de um sistema linear.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares com o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Estrate´gia para resolver um sistema
Substitua o sistema por um sistema equivalente mais simples de resolver.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 15 / 50
Exemplo
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
x1 = 3
x2 = 2
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 16 / 50
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 17 / 50
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 18 / 50
x1 = 3
x2 = 2
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 19 / 50
Notac¸a˜o Matricial
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2
−1 3
]
(matriz dos coeficientes)
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2 −1
−1 3 3
]
↓ (matriz aumentada)
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
[
1 −2 −1
0 1 2
]
↓
x1 = 3
x2 = 2
[
1 0 3
0 1 2
]
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 20 / 50
Notac¸a˜o Matricial
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2
−1 3
]
(matriz dos coeficientes)
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2 −1
−1 3 3
]
↓ (matriz aumentada)
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
[
1 −2 −1
0 1 2
]
↓
x1 = 3
x2 = 2
[
1 0 3
0 1 2
]
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 20 / 50
Notac¸a˜o Matricial
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2
−1 3
]
(matriz dos coeficientes)
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2 −1
−1 3 3
]
↓ (matriz aumentada)
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
[
1 −2 −1
0 1 2
]
↓
x1 = 3
x2 = 2
[
1 0 3
0 1 2
]
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 20 / 50
Notac¸a˜o Matricial
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2
−1 3
]
(matriz dos coeficientes)
x1 − 2x2 = −1
−x1 + 3x2 = 3
[
1 −2 −1
−1 3 3
]
↓ (matriz aumentada)
x1 − 2x2 = −1
x2 = 2
[
1 −2 −1
0 1 2
]
↓
x1 = 3
x2 = 2
[
1 0 3
0 1 2
]
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 20 / 50
Operac¸o˜es elementares de linhas
Substituic¸a˜o
Substituir uma linha pela soma dela mesma com um mu´ltiplo de outra
linha.
Troca
Trocar duas linhas entre si.
Reescalonar
Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante na˜o-nula.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 21 / 50
Matrizes equivalentes por linha
Matrizes linha-equivalentes
Duas matrizes onde uma matriz pode ser transformada na outra atrave´s de
uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares.
Fato sobre matrizes linha-equivalentes
Se as matrizes completas de dois sistemas lineares sa˜o linha-equivalentes,
enta˜o os dois sistemas teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 22 / 50
Matrizes equivalentes por linha
Matrizes linha-equivalentes
Duas matrizes onde uma matriz pode ser transformada na outra atrave´s de
uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares.
Fato sobre matrizes linha-equivalentes
Se as matrizes completas de dois sistemas lineares sa˜o linha-equivalentes,
enta˜o os dois sistemas teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 22 / 50
Exemplo: Resolva o sistema
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
−4 5 9 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
0 −3 13 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 −3 13 −9

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 23 / 50
Exemplo: Resolva o sistema
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
−4 5 9 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
0 −3 13 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 −3 13 −9

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 23 / 50
Exemplo: Resolva o sistema
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2− 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
−4 5 9 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 2 −8 8
0 −3 13 −9

↓
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
− 3x2 + 13x3 = −9
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 −3 13 −9

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 23 / 50
Exemplo: Resolva o sistema (cont.)
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
x3 = 3
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 0 1 3

↓
x1 − 2x2 = −3
x2 = 16
x3 = 3
 1 −2 0 −30 1 0 16
0 0 1 3

↓
x1 = 29
x2 = 16
x3 = 3
 1 0 0 290 1 0 16
0 0 1 3

A soluc¸a˜o do sistema e´ (29, 16, 3).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 24 / 50
Exemplo: Resolva o sistema (cont.)
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
x3 = 3
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 0 1 3

↓
x1 − 2x2 = −3
x2 = 16
x3 = 3
 1 −2 0 −30 1 0 16
0 0 1 3

↓
x1 = 29
x2 = 16
x3 = 3
 1 0 0 290 1 0 16
0 0 1 3

A soluc¸a˜o do sistema e´ (29, 16, 3).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 24 / 50
Exemplo: Resolva o sistema (cont.)
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
x3 = 3
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 0 1 3

↓
x1 − 2x2 = −3
x2 = 16
x3 = 3
 1 −2 0 −30 1 0 16
0 0 1 3

↓
x1 = 29
x2 = 16
x3 = 3
 1 0 0 290 1 0 16
0 0 1 3

A soluc¸a˜o do sistema e´ (29, 16, 3).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 24 / 50
Exemplo: Resolva o sistema (cont.)
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
x3 = 3
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 0 1 3

↓
x1 − 2x2 = −3
x2 = 16
x3 = 3
 1 −2 0 −30 1 0 16
0 0 1 3

↓
x1 = 29
x2 = 16
x3 = 3
 1 0 0 290 1 0 16
0 0 1 3

A soluc¸a˜o do sistema e´ (29, 16, 3).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 24 / 50
(29, 16, 3) e´ a soluc¸a˜o do sistema original?
Sistema original:
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
Substituindo a soluc¸a˜o encontrada:
(29)− 2(16)+ 3 = 29− 32 + 3 = 0
2(16)− 8(3) = 32− 24 = 8
−4(29) + 5(16) + 9(3) = −116 + 80 + 27 = −9
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 25 / 50
(29, 16, 3) e´ a soluc¸a˜o do sistema original?
Sistema original:
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
Substituindo a soluc¸a˜o encontrada:
(29)− 2(16)+ 3 = 29− 32 + 3 = 0
2(16)− 8(3) = 32− 24 = 8
−4(29) + 5(16) + 9(3) = −116 + 80 + 27 = −9
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 25 / 50
Duas questo˜es fundamentais sobre um sistema linear
(existeˆncia e unicidade)
O sistema e´ poss´ıvel (ou consistente); isto e´, existe pelo menos uma
soluc¸a˜o?
Se existe soluc¸a˜o, ela e´ u´nica; isto e´, existe uma e apenas uma
soluc¸a˜o?
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 26 / 50
Determine se o sistema e´ poss´ıvel
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
No u´ltimo exemplo, este sistema foi reduzido a` forma triangular:
x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − 4x3 = 4
x3 = 3
 1 −2 1 00 1 −4 4
0 0 1 3

Isto e´ suficiente para demonstrar que o sistema e´ poss´ıvel e a soluc¸a˜o
u´nica. Por queˆ?
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 27 / 50
Determine se o sistema e´ poss´ıvel
3x2− 6x3 = 8
x1 − 2x2+ 3x3 = −1
5x1 − 7x2 + 9x3 = 0
 0 3 −6 81 −2 3 −1
5 −7 9 0

Soluc¸a˜o: Operac¸o˜es nas linhas produzem: 0 3 −6 81 −2 3 −1
5 −7 9 0
→
 1 −2 3 −10 3 −6 8
0 3 −6 5
→
 1 −2 3 −10 3 −6 8
0 0 0 −3

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 28 / 50
Determine se o sistema e´ poss´ıvel
3x2− 6x3 = 8
x1 − 2x2+ 3x3 = −1
5x1 − 7x2 + 9x3 = 0
 0 3 −6 81 −2 3 −1
5 −7 9 0

Soluc¸a˜o: Operac¸o˜es nas linhas produzem: 0 3 −6 81 −2 3 −1
5 −7 9 0
→
 1 −2 3 −10 3 −6 8
0 3 −6 5
→
 1 −2 3 −10 3 −6 8
0 0 0 −3

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 28 / 50
Determine se o sistema e´ poss´ıvel (cont.)
Equac¸o˜es da forma matricial triangular:
x1 − 2x2 + 3x3 = −1
3x2 − 6x3 = 8
0x3 = −3 ← Nunca verdadeiro
O sistema original e´ imposs´ıvel!
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 29 / 50
Determine para quais valores de h o sistema abaixo sera´
poss´ıvel
3x1 − 9x2 = 4
−2x1 + 6x2 = h
Soluc¸a˜o: Reduza para a forma triangular.[
3 −9 4
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
0 0 h + 83
]
A segunda equac¸a˜o e´ 0x1 + 0x2 = h +
8
3 . O sistema e´ poss´ıvel apenas se
h + 83 = 0 ou h =
−8
3 .
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 30 / 50
Determine para quais valores de h o sistema abaixo sera´
poss´ıvel
3x1 − 9x2 = 4
−2x1 + 6x2 = h
Soluc¸a˜o: Reduza para a forma triangular.[
3 −9 4
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
0 0 h + 83
]
A segunda equac¸a˜o e´ 0x1 + 0x2 = h +
8
3 . O sistema e´ poss´ıvel apenas se
h + 83 = 0 ou h =
−8
3 .
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 30 / 50
Determine para quais valores de h o sistema abaixo sera´
poss´ıvel
3x1 − 9x2 = 4
−2x1 + 6x2 = h
Soluc¸a˜o: Reduza para a forma triangular.[
3 −9 4
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
−2 6 h
]
→
[
1 −3 43
0 0 h + 83
]
A segunda equac¸a˜o e´ 0x1 + 0x2 = h +
8
3 . O sistema e´ poss´ıvel apenas se
h + 83 = 0 ou h =
−8
3 .
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 30 / 50
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares (1.1)
3 Eliminac¸a˜o de Linhas e Formas Escalonadas (1.2)
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 31 / 50
Forma Escalonada
Definic¸a˜o
Todas as linhas na˜o-nulas esta˜o acima de qualquer linha so´ de zeros.
Cada elemento l´ıder (ou seja, a entrada na˜o-nula mais a` esquerda) de
uma linha esta´ em uma coluna a` direita do elemento l´ıder da linha
acima.
Todos os elementos de uma coluna abaixo de um elemento l´ıder sa˜o
zero.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 32 / 50
Formas Escalonadas: Exemplos
(a)

� ∗ ∗ ∗ ∗
0 � ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 (b)

� ∗ ∗
0 � ∗
0 0 �
0 0 0

(c)

0 � ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 � ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 � ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 � ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 � ∗ ∗

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 33 / 50
Forma Escalonada Reduzida
Adicione as seguintes condic¸o˜es a` definic¸a˜o anterior:
O elemento l´ıder de cada linha e´ 1.
Cada elemento l´ıder 1 e´ o u´nico elemento na˜o nulo em sua coluna.
Exemplo: 
0 1 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 1 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 1 0 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ ∗

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 34 / 50
Unicidade da Forma Escalonada Reduzida
Teorema 1
Cada matriz e´ linha equivalente a uma, e somente uma, matriz escalonada
reduzida.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 35 / 50
Termos Importantes
Posic¸a˜o de pivoˆ
Uma posic¸a˜o que corresponde a um elemento l´ıder em uma matriz na
forma escalonada.
Pivoˆ
Um nu´mero na˜o-nulo que e´ usado em uma posic¸a˜o de pivoˆ para criar zeros
ou enta˜o modificado para um elemento l´ıder 1, que por sua vez e´ utilizado
para criar zeros.
Coluna pivoˆ
Uma coluna que conte´m uma posic¸a˜o de pivoˆ.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 36 / 50
Exemplo: Fac¸a o escalonamento da matriz abaixo
0 −3 −6 4 9
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
1 4 5 −9 −7

Soluc¸a˜o
pivoˆ
↙
1 4 5 −9 −7
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
0 −3 −6 4 9

↑
coluna pivoˆ
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 37 / 50
Exemplo: Fac¸a o escalonamento da matriz abaixo
0 −3 −6 4 9
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
1 4 5 −9 −7

Soluc¸a˜o
pivoˆ
↙
1 4 5 −9 −7
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
0 −3 −6 4 9

↑
coluna pivoˆ
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 demarc¸o de 2015 37 / 50
Continuac¸a˜o

1 4 5 −9 −7
0 2 4 −6 −6
0 5 10 −15 −15
0 −3 −6 4 9


1 4 5 −9 −7
0 2 4 −6 −6
0 0 0 0 0
0 0 0 −5 0
 ∼

1 4 5 −9 −7
0 2 4 −6 −6
0 0 0 −5 0
0 0 0 0 0

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 38 / 50
Continuac¸a˜o
Matriz Original:

0 −3 −6 4 9
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
1 4 5 −9 −7

↑ ↑ ↑
colunas pivoˆ: 1 2 4
Obs.: Na˜o ha´ mais de um pivoˆ em nenhuma linha. Na˜o ha´ mais de um
pivoˆ em nenhuma coluna.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 39 / 50
Exemplo: Reduza a matriz abaixo a` forma escalonada e
enta˜o a` forma escalonada reduzida
 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9
3 −9 12 −9 6 15

Soluc¸a˜o: 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9
3 −9 12 −9 6 15
 ∼
 3 −9 12 −9 6 153 −7 8 −5 8 9
0 3 −6 6 4 −5

∼
 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6
0 3 −6 6 4 −5

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 40 / 50
Continuac¸a˜o
Cubra a linha no topo e procure nas duas linhas restantes pelo coluna
na˜o-nula mais a` esquerda. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6
0 3 −6 6 4 −5
 ∼
 3 −9 12 −9 6 150 1 −2 2 1 −3
0 3 −6 6 4 −5

∼
 3 −9 12 −9 6 150 1 −2 2 1 −3
0 0 0 0 1 4
 (forma escalonada)
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 41 / 50
Passo final para criac¸a˜o da forma escalonada reduzida:
Comec¸ando do pivoˆ mais a` direita, e seguindo para cima e para a
esquerda, crie zeros acima de cada pivoˆ. Se um pivoˆ na˜o for igual a 1, use
o reescalonamento para torna´-lo igual a 1. 3 −9 12 −9 0 −90 1 −2 2 0 −7
0 0 0 0 1 4
 ∼
 3 0 −6 9 0 −720 1 −2 2 0 −7
0 0 0 0 1 4

∼
 1 0 −2 3 0 −240 1 −2 2 0 −7
0 0 0 0 1 4

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 42 / 50
Soluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Varia´vel dependente ou ba´sica: qualquer varia´vel que corresponda
a uma coluna pivoˆ na matriz aumentada de um sistema.
Varia´vel livre: todas as varia´veis que na˜o sa˜o dependentes.
Exemplo: 1 6 0 3 0 00 0 1 −8 0 5
0 0 0 0 1 7
 x1 +6x2 +3x4 = 0x3 −8x4 = 5
x5 = 7
colunas pivoˆ:
varia´veis dependentes:
varia´veis livres:
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 43 / 50
Soluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Varia´vel dependente ou ba´sica: qualquer varia´vel que corresponda
a uma coluna pivoˆ na matriz aumentada de um sistema.
Varia´vel livre: todas as varia´veis que na˜o sa˜o dependentes.
Exemplo: 1 6 0 3 0 00 0 1 −8 0 5
0 0 0 0 1 7
 x1 +6x2 +3x4 = 0x3 −8x4 = 5
x5 = 7
colunas pivoˆ:
varia´veis dependentes:
varia´veis livres:
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 43 / 50
Passo final na soluc¸a˜o de um sistema linear poss´ıvel
Apo´s colocar a matriz completa do sistema na forma escalonada reduzida
e escrever o sistema como um conjunto de equac¸o˜es:
Resolva cada equac¸a˜o para a varia´vel ba´sica em func¸a˜o das
varia´veis livres (se houverem) na equac¸a˜o.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 44 / 50
Exemplo
x1 +6x2 +3x4 = 0
x3 −8x4 = 5
x5 = 7

x1 = −6x2 − 3x4
x2 e´ livre
x3 = 5 + 8x4
x4 e´ livre
x5 = 7
(soluc¸a˜o geral)
A soluc¸a˜o geral de um sistema fornece uma descric¸a˜o parame´trica do
conjunto soluc¸a˜o. (As varia´veis livres atuam como paraˆmetros.) O
sistema acima possui infinitas soluc¸o˜es.
Por queˆ?
Aviso: Use apenas a forma escalonada reduzida para resolver um
sistema.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 45 / 50
Sobre Existeˆncia e Unicidade
Exemplo:  3x2 −6x3 +6x4 +4x5 = −53x1 −7x2 +8x3 −5x4 +8x5 = 9
3x1 −9x2 +12x3 −9x4 +6x5 = 15

F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 46 / 50
Exemplo (cont.)
Em um exemplo anterior, obtivemos a forma escalonada da matriz:
 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6
0 0 0 0 1 4

(x5 = 4)
Nenhuma equac¸a˜o na forma 0 = c, onde c 6= 0, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel.
Varia´veis livres: x3 e x4
Sistema poss´ıvel
com varia´veis livres
=⇒ infinitas soluc¸o˜es.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 47 / 50
Outro exemplo
3x1 +4x2 = −3
2x1 +5x2 = 5
−2x1 −3x2 = 1
→
 3 4 −32 5 5
−2 −3 1

∼
 3 4 −30 1 3
0 0 0
 −→ 3x1 + 4x2 = −3
x2 = 3
Sistema poss´ıvel
sem varia´veis livres
=⇒ soluc¸a˜o u´nica.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 48 / 50
Teorema 2
Teorema da Existeˆncia e Unicidade
1. Um sistema linear e´ poss´ıvel se e somente se a u´ltima coluna (a` direita)
da matriz aumentada na˜o for uma coluna pivoˆ, ou seja, se e somente se
uma forma escalonada da matriz completa na˜o contiver linha da forma[
0 ... 0 b
]
(onde b e´ diferente de zero).
2. Se um sistema linear e´ poss´ıvel, enta˜o a soluc¸a˜o conte´m ou
(i) uma soluc¸a˜o u´nica (quando na˜o existem varia´veis livres) ou
(ii) infinitas soluc¸o˜es (quando ha´ pelo menos uma varia´vel livre).
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 49 / 50
Usando escalonamento para resolver um sistema linear
1 Escreva a matriz completa do sistema;
2 Use o algoritmo de escalonamento para obter a matriz aumentada
equivalente na forma escalonada. Decida se o sistema e´ poss´ıvel. Se
na˜o for, pare; caso contra´rio, siga para o pro´ximo passo;
3 Continue o escalonamento ate´ obter a forma escalonada reduzida;
4 Escreva o sistema de equac¸o˜es correspondente a matriz obtida no
passo 3;
5 Escreva a soluc¸a˜o expressando cada varia´vel dependente em func¸a˜o
das varia´veis livres e declare quais sa˜o as varia´veis livres.
F. Mu¨ller A´lgebra Linear 12 de marc¸o de 2015 50 / 50
	Introdução
	Sistemas de Equações Lineares (1.1)
	Eliminação de Linhas e Formas Escalonadas (1.2)