Calculo-2-Lista3

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Ca´lculo 2 - Lista 3
1. Determine se a func¸a˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
a) f(x, y) =
{
xy√
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; b) f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
;
c) f(x, y) =
{
yx2
x4+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; d) f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
e) f(x, y) =

yx2
x2 + y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; f) f(x, y) =
{
yx(x2−y2)
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
;
h) f(x, y) =

x2y2
x2 + y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; i) f(x, y) =

x4
x2 + y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
;
j) f(x, y) =
√|xy|; k) f(x, y) =√|x|(1 + y2); l) f(x, y) =√|y| cos x; m) f(x, y) =√x2 + y2;
2. Mostre f(x, y) =
√|x| sin y e´ diferencia´vel em (0, 0) e fx na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
3. Mostre que f(x, y) =
{
(x2 + y2) sin 1
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ diferencia´vel em (0, 0) e suas derivadas
parciais de primeira ordem na˜o sa˜o cont´ınuas.
4. Determine a linearizac¸a˜o da func¸a˜o no ponto.
a) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 em (1, 1, 0); b) f(x, y) = xexy em (1, 1); c) f(x, y) = x2 − y2 em (1, 2);
d) f(x, y, z) = xyz em (1, 1, 1); e) f(x, y) = ln x− 3y em (7, 2); f) f(x, y) = x cos y − yex em (0, 0);
g) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 em (1, 2, 2); h) f(x, y) = e−(x
2+y2)/15(sin2 x+ cos2 x) em (2, 3);
5. Calcule o diferencial da func¸a˜o.
a) w = x sin(yz); b) v = ln(2x− 3y); c) u = r/(s+ 2t); d) w = xyz; e) z = tan−1√1 + x2y2;
f) z = x/y + y/x; g) v = (x− y)/(x+ y); h) z = xex2−y2 ; i) w = xyz; j) z = sin−1√uv;
k) z = exy2; l) z = ln
√
x2 + y2; m) z = sin2 xy; n) w = x2 + y2 + exyz; o) z = xy;
6. Use diferenciais para estimar o valor da expressa˜o (1, 001)3,02
7. Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm,
respectivamente, com poss´ıvel erro nessas medidas de no ma´ximo 0,1 cm. Use diferenciais para estimar o
erro ma´ximo cometido no ca´lculo do volume do cone.
8. As dimenso˜es de uma caixa retaˆngular sa˜o medidas como 75 cm, 60 cm e 40 cm, cada medida feita com
precisa˜o de 0,2 cm. Use diferenciais para estimar o maior valor poss´ıvel do erro quando calculamos o
volume da caixa usando estas medidas.
9. Suponha que uma lata cil´ındrica tenha 10 cm de raio e 50 cm de altura, mas o raio e a altura esta˜o com
erros de ∆r = 0, 03 e ∆h = −0, 1. Estime a variac¸a˜o resultate do volume da lata.
10. Um observador veˆ o topo de uma torre sob um aˆngulo de elevac¸a˜o de pi/3 rd, com poss´ıvel erro de 0, 003
rd. Sua distaˆncia da torre e´ de 300 m, com poss´ıvel erro de 10 cm. Qual a altura aproximada da torre e
seu poss´ıvel erro.
11. Seja f(x, y) =
√
x+ 3
√
y.
a) Calcule a diferencial de f . b) Calcule um valor aproximado para f(1, 01; 7, 9).
c) Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆f , quando (x, y) varia de (1; 8) a (0, 9; 8, 01).
1
12. Calcule as derivadas
∂z
∂u
e
∂z
∂v
.
a) z = x ln y, x = sin u+ cos v, y = sin u− cos v; b) z = x tan y, x = u2, y = 1/(1 + v);
c) z = exy, x = u(u+ v), y = v(u+ v); d) z = ex sin y, x = uv2, y = u2v;
13. Se z = x2y + 3xy4, onde x = sin(2t) e y = cos t, determine
dz
dt
(0).
14. Se w = xy + z, onde x = cos t, y = sin t e z = t, determine
dw
dt
(0).
15. Se u = x4y + y2z3, onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2s sin t, determine us quando r = 2, s = 1, t = 0.
16. Se g(t, s) = f(s2 − t2, t2 − s2) e f e´ diferencia´vel, mostre que t∂g
∂s
+ t
∂g
∂t
= 0.
17. Se f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas e x = r2 + s2 e y = 2rs, determine fr e frr.
18. Seja T (x, y) a temperatura no ponto (x, y) da elipse
x = 2
√
2 cos t, y =
√
2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2pi,
e suponha que Tx = y e Ty = x.
a) Determine os pontos da elipse onde a temperatura e´ ma´xima e mı´nima.
b) Suponha T = xy − 2, encontre os valores extremos de T na elipse.
19. Mostre que, se w = f(u, v) satisfaz a equac¸a˜o fww+fvv = 0 e se u = (x
2−y2)/2 e v = xy, enta˜o w satisfaz
wxx + wyy = 0.
20. Seja F (t) = f(et
2
, sin t), onde f(x, y) e´ diferencia´vel.
a) Expresse F ′(t) em termos das derivadas parciais de f .
b) Calcule F ′(0) supondo fy(1, 0) = 5.
21. Suponha z = f(x, y) diferencia´vel, f(1, 2) = −2, fx(1, 2) = 3, fy(1, 2) = 4; e que a imagem da curva
γ(t) = (t2, 3t− 1, z(t)), t ∈ R, esteja contida no gra´fico da f .
a) Determine z(t).
b) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a γ no ponto γ(1).
22. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especificado.
a) z = 2x2 + y2 em (1, 1, 3); b) z = xexy em (1, 1, 1); c) z = x2 + 3xy − y2 em (1, 1, 3);
d) x
2
4
+ y2 + z
2
9
= 3 em (−2, 1,−3); e) z = 9− x2 − y2 em (1, 2, 4); f) z = x cos y − yex em (0, 0, 0);
g) x2 + y2 + z2 = 3 em (1, 1, 1); h) x2 + y2 − z2 = 18 em (3, 5,−4); i) 2z − x2 = 0 em (2, 0, 2);
j) z =
√
1+4x2+4y2
1+x4+y4
em (1, 1, 1); k) x3 + y3 + z3 + 6xyz = 9 em (1, 1, 1);
23. Seja h : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel. Mostre que os planos tangentes a` superf´ıcie z = yf(x/y) passam
todos pela origem.
24. Determine a equac¸a˜o do palno tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = r2 num de seus pontos (x0, y0, z0).
25. Determine a equac¸a˜o do palno tangente a` superf´ıcie ax2 + by2 + cz2 = 1 num de seus pontos (x0, y0, z0).
26. Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 2, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 20, Sec¸a˜o 14.4;
b) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 25, Sec¸a˜o 14.5;
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