Lista de Exercícios Derivadas

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I. CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS - DERIVADAS
(Atualizada em 27 de abril de 2012)
"A ciência humana de maneira nenhuma nega a existência de Deus. Quando considero quantas e quão
maravilhosas coisas o homem compreende, pesquisa e consegue realizar, então reconheço claramente
que o espírito humano é obra de Deus, e a mais notável." Galileu Galilei
Derivadas
Definição
f ′(x) =
dy
dx
= lim
∆x→0
f (x +∆x)− f (x)
∆x
= lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0 .
Interpretação Geométrica
x
y
α
dy ≈ ∆y
dx = ∆x
dy
f (x)
f (x +∆x)
x x +∆x
graf (f )
graf (t)
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Derivadas Imediatas
1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C;
2. (xn)′ = nxn−1;
3. (ax)′ = ax · ln(a),
em particular, (ex)′ = ex ;
4. (sen(x))′ = cos(x);
5. (cos(x))′ = − sen(x);
6. (tg(x))′ = sec2 x ;
7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;
8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);
9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x);
10. (loga x)′ =
1
x · ln(a) , ∀x ∈ R
∗
+, 0 < a 6= 1,
em particular, (ln x)′ = 1
x
;
11. (arcsen x)′ = 1√
1− x2 ;.
12. (arccos(x))′ = −1√
1− x2 ;
13. (arctg(x))′ = 1
1 + x2
;
Regras da derivação
1. d(f ± g) = df ± dg ; 2. d(f · g) = f · dg + g · df ; 3. d

f
g
‹
=
gdf − f dg
g 2
.
Equações das Retas Tangente e Normal
1. Reta TANGENTE: y − f (a) = f ′(a)(x − a);
2. Reta NORMAL: y − f (a) = −1
f ′(a)
(x − a).
Derivada da Função Composta
h(x) = f (g(x))⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x).
Derivada da função inversa
y−1 =
1
f (x)
⇒ (y−1)′ = 1
f ′(x)
.
Derivada da função exponencial composta
y = [u(x)v(x)]⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x .
Definição, Interpretação Geométrica e Regras Operacionais
1. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados.
(a) f (x) = x2 − 1, f ′(0) e f ′(1)
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2
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(b) f (x) = x2 − 3x + 6, f ′(−1) e f ′(2)
(c) f (x) = 1
x
, f ′

1
3
‹
e f ′(3)
(d) f (x) = sen(x), f ′(0), f ′
�
pi
2
�
e f ′(pi)
2. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em a e, em caso afirmativo, determine
f ′(a).
(a) f (x) = 2x − 3, a = 1 (b) f (x) = 2x2 − 5, a = −1(c) f (x) = √x − 1, a = 1 (d) f (x) = x2 · |x | − 1, a = 0
3. Em que ponto da curva y = x2 + 8 a inclinação da tangente é 16? Escreva a equação dessa reta
tangente.
4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada no ponto indicado.
(a) f (x) = 2x2 − 7 em (2, 1) (b) f (x) = x
2 − 1
x2 + 1
em (1, 0)
5. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2
(b) f (x) = 3
2x
+ 2x(
5
√
x3)− 2√
x
(c) f (x) = (3x5 − 1)(2− x4)
(d) f (s) = √3(s3 − s2)
(e) f (t) = t
3 − 3t
t5 − 5t (t
2 − 2t)
(f) f (x) = x
3
ex
+
ex
x3
(g) f (x) = x2 sen(x)− ln(x) cos(x)
(h) f (θ) = 2 cotg(θ)
1− sen(θ)
6. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:
(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10
Derivada da Função Composta
7. Calcule a derivada de:
(a) y = 3√3x − 1
(b) z(x) = ln(x2 − 6)
(c) f (t) = e4t3
(d) f (t) = ln(sec(x))
(e) y = cos[tg(3− 5x)]
(f) y = sen(x2 − 2x)
(g) f (t) = e 4t3t+4
(h) y = √−3− 7x cos(−15x)
(i) y = sec
”
log2
€
4
√
x3 −√2
Š—
8. Encontre a derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2− x4)
(b) f (t) = (t
3 − 3t)3
(t5 − 5t)5
(c) f (s) = ln(e5s−3)
(d) f (x) = 1
2
ln(7x2 − 4)
(e) f (x) = ex2 + 4
(f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)
(g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ)
(h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ)
(i) f (x) = ln

x + 1
ex
‹
(j) f (x) = ln(sen2(x))
(k) f (x) = arctg(x2 + 1)
(l) f (θ) = earcsen(θ)
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3
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L’Hospital, Derivação Implícita, Diferencial e Taxas de Variação
9. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital.
(a) lim
x→0
x
tg(x)
(b) lim
x→0
ex − cos(x)
x sen(x)
(c) lim
x→+∞
ln(x)√
x
(d) lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
(e) lim
x→+∞

ln
x
x + 1
‹
(f) lim
x→+∞
x99
ex
10. Ache ∂y
∂x
por derivação implícita:
(a) x2 + y2 = 16
(b) 1
x
+
1
y
= 1
(c) y2 = cos(x − y)
(d) ex+y = arctg(y)
11. Calcular a derivada das seguintes funções:
(a) y = (2x2 + x + 1)ex2 (b) y =
È
ln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d) x + 1
ex
Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos
12. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalos
especificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0.
(a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 =
•
−3
2
, 0
˜
, I2 =
•
0,
3
2
˜
e I3 =
•
−3
2
,
3
2
˜
.
(b) f (x) =
¨
x + 2 , x ≤ 2
4− x , x > 1 e I = [−2, 4]
13. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nos
intervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema.
(a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1];
(b) f (x) = 3√x2 e I = [0, 2];
(c) f (x) = x
2 + 4x
x − 1 e I = [2, 6]
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4
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Gabarito
1. (a) f ′(x) = 2x, f ′(0) = 0 e f ′(1) = 2; (b) f ′(x) = 2x − 3, f ′(−1) = −5 e f ′(2) = 1; (c) f ′(x) = − 1
x2
, f ′
€
1
3
Š
= −9 e f ′(3) = −1/9; (d)
f ′(x) = cos(x), f ′(0) = 1, f ′
€
pi
2
Š
= 0 e f ′(pi) = −1. 2. 3. (8, 72) e y = 16x − 56. 4. (a) y = 8x − 15; (b) y = x − 1. 5. (a) 8x3 − 6x + 5
(b) −3
2x2
+ 165
5√
x3 +
1
√
x
(c) −12x8 − 15x5 + 4x3 + 30x (d) √3(3s2 − 2s) (e) 2t
8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2
(t5 − 5t)2
(f) −x
3 + 3x2
ex
+
ex
€
1
x3
− 3
x4
Š
(g) 2x sen(x)+x2 cos(x)− 1
x
+tg(x) (h) cotg(θ)
[1− sen(θ)]2
[2−2 cossec(θ)+cos(θ)] 6. 7. 8. (a) (3x5−1)9(−162x8+300x4+4x3);
(b) (t
3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t)
(t5 − 5t)6
; (c) 5; (d) 7x
7x2 − 8
; (e) 2xex2 ; (f) − sen(2θ2 − 3θ+ 1)(4θ− 3); (g) 2 cos2(θ) cos(θ)− 4θ sen2(θ) sen(θ);
(h) 0; (i) 1
x + 1
− 1; (j) 2 cotg(x); (k) 2x
x4 + 2x2 + 2
; (l) e
arcsen(θ)
p
1− θ2
. 9. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 10. (a) − x
y
; (b) −
€
y
x
Š2
; (c)
− sen(x − y)
2y + sen(x − y)
; (d) (1 + y
2)ex+y
ex+y − 1
. 11. (a) dy = (4x3 + 2x2 + 6x + 1)ex2dx; (b) dy = 3 sec 3x cossec 3x
2
p
ln[tg(3x)]
dx; (c) ln(2) · 2sen(x) · cos(x)dx;
(d) dy = − x
ex
dx 12. 13.
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