ANPEC AULA 5. Efeitos Cruzados e Preferencia Revelada

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1
AULA 5: EFEITOS CRUZADOS, 
 INTEGRABILIDADE E 
 PREFERENCIA REVELADA 
 
 
 
1. Efeitos Cruzados; 
2. Integrabilidade; 
3. Preferência Revelada; 
 4. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
 
 
1. Efeitos Cruzados 
 
 
Na análise da relação entre a demanda e os preços 
focalizamos até agora os efeitos diretos isto é, o 
impacto de uma variação no preço do bem sobre a 
demanda deste bem. 
 
Nesta seção, concentraremos nossa atenção sobre os 
efeitos cruzados isto é, os efeitos de uma variação no 
preço de um bem sobre a demanda de um outro bem. 
 
Vimos na Seção 5 da Aula 3 que é valida a seguinte 
decomposição dos efeitos marginais de uma variação 
no preço de um bem j sobre a demanda de um bem : i
 
 
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ = +∂
∂
j
i
p
Rpx ),( ),(.),( Rpx
R
Rpx
j
i
∂
∂ nji ,...,1, = 
 
Deste modo, para ji ≠ vale também a equação de 
Slutsky para os efeitos cruzados: 
 
 
 =∂
∂
j
i
p
Rpx ),(
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ + [- ),(.),( Rpx
R
Rpx
j
i
∂
∂ ] 
 
 2
A equação acima nos diz que o efeito cruzado de uma 
variação no preço do bem j sobre a demanda do bem 
 também pode ser decomposto em um efeito 
substituiçao 
i
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ , mais um efeito renda [-
),(.),( Rpx
R
Rpx
j
i
∂
∂ ]. 
 O efeito total 
j
i
p
Rpx
∂
∂ ),( , envolvendo a demanda 
Marshalliana, é chamado efeito cruzado bruto. 
 
 
 O efeito substituição 
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ , envolvendo a 
demanda Hicksiana, é o efeito cruzado líquido . 
 
 
Temos: Efeito líquido = Efeito bruto - Efeito renda. 
 
É importante observar que o efeito substituição 
cruzado não é necessáriamente negativo, como 
acontece no caso da substituiçao direta. 
 
 
Bens substitutos ou complementares líquidos 
 
Definição 1:(Substitutos e complementares líquidos) 
 
Dizemos que o bem i é substituto líquido do bem j 
se o efeito substituição líquido é positivo: 
 
 0|),( ),( >∂
∂
= Rpvu
j
h
i
p
upx 
Dizemos que o bem é complementar líquido do i
bem j se o efeito substituiçao líquido é negativo: 
 
 0|),( ),( <∂
∂
= Rpvu
j
h
i
p
upx 
 3
 
 
No primeiro caso da substituição líquida, com o 
aumento do preço do bem j , para manter o mesmo 
nível de bem estar, o consumidor deverá reduzir sua 
demanda por este bem. 
 
Entao, se a demanda pelo bem i aumentar, isto 
significa que esta demanda adicional deverá suprir 
em parte a redução na demanda do bem j , de modo 
que i será visto como um bem substituto líquido de j . 
 
No segundo caso da complementaridade líquida, com 
o aumento do preço do bem j , a manutenção do 
mesmo nível de bem estar obrigará o consumidor a 
retrair sua demanda pelo bem j . 
 
Se a demanda pelo bem também retrair, 
acompanhando assim o menor consumo de
i
j , isto 
significa que as demandas destes dois bens são 
comonotonicas, de modo que o bem será visto 
como complementar líquido de
i
j . 
 
Simetria do efeito cruzado líquido 
 
 
Os conceitos de substituição e complementaridade 
tem, por natureza, um caráter simétrico. 
 
Deste modo seria desejável que, sendo i substituto 
(complemento) de j , pudéssemos garantir também 
que j seja substituto (complemento) de . i
 
Tal ocorre efetivamente com a substituição e 
complementaridade líquidas, pois temos: 
 
 
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ = =∂∂
∂
= ),(
2
|),( Rpvu
ij pp
upe =∂∂
∂
= ),(
2
|),( Rpvu
ji pp
upe
),(|
),(
Rpvu
i
h
j
p
upx
=∂
∂ . 
 
 4
Na segunda igualdade, usamos o lema de Shephard, 
que nos garante 
i
h
i p
upeupx ∂
∂= ),(),( e, na terceira 
igualdade, usamos a simetria das derivadas segundas 
cruzadas (teorema de Young). 
 
Assim, temos garantido que se é substituto líquido 
(complementar líquido) de 
i
j , o bem j também será 
substituto líquido (complementar líquido) do bem j , 
e vice-versa. 
 
Esta simetria dos efeitos cruzados não é preservada 
se o foco for o efeito bruto, como veremos a seguir. 
 
 
Bens substitutos ou complementares brutos 
 
Definição 2:(Substitutos e complementares brutos) 
 
Dizemos que o bem é substituto bruto do bem i j 
se o efeito bruto é positivo: 
 
 0),( >∂
∂
j
i
p
Rpx 
 
 
Dizemos que o bem é complementar bruto do bem i
j se o efeito bruto é negativo: 
 
 0),( <∂
∂
j
i
p
Rpx 
 
No primeiro caso da substituição bruta, com o 
aumento do preço do bem j , a demanda por este bem 
reduzirá, mas sòmente se este for um bem normal. 
 
Se o bem j for inferior, é possível que o efeito 
substituiçao seja suplantado pelo efeito renda 
positivo, caso em que a demanda pelo bem j 
 5
aumentará, na sequencia do aumento do seu preço. 
Este será o caso se j for um bem de Giffen. 
 
 
Se a demanda pelo bem aumentar, como indica i
0),( >∂
∂
j
i
p
Rpx , isto significará que esta demanda 
adicional deverá suprir em parte a redução na 
demanda do bem j , se este for um bem normal. 
 
Se j for um bem de Giffen, o aumento na demanda do 
bem i deveria caracterizá-lo com complementar de j . 
 
Em razão desta imprecisão, se 0),( >∂
∂
j
i
p
Rpx entao será 
visto como um bem substituto bruto de 
i
j . 
 
No segundo caso da complementaridade bruta, com o 
aumento do preço do bem j , haverá retração na sua 
demanda sòmente se este for um bem normal. 
 
Se a demanda pelo bem também retrair, 
acompanhando assim o menor consumo de
i
j , isto 
significará que as demandas destes dois bens são 
comonotonicas, e os bens complementares. 
 
Mas se o bem j for um Giffen, a redução na demanda 
do bem i será a resposta de um aumento na demanda 
do bem j de modo que o bem seria substituto dei j . 
 
Em razao desta imprecisão, 0),( <∂
∂
j
i
p
Rpx caracterizará a 
complementaridade bruta de j por . i
 
Os gráficos (a) e (b) da Figura 1 ilustram estes 
conceitos no caso de dois bens. 
 
 6
O preço do bem 2 se reduz e a demanda do bem 1 
aumenta no gráfico (a) e se reduz no gráfico (b). 
 
 
 
Fig.1 : Efeito bruto: Preço do bem 2 sobre a 
 Demanda do bem 1 
 
 
x10 x1
x2
x11 x1
x2
x10x11
1 complementar bruto de 2
(a) (b)
1 substituto bruto de 2
x0
x1
x0
x1
 
 
 
Como vemos ilustrado na Figura 1(a), a 
complementaridade bruta ocorre em situaçoes em que 
a substituiçao entre os dois bens é fraca, as curvas de 
indiferença são fortemente convexas. 
 
 
Ao contrário, na Figura 1(b) a substituiçao bruta 
ocorre em situações em que a substituiçao entre os 
dois bens é forte, as curvas de indiferença são 
fracamente convexas. 
 
 
 
 
 7
 
 
Possível assimetria do efeito cruzado bruto 
 
A existencia do efeito renda na definição do efeito 
bruto faz com que este não seja necessáriamente 
simétrico isto é, a desigualdade 
j
i
p
upx
∂
∂ ),( ≠
i
j
p
upx
∂
∂ ),( , ji ≠ 
pode frequentemente ocorrer. 
 
 
Deste modo, situaçoes anódinas nas quais, por 
exemplo, o bem é substituto bruto do bem i j e este 
complementar bruto de i não estão excluídas. 
 
Os dois exemplos abaixo ilustram os conceitos e esta 
última situação. 
 
 
Exemplo 1: No caso Cobb-Douglas com dois bens, 
1;0,,),( 2121 =+>= βαβαβα xxxxu 
 
A demanda Marshalliana de 1 é: 
11 /),( pRRpx α= , a 
qual não depende do preço do bem 2. 
 
Isto mostra que o bem 1 não é substituto bruto do 
bem 2. 
 
Entretanto, veremos queele é substituto líquido. 
 
Com efeito, a utilidade indireta é βα
βαβα
21
),(
pp
RRpv −−= e 
a demanda Hicksiana do bem 1: 
 uppupxh βββα )/()/(),( 121 = . 
 
Então, 0/|)/()/(|),( 211
1
2
2
1 >==∂
∂
=
−
= ppRuppp
upx
vuvu
h
αβββα βββ , 
indicando que os dois bens são substitutos líquidos 
um do outro. 
 
 8
A razão de não haver substituiçao bruta do bem 1 
com relação ao bem 2 está em que o efeito renda 
 [- ),(.),( 21 RpxR
Rpx
∂
∂ ] é exatamente igual ao negativo do 
efeito substituiçao, de modo que: 
 
 =∂
∂
2
1 ),(
p
Rpx 0)/(/ 2121 =−+ ppRppR αβαβ . 
 
 
 
Exemplo 2: Considere a utilidade quase linear com 
dois bens e , já apresentada na Aula 4. 
12 ln xaxu += 0>a
O bem numerário tem aqui preço . 
2p
A renda do consumidor é e as demandas 
Marshallianas são: 
2apR >
1
2
1 ),( p
paRpx = e . 222 /)(),( papRRpx −=
 
É fácil verificar que o bem 1 é substituto bruto do 
bem 2, pois 0/),( 1
2
1 >=∂
∂ pa
p
Rpx . 
 
No entanto o bem 2 não é substituto bruto do bem 1, 
pois 0),(
1
2 =∂
∂
p
Rpx . 
 
Este exemplo mostra que substituição bruta não é 
necessáriamente simétrica. 
 
 
 
 
2. Integrabilidade 
 
Vimos nas Aulas 2 e 3 que o consumidor que 
maximiza uma funçao de utilidade contínua, 
estritamente crescente e estritamente quase côncava, 
sujeito à restriçao orçamentária, tem um sistema de 
equaçoes de demanda ),( Rpx exibindo as seguintes 
propriedades: 
 9
 
a) Equilíbrio orçamentário: RRpxp =),(. 
b) Ausência de ilusão monetária: ),(),( RpxRpx =λλ ; 
 d ubstituiçao: c) Simetria dos efeitos e s
nji
pp ij
,...1,; =∂=∂
 upxupx
h
j
h
i
),(),( ∂∂
d) Definição negativa da matriz de Slutsky 
)),(,( RpvpS 
 
Lembremos que o elemento ),( ji desta matriz é: 
 
),(| Rpvuip =∂
= ),(
j
h upx∂ ∂ +∂ j
Rpx ),(i
p
),(. Rpxj 
),(
R
Rpxi
∂
∂
são esta j ada no início da seç o anterior. 
 
 
Ob
de equações de demanda apresentadas acima 
 0 de 
expres á d ã
 
servemos que as 4 propriedades a) – d) do sistema 
o teóric
não são independentes. 
 
Com efeito, a ausência de ilusão monetária ou, 
omogeneidade de grauh ),( Rpx , propriedade (b) 
e o equilíbrio orçamentário e a 
de substituiçao, conjuntamente, 
 que as 3 
loca da 
eguinte maneira: 
citas à partir do sistema de 
acima, é redundante. 
 
É possível mostrar qu
imetria dos efeitos s
implicam a ausência de ilusão monetária. 
 
Em outras palavras, as propriedades (a) e (c) 
mplicam a propriedade (b), de modoi
propriedades (a), (c) e (d) são suficientes para 
caracterizar um sistema de demanda ótimo. 
 
 
 O problema da integrabilidade se co 
s
 
É possível fazer o caminho inverso e recuperar as 
referências implíp
equações de demanda que está sendo observado ? 
 
 10
Mais precisamente, quais propriedades deve atender 
alguma funçao de utilidade contínua, estritamente 
ta questao foi pela primeira vez formulada e 
 A resposta de Antonelli à esta questão é positiva. 
urpreendentemente, as condiçoes que o sistema de 
m uma abordagem moderna do problema da 
eorema da Integrabilidade 
um sistema observável de equações de demanda 
),( Rpxobs para que ele seja gerado pela maximização de 
crescente e estritamente quase côncava ? 
 
Es
respondida pelo economista italiano G.Antonelli, em 
artigo publicado em 1886. 
 
 
 
S
demanda observado ),( Rpxobs , como funçao dos preços 
e da renda, deve atender para que ele seja gerado 
pela maximização de alguma funçao de utilidade, são 
precisamente as condições (a), (c) e (d), a saber: 
equilíbrio orçamentário, simetria dos efeitos 
substituiçao e definição negativa da matriz de 
Slutsky. 
 
E
integrabilidade, Hurwicz e Uzawa (1971) sumarizam 
a intuição de Antonelli, provando o seguinte teorema: 
 
 
T
 
A funçao contínuamente diferenciável é um nne RRx +
+
++ →1:
vetor de funções de demanda gerad guma o por al
funçao de utilidade crescente, quase côncava se ela 
satisfaz (i) o equilíbrio orçamentário ; (ii) simetria 
dos efeitos substituiçao; (iii) definiçao negativa da 
matriz de Slutzky. 
 
Obs.: a condiçao é necessária e suficiente quando a 
funçao de utilidade é contínua, estritamente crescente 
e estritamente côncava. 
 
 
A prova deste teorema pode ser econtrada na 
referencia no livro de Jehle e Reny, referido na 
bibliografia como [JR], pp.83-84. 
 
 11
A importância prática deste teorema é evidente. 
o estimarmos os parâmetros de sistema de equações 
ara que as equações especificadas estejam 
 
A
de demanda, podemos especificar livremente estes 
equações de acordo com os dados disponíveis. 
 
P
teóricamente fundadas em um sistema de preferencias 
racional, basta impor as restrições necessárias sobre 
os parâmetros das equações de modo que estas 
atendam as condiçoes )()( iiii − do teorema. 
 
Uma vez impostas estas restrições, o teorema da 
ortanto, não haverá neste caso necessidade de 
. Preferência Revelada 
 teoria da demanda baseada na representação das 
odavia, este enfoque abre espaço para 
) seu ponto de partida é algo que, de fato, não é 
b) suas previsões são conclusoes teóricas que 
integrabilidade nos garantirá que estas funções de 
demanda terão sido geradas pela maximização 
condicionada de alguma funçao de utilidade 
representativa das preferências racionais do 
consumidor. 
 
P
especificar a funçao de utilidade representativa destas 
preferências. 
 
 
 
 
3
 
 
A
preferências por uma função de utilidade apresentada 
até aqui é uma construção coerente que nos permite 
inferir sobre o comportamento do consumidor no 
mercado. 
 
T
questionamentos na medida em que: 
 
a
 observável, as preferências dos consumidores; 
 
 portam sobre fatos observados, as escolhas 
 efetivas dos consumidores. 
 
 12
 
P.Samuelson, no seu livro Foundations of Economic 
le mostra como importantes previsões da teoria do 
sto é, escolhas baseadas em fatos e não baseadas em 
nicialmente, Samuelson introduz o conceito da 
uponha que se observe o consumidor adquirir a 
Analysis (1947) sugere um enfoque alternativo, cujo 
ponto de partida é o comportamento observado dos 
consumidores. 
 
E
consumidor ordinária podem ser derivadas à partir de 
algumas poucas hipóteses baseadas nas escolhas 
feitas e observadas dos consumidores. 
 
I
uma hipotética relação de preferências, cuja 
racionalidade não pode ser observada. 
 
I
“preferência revelada”. 
 
 
S
cesta 0x quando o vetor de preços é 0p , e a cesta 1x 
quando os preços são 1p . 
 
Definição 3 (Preferencia Revelada) 
 
A cesta 0x é dita “revelar-se ao menos tão boa 
quanto” a cesta 1x , se esta for uma cesta distinta e se 
ela era factível ao consumidor quando 0x foi 
escolhida. Nota-se 10 xx ≥ . R
 
Formalmente, significa: 10 xx R≥ 0x é escolhida quando 
os preços são 10p , 0 xx ≠ e 0010 .. xxp p≤ . 
 
 
 
Note que esta definição não faz de ( ) uma relação 
R≥
de preferencia racional, no sentido dela ser completa 
e transitiva. 
 
 
 
 
 13
As Figuras 2a e 2b abaixo ilustram duas situações 
a Figura 2a, a preferência revelada entre as 3 cestas 
a Figura 2b, a preferência revelada entre as 3 cestas 
ig.2a:Pref. Revelada: Incompleta e não Transitiva 
parecidas. 
 
N
ali representadas é incompleta e não transitiva. 
 
N
ali representadas é intransitiva. 
 
 
F
 
 
x0
x1
x2
p0
p1
p2
*
*
*
x1
x2
A Preferencia Revelada nao é necessáriamene racional
 
 
a figura acima temos três cestas escolhidas 
emos inicialmente que ascestas 
N 210 , xexx
quando os preços são 210 , pepp , respectivamente. 
 
V e 2x0x não são 
comparáveis pela relação ≥ : não se pode dizer se 
uma revelou-se ou não pref ível à outra, pois 0
R
er x foi 
escolhida quando 2x não era factível e esta última foi 
escolhida quando 0x não era factível. 
 
Logo, ) não é completa. (
R≥
 
 14
Vemos também que ) não é transitiva: temos (
R≥
 10 xx ≥ e temos também 21 xx ≥ , pois 1R R x foi escolhida 
o 2quand x também era factível. No entanto, não temos 
20 xx ≥ . R
 
ig.2b:Pref. Revelada: Ciclo Intransitivo 
 
 
F
 
 
x0x
1
x2
p0
p1
p2
**
*
x1
x2
A Preferencia Revelada pode ser intransitiva
 
 
 figura 2b, quase idêntica à figura 2a, exibe todavia 
ssim, em razão da incompletude e da possibilidade 
ual entao a restriçao mínima a ser imposta às 
elas tenham alguma consistência ? 
A
um ciclo intransitivo: 10 xx R≥ , 21 xx R≥ e 02 xx R≥ . 
 
A
de existirem ciclos intransitivos na escolha baseada 
no princípio da preferência revelada, a contruçao de 
uma teoria capaz de explicar as escolhas efetivas do 
consumidor únicamente baseada neste conceito fica 
comprometida. 
 
Q
escolhas do consumidor de modo a garantir que, se 
estas escolhas são feitas de acordo com a relação )( R≥ , 
 15
 
A resposta à esta indagaçao é dada pelo seguinte 
xioma: 
xioma Fraco da Preferência Revelada (WARP) 
a
 
 
 
A
 
Para quaisquer cestas distintas 0x e 1x , escolhidas 
quando os preços são, respec ame e e , tiv nt 0p 1p
dizemos que o comportamento do consumidor atende 
o WARP (Weak Axiom of Revealed Preference) se 1x 
nunca revela-se preferível à 0x sempre que 0x revela-
se preferível à 1x . 
 
Formalmente, o comportamento do consumidor 
atende o WARP se implica . 10 xx R≥ 1101 .. xpxp >
 
 
 
Para ilustrar a aplicaçao deste axioma nas situações 
epresentadas na Figura 2a acima, observe que: r
 
Na escolha entre 0x e 1x , o WARP é atendido. 
 
Na escolha entre e 2 o WARP não é atendi1x x do, pois 
emos ao mes e . t mo tempo, 21 xx ≥R R
 
Na escolha entre 0
12 xx ≥
x e 2x o RP m WA també é atendido, 
ois os ” e “ou ”, 
 do Cate-Verao (Lógica) ! 
s Demandas Marshallianas atendem o WARP 
p pre-requisitos “ou 20 xx ≥R R
nenhum deles é atendido. 
 
Veja Aula 1 de Matemática
02 xx ≥
 
 
 
A
 
 
amos agora mostrar que o vetor de demandas V ),( Rpx 
satisfaz o WARP. 
 16
 
 Prova: Supon
referências estrita
ha que o consumidor tenha 
mente monotônicas e estritamente 
as
p
convexas. 
 
Neste caso, sabemos que o vetor das demandas 
arshallianM ),( Rpx é único. 
 dem a do consumidor seja 
 quando o preço é e 
 
Assuma que a anda ótim
x ),( 0
00 Rpx= 0p ),( 111 Rpxx = quando o 
 
 ra, para o WARP, que 
preço é 1p . 
Suponha ago 1x era factível 
uandoq 0x foi escolhido, isto é, 0.x010. pxp ≤ . 
s licará qu 
 
Devemo mostrar que isto imp e 0x não era 
actível quandof 1x foi escolhido. 
 
Com efeito, sendo 1x factível quando 0x foi escolhido, 
sto significa que
 
m 
i ).() 1xuu > ( 0x
 
Como o consumidor aufere utilidade menos elevada
e do que em 0x , isto implica que 0x1x não deveria 
ser factível quando 1x foi escolhido, de outro modo 0x 
teria sido escolhida sob 1p , no lugar de 1x . 
 
Isto significa 1101 .. xpxp > , e o WARP fica assim 
rovado.
RP e o 
ara que 
p ⊕ 
 
 
 questão que se coloca agora é a seguinte: A
 
Se as escolhas do consumidor atenderem o WA
quilíbrio orçamentário, será isto suficiente pe
elas sejam representadas por uma funçao de demanda 
),( Rpx isto é, uma funçao atendendo as propriedades 
(b), (c) e (d) da seção anterior ? 
 
 
 
 17
 
 
Preferência Revelada e a Funçao de Demanda 
efina por a funçao escolha do consumidor 
 
 
D ),( Rpxe
que se defronta com o vetor de preços p e possui 
renda R . 
 
Supore om s que esta funçao seja contínuamente 
iferenciável emd p e R . 
 não deve ser confundida 
as iremos 
xplicitar abaixo as condiçoes sob as quais a funçao 
uponha que as escolhas do consumidor verificam: 
 
Esta funçao escolha ( p ), Rxe
com o vetor das demandas Marshallianas. 
 
Ela não é uma funçao de demanda, m
e
escolha ),( Rpxe pode exibir as mesmas propriedades 
que uma funçao própriamente de demanda. 
 
 
S
 
(H1) Equilíbrio orçamentário: RRpxp e =),(. ; 
 
(H2) WARP: 10 xx ≥ implica 1R 110 .. xpxp > . 
este caso, é possível mostrar que a funçao escolha: 
 
 
 N
 
(i) É homogênea de grau 0: ),(),( RpxRpx ee =λλ , 0>∀ λ 
 
(ii) A matriz de Slutsky associada à funçao escolha 
x ),( Rpe é semi definida negativa. 
A prova das conseqüências (i) e (ii) é de nível de 
estrado, e foge do escopo destas notas. 
hle e Reny, 
encionado na bibliografia (pp.88-90). 
 
 
M
 
Mas ela pode ser encontrada no livro de Je
m
 18
 Vemos acima que duas hipóteses relativamente 
simples sobre as escolhas do consumidor, (H1) e 
H2), são suficientes para que a funçao escolha 
o, propriedade (c) das funções de 
emanda, referida na seção anterior. 
 de 2 bens 
 possível mostrar que, no caso de 2 bens, a hipótese 
a 
omogeneidade 0 da funçao escolha (que é implicada 
acordo com a preferência revelada , não 
des de uma funçao de demanda, o teorema 
a integrabilidade nos assegurará da existência de 
ervado do 
onsumidor. 
m o WARP. 
alentes às hipóteses da 
aximização da utilidade 
 
( ),( Rpxe 
tenha quase todas as propriedades de uma funçao de 
demanda. 
 
Todas exceto uma, a simetria dos efeitos 
substituiça
d
 
 
A equivalência dos enfoques no caso
 
É
(H1) do equilibrio orçamentário, mais 
h
por H1 e H2), conjuntamente, implicam na simetria 
da matriz de Slutsky associada à funçao escolha 
),( Rpxe . 
 
A razão disto é que o rankeamento das cestas de 
R≥
apresentará ciclos intransitivos pois, neste caso, as 
cestas conterem no máximo, quantidades positivas de 
2 bens. 
 
Neste caso, como a função escolha exibe todas as 
proprieda
d
uma funçao de utilidade capaz de gerar o 
comportamento observado do consumidor. 
 
Dizemos, nestas circunstancias, que a funçao de 
utilidade racionaliza o comportamento obs
c
 
Conquanto, é claro, este comportamento seja sempre 
consistente co
 
Em conseqüência, o WARP e o equilíbrio 
orçamentário serão equiv
m
 19
Para o caso relevante de uma economia com 3 bens 
ou mais, H1 e H2 não garantem a simetria da matriz 
de Slutsky, nem a eliminação dos ciclos intransitivos 
 relação da preferência revelada, como aquele 
aximização da utilidade ? 
na
mostrado na Figura 2b. 
 
Como devemos então reforçar o WARP de modo a se 
obter uma teoria da preferência revelada que seja 
equivalente à teoria da m
 
A resposta é dada pelo Axioma Forte da Preferência 
Revelada (SARP), uma hipótese pioneira formulada 
por Houthakker, em 1950. 
 
 
Axioma Forte da Preferência Revelada (SARP) 
 
 Dizemos que o SARP (Strong Axiom of Revealed 
Preference) é atendido se para qualquer sequencia 
finita de cestas distintas 0x , 1x ,..., kx onde 10 xx R≥ , 1x ≥ 2xR , 
... , k
R
k xx ≥−1 , nunca ocorre 0xx Rk ≥ . 
 
 
Uma a moderna d gu
Hout r de que o SAR su
 prov o ar mento original de 
hakke P é ficiente para induzir 
ma relaçao de preferência completa e transitiva foi 
ada por Richter, em 1966. 
possibilitando assim a 
ergência do principio da racionalidade nas 
ir que o SARP implica o WARP. 
ização da 
tilidade implica o SARP. 
u
d
 
A conseqüência mais importante contida no SARP é 
que ele elimina a possibilidade de ciclos intransitivos 
na preferência revelada, 
em
escolhas dos consumidores. 
 
Para talpreferencia existirá entao uma funçao de 
utilidade que racionaliza o comportamento 
observado. 
 
Equivalência dos enfoques no caso geral 
 
É fácil conclu
 
Também não é difícil verificar que a maxim
u
 20
 
A demonstração de que o SARP é suficiente para 
 preferência (revelada) 
ompleta e transitiva garante entao a existência de 
do consumidor, é essencialmente 
quivalente à teoria da demanda construída à partir 
de uma 
unçao de utilidade que racionaliza as escolhas 
xistência de uma infinidade de cestas e 
reços. 
ara superar esta limitação, Afriat (1976) introduziu 
iramente mais fraca 
ue o SARP. 
le mostra que o conjunto finito de preços e cestas 
tínua, 
rescente e côncava, que racionaliza os dados. 
Pode existir mais de uma função de utilidade que 
racionaliza o mesmo conjunto finito de dados. 
induzir, entre as cestas efetivamente demandadas, 
uma relação relaçao de
c
uma funçao de utilidade que racionaliza o 
comportamento observado, de modo que o sistema de 
demanda associado possui matriz de Slutsky 
simétrica. 
 
Assim, a teoria da demanda construída únicamente 
com a restrição imposta pelo SARP às escolhas 
observadas 
e
das hipóteses da maximização da utilidade. 
 
Limitações 
 
A capacidade do SARP gerar a existência 
f
pressupõe a e
p
 
Esta é uma séria limitação, pois os dados realmente 
observados sempre são finitos. 
 
P
o GARP (Generalized Axiom of Revealed 
Preference), uma hipotese lige
q
 
Com o GARP, Afriat prova um teorema análogo ao 
teorema da integrabilidade, da seção anterior. 
 
E
atende ao GARP se e somente se existe uma funçao 
de utilidade localmente não saciada, con
c
 
Entretanto, esta funçao de utilidade não fica bem 
definida nas cestas e preços fora da amostra, isto é, 
não observadas. 
 
 21
 e Exercícios sugeridos 
ibliografia:
 
 
4. Bibliografia
 
 
 
B 
N] Cap.5 
JR] Sec.2.1; Sec.2.2, Sec.2.3 
bilidade, funções escolha e a 
velada ver também o livro: 
e J.R.Green, 
 
SN] Cap.5 [
[
[
 
ara a integraP
preferência re
 
A.Mas-Collel e M.D.Whinston 
icroeconomic Theory, Cambridge University M
Press, 1995. Seçoes: 1C, 1D, 2F, 3H, 3J e 4C. 
 
 
Exercícios Sugeridos. 
 
Anpec: 
 2009/ Q05 
 2008/ Q01 
1/ 6.2/6.3/ 6.4/ 6.5; 
Analytical) 
/ 2.8/ 2.9/ 2.10/ 2.11. 
 
 
[SN]: 6.
 6.9/ 6.10. (
 
JR] : 2.4/ 2.5/ 2.6[