OPERANDO VOLATILIDADE

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Opções: Operando a Vo/atilidade tem por objeti 
principal expor técnicas de negociação. Quase todos 
livros sobre opções começam com uma definição cl 
dos contratos e de sua implementação em bolsa, indu 
questões como margem, custos operacionais e im 
prosseguindo com modelos de precificação e, 
relacionando estratégias de negociação que supostalm1et 
utilizem a plena potencialidade dos conceitos e mf'Tn,n, 
de precificação tratados. Opções: Operando a 
procura não perder muito tempo com informações so 
especificações contratuais, custos etc., nem com ex,agf"ra; 
academicismo, dando mais ênfase à precificação, 
baseada na variabilidade dos preços. É indicado a 
estudantes do mercado financeiro e para quem qu 
participar desse mercado. 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Costa, César Lauro da 
Opções: operando a volatilidade/César Lauro 
da Costa. - São Paulo: Bolsa de Mercadorias & 
Futuros, 1998. 
1. Futuros financeiros 2. Opções (Finanças) 
L Título. 
98-3458 CDD-332.645 
índices para catálogo sistemático: 
1. Opções: Contratos: Mercado financeiro: 
Economia 332.645 
ISBN 85-7438-002-4 
BOLSA DE MERCADORIAS & FUTUROS 
Praça Antonio Prado, 48 
01010-901- São Paulo, SP 
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APRESENTAÇÃO 
Desde o início de suas atividades, em janeiro de 1986, a Bolsa de 
Mercadorias & Futuros vem incentivando o lançan1ento de folhetos 
e livros para difundir os mercados futuros e de opções no Brasil. 
Para issoradquiriu vários títulos de autoresestrangeiros, em que 
são apresentadas as experiências vividas em lugares em que a 
negociação de derivativos atingiu extraordinário grau de sofistica-
ção. Mas nem por isso a BM&F se esqueceu de dar total apoio aos 
autores nacionais, para que eles igualmente pudessem deixar 
registrados seus conhecimentos sobre as mais variadas técnicas e 
estratégias de operação, tornando-se fonte de consulta para os parti-
cipantes do mercado brasileiro. 
O livro Opções: Operando a Vo/afzlzdade é o resultado de vários 
anos de pesquisa, com o autor procurando muito mais expor técnicas 
de negociação COm opções do queprornover uma discussão completa 
sobre seus fundamentos. 
A obra se difere da maioria dos livros que trata de opções porque 
não só define os contratos e sua implementação em bolsa, fornecendo 
modelos de precificação e relacionando estratégias, como também dá 
maior ênfase às operações baseadas nas características de variação 
dos preços. 
A publicação do livro Opções: Operando a Vo!atiltdade contribui 
para o desenvolvimento de técnicas e estruturas operacionais, além 
de ser boa leitura para quem quiser participar desse mercado. 
Manoel Felix Cintra Neto 
Presidente da 
Bolsa de Mercadorias & Futuros-BM&F 
Janeiro de 1999 
iii 
INTRODUÇÃO 
Delimitação 
Objetivo do livro 
Terminologia e notação 
Gráficos 
PREÇOS DA OPÇÕES 
Valor intrínsico e prêmio de risco 
Relações necessárias 
MODELO BLACK E SCHOLES 
Equações diferenciais 
Modelo Black e Scholes 
Solução e parâmetros 
Críticas ao modelo 
COMPORTAMENTO DAS OPÇÕES 
Generalidades 
Parametrização 
Evolução dos parâmetros no tempo 
Propriedades das posições 
OPERAÇÕES COM OPÇÕES 
Generalidades 
Especulação 
Operações financeiras 
Estratégias 
OPERAÇÕES DE VOLA TILIDADE 
Generalidades 
Balanço do resultado 
Estimativas de juros e volatilidade 
Acompanhamento da volatilidade implícita 
Carregamento da posição 
Hedge dos juros 
ARBITRAGENS 
Generalidades 
Arbitragem entre volatilidades 
Descasamcntos 
ÍNDICE 
1 
1 
6 
9 
19 
21 
21 
32 
41 
41 
45 
57 
60 
69 
69 
76 
88 
97 
101 
101 
107 
110 
114 
125 
125 
136 
139 
147 
159 
169 
179 
179 
185 
201 
1 INTRODUÇÃO 
Delimitação 
Conceito de opção 
o conceito de opção nasce como um direito negociável de compra ou 
venda de um ativo a um preço futuro predeterminado. Nasce, dizemos, 
porque, apesar de esta ser a definição correta e a essência dos contratos de 
opções mais simples, é cada vez menoS útil definir assim a gama de produtos 
gerados a partir desta base. 
O fato de ser um direito implica que a parte titular possui uma escolha 
possível - exercer ou não exercer o direito. Contudo, não há praticamente 
nenhum tipo de opção em que, dada uma situação e assumida a racionalidade 
do titular, o resultado da escolha não seja conhecido. Isto é, assumindo-se que 
o titular é um agente racional que prefere mais dinheiro a menos dinheiro, na 
, verdade não há escolha alguma sobre o exercício, e a opção deixa de represen-
tar urna escolha para representar um perfil de fluxo de caixa a ser atribuído ao 
titular em alguma data futura. Este perfil é sempre, pelo menos, umafunção 
de um preço Sem uma data qualquer. Pode ser função de outras coisas (como, 
de modo mais simples, de vários preços 51, 52 etc. combinados da maneira que 
se queira), mas sempre guarda uma relação especial para com um preço, do 
qual o produto é derivativo. Esse perfil é chamado função payoffou simples-
mente payoffda opção. 
Como exemplos de payoff, temos primeiramente os payo!fS de uma opção 
de compra (C) e o de uma opção de venda (P) comuns. Esses fluxos represen-
tam o valor do direito de comprar (no caso da cal!) ou de vender (no caso da 
pui) um ativo por um preço predefinido em urna data predefinida, em função 
do preço S deste ativo nessa data (O): 
2 Opções: Opemndo R Volafi!úiode 
c p 
s 
Um segundo tipo de payolf é aquele que pode ser obtido a partir de 
combinações de opções comuns. As combinações assim originadas podem ser 
vistas como novoS tipos de opções (@): 
v v 
s s 
finalmente, há payo[!S que não podem ser montados com as opções 
comuns ClTI quantidades finitas; maS que também representam funções váli-
das: opções tudo ou nada, por exemplo, em que os valores a serem recebidos 
pelo titular variam em patamares, ou opções que possuem uma barreira nO 
exercício, isto é, que perdem todo o valor se o preço 5 encontrar-se além (ou 
dentro) de certos limites (€I). A característica comum dessas opções é que o 
pfl1/oIf é descontínuo em pelo menos um ponto, aparecendo no gráfico comO 
Ullla reta vertiGJl. Essa descontinuidade pode ser aproximada, no limite, por 
composições de opções Comuns em quantidades infinitas: 
OprIlt'-": OperaI/do 11 Vo!afllidadc 3 
v v 
s s 
Todos os exemplos anteriores são de opções que podem ser completa-
mente definidas em termos das funçõespay05'Vx Sna data de vencimento. Isso 
não esgota todas as possibilidades dos produtos que hoje se chamam opções: 
há opções das quais o paljotfnão pode ser definido a prion; pois depende do que 
acontece durante O período até o vencimento. 
Opção americana 
Dentre esses, o caso mais simples é o de urna opção de estilo americano. 
Uma opção americana é aquela que contratualmente pode ser exercida em 
qualquer data até o vencimento. O outro estilo de exercício é o europeu, gue 
só permite o exercício na data de vencimento. 
Para opções de compra americanas sobre ativos que não proporcionam 
rendas adicionais superiores às taxas de juro, um resultado diz que o exercício 
antecipado nunca é mais vantajoso do que a venda e reduz o problema ao das 
opções européias. Mas para opções de venda americanas sobre o mesmo tipo 
de ativo, certas sihmções (notadamente a alta de taxas de juro) favorecem o 
exercício antecipado. Avaliar_ uma pu! (opção -de venda) americana nessas 
circunstâncias não pode ser feito por Black e Scholes, e necessita de um outro 
modelo. O mesmo vale para m//s (opções de compra) americanas sobre ativos 
gue proporcionem rendas maiores que as taxas de juro vigentes. 
Opção asiática 
O (talvez) segundo caso mais simples é o de urna opção pela média, 
chamada comumente de asiática. O valor final desta opção é igual à diferença 
positiva entre um preçofixo e uma média de preços do ativo S. Aparentemen-
te, ela só se difere de uma opção comum pelo fato de que o preço que definirá 
4 Opções: Operando fi Vo/alLlidadc 
seu valor no vencimento é um preço médio, e não um preço final. Contudo, 
essa diferença implica uma separação radical entre ambos os tipos. 
A opção pela média não admite um poyotf conhecido antecipadamente. 
Podem existir infinitos calninhos até um mesmo valor 5 final, cada um deles 
com uma média diferente. Por exemplo, se em cinco dias o histórico do preço 
de um ativo for 100, 101, 105, 103, 101, sua média final será de 102. Se este 
mesmo ativo, em cinco dias, exibir o histórico IDO, 99, 97,98,101, terá um preço 
médio de 99, apesar de ter encerrado o quinto dia no mesmo preço. 
Aqui há que se abrir um parêntese para opções pela média geométrica. 
Devido a uma propriedade matemática, todo caminho queresultarem um mesmo 
número final possui a mesma média geométrica. Portanto, opções sobre a média 
geométrica - e não aritmética - possuem de fato um payofffixo e conhecido. 
Opção de barreira 
Como último exemplo de opções que não têm um poyotffixo, podemos 
citar opções de barreira (knock-ollf ou kl7ock-t/z). As opções tipo knock-ollf são 
extintas no caso de algum evento ocorrer durante o prazo da opção ou durante 
um período definido entre duas datas. Este evento geralmente é o ativo atingir 
um determinado preço, chamado preço de barreira. As opções knock-zll inici-
almente não existen1, e passam a valer apenas se um determinado evento 
ocorrer. No caso de uma opção knock-out, pode-se devolver ao comprador 
algum valor diferente de zero no caso em que a opção é extinta, e este valor é 
chamado de rebate. 
Opção explosiva 
Existeuma classificação que distingue também opções explosivas (explodzJzg 
opfio71st que dão exercício antecipado obrigatório diante de l.lrn evento, mas 
essas opções podem ser vistas corno casos particulares de opções knock-ouf. 
Nos casos exemplificados anteriormente (e em vários outros), a fi.mção Vx S 
tem de ser condicionada a toda a vida da opção. É in1possível representar com 
apenas um PI7Yotf todas as possibilidades e condicionantes de preço até o 
vencimento. 
Opções vanilla x opções exóticas 
Para o escopo deste livro, pelo menos até o penúltimo capítulo, restringi-
remos a generalidade àqueles tipos vistos em primeiro lugar (O, f) e €I), com 
Ojlfc!t'5: OpcllIlldo fl f/o!a!t/tdfldc 5 
foco nas opções tipo 1, as quais chamaremos de opções vallllla européias. O 
termo UilJ//!/a (baunilha) designa o tipo comum de opção. 
O oposto de vmlllla é exótico. Nos últimos anos, a fronteira entre o que é 
exótico e o que não é vem-se lnodificando, conforme os tipos mais sofisticados 
vão ficando mais corriqueiros. Uma característica comum a quase todas as 
opções exóticas, no entanto, é a inexistência de um payojffixo definido para 
uma data fixa (a data de vencimento). 
Path-dependence 
Os três exemplos anteriores de opções exóticas (opções-americanas; 
asiáticas e de barreira) referem-se a opções pofh-depclldenf, quer dizer depen-
dentes do caminho. Caminho aqui é o percurso que o preço Sfará até a data de 
vencimento. Elas têm de ser especificadas pelos eventos a que são sensíveis, 
além da curva Vx 5 (às vezes.r a curva é o menos importante de tudo). Assim 
como as opções zJOl1llla, as pafh-depelldeJlf podem ser precificadas, admitem o 
cálculo de taxas de hedge (deltas, vegas etc.) e podem participar de booksjunto 
a outras opções quaisquer. O que as diferencia das vOlzil/a não é isto, mas a 
aplicabilidade do tratamento matemático que será aqui apresentado. 
Tratamento matemático 
o tipo de tratamento matemático a que nos referimos anteriormente se 
resume no seguinte: a) modelar as propriedades das variações de preço das 
opções de modo a chegar a equações válidas para quaisquer condições; b) 
encontrar soluções analíticas para as equações, isto é, fórmulas que ditem o 
valor V de uma opção em qualquer instante, sob quaisquer condições que 
sejam dadas; c) derivar a fórmula da solução analítica em relação a cada um dos 
fatores que influenciem o valor da opção, de modo a se ter um espelho da 
exposição que se tem a cada fator. Notadamente, os fatores que nos interessa-
rão são taxas de juro, prazos, o próprio lllercado de S -são fatores de mercado. 
Uma posição eln opções é uma posição simultânea em vários mercados, e terá 
mais sucesso em lidar com ela quem conseguir separar com precisão os efeitos 
e exposições a cada um deles. E, finalmente, d) conhecer como esses fatores 
evoluem de forma dinâmica e em relação uns aos outros. 
Tudo o que for exposto neste livro valerá para as opções de compra (ml!s) 
e de venda (Pl/ls) vtllll!!a (O) européias. As opções imediatamente mais 
genéricas (6) adlnitem a lnesma discussão lnatemática.r obedecem à rnesm0 
equação diferencial e não são mais que combinações das opções do primeiro 
6 Oproes: Opemlldo fi Vo/ati/Idndc 
tipo. Porém, não se pode dizer que tudo o que vale para uma va7ll!!avale para 
uma combinação. Por exemplo: o delta de uma call va1ll!/a é um número entre 
O e 1; o delta de uma combinação pode ser um número qualquer. Neste livro, 
as opções tipo 2 figurarão como posições, combinações ou estratégias. 
As opções da terceira espécie (€I) também se enquadram na me'sma 
discussão matemática, também obedecem à mesma equação diferencial, mas 
necessitam de um desenvolvimento específico para as fórmulas de cada caso, 
e não podem ser tratadas como combinações de cal/se pzds vtlJzillo, a não ser no 
limite. Corno não são muito freqüentes, não vale a pena, senão a titulo de 
curiosidade, conhecer as fórmulas relativas a elas. 
Opções sobre mais de um ativo 
É preciso quese diga que nem tudo que é exótico épath-dependent. Durante 
muito tempo, opções tudo ou nada, binárias, corno as do tipo elementar €I 
foram consideradas exóticas. Igualmente, uma opção sobre dois ativos (em 
que se dá o direito ao comprador de escolher a melhor entre duas rentabilida-
des variáveis) é uma opção dita exótica, mas sua estrutura é a de uma vanilla 
em que o payc!ffé uma função de duas variáveis em vez de uma. Assim como 
a vfllI/l/a, a opção sobre dois ativos não é pilfh-dependent, obedece à equação 
diferencial de Black e Scholes e pode ser analisada pelo mesmo ferramental 
ma temá tico. A dificuldade em lidar com ela é a intromissão de um fator pouco 
conhecido, pouco estável e pouco previsível- a correlação entre as rentabili-
dades dos ativos - nos problemas relevantes. Precisamente por isso, a opção 
sobre mais de um ativo é considerada sofisticada e incluída no grupo das 
exóticas. 
Objetivo do livro 
Modelos operacionais 
Sendo o objetivo deste livro muito mais expor técnicas de negociação com 
opções do que promover uma discussão completa sobre fundamentos, deve-
mos delimitar também quanto a isso seu escopo. 
Quase todos os livros sobre opções começam com uma definição clara dos 
contratos e de sua implementação nas bolsas - incluindo questões como 
margem, custos operacionais e impostos -, prossegue fornecendo modelos de 
precificação e, finahnente, relaciona estratégias de negociação que suposta-
mente utilizem a plena potencialidade dos conceitos e métodos deprecificação 
7 
"istos. O plano do presente livro desenvolve-se de forma semelhante até o 
limiar dos capítulos sobre técnicas operacionais, a partir dos quais dará mais 
ênfase não às operações baseadas na precificação, mas a operaçoes baseadas 
nas características variacionais dos preços. A diferença será notada ao longo 
do livro, tanto em relação aos temas selecionados quanto em diferença de 
conteúdo. Isso deve-se à existência de duas linhas operacionais distintas (ou 
duas maneiras diferentes de encarar o problema de "como ganhar dinheiro 
com isso?"), as quais serão detalhadas a seguir. 
A primeira linha, tradicionalmente mais antiga, trata do frading preço-
orientado, e concentra-se em negociar opções mais olfmenos como se negocia 
qualquer outro ativo - procurandovender mais caro do que se comprou, ou 
comprar mais barato do que se vendeu - com a ressalva de que os preços das 
opções podem ser aproximadamente definidos em função de determinados 
fatores. De maneira parecida à dos analistas fundamentalistas de ações, que 
procuram com seus métodos chegar à melhor estimativa do preço justo de um 
título, os fraders preço-orientados de opções rodeiam-se de todos os recursos 
para chegar à melhor estimativa do preço justo de uma opção. Isso inclui tentar 
explicar os comportamentos irregulares que os prêmios exibem em condições 
singulares de mercado, tentar reduzi-los a uma expressão matemática que 
possibilite perfeito ajuste. O grande problema que se coloca ao analista preço-
orientado de posse do prêmio justo de uma opção é: O que fazer com ele? Se o 
mercado difere-se dele, deve-se tentar alguma arbitragem? Que tipo de 
operação utilizar? Como o fraderpreço-orientado tem no prêmio das opções 
seu alvo e ponto de referência, e como os prêmios são predominantemente 
sensíveis ao preço 5 do objeto, o tradzizgpreço-orientado acaba aproximando-
se de uma adição de valor ao fradlÍlg direcional do ativo 5 pela escolha do 
melhor instrumento a ser utilizado na posição. Na verdade, muitas vezes o 
operador de opções e o Irada principal do ativo confundem-se em uma só 
pessoa. Uma das deficiências da linha de raciocínio preço-orientado é a 
confusão entre produtos possíveis: uma operação/posição/estratégia pode 
tnmsformar-se em outra indefinidamente, e os _operadores são levados a 
ingressarem um cOllhJ1ltll/J/que éjustificado, na maioria das vezes, apenas pela 
exposição à direção de S. 
Asegunda linha de fradillgé a volatilidade-orientada. Seu objeto principal 
não é oprêmio da opção, e sim um dos fatores subjacentes a ele - a volatilidade, 
que será vista nos próximos capítulos deste livro. O conceito de preço justo tcm 
importância secundária para os membros dessa escola, que trabalham mais 
freqüentemente com O problema inverso ao da precificação: dado o prên1io de 
mercado da opção, qual a volatilidade embutida nele? De posse dessa 
8 Opções: Operando (( Vollltilldade 
volatilidade, O frader pode comprá-la ou vendê-la por meio de operações 
específicas. Na analogia com o analista fundamentalista de ações, o frada 
volatilidade-orientado parece-se com aquele que, em vez de operar os preços 
das ações, opera seus P /Ls. Algumas vezes, o operadorvolatilidade-orientado 
poderá estar interessado em confrontar a volatilidade lida do preço de uma 
opção com o que ele estima ser a volatilidadejusta de um mercado, o que quase 
reduz seu método a uma inversão do método preço-orientado, mas outras 
vezes ele estará interessado apenas em especular com ela, da mesma forma que 
muitos especula dores em ações e commodifiespartem para o fradzilgdirecional 
sem se envolver com qualquer consideração sobre o que seria O preço justo do 
ativo com o qual estão lidando. Em outras vezes, o Irader volatilidade-
orientado estará apenas arbitrando volatilidades, e aí sequer lhe interessa qual 
é o nível justo ou a direção da volatilidade. O Irader volatilidade-orientado 
geralmente trabalha hedgeado contra 5, de forma que a ele não importa em 
absoluto qual direção tomará o ativo-objeto. De modo abrangente, se forem n 
os fatores que influenciam nO prêmio de uma opção, ele procurará que n - 1 
fatores possam ser definidos sem dúvida e/ou Izedgeados, e operará o fator 
restante. Muitas vezes, o hedge requerido será dinâmico, O que significa que o 
operador terá de promover ajustes periódicos em sua posição. Assim sendo, 
as operações típicas dessa escola tendem a ser mais complexas. Em 
contrapartida, tirarão proveito de muitas ineficiências que o mercado, 
medianamente despreparado, exibirá. 
Dentre os membros da linha volatilidade-orientada estão não só os que 
deliberadamente operam volatilidade como seu principal produto, mas tam-
bém os que têm como função atender à demanda indistinta do mercado por 
opções, e por finalidade fazê-lo sempre com margem. Os book runners de 
opções OTC representam esta última categoria. 
Abaixo, sintetizamos as maiores diferenças entre as duas linhas. Quere-
mos deixar claro que não existe o reconhecimento de nenhuma dicotomia 
profunda entre os dois esquemas, nem uma oposição nem uma rivalidade. O 
que existe são nichos onde um ou outro é predominante. 
Resumidas as duab tendências principais em opfion frading, devemos 
esclarecer que o presente livro identifica-se com a linha volatilidade-orienta-
da, e que esta será a tônica dos capítulos que tratam de assuntos eminentemen-
te operacionais. Contudo, o Capítulo 5 é reservado à descrição tradicional dos 
produtos de opções, e nele será encontrado material interessante ao operador 
de qualquer orientação. 
Com esta delimitação, fica claro que alguns assuntos são considerados 
não pertinentes para O escopo deste livro. Procuraremos identificar tais 
C1YOó'S: Operalldo fi Volnflltdnde " 
Prêmio-orientada Volatilidade-orientada 
Difusão Majoritária Minoritária 
Objeto de especulação prêmio das opções volatilidade implícita 
nas opções 
Técnica principal calcular prêmio justo calcular volatilidade 
implícita 
Questão principal a opção está sobre ou a volatilidade vai 
sub-avaliada pelo mercado? subIr ou var caIr? 
Operações usuais spreods e combinações operações hedgeadns c 
entre opções (estratégias) dinâmicas. 
Operador típico especulado r que faz uso operador de volatilidadei 
de opções no tmdlÍlg book nmnerde OTe 
direcional; optiOll tmder 
Posição diante de modelar operar 
irregularidades 
Ponto forte permite uma gama maior define claramente um 
de operações; posições risco a ser operado; 
geralmente mais alavanca das sofisticação propicia 
vantagem competitiva 
Ponto fraco confusão entre princípios posiçoes pouco 
operacionais alavancadas 
assuntos, dando uma ligeira explanação e não nos detendo muito neles. Este 
é mais um dos motivos pelo qual centraremos atenção no modelo Black e 
Scholes como originariamente concebido, pela sua simplicidade e conveniên-
cia, em vez de esparsar o conhecimento por meio de outros modelos possivel-
mente mais acurados. 
Terminologia e notação 
PreçoS 
o tipo de opção que nos interessa é a cal! ou pu! Dtlm/ltl européia, que é o 
tipo mais simples e mais negociado de opção. Uma call ou pu! Dtlm/lo fica 
completamente caracterizada por sua data de exercício e por seu preço de 
exercício. Alémr é claro, da definição de qual é o ativo ou contrato sobre o qual 
10 OpÇOI'S: Operando f1 Volafllidade 
é lançada. Genericamente, a opção é lançada sobre um preço, que não precisa 
ser necessariamente o preço de um ativo (pode ser uma taxa, um índice, uma 
quantidade ou qualquer outra coisa que se convencione valer dinheiro). Por 
isso, usaremos a expressão preço Sou apenas Spara representar o objeto.sobre 
o qual a opção é lançada e, no caso de exercício, liquidada. 
O preço S, segundo seu tipo, influi no tratamento que é dado à opção. O 
que difere o tipo do preço 5 são duas coisas: a primeira é seu caminhamento.l 
ouseja, que espécie de evoluçãO podemos esperar dele. Opreço de um contrato 
de DI futuro, por exemplo, evolui em direção a 100.000; já preços de ações 
partem de um valor conhecido hoje e podem adquirir qualquer valor no 
futuro; por outro lado, preços de contratos futuros variam tanto quanto preços 
de ativos, mas têm a diferença de não representar custo de carregamento. No 
Brasil das altas taxas de inflação + juros, poderíamos dizer que o preço de um 
ativo a vista deveria acompanhar o custo do dinheiro e o preço de um futuro, 
não. As três figuras abaixo exibem as diferenças de padrão de caminhamento 
entre estes exemplos: 
DI futuro futuro 
tempo tempo 
A segunda coisa que difere o tipo do ativo é a renda que seu possuidor 
ilufere. Ações proporcionam dividendos, moedas proporcionam juros, ouro e 
muitos outros ativos proporcionam aluguel. A expressão geralmente conhe-
cida do modelo Black e Scholes foi desenvolvida para ativossem renda (ações 
que não pagam dividendos) e é este tipo de ativo que vamOS considerar aqui, 
até porque este modelo também serve para opções protegidas contra dividen-
dos, que são o caso brasileiro. 
Opções protegidas 
Opções protegidas são aquelas que têm seus preços de exercício automa-
ticamente "iterados em caso de distribuições de proventos, como por exemplo 
11 
u fato de uma ação ir ex-dividendo. Opções protegidas devem ser tratadas pela 
formulação original de Black e Scholes para ações sem dividendos. Isso torna 
tal formulação muito útil, mesmo nos mercados reais, em que ações pagam 
dividendos. 
Eventualmente, apresentamos também discussões e modelos de opções 
não protegidas sobre ativos que proporcionam renda. 
Então, nos interessam preços de ações que não pagam dividendos, para 
os quais foi desenvolvido originariamente todo o instrumental de preciiicação 
de opções. Sem muito esforço adicional, pode-se transportar todo o desenvol-
vimento para O caso de cOlJllllodüies (metais, agrícolas e,moedas). Dedicaremos 
alguns parágrafos do último capítulo aos juros, que não podem ser tão 
facilmente tratados. 
Assim, as opções a que nos referiremos aqui são sobre ações ou c01lll1lodities, 
c 5 será, de fato, o preço de um ativo. 
Preço de exercício (K) 
O preço de exercício (ou s!nke price ou abreviadamente stnke) de uma 
opção é o valor de S além do qual o exercício possui um valor positivo. Para 
valores de 5 aquém do preço de exercício (notado por 10, a opção não possui 
nenhum valor no venómento. Calls valem (5 - 10 para 5> K, e zero caso 
contrário; pufsvalem (k -5) para 5 < JC e zero caso contrário. Ca!lsdão exercício 
para valores de Smaiores do que o preço de exercício; e putsdão exercício para 
valores de 5menores do que o preço de exercício. Chamamos as quantidades 
(S -/..1 ou (K -5), quando positivas, de valor de exercício, isto é, a quantidade 
de dinheiro que se encaixa por meio de um exercício favorável. 
Prémio(V) 
Opções são direitos negociáveis, o que quer dizer que possuem um preço 
ou prêmio (para evitar confusão com preço de exercício) pelo qual são 
lZlI1çadas, e pelo qual são negociadas nos mercados organizados. Notarelnos 
o premio de urna opção por Vindependente de ser ela urna cri/lou put. Quando 
nos referirmos especificamente ao prêmio de uma cal/, notaremos por C, e 
quando nos referirmos ao prêmio de urna pll!, por P. Urna vez que opções são 
derivativos - têm seus preços condicionados ao preço de outro instrumento-
espera-se que se possa encontrar 1.llua fórmula para o prêmio justo de uma 
upção eIn função do preço prim.itivo S dentre outras coisas. Todo esforço eTn 
modelar opções gira em torno do prêmio justo dadas condições. 
12 Opções: Opemlldorr Volrrttlidrrde_ 
Payoff (0/ X S) 
As funções pay0'fquenos interessarão aqui são as funções pay0'fde opções 
Vt7lZl1!a européias, as quais têm perfis como mostrado em (O). A forma 
matemática dessas funções é: . 
c= max (0, 5" -.K) 
P'= max (O, K - 5") 
sendo C*e P*os valores de exercício de uma m!!e umaput(iguais ao valor da 
opção na data de exercício)f K o stnke price, e 5* o preço do ativo na data de 
exercício. 
O prêmio pelo qual uma opção é negociada reflete as expectativas sobre 
seu valor de exercício. Na data de exercício, o preço de uma opção é exatamen-
te igual a seu valor de exercício, sendo indiferente exercê-Ia ou vendê-Ia 
(devido a regras das bolsas e a questões de liquidez, é muito mais comum o 
exercício). Isto significa que toda informação acerca do exercício de uma opção 
está contida em seu prêmio, e que o prêmio sempre converge para o valor de 
exercício, na data de exercício. 
Refletir as expectativas significa dizer que uma opção deveria negociar 
hoje ao valor presente de seu valor de exercício esperado. Para se calcular o 
valor de exercício esperado, deve-se projetar 5 para a data de exercício de 
alguma forma. Esta projeção é feita utilizando-se as taxas de juro do mercado. 
Pode-se questionar se a projeção via taxas de juro é uma boa estimativa; 
afinal, nenhum ativo real é obrigado a corrigir juros; pode-se argumentar que 
melhor estimativa seria projetar Spelo mesmo valor que ele apresenta hoje, ou 
no máximo acrescentar a ele a inflação. Acontece que a projeção por juros não 
parte da premissa de que todos os ativos devam acompanhar os juros, mas de 
uma outra sutilmente diferente: a de que o valor médio visualizado pelo 
mercado para um ativo em data futura coincida com seu valor futuro. Isto é, 
O mercado, como um todo, visualizaria o ativo no futuro como sendo o seu 
preço 8. vista carregado aos juros correntes. Se o mercado visualizasse O preço 
Sacüna de seu valor futuro, sem dúvida promoveria urna pressão compradora 
que acabaria elevando 5 e corrigindo a diferença; se visualizasse abaixo, 
promoveria uma pressão vendedora. Em ambos os casos, o valor de 5 que hoje 
equilibra as expectativas teria a propriedade de, carregado a juros, coincidir 
com o preço esperado pelo mercado para a data futura. 
Um mercado onde especulaclores tenham essas expecta tivas é dito neutro 
ao risco, ou T/~~·k-llellfr!l1. Em um rnercado n~*-llellfralf é fácil justificar a projeção 
OJytic . .;: Opnw:do fl Volalifidfldc 
para O futuro pela taxa de juro livre de risco. O fato é que é difícil comprovar 
o COTIlportamento risk-neufralno Dlercado real. No entanto, um axioma diz que 
a suposição de um mundo risk-ncufral não é necessária para a precificação de 
futuros e opções: mesmo em um mundo não nsk-ncutral, derivativos têm 
preços iguais aos que seriam a eles atribuídos em um mundo risk-neutral, e isto 
dá-se pela existência de arbitragem. No próximo capítulo, veremos como isso 
ocorre. 
furos (r) e prazo (t) 
Uma vez que o prêmio de uma opção depende dos valores liquidados no 
futuro, ele sofre influências da taxa de juro livre de risco corrente no mercado 
e, logicamente, do prazo até o vencimento da opção. A taxa de juro será notada 
por r: este é o custo médio do dinheiro desde a data atual até a data de 
vencimento das opções, expresso em unidades compatíveis ao prazo: se o 
prazo for medido em dias, rdeve ser medido em porcento ao dia. Na maioria 
das vezes neste livro, por comodidade, r será expressa como taxa efetiva no 
período; algumas outras vezes será expressa como taxa over, e assinalada com 
IX) over. 
A literatura especializada em opções geralmente introduz o conceito de 
taxa continuamente composta antes de descrever os modelos de precificação. 
U ma taxa de juro continuamente composta é capitalizada infinitesimalmente, 
e é uma comodidade para quase todos os modelos de derivativos, pois estes 
consideram o tempo uma variável contínua, e não discreta. Assim, se uma taxa 
de Juro é tal que proporcione o valor futuro (1 + r) após uma unidade de tempo, 
a taxa contínua equivalente re será igual a 
rc= /n (1 + r) 
l' o fator valor futuro relativo a essa taxa sobre o período t será igual a 
VF= C,,:Xf 
que coincidirá com (1 + r)t. Exemplificando a conversão de taxas de juro para 
taxas contínuas, temos a tabela abaixo, em que a primeira coluna é uma taxa 
de juro linear, a segunda é urna taxa de juro continuamente composta, e a 
terceira é o resultado de e (ex f. 
14 Opçoes: Opera1ldo /l Vo/ailhdade 
Juro linear Taxa contínua 
1% 0,995% = 0,00995 1,01 
2°! ;o 1,98% = 0,0198 1,02 
5% 4,88% = 0,0488 1,05 
10% 9,53% = 0,0953 1,10 
20% 18,23% = 0,1823 1,20 
50% 40,54% = 0,4054 1,50 
Na notação utilizada neste livro, os cálculos de valor presente e de valor· 
futuro são notados por VP() e VF(f respectivamente. Fica subentendido que 
VPOpode significar tanto (1 + r)' quanto é cxt dependendo da forma como se 
esteja expressando a taxa de juro. Por isso mesmo, sempre que possível,· 
pouparemos o leitor de considerar a conversão de taxas de juro para taxas 
contínuas antes de entrar nos modelos. 
Consideramos o leitor fundamentado em matemática financeira. Dado 
um fluxo de caixa composto de uma quantia aplicada na data presente 
(aplique) e uma quantiarecebida em data futura (resgate), a taxa de juro efetiva 
no período é dada por: 
( 
resgate 
r'f = aplique 
Assumindo que o período entre o aplique e o resgate é de tdias úteis (ou 
saques), a taxa de juro desta aplicação, expressa em taxa ODeT, é dada por: 
l 
1 1 _ resgate I ,.., o r"cc - ( . J -1 Xo.OOO 10 
aplIque 
A partir de janeiro de 1998, foi introduzida uma nova modalidade de 
medida de taxas de juro, que é a taxa anual: 
l 
252 1 _ resgate I o 
r""" - ( . J. -1 X 100 1" 
aplzque 
Opriil's: Opi'rrllldo fl Volfll!!tdrrde 15 
o prazo até o vencimento da opção será notado por t. O tempo t significa 
prazo e não ten1po decorrido, e portanto é contado a partir do vencimento pô ra 
trás. O tempo t= O é, então, a data de exercício da opção; se há 20 dias úteis de 
hoje até o exercício, o tempo t= 20 corresponde à data de hoje. Rigorosamente, 
f será o prazo medido em dias úteis. 
Opção sobre futuros 
Urna opção pode ser sobre ativos a vista ou sobre contratos futuros. De 
modo semelhante, a expectativa de valor de exercício de urna opção sobre 
futuros dá-se pela estimativa-de qual-será a cotação do contrato Íuturo na data 
de exercício. Se chamamos a cotação de um contrato futuro de F e utilizamos 
este parâmetro para precificar a opção} então a este parâmetro Fnão se deve 
acrescentar nenhuma correção a juros, visto que ele já representa um valor no 
futuro. Seja qual for o prazo da opção e o prazo do futuro subjacente, Fserá o 
valor a ser utilizado no modelo. Dizendo em outras palavras, a estimativa da 
cotação do futuro em qualquer data é F 
Antes do último capítulo, estaremos lidando com opções sobre ativos, e 
não sobre futuros. Por isso, a notação F será mais útil para designar o valor 
futuro de 5 em uma data específica, especialmente na data de vencimento de 
uma opção. 
Ativo com carry (i) 
O ativo Ssobre o qual contratos de opções ou de futuros são abertos pode 
ter um carrypositivo ou negativo além dos juros. Este can:vpode ser um custo 
(custos de estocagem, transporte e seguro) ou uma renda (aluguel). Os casos 
em que o ativo Sproporciona um aluguel são muito mais freqüentes, incluin-
do-se aí quando 5 é uma moeda estrangeira, que proporciona juros. 
A formação de preços futuros nesses casos prevê que Fseja o valor de 5 
agiado pelos juros e desagiado pelo carry, o que introduz em toda nossa análise 
mais um elemento,/ o c!7nydo ativo S. Se uma opção é sobre futuros, tanto r 
quanto j já estão embutidos nas expectativas sobre F esta opção não sofre 
influências significativas desses parâmetros (mais exatamente, não sofre 
influência alguma de j, e sofre a influência de T somente porque esta é a taxa 
usada para retroceder a estimativa de valor de exercício para o presente; 
obtendo-se assim o prêmio a vista da opção). Se a opção é sobre spof, então 
tanto rquanto jserão fatores influentes no preço. Embora quaisquer fórmulas 
dZlS que veremos aqui possam ser adaptadas para opções sobre ativos com 
16 Opções: Operando fi Vola/dirlar/e; 
cany, varnosnos restringir a opções sobre ativos sem carry, onde jéigual a zero. 
Desse modo, j não aparecerá em nenhuma expressão, a não ser em casos 
especiais comentados à parte. 
Conceber qual seria o efeito do Cflrry jno preço de uma opção sobre ativo, 
a vista é simples: simplificadarnente, o canypossui um efeito sempre coÍ1trário:! 
ao da taxa de juro (se o canyfor negativo, possui um efeito semelhante ao dos' 
juros; afinaL o juro é um carry negativo - um custo financeiro). Para uma;-
avaliação exata, existe o modelo de Garman-Kohlhagen, uma adaptação . 
Black e Scholes, que será visto no último capítulo. 
Volatilidade (cr) 
o último fator que falta ser investigado é a volatilidade, que merece um! 
capítulo à parte. Ela é o quinto elemento que influi no preço de uma opção', 
sobre ativo sem carry (para um ativo com carry, é o sexto), e é notada por s~: 
(sigma, a mesma letra grega que designa, em estatística, o desvio padrão). 
Os fatores anteriores estarão exaustivamente presentes no decorrer do:-
livro. Apresentaremos agora definições finais sobre a linguagem do texto. 
Sempre que um asterisco (*) vier depois de um símbolo (por exemplo, C1, 
está~se identificando uma condição na data de exercício. Assim, C";. P*e V*são I 
todos símbolos de prêmios de opção não em um momento qualquer, mas j • 
prêmios na data de exercício, ou seja, valores de exercício. Todas as curvas V; 
x 5 exibidas neste primeiro capítulo do livro são, na verdade, curvas V*x 5*, 
pois só se verificam no exercício da opção. 
Notação diferencial 
Muitas vezes, estaremos lidando com diferenciais elTI vez de quantidades. 
Muitos dos métodos aplicados a operações com opções preocupam-se antes' 
com variações de valores do que com os próprios valores. Além disso, boa ( 
parte da teoria de precificação de opções utiliza equações diferenciais. Nota-j' 
remos por dxuma variação infinitesimal da grandeza x. Por axa mesma coisa, \ I 
quando no contexto de diferenciais parciais (isto é, quando houver variações" 
infinitesimais de outras grandezas envolvidas). E por Dxuma variação finita, ( 
extensa, mensurável, da grandeza x. Dxpode ser definido como (xl - xO), ou 
a diferença entre o valor final e o inicial de x durante um processo qualquer .. · 
OptC!,'s: Operando a Vo/ah/ldade 17 
Seria o equivalente ao ,6.x da matemática e física elementares, e só não o 
escrevemos desta maneira para evitar a confusão com O parâmetro delta das 
opções, que também é representado pela letra grega delta ("'). 
Conceitos operacionais 
o livro é eminentemente operacional, e o jargão de mesa de operações é 
utilizado. Consideramos o leitor entrosado o bastante para que não lhe sejam 
totalmente estranhos termos como posição (quantidade de unidades que se 
possui de um ativo ou derivativos), exposição (tamartho de uma aposta ou 
risco específico), traáúlg de direção (aposta na aita ou na baixa de um preço), 
IIel~re (redução ou anulação de um risco mediante a adição de instrumentos 
adequados à carteira), "operação seca" (operação em apenas um instrumento), 
ou "operação travada" (operação em mais de um instrumento, geralmente em 
direções contrárias). 
No momento oportuno; definiremos contratos futuros. Procuraremos 
diferenciá-los de contratos a termo no sentido em que nestes últimos a 
liquidação dá-se no vencimento, e que nos primeiros, ela é feita por ajustes 
diários. Todo contrato aqui referido como um contrato futuro é liquidado por 
ajustes diários, o que faz com que a equivalência entre posições a vista e em 
futuros seja mais próxima da igualdade entre seus valores financeiros do que 
da igualdade entre suas quantidades. Contudo, o preço de um contrato futuro 
é igual ao preço de um negócio a termo (considerando que a taxa de juro não 
seja correlacionada com o preço do ativo), e será notado por F 
Em alguns pontos do livro, estaremos lidando com posições, que podem 
ser indistintamente chamadas de carteiras, portfolios etc. Notaremos por TI o 
valor financeiro líquido de uma posição. Alguma confusão pode ser feita, pois 
a mesma definição é às vezes notada por V, no sentido que uma posição de 
opções não deixa de ser uma opção genérica (como as do tipo @ anteriormente 
visto), possuindo um valor V que relaciona-se com os fatores fundamentais da 
mesma forma que o valor deuma opção individual o faz. Contudo, de acordo 
COm o contexto, pode-se dizer que sempre que estivermos designando uma 
carteira por Vela estará sendo abordada pelo ponto de vista sintético segundo 
o qual uma carteira equivale a urna única opção, e sempre que a estivermos 
designando por TI ela estará sendo abordada pelo ponto de vista analítico 
segundo o qual uma carteira é um conjunto de opções em quantidades 
definidas. 
Será comum lidar também con1 o conceito de resultado; que notamos por 
, R. O resultado de urna posição é a variação-positiva ou negativa - de seu valor 
18 Opções: Operando (1 VoJafi/idad( 
líquido, entre dois estados quaisquer. Formalmente, R ~ DV (ou R~ DTI) 
Muitas vezes, os dois estados entre os quais se dá o resultado da operação são: 
a entrada na posição, na data atual; e o exercício da posição, na data de 
vencimento das opções que a formam. Este é o caso implícito em todos os'~ 
gráficos R*x S*que serão vistos na próxima seção. ' 
O presente livro trabalha com O conceito de marcar a mercado (mark-fo_: 
lIlorket) em que se calcula o resultado de todas as pontas no dia, entre ri 
fechamento do dia anterior e o fechamento do dia atual, desconta-se o custo de' 
carregamento (custo de oportunidade) para instrumentos que impliquem 
caixa (ativos a vista e prêmios de opções) e soma-se o resultado de dar frade ou 
giro. Para simplificar, posições de ativos a vista e opções são calculada, 
considerando-se o preço de fechamento do dia anterior acrescido de um CDI, 
de modo a já descontar o custo de carregamento. Uma fórmula para o 
resultado de um dia de uma posição é: 
Onde Rié o resultado da i-ésima ponta. Se esta ponta for uma posição em ativos 
a vista ou opções, seu resultado é dado por: 
Ri ~ Qi X [Pi,' -PU-l X (1 + CDI)] + Ri.gim 
onde Qi é a quantidade do instrumento ao final do último pregão, Pi é su, 
cotação, os índices f e f- 1 referem-se aos fechamentos de hoje e de ontem, € 
Ris/ri) é O resultado de giro, ou seja, o resultado das operações realizadas nd-
próprio dia (hoje). Este resultado de giro pode ser calculado levando-se a 
fechamento todos os frades realizados no dia, ou seja: 
Ri.gim ~ L.Qi.! X(Pi.t-Pi,j,t) 
i 
onde o índice ;'significa cada fradeexecutado (compra ou venda) no instrumen 
to, Q . . significa a quantidade negociada, e p . . f significa o preço em que foi 
I, } I,}, 
realizado. ; 
Se a i-ésima ponta for um contrato futuro, liquidado por ajustes diário': 
Ri será o valor do ajuste diário, ou: 
Ri ~ Qi X [Pi,t - Pi,H] + Rgim 
0flíl7Ó',' Ofltrfll!dD a Vo!af1!,dade 19 
Observe-se que aqui estamos falando de futuros de ações, moedas, 
cOJJllllodlties ou, generalizadamente, de futuros autênticos. Mercados spot 
liquidados por ajustes diários, corno é o caso do DI futuro, têm o ajuste diário 
descontado de um CDI, c sua forma de cálculo é semelhante à dos ativos e 
opçeSes. 
O resultado acumulado da operação ao longo do tempo só é conhecido 
somando-se os resultados diários acumulados pelo CDI. Neste livro, a única 
incorreção que se comete é não carregar os resultados diários pelo CDI na sua 
acumulação, de modo a tornar a verificação das contas mais simples. 
Dificilmente entraremos em exemplos que neoessitem do cálculo de 
resultado de giro, pois é comum, principalmente em simulações, considerar 
que os frades são executados ao preço de fechamento do mercado no dia. 
Gráficos 
Quanto aos gráficos apresentados no livro, eles são de dois tipos: curvas V 
x 5 (p!lYof!S) nas quais está representado o valor ou prêmio de uma opção ou 
posição em função de vários valores possíveis de 5, ou gráficos de resultado 
R x 5 de uma operação. As curvas V* x S*são casos particulares de curvas V 
x 5, e mos tram o p!ly0f a tribuído no exercício ao possuidor de uma dada 
posição em opções. Este fluxo de caixa não precisa ser necessariamente não 
negativo para todos os valores de 5* (o é em caso de compra seca de uma 
opção): muitas estratégias com opções premiam o possuidor com um valor de 
exercício negativo em certas situações. 
Já o gráfico de resultado de uma posição é a soma de seu pay0fV* x 5* com 
O encaixe (ou desencaixe) realizado na data atual para construir a posição. No 
caso da compra de uma opção, há um desencaixe na data atual, que pode não 
ser coberto pelo exercício (no caso de V*ser nulo, ou mesmo positivo porém 
inferior), daí uma possibilidade de prejuízo (resuitado negativo) na posição. 
Por isso, a curva R* x S*de uma compra seca de opção apresenta uma porção 
negativa, equivalente ao prêmio que se pagou pela opção. 
Abaixo estão dois exemplos de curvas V* x S*e seus respectivos gráficos 
R' x S~ Note-se que o segundo exemplo mostra uma posição que prevê um 
fluxo de caixa negativo no exercício, e que é construída com encaixe hoje. Em 
cada caso, está representado no gráfico de resultado a quantidade de dinheiro 
desencaixada ou encaixada para montar a posição: 
20 OpçiJes: Opemndo tl Volaftlidaril_ 
C* R* 
c 
V* R* 
'--....J'----__ \~ ______ _ 
5* 
v 
5* 
2 PREÇOS DAS OPÇÕES 
Valor intrínseco e prêmio de risco 
Dando seguimento à discussão iniciada no capítulo anteriorf em que 
vimos rapidamente quais os fatores que influenciam o prêmio de uma opção, 
fazemos aqui urna interpretação mais rigorosa dessa influência. 
Valor intrínseco 
Até agora, a única coisa que sabemos sobre o preço de uma opção é que 
ele deve ser o valor presente da expectativa de valor de exercício em um 
mundo neutro ao risco. Este valor de exercício é obtido carregando-se 5 aos 
juros r pelo prazo f e achando-se a diferença sobre K Se esta diferença for 
favorável ao exercício, este é o valor de exercício da opção; senão, seu valor de 
exercício é zero. Uma cal/vale o maior entre zero e 5*- K; uma pu/vale o maior 
entre zero e K - 5"': Em ambos os casos, uma vez que o prêmio da opção é uma 
quantidade de dinheiro a vista, traz-se o valor de exercício a valor presente 
par" se ter a primeira aproximação do preço de uma opção: 
CI = VP(max[O, VF(S)-K)) = max{O,S- VP(K)} 
PI = VP(max[O,K - VF(S)}) = max{O, VP(K)- 5) 
Estas são as expressões para o valor intrínseco (C/e P, genericamente V) 
das opções. O valor intrínseco de uma opção é a porção de seu preço que se 
deve à vantagem real que 5, em relação a J( proporciona. O valor intrínseco de 
uma opção pode ser zero em qualquer tempo, ainda que seu prêmio nunca o 
seja antes do vencimento. 
22 OpçOes: Operando (I Vola/ilidade 
Com a definição acima, pode-se traçar um gráfico de V;x 5 em qualquer 
jnstante, que é uma reprodução da curva V* x 5* trazida a valor presente 
(exemplificando com uma cal!): . 
VP(K) 
Convexidade 
Contudo, se fizermos uma plotagem de vários pares (5, C) observados' 
durante um ou dois dias de mercado, encontraremos um gráfico diferente~ 
deste. O gráfico dos preços reais das ca!!s em função do preço 5 é suave e nãol 
"quebrado" como O gráfico do valor intrínseco. Nossa plotagem estaria mais' 
perto de parecer com a figura abaixo: 
C 
• 
VP(K) 
• 
• . --o- /' 
s 
. 
Em outras palavras, a curva Cx 5 apresenta uma convexidade, que a fai' 
se aproximar assintoticamente da curva C/x 5 (quebrada). Os extremos de 
ambas as curvas são cada vez mais próximos, lnas, em teoria, jamais se tocam.~: 
OppJr'3.' Opl'rfllldo a Vola/ilidade 
No centro do gráfico, para um valor de 5próximo a VP(K), a distância entre as 
duas curvas é máxIma. 
pode parecer claro por que deve ser assim. Em primeiro lugar, nenhuma 
opção, por mais improvável que seja seu exercício, pode valer zero antes do 
vencimento. Excluindo-se custos de corretagem, qualquer um compra uma 
opção, qualquer que seja, se ela lhe for oferecida a preço zero: equivale a 
ganhar de presente um bilhete de loteria, que pode ter uma chance muito 
pequena de ser sorteado, mas chance esta que jamais será nula. Então, mesmo 
opções de valor intrínseco nulo têm de custar alguma coisa. Pode ser intuitivo 
que, quanto mais abaixo de VP(K) estiver 5, isto é, quapto mais improvável o 
exercício da opção, tanto menos ela valha. Isso está de acordo com nosso 
gráfico. O limite desta situação é 5 infinitamente abaixo de VP(K), o que torna 
O preço C virtualmente nulo. Agora, sabemos por que a porção inferior do 
gráfico deve ser positiva e assintótica; resta saber por que a porção superior 
também o é. 
Operadores do mercado de opções conhecem bem a operação chamada 
reversão, em que se vende um ativo e compra-se a mesma quantidade de calls 
sobre ele, em suma: troca-se uma quantidade de ativo por calls. Essa operação 
tem dois únicos efeitos: a) gerar caixa, pois recebe-se pela venda de um ativo 
e paga-se pelo prêmio de uma opção, que é bem menor; b) eliminar o risco de 
baixa doativo, pois uma call é um produto que mantém a exposição durante 
a alta, e a reduz até zero na baixa. Qualquer geração de caixa em um mercado 
eficiente equivale a tomar um empréstimo às taxas de juro correntes. Esse 
empréstimo terá de ser quitado em alguma data futura, e realmente o é nesta 
operação j pois, durante o dia do exercício, orevertedor éobrigado arecomprar 
seu ativo. Ele o recompra pelo preço de exercício K da opção que vendeu 
(assumindo-se que a opção deu exercício). Então, quem faz uma operação de 
reversão está, em termos de fluxo de caixa, recebendo (5 - C) hoje para pagar 
K na data de vencimento. Se nós escrevermos que este fluxo de caixa deve se 
enquadrar nas taxas de juro correntes no mercado, teremos que: 
(5-C)= VP(K) 
oU 
C=5- VP(K) 
que é a expressão do valor intrínseco de uma call em função de 5 na porção 
superior do gráfico. Então, O valor intrínseco de uma call é exatamente aquele 
prêmio pelo qual um reverte dor trocará ativo por ela tomando dinheiro às 
taxas de juro do mercado. A pergunta é: já que uma reversão não é apenas um 
24 Opçoes: Operando fi Volablidade} 
empréstimo; maS também uma proteção, não seria justo que o revertedorí 
devesse pagar um pouco mais pela cal!? Colocando em outros termos: quern': 
se arriscaria a dar liquidez para um reverte dor (e fazer a operação contrária),J: 
sabendo que, na melhor das hipóteses, estará aplicando seu dinheiro às taxas: 
correntes? A conclusão é de que, assim como as calls de exercício improvávelj 
não podem custar zero, pela oportunidade que elas encerram, callsdeexercícioi 
provável não podem custar apenas O valor intrínseco, pela oportunidade que! 
elas abririam para revertedores. ~ 
(Há uma situação em que não vale o que se acabou de explicar: é quando; 
há falta de ativo disponível para reverter. Nesse caso, nada impede algumasj 
opções de serem negociadas até mesmo abaixo do valor intrínseco. Os opera·: 
dores que conhecem a operação e seu potencial de ganho costumam procurar: 
avidamente por ativos que possam reverter neSsas horas. Se existe um merca~fi 
do de aluguel de ativo disponível, o problema dos operadores está resolvido,i 
mas tem-se de deduzir de seu ganho potencial o quanto se pagará de aluguel.); 
Chegamos então a uma explicação plausível de por que os prêmios das: 
opções têm de ser superiores a seu valor intrínseco. Isso não explica, por si, a-; 
convexidade; O gráfico seguinte atende a todas as nossas exigências, mas não;: 
é convexo: 
c 
5 
VP(K) 
Convexidade éuma propriedade que, em termos geométricos, quer dizer: : 
qualquer ponto intermediário a outros dois deve situar-se abaixo da reta que 
une esses dois. Se você tentar construir um gráfico no qual todos os pontos: 
tenham esta característica, você chegará inevitavelrnente a um desenho como· 
o que observan10S no mercado, ou seja: 
25 
c 
_._---
s 
VP(K) 
Operação butterfly 
Existe de fato um motivo para que os preços das opções sejam convexos: 
é a operação de bLlftojly Suponhamos ter três ca!!s de preços de exercício Kl, 
K2 c K3, onde K2 é a média entre Kl e K3 (por exemplo, 100, 110 e 120). Uma 
bllflerf!1J (borboleta) entre essas três opções é uma posição: comprada na 
primeira, comprada na terceiraevendida duas vezes na do meio (porexernplo, 
comprada em 500 lotes da opção de Kl, comprada em 500 lotes da de K3 e 
vendida em 1.000 lotes da de s/ri Ice K2). Essa é uma posição que possui um valor 
de exercício positivo ou nulo no vencimento. Seu payo/Jé: 
V* 
Kl K2 K3 5* 
A maneira de se chegar a este payof!é simples. Lembremos que, acima do 
slrike, uma callvale 5* - K: abaixo de Kl, as três opções valem zero; entre Kl e 
K2, apenas a primeira vale algo: vale 5"'- Kl; entre K2 e K3, a posição vale (ser 
- KJ)- 2(S" - K2). Em K3, este valor é zero, e assim permanece além, pois acima 
de K3 a carteira vale: 
(S*-K1)-2(S* -K2) + (S* -K3) = Kl-2K2 + lO 
26 Opções: Opem!fdo il VO!l7ft!ir!m!" ( 
Como K2 é (KI + K3)/2, O resultado acima é nulo. 
Uma carteira que vale no mínimo zero e no máximo algum valor positivo 
na data de vencimento deve custar algum prêmio positivo para ser adquirida. _ 
O prêmio que se paga por esta posição é el-2e2 + e3; que deve ser maior que \ 
zero. Isto só ocorre se e2 for menor que a média entre el e e3. ' 
Com pouco esforço, é possível modificar este raciocínio, elaborado parai 
o espaço dos preços de exercício, para o espaço dos valores de S ~ isto é: noss'l i: 
observação primária de convexidade dá-se em função de S, e não em função { 
de K Basta imaginar urna opção e ocupando, devido ao movimento de S, o, 
lugar de cada uma das três opções anteriores: se S está em baixa, a opção evale ~ 
e3; se S está em alta, vale el; e se S é intermediário, vale e2. Em cada uma' 
dessas possibilidades, haverá outras duas opções em meio às quais e deverá, 
atender à condição de convexidade. Portanto, é de se esperar que o valor'; 
intermediário C2 não possa escapar à condição, tendo de ser menor que 'l'1 
média entre os valores extremos el e e3. . 
A operação de butferjlynão precisa necessariamente ser montada com; 
opções igualmente distanciadas entre si. É possível montar a operação com' 
opções que não tenham sfnkes igualmente intercalados; só é preciso um 
algcbrismo para encontrar as proporções que anulam a carteira para S> K3. 
Esta é a formulação mais geral de convexidade, mas como ela implica no 
caso particular, e o caso particular implica nela, deixemos como está, que 
está claro. 
Prêmio de risco 
Por qualquer caminho que se tente explicar a convexidade, ela mostra-se 
sempre conseqüência do risco (ou oportunidade) associado à posição de 
opções. Uma bulfe/jlydeve custar algo positivo porque seu retorno é provavel-
Jnente positivo. Provavelmente, dizelTIOs: não é certo; há um yjsco. Por lnenor 
que ele seja, no entanto, nunca é zero: esta é uma certeza. Então, o preço da 
blllloj1y- que em última análise é o responsável pela curvatura do gráfico ~ é 
a paga do risco (ou oportunidade) a ela associado. Isso nos leva êl formular que 
o excesso de prêmio que luna opção apresenta acima do seu valor intrínseco 
é um pagalnento pelo risco, é UlTI prêlnio de risco. 
E eSSa foi a melhor explicação até hoje encontrada para os prêmios das opções: 
a "gordura" que uma opção carrega sobre o gráfico do seu valor intrínseco é Uln 
prêmio de risco. A convexidade restringe muito os perfis Vx Spossíveis: o. 
único grau de liberdade que resta (a única característica que pode fazer as 
curvas diferirerll. entre si) é a distância ou abertura da curva: 
Opf"/';'- Op"/"{/Ildo a VoJaftlidadc 27 
c 
(JJ 
[fig 2.1] 
0 
Q) 
I~ 
s 
VP(K) 
No gráfico acüna, as curvas 1; 2 e 3 representam três possibilidades de 
prêmio de opções. O que as difere? Se a curvatura do gráfico de preço deve-
se ao risco; é de se esperar que haja um nível de risco mensurável e variável 
que altere os preços das opções. É fato que, em mercados mais nervosos, as 
opções são proporcionalmente mais caras: uma certa opção de ouro custa 
2% do preço do ouro, ao passo que uma opção semelhante (meslno prazo 
e mesma probabilidade de exercício) de Telebrás custa 7% do preço de 
Telebrás; a única coisa que difere nos dois mercados é o nível de oscilação 
dos preços, maior na bolsa de valores que no mercado de metais. Chegou-
se à conclusão de que a incerteza sobre o valor futuro do preço 5 afeta 
diretamente o preço de uma opção sobre S. O valor esperado de 5, em um 
mundo neutro ao risco, é seu valor futuro; mas em torno desse valor 
. esperado paira urna nuvem de probabilidades que, quanto mais ampla, 
mais favorece o titular de opção (nunca nos esqueçamos que o titular tem 
. um risco de perda limitado e uma probabilidade de ganho ilimitada) - por 
isso a opção tem de lhe ser mais cara. 
Precificaçãoprobabilística 
Esta é a essência da precificação probabilística: toda a gama de esforços 
par.) descobrir por que as opç6es têm os preços que elas têm, que se baseie na 
suposição de que o prêmio de risco é de alguma formadependente da 
distribuição de probabilidade de 5 no futuro. 
Distribuição de S 
Parte-se assim para verificar que tipo de distribuição de probabilidade 
seria esperada do preço S. A experiência é sin1ples: listar os desvios (acrésci-
28 Opções: Opt'n7Jldo fi Vola/i/ldade'; 
mos ou decréscimos de preço) verificados em unl período fixo de dias, e\ 
desenhar um histograma, para começar. Anota-se o preço do ativo 5 hoje,' 
amanhã, depois etc. Daqui a 30 dias, por exenlplo, toma-se quanto o preçoJ 
desviou-se do que era hoje; a 31 dias, o quanto desviou-se do que era amanhã,; 
assim por diante, e tem-se um espelho das varjações que podem ser esperadas i;_ 
dentro de um período de 30 dias. . 
Porém, é irracional supor que o desvio médio de um preço possa ser uml 
valor absol u to para qualquer nível de preço (urna ação que oscile em média $101 
por dia quando cotada a $100 não pode oscilar os mesmos $10 quando cotada; 
a $1). Os preços não podem se tornar negativos devido às oscilações. . 
O segundo passo que nos parecerá adequado é admitir que não as. 
variações absolutas, mas sim as percentuais, se enquadrem em alguma distri-~ 
buição conhecida. Seríamos levados a crer que uma alta de 1 % e urna baixa dei 
1% têm a mesma probabilidade (a ação oscilaria $10 quando cotada a $100 ej 
$0,10 quando cotada a $1). Contudo, teríamos dificuldade em conceber que, 
tamanho de baixa teria a mesma probabilidade que uma alta de 120%. Denovol 
nos deparamos com preços negativos. ' 
A única forma de contornar o problema dos preços negativos é supor que;, 
os preços S tenham a mesma probabilidade de variar para cima e para baixof 
por um fator. Digamos, 1,01: O preço Steria iguais probabilidades de subirpara\ 
1,01 vezes seu valor, ou cair por 1,01 vezes seu valor. Urna alta de 100% (duas' 
vezes seu valor) teria a mesma probabilidade de uma redução por 2 (urna baixa; 
de 50%). Por maior que seja um fator, ele jamais levará um preço asernegativo.: 
A expressão matemática mais simples para uma distribuição em que a multi-; 
plicação e a divisão por um fator são equiprováveis é a de uma distribuição deí 
diferenças entre logaritmos de preços. 
Em uma distribuição de diferenças entre logaritmos de preços, urna alta! 
por, digamos 1,15 (urna alta de 15%) tem a mesma probabilidade que uma; 
baixa por 1,15 (uma baixa de 13,04%). Isso porque a distância entre o logaritmo' 
de 100 e o de 115 é a mesma que aquela entre o logaritmo de 100 e o de 100.0.: 
1, 15 ~ 86,96: 
In (115) - In (100) ~ 0,1397 
In (100) -In (86,96) ~ 0,1397 
É esta diferença (no exemplo, 0,1397) que desejamos agora tabular. Ela: 
passa a ser a nossa variável aleatória. Pode-se chegar ao mesmo número pelo 
Jugantmo dos retornos (ou fatores), que é a forma mais conhecida: 
In (115 ~ 100) = 0,1397 
In (100 -c 86,96) = 0)397 
29 
Para passar de uma diferença logarítmica para o fator equivalente, eleva-
se o número e (2,718281) a ela; para passar do fator à diferença, tira-se o 
logaritmo neperiano dele. Para números pequenos (diferenças até 0,05), o fator 
é aproximadamente a diferença logarítmica mais 1, e o movimento percentual 
em 5 (tanto para cima quanto para baixo) é aproximadamente igual à própria 
diferença. Abaixo está uma tabela com diferenças logarítmicas, fatores e tama-
nho do movimento percentual correspondente em 5, para a baixa e para a alta: 
Diferença Fator Movimento Movimento 
logarítmica de baixa (%) de alta (%) 
0,01 1,010 1,0 1,0 
0,02 1,020 2,0 2,0 
0,05 1,051 4,9 5,1 
0,10 1,105 9,5 10,5 
0,20 1,221 18,1 22,1. 
0,50 1,649 39,3 64,9 
0,70 2,014 50,3 101,4 
1,00 2,718 63,2 171,8 
Distn'buição lognorma! 
Então, a partir de uma série de diferenças entre logaritmos de S(ou de uma 
série de logaritmos de retornos de S, O que é a mesma coisa), chegaríamos à 
conclusão de que os dados desta série são normalmente distribuídos. Dizemos 
desta distribuição, então, que é uma distribuição lognormal de preços. 
Uma vez identificada a distribuição de probabilidades que melhor se 
adapta às séries reais de preço, partimos para identificar nela uma lnedida de 
incerteza, ou dispersão. Essa medida é o desvio padrão da distribuição, e é 
nosso primeiro foco de interesse. Se assumirn10s que os retornos de Snão são 
autocorrelacionados (isto é, que o retorno de um dia não tem correlação com 
os dos dias anteriores) e que a variância dos retornos diários é constante, nosso 
experimento pode ser simplificado: em vez de se tomarem as diferenças 
observadas em períodos iguais de 30 dias, podem-se tomar diferenças obser-
vadas de um dia para o outro; pois a variância calculada para 30 dias deverá 
30 Opções: Opclíllldo ti Vo/n/tlidlldl' 
ser 30 vezes a variância calculada para um dia1, Isto é, o desvio padrão da 
distribuição de diferenças para um período de 30 dias deverá ser J3r5 = 5,48 
vezes o desvio padrão da distribuição de diferenças de um dia. 
Quanto maior for este des'vio padrão, mais largo é o intervalo de preços 
em que se pode encontrar 5'com alguma probabilidade. Por uma propüedade 
da distribuição normal, pode-se dizer que o valor de uma variável al"atóri 
tem 68% de chance de situar-se dentro do intervalo de um desvio padrão 
abaixo a um desvio padrão acima de seu valor mais provável. Assim{ se o 
desvio padrão para 30 dias das diferenças logarítmicas de um preço 5 for 
0,1397, por exemplo, é porque há uma probabilidade de 68% de o preço 
situar-se, daqui a 30 dias, entre eO,1397 == 1,15 vezes abaixo e e,1397 = 1,15 Vf'7.f'" 
acima deseu valor mais provável (entre 100-c 1,15 = 86,96% e 100 x 1,15 = 115% 
de seu valor, ou entre uma baixa de 13,04% e uma alta de 15%). 
Volatilidade 
o desvio padrão de uma distribuição lognormal de preços é definido 
como sua volatilidade, representado por Ci (sigma), e indicado em percentual. 
Uma volatilidade de 20% significa que o desvio padrão das diferenças 
logarítmicas é 0,20. Um preço 5 que tenha volatilidade para 30 dias igual a 20% 
é um preço cujo padrão de incerteza é: "daqui a 30 dias, há 68% de chance dc 
encontrá-lo entre f A' = 0,82 (ou 18% abaixo) e 1'.2 = 1,22 (ou 22% acima) de seu 
valor mais provável". 
Note-se que, para pequenos valores, a volatilidade é idêntica ao movi- ' 
menta percentual em S. Um ativo que exiba volatilidade para xdias igual a 2% 
é um ativo que; em termos práticos; possui 68% de chance de ser encontrado, 
findos x dias, entre 2% abaixo ou acima de seu valor mais provável. 
Esta volatilidade é a medida de risco de um mercado. É a variável que 
vínhamos procurando para quantificar os efeitos do risco sobre os preços da::; 
I Notemos por U/II10 retorno mensal do preço 5 a pê-lrtir da data !. Supondo h<1ver 21 diZls úteis (e 2'[ 
obsen/ações diárias) no interv,!lo de um mês, tI",/:=: In(51 + 21 -ô- 5) = In [(51+1 --:--- S) x (51+2 --:--- 5/+ 1) x ... X 
(5'+21' SI +20)]' Usando as propriedades dos logmitmos, isso é igual a In (5'+1 -ô- 5) + In (51+ 2 --:--- S'+I) + 
. + ln(5
1
+ 11 > 51 + 20), Se notarmos o retorno diário do preço 5na data !por I/'Ir' temos que 11"'1= {{'II+l + !f,I! 
+2 + ... + lfrll+21' A variância do retorno mensal uIII1 pode ser escrita como var (11, .. ) '" var (lIdl + 1 + f/'fI-t 2 + 
... + ",11+21)' Supondo que os retornos diários nâo são autocorrelacionados, podemos escrever que 
v:w(u,,) '" var(I/,II'7) + Vêlr(/ttllr) + .... + var(I/,II_-'/ E sob a hipótese de que 85 variância5 diárias sao 
constantes e igu<lis a _,,-'1, temos var(fl,,)""<?- + 5::>' + ... + 52 -=; 21 S. Finalmente, o desvio padrao do retorn(l -
mensal é igual à rai? da varifmcia, ou um. 
0pf(!C.-;-- Opcnmrfo (I Voliltllidllde 31 
opçOcs. Ela é uma lTIedida de dispersão de preços futuros e, na prática, 111cde 
o nível de oscilação de UTI1 n1ercado: um mercado calmo possui volatilidade 
baixa.; UlTI mercado agitado, nervoso, incerto, possui volatilidade alta. 
A volatilidade é sempre tomada em referência a um prazo, um intervalo 
de tempo. Pode ser expressa em qualquer unidade, em volatilidade-dia, 
voliltilidade-mês, volatilidade-ano, volatilidade-período,mas tem de entrar 
nas fórmulas na unidade compatível com a que se mede o tempo. Pode-se 
chamar o binômio (J.fi de volatilidade efetiva no período. Não há, nas fórmu-
las de precificação, nenhum lugar em que conste (J sem constar araiz quadrada 
de t. Isso quer dizer que não há nenhum efeito puro e.simples da volatilidade 
sobre os preços das opções, mas sim da volatilidade efetiva. A volatilidade é 
COD10 uma taxa de juro: uma medida nominal de algo que acontece com o 
passar do tempo. 
Passa-se de uma medida a outra de volatilidade multiplicando-se pela 
raiz quadrada da razão entre prazos. De volatilidade-dia para volatilidade-
ano. multiplica-se por ";255 ~ 15,97 ; de volatilidade-mês para volatilidade-
dia, D1ultipbca-se por; e assim por diante. 
Alguma confusão é feita quando se utiliza a contagem de 255 ou 250 dias 
úteis ou de 360 dias corridos por ano. Quando se trabalha com a unidade de 
tempo em dias (sempre dias úteis) -e conseqüentemente se utiliza a volatilidade-
dia nas fórmulas ~ esta confusão é inócua, pois seja a contagem que for afetará 
apenas a forma en1 que a grandeza é expressa. Basta que se tenha o cuidado, 
ao conversar com outra pessoa, de uniformizar a linguagem (atualmente -
final de 1995 ~ o mercado brasileiro parece estar convergindo para a unidade 
de 255 dias por ano, à semelhança do mercado internacionaJ). Quando se 
trabalha COil1 a unidade de tempo em anos, o dado de volatilidade deve ser 
informado com base no número de dias úteis do ano. Apesar de que o número 
eXZ1to de dias úteis em un1 ano varie, o erro em se considerar 255, o que é na 
verdade 252 ou 256, é lTIUitO pequeno. AssLm sendo, neste livro, expressamos 
as volatilidades anuais na base de 255 djas. 
É de posse da definição de volatilidade e do conceito da precificação 
probabilística que se n1ode]mn as forças que dão preço às opções. Assim, Zl 
volatilidade (efetiva) é, a princípio, a única responsável pelas distâncias que as 
curvas 1, 2 e 3 do gráfico da [fig 2.1] mantêm da linha de valor intrínseco. É de 
se esperar que, quanto maior a volatilidade (ou o prazo), mais afastada esteja 
a linha de preço. A curva 1 é urna curva de baixa volatilidade (e/ou prazo 
curto), ao passo que a curva 3 é uma curva de alta volatilidade (e/ou prazo 
longo). Se um modelo matemático resulta em UIna expressão de VeD funçZi.o 
de 5 e () compatível com esta realidade, ele é UHl modelo bem-sucedido. 
32 OpçrJCS: Opemmfo fi VO/Illlhdode 
Relações necessárias 
Propriedades dos preços 
Resumimos nos parágrafos anteriores o que se deve saber para visualizar 
os preços das opções como compostos de duas parcelas: o valor intrínseco e o 
prêmio de risco. Toda a discussão, que foi voltada para o caso de uma opção 
isoladamente, pode ser melhor embasada quando se relacionam opções com 
mercados futuros" e cnIls com puis e futuros. 
A suposição de que O valor esperado de 5em uma data futura coincida 
com seu valor futuro F; por exemplo, é um argumento de equilíbrio para a 
precificação de opções. Segundo essa suposição, especuladores e arbitradores 
concordam com o valor mais provável de 5no futuro. Pode-se substituir a 
fonnulação desta hipótese por outra, que diz que mesmo que os especuladores 
tenham expectativas diferentes sobre o valor de 5 em data futura, o valor de 
F, e o valor intrínseco das opções será dado pelo carregamento de 5 a valor 
futuro. Essa formulação parte do pressuposto que o mercado prefere 
sempre que possível arbitrar. Isto é, havendo possibilidade de ganho sem 
risco, nada impedirá que todo o volume do lTIercado corra para ela, a não 
ser a sua própria extinção. É um argumento de arbitragem para a precificação 
de opções. 
Arbitragem 
Uma arbitragem é uma operação de ganho sem risco. Cabe perfeitamente 
no contexto de mercados futuros. Se um ativo é negociado a vista por 5= $100 
e a termo por F= $110, e o custo efetivo do dinheiro entre a data atual c a data 
de vencimento do termo é de 5%, um arbitrador toma $100 emprestados a 5% 
c COln eles compra 5 a vlsta; e contrata a venda a termo por $110. Na data de 
vencin1ento do termo, executa a venda do ativo por $110 e salda seu en1prés-
timo pagando $105. Lucrou $5 sem risco. 
Para que o arbitrador não pudesse ganhar dinheiro sem risco, a cotação do 
termo deveria ser $105. Se o mercado conhece a operação de arbitragem, e se 
a todo momento há arbitradores potenciais para comprar e vender ativos c 
termos de modo a realizar ganhos sem rlsco, então é esper8vel que o preço do 
termo nunca divirja muito de $105. 
Aqui, não importa se nos referjmos a negócios a termo ou a contratos 
futuros; ambos têm o preço F A modalidade de liquidação não importa, 
podendo ambas as espécies de operação serem genericamente denomjnadas 
33 
futuros. Mas, para maior clareza do que será exposto, nos referimos inicial-
I1l.entc a negócios a terrno f COTI1 entrega física no vencimento. 
Pricing por expectativa x pricing por arbitragem 
A consideração de operações de arbitragem melhora bastante a validade 
de modelos de precificação. Na verdade, não há muita dificuldade em se 
precificar uma opção por expectativa, ou seja, calculando o valor presente da 
expectativa de valor de exercício: basta projetar vários valores de S~ calcular 
os valores de V*correspondentes, ponderá-los pela pmbabilidade de ocorrên-
cia de cada 5*( que é conhecida, urna vez que se conhece o valor mais provável 
de 5*e a volatilidade do ativo), e trazer a média ponderada a valor presente. 
Oproblema com esta abordagem é provar que o mercado é neutro ao risco, isto 
é, que ele (incluindo os especuladores, em conjunto) realmente projeta 5 para 
() futuro pela taxa de juro livre de risco. 
O grande passo dado por Black e Scholes para a precificação de opções foi 
propor um modelo no qual as opções são precificadas por arbitragem: em tal 
modelo, descobre-se apreço que urna opção deve ter para que não seja possível 
arbitrar com ela (de forma parecida à em que se descobre que o preço justo do 
futuro do exemplo anterior seria $105). O argumento de arbitragem dispensa 
a prova de que o mercado real é neutro ao risco. E, felizmente f os resultados 
obtidos por ambos os métodos são idênticos. 
Da mesma forma que a negociação a termo, o exercício de urna opção, 
independente da forma como venha a ser liquidado, equivale a uma negoci-
ação de ativo a qualé paga em duas parcelas: o pagamento do prêmio da opção, 
a vista, li: e o pagamento, na data de exercício, do strike price K. Caso seja 
exercida, uma cal!, por exemplo, representa a compra de ativo paga em duas 
parcclas iguais a C, a vista, e K, na data de exercício. O candidato a adquirir 
ativo em urna operação financiada (com pagamentos diferidos) pode escolher 
entre fazê-lo por meio de um termo com pagamento de Fno vencim,ento, ou 
através de uma mil de mesmo prazo, com pagamento de C a vista e K no 
vcnciInento. A compra da cal/possui un1 benefício a mais, queé a possibilidade 
de evitar o negócio caso as condições sejam, desfavoráveis. Porém, a escolha 
pela opção jamais terá um valor inferior que a escolha pelo termo. 
Equacionando qual seria o pagamento mínimo a ser efetuado em uma 
compra financiada via opção, em função dos valores do termo e do strike da 
opção, temos que, para a igualdade de ambos os fluxos de caixa, C . + VP(K) 
11/111 
= VP(F), ou C . = VP(F - K).lsto é, para que não haJ' a arbitragem entre a m/I c 
11/1/1 
o tern1o, Ctcrá de ser no mínimo igual ao valor presente da diferença entre F 
34 
e K. Assumindo que o preço F do futuro é justo, e que o ativo não nrnnnr,-inn 
renda, isto é, que F~ VE(S), a fórmula acima torna-se C . ~ S - VP(K). 
Esta fórmula não corresponde à realidade se Kfor rn'~ltor do que F, no caso 
da cal!, ou seja, quando VP(F - K)resultar um número negativo. Dado que uma 
opção não pode valer menos do que zero, pois o negócio desfavorável não é 
obrigatório, o valor mínimo da cal! deve ser c,,,,,, ~ max{O, Vp(F - R)}. 
Esta fórmula já é conhecida: é a expressão do valor intrínsecode uma 
de exercício certo. Se o exercício é certo r não há risco em relação a ele, não há, 
pois, prêmio de riscaI e todo o valor da coll se resume a seu próprio valor 
intrínseco. Um cal! de exercício certo é uma situação puramente teórica r 
didática. 
Futuro sintético 
Evitando agora a abstração de uma cal! de exercício certo, não se pode 
garantir o exercício de uma opção individual, mas pode-se garantir o exercício 
de um par de mil e pu!. Entre uma calle uma pu! de mesmo preço de exercício, 
uma delas será forçosamente exercida. Se S*> K, a cal! dá exercício; se 5>1- < K, 
apu/dá exercício (se S*~ Ktanto faz dizer que nenhuma das duas deu exercício 
quanto dizer que qualquer das duas deu exercício). Se um operador compra 
uma call C e vende uma pu! P, ambas de s/rike 1(, ele ou comprará o ativo por 
K exercendo a call, ou terá de comprar o ativo por K sendo exercido na pu/. De 
qualquer maneira, ele tem uma compra garantida de ativo pelo preço K na da ta 
de vencimento. Esta posição de call e pu!, por gerar o mesmo efeito no 
vencimento que um contrato futuro, é chamada de futuro sintético. 
Se o comprador de um futuro sintético (comprador de cal/ e vendedor de 
pu!) vende lun termo real sobre sua posição, ele estará simultaneamente 
assegurando a venda de ativo por F e um fluxo de (F - K) no vencimento. Os 
fluxos (C-P) na data atual e (F - K) na data de vencimento são certos, 
estabelecidos e inalteráveis. Entre eles, então, deve existir o carregamento dos 
juros no período. Ou: 
Pan'dade put--call 
C-P~VP(F-K) 
C-P~S-VP(K) 
(2.1) 
A propriedade acima, que une os preços das calls e plfts de mesmo sfnke 
aos valores de 5 e .K é conhecida como paridade pul-coll, e é Uln importante 
35 
instrumento de análise e de operação. A paridade pul-w!/ diz que, conhecen-
do-se o preço de unlél cal!, r, te 5, o preço da putseu par é deternünado, E' vice-
versa. 
Mais que isso, a paridade put-cal! é a regra de formação de preço de U1TI 
futuro sintético, é a expressão da arbitragem entre futuros sintéticos e reais. Ela 
mostra claramente que um futuro sintético é un1 futuro no qual parte do preço 
esta en1 data futura e é representada por l( e a outra parte do preço está elTI 
dinheiro" vista, e é representada por C-F. Se um futuro vale F=$110, o futuro 
sintético de K = $100 tem de valer o valor presente de $10 (em outras palavras, 
a ca/I deve ser VP($10) mais cara que a put). 
Outras propriedades emergem do conceito de futuro sintético e da 
paridade pui-cal!: pelas fórmulas (2.1), a diferença de preço entre urna cal! e 
uma plll seu par depende de S, l( r e I, mas independe da volatilidade 0, que 
como já vimos é a responsável pelos prêmios de risco das opções. O futuro 
sintético é uma posição em opções que é totalmente invariante à volatilidade. 
Para que isso aconteça, os prêrnios de uma cal/e umaputseu par têm de exibir 
o mesmo COITIportamento numérico em face a uma variação na volatilidadc. Se 
uma variação de volatilidade faz o prêmio de uma cal! subir $2, tem de fazer 
o preço da pu! de mesmo s!nke e prazo subir $2 também, para que a diferença 
C-Ppermaneça constante. 
Delta e at-the-moneyness 
Agora suponha que o preço S sobe $1. O preço F tem de subir VF($l). 
Como o futuro sintético deve acompanhar o futuro, ele deve subir VF($I) 
também - em data futura. Mas o futuro sintético é formado por uma quantia 
futura fixa Kc uma quantia variável a vista C-P. Em qual das duas recairZi este 
ajuste de VF($I)? Na quantia a vista, logicamente: as opções mudam depreço 
acompan.nando S. A call deverá subir, _e a pu! deverá cair, cOil1binadas, 
VPI VF($I)} = $1. Assim, pode-se enunciar que a diferença C-F deve vilriilr 
cxat,llnente o quanto variar S. Se Ssubir $10, a diferença C-Pdevcrá subir $10 
também; se S cair $5, C-F cairá $5 também. 
Delta(t.) 
Para cada $1 de variação para cima em 5, a cal! deve subir um tanto De 
e a puldeve cair outro tanto DF, de modo que DC + DF= $1. Se a cal/subir $0,70, 
a I'ul deve cair $0,30; se a ca!1 subir $0,20, a pu! deve cair $0,80. Qualquer que 
seja {) caso, o impacto da flutuação de $1 de 5no preço de cada opçZío sempre 
30 
será menor do que $1 O prêmio de uma opção sempre varia uma fração do que 
varia o preço S. 
Esta fração é chamada delta, c representada por L. Delta é um número 
entre zero e um para calls, e entre zero e menos um para puls, porque as PU!s 
são inversamente correlacionadas com o a vista. A definição de delta é: a 
quantidade de preço acrescido a uma opção quando seu objeto S sofre 
acréscimo de $1, ou: 
dV 
L=-
dS 
Da propriedade do futuro sintético vista em último lugar, podemos 
escrever que o delta de uma callmenos o delta da pu! seu par é igual a um, ou: 
LC-L? =1 
dC _ dP =1 
dS dS 
que, aliás, é a derivação da fórmula (2.1) em relação a S. 
O delta de uma opção não é um número casual. Ele tem a ver com as 
perspectivas de exercício da opção, e pode ser calculado com precisão por uma 
fórmula matemática. Em uma curva V x S, o delta pode ser interpretado como 
a inclinação tangencial da curva no ponto dado pelo S atuaL 
c 
Satual 5 
Uma boa interpretação para o delta é o nível de agressividade de uma 
opção, ou o quanto ela é capaz de acompanhar as variações do a vista. Deltas 
menores indicam opções IllE'110S agressivas. Deltas maiores indicanl opções 
mais agressivas. 
Op(ih'5: Optmlldo rr Volrrfliir/ade 37 
Abaixo estão representados em ulna meSma CLlrv8. V x 5 três situações 
distintas da mesma cal!, situações em que ela se encontra para 5 ~ 51,52 e 53: 
c 
150,90 
/"-----", 
$í 
~=--__ l $0,50 
~~~0:20_$_1~ _ 
51 52 
____ o -5 
53 
Cada uma das três variações de 5 são de $1, Quando 5 ~ 51, a opção 
representada sobe vinte centavos para cada $1 que o preço a vista suba, isto é; 
seu delta é igual a 0,20, Note-se que, quando 5 sobe, a opção sobe de preço, e 
O seu delta também aumenta, isto é, graficamente, a linha de preço torna-se 
cada vez mais acentuada. Quando o preço 5 atinge 52, a opção já é ativa o 
bastante para responder com um acréscimo de $0,50 para cada $1 de acréscimo 
em 5(L~ 0,5), Quando 5~ 53, o deitada opçãoéO,90, eela varia $0,90 para cada 
$1 de variação no a vista. Para valores superiores de 5, é de se esperar que o 
delta aproxime-se cada vez mais de 1,00 (sem nunca alcançá-lo), e que a cal! 
representada torne-se cada vez mais agressiva até este limite imaginário. 
Analogaluente, para valores de 5 inferiores a 51, espera-se que o delta da call 
cala cada vez mais até o ]imite (inalcançável) de zero, e que a opção torne-se 
cad<1 vez menos ativa. 
Se o delta de uma call sobe, o delta da put seu par tem de caiL Para a Cl/II 
em 53, uma pu! de mesmo sfnke teria delta -0,10, c seria uma opção "mor la". 
Para a callcm 51, apziltelia delta -0,80, e seria urna opção bem ativa. Para a ca/I 
na posição intermediária 52, a }lu/teria delta -0,50, e seria tão elástica ao preço 
5 quanto a própria col/. 
As três situações possíveis de uma opção exemplificadas acima são 
identificadas como opção out-of-t//e-money, opção flf-the-moncy. e opção lÍl-fhe-
lllOlliy Urna opção é dita ouf-of11Ie-!!lOlley quando sua probabilidade de 
exercício em Um Inundo neutro ao risco é baixa, e portanto sua elasticidade às 
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%' 
Opções: Oprmmio a VO!l7t;/idad~~, 
variações de 5também é baixa (como em 51). Uma opção é dita at-the-llfOneY.' 
quando as chances de exercício são de aproximadamente um para um, e:t 
portanto sua elasticidade a 5 é média (como em 52). Uma opção é dita lú-thc4 
lJiOllCy quando o seu exercício é mais provável do que o seu não-exercício i 
quando ela possui valor intrínseco - e sua elasticidade a Sé próxima de 1. Esta' 
classificação permite identificar rapidamente todas as principais característi:~ 
cas de uma opção em dada situação (a mesma opção pode encontrar-se emJ 
cada uma das trés fases, dependendo das circunstâncias - do preço 5). Em um} 
mercado de opções com várias séries lançadas, algumas serão oul.,. outras serão! 
af, outras serão in-the-money. t 
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