CAP 3 - Corpos rigidos sistema equivalente de forças[1]

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Mecânica I 
Cap 3 -Corpos Rígidos 
Sistema Equivalente 
de Forças 
Livro texto: Mecânica Vetorial para Engenheiros 
Beer e Johnston 
2 
Corpos rígidos- Sistema 
Equivalente de Forças 
 Introdução 
 No capítulo anterior foi considerado que 
cada corpo poderia ser tratado como um 
ponto material. Nem sempre isso é possível. 
 Neste capítulo vamos estudar o efeito de 
forças aplicadas em um corpo rígido e 
vamos aprender como substituir um dado 
sistema de forças por um sistema 
equivalente mais simples. 
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Corpos rígidos- Sistema 
Equivalente de Forças 
 A hipótese fundamental sobre o qual se 
baseará nossa análise é de que o efeito de 
uma força em um corpo rígido não se altera 
se a força é deslocada ao longo de sua linha 
de ação. Resulta disto que forças aplicada 
em um corpo rígido podem ser 
representadas por vetores deslizantes. 
 Dois conceitos surgem associados: 
 Momento de uma força em relação a um ponto 
 Momento de uma força em relação a um eixo. 
 
4 
Forças Internas e Externas 
 Forças Internas – são as que mantém unidos os 
pontos materiais que formam o corpo rígido. 
 Forças Externas – representam a ação de 
outros corpos sobre o corpo rígido, sendo 
responsável pelo comportamento externo do 
corpo rígido. Causarão o movimento ou 
assegurarão o repouso 
DCL 
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Princípio da transmissibilidade 
Forças equivalentes 
 O princípio da transmissibilidade estabelece que as 
condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo 
rígido permanecem inalteradas se uma força F, que 
atua em um dado ponto do corpo rígido é substituída 
por uma força F`de mesma intensidade, direção e 
sentido, mas que atua num ponto diferente desde que 
estas duas forças tenham a mesma linha de ação. 
 As duas forças F e 
F´ têm o mesmo 
efeito sobre o corpo 
rígido, diz-se então, 
que são equivalentes 
6 
Exemplo 
 Usando o princípio da transmissibilidade, podemos 
substituir a força F por uma força equivalente F’ 
atuante no pára-choque traseiro, como se ilustra em (b). 
Em outras palavras, não são alteradas as condições de 
movimento e todas as outras forças externas atuantes 
no caminhão (W, R1 e R2) permanecem as mesmas, se 
os homens incumbidos dessa operação empurrarem no 
pára-choque traseiro (como em -b-) ao invés de 
puxarem no dianteiro (como em -a-). 
a b 
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Produto Vetorial de Dois 
Vetores 
 O produto vetorial de dois vetores P e Q é 
definido como sendo o vetor V que satisfaz 
as seguintes condições: 
1 -A linha de ação de V é perpendicular ao plano 
que contém, P e Q 
8 
Produto Vetorial de Dois 
Vetores 
2 – A intensidade de V é o produto das intensidades de P e 
Q e o seno do ângulo θ formado por P e Q (cujo valor 
será sempre igual a 1800). 
 
 
3 – O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na 
extremidade de V observará como sendo anti-horária a 
rotação θ que traz o vetor P sobre o vetor Q Observe 
que se P e Q não tiverem um ponto de aplicação comum 
deverão ser colocados, individualmente com as origens no 
mesmo ponto. 
V = PQ sen θ 
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Exemplo 2 
 Calcular o produto vetorial V = P x Q, onde 
o vetor P tem intensidade 6 e está no plano 
zx a um ângulo de 30º com o eixo x, e onde 
o vetor Q é de intensidade 4 e está sobre 
o eixo x. 
V deve estar ao longo do eixo 
y, deve ter a intensidade 12 e 
estar direcionado para cima 
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Produtos Vetoriais Expresso em Termos 
de Componentes Retangulares 
 Podemos exprimir facilmente o produto 
vetorial V de dois vetores P e Q em termos 
dos correspondentes retangulares desses 
vetores. 
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Produtos Vetoriais Expresso em Termos 
de Componentes Retangulares 
 Usando a propriedade distributiva apresentamos 
V como uma soma de produtos vetoriais 
 
 
 
 Os componentes retangulares do produto 
vetorial V são determinados como: 
12 
Nota. 
 Qualquer determinante que consista em 3 linhas e 3 
colunas pode ser calculado repetindo-se a primeira e a 
segunda colunas e formando-se produtos ao longo de 
cada linha diagonal. A soma dos produtos obtidos ao 
longo das linhas vermelhas (direita) é então subtraída da 
soma dos produtos obtidos ao longo das linhas em preto 
(esquerda). 
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Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 Consideremos uma força F que atua num corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A força F é representada por um vetor que define sua 
intensidade, direção e sentido. Essa força aplicada no 
corpo cria, em relação a um ponto de referência, uma 
tendência de giro em torno de um eixo perpendicular 
ao plano formado pelo vetor raio e o vetor força. 
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Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 Vamos associar essa 
tendência de giro a um 
vetor momento, na 
direção e sentido da 
tendência de giro. 
 O que induz a uma maior 
ou menor tendência de 
rotação produzida por 
uma força é o chamado 
braço de alavanca 
(distância do ponto de 
referência à linha de 
ação da força). 
Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 O efeito da força sobre o corpo rígido depende do seu ponto de 
aplicação A. 
 A posição de A pode ser definido pelo vetor r que liga o ponto de 
referência fixo O com A. 
 r é o vetor posição de A. 
 r e a força F definem o plano. 
 O momento de F em relação a O é o produto vetorial de r por F 
 
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Mo = r X F 
Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 Mo deve ser perpendicular ao plano que contém O e a força F. 
 O sentido de Mo é definido pelo sentido da rotação que faz o 
vetor r ficar alinhado com o vetor F. 
 Sendo Θ o ângulo formado por r e F a intensidade do momento 
de F em relação a O é 
 
 
16 
Mo = rF sen Θ = Fd 
d = distância 
perpendicular de O 
até a linha de ação 
de F 
17 
Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 Concluí-se que a intensidade de Mo mede a tendência da força F fazer 
o corpo rígido girar em torno de um eixo fixo, dirigido segundo Mo. 
 A unidade de Mo é N.m ( força em N e distancia em m). 
 Sinal do momento 
anti – horário: positivo horário : negativo 
 
18 
Momento de uma Força em 
Relação a um Ponto 
 Vamos associar essa tendência de giro a um 
vetor momento, na direção e sentido da 
tendência de giro. 
 O que induz a uma maior ou menor 
tendência de rotação produzida por uma 
força é o chamado braço de alavanca 
(distância do ponto de referência à linha de 
ação da força). 
19 
Momento de uma força em relação a 
um ponto 
20 
Teorema de Varignon 
 O momento gerado por um sistema de forças 
concorrentes pode ser calculado somando-se os 
momentos de cada força ou avaliando-se o momento 
da força resultante equivalente. 
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Componentes Retangulares do 
Momento de uma Força 
 Seja 
 Mo = momento de uma força em 
relação a O 
 r = vetor posição 
 F = força com componentes 
 Fx, Fy, Fz 
Podemos escrever: 
 r = xi + yj + zK 
 F = Fxi+ Fyj + Fzk 
Substituindo em Mo = r x F 
 Mo = Mxi+ Myj +Mzk 
Onde: 
 Mx = yFz – zFy 
 My = zFx – xFz 
 Mz = xFy - YFx 
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Componentes Retangulares do 
Momento de uma Força 
 Se quisermos calcular o 
Mb em relação a um ponto 
arbitrário B, da força F 
aplicado em A, 
 Devemos substituir o 
vetor posição r pelo vetor 
BA. 
 Esse vetor é o vetor 
posição de A em relação a 
B, que será representado 
por rA/B. 
 
23 
Componentes Retangulares do 
Momento de uma Força 
 Então: 
 MB = r A/B x F = ( rA – rB) x F 
 
Ou 
 
24 
25 
26 
Exercício 1 
 Uma força de 800 N atua sobre um suporte, conforme 
mostra a ilustração abaixo. Determine omomento da 
força em relação ao ponto B. 
 
27 
Solução 1 
28 
Exercício 2 
 Uma força vertical de 450 N é aplicada na extremidade de uma 
alavanca que está ligada a um eixo em O. Determine (a) o 
momento da força de 450N em relação a O. (b) a força 
horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação 
a O (c) a força mínima aplicada A que gera o mesmo momento em 
relação a O (d) a que distância do eixo deve atuar uma força 
vertical de 1080N para gerar o mesmo momento em relação a O 
(e) se alguma das forças obtidas nas partes b, c e d é 
equivalente à força original. 
450N 
 60 cm 
29 
Solução 2 
60 cm 
 60 cm 60 cm 
450N 
30 
Solução 2 
 60 cm 
1080 N 
31 
Exercício 3 
 Uma força de 135 N atua na extremidade de uma 
alavanca de 0,9 m, como mostra a ilustração. 
Determine o momento da força em relação a O. 
135N 
 0,9 m 
32 
Solução 3 
135 N 
0,9 m 
33 
Produto escalar de dois vetores 
 
 Seja P Q = P Q cos θ 
Por definição, é o produto das intensidades dos dois 
vetores e do cosseno do ângulo θ formado por eles. A 
Expressão definida não é um vetor mas um escalar. 
Logo, o produto escalar é: 
 
P Q = Q P comutativo 
 
P (Q1 + Q2) = PQ1 + PQ2 distributivo 
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Produto misto de três vetores 
 É definido pela expressão S. (PxQ), 
obtida efetuando-se o produto escalar 
de S pelo produto vetorial de P e Q. 
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Momento de uma Força em 
Relação a um Eixo Dado 
 Consideremos uma 
força F que atua num 
corpo rígido e o 
momento Mo dessa 
força em relação a O. 
 Então Mol de F em 
relação a OL será a 
projeção de OC do 
momento Mo sobre o 
eixo OL. 
 
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Momento de uma Força em 
Relação a um Eixo Dado 
 Denominando λ o vetor unitário 
segundo OL podemos escrever: 
 
Mol= λ . Mo = λ . (r x F) 
 
Mol mede a tendência da força F de 
produzir no corpo rígido em 
movimento de rotação em 
relação do eixo OL 
 Do mesmo, o momento de uma força 
F aplicada em A, em relação a um 
eixo que não passa pela origem , é 
obtido escolhendo-se um ponto 
arbitrário B sobre o eixo e 
determinando–se a projeção sobre 
o eixo BL do momento MB de F em 
relação a B 
MBL= λ . MB = λ . (rA/B x F)
 
 
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Momento de um Binário 
 Binário são duas forças 
paralelas de mesma 
intensidade, sentidos opostos 
e separados por uma distância 
perpendicular d. Como a força 
resultante é nula, o mesmo 
efeito de um binário é produzir 
rotação em determinada 
direção. 
 
 
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Momento de um Binário 
 Fazendo ra- rb = r , onde r é o vetor 
que une os pontos de aplicação das 
duas forças, concluímos que a soma 
dos momentos de F e –F em relação 
a O é: 
 
 O vetor M denominado momento 
binário é um vetor perpendicular ao 
plano que contém as duas forças e 
de módulo. 
 
 Onde d é a distância entre 
as forças. 
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Momento de um Binário 
 Da definição de momento de 
um binário se deduz que dois 
binários terão momentos 
iguais se 
 
 e se os dois binários se 
situarem em planos paralelos 
, ou no mesmo plano, e 
tiverem o mesmo sentido 
40 
Exemplo 
 
41 
Binários equivalentes 
42 
Binários equivalentes 
 Esses binários serão equivalentes se podemos 
transformar um deles no outro por intermédio de uma ou 
várias das seguintes operações 
 Substituição de duas forças que atuam num mesmo ponto 
material por sua resultante 
 Decomposição de uma força em componentes 
 Cancelamento de duas forças iguais e opostas que atuam sobre 
o mesmo ponto 
 Aplicação sobre o mesmo ponto de duas forças iguais e opostas 
 Deslocamento de uma orça ao longo de sua linha de ação 
 
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Binários equivalentes 
 Sabendo que estes 
binários tem o mesmo 
momento M1 = M2. 
 Como os dois binários 
tem o mesmo momento 
M perpendicular ao 
plano da figura, devem 
ter o mesmo sentido e 
a relação F1d1 = F2 d2 
deve ser satisfeita. 
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Binários equivalentes 
 Para provar que são equivalentes veremos que o 
primeiro binário pode ser transformada no segundo por 
meio das operações antes mencionada. 
 Sejam ABCD as pontos de intersecção das linhas de 
ação dos dois binários. Deslizando as forças F1 e F2 até 
os pontos A e B. A força F1 é decomposta em uma 
componente P, segundo AB e em uma componente Q 
segundo AC. Analogicamente as forças - F1 também é 
decomposta ( -P e –Q ). 
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Binários equivalentes 
 As forças P e –P tem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos 
opostos e podem ser deslizados, segundo sua linha de ação até se 
anularem. Portanto o binário formado por F1 e –F1 se reduz a um 
binário constituído de Q e –Q. 
 Resta provar que Q e Q1 são respectivamente iguais a F2 e –F2. 
 O momento do binário Q e –Q, pode ser obtido pelo cálculo do momento 
de Q em relação a B. Analogamente o momento dos binários F1 e –F1 é 
o momento de F1 em relação a B. Mas pelo teorema de Varignon , o 
momento de F1 é igual a soma dos momentos de suas componentes P 
e Q. Como o momento de P em relação a B é zero, o momento do 
binário formado por Q e –Q deve ser igual ao momento do binário 
formado por F1 e –F1, ou seja: 
 Qd2 = F1d1 = F2 d2 e portanto Q=F2 
Então as forças Q e –Q são iguais as forças –F2 e F2 e o binário de F1 –F1 é 
equivalente ao binário de F2 e –F2. 
 
46 
Adição de binários 
 Sejam 2 planos P1 e 
P2 e 2 binários que 
atuam respectivamente 
em P1 e P2. 
 Podemos concluir que 
a soma dos dois 
binários de momentos 
M1 e M2 é um binário 
de momento M igual a 
soma vetorial de M1 e 
M2. 
 
47 
Os binários podem ser 
representados por vetores 
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Decomposição de uma força dada em uma força 
aplicada em O e um binário 
 Qualquer força F que atua sobre um corpo 
rígido pode ser deslocada por um ponto 
arbitrário O, desde que seja acrescentado 
um binário de momento igual ao momento de 
F em relação a O. 
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Exemplo 
50 
Redução de um sistema de forças 
a uma força e um binário 
51 
Redução de um sistema de forças 
a uma força e um binário 
Analogamente, 
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Redução de um sistema de forças 
a uma força e um binário 
 Na prática 
 
 
 Substituindo, 
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Sistemas Equivalentes de Força 
 Seja F1, F2 e F3 , etc um sistema de forças 
e F1, F2, F3 etc um outro sistema de forças. 
Eles serão equivalentes se a soma das 
forças e a soma dos momentos, em relação 
a um dado ponto O, das forças dos dois 
sistemas, forem respectivamente iguais, ou 
seja: 
 
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Redução de um sistema de 
Forças a um Torçor 
Exercício 
55 
Exercicio 
56 
Exercicio 
57 
Exercício 
58 
Exercício 
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60 
61 
Exercicio 
62 
Exercicio 
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Exercicio 
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Exercicio 
65 
Exercicio 
66 
Exercicio 
67 
Exercicio 
68 
Exercicio 
69 
Exercicio 
70 
Exercicio 
71