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11/11/2016
1
Aula 05 – Introdução a Análise Estrutural
Prof. Dr. Otacilio Leandro de Menezes Neto
CCE1041 – MECÂNICA GERAL
Estática no Espaço
Numa situação real, em rara vezes 
pode-se utilizar as forças e os 
torques apenas no plano 𝑥𝑦.
Precisamos trabalhar com as 
forças no espaço.
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2
Forças no Espaço
Seja Ԧ𝐹 uma força no espaço. Suas 
componentes são:
𝐹𝑥 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥
𝐹𝑦 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦
𝐹𝑧 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧
A magnitude do vetor Ԧ𝐹:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2 + 𝐹𝑧
2
Em termos dos vetores unitários:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
Forças no Espaço
Em termos dos vetores unitários:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
Ainda podemos relacionar o vetor 
unitário na direção desta força.
Ԧ𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑢
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘
Ԧ𝐹 = 𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘)
Então:
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘
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3
Forças no Espaço
O vetor unitário pode ainda ser calculado 
em termos da distância entre dois pontos:
Ԧ𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑢 =
𝐹
𝑟
Δ𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + Δ𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + Δ𝑧 ∙ 𝑘
𝑟 = Δ𝑥
2 + Δ𝑦
2 + Δ𝑧2
Cujos ângulos diretores são:
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =
Δ𝑥
𝑟
; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =
Δ𝑦
𝑟
; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =
Δ𝑧
𝑟
Exemplo 1
O cabo BC amarra a extremidade 
B do poste AB ao ponto C no piso, 
conforme a figura. Sabendo-se 
que este cabo está tracionado de 
800N qual é o vetor cartesiano da 
força que atua no ponto C e quais 
seus ângulos diretores?
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4
Exemplo 2
O vetor de uma força de 230 𝑁
forma com os eixos cartesianos 𝑥, 
𝑦 e 𝑧, respectivamente, os ângulos 
de 40°, 130° e 90°. Pede-se 
determinar: 
a) Os módulos das componentes 
em x, y e z, desta força; 
b) Suas componentes cartesianas 
c) O vetor cartesiano que 
representa a força.
Exemplo 3
Dada uma força Ԧ𝐹 = ൫−130 ∙ Ԧ𝑖 −
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5
Resultante de Forças Concorrentes
Sejam vários vetores no espaço. A força resultante entre eles será dada pela 
equação:
Ԧ𝐹𝑅 =෍𝐹𝑥 ∙ Ԧ𝑖 +෍𝐹𝑦 ∙ Ԧ𝑗 +෍𝐹𝑧 ∙ 𝑘
Cujo módulo tem o valor:
Ԧ𝐹𝑅 = ෍𝐹𝑥
2
+ ෍𝐹𝑦
2
+ ෍𝐹𝑧
2
Os ângulos diretores:
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =
σ 𝐹𝑥
Ԧ𝐹𝑅
; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =
σ 𝐹𝑦
Ԧ𝐹𝑅
; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 =
σ 𝐹𝑧
Ԧ𝐹𝑅
Exemplo 4
Determinar o vetor cartesiano, o 
módulo e os ângulos diretores da 
resultante das forças 130𝑁 e 
250𝑁 mostradas na figura.
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6
Equilíbrio em Três Dimensões
Como já vimos, as condições de 
equilíbrio são 
෍𝐹𝑥 = 0
෍𝐹𝑦 = 0
Só resta agora acrescentar a terceira 
componente:
෍𝐹𝑧 = 0
Temos ainda que levar em conta que 
o somatório dos torques é zero.
෍𝜏 = 0
Exemplo 5
O bloco de 5 𝑘𝑁 é 
suportado pelos cabos AB, 
AC e AD conforme mostra a 
figura. Determinar os 
esforços nestes cabos.
Resposta:
𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐵 = 1,63 𝑘𝑁
𝐹𝐴𝐷 = 3,33 𝑘𝑁
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7
Tipos de Apoio
Apoio Articulado Fixo: permite a 
rotação do corpo, mas, não 
permite deslocamento vertical ou 
horizontal. A resultante da força 
que atua neste tipo de apoio pode 
ser decomposta em duas 
componentes: uma horizontal e 
outra vertical. Então a força de 
reação no apoio articulado fixo 
possui direção desconhecida.
Tipos de Apoio
Apoio Articulado Móvel: permite 
a rotação do corpo e 
deslocamento horizontal mas não 
permite o deslocamento vertical. 
Este apoio só oferece reação na 
direção vertical. A reação de apoio 
neste tipo de apoio tem direção 
conhecida.
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8
Tipos de Apoio
Engastamento: é um apoio rígido, 
que não permite nem rotação e 
nem deslocamento em qualquer 
direção. Este apoio oferece reação 
em qualquer direção além de um 
momento de reação. Vínculos 
deste tipo provocam, portanto, 
reações constituídas por uma 
força de direção desconhecida e 
de um momento (ou binário).
Exemplo 06
Determinar todas as reações de 
apoio do corpo representado na 
figura.
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Resposta Exemplo 06
Primeiro faça o diagrama de corpo 
livre da estrutura, colocando todas 
as forças que atuam sobre a 
estrutura.
O somatório das forças em 𝑥 é:
𝐵𝑥 − 20 𝑘𝑁 = 0
𝐵𝑥 = 20 𝑘𝑁
O somatório das forças em 𝑦 é:
𝐴 + 40 𝑘𝑁 − 50 𝑘𝑁 − 10 𝑘𝑁 + 𝐵𝑦
= 0
𝐴 + 𝐵𝑦 = 20 𝑘𝑁
Resposta Exemplo 06
Como não sabemos o valor da reação 
em 𝐴, precisamos de mais uma 
equação para resolver esse 
problema. É aí que entre o somatório 
do torque:
෍𝜏 = 0
Para facilitar, coloque o eixo de 
rotação sobre 𝐵 para eliminar das 
equações as forças de reação 𝐵𝑥 e 𝐵𝑦
𝐴 ∙ 6 𝑚 + 40 𝑘𝑁 ∙ 5 𝑚 − 50 𝑘𝑁
∙ 3 𝑚 − 20 𝑘𝑁 ∙ 2 𝑚 = 0
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Resposta Exemplo 06
𝐴 ∙ 6 𝑚 + 40 𝑘𝑁 ∙ 5 𝑚 − 50 𝑘𝑁
∙ 3 𝑚 − 20 𝑘𝑁 ∙ 2 𝑚 = 0
Resolvendo temos que 
𝐴 = 1,67 𝑘𝑁
𝐵𝑦 = 20 𝑘𝑁 − 1,67 𝑘𝑁 = 18,33 𝑘𝑁
Forças Concentradas e Forças Distribuídas
• Até agora somente utilizamos as chamadas forças concentradas, isto 
é, forças que são aplicadas em um único ponto.
• Existem, entretanto, as forças (ou cargas) que atuam ao longo de uma 
linha (situação plana) ou se distribuem numa superfície (situação 
espacial).
• Unidade: 𝑁/𝑚
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Forças Uniformemente Distribuída (𝑞)
• É a força que não varia ao longo 
do seu comprimento e 
representada por 𝑞.
• Para efeito do cálculo das 
reações de apoio transformamos 
a força distribuída por uma força 
concentrada no centro de 
gravidade da força distribuída e 
cuja intensidade é o valor total 
da força distribuída.
𝐹 = 𝑞 ∙ 𝑎
Forças Não Uniformemente Distribuída
• Trata-se de força cuja intensidade 
varia ao longo da linha de 
distribuição. 
• Um exemplo deste tipo de força é o 
caso da força cuja distribuição é 
triangular, isto é, que varia 
conforme a função 𝑞 = 𝑞𝑜. 𝑥/𝑎, 
onde 𝑎 é o comprimento da 
distribuição e 𝑥 é a posição do 
ponto considerado.
𝐹 =
𝑎 ∙ 𝑞0
2
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12
Determinar as reações de apoio da seguinte viga
Exemplo 8

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