Prévia do material em texto
11/11/2016 1 Aula 05 – Introdução a Análise Estrutural Prof. Dr. Otacilio Leandro de Menezes Neto CCE1041 – MECÂNICA GERAL Estática no Espaço Numa situação real, em rara vezes pode-se utilizar as forças e os torques apenas no plano 𝑥𝑦. Precisamos trabalhar com as forças no espaço. 11/11/2016 2 Forças no Espaço Seja Ԧ𝐹 uma força no espaço. Suas componentes são: 𝐹𝑥 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝐹𝑦 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝐹𝑧 = Ԧ𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 A magnitude do vetor Ԧ𝐹: Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 Em termos dos vetores unitários: Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 Forças no Espaço Em termos dos vetores unitários: Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 Ainda podemos relacionar o vetor unitário na direção desta força. Ԧ𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑢 Ԧ𝐹 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘 Ԧ𝐹 = 𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘) Então: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧𝑘 11/11/2016 3 Forças no Espaço O vetor unitário pode ainda ser calculado em termos da distância entre dois pontos: Ԧ𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑢 = 𝐹 𝑟 Δ𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + Δ𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + Δ𝑧 ∙ 𝑘 𝑟 = Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 + Δ𝑧2 Cujos ângulos diretores são: 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = Δ𝑥 𝑟 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = Δ𝑦 𝑟 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = Δ𝑧 𝑟 Exemplo 1 O cabo BC amarra a extremidade B do poste AB ao ponto C no piso, conforme a figura. Sabendo-se que este cabo está tracionado de 800N qual é o vetor cartesiano da força que atua no ponto C e quais seus ângulos diretores? 11/11/2016 4 Exemplo 2 O vetor de uma força de 230 𝑁 forma com os eixos cartesianos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente, os ângulos de 40°, 130° e 90°. Pede-se determinar: a) Os módulos das componentes em x, y e z, desta força; b) Suas componentes cartesianas c) O vetor cartesiano que representa a força. Exemplo 3 Dada uma força Ԧ𝐹 = ൫−130 ∙ Ԧ𝑖 − 11/11/2016 5 Resultante de Forças Concorrentes Sejam vários vetores no espaço. A força resultante entre eles será dada pela equação: Ԧ𝐹𝑅 =𝐹𝑥 ∙ Ԧ𝑖 +𝐹𝑦 ∙ Ԧ𝑗 +𝐹𝑧 ∙ 𝑘 Cujo módulo tem o valor: Ԧ𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 Os ângulos diretores: 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = σ 𝐹𝑥 Ԧ𝐹𝑅 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = σ 𝐹𝑦 Ԧ𝐹𝑅 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 = σ 𝐹𝑧 Ԧ𝐹𝑅 Exemplo 4 Determinar o vetor cartesiano, o módulo e os ângulos diretores da resultante das forças 130𝑁 e 250𝑁 mostradas na figura. 11/11/2016 6 Equilíbrio em Três Dimensões Como já vimos, as condições de equilíbrio são 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 Só resta agora acrescentar a terceira componente: 𝐹𝑧 = 0 Temos ainda que levar em conta que o somatório dos torques é zero. 𝜏 = 0 Exemplo 5 O bloco de 5 𝑘𝑁 é suportado pelos cabos AB, AC e AD conforme mostra a figura. Determinar os esforços nestes cabos. Resposta: 𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐵 = 1,63 𝑘𝑁 𝐹𝐴𝐷 = 3,33 𝑘𝑁 11/11/2016 7 Tipos de Apoio Apoio Articulado Fixo: permite a rotação do corpo, mas, não permite deslocamento vertical ou horizontal. A resultante da força que atua neste tipo de apoio pode ser decomposta em duas componentes: uma horizontal e outra vertical. Então a força de reação no apoio articulado fixo possui direção desconhecida. Tipos de Apoio Apoio Articulado Móvel: permite a rotação do corpo e deslocamento horizontal mas não permite o deslocamento vertical. Este apoio só oferece reação na direção vertical. A reação de apoio neste tipo de apoio tem direção conhecida. 11/11/2016 8 Tipos de Apoio Engastamento: é um apoio rígido, que não permite nem rotação e nem deslocamento em qualquer direção. Este apoio oferece reação em qualquer direção além de um momento de reação. Vínculos deste tipo provocam, portanto, reações constituídas por uma força de direção desconhecida e de um momento (ou binário). Exemplo 06 Determinar todas as reações de apoio do corpo representado na figura. 11/11/2016 9 Resposta Exemplo 06 Primeiro faça o diagrama de corpo livre da estrutura, colocando todas as forças que atuam sobre a estrutura. O somatório das forças em 𝑥 é: 𝐵𝑥 − 20 𝑘𝑁 = 0 𝐵𝑥 = 20 𝑘𝑁 O somatório das forças em 𝑦 é: 𝐴 + 40 𝑘𝑁 − 50 𝑘𝑁 − 10 𝑘𝑁 + 𝐵𝑦 = 0 𝐴 + 𝐵𝑦 = 20 𝑘𝑁 Resposta Exemplo 06 Como não sabemos o valor da reação em 𝐴, precisamos de mais uma equação para resolver esse problema. É aí que entre o somatório do torque: 𝜏 = 0 Para facilitar, coloque o eixo de rotação sobre 𝐵 para eliminar das equações as forças de reação 𝐵𝑥 e 𝐵𝑦 𝐴 ∙ 6 𝑚 + 40 𝑘𝑁 ∙ 5 𝑚 − 50 𝑘𝑁 ∙ 3 𝑚 − 20 𝑘𝑁 ∙ 2 𝑚 = 0 11/11/2016 10 Resposta Exemplo 06 𝐴 ∙ 6 𝑚 + 40 𝑘𝑁 ∙ 5 𝑚 − 50 𝑘𝑁 ∙ 3 𝑚 − 20 𝑘𝑁 ∙ 2 𝑚 = 0 Resolvendo temos que 𝐴 = 1,67 𝑘𝑁 𝐵𝑦 = 20 𝑘𝑁 − 1,67 𝑘𝑁 = 18,33 𝑘𝑁 Forças Concentradas e Forças Distribuídas • Até agora somente utilizamos as chamadas forças concentradas, isto é, forças que são aplicadas em um único ponto. • Existem, entretanto, as forças (ou cargas) que atuam ao longo de uma linha (situação plana) ou se distribuem numa superfície (situação espacial). • Unidade: 𝑁/𝑚 11/11/2016 11 Forças Uniformemente Distribuída (𝑞) • É a força que não varia ao longo do seu comprimento e representada por 𝑞. • Para efeito do cálculo das reações de apoio transformamos a força distribuída por uma força concentrada no centro de gravidade da força distribuída e cuja intensidade é o valor total da força distribuída. 𝐹 = 𝑞 ∙ 𝑎 Forças Não Uniformemente Distribuída • Trata-se de força cuja intensidade varia ao longo da linha de distribuição. • Um exemplo deste tipo de força é o caso da força cuja distribuição é triangular, isto é, que varia conforme a função 𝑞 = 𝑞𝑜. 𝑥/𝑎, onde 𝑎 é o comprimento da distribuição e 𝑥 é a posição do ponto considerado. 𝐹 = 𝑎 ∙ 𝑞0 2 11/11/2016 12 Determinar as reações de apoio da seguinte viga Exemplo 8