2TVC 2011 - Algebra Linear

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2o TVC de A´lgebra Linear — Turma B — 01/11/2011
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
1. Seja a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y+ z, x− y− z, 3x+ 2y+ 2z).
(a) Determine a imagem de T , bem como uma base deste subespac¸o.
(b) Determine o nu´cleo de T , bem como uma base deste subespac¸o.
2. Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (3x + y, 2x + 4y).
(a) Mostre que T e´ invert´ıvel.
(b) Determine T−1(x, y).
3. Seja T : R3 → R2 linear e tal que T (1, 1, 1) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (3, 1) e T (0, 0, 1) = (1, 0).
Determine T (x, y, z).
4. Sejam B = {u1 = (3, 1), u2 = (5, 2)} e B′ = {v1 = (1, 0,−1), v2 = (−1, 2, 2), v3 = (0, 1, 2)} bases
de R2 e R3, respectivamente. Seja T : R2 → R3 tal que
[T ]BB′ =
 1 30 1
−2 −1
 .
Determine T (x, y).
5. Determine a, b, c, d tais que o operador T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) =
(√
3
3
x +
√
2
2
y + az,
√
3
3
x−
√
2
2
y + bz,
√
3
3
x + cy + dz
)
seja
(a) ortogonal.
(b) sime´trico.