Unidade 1 Bioestatística

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Universidade Salgado de Oliveira 
Reconhecida pela Portaria Ministerial nº 1283 de 08/09/93, publicada no D.O.U. de 09/09/93 
Mantida pela Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura (ASOEC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIOESTATÍSTICA 
PARA O CURSO DE 
FARMÁCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Antonio Rodolfo Barreto 
 
 2 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
 
 
 
 
 
Freqüentemente, ao coletar dados, o pesquisador se depara com uma grande massa de valores numéricos, 
que se repetem algumas vezes, dificultando sua análise e interpretação. Surge então a necessidade de 
organizar esses dados em uma tabela onde os valores observados se apresentam associados 
individualmente ou em classes com os números de suas repetições, isto é, com suas respectivas 
frequências. Esta tabela recebe o nome de Distribuição de Frequências. 
 
A seguir são apresentados alguns conceitos fundamentais para a compreensão dessas tabelas. 
 
 
Dados Brutos 
 
É a apresentação dos dados observados na sequência em que foram coletados, isto é, sem nenhuma 
ordenação numérica. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Rol 
 
É a organização dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amplitude Total (AT) 
 
É a diferença entre o maior valor e o menor valor da sequência dos dados observados. 
 
AT = valor máximo – valor mínimo 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Frequência Absoluta Simples (ou simplesmente frequência): 
if
 
 
Denotada por 
if
, a frequência indica o número de ocorrências de cada valor ou o número de valores 
pertencentes a uma classe. 
 
 
 
 
 3 
Frequência Relativa Simples, ou simplesmente, Frequência Relativa: 
ifr
 
 
Simbolizada por 
ifr
, a frequência relativa simples fornece a proporção de cada valor ou de casos ocorridos 
em cada classe, em relação ao número total de observações. Portanto é um número relativo. Para calcular 
a frequência relativa, basta dividir a frequência absoluta da ordem em questão pelo número de 
observações. 
n
f
fr ii 
 
As comparações expressas através de porcentagem são mais usuais. Para obter a porcentagem de cada 
valor ou de casos ocorridos em cada classe, multiplica-se o quociente obtido por 100, ou seja: 
100
n
f
fr ii
 
Frequência Absoluta Acumulada: 
iF
 
 
Denotada por 
iF
, a frequência absoluta acumulada fornece a informação de quantos elementos se situam 
até determinado valor. A frequência acumulada do i-ésimo valor ou i-ésima classe (frequência acumulada de 
ordem i) é obtida somando-se a frequência desse valor ou classe com as frequências anteriores, ou seja, é 
a soma de todas as frequências de ordens menores ou igual a da ordem em questão. 
Por exemplo: 
3F
= 


3
1i
fi = f1 + f2 + f3 
 
 
Frequência Acumulada Relativa: 
iFr
 
 
Denotada por 
iFr
, fornece a proporção de elementos situados até determinado valor. Consiste na soma da 
frequência relativa de cada valor ou classe com as frequências relativas dos valores ou classes anteriores, 
ou seja, é a soma das frequências simples relativas de ordens menores ou iguais a da ordem em questão. 
 
Por exemplo: 
3Fr
 = 


3
1i
fri = fr1 + fr2 + fr3 
 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS SIMPLES (dados não agrupados ou não tabulados em classes de 
valores) 
 
É uma tabela onde os valores da variável analisada aparecem individualmente correlacionados com os 
números de suas repetições (frequências). 
 
Atividade 1. Um pesquisador perguntou a 15 crianças quantas refeições diárias ela realiza e obteve as 
seguintes respostas: 
3 4 2 2 5 
4 4 3 4 2 
5 3 3 4 4 
Confeccione a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados, considere as freqüências: 
absolutas, relativas percentuais e a freqüência absoluta acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Atividade 2. Uma companhia de ônibus urbano fez uma pesquisa, na sexta feira, perguntando quantas 
vezes os passageiros que estavam na fila às 15 h 00 haviam utilizado do ônibus daquela companhia 
durante a semana. As informações foram as seguintes: 
 4 8 6 4 2 7 2 3 6 4 
 2 7 2 2 4 2 3 3 5 7 
 2 5 7 4 3 6 2 5 2 2 
 
Confeccione a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados, considere as freqüências: 
absolutas, relativas percentuais e a freqüência absoluta acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR CLASSES (dados agrupados ou tabulados em classes de 
valores) 
 
Quando a variável analisada apresenta um grande número de valores torna-se mais vantajoso o 
agrupamento destes em classes de frequência, evitando assim grande extensão da tabela e facilitando a 
visualização do fenômeno como um todo. 
 
A distribuição de frequências por classes é uma tabela onde os valores observados são agrupados em 
classes, isto é, em intervalos de variações da variável em questão. 
 
 
Número de Classes (k) 
 
Não existe uma regra fixa que forneça o número de classes. No entanto, como o objetivo da distribuição de 
frequências é facilitar a compreensão dos dados, é importante que a distribuição contenha um número 
adequado de classes. 
 
 
Intervalo de Classe ou Classe 
 
A notação | indica um intervalo de classe fechado à esquerda. 
 
Classes são intervalos de variações da variável, ou seja, é cada um dos grupos de valores em que se 
subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da variável. 
 
O número de classes de uma distribuição de frequências será denotado por k. 
 
 5 
Limites de Classe 
 
São os valores extremos de cada classe. O menor valor denomina-se limite inferior da classe 
il
e o maior, 
limite superior da classe 
iL
. 
 
 
Amplitude do Intervalo de Classe (h) 
 
A amplitude do intervalo de classe é o comprimento da classe, sendo definida como a diferença entre o 
limite superior e o limite inferior da classe. 
 
iii lLh 
 
 
Atividade 3. Os dados abaixo se referem à idade de 36 doentes que recorreram à certo terapeuta durante o 
primeiro semestre de 2013 para corrigir problemas de coluna. 
 
27 28 29 31 31 32 
33 33 34 35 35 35 
36 36 36 37 37 37 
38 38 38 39 39 39 
39 39 40 40 40 40 
40 41 41 42 43 44 
 
Com base nestes dados confeccione uma distribuição de freqüências utilizando 6 classes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Atividade 4. Os números abaixo representam o comprimento, em centímetros, de cobaias de 90 dias: 
 
 
25,5 27,0 26,0 27,5 26,0 25,0 25,5 26,0 27,5 27,0 26,0 27,0 
25,0 24,5 26,0 25,0 26,5 25,0 26,0 27,0 27,5 25,5 24,0 25,0 
 
Montar a tabela de freqüência utilizando 4 classes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ponto Médio da Classe (xi) 
 
Considerando que os valores de uma classe estão distribuídos uniformemente, o ponto médio ou valor 
médio de uma classe é o valor que melhor a representa para efeito de cálculo de certas medidas. 
 
O ponto médio de uma classe i é definido por: 
2
L
x iii


 
 
Uma outra maneira de obter o ponto médio é adicionar a metade da amplitude ao limite inferior da classe. 
 
 
 
Atividade 5. Determine os pontos médios da distribuição a seguir. 
 
Salários dos Funcionários da Indústria HeleStar S/A 
Salários (R$) fi 
1.000 | 1.600 40 
1.600 | 2.200 30 
2.200 | 2.800 10 
2.800 | 3.400 5 
3.400 | 4.000 5 
Total 907 
Trabalho em Grupo 1 (TG1) 
1) As alturas, em centímetros, de 18 alunos da Universidade Salgado de Oliveira são apresentadas a 
seguir. 
149 162 170 157 152 171 158 164 169 
154 155 167 157 163 167 165 164 171 
 Construa a tabela de freqüência utilizando 3 classes. 
 
2) As notas obtidas por 20 alunos de uma turma em uma avaliação de Bioestatística estão abaixo 
relacionadas: 
3,3 4,3 2,1 5,6 6,2 7,4 4,8 1,9 8,0 4,8 
6,5 3,2 3,5 8,6 4,5 3,8 5,3 1,2 5,4 9,3 
a) Agrupe os dados em seis classes de intervalo, cada uma com amplitude 1,5 a partir da nota 1,0, e faça 
uma tabela de freqüência. 
b) Qual a porcentagem de alunos com nota menor ou igual a 4? 
 
 
 
 
3) Os dados a seguir representam as notas de 50 alunos. Agrupar estes elementos em uma distribuição de 
freqüências por classes: 
 
 
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 
 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 
 
 
 
4) Assinale a opção CORRETA. Frequência relativa simples de um valor da variável é: 
a) O número de repetições desse valor 
b) A porcentagem de repetições desse valor 
c) O número de observações acumuladas até esse valor 
d) A quantidade de elementos maiores que esse valor 
e) As outras alternativas estão incorretas 
 
 
5) Considere a seguinte distribuição de frequências correspondente aos diferentes preços de um 
determinado medicamento pesquisado em 20 lojas. 
Preços do Medicamento A 
Preço (R$) Número de Lojas 
10 2 
11 5 
12 6 
13 6 
14 1 
Total 20 
 FONTE: Dados Fictícios 
a) Quantas lojas apresentam preços de R$ 12,00? 
b) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$ 12,00 (inclusive)? 
 8 
c) Qual é a percentagem de lojas com preços de até R$ 13,00 (inclusive)? 
6) Dada a distribuição de frequências: 
Indústria de Equipamentos Eletrônicos – IEE 
Número de Falhas em Componentes 
durante o período de garantia 
Janeiro de 2000 
Nº de Falhas 
(xi) 
Número de Equipamentos 
(fi) 
0 148 
1 52 
2 34 
3 26 
4 13 
5 7 
Total 280 
 
a) Determinar as frequências relativas percentuais. 
b) Responder qual a porcentagem de: 
 b.1) equipamentos que não apresentaram falha em seus componentes; 
 b.2) equipamentos que apresentaram pelo menos uma falha em seus componentes; 
 b.3) equipamentos trocados, sabendo-se que a indústria se compromete a trocar o equipamento que 
apresente 4 ou mais falhas em seus componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
 
Os valores que representam o conjunto de dados observados ou então promovem uma partição sobre este 
conjunto são chamados de medidas de posição. Entre as medidas de posição destacam-se as medidas de 
tendência central e as separatrizes. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA (
x
) 
a) Média aritmética para dados não agrupados 
 
Sejam x1, x2, ..., xn, n valores da variável x. A média aritmética simples, denotada por x , é definida por: 
n
x
x
n
i
i
 1 
 
onde n é o número de valores observados da variável x. 
Atividade 1. As notas finais de 15 alunos estão apresentadas abaixo. Determine a média aritmética das 
notas obtidas. 
7,5 9,0 4,5 4,0 5,5 8,0 8,5 9,0 
7,5 7,5 7,0 6,5 7,5 9,0 6,5 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2. A seleção Brasileira de basquete preparou-se, durante quatro meses, para um torneio 
internacional, contando com 10 atletas com média de altura de 1,94 m. Na véspera do embarque, um atleta 
de 2,06 m contundiu-se e o técnico decidiu substituí-lo, convocando, às pressas, um pivô de 1,95 m. 
Determine a nova média de altura da seleção que embarcou para o torneio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Média aritmética para dados agrupados 
Neste caso, usamos a média aritmética dos valores x1, x2, ..., xk, ponderada pelas suas respectivas 
frequências absolutas f1, f2, f3, ... , fk. Desta forma, temos: 
n
fx
x
i
n
i
i
 1 
onde: n = f1 + f2 + ... + fk = 


k
1i
if
 
 10 
Atividade 3. Abaixo está representada a distribuição do número de irmão de 20 alunos da turma A. 
Determinar a média aritmética dessa distribuição. 
 
 
xi fi 
0 4 
1 8 
2 3 
3 3 
4 1 
5 1 
Total 20 
 
Atividade 4. Um comerciante mistura 4 kg do café tipo A, que custa R$ 6,00 o quilo; 10 kg do café B, que 
custa R$ 5,60 o quilo; e 6 Kg do café C, que custa R$ 5,00 o quilo. Qual o preço por quilo da mistura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5. Dada a distribuição abaixo determine a renda média familiar destas 40 famílias. 
 
OBS: Quando se tratar de uma distribuição de frequência por classe, xi corresponde ao ponto médio da classe, ou seja, 
2
ii
i
L
x


 . 
 Renda Familiar de 40 Famílias 
i Salários (R$ 1.000) fi 
1 2 | 4 5 
2 4 | 6 10 
3 6 | 8 14 
4 8 | 10 8 
5 10 | 12 3 
 TOTAL 40 
 
Atividade 6. Houve uma denúncia de intoxicação por mercúrio em uma remessa de 20 latas de certo 
produto que chegaram a um supermercado. Então, foi feita uma inspeção para determinar a massa de 
mercúrio (material tóxico) presente em cada lata. Os resultados da inspeção são dados a seguir (em g de 
mercúrio por 1000g do produto): 
 0,3 0,4 0,5 0,4 0,4 0,4 0,6 0,2 0,15 0,35 
 0,4 0,55 0,35 0,4 0,4 0,4 0,55 0,6 0,5 0,45 
 
Uma remessa é confiscada quando, em média, a massa de mercúrio é superior a 0,4 g. 
a) Deve essa remessa ser confiscada? Justifique. 
b) Para evitar o confisco, o fornecedor propôs acrescentar cinco novas latas a essa remessa, garantindo 
que todas as novas latas contêm massas iguais de mercúrio. Qual a massa máxima de mercúrio que cada 
lata pode conter, a fim de que a “nova” remessa não seja confiscada? 
 
 
 
 
 11 
Trabalho em Grupo 2 (TG2) 
 
1) Em certo ano, uma indústria farmacêutica teve a produção bimestral de certo medicamento conforme 
mostra a tabela a seguir: 
 Mês Jan./fev. Mar./abr. Maio/jun. Jul./ago. Set./out. Nov./dez 
 Produção 6.000 11.000 13.000 15.000 25.000 10.000 
 
Responda: 
Qual a média bimestral de produção? 
 
2) Os valores de glicemia em jejum em mg medidos fotocolorimetricamente no sangue de 10 adultos do 
sexo masculino, clinicamente normais e sem história familial de diabetes mellitus, foram: 
79 86 91 96 100 102 108 108 110 120 
Para os dados acima determine a média aritmética. 
 
 
3) Em uma amostra com 50 notas a média é 7,5. Os valores 4,5 e 5,7 foram retirados. Então determine a 
nova média da amostra. 
 
 
4) Em um estudo realizado com 100 pacientes portadores de asma foram registrados no mês de agosto os 
seguintes dados: 
 
Nº de crises Nº de pacientes 
0 14 
1 18 
2 32 
3 29 
4 5 
5 2 
TOTAL 100 
 
Qual foi neste mês o número médio de crises por paciente? 
 
 
5) A academia Boa Forma fez uma pesquisa sobre o peso dos seus clientes. A tabela abaixo mostra o 
resultado obtido: 
 
Peso (kg) Nº de pessoas 
50 | 55 9 
55 | 60 10 
60 | 65 25 
65 | 70 18 
70 | 75 8 
 Total 70 
 
Com base nos dados acima, determine o peso médio dos clientes. 
 
 
 
6) A média mínima para aprovação em uma matériaé 5. Se um estudante obteve as notas 7,5; 8,0; 3,5; 
6,0; 2,5; 2,0; 5,5 e 4,0 nos trabalhos mensais desta matéria, pergunta-se: ele foi ou não aprovado? 
 
 
 12 
ALTURA DOS ATLETAS 
DA EQUIPE DE NATAÇÃO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ALTURA (cm)
Nº de 
Atletas
160 170 180 190 200 
7) O histograma, a seguir, apresenta a altura média de 20 atletas de uma equipe de natação. 
Com base nos dados do histograma determine a altura média dos atletas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
MEDIANA (Md) 
 
 
 
 
 
A mediana, denotada por Md, é o valor que divide o rol em duas partes contendo, cada uma, a mesma 
quantidade de elementos. Assim, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série de dados. 
 
50% 50% 
 Md 
 
 
 
a) Mediana para dados não agrupados 
 
i) Se n é ímpar – o rol admite apenas um termo central que ocupa a posição 
2
1n 
. 
 
O valor do elemento que ocupa esta posição é a mediana. 
 
Atividade 1. Determinar a mediana da série: 20; 12; 23; 20; 8; 12; 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Se n é par – neste caso o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições 
2
n
 e 
1
2
n

. 
 
Neste caso a mediana é definida como a média aritmética destes dois termos centrais. 
 
Atividade 2. Determinar a mediana da série: 7; 21; 13; 15; 10; 8; 9; 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3. Os dados ordenados abaixo referem-se ao tempo de espera (em minutos) de 10 pessoas que 
foram atendidas em um posto de saúde durante uma manhã: 
 
1 5 8 9 x 16 18 y 23 26 
 
Sabendo que o tempo médio de espera foi de 14 minutos e o tempo mediano foi de 15 minutos, determine 
os valores de x e de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
b) Mediana para dados agrupados sem intervalos de classes 
 
O procedimento para o cálculo da mediana para dados agrupados sem intervalos de classes é o mesmo 
utilizado para dados não agrupados, ou seja: 
 Se n for ímpar, a mediana será o termo central, isto é, o termo de ordem 
2
1n . 
 Se n for par, a mediana será a média aritmética entre os elementos centrais, isto é, os elementos de 
ordem 
2
n
 e 
1
2
n

. 
 
 
Atividade 4. Determinar a média e a mediana da distribuição: 
 
 xi fi Fi 
2 1 1 
5 4 5 
8 10 15 
10 6 21 
12 2 23 
Total 23  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5. Determinar a média e a mediana da distribuição: 
 
 xi fi 
0 3 
1 5 
2 8 
3 10 
5 6 
Total 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
c) Mediana para dados agrupados com intervalos de classes 
 
 Calcula-se 
2
n
, independente de n ser par ou ímpar; 
 Localiza-se, através das frequências acumuladas, a classe mediana, ou seja, a classe que contém o 
termo de ordem 
2
n
; 
 Aplica-se a fórmula: 
 
h
f
F
n
Md
Md
ant
Md 

 2 
onde: 
ℓMd = limite inferior da classe mediana; 
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
h = amplitude da classe mediana; 
fMd = frequência absoluta da classe mediana. 
 
Atividade 6. Determine a média e a mediana da distribuição: 
 
Preço (R$) fi 
 12 | 14 2 
14 | 16 4 
16 | 18 5 
18 | 20 12 
20 | 22 2 
Total 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 7. Determine a média e a mediana da distribuição: 
 
Altura (cm) fi 
150 | 154 4 
154 | 158 9 
158 | 162 11 
162 | 166 8 
166 | 170 5 
170 | 174 3 
Total 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Trabalho em Grupo 3 (TG3) 
1) Determinar a média e a mediana das séries: 
 
a) 2; 5; 8; 10; 12; 8; 5; 12 
b) 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8 
 
2) Durante uma epidemia de cólera, recolheu-se certo número de mortos em 35 cidades de um país, 
obtendo-se a seguinte tabela: 
(nº) Mortos (nº) Cidades 
0 9 
1 9 
2 11 
3 3 
4 2 
5 1 
Total 35 
 
Com base nos dados, determine o número mediano de mortos. 
 
 
3) A Secretaria de Saúde do Estado suspeita que os fornecedores de um determinado medicamento, com 
fábrica num município do interior, estejam fazendo uma política combinada de preços (cartel). Para verificar 
essa suspeita, foram tomados os preços praticados por uma amostra de 25 fábricas. 
Preço (R$) Nº de fábricas 
12 | 14 2 
14 | 16 4 
16 | 18 5 
18 | 20 12 
20 | 22 2 
Total 25 
Determine a mediana. 
 
4) A tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais 
em reais de uma firma. 
Classes de Salários (R$) Frequências Acumuladas 
5.000 | 6.500 12 
6.500 | 8.000 28 
8.000 | 9.500 52 
9.500 | 11.000 74 
11.000 | 12.500 89 
12.500 | 14.000 97 
14.000 | 15.500 100 
Determine o salário mediano. 
 
5) Na tabela ao lado são dadas as idades de 54 pessoas. Pede-se para calcular a idade mediana. 
Idades Nº de pessoas 
10 | 15 6 
15 | 20 11 
20 | 25 16 
25 | 30 13 
30 | 35 5 
35 | 40 3 
 54 
 17 
 
MODA (Mo) 
 
 
 
 
 
É o valor mais frequente do conjunto de dados observados. 
 
 
a) Moda para dados não agrupados 
 
Para determinar a moda, basta identificar o(s) elemento(s) que mais se repete(m). 
 
 
Atividade 1. Determinar a moda dos conjuntos de dados abaixo: 
 
a) 2; 8; 3; 5; 4; 5; 3; 5; 1 
 
 
 
 
b) 6; 10; 5; 6; 10; 2 
 
 
 
 
 
c) 2; 2; 8; 8; 5; 5; 6; 6 
 
 
 
 
 
b) Moda para dados agrupados sem intervalos de classes 
 
Neste caso, basta identificar o(s) elemento(s) de maior frequência. 
 
Atividade 2. Determinar a moda da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3. Determinar a moda da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi fi 
0 2 
2 5 
3 8 
4 3 
5 1 
Total 19 
xi fi 
1 2 
2 5 
3 4 
4 5 
5 1 
Total 17 
 18 
Atividade 4. Determinar a moda da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Moda para dados agrupados com intervalos de classes 
 
Neste caso há diversos processos para o cálculo da moda, entre eles: a moda bruta e a moda de Czuber. 
 
i) Fórmula da Moda Bruta 
 Identifica-se a classe modal (a que possui maior frequência); 
 Aplica-se a fórmula: 
2
L
Mo MoMo


 
onde: 
ℓMo = limite inferior da classe modal. 
 L Mo = limite superior da classe modal. 
 
 
ii) Fórmula da Moda de Czuber 
 
 Identifica-se a classe modal (a que possui maior frequência); 
 Aplica-se a fórmula: 
hMo
21
1
Mo 


 
 
onde: 
ℓMo = limite inferior da classe modal. 
1 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a frequência absoluta da classe anterior à 
classe modal. 
2 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a frequência absoluta da classe posterior à 
classe modal. 
h = amplitude da classe modal. 
 
Atividade 5. Dada a distribuição abaixo calcule a moda bruta e a moda de Czuber 
 
classes fi 
0 | 1 3 
1 | 2 10 
2 | 3 17 
3 | 4 8 
4 | 5 5 
TOTAL 43 
 
 
 
 
 
 
 
xi fi 
4 5 
5 5 
8 5 
10 5 
Total 20 
 19 
 
Atividade 6. Dada a distribuição abaixo calcule a média, a mediana, a moda bruta e a moda de Czuber. 
 
classes fi 
5 | 10 3 
10 | 15 8 
15 | 20 620 | 25 7 
25 | 30 6 
TOTAL 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho em Grupo 4 (TG4) 
 
1) Os tempos, em segundos, que 8 atletas mirins levam para percorrer uma distância de 400 metros na 
prova de atletismo, são: 
90 85 100 92 92 87 84 98 
Assinale a alternativa CORRETA. Neste caso, o valor 91 representa: 
a) a média 
b) a média e a mediana 
c) a média e a moda 
d) a mediana e a moda 
e) a média, a mediana e a moda 
 
 
 
 
2) Em um estudo realizado com 100 pacientes portadores de asma foram registrados no mês de março os 
seguintes dados: 
 
Nº de crises Nº de pacientes 
0 14 
1 18 
2 32 
3 29 
4 5 
5 2 
TOTAL 100 
 
 
Qual o número modal de crises por paciente? 
 
 
 
 
 
 20 
3) A academia Boa Forma fez uma pesquisa sobre o peso dos seus clientes. A tabela abaixo mostra o 
resultado obtido: 
1. 
Peso (kg) Nº de pessoas 
50 | 55 9 
55 | 60 10 
60 | 65 25 
65 | 70 18 
70 | 75 8 
 Total 70 
 
 Assinale a alternativa CORRETA. Com base nos dados acima, podemos concluir que o peso modal (moda 
bruta), é de: 
a) 62,5 kg 
b) 62,9 kg 
c) 63,2 kg 
d) 63,4 kg 
e) 64,0 kg 
 
4) A Secretaria de Saúde do Estado suspeita que os fornecedores de um determinado medicamento, com 
fábrica num município do interior, estejam fazendo uma política combinada de preços (cartel). Para verificar 
essa suspeita, foram tomados os preços praticados por uma amostra de 25 fábricas. 
Preço (R$) Nº de fábricas 
12 | 14 2 
14 | 16 4 
16 | 18 5 
18 | 20 12 
20 | 22 2 
Total 25 
Assinale a alternativa CORRETA. A moda de Czuber desta distribuição é: 
a) 17,60 
b) 18,25 
c) 18,50 
d) 18,80 
e) 19,90 
 
5) A distribuição de freqüências abaixo representa o peso em Kg de 20 pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam as sentenças: 
I  O peso mediano da distribuição é 73 kg. 
II – O peso médio da distribuição é 74,5 kg. 
III – O peso modal da distribuição (moda bruta) é 100 kg. 
Marque a alternativa CORRETA: 
a) Todas as sentenças estão corretas. 
b) Todas as sentenças estão erradas. 
c) Apenas a sentença I está correta. 
d) Apenas a sentença III está errada. 
e) Nenhuma das anteriores 
Pesos (kg) Freq. acumulada 
55  65 6 
65 | 75 11 
75 | 85 15 
85 | 95 19 
 95 | 105 20 
 21 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
 
 
 
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno 
da média. Servem para medir a representatividade da média. Essa avaliação é necessária, pois quando se 
trata de interpretar dados estatísticos, mesmo aqueles já convenientemente simplificados, como a média 
aritmética, deve-se ter uma ideia retrospectiva de como se apresentavam esses mesmos dados nas tabelas. 
Assim, não é o bastante dar uma medida de posição para caracterizar perfeitamente um conjunto de 
valores, devemos, também, medir a variabilidade do conjunto de valores em relação à essa medida de 
posição. 
 
 
Se observarmos as sequências: 
 
X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 
Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 
Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 
 
concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são sequências completamente distintas 
do ponto de vista da variabilidade de dados. 
 
 Na sequência Z não há variabilidade de dados. A média 13 representa bem qualquer valor da série. 
 
 Na sequência Y, a média 13 representa bem a série, mas existem elementos da série levemente 
diferenciados da média 13. 
 
 Na sequência X existem muitos elementos bastante diferenciados da média 13. 
 
 Concluímos que a média 13 representa otimamente a sequência Z, representa bem a sequência Y, mas 
não representa bem a sequência X. 
 
 
 
 
a) Variância e desvio padrão para dados não agrupados 
 
 Se a sequência representa uma população, a variância é calculada pela fórmula: 
 
n
)xx( 2i2  
, 
e o desvio padrão é 
2
. 
 
 
Atividade 1. Calcule a variância e o desvio padrão da sequência: 4, 5, 8, 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Atividade 2. Com o objetivo de verificar o comportamento do consumidor, um órgão de defesa do 
consumidor registrou o seguinte número de queixas ao longo de 7 dias: 
 
 58 39 63 60 95 48 71 
 
a) Determine a média e a mediana do número de queixas recebidas. 
b) Qual o desvio padrão dos dados acima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Variância e desvio padrão para dados agrupados sem intervalos de classes 
 
Como há repetições de elementos na série, definimos a variância como sendo uma média aritmética 
ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da série para a média da série. 
 
 Se a variável é representativa de uma população, então a variância é dada por: 
 
n
f)xx( i
2
i2  
. 
 
Atividade 3. Calcule a variância e o desvio padrão da série abaixo, representativa de uma população: 
 
xi fi 
2 3 
3 5 
4 8 
5 4 
Total 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
Atividade 4. Em um estudo realizado com 100 pacientes portadores de asma foram registrados no mês de 
agosto os seguintes dados: 
 
Nº de crises Nº de pacientes 
0 14 
1 18 
2 32 
3 29 
4 5 
5 2 
TOTAL 100 
 
Calcule e variância e o desvio padrão dos dados obtidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Variância e desvio padrão para dados agrupados com intervalos de classes 
 
Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da série, substituiremos nas fórmulas anteriores 
estes valores pelos pontos médios das classes. 
 
Atividade 5. Determinar a variância e o desvio padrão da distribuição: 
 
Classes fi 
0 | 4 1 
4 | 8 3 
8 | 12 5 
12 | 16 1 
TOTAL 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
Atividade 6. Determinar a mediana, a moda bruta, a variância e o desvio padrão da distribuição: 
 
Classes fi 
2 | 6 2 
6 | 10 4 
10 | 14 7 
14 | 18 1 
TOTAL 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho em Grupo 5 (TG5) 
 
1) Calcule a variância e o desvio padrão de cada um dos conjuntos: 
a) 23 43 34 23 25 27 22 
b) 25 14 19 25 19 
 
2) Entre os funcionários de uma clínica, foi retirada uma amostra de dez indivíduos. Os números que 
representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 
{0; 0; 0; 2; 2; 2; 4; 4; 6; 10}. Sendo assim, determine o valor do desvio padrão desta amostra. 
 
 
3) A prefeitura de Goiânia encomendou uma pesquisa que avaliasse o grau de satisfação dos moradores da 
cidade. Cada um dos oitenta entrevistados atribuiu uma nota de 0 a 100 para a administração do prefeito. 
Os resultados estão apresentados na tabela seguinte: 
 
Nota Frequência Absoluta 
0 ├ 20 4 
20 ├ 40 13 
40 ├ 60 32 
60 ├ 80 25 
80 ├ 100 6 
a) Determine a nota média dada ao prefeito nesta pesquisa. 
b) Calcule o desvio padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
4) Um radar fotográfico, instalado em uma rodovia na qual o limite de velocidade é de 100 km/h, registrou 
em uma semana x multas por excesso de velocidade, assim distribuídas: 
 
Velocidade em Km/h Número de ocorrências 
101 ├ 108 34 
108 ├ 115 41 
115 ├ 122 35 
122 ├ 129 22 
129 ├ 136 18 
 
a) Determine o valor de x. 
b) Calcule a média e o desvio padrão da velocidade dos veículos multados. 
 
 
5) Em uma classe de 40 alunos as notas obtidas em teste formaram a seguinte distribuição: 
 Notas 1 2 3 4 5 6 78 9 10 
 Nº se alunos 4 4 8 1 2 7 7 5 1 1 
 
Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão das notas apresentadas. 
 
 
 
 
6) Em um determinado dia da semana foram atendidas 10 crianças em um Posto de Saúde na periferia de 
Goiânia, cujas idades eram: 
3 11 2 10 11 13 7 7 12 4 
Determine o desvio-padrão das idades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de 
concentração em torno da média de séries distintas. 
 
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, se uma série X apresenta 
x
 = 10 e
)x(
=2 e 
uma série Y apresenta 
y
= 100 e 
)y(
= 5, do ponto de vista da dispersão absoluta, a série Y apresenta 
maior dispersão que a série X. No entanto, se levarmos em consideração as médias das séries, o desvio 
padrão de Y que é 5 em relação a 100 é um valor menos significativo que o desvio padrão de X que é 2 em 
relação a 10. Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu 
emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou 
variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 
 
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos 
dados em termos relativos a seu valor médio através do coeficiente de variação: 
 
100
x
CV 


 
que é expresso em porcentagens. 
 
 
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão), isto é, a distribuição é mais homogênea, 
quando o coeficiente der até 15%; média dispersão quando estiver acima de 15% até 30%; e grande 
dispersão quando superar 30%. 
 
Ou seja: Baixa dispersão: CV 

 15% 
 Média dispersão: 15% < CV < 30% 
 Alta dispersão: CV 

 30% 
 
Atividade 1 Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio padrão de 
R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00 com desvio padrão de R$1.200,00. Qual grupo 
é mais homogêneo em relação aos salários? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2. A distribuição das estaturas de um grupo de pessoas apresentou uma estatura média de 
175 cm e um desvio padrão de 12 cm, enquanto que a distribuição dos pesos apresentou um peso médio de 
78 kg, com um desvio padrão de 15 kg. Com base nestes dados, qual é a variável mais homogênea deste 
grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Atividade 3. Marque a alternativa CORRETA Os dados abaixo representam os pesos de crianças na 
enfermaria da clínica X: 
15,0 18,6 20,5 21,2 22,3 25,6 28,6 29,4 35,2 
 Sabendo-se que a variância dos dados acima é 38,9, podemos afirmar que: 
a) 0%  CV < 10% 
b) 10%  CV < 20% 
c) 20%  CV < 30% 
d) 30%  CV < 40% 
e) CV  40% 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 4. A tabela a seguir contém algumas estatísticas associadas aos tempos de vida da população de 
certa comunidade (pessoas falecidas nos anos 2000-2007). 
 Média Mediana Moda Desvio padrão 
Homens 69,2 73 80 16,4 
Mulheres 78,7 80 83 13,7 
Com base nestas informações, assinale a alternativa CORRETA. 
a) O tempo de vida dos homens apresenta maior CV e por isso apresenta maior homogeneidade. 
b) O tempo de vida dos homens apresenta menor variabilidade. 
c) O tempo de vida das mulheres apresenta o menor CV e por isso apresenta maior homogeneidade. 
d) Como a média de tempo de vida das mulheres é menor então elas apresentam menor variabilidade 
e) O tempo de vida das mulheres possui maior dispersão porque tem a maior média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5. Realizada uma pesquisa referente à renda familiar de um grupo de dez alunos obtiveram-se os 
seguintes resultados. 
 
 8,5 15,2 13 17,2 14,5 15,7 12,8 19 18 1 5,7 
 
a) Montar a tabela de freqüência para a variável renda familiar utilizando 3 classes; 
b) Determine a renda média familiar destas 10 famílias. 
c) Calcule o coeficiente de variação dessa amostra e interprete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Atividade 6. O número de erros de português (ortografia, acentuação, concordância, etc) encontrado por 
pagina de um trabalho escolar está relacionado na tabela seguinte: 
 
 Número de erros Frequência Absoluta 
0 ├ 2 6 
2 ├ 4 4 
4 ├ 6 3 
6 ├ 8 1 
 
Determine: 
a) A média; 
b) O desvio padrão; 
c) O coeficiente de variação dessa amostra e interprete 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho em Grupo 6 (TG6) 
 
1) Marque a alternativa CORRETA. A homogeneidade de uma série de valores ou de uma distribuição de 
frequências é dada pela razão entre o desvio padrão e a média aritmética. Podemos afirmar que : 
a) Quanto maior o coeficiente de variação maior homogeneidade. 
b) Quanto menor o coeficiente de variação menor homogeneidade. 
c) Quanto menor o coeficiente de variação maior a homogeneidade. 
d) Quando o desvio padrão é igual a média menor a homogeneidade. 
e) As alternativa "a" e "b" estão corretas. 
 
 
O enunciado abaixo se refere às questões 2 e 3. 
 
Encontram-se a seguir alguns valores de Média e Desvio Padrão extraídos de uma pesquisa no hospital X. 
Variável Média ± DP (mg/dL) 
Glicemia 85,86 ± 14,77 
Triglicerídeos 174,36 ± 75,24 
Colesterol HDL 46,43 ± 11,71 
 
2) Marque a alternativa CORRETA. Para medir a variabilidade relativa das três variáveis mensuradas, e 
compará-las, a melhor medida é: 
a) a média 
b) o desvio padrão 
c) a moda 
d) a mediana 
e) o coeficiente de variação 
 
 29 
3) Marque a alternativa CORRETA: 
a) O Triglicerídeos é a variável mais homogênea porque possui o maior CV. 
b) O Colesterol HDL é a variável mais homogênea porque possui o menor desvio padrão. 
c) A Glicemia é a variável mais homogênea porque possui o menor CV. 
d) A variável que apresenta menor homogeneidade é a Glicemia. 
e) A variável que apresenta menor homogeneidade é o Colesterol HDL. 
 
4) Conhecidas as médias e os desvios-padrões da pressão sanguínea (mm/Hg) segundo o tipo de anestesia 
(halotano ou morfina), determine qual tipo apresenta os dados mais homogêneos. 
 
Informações sobre a amostra 
Anestesia 
Halotano Morfina 
Média 66,9 75 
Desvio-Padrão 12,5 13,5 
 
 
5) A seguir apresenta-se o nível de colesterol de 5 pessoas 
 
233 291 310 250 196 
 
Calcule o coeficiente de variação dessa amostra e interprete. 
 
 
6) Em um exame final de Matemática Básica, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 6,8 e o desvio 
padrão 1,2. Em Bioestatística, entretanto, o grau médio final foi 6,9 e o desvio padrão, 1,3. Em que 
disciplina foi maior a dispersão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
MATERIAL EXTRA 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 ESTATÍSTICA é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os 
fenômenos coletivos. 
 
 ESTATÍSTICA é a ciência que estuda as técnicas necessárias para coletar, organizar, apresentar, 
analisar e interpretar os dados, a fim de extrair informações a respeito de uma população. 
 
 POPULAÇÃO é o conjunto de todos os elementos (pessoas ou objetos) que interessam ao estudo de 
um fenômeno coletivo segundo alguma característica. 
 
 AMOSTRA é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
 
 PARÂMETRO é uma característica numérica estabelecida para toda uma população. 
 
 ESTIMADORé uma característica numérica estabelecida para uma amostra. 
 
 CENSO é um levantamento estatístico (pesquisa) que abrange todos os elementos de uma população. 
 
 Principais propriedades do Censo: 
 Confiabilidade 100% 
 Custo elevado 
 Lento 
 Nem sempre é viável 
 
 AMOSTRAGEM é o processo de obter as amostras, com a finalidade de fazer generalizações sobre a 
população sem precisar examinar cada um de seus elementos. 
 
 Principais propriedades da Amostragem: 
 Confiabilidade menor que 100% 
 Mais barata que o Censo 
 Mais rápida que o Censo 
 É sempre viável 
 
 DADO ESTATÍSTICO é toda informação devidamente coletada e registrada. Todo dado se refere a uma 
variável. 
 
 
 VARIÁVEL é uma característica dos elementos de uma população ou de uma amostra, que pode 
assumir diferentes valores, sejam numéricos ou não, e que interessa ao estudo. 
 
 
 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS: 
 
 
 VARIÁVEIS QUALITATIVAS – quando seus valores são expressos por atributos ou qualidades; 
 
 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS – quanto seus valores são expressos em números. 
 
 
 PARTES DA ESTATÍSTICA 
 
 Estatística Descritiva – é a parte da Estatística que trabalha com a organização e a apresentação dos 
dados. 
 
 31 
 Estatística Indutiva ou Inferência Estatística – é a parte da Estatística que trabalha com análise e 
interpretação dos dados, com o objetivo de obter e generalizar conclusões para a população a partir de 
uma amostra. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 ATRIBUIÇÕES DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA - Fases do Método Estatístico 
 
 Definição do problema  O que exatamente se pretende pesquisar? Delimitar o tema. 
 Planejamento  Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser 
utilizado? Censo? Amostragem? Qual é o cronograma de atividades? Quais são os custos envolvidos no 
processo? 
 Obtenção ou coleta de dados – normalmente feita através de um questionário ou de observação direta 
 Crítica, Apuração e Organização dos dados – consiste na ordenação e crítica dos dados para evitar 
erros que possam vir a alterar os resultados 
 Apresentação dos dados – através de tabelas e gráficos 
 Obtenção de algumas informações como médias, proporções, dispersões, índices que facilitam a 
descrição e análise dos fenômenos observados. 
 
 
 ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM TABELAS 
 
Objetivo: apresentar resumidamente, de maneira clara e precisa, um conjunto de dados estatísticos. 
 
 
 ELEMENTOS DAS TABELAS 
 
Título – texto conciso, indicador do conteúdo de uma tabela. Localizado no topo da tabela, responde às 
perguntas: O quê? Quando? Onde? 
 
Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo. Cada 
cruzamento de uma linha com uma coluna constitui uma casa ou célula. 
 
Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
 
Coluna Indicadora – parte da tabela que especifica o tipo de informação que cada linha contém. 
 
Fonte – identificador do responsável (pessoa física ou jurídica) pelo fornecimento dos dados. Não se indica 
a fonte no caso em que a tabela é apresentada pelo próprio pesquisador, ou pelo próprio grupo de 
pesquisadores, ou pela própria instituição que obteve os dados. É inscrita na primeira linha do rodapé (parte 
inferior da tabela) e deve ser precedida da palavra Fonte. 
 
Notas – são informações de natureza geral que servem para esclarecer o conteúdo das tabelas ou para 
explicar o método utilizado no levantamento dos dados. As notas são colocadas logo após a fonte. 
 
Chamadas – são informações de natureza específica que servem para explicar ou conceituar determinados 
dados. As chamadas são inscritas no rodapé após a Fonte e as Notas. 
 
 
Exemplo de tabela: 
 
 EFETIVO DO REBANHO BOVINO Título 
 2005-2009 
 Coluna ANOS PRODUÇÃO (1.000 t) Cabeçalho 
 Indicadora 2005 207.157 
 2006 205.886 Casa ou célula 
 2007 199.752 
 2008 202.307 
 2009 205.260 
 Rodapé FONTE: IBGE Corpo 
 
 32 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
SÉRIE ESTATÍSTICA é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em 
função do tempo, do local ou do fenômeno. 
 
Tipos Básicos de Séries: 
 Temporal, Cronológica ou Histórica 
 Geográfica, Territorial ou de Localização 
 Categórica ou Específica 
 
 SÉRIE TEMPORAL 
Usada para apresentar dados observados em determinado local, discriminados ao longo do tempo. 
 
Exemplo: 
 Produção Brasileira de Cana-de-açúcar 
 1980/2006 
 Ano Produção (toneladas) 
 1980 139.584.521 
 1985 229.882.037 
 1996 259.806.703 
 2006 384.165.158 
 Fonte: IBGE 
 
 
 SÉRIE GEOGRÁFICA 
Usada para apresentar dados de diferentes regiões geográficas, em determinado tempo. 
 
Exemplo: 
 ÓBITOS POR NEOPLASIAS MALIGNAS 
 2009 
 
Regiões 
Quantidade 
(por 100 mil habitantes) 
 
 Norte 46,7 
 Nordeste 66,2 
 Sudeste 102,8 
 Sul 121,1 
 Centro-Oeste 73,2 
 Fonte: Ministério da Saúde/Indicadores e Dados Básicos-Brasil-2010 
O Instituto do Câncer (Inca) é o órgão de referência Técnica nacional 
para um só do indicador 
 
 
 
 SÉRIE CATEGÓRICA 
Usada para apresentar dados que se distribuem em diferentes categorias, em determinado tempo e local. 
 
Exemplo: 
 Vendas das empresas brasileiras de tecnologia 
 2006 
 
Setores 
Vendas 
(milhões de dólares) 
 
 Comunicação 56.927,70 
 Hardware 20.488,20 
 Serviços de Software 7.300,40 
 Serviços 5.603,50 
 Software 2.419,10 
 D Distribuição 1.380,40 
 Internet 657,40 
 Fonte: Info Exame-ago.2007 
 *200 maiores empresas de tecnologia do Brasil 
 
 
 
 
 33 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 
 
 
Os gráficos produzem uma visão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, ajudando a visualizar as 
tendências e a interpretar os valores representativos deste fenômeno. 
 
Requisitos Fundamentais na Representação Gráfica: 
 
 O gráfico deve ser simples, claro e deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo; 
 Todo gráfico deve ter título e escala, para que possa ser interpretado sem que haja necessidade de 
esclarecimentos adicionais no texto; 
 O título do gráfico pode ser escrito acima ou abaixo do gráfico. O IBGE escreve o título acima do gráfico; 
 As variáveis devem ser claramente identificadas; 
 A escala deve iniciar-se na origem do sistema de eixos cartesianos. Quando os valores iniciais dos 
dados são muito altos, deve ser feita uma interrupção no eixo, com indicação clara da posição do zero; 
 O sistema de eixos cartesianos e as linhas auxiliares devem ter traçado mais leve do que a parte do 
gráfico que se pretende evidenciar; 
 Para facilitar a leitura, podem ser feitas linhas auxiliares. Nesses casos, o gráfico é feito dentro de um 
retângulo. 
 
 
 
Principais Tipos de Gráficos:  Diagramas 
  Cartogramas 
  Pictogramas 
 
CARTOGRAMAS: São representações através de mapas (cartas geográficas). Este gráfico é empregado 
quando o objetivo é o de relacionar os dados estatísticos diretamente com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PICTOGRAMAS: É a representação gráfica através de figuras. Por se tratar de uma apresentação atraente, 
é um gráfico que desperta muito a atenção do leitor. 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMAS: São gráficos geométricos construídos, em geral, no sistema cartesiano. 
 
Principais Diagramas: Gráfico emLinha, Gráfico em Colunas, Gráfico em Barras, Gráfico em Colunas ou 
em Barras Múltiplas e Gráfico em Setores. 
 
 GRÁFICO EM LINHA 
Usado para apresentar as séries temporais. Representado num sistema de coordenadas cartesianas, cada 
par de valores da série corresponde a um ponto. Estes pontos são unidos por segmentos de reta. 
 
 Exemplo: GASTO FEDERAL COM SAÚDE COMO 
PROPORÇÃO DO PIB 
 
 2000-2009 
 ANOS Percentual/PIB 
 2000 0,87 
 2001 0,81 
 2002 0,75 
 2003 0,67 
 2004 0,54 
 2005 0,48 
 2006 0,52 
 2007 0,47 
 2008 0,46 
 2009 0,60 
 FONTE: IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 GRÁFICO EM COLUNAS 
 
 
Usado para representar as séries cronológicas, geográficas e categóricas. Representado por meio de 
retângulos de mesma base, dispostos verticalmente (em colunas). 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LEITOS EM HOSPITAIS PÚBLICOS 
 2009 
 
ESTADO 
Quantidade 
(leito/1000 habitantes) 
 
 Bahia 0,9 
 Distrito Federal 1,39 
 Espírito Santo 0,58 
 Goiás 0,87 
 Minas Gerais 0,55 
 Paraná 0,61 
 Rio de Janeiro 1,04 
 São Paulo 0,58 
 Tocantins 1,65 
 FONTE: IBGE, Pesquisa de Assistência Médico-Sanitária 
 36 
 GRÁFICO EM BARRAS 
Usado para representar as séries geográficas e categóricas. Representado por meio de retângulos 
dispostos horizontalmente (em barras). 
 
Exemplo 6: 
 
 Famílias residentes em domicílios particulares permanentes 
 2011 
 ESTADOS Famílias ( 1000) 
 Norte 4.832 
 Nordeste 17.001 
 Sudeste 27.904 
 Sul 9.695 
 Centro-Oeste 4.926 
 FONTE: IBGE, Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios 2001/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1) O procedimento para a construção de um gráfico em colunas (ou barras) é análogo ao do gráfico em 
linhas, observando que no gráfico em barras deve-se fazer a inversão nos eixos cartesianos (o eixo x 
corresponde a altura e o eixo y corresponde a largura). 
2) Sempre que os dizeres a serem inscritos forem extensos, deve-se dar preferência ao gráfico em barras 
(séries geográficas e específicas). 
 
 
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 GRÁFICO EM SETORES 
Construído com base em um círculo, este gráfico é usado para comparar proporções. 
 
Exemplo 
 
 REBANHO SUÍNO DO SUDESTE DO BRASIL 
 2009 
 ESTADOS QUANTIDADE (mil cabeças) 
 Minas Gerais 4.640 
 Espírito Santo 263 
 Rio de Janeiro 150 
 São Paulo 1.639 
 Total 6.692 
 FONTE: IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras para a elaboração de um gráfico em setores: 
 Trace uma circunferência. A área do círculo representa o total, isto é, 100%, devendo ser dividida em 
tantos setores quantas sejam as partes. 
 Lembre-se de que uma circunferência tem 360. Então, se ao total correspondem 360, a cada parte 
corresponderá um setor cujo ângulo x é dado por: 
TOTAL
360PARTE
x


 
 Marque os valores dos ângulos calculados na circunferência e trace os raios, separando os setores. 
 Para facilitar a distinção, faça um tracejado diferente em cada setor. 
 Coloque título e legenda no gráfico. 
 
IMPORTANTE: Para clareza dos dados, deve-se usar no máximo sete setores.